Mitkä ovat vierekkäiset kulmat ja niiden ominaisuudet. Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi? Mikä on kahden vierekkäisen kulman summa

Geometria on hyvin monitahoinen tiede. Hän kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin, koska sen monimutkaisuus ja valtava määrä lauseita ja aksioomeja, koululaiset eivät aina pidä siitä. Lisäksi johtopäätökset on jatkuvasti todistettava yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystysuorat kulmat ovat kiinteä osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain rakastavat heitä siitä syystä, että heidän ominaisuudet ovat selkeät ja helppo todistaa.

Muotoilevat kulmat

Mikä tahansa kulma muodostetaan ylittämällä kaksi suoraa viivaa tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi tai kolmeksi kirjaimeksi, jotka osoittavat peräkkäin nurkan rakennuskohdat.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (niiden arvosta riippuen) kutsua eri tavoin. Joten, on suora kulma, akuutti, tylppä ja taitettu. Jokainen nimi vastaa tiettyä asteen mittaa tai sen väliä.

Kulmaa kutsutaan akuutiksi, jos sen mitta ei ylitä 90 astetta.

Älykäs kulma on yli 90 astetta.

Kulmaksi kutsutaan suorakulma, kun sen asteen mitta on 90.

Tapauksessa, kun se on muodostettu yhtenäisellä viivalla ja sen asteen mitta on 180, sitä kutsutaan laajennetuksi.

Kulmia, joilla on yhteinen puoli, joiden toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäin. Ne voivat olla joko teräviä tai tylppäjä. Radan leikkauspiste muodostaa vierekkäiset kulmat. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten kulmien summa on yhtä suuri kuin 180 astetta (tämä todistaa lauseen). Siksi yksi voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä kohdasta seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voida muodostaa kahdella sotkalla tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voit aina laskea kulman asteen mitan, jolla on toisen kulman arvo tai ainakin niiden välinen suhde.

Pystysuorat kulmat

Kulmia, joiden sivut ovat jatkoa toisilleen, kutsutaan pystysuoriksi. Mikä tahansa heidän lajikkeistaan \u200b\u200bvoi toimia sellaisena parina. Pystysuorat kulmat ovat aina yhtä suuret toistensa kanssa.

Ne muodostuvat, kun suoraviivat leikkaavat. Vierekkäiset kulmat ovat aina mukana heidän kanssaan. Kulma voi olla samanaikaisesti yhden vieressä ja pystysuorassa toiseen.

Mielivaltaisen linjan ylittäessä otetaan huomioon myös useita muita kulmatyyppejä. Sellaista viivaa kutsutaan sekantiksi ja se muodostaa vastaavat, yksipuoliset ja ristikkäin kulmat. He ovat tasa-arvoisia toistensa kanssa. Niitä voidaan tarkastella niiden ominaisuuksien valossa, joita pystysuunnassa ja vierekkäisissä kulmissa on.

Siten kulmien aihe näyttää olevan melko yksinkertainen ja suoraviivainen. Niiden kaikki ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Ongelmien ratkaiseminen ei ole vaikeaa, kunhan kulmat vastaavat numeerista arvoa. Jo pidemmälle, kun synnin ja cos: n tutkimus alkaa, joudut muistamaan monia monimutkaisia \u200b\u200bkaavoja, niiden johtopäätöksiä ja seurauksia. Siihen saakka voit vain nauttia helposti tehtävistä, joissa sinun täytyy löytää vierekkäiset kulmat.

Kaksi kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen, ja näiden kulmien toiset sivut ovat lisäsäteitä. Kuvassa 20 kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäin.

Vierekkäisten kulmien summa on 180 °

Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180 °.

Todisteita. OB-palkki (katso kuva 1) kulkee taitetun kulman sivujen välillä. siksi AOB + ∠ VSP \u003d 180 °.

Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa on yhtä suuri, niin niiden vieressä olevat kulmat ovat samat.

Pystysuorat kulmat ovat yhtä suuret

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat toisiaan täydentäviä sädeitä. Kulmat AOB ja COD, BOD ja AOC, jotka on muodostettu kahden suoran leikkauspisteeseen, ovat pystysuorat (kuva 2).

Lause 2. Pystysuorat kulmat ovat yhtä suuret.

Todisteita. Tarkastellaan pystysuuntaisia \u200b\u200bkulmia AOB ja COD (katso kuva 2). Kulma-BOD on kulman AOB ja COD vieressä. Lauseella 1 ∠ AOB + ∠ BOD \u003d 180 °, ∠ COD + ∠ BOD \u003d 180 °.

Siksi päättelemme, että ∠ AOB \u003d ∠ COD.

Seuraus 1. Suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.

Tarkastellaan kahta leikkaavaa suoraa viivaa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuvassa 3), niin myös muut kulmat ovat oikein (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 ovat vierekkäin, kulmat 1 ja 3 ovat pystysuorassa). Tässä tapauksessa he sanovat, että nämä viivat leikkaavat suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoraksi (tai keskenään kohtisuoraksi). Suorien kohtien AC ja BD kohtisuoraisuus on merkitty seuraavasti: AC ⊥ BD.

Segmenttiin kohtisuora keskipiste on suora viiva, joka on kohtisuoraan tähän segmenttiin ja kulkee sen keskipisteen läpi.

AH - kohtisuorassa suoraan nähden

Tarkastellaan suoraa a ja pistettä A, joka ei ole sen päällä (kuva 4). Yhdistetään piste A segmenttiin, jonka piste H on suorassa a. Segmenttiä AH kutsutaan kohtisuoraksi, joka on vedetty pisteestä A suoraan linjaan a, jos linjat AH ja a ovat kohtisuorassa. Pistettä H kutsutaan kohtisuoran pohjaksi.

Piirustus neliö

Seuraava lause on totta.

Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole linjalla, voi piirtää kohtisuoran tähän viivaan ja lisäksi vain yhden.

Piirrä piirros kohtisuoraan pisteestä suoraan viivaan käyttämällä piirustus neliötä (kuva 5).

Kommentti. Lause lausunto koostuu yleensä kahdesta osasta. Yksi osa puhuu siitä, mitä annetaan. Tätä osaa kutsutaan lauseen tilaksi. Toinen osa puhuu siitä, mitä on todistettava. Tätä osaa kutsutaan lauseen päätelmäksi. Esimerkiksi lauseen 2 ehto on, että kulmat ovat pystysuuntaiset; johtopäätös - nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Mikä tahansa lause voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoin siten, että sen ehto alkaa sanalla "jos" ja päätelmä sanalla "sitten". Esimerkiksi lause 2 voidaan sanoa yksityiskohtaisesti seuraavasti: "Jos kaksi kulmaa ovat pystysuorassa, niin ne ovat yhtä suuret."

Esimerkki 1 Yksi vierekkäisistä kulmista on 44 °. Mihin toinen on yhtä suuri?

Päätös. Merkitään toisen kulman asteen mitta x: llä, sitten lauseen 1 mukaan.
44 ° + x \u003d 180 °.
Tuloksena oleva yhtälö ratkaistaan, että x \u003d 136 °. Siksi toinen kulma on 136 °.

Esimerkki 2 Olkoon COD-kulma kuvassa 21 45 °. Mitkä ovat kulmat AOB ja AOC?

Päätös. Kulmat COD ja AOB ovat pystysuorat, joten lauseen 1.2 mukaan ne ovat yhtä suuret, ts. ∠ AOB \u003d 45 °. Kulma AOC on kulman COD vieressä, joten lause 1.
∠ AOC \u003d 180 ° - ∠ COD \u003d 180 ° - 45 ° \u003d 135 °.

Esimerkki 3 Etsi vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa suurempi kuin toinen.

Päätös. Merkitsemme pienemmän kulman asteen mitta x: n läpi. Tällöin suuremman kulman asteen mitta on Zx. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180 ° (lause 1), niin sitten x + 3x \u003d 180 °, mistä x \u003d 45 °.
Tämä tarkoittaa sitä, että vierekkäiset kulmat ovat 45 ° ja 135 °.

Esimerkki 4 Kahden pystysuoran kulman summa on 100 °. Löydä jokaisen neljän kulman suuruus.

Päätös. Olkoon tehtävän olosuhde vastaa kuvaa 2. COD: n pystysuuntaiset kulmat AOB: iin ovat yhtä suuret (lause 2), joten myös niiden asteen mitat ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD \u003d ∠ AOB \u003d 50 ° (niiden summa ehtojen mukaan on 100 °). BOD-kulma (myös AOC-kulma) on COD-kulman vieressä, ja siksi lause 1
∠ BOD \u003d ∠ AOC \u003d 180 ° - 50 ° \u003d 130 °.

Aloittaminen kulmista

Annetaan meille kaksi mielivaltaista sädettä. Katsotaanpa heidän alkujaan päällekkäin. Sitten

Määritelmä 1

Kulmaa kutsutaan kahdeksi sädeksi, joilla on sama alkuperä.

Määritelmä 2

Pistettä, joka on säteiden lähtökohtana määritelmässä 3, kutsutaan kyseisen kulman kärkeksi.

Kulmaa merkitään seuraavilla kolmella pisteellä: kärki, yhden säteen piste ja toisen säteen piste, ja kulman kärki kirjoitetaan nimityksen keskelle (kuva 1).

Määritetään nyt, mikä kulman arvo on.

Tätä varten on välttämätöntä valita jonkinlainen "vertailukulma", jota otamme yksiköksi. Useimmiten tämä kulma on kulma, joka on yhtä suuri kuin $ \\ frac (1) (180) $ osa litistetystä kulmasta. Tätä arvoa kutsutaan tutkintoksi. Kun olet valinnut tällaisen kulman, vertaa sitä kulmaan, jonka arvo on löydettävä.

Kulmia on 4 tyyppiä:

Määritelmä 3

Kulmaa kutsutaan akuutiksi, jos se on alle 90 $ ^ 0 $.

Määritelmä 4

Kulmaa kutsutaan kohteeksi, jos se on suurempi kuin $ 90 ^ 0 $.

Määritelmä 5

Kulmaa kutsutaan avattuksi, jos se on yhtä suuri kuin $ 180 ^ 0 $.

Määritelmä 6

Kulmaa kutsutaan suorakulmaksi, jos se on yhtä suuri kuin $ 90 ^ 0 $.

Edellä kuvattujen kulmatyyppien lisäksi voit valita kulmatyypit toisiinsa nähden, nimittäin pystysuorat ja vierekkäiset kulmat.

Vierekkäiset kulmat

Harkitse taitettua $ COB $ -kulmaa. Piirrä ray $ OA $ sen kärjestä. Tämä säde jakaa alkuperäisen kahteen kulmaan. Sitten

Määritelmä 7

Kaksi kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos toinen niiden parista on muodostunut kulmaan ja toinen pari osuu yhteen (kuva 2).

Tässä tapauksessa kulmat $ COA $ ja $ BOA $ ovat vierekkäin.

Lause 1

Vierekkäisten kulmien summa on 180 dollaria ^ 0 $.

Todisteita.

Tarkastellaan kuvaa 2.

Määritelmän 7 mukaan $ COB $ -kulma siinä on 180 dollaria ^ 0 $. Koska vierekkäisten kulmien toinen pari sivuja ovat samat, $ OA $ -sääde jakaa kehittyneen kulman 2: lla

$ ∠COA + ∠BOA \u003d 180 ^ 0 $

Lause todistetaan.

Harkitse ongelman ratkaisemista tällä käsitteellä.

Esimerkki 1

Etsi kulma $ C $ alla olevasta kuvasta

Määritelmän 7 mukaan näemme, että kulmat $ BDA $ ja $ ADC $ ovat vierekkäin. Siksi lauseen 1 avulla saadaan

$ ∠BDA + ∠ADC \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠ADC \u003d 180 ^ 0-∠BDA \u003d 180〗 0-59 ^ 0 \u003d 121 ^ 0 $

Kolmion kulmien summan lauseen perusteella meillä on

$ ∠A + ∠ADC + ∠C \u003d 180 ^ 0 $

$ ∠C \u003d 180 ^ 0-∠A-∠ADC \u003d 180 ^ 0-19 ^ 0-121 ^ 0 \u003d 40 ^ 0 $

Vastaus: 40 dollaria ^ 0 dollaria.

Pystysuorat kulmat

Harkitse taitetut kulmat $ AOB $ ja $ MOC $. Kohdistetaan heidän kärjensä toisiinsa (ts. Asetetaan piste $ O "$ pisteeseen $ O $) niin, että näiden kulmien sivut eivät osu yhteen. Sitten

Määritelmä 8

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos niiden sivuparit ovat taitetut kulmat ja niiden arvot ovat samat (kuva 3).

Tässä tapauksessa kulmat $ MOA $ ja $ BOC $ ovat pystysuorat ja kulmat $ MOB $ ja $ AOC $ ovat myös pystysuoria.

Lause 2

Pystysuorat kulmat ovat yhtä suuret toistensa kanssa.

Todisteita.

Mieti kuvaa 3. Osoitetaan esimerkiksi, että $ MOA $ on yhtä suuri kuin $ BOC $.

Kaksi kulmaa, jotka sijaitsevat yhdellä suoraviivalla ja joilla on yksi kärki, kutsutaan vierekkäisiksi.

Muussa tapauksessa, jos kahden kulman summa yhdellä suoraviivalla on 180 astetta ja niillä on toinen puoli yhteinen, niin nämä ovat vierekkäisiä kulmia.

1 vierekkäinen kulma + 1 vierekkäinen kulma \u003d 180 astetta.

Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta puolta muodostavat yleensä suoran.

Kahden vierekkäisen kulman summa on aina 180 astetta. Esimerkiksi, jos yksi kulma on 60 astetta, toinen on välttämättä yhtä suuri kuin 120 astetta (180-60).

Kulmat AOC ja BOC ovat vierekkäisiä kulmia, koska kaikki vierekkäisten kulmien ominaisuuksien ehdot täyttyvät:

1.OS on kahden kulman yhteinen puoli

2.AO on kulman AOC puoli, OV on kulman BOC puoli. Yhdessä nämä sivut muodostavat suoran AOB: n.

3. Kulma on kaksi ja niiden summa on 180 astetta.

Muistaessamme koulun geometrian kurssin voimme sanoa seuraavien vierekkäisten kulmien suhteen:

vierekkäisillä kulmilla on yksi yhteinen puoli ja kaksi muuta puolta kuuluvat samaan suoraan linjaan, toisin sanoen ne ovat samalla suoralla. Jos kuvan mukaan COB: n ja BOA: n kulmat ovat vierekkäisiä kulmia, joiden summa on aina 180, koska ne jakavat laajennetun kulman, ja laajennettu kulma on aina 180.



Vierekkäiset kulmat ovat helppo käsite geometriassa. Vierekkäiset kulmat, kulma plus kulma lisäävät jopa 180 astetta.

Kaksi vierekkäistä kulmaa - tämä on yksi taitettu nurkka.

On olemassa useita muita ominaisuuksia. Ongelmien ratkaiseminen ja lauseiden todistaminen vierekkäisillä nurkilla on helppoa.

Vierekkäiset kulmat muodostuvat, kun säde vedetään mielivaltaisesta kohdasta suoraa viivaa. Sitten tämä mielivaltainen piste osoittautuu olevan kulman kärki, säde on vierekkäisten kulmien yhteinen puoli, ja suora viiva, josta säde vedetään, on vierekkäisten kulmien kaksi jäljellä olevaa puolta. Vierekkäiset kulmat voivat olla joko samat kohtisuorassa tai erilaiset vinossa palkissa. On helppo ymmärtää, että vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta tai yksinkertaisesti suora. Toisella tavalla tämä kulma voidaan selittää yksinkertaisella esimerkillä - kävelit ensin yhdessä suunnassa suorassa linjassa, muutit sitten mieltäsi, päätit mennä taaksepäin ja käännyit 180 astetta ja lähdit samalla suoraa linjaa vastakkaiseen suuntaan.



Mikä on viereinen nurkka? Määritelmä:

Vierekkäin on kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki ja yksi yhteinen puoli, ja näiden kulmien kaksi muuta puolta sijaitsevat samalla suorassa linjassa.



Ja pieni videotunti, jossa se näkyy selvästi vierekkäisistä kulmista, pystysuuntaisista kulmista sekä kohtisuoraista suoraviivoista, jotka ovat vierekkäisten ja pystysuorajen kulmien erityistapaus

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, joissa toinen puoli on yhteinen ja toinen on yksi viiva.

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, jotka riippuvat toisistaan. Eli jos yhteistä puolta käännetään hiukan, yksi kulma pienenee muutamilla asteilla ja toinen kulma kasvaa automaattisesti samalla asteella. Tämä vierekkäisten kulmien ominaisuus mahdollistaa erilaisten ongelmien ratkaisemisen ja erilaisten lauseiden todistamisen geometriassa.

Vierekkäisten kulmien kokonaissumma on aina 180 astetta.



Geometrian kurssista (niin paljon kuin muistan luokan 6) kutsutaan kahta kulmaa vierekkäisiksi, joissa toinen puoli on yhteinen ja toiset sivut ovat lisäsäteitä, vierekkäisten kulmien summa on 180. Kumpikin kahdesta vierekkäisestä kulmasta täydentää toista laajennetun kulman kanssa. Esimerkki vierekkäisistä kulmista:



Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, joista toinen sivu on yhteinen, ja loput sivut sijaitsevat yhdellä suoralla linjalla (ei samat). Vierekkäisten kulmien summa on sata kahdeksankymmentä astetta. Yleensä kaikki tämä on erittäin helppoa löytää Googlesta tai geometrian oppikirjasta.

1. Vierekkäiset kulmat.

Jos laajennamme minkä tahansa kulman sivua sen kärkipisteen ulkopuolelle, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): ∠ABS ja ∠СВD, joissa toinen puoli BC on yhteinen ja kaksi muuta, AB ja BD, muodostavat suoran.

Kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada tällä tavalla: jos mistä tahansa pisteestä suoralle vedetään säde (ei makaa tällä suoralla), niin saamme vierekkäiset kulmat.

Esimerkiksi ∠ADF ja ∠FDB ovat vierekkäisiä kulmia (kuva 73).

Vierekkäisissä kulmissa voi olla monenlainen sijainti (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat lisäävät tasaisen kulman, joten kahden vierekkäisen kulman summa on 180 °

Tästä eteenpäin suorakulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin vierekkäinen kulma.

Tietäen yhden vierekkäisten kulmien arvon, voimme löytää toisen vierekkäisen kulman arvon.

Esimerkiksi, jos yksi vierekkäisistä kulmista on 54 °, toinen kulma on:

180 ° - 54 ° \u003d l26 °.

2. Pystysuorat kulmat.

Jos laajennamme kulman reunoja sen kärkipisteen ulkopuolelle, saamme pystysuorat kulmat. Kuviossa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuoria.

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatkeita.

Olkoon ∠1 \u003d \\ (\\ fra (7) (8) \\) ⋅ 90 ° (kuva 76). Vierekkäinen ∠2 on 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 °, ts. 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 °.

Samalla tavalla voit laskea mitä ovat ∠3 ja ны4.

∠3 \u003d 180 ° - 1 \\ (\\ fra (1) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d \\ (\\ fra (7) (8) \\) ⋅ 90 °;

∠4 \u003d 180 ° - \\ (\\ frac (7) (8) \\) ⋅ 90 ° \u003d 1 \\ (\\ frac (1) (8) \\) ⋅ 90 ° (kuva 77).

Näemme, että ∠1 \u003d ∠3 ja ∠2 \u003d ∠4.

Voit ratkaista useita muita samoja ongelmia, ja joka kerta, kun saat saman tuloksen: pystysuorat kulmat ovat yhtä suuret.

Sen varmistamiseksi, että pystysuorat kulmat ovat aina keskenään, ei kuitenkaan riitä tarkastella yksittäisiä numeerisia esimerkkejä, koska tietyistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystysuoran kulman ominaisuuden pätevyys on tarkistettava todisteella.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

∠+∠c \u003d 180 °;

∠b +∠c \u003d 180 °;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 180 °).

∠+∠c = ∠b +∠c

(koska tämän tasa-arvon vasen puoli on yhtä suuri kuin 180 ° ja sen oikea puoli on myös yhtä suuri kuin 180 °).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman alkaen.

Jos vähennämme yhtä suuret arvot yhtä suurena, niin se pysyy yhtä suurena. Tuloksena on: ∠ = ∠beli pystysuorat kulmat ovat yhtä suuret toistensa kanssa.

3. Niiden kulmien summa, joilla on yhteinen kärkipiste.

Piirustuksessa 79 ∠1, ∠2, ∠3 ja ∠4 sijaitsevat suoran toisella puolella ja niillä on yhteinen kärkipiste tällä suoralla. Yhdessä nämä kulmat muodostavat kulman, ts.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 \u003d 180 °.

Piirustuksessa 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ja ∠5 on yhteinen kärkipiste. Nämä kulmat lisäävät kokonaiskulman, ts. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 \u003d 360 °.