Ohjeet

10, 30, 90, 270...

Se on löydettävä geometrisen etenemisen nimittäjä.
Päätös:

Vaihtoehto 1. Otetaan etenemisen mielivaltainen termi (esimerkiksi 90) ja jaetaan se edellisellä (30): 90/30 \u003d 3.

Jos tiedät geometrisen etenemisen useiden jäsenten summan tai vähenevän geometrisen etenemisen kaikkien jäsenten summan, etsi etenemisen nimittäjä käyttämällä sopivia kaavoja:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), missä Sn on geometrisen etenemisen ensimmäisen n termin summa ja
S \u003d b1 / (1-q), jossa S on äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen summa (kaikkien etenemisen jäsenten summa, kun nimittäjä on vähemmän kuin yksi).
Esimerkki.

Alenevan geometrisen etenemisen ensimmäinen termi on yhtä kuin yksi ja kaikkien sen jäsenten summa on yhtä suuri kuin kaksi.

Sen on määritettävä tämän etenemisen nimittäjä.
Päätös:

Liitä ongelman tiedot kaavaan. Osoittautuu:
2 \u003d 1 / (1-q), josta - q \u003d 1/2.

Eteneminen on numerosarja. Geometrisessä etenemisessä jokainen seuraava termi saadaan kertomalla edellinen jollakin luvulla q, jota kutsutaan etenemisen nimittäjäksi.

Ohjeet

Jos tunnetaan kaksi geometrisen b (n + 1) ja b (n) vierekkäistä termiä, niin nimittäjän saamiseksi on suuremmalla luku jaettava sitä edeltävällä luvulla: q \u003d b (n + 1) / b (n). Tämä seuraa etenemisen ja sen nimittäjän määritelmästä. Tärkeä ehto on ensimmäisen termin eriarvoisuus ja nollaksi etenemisen nimittäjä, muuten sitä pidetään määrittelemättömänä.

Joten seuraavat suhteet muodostetaan etenemisen jäsenten välillä: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. Kaavan b (n) \u003d b1 q ^ (n-1) avulla voidaan laskea mikä tahansa geometrisen etenemisen termi, jossa nimittäjä q ja termi b1 tunnetaan. Kukin moduulin etenemisestä on yhtä suuri kuin sen naapurijäsenten keskiarvo: | b (n) | \u003d √, joten eteneminen sai oman.

Geometrisen etenemisen analogi on yksinkertaisin eksponenttifunktio y \u003d a ^ x, jossa x on eksponentissa ja a on jokin luku. Tässä tapauksessa etenemisen nimittäjä osuu yhteen ensimmäisen termin kanssa ja on yhtä suuri kuin luku a. Funktion y arvo voidaan ymmärtää etenemisen n: nneksi termiksi, jos argumentti x otetaan luonnollisena lukuna n (laskuri).

On olemassa geometrisen etenemisen ensimmäisen n termin summa: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). Tämä kaava pätee arvoon q ≠ 1. Jos q \u003d 1, niin ensimmäisen n termin summa lasketaan kaavalla S (n) \u003d n b1. Muuten, etenemistä kutsutaan kasvavaksi, kun q on suurempi kuin yksi ja b1 on positiivinen. Jos etenemisen nimittäjä ei ylitä yhtä absoluuttisessa arvossa, etenemistä kutsutaan laskevaksi.

Geometrisen etenemisen erityistapaus on äärettömän pienenevä geometrinen eteneminen (mm.). Tosiasia on, että laskevan geometrisen etenemisen ehdot vähenevät uudestaan \u200b\u200bja uudestaan, mutta eivät koskaan saavuta nollaa. Tästä huolimatta löydät kaikkien tällaisen etenemisen jäsenten summan. Se määritetään kaavalla S \u003d b1 / (1-q). Jäsenten kokonaismäärä n on rajaton.

Paista kakku, jotta voit visualisoida, kuinka voit lisätä loputtoman määrän numeroita etkä saada ääretöntä. Katkaise puolet tästä. Leikkaa sitten 1/2 puolikkaasta ja niin edelleen. Kappaleet, jotka saat, eivät ole muuta kuin äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen jäseniä nimittäjällä 1/2. Jos lisäät kaikki nämä palat, saat alkuperäisen kakun.

Geometriaongelmat ovat erityinen liikunta, joka vaatii spatiaalista ajattelua. Jos et pysty ratkaisemaan geometrista tehtäväyritä noudattaa alla olevia sääntöjä.

Ohjeet

Lue ongelman selvitys erittäin huolellisesti, jos et muista tai ymmärrä jotain, lue se uudelleen.

Yritä selvittää millaisia \u200b\u200bgeometrisia ongelmia se on, esimerkiksi: laskennalliset ongelmat, kun sinun on selvitettävä jokin arvo, ongelmat, joihin tarvitaan looginen päättelyketju, rakennusongelmat kompassin ja viivaimen avulla. Lisää sekavia ongelmia. Kun olet selvittänyt ongelman tyypin, yritä ajatella loogisesti.

Käytä tätä ongelmaa varten tarvittava lause, mutta jos on epäilyksiä tai ei lainkaan vaihtoehtoja, yritä muistaa teoria, jonka välitit asiaankuuluvasta aiheesta.

Laadi ongelman ratkaisu myös luonnokseen. Yritä käyttää tunnettuja menetelmiä varmistaaksesi, että ratkaisusi on oikea.

Täytä ongelmanratkaisu siististi muistikirjassa ilman pisteitä ja viivoja, ja mikä tärkeintä - Ensimmäisten geometristen ongelmien ratkaiseminen voi viedä aikaa ja vaivaa. Heti kun hallitset tämän prosessin, alat napsauttaa tehtäviä, kuten pähkinöitä, pitää hauskaa!

Geometrinen eteneminen on numerosarja b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) siten, että b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n ) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Toisin sanoen kukin etenemisen termi saadaan edellisestä kertomalla se jollakin etenemisen q nollalla olevalla nimittäjällä.

Ohjeet

Etenemisongelmat ratkaistaan \u200b\u200buseimmiten rakentamalla ja seuraamalla järjestelmää suhteessa etenemisen b1 ensimmäiseen termiin ja etenemisen q nimittäjään. On hyödyllistä muistaa joitain kaavoja yhtälöiden kirjoittamiseksi.

Kuinka ilmaista etenemisen n: s termi etenemisen ensimmäisen aikavälin ja etenemisen nimittäjän kautta: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

Tarkastellaan erikseen tapausta | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Numerosekvenssit. Geometrinen eteneminen"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, arvosteluja, toiveita! Kaikki materiaalit on tarkastettu virustentorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa luokalle 9
Tutkinnot ja juuret Funktiot ja kaaviot

Kaverit, tänään tutustumme toisen tyyppiseen etenemiseen.
Tämän päivän oppitunnin aihe on geometrinen eteneminen.

Geometrinen eteneminen

Esimerkki. 1,2,4,8,16 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä kuin yksi, ja $ q \u003d 2 $.

Esimerkki. 8,8,8,8 ... geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kahdeksan,
ja $ q \u003d 1 $.

Esimerkki. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin kolme,
ja $ q \u003d -1 $.

Geometrisellä etenemisellä on yksitoikkoisuuden ominaisuudet.
Jos $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
sitten jakso on nouseva.
Jos $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Sekvenssi on yleensä merkitty seuraavasti: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Kuten aritmeettisessa etenemisessä, jos elementtien lukumäärä on rajallinen geometrisessa etenemisessä, niin etenemistä kutsutaan rajalliseksi geometriseksi etenemiseksi.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Huomaa, että jos sekvenssi on geometrinen eteneminen, niin jäsenten neliösekvenssi on myös geometrinen eteneminen. Toisen jakson ensimmäinen termi on $ b_ (1) ^ 2 $ ja nimittäjä on $ q ^ 2 $.

Geometrisen etenemisen n: nnen termin kaava

Palataanpa esimerkkeihimme.

Esimerkki. 1,2,4,8,16 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä kuin yksi,
ja $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Esimerkki. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kuusitoista ja $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Esimerkki. 8,8,8,8 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kahdeksan ja $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Esimerkki. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kolme ja $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Esimerkki. Sinulle annetaan geometrinen eteneminen $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Etsi $ b_ (5) $.
b) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Etsi n.
c) Tiedetään, että $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Etsi $ b_ (1) $.
d) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Etsi q.

Päätös.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $, koska $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Esimerkki. Geometrisen etenemisen seitsemännen ja viidennen eron välinen ero on 192, etenemisen viidennen ja kuudennen termin summa on 192. Etsi tämän etenemisen kymmenes termi.

Päätös.
Tiedämme, että: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ ja $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Tiedämme myös: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Sitten:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Saimme yhtälöjärjestelmän:
$ \\ begin (tapauksissa) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ end (tapauksissa) $.
Yhtälöidään, yhtälömme saavat:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Saimme kaksi ratkaisua q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Korvaa peräkkäin toiseen yhtälöön:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ ei ratkaisuja.
Saimme sen: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Etsi kymmenes termi: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Lopullisen geometrisen etenemisen summa

Annetaan äärellinen geometrinen eteneminen: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Esitellään sen jäsenten summan merkintä: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Siinä tapauksessa, että $ q \u003d 1 $. Kaikki geometrisen etenemisen jäsenet ovat yhtä suuria kuin ensimmäinen termi, niin on ilmeistä, että $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Tarkastellaan nyt tapausta $ q ≠ 1 $.
Kerro yllä oleva summa q: lla.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Huomautus:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Saimme kaavan äärellisen geometrisen etenemisen summalle.

Päätös.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Esimerkki.
Etsi geometrisen etenemisen viides termi, joka tunnetaan: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

Päätös.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
-4095 $ (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
1365q-1365 $ \u003d 1024q-1 $.
341q \u003d 1364 dollaria.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Geometrisen etenemisen ominaisuus

Numeerinen sekvenssi on geometrinen eteneminen vain, kun jokaisen sen jäsenen neliö on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen progressiojäsenen tulo. Älä unohda, että rajallisessa etenemisessä tämä ehto ei täyty ensimmäiselle ja viimeiselle jäsenelle.

Minkä tahansa geometrisen etenemisen jäsenen moduuli on yhtä suuri kuin sen vieressä olevan kahden jäsenen geometrinen keskiarvo.

Päätös.
Käytetään ominaisuusominaisuutta:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ ja $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Korvaamalla ratkaisut peräkkäin alkuperäiseen lausekkeeseen:
Kun $ x \u003d 2 $, saimme sekvenssin: 4; 6; 9 - geometrinen eteneminen, jossa $ q \u003d 1,5 $.
Luvulla $ x \u003d -1 $ saimme sekvenssin: 1; 0; 0.
Vastaus: $ x \u003d 2. $

Tehtävät itsenäiselle ratkaisulle

Geometrinen eteneminen, samoin kuin aritmeettinen, on tärkeä numerosarja, jota tutkitaan koulun algebrakurssilla 9. luokassa. Tässä artikkelissa tarkastellaan geometrisen etenemisen nimittäjää ja sitä, miten sen arvo vaikuttaa sen ominaisuuksiin.

Määritelmä geometrinen eteneminen

Annetaan ensin tämän numerosarjan määritelmä. Geometrinen eteneminen on rationaalilukujen sarja, joka muodostetaan kertomalla sen ensimmäinen elementti vakioluvulla, jota kutsutaan nimittäjäksi.

Esimerkiksi rivillä 3, 6, 12, 24, ... olevat luvut ovat geometrinen eteneminen, koska jos kerrot 3 (ensimmäinen elementti) 2: lla, saat 6. Jos kerrot 6 6: lla, saat 12 ja niin edelleen.

Tarkasteltavan sekvenssin jäsenet on yleensä merkitty tunnuksella ai, jossa i on kokonaisluku, joka osoittaa rivillä olevan elementin lukumäärän.

Yllä oleva määritelmä etenemisestä voidaan kirjoittaa matematiikan kielellä seuraavasti: an \u003d bn-1 * a1, missä b on nimittäjä. Tätä kaavaa on helppo tarkistaa: jos n \u003d 1, niin b1-1 \u003d 1, ja saamme a1 \u003d a1. Jos n \u003d 2, niin an \u003d b * a1, ja tulemme jälleen tarkasteltavan numerosarjan määritelmään. Samanlaista päättelyä voidaan jatkaa suurten n-arvojen suhteen.

Geometrisen etenemisen nimittäjä

Numero b määrittää täysin, minkä merkin koko numerosarjalla on. Nimittäjä b voi olla positiivinen, negatiivinen tai suurempi kuin yksi tai vähemmän. Kaikki nämä vaihtoehdot johtavat erilaisiin jaksoihin:

• b\u003e 1. Rationaalilukujen sarja kasvaa. Esimerkiksi 1, 2, 4, 8, ... Jos elementti a1 on negatiivinen, koko sekvenssi vain kasvaa absoluuttisena arvona, mutta pienenee lukujen merkin huomioon ottaen.
• b \u003d 1. Tällaista tapausta ei usein kutsuta progressioksi, koska on olemassa tavallinen sarja identtisiä rationaalilukuja. Esimerkiksi -4, -4, -4.

Kaavan määrä

Ennen kuin jatkat tiettyjen ongelmien tarkastelua käyttäen kyseessä olevan etenemistyypin nimittäjää, tulisi antaa tärkeä kaava sen ensimmäisen n elementin summalle. Kaava on: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Voit hankkia tämän lausekkeen itse, jos harkitset rekursiivista etenemisjäsenten sarjaa. Huomaa myös, että yllä olevassa kaavassa riittää vain ensimmäisen elementin ja nimittäjän tunteminen mielivaltaisen määrän termien summan löytämiseksi.

Rajattomasti laskeva sekvenssi

Edellä mainittiin selitys siitä, mikä se on. Kun tiedät Sn: n kaavan, käytä sitä tähän numerosarjaan. Koska mikä tahansa luku, jonka moduuli ei ylitä 1, pyrkii olemaan nolla, kun sitä nostetaan suuressa määrin, eli b∞ \u003d\u003e 0, jos -1

Koska ero (1 - b) on aina positiivinen nimittäjän arvosta riippumatta, geometrisen S2: n vähenevän äärettömän etenemisen summan merkki määräytyy ainutlaatuisesti sen ensimmäisen elementin a1 merkillä.

Tarkastelemme nyt useita tehtäviä, joissa näytetään, miten saatu tieto voidaan soveltaa tiettyihin numeroihin.

Tehtävänumero 1. Etenemisen tuntemattomien elementtien ja summan laskeminen

Sinulle annetaan geometrinen eteneminen, etenemisen nimittäjä on 2 ja sen ensimmäinen osa on 3. Mikä on sen seitsemäs ja kymmenes termi ja mikä on sen seitsemän alkuelementin summa?

Ongelman ehto koostuu melko yksinkertaisesti, ja siinä oletetaan, että yllä olevia kaavoja käytetään suoraan. Joten laskettaessa elementtiä numerolla n käytämme lauseketta an \u003d bn-1 * a1. Seitsemännelle elementille meillä on: a7 \u003d b6 * a1, korvaamalla tunnetut tiedot, saadaan: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Teemme saman kymmenennelle termille: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Käytetään summaa varten hyvin tunnettua kaavaa ja määritetään tämä arvo sarjan ensimmäisille 7 elementille. Meillä on: S7 \u003d (27-1) * 3 / (2-1) \u003d 381.

Tehtävä numero 2. Etenemisen mielivaltaisten elementtien summan määrittäminen

Olkoon -2 eksponentiaalisen etenemisen bn-1 * 4 nimittäjä, jossa n on kokonaisluku. On tarpeen määrittää määrä tämän sarjan 5. - 10. elementistä, mukaan lukien.

Esitettyä ongelmaa ei voida ratkaista suoraan tunnettujen kaavojen avulla. Se voidaan ratkaista kahdella eri menetelmällä. Esitämme täydellisyyden vuoksi molemmat.

Menetelmä 1. Sen idea on yksinkertainen: on tarpeen laskea ensimmäisten termien kaksi vastaavaa summaa ja vähentää sitten toinen toisesta. Laskemme pienemmän määrän: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Lasketaan nyt suuri summa: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Huomaa, että vain 4 termiä laskettiin yhteen viimeisessä lausekkeessa, koska viides sisältyy jo summaan, joka on laskettava ongelmalausekkeen mukaan. Ota lopuksi ero: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Menetelmä 2. Ennen kuin korvataan numerot ja lasketaan, saat kaavan kyseisen sarjan jäsenten m ja n väliselle summalle. Teemme täsmälleen samoin kuin menetelmässä 1, vain työskentelemme ensin summan symbolisen esityksen kanssa. Meillä on: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Tuloksena olevassa lausekkeessa voit korvata tunnetut luvut ja laskea lopputuloksen: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Tehtävä numero 3. Mikä on nimittäjä?

Olkoon a1 \u003d 2, etsi geometrisen etenemisen nimittäjä edellyttäen, että sen ääretön summa on 3, ja tiedetään, että tämä on laskeva sarjasarja.

Ongelman tilan perusteella on helppo arvata, mitä kaavaa tulisi käyttää sen ratkaisemiseksi. Tietysti etenemisen summa on loputtomasti vähenemässä. Meillä on: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Mistä ilmaisemme nimittäjän: b \u003d 1 - a1 / S∞. Tunnettujen arvojen korvaaminen ja tarvittavan luvun saaminen on jäljellä: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 tai -0,333 (3). Tämä tulos voidaan tarkistaa laadullisesti, jos muistetaan, että tämän tyyppiselle sekvenssille moduulin b ei tulisi ylittää 1. Kuten näette, | -1 / 3 |

Tehtävä numero 4. Numerosarjan palauttaminen

Olkoon annettu 2 numeerisen sarjan elementtiä, esimerkiksi viides on yhtä suuri kuin 30 ja kymmenes on yhtä suuri kuin 60. Koko sarja on rekonstruoitava näistä tiedoista tietäen, että se täyttää geometrisen etenemisen ominaisuudet.

Ongelman ratkaisemiseksi sinun on ensin kirjoitettava vastaava lauseke jokaiselle tunnetulle termille. Meillä on: a5 \u003d b4 * a1 ja a10 \u003d b9 * a1. Jaamme nyt toisen lausekkeen ensimmäisellä, saamme: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Täältä määritetään nimittäjä ottamalla ongelma-lauseesta tunnettujen termien suhteen viides pää, b \u003d 1.148698. Korvataan saatu luku yhteen tunnetun elementin lausekkeista, jolloin saadaan: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17,2304966.

Siten olemme löytäneet, mikä on etenemisen bn nimittäjä, ja geometrisen etenemisen bn-1 * 17,2304966 \u003d an, jossa b \u003d 1,148698.

Missä käytetään geometrisia etenemisiä?

Jos tätä numerosarjaa ei sovellettaisi käytännössä, sen tutkimus supistettaisiin puhtaasti teoreettiseksi mielenkiinnoksi. Mutta sellainen sovellus on olemassa.

Alla on 3 tunnetuinta esimerkkiä:

• Zenon paradoksi, jossa älykäs Achilles ei pysty saavuttamaan hidasta kilpikonnaa, ratkaistaan \u200b\u200bkäsitteellä äärettömän pienenevä numerosarja.
• Jos laitat vehnäjyviä shakkilaudan jokaiseen neliöön siten, että 1 vilja asetetaan ensimmäiselle neliölle, 2 - toiselle, 3 - kolmannelle ja niin edelleen, niin 18446744073709551615 jyviä tarvitaan täyttämään kaikki neliöt lauta!
• Tower of Hanoi -pelissä levyjen järjestämiseksi sauvasta toiseen on tehtävä 2n - 1 operaatiota, toisin sanoen niiden määrä kasvaa räjähdysmäisesti käytettyjen levyjen määrän kanssa.

Ensimmäinen taso

Geometrinen eteneminen. Kattava opas esimerkkeineen (2019)

Numerosarja

Joten istumme alas ja aloitamme lukujen kirjoittamisen. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme ne). Riippumatta siitä kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, mikä niistä on ensimmäinen, mikä toinen, ja niin edelleen viimeiseen eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja on joukko numeroita, joista kullekin voidaan antaa yksilöllinen numero.

Esimerkiksi järjestyksellemme:

Määritetty numero on vain yksi järjestysnumero. Toisin sanoen, sekvenssissä ei ole kolmen sekunnin numeroita. Toinen numero (kuten -numero) on aina yksi.

Numeroa, jolla on numero, kutsutaan sekvenssin th-jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sekvenssiä kirjaimeksi (esimerkiksi), ja jokainen tämän jakson jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero :.

Meidän tapauksessamme:

Yleisimmät progressiotyypit ovat aritmeettinen ja geometrinen. Tässä säikeessä puhumme toisesta lajista - geometrinen eteneminen.

Miksi tarvitsemme geometrisen etenemisen ja sen alkuperähistorian.

Jo muinaisina aikoina Pisan italialainen matemaatikko Leonardo (tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci) osallistui kaupan käytännön tarpeiden ratkaisemiseen. Munkki joutui määrittelemään, kuinka pienen painon avulla tavarat on mahdollista punnita? Fibonacci todistaa kirjoituksissaan, että tällainen painojärjestelmä on optimaalinen: Tämä on yksi ensimmäisistä tilanteista, joissa ihmisten oli kohdattava geometrinen eteneminen, josta olet todennäköisesti jo kuullut ja jolla on ainakin yleinen käsitys. Kun olet ymmärtänyt aiheen täysin, mieti, miksi tällainen järjestelmä on optimaalinen?

Tällä hetkellä elämänkäytännössä geometrinen kehitys ilmenee sijoitettaessa rahaa pankkiin, kun koron määrä veloitetaan edellisen ajanjakson tilille kertyneestä summasta. Toisin sanoen, jos laitat rahaa määräaikaistalletukseen säästöpankissa, talletus kasvaa vuodessa enemmän kuin alkuperäinen summa, ts. uusi määrä on yhtä suuri kuin talletus kerrottuna. Toisen vuoden aikana tämä määrä kasvaa eli tuolloin saatu määrä kerrotaan uudestaan \u200b\u200bja niin edelleen. Samanlainen tilanne kuvataan ns korkoa korolle - prosenttiosuus otetaan joka kerta tilillä olevasta summasta ottaen huomioon edellisen koron. Puhumme näistä tehtävistä hieman myöhemmin.

On monia muita yksinkertaisia \u200b\u200btapauksia, joissa käytetään geometrista etenemistä. Esimerkiksi influenssan leviäminen: yksi henkilö tartutti ihmisen, he puolestaan \u200b\u200btartuttivat toisen henkilön, ja siten toinen tartunta-aalto on henkilö, ja he puolestaan \u200b\u200btartuttivat toisen ... ja niin edelleen .. .

Muuten, finanssipyramidi, sama MMM, on yksinkertainen ja kuiva laskelma, joka perustuu geometrisen etenemisen ominaisuuksiin. Mielenkiintoista? Selvitetään se.

Geometrinen eteneminen.

Oletetaan, että meillä on numeerinen sekvenssi:

Voit heti vastata, että tämä on helppoa ja tällaisen sekvenssin nimi on aritmeettinen eteneminen sen jäsenten erolla. Entä tämä:

Jos vähennät edellisen numeron seuraavasta numerosta, huomaat, että joka kerta, kun saadaan uusi ero (jne.), Mutta sekvenssi on ehdottomasti olemassa ja se on helppo havaita - jokainen seuraava numero on kertaa suurempi kuin edellinen !

Tällaista numerosarjaa kutsutaan geometrinen eteneminen ja se on merkitty.

Geometrinen eteneminen () on numeerinen sekvenssi, jonka ensimmäinen termi ei ole nolla, ja jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla. Tätä numeroa kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjäksi.

Rajoitukset siitä, että ensimmäinen termi () ei ole sama eikä satunnainen. Sanotaan, että niitä ei ole, ja ensimmäinen termi on edelleen sama, ja q on yhtä suuri, hmm .. anna, sitten käy ilmi:

Hyväksy, että tämä ei ole enää mitään etenemistä.

Kuten ymmärrät, saamme samat tulokset, jos se on jokin muu luku kuin nolla, ja. Näissä tapauksissa etenemistä ei yksinkertaisesti tapahdu, koska koko numerosarja on joko kaikki nollat \u200b\u200btai yksi numero ja kaikki muut nollat.

Puhutaan nyt tarkemmin geometrisen etenemisen nimittäjästä, toisin sanoen Fr.

Toistetaan: on luku, kuinka monta kertaa jokainen seuraava termi muuttuu geometrinen eteneminen.

Mitä luulet sen olevan? Oikein, positiivinen ja negatiivinen, mutta ei nolla (puhuimme tästä hieman korkeammalle).

Sanotaan, että meillä on positiivisia. Annetaan myös meidän tapauksessamme. Mikä on toinen termi ja? Voit helposti vastata siihen:

Kaikki on oikein. Vastaavasti, jos, niin kaikilla etenemisen seuraavilla jäsenillä on sama merkki - heillä positiivinen.

Entä jos negatiivinen? Esimerkiksi a. Mikä on toinen termi ja?

Tämä on täysin erilainen tarina

Yritä laskea tämän etenemisen kesto. Kuinka paljon sait? Minulla on. Siten, jos, niin geometrisen etenemisen jäsenten merkit vuorottelevat. Toisin sanoen, jos näet jäsenissä etenemisen, jossa on vuorotellen merkkejä, niin sen nimittäjä on negatiivinen. Tämä tieto voi auttaa sinua testaamaan itseäsi ratkaistessasi aiheeseen liittyviä ongelmia.

Harjoitellaan nyt vähän: yritetään määrittää, mitkä numeeriset jaksot ovat geometrinen eteneminen ja mitkä aritmeettiset:

Ymmärsi? Verrataan vastauksiamme:

• Geometrinen eteneminen - 3, 6.
• Aritmeettinen eteneminen - 2, 4.
• Se ei ole aritmeettinen eikä geometrinen eteneminen - 1, 5, 7.

Palataan viimeiseen etenemiseen ja yritetään löytää termi samalla tavalla kuin aritmeettisessa. Kuten arvata voi, on olemassa kaksi tapaa löytää se.

Kerrotaan jokainen termi peräkkäin.

Joten kuvatun geometrisen etenemisen kolmas jäsen on sama.

Kuten saatat jo arvailla, tulet nyt itse kaavan, joka auttaa sinua löytämään minkä tahansa geometrisen etenemisen jäsenen. Vai oletko jo tuonut sen itsellesi ja kuvannut kuinka löytää kolmas jäsen vaiheittain? Jos on, tarkista perusteluidesi oikeellisuus.

Valaistaan \u200b\u200btätä esimerkillä tietyn etenemisen kolmannen jäsenen löytämisestä:

Toisin sanoen:

Löydä itsellesi tietyn geometrisen etenemisen jäsenen arvo.

Tapahtui? Verrataan vastauksiamme:

Huomaa, että saat täsmälleen saman numeron kuin edellisessä menetelmässä, kun kerrotaan peräkkäin jokaisella geometrisen etenemisen edellisellä termillä.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava - tuomme sen yleiseen muotoon ja saamme:

Johdettu kaava on oikea kaikille arvoille, sekä positiivisille että negatiivisille. Tarkista se itse laskemalla geometrisen etenemisen jäsenet seuraavilla ehdoilla: a.

Oletko laskenut? Verrataan saatuja tuloksia:

Olen samaa mieltä siitä, että etenemisen jäsen olisi mahdollista löytää samalla tavalla kuin jäsen, mutta on kuitenkin mahdollista laskea väärin. Ja jos olemme jo löytäneet geometrisen etenemisen kolmannen termin, niin mikä voisi olla helpompaa kuin käyttää kaavan "katkaistua" osaa.

Portaaton geometrinen eteneminen.

Viime aikoina puhuimme siitä, että se voi olla joko suurempi tai pienempi kuin nolla, mutta on olemassa erityisiä arvoja, joissa geometrista etenemistä kutsutaan loputtomasti laskeva.

Miksi luulet tämän nimen olevan?
Ensinnäkin kirjoitetaan ylös jokin jäsenistä koostuva geometrinen eteneminen.
Oletetaan, että a:

Näemme, että jokainen seuraava termi on yksi tekijä pienempi kuin edellinen, mutta tuleeko mitään lukua? Voit heti vastata - ei. Siksi se pienenee loputtomasti - se pienenee, vähenee eikä koskaan tule nollaksi.

Yritämme piirtää kaavio etenemisestämme ymmärtääksemme selkeästi, miten se näyttää visuaalisesti. Joten tapauksessamme kaava on seuraava muoto:

Meille on tapana rakentaa riippuvuus kaavioista, joten:

Lausekkeen ydin ei ole muuttunut: ensimmäisessä merkinnässä osoitimme geometrisen etenemisjäsenen arvon riippuvuuden sen järjestysnumerosta, ja toisessa merkinnässä otimme yksinkertaisesti geometrisen etenemistermin arvon, ja järjestysnumero ei määritetty miten, vaan miten. Ainoa jäljellä oleva tehtävä on rakentaa kaavio.
Katsotaanpa, mitä saat. Tässä on kaavio, jonka sain:

Näetkö? Toiminto pienenee, taipuu nollaan, mutta ei koskaan ylitä sitä, joten se pienenee loputtomasti. Merkitään pisteemme kaavioon ja samalla mitä koordinaatit ja tarkoittavat:

Yritä kuvata kaaviomaisesti kaavio geometrisesta etenemisestä, jos myös sen ensimmäinen termi on sama. Analysoi, mikä on ero edelliseen kaavioon?

Pystyitkö toimeen? Tässä on kaavio, jonka sain:

Nyt kun olet täysin ymmärtänyt geometrisen etenemisen teeman perusteet: tiedät mikä se on, tiedät kuinka löytää sen termi ja tiedät myös mitä loputtomasti laskeva geometrinen eteneminen on, siirrytään sen pääominaisuuteen.

Geometrisen etenemisen ominaisuus.

Muistatko aritmeettisen etenemisen jäsenten omaisuuden? Kyllä, kyllä, kuinka löytää tietyn etenemismäärän arvo, kun tietyn etenemisen jäsenillä on edelliset ja seuraavat arvot. Muistaa? Tämä:

Nyt kohtaamme täsmälleen saman kysymyksen geometrisen etenemisen jäsenille. Saman kaavan johtamiseksi aloitetaan piirtäminen ja päättely. Näet, se on erittäin helppoa, ja jos unohdat, voit tuoda sen itse.

Otetaan toinen yksinkertainen geometrinen eteneminen, jossa tunnemme ja. Kuinka löytää? Aritmeettisella etenemisellä se on helppoa ja yksinkertaista, mutta entä täällä? Itse asiassa myös geometrisessa muodossa ei ole mitään monimutkaista - sinun tarvitsee vain kirjoittaa ylös jokainen meille annettu arvo kaavan avulla.

Kysyt, mitä meidän pitäisi tehdä tämän kanssa nyt? Se on hyvin yksinkertaista. Aluksi kuvaamme nämä kaavat kuvassa ja yritämme tehdä erilaisia \u200b\u200bmanipulaatioita niiden kanssa arvon saavuttamiseksi.

Abstraktimme antamistamme numeroista, keskitymme vain niiden ilmaisemiseen kaavan avulla. Meidän on löydettävä oranssilla korostettu arvo, tietäen sen vieressä olevat jäsenet. Yritetään suorittaa heidän kanssaan erilaisia \u200b\u200btoimintoja, joiden seurauksena voimme saada.

Lisäys.
Yritetään lisätä kaksi lauseketta ja saamme:

Kuten näette, tästä lausekkeesta emme voi ilmaista millään tavalla, joten yritämme toista vaihtoehtoa - vähennyslasku.

Vähennyslasku.

Kuten näette, emme voi myöskään ilmaista tästä, joten yritämme kertoa nämä ilmaisut keskenään.

Kertolasku.

Katsokaa nyt huolellisesti, mitä meillä on, kertomalla meille annetun geometrisen etenemisen jäsenet verrattuna löydettäviin:

Arvaa mitä puhun? Oikein, jotta löydämme sen, meidän on otettava neliöjuuri halutun luvun vierekkäisistä geometrisista etenemisnumeroista kerrottuna toisiinsa:

Ole hyvä. Olet itse päättänyt geometrisen etenemisen ominaisuuden. Yritä kirjoittaa tämä kaava yleisesti. Tapahtui?

Unohditko kunnon? Mieti, miksi se on tärkeää, esimerkiksi yritä laskea se itse, jos. Mitä tässä tapauksessa tapahtuu? Aivan, täydellinen hölynpöly, koska kaava näyttää tältä:

Älä siis unohda tätä rajoitusta.

Lasketaan nyt mikä on yhtä suuri

Oikea vastaus - ! Jos et unohtanut laskennassa toista mahdollista arvoa, olet loistava kaveri ja voit siirtyä heti koulutukseen, ja jos unohdit, lue alla käsitelty ja kiinnitä huomiota siihen, miksi molemmat on tarpeen kirjoittaa muistiin juuret vastaukseen.

Piirretään molemmat geometriset progressiomme - toinen merkityksellä ja toinen merkityksellä ja tarkistetaan, onko molemmilla oikeus olemassaoloon:

Jotta voidaan tarkistaa, onko tällainen geometrinen eteneminen olemassa vai ei, on tarpeen nähdä, onko se sama kaikkien annettujen jäsenten välillä? Laske q ensimmäiselle ja toiselle tapaukselle.

Miksi meidän on kirjoitettava kaksi vastausta? Koska vaaditun termin merkki riippuu siitä, onko se positiivinen vai negatiivinen! Ja koska emme tiedä mikä hän on, meidän on kirjoitettava molemmat vastaukset plus- ja miinusmerkillä.

Nyt kun olet oppinut pääkohdat ja johtanut kaavan geometrisen etenemisen ominaisuudelle, etsi, tiedä ja

Vertaa saatuja vastauksia oikeisiin vastauksiin:

Mitä luulet, mitä jos emme saisi tarvittavan lukumäärän vieressä olevan geometrisen etenemisen jäsenten arvoja, mutta olisivat yhtä kaukana siitä. Esimerkiksi meidän on löydettävä, ja heille annetaan ja. Voimmeko tässä tapauksessa käyttää johdettua kaavaa? Yritä vahvistaa tai kieltää tämä mahdollisuus samalla tavalla kirjoittamalla, mistä kukin arvo koostuu, kuten teit kaavaa alun perin johdettaessa.
Mitä sinä teit?

Katsokaa nyt taas tarkasti.
ja vastaavasti:

Tästä voimme päätellä, että kaava toimii ei vain naapurimaiden kanssa vaadittujen geometrisen etenemisen ehtojen kanssa, mutta myös yhtä kaukana etsityiltä jäseniltä.

Näin ollen alkuperäinen kaava on muoto:

Toisin sanoen, jos ensimmäisessä tapauksessa sanoimme niin, nyt sanomme, että se voi olla sama kuin mikä tahansa luonnollinen luku, joka on pienempi. Tärkeintä on, että se on sama molemmille annetuille numeroille.

Harjoittele tiettyjen esimerkkien kanssa, ole vain erittäin varovainen!

1. ,. Löytää.
2. ,. Löytää.
3. ,. Löytää.

Päätin? Toivon, että olit erittäin varovainen ja huomasit pienen saaliin.

Verrataan tuloksia.

Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa käytämme yllä olevaa kaavaa rauhallisesti ja saamme seuraavat arvot:

Kolmannessa tapauksessa, kun tarkastelemme huolellisesti meille annettujen numeroiden järjestysnumeroita, ymmärrämme, että ne eivät ole yhtä kaukana etsittävästä luvusta: se on edellinen numero, mutta poistettu paikaltaan, joten se ei ole mahdollista soveltaa kaavaa.

Kuinka ratkaista se? Se ei todellakaan ole niin vaikeaa kuin miltä se kuulostaa! Kirjoitetaan kanssasi, mistä kukin meille annettu numero ja vaadittu numero koostuvat.

Joten meillä on ja. Katsotaanpa, mitä voit tehdä heidän kanssaan? Ehdotan jakaa. Saamme:

Korvataan tietomme kaavaan:

Seuraava vaihe, jonka voimme löytää - tätä varten meidän on otettava saadun luvun kuutiojuuri.

Ja nyt katsomme uudelleen mitä meillä on. Meillä on se, mutta meidän on löydettävä se, ja se puolestaan \u200b\u200bon yhtä suuri kuin:

Löysimme kaikki laskentaan tarvittavat tiedot. Korvataan kaavassa:

Vastauksemme: .

Yritä ratkaista toinen samanlainen ongelma itse:
Annettu :,
Löytää:

Kuinka paljon sait? Minulla on - .

Kuten näette, itse asiassa tarvitset muista vain yksi kaava -. Kaiken muun voit vetää itsesi ilman vaikeuksia milloin tahansa. Voit tehdä tämän kirjoittamalla yksinkertaisen geometrisen etenemisen paperille ja kirjoittamalla, mikä yllä olevan kaavan mukaan kukin sen numeroista on yhtä suuri.

Geometrisen etenemisen jäsenten summa.

Harkitse nyt kaavoja, joiden avulla voimme laskea nopeasti geometrisen etenemisen jäsenten summa tietyllä aikavälillä:

Johdettaessa kaava äärellisen geometrisen etenemisen jäsenten summalle kerrotaan korkeamman yhtälön kaikki osat. Saamme:

Katso huolellisesti: mitä yhteistä kahdella viimeisellä kaavalla on? Aivan oikein, esimerkiksi tavalliset jäsenet ja niin edelleen, paitsi ensimmäinen ja viimeinen jäsen. Yritetään vähentää ensimmäinen yhtälöstä. Mitä sinä teit?

Ilmaise nyt geometrisen etenemisen termi kaavan läpi ja korvaa tuloksena oleva lauseke viimeisessä kaavassa:

Ryhmittele lauseke. Sinun pitäisi saada:

Ainoa mitä on jäljellä on ilmaista:

Näin ollen tässä tapauksessa.

Mitä jos? Mikä kaava toimii sitten? Kuvittele geometrinen eteneminen kohdassa. Millainen hän on? Oikein sama numeroiden sarja, vastaavasti, kaava näyttää tältä:

Sekä aritmeettisessa että geometrisessa etenemisessä on monia legendoja. Yksi heistä on shakin luojan Sethin legenda.

Monet ihmiset tietävät, että shakkipeli keksittiin Intiassa. Kun hindukuningas tapasi hänet, hän oli iloinen hänen nokkeluudestaan \u200b\u200bja monista mahdollisista asemista hänessä. Kuningas sai tietää, että sen oli keksinyt yksi hänen alaisistaan, kuningas päätti palkita hänet henkilökohtaisesti. Hän kutsui keksijän luonaan ja käski hänen pyytää häntä kaikesta mitä hän halusi, lupaamalla täyttää jopa taitavimman halun.

Seta pyysi aikaa miettiä, ja kun seuraavana päivänä Seta ilmestyi kuninkaalle, hän yllätti kuninkaan vertaansa vailla olevalla vaatimattomuudellaan. Hän pyysi antamaan vehnäjyvää shakkilaudan ensimmäiselle solulle, vehnäjyviä toiselle, kolmannelle, neljännelle jne.

Kuningas vihastui ja ajoi Sethin pois sanoen, että palvelijan pyyntö oli kelvoton kuninkaallisen anteliaisuuden suhteen, mutta lupasi palvelijan saavan viljansa taulun kaikista soluista.

Ja nyt kysymys: Laske geometrisen etenemisen jäsenten summan kaavan avulla kuinka monta jyvää Setan tulisi saada?

Aloitetaan järkeily. Koska ehdon mukaan Seta pyysi vehnäjyvää shakkilaudan ensimmäiselle neliölle, toiselle, kolmannelle, neljännelle jne., Näemme, että ongelma liittyy geometriseen etenemiseen. Mikä on tasa-arvoinen tässä tapauksessa?
Oikein.

Shakkilaudan solut yhteensä. Asianmukaisesti,. Meillä on kaikki tiedot, on vain korvata ne kaavalla ja laskea.

Edustamaan ainakin suunnilleen tietyn luvun "asteikot" muunnetaan käyttämällä asteen ominaisuuksia:

Tietenkin, jos haluat, voit ottaa laskimen ja laskea millaiseen numeroon päädyt, ja jos ei, joudut ottamaan sanani: lausekkeen lopullinen arvo on.
Eli:

tuhat miljardia biljoonaa biljoonaa miljardia miljoonaa tuhatta.

Fuh) Jos haluat kuvitella tämän luvun valtavuuden, arvioi, kuinka suuri lato tarvitsisi sisältää koko viljan määrän.
Jos navetan korkeus m ja leveys m, sen pituuden tulisi ulottua km, ts. kaksi kertaa kauempana kuin maasta aurinkoon.

Jos tsaari olisi vahva matematiikassa, hän voisi ehdottaa, että tutkija itse laskee jyvät, koska miljoonan jyvän laskemiseksi hän tarvitsee vähintään päivän väsymättömän laskennan, ja kun otetaan huomioon, että kvintiljoonia on tarpeen laskea, jyvät on laskettava koko hänen elämänsä.

Ratkaistaan \u200b\u200bnyt yksinkertainen ongelma geometrisen etenemisen jäsenten summalla.
Luokan 5 A oppilas Vasya on flunssa, mutta hän jatkaa koulunkäyntiä. Joka päivä Vasya tartuttaa kaksi ihmistä, jotka puolestaan \u200b\u200btartuttavat vielä kaksi ihmistä jne. Luokassa on ihmisiä. Kuinka monta päivää koko luokka sairastuu flunssaan?

Joten, geometrisen etenemisen ensimmäinen jäsen on Vasya, eli henkilö. geometrisen etenemisen kolmas jäsen, nämä ovat kaksi ihmistä, joihin hän tartunnan sai saapumisensa ensimmäisenä päivänä. Edistyksen jäsenten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin opiskelijoiden lukumäärä 5A. Vastaavasti puhumme etenemisestä, jossa:

Korvataan tietomme kaavaan geometrisen etenemisen jäsenten summa:

Koko luokka sairastuu päivissä. Etkö usko kaavoihin ja numeroihin? Yritä kuvata opiskelijoiden "tartunta" itse. Tapahtui? Katso, miltä se näyttää minulta:

Laske itse, kuinka monta päivää oppilailla kestää flunssa, jos jokainen tartuttaa henkilön ja luokassa on henkilö.

Mitä arvoa sait? Kävi ilmi, että kaikki alkoivat sairastua päivän jälkeen.

Kuten näette, tällainen tehtävä ja siihen piirtäminen muistuttavat pyramidia, jossa jokainen seuraava "tuo" uusia ihmisiä. Ennemmin tai myöhemmin tulee kuitenkin hetki, jolloin jälkimmäinen ei voi houkutella ketään. Meidän tapauksessamme, jos luulemme luokan olevan eristetty, henkilö sulkee ketjun (). Jos henkilö olisi siis mukana finanssipyramidissa, jossa rahaa annettaisiin siinä tapauksessa, että tuot kaksi muuta osallistujaa, henkilö (tai yleisesti) ei tuo ketään, he menettävät kaiken mitä he sijoittanut tähän taloudelliseen huijaukseen.

Kaikki edellä sanottu viittaa pienenevään tai kasvavaan geometriseen etenemiseen, mutta kuten muistat, meillä on erityinen laji - äärettömän pienenevä geometrinen eteneminen. Kuinka lasketaan sen jäsenten summa? Ja miksi tämän tyyppisellä etenemisellä on tiettyjä piirteitä? Selvitetään se yhdessä.

Joten aluksi tarkastellaan uudelleen tätä äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen kuvaa esimerkissämme:

Katsotaan nyt hieman aikaisemmin johdetun geometrisen etenemisen summan kaavaa:
tai

Mihin pyrimme? Aivan oikein, kaavio osoittaa, että se pyrkii nollaamaan. Eli kun se on melkein sama, vastaavasti, kun laskemme lauseketta, saamme melkein. Tältä osin uskomme, että kun lasketaan äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen summa, tämä sulku voidaan jättää huomiotta, koska se on yhtä suuri.

- kaava on äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen ehtojen summa.

TÄRKEÄ! Käytämme kaavaa äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen ehtojen summalle vain, jos ehdossa nimenomaisesti todetaan, että meidän on löydettävä summa loputon jäsenten lukumäärä.

Jos ilmoitetaan tietty luku n, käytämme kaavaa n termien summalle, vaikka tai.

Harjoitellaan nyt.

1. Etsi geometrisen etenemisen ensimmäisten termien summa painikkeella ja.
2. Etsi äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen ehtojen summa painikkeella ja.

Toivon, että olit erittäin varovainen. Verrataan vastauksiamme:

Nyt tiedät kaiken geometrisesta etenemisestä, ja on aika siirtyä teoriasta käytäntöön. Yleisimmät tentissä havaitut geometriset etenemisongelmat ovat yhdistettyjä korko-ongelmia. Juuri heistä puhumme.

Yhdistetyn koron laskentatehtävät.

Olet luultavasti kuullut ns. Yhdistetyn koron kaavasta. Ymmärrätkö mitä hän tarkoittaa? Jos ei, selvitämme sen, koska kun olet ymmärtänyt itse prosessin, ymmärrät heti, ja tässä on geometrinen eteneminen.

Me kaikki käymme pankissa ja tiedämme, että talletuksilla on erilaiset ehdot: tämä on termi ja lisäpalvelu sekä korot kahdella eri tavalla - yksinkertainen ja monimutkainen.

Alkaen yksinkertainen kiinnostus kaikki on enemmän tai vähemmän selvää: korko peritään kerran talletuskauden lopussa. Toisin sanoen, jos sanomme, että laitamme 100 ruplaa vuodeksi, ne hyvitetään vasta vuoden lopussa. Vastaavasti talletuksen loppuun mennessä saamme ruplaa.

Korkoa korolle - tämä on vaihtoehto, jossa koron pääomituseli niiden lisääminen talletuksen määrään ja myöhempi tulojen laskeminen ei alkuperäisestä, vaan kertyneestä talletuksen määrästä. Isot kirjaimet eivät tapahdu jatkuvasti, mutta tietyllä taajuudella. Nämä ajanjaksot ovat tyypillisesti samat ja pankit käyttävät useimmiten kuukautta, vuosineljännestä tai vuotta.

Sanotaan, että laskemme kaikki samat ruplaa vuosikorolla, mutta kuukausittain aktivoimme talletuksen. Mitä saamme?

Ymmärrätkö kaiken täällä? Jos ei, selvitämme sen vaiheittain.

Toimme ruplaa pankkiin. Kuukauden loppuun mennessä tilillämme pitäisi olla summa, joka koostuu ruplaistamme ja koroista, toisin sanoen:

Olen samaa mieltä?

Voimme laittaa sen kannattimen ulkopuolelle ja sitten saamme:

Hyväksy, tämä kaava on jo samanlainen kuin kirjoitimme alussa. On vielä käsiteltävä kiinnostusta

Ongelmailmoituksessa meille kerrotaan vuosittaisesta. Kuten tiedätte, emme kerro luvulla - muunnamme prosentit desimaaleiksi, eli:

Eikö? Nyt kysyt, mistä numero tuli? Erittäin yksinkertainen!
Toistan: ongelma-lauseessa sanotaan noin VUOSI kertynyt korko KUUKAUSITTAIN... Kuten tiedätte, pankki veloittaa meiltä kuukauden kuukaudessa osan vuosikorosta kuukaudessa:

Tajusi? Yritä nyt kirjoittaa, miltä kaavan tämä osa näyttää, jos sanon, että korko lasketaan päivittäin.
Pystyitkö toimeen? Verrataan tuloksia:

Hyvin tehty! Palataan tehtäväämme: kirjoita, kuinka paljon hyvitetään tilillemme toisen kuukauden ajan, ottaen huomioon, että talletuksen kertyneestä summasta veloitetaan korko.
Tässä on mitä sain:

Tai toisin sanoen:

Luulen, että olet jo huomannut kuvion ja nähnyt geometrisen etenemisen kaikessa tässä эtymissä. Kirjoita muistiin, mikä on sen jäsenen arvo, tai toisin sanoen, kuinka paljon rahaa saamme kuukauden lopussa.
Tehty? Tarkistetaan!

Kuten näette, jos laitat rahaa pankkiin vuodeksi yksinkertaisella korolla, saat ruplaa ja jos monimutkaisesti - ruplaa. Etu on pieni, mutta tämä tapahtuu vasta kolmannen vuoden aikana, mutta pidemmäksi ajaksi pääomitus on paljon kannattavampaa:

Tarkastellaan toisen tyyppisiä ongelmia korollisilla koroilla. Sen jälkeen, kun tajusit, se on sinulle perustavaa laatua. Joten tehtävä:

Zvezda-yritys aloitti investoinnit teollisuuteen vuonna 2000 pääomalla dollareina. Joka vuosi vuodesta 2001 hän ansaitsee voittoa, joka on edellisen vuoden pääomasta. Kuinka paljon voittoa Zvezda-yritys saa vuoden 2003 lopussa, jos voittoa ei ole vedetty liikkeestä?

Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2000.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2001.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2002.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2003.

Tai voimme kirjoittaa lyhyesti:

Meidän tapauksemme:

2000, 2001, 2002 ja 2003.

Vastaavasti:
ruplaa
Huomaa, että tässä tehtävässä meillä ei ole jakoa eikä -, koska prosenttiosuus annetaan VUOSI ja se lasketaan VUOSI. Toisin sanoen, lukiessasi yhdistetyn koron ongelmaa, kiinnitä huomiota siihen, mikä prosenttiosuus annetaan ja millä ajanjaksolla se veloitetaan, ja jatka vasta sitten laskelmiin.
Nyt tiedät kaiken geometrisesta etenemisestä.

Treenata.

1. Etsi eksponentiaalinen termi, jos se tiedetään, ja
2. Etsi geometrisen etenemisen ensimmäisten ehtojen summa, jos se tiedetään, ja
3. MDM Capital aloitti investoinnit teollisuuteen vuonna 2003, ja sen pääoma oli dollareissa. Joka vuosi vuodesta 2004 hän ansaitsee voittoa, joka on edellisen vuoden pääomasta. Yritys "MSK Cash Flows" alkoi investoida teollisuuteen vuonna 2005 10 000 dollaria ja alkoi ansaita voittoa vuonna 2006. Kuinka monta dollaria on yrityksen pääoma enemmän kuin toisen vuoden 2007 lopussa, jos voittoa ei ole vedetty liikkeestä?

Vastaukset:

1. Koska ongelmalausekkeessa ei sanota, että eteneminen on rajaton, ja sen on löydettävä tietyn määrän jäseniä, laskenta suoritetaan kaavan mukaan:
2. 
   MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - kasvaa 100%, eli 2 kertaa.
   Vastaavasti:
   ruplaa
   MSK: n kassavirrat:

   2005, 2006, 2007.
   - kasvaa eli kertaa.
   Vastaavasti:
   ruplaa
   ruplaa

Tehdään yhteenveto.

1) Geometrinen eteneminen () on numeerinen sekvenssi, jonka ensimmäinen termi on nolla, ja jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla. Tätä numeroa kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjäksi.

2) Geometrisen etenemisen jäsenten yhtälö.

3) voi ottaa mitä tahansa arvoja paitsi ja.

• jos, niin kaikilla etenemisen seuraavilla jäsenillä on sama merkki - he positiivinen;
• jos, niin kaikki seuraavat etenemisen jäsenet vaihtoehtoiset merkit;
• at - etenemistä kutsutaan loputtomasti väheneväksi.

4), sillä on geometrisen etenemisen ominaisuus (vierekkäiset termit)

tai
, (yhtä kaukana)

Kun unohdat, älä unohda sitä vastauksia pitäisi olla kaksi.

Esimerkiksi,

5) Geometrisen etenemisen jäsenten summa lