Funktion sinx x kuvaaja. Funktiot y=sin x ja y=cos x ja niiden graafien esittely aiheen algebratunnille (luokka 10)

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Funktion y=sin(x). Määritelmät ja ominaisuudet"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Manuaalit ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa luokalle 10 alkaen 1C
Geometrian tehtävien ratkaiseminen. Interaktiiviset rakennustehtävät luokille 7-10
Ohjelmistoympäristö "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mitä opiskelemme:

• Funktion Y=sin(X) ominaisuudet.
• Funktiokaavio.
• Kuinka rakentaa kaavio ja sen mittakaava.
• Esimerkkejä.

Sinin ominaisuudet. Y=sin(X)

Kaverit, olemme jo tutustuneet numeerisen argumentin trigonometrisiin funktioihin. Muistatko ne?

Katsotaanpa tarkemmin funktiota Y=sin(X)

Kirjataan ylös joitain tämän funktion ominaisuuksia:
1) Määritelmäalue on reaalilukujen joukko.
2) Funktio on pariton. Muistakaamme parittoman funktion määritelmä. Funktiota kutsutaan parittomaksi, jos yhtälö pätee: y(-x)=-y(x). Kuten muistamme haamukaavoista: sin(-x)=-sin(x). Määritelmä täyttyy, mikä tarkoittaa, että Y=sin(X) on pariton funktio.
3) Funktio Y=sin(X) kasvaa janalla ja pienenee segmentillä [π/2; π]. Kun siirrymme ensimmäisellä neljänneksellä (vastapäivään), ordinaatta kasvaa, ja kun siirrymme toisen neljänneksen läpi, se pienenee.

4) Funktiota Y=sin(X) rajoitetaan alhaalta ja ylhäältä. Tämä ominaisuus seuraa siitä tosiasiasta, että
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funktion pienin arvo on -1 (pisteessä x = - π/2+ πk). Funktion suurin arvo on 1 (pisteessä x = π/2+ πk).

Ominaisuuksilla 1-5 piirretään funktio Y=sin(X). Rakennamme kaaviomme peräkkäin ominaisuuksiemme perusteella. Aloitetaan kaavion rakentaminen segmentistä.

Erityistä huomiota tulee kiinnittää mittakaavaan. Ordinaatta-akselilla on kätevämpää ottaa yksikkösegmentti, joka on yhtä suuri kuin 2 solua, ja abskissa-akselilla on kätevämpi ottaa yksikkösegmentti (kaksi solua), joka on yhtä suuri kuin π/3 (katso kuva).

Sinifunktion x piirtäminen, y=sin(x)

Lasketaan funktion arvot segmentillemme:

Rakennetaan kaavio käyttämällä pisteitämme ottaen huomioon kolmas ominaisuus.

Muunnostaulukko haamukaavoille

Käytetään toista ominaisuutta, joka sanoo, että funktiomme on pariton, mikä tarkoittaa, että se voidaan heijastaa symmetrisesti origon suhteen:

Tiedämme, että sin(x+ 2π) = sin(x). Tämä tarkoittaa, että aikavälillä [- π; π] kuvaaja näyttää samalta kuin segmentillä [π; 3π] tai tai [-3π; - π] ja niin edelleen. Meidän tarvitsee vain piirtää edellisen kuvan kaavio huolellisesti koko x-akselia pitkin.

Funktion Y=sin(X) kuvaajaa kutsutaan sinimuotoiseksi.

Kirjoitetaan vielä muutama ominaisuus muodostetun kaavion mukaan:
6) Funktio Y=sin(X) kasvaa missä tahansa segmentissä muodossa: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k on kokonaisluku ja pienenee missä tahansa muodon segmentissä: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – kokonaisluku.
7) Funktio Y=sin(X) on jatkuva funktio. Katsotaan funktion kuvaajaa ja varmistetaan, että funktiossamme ei ole katkoksia, tämä tarkoittaa jatkuvuutta.
8) Arvoalue: segmentti [- 1; 1]. Tämä näkyy selvästi myös funktion kaaviosta.
9) Funktio Y=sin(X) - jaksollinen funktio. Katsotaanpa kuvaajaa uudelleen ja nähdään, että funktio ottaa samat arvot tietyin väliajoin.

Esimerkkejä sinin ongelmista

1. Ratkaise yhtälö sin(x)= x-π

Ratkaisu: Tehdään funktiosta 2 kuvaajaa: y=sin(x) ja y=x-π (katso kuva).
Kaaviomme leikkaavat yhdessä pisteessä A(π;0), tämä on vastaus: x = π

2. Piirrä funktio y=sin(π/6+x)-1

Ratkaisu: Haluttu kuvaaja saadaan siirtämällä funktion y=sin(x) kuvaajaa π/6 yksikköä vasemmalle ja 1 yksikkö alaspäin.

Ratkaisu: Piirretään funktio ja tarkastellaan segmenttiämme [π/2; 5π/4].
Funktion kaavio osoittaa, että suurimmat ja pienimmät arvot saavutetaan segmentin päissä, pisteissä π/2 ja 5π/4, vastaavasti.
Vastaus: sin(π/2) = 1 – suurin arvo, sin(5π/4) = pienin arvo.

Siniongelmat itsenäiseen ratkaisuun

• Ratkaise yhtälö: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Piirrä funktio y=sin(π/3+x)-2
• Piirrä funktio y=sin(-2π/3+x)+1
• Etsi janan funktion y=sin(x) suurin ja pienin arvo
• Etsi funktion y=sin(x) suurin ja pienin arvo väliltä [- π/3; 5π/6]

Keskitetty johonkin pisteeseen A.
α - kulma radiaaneina.

Määritelmä
Sini (sin α) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin vastakkaisen haaran pituuden suhde |BC| hypotenuusan pituuteen |AC|.

Kosini (cos α) on trigonometrinen funktio, joka riippuu suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja haaran välisestä kulmasta α, joka on yhtä suuri kuin viereisen haaran pituuden suhde |AB| hypotenuusan pituuteen |AC|.

Hyväksytyt merkinnät

;
;
.

;
;
.

Sinifunktion kuvaaja, y = sin x

Kosinifunktion kuvaaja, y = cos x

Sinin ja kosinin ominaisuudet

Jaksoisuus

Funktiot y = synti x ja y = cos x jaksollinen jakson kanssa 2π.

Pariteetti

Sinifunktio on outo. Kosinifunktio on parillinen.

Määritelmä ja arvot, äärimmäisyydet, lisäys, lasku

Sini- ja kosinifunktiot ovat jatkuvia määritelmäalueellaan, eli kaikille x:ille (katso jatkuvuuden todiste). Niiden tärkeimmät ominaisuudet on esitetty taulukossa (n - kokonaisluku).

Peruskaavat

Sinin ja kosinin neliöiden summa

Kaavat sinille ja kosinille summasta ja erotuksesta

;
;

Kaavat sinien ja kosinien tulolle

Summa- ja erotuskaavat

Ilmaisee sinin kosinin kautta

;
;
;
.

Ilmaisee kosinin sinin kautta

;
;
;
.

Ilmaisu tangentin kautta

; .

Milloin meillä on:
; .

osoitteessa:
; .

Taulukko sinistä ja kosineista, tangenteista ja kotangenteista

Tämä taulukko näyttää sinien ja kosinien arvot tietyille argumentin arvoille.

Lausekkeet monimutkaisten muuttujien kautta

;

Eulerin kaava

Lausekkeet hyperbolisten funktioiden kautta

;
;

Johdannaiset

; . Johtamiskaavat >>>

N:nnen kertaluvun johdannaiset:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekantti, kosekantti

Käänteiset funktiot

Sinin ja kosinin käänteisfunktiot ovat vastaavasti arsini ja arkosiini.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.

FUNKTIOGRAFIIKKA

Sinifunktio

- joukko R kaikki todelliset luvut.

Useita funktioarvoja— segmentti [-1; 1], ts. sinifunktio - rajoitettu.

Pariton toiminto: sin(−x)=−sin x kaikille x ∈ R.

Toiminto on jaksollinen

sin(x+2π k) = sin x, missä k ∈ Z kaikille x ∈ R.

sin x = 0 kun x = π·k, k ∈ Z.

sin x > 0(positiivinen) kaikille x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

synti x< 0 (negatiivinen) kaikille x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Kosinifunktio

Toimintoalue- joukko R kaikki todelliset luvut.

Useita funktioarvoja— segmentti [-1; 1], ts. kosinifunktio - rajoitettu.

Tasainen toiminto: cos(−x)=cos x kaikille x ∈ R.

Toiminto on jaksollinen pienimmällä positiivisella jaksolla 2π:

cos(x+2π k) = cos x, missä k ∈ Z kaikille x ∈ R.

cos x = 0 klo
cos x > 0 kaikille
cos x< 0 kaikille
Toiminta lisääntyy-1 - 1 väliajoin:
Toiminto vähenee-1 - 1 väliajoin:
Funktion suurin arvo sin x = 1 kohdissa:
Funktion sin x = −1 pienin arvo kohdissa:

Tangenttitoiminto

Useita funktioarvoja— koko lukurivi, ts. tangentti - funktio rajoittamaton.

Pariton toiminto: tg(-x)=-tg x
Funktion kuvaaja on symmetrinen OY-akselin suhteen.

Toiminto on jaksollinen pienimmällä positiivisella jaksolla π, ts. tg(x+π k) = rusketus x, k ∈ Z kaikille x:lle määritelmäalueelta.

Kotangenttifunktio

Useita funktioarvoja— koko lukurivi, ts. kotangentti - funktio rajoittamaton.

Toiminto on jaksollinen pienimmällä positiivisella jaksolla π, ts. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z kaikille x:lle määritelmäalueelta.

Arcsine-toiminto

Toimintoalue— segmentti [-1; 1]

Useita funktioarvoja- segmentti -π /2 arcsin x π /2, ts. arcsine - funktio rajoitettu.

Pariton toiminto: arcsin(−x)=−arcsin x kaikille x ∈ R.
Funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Koko määritelmäalueella.

Kaarikosinifunktio

Toimintoalue— segmentti [-1; 1]

Useita funktioarvoja— segmentti 0 kaaret x π, ts. arkosiini - funktio rajoitettu.

Toiminto lisääntyy koko määritelmäalueella.

Arktangenttifunktio

Toimintoalue- joukko R kaikki todelliset luvut.

Useita funktioarvoja— segmentti 0 π, ts. arctangentti - funktio rajoitettu.

Pariton toiminto: arctg(−x)=−arctg x kaikille x ∈ R.
Funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.

Toiminto lisääntyy koko määritelmäalueella.

Kaaretangenttitoiminto

Toimintoalue- joukko R kaikki todelliset luvut.

Useita funktioarvoja— segmentti 0 π, ts. arccotangent -funktio rajoitettu.

Funktio ei ole parillinen eikä pariton.
Funktion kuvaaja ei ole epäsymmetrinen origon eikä Oy-akselin suhteen.

Toiminto vähenee koko määritelmäalueella.

Tällä oppitunnilla tarkastellaan yksityiskohtaisesti funktiota y = sin x, sen perusominaisuuksia ja kuvaajaa. Oppitunnin alussa annamme trigonometrisen funktion y = sin t määritelmän koordinaattiympyrällä ja tarkastelemme funktion kuvaajaa ympyrällä ja suoralla. Esitetään tämän funktion jaksollisuus kaaviossa ja tarkastellaan funktion pääominaisuuksia. Oppitunnin lopussa ratkaisemme useita yksinkertaisia ​​tehtäviä käyttämällä funktion kuvaajaa ja sen ominaisuuksia.

Aihe: Trigonometriset funktiot

Oppitunti: Funktio y=sinx, sen perusominaisuudet ja graafi

Kun harkitaan funktiota, on tärkeää liittää jokainen argumentin arvo yhteen funktion arvoon. Tämä kirjeenvaihdon laki ja sitä kutsutaan funktioksi.

Määritellään vastaavuuslaki .

Mikä tahansa reaaliluku vastaa yhtä pistettä yksikköympyrässä.Pisteellä on yksi ordinaatta, jota kutsutaan luvun siniksi (kuva 1).

Jokainen argumentin arvo liittyy yhteen funktion arvoon.

Sinin määritelmästä seuraa ilmeisiä ominaisuuksia.

Kuva osoittaa sen koska on yksikköympyrän pisteen ordinaatta.

Tarkastellaan funktion kuvaajaa. Muistakaamme argumentin geometrinen tulkinta. Argumentti on keskikulma radiaaneina mitattuna. Akselia pitkin piirrämme reaaliluvut tai kulmat radiaaneina, akselia pitkin funktion vastaavat arvot.

Esimerkiksi yksikköympyrän kulma vastaa kaavion pistettä (kuva 2)

Olemme saaneet alueen funktion graafin, mutta kun tiedämme sinin jakson, voimme kuvata funktion kuvaajaa koko määritelmäalueen yli (kuva 3).

Toiminnon pääjakso on Tämä tarkoittaa, että kuvaaja voidaan saada segmentiltä ja jatkaa sitten koko määritelmäalueen läpi.

Harkitse funktion ominaisuuksia:

1) Määritelmän laajuus:

2) Arvoalue:

3) Pariton toiminto:

4) Pienin positiivinen jakso:

5) Kuvaajan ja abskissa-akselin leikkauspisteiden koordinaatit:

6) Kuvaajan ja ordinaatta-akselin leikkauspisteen koordinaatit:

7) Aikavälit, joilla funktio saa positiivisia arvoja:

8) Aikavälit, jolloin funktio saa negatiivisia arvoja:

9) Lisääntyvät välit:

10) Pienenevät välit:

11) Vähimmäispisteet:

12) Vähimmäistoiminnot:

13) Enimmäispisteet:

14) Enimmäistoiminnot:

Tarkastelimme funktion ominaisuuksia ja sen kuvaajaa. Ominaisuuksia käytetään toistuvasti ongelmien ratkaisussa.

Bibliografia

1. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Ongelmakirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaattinen analyysi luokalle 10 (oppikirja koulujen ja luokkien opiskelijoille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebran ja matemaattisen analyysin syvällinen tutkimus.-M.: Education, 1997.

5. Matemaattisten tehtävien kokoelma korkeakouluihin hakijoille (toimittanut M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrallinen simulaattori.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebran ja analyysin periaatteiden tehtäviä (käsikirja yleissivistävän oppilaitoksen luokkien 10-11 opiskelijoille) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Algebran ja analyysin periaatteiden tehtäväkokoelma: oppikirja. palkka 10-11 luokalle. syvyyden kanssa opiskellut Matematiikka.-M.: Koulutus, 2006.

Kotitehtävät

Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Ongelmakirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Muita verkkoresursseja

3. Koulutusportaali tenttiin valmistautumista varten ().

Tällä oppitunnilla tarkastellaan yksityiskohtaisesti funktiota y = sin x, sen perusominaisuuksia ja kuvaajaa. Oppitunnin alussa annamme trigonometrisen funktion y = sin t määritelmän koordinaattiympyrällä ja tarkastelemme funktion kuvaajaa ympyrällä ja suoralla. Esitetään tämän funktion jaksollisuus kaaviossa ja tarkastellaan funktion pääominaisuuksia. Oppitunnin lopussa ratkaisemme useita yksinkertaisia ​​tehtäviä käyttämällä funktion kuvaajaa ja sen ominaisuuksia.

Aihe: Trigonometriset funktiot

Oppitunti: Funktio y=sinx, sen perusominaisuudet ja graafi

Kun harkitaan funktiota, on tärkeää liittää jokainen argumentin arvo yhteen funktion arvoon. Tämä kirjeenvaihdon laki ja sitä kutsutaan funktioksi.

Määritellään vastaavuuslaki .

Mikä tahansa reaaliluku vastaa yhtä pistettä yksikköympyrässä.Pisteellä on yksi ordinaatta, jota kutsutaan luvun siniksi (kuva 1).

Jokainen argumentin arvo liittyy yhteen funktion arvoon.

Sinin määritelmästä seuraa ilmeisiä ominaisuuksia.

Kuva osoittaa sen koska on yksikköympyrän pisteen ordinaatta.

Tarkastellaan funktion kuvaajaa. Muistakaamme argumentin geometrinen tulkinta. Argumentti on keskikulma radiaaneina mitattuna. Akselia pitkin piirrämme reaaliluvut tai kulmat radiaaneina, akselia pitkin funktion vastaavat arvot.

Esimerkiksi yksikköympyrän kulma vastaa kaavion pistettä (kuva 2)

Olemme saaneet alueen funktion graafin, mutta kun tiedämme sinin jakson, voimme kuvata funktion kuvaajaa koko määritelmäalueen yli (kuva 3).

Toiminnon pääjakso on Tämä tarkoittaa, että kuvaaja voidaan saada segmentiltä ja jatkaa sitten koko määritelmäalueen läpi.

Harkitse funktion ominaisuuksia:

1) Määritelmän laajuus:

2) Arvoalue:

3) Pariton toiminto:

4) Pienin positiivinen jakso:

5) Kuvaajan ja abskissa-akselin leikkauspisteiden koordinaatit:

6) Kuvaajan ja ordinaatta-akselin leikkauspisteen koordinaatit:

7) Aikavälit, joilla funktio saa positiivisia arvoja:

8) Aikavälit, jolloin funktio saa negatiivisia arvoja:

9) Lisääntyvät välit:

10) Pienenevät välit:

11) Vähimmäispisteet:

12) Vähimmäistoiminnot:

13) Enimmäispisteet:

14) Enimmäistoiminnot:

Tarkastelimme funktion ominaisuuksia ja sen kuvaajaa. Ominaisuuksia käytetään toistuvasti ongelmien ratkaisussa.

Bibliografia

1. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Ongelmakirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaattinen analyysi luokalle 10 (oppikirja koulujen ja luokkien opiskelijoille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebran ja matemaattisen analyysin syvällinen tutkimus.-M.: Education, 1997.

5. Matemaattisten tehtävien kokoelma korkeakouluihin hakijoille (toimittanut M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrallinen simulaattori.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebran ja analyysin periaatteiden tehtäviä (käsikirja yleissivistävän oppilaitoksen luokkien 10-11 opiskelijoille) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Algebran ja analyysin periaatteiden tehtäväkokoelma: oppikirja. palkka 10-11 luokalle. syvyyden kanssa opiskellut Matematiikka.-M.: Koulutus, 2006.

Kotitehtävät

Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Ongelmakirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Muita verkkoresursseja

3. Koulutusportaali tenttiin valmistautumista varten ().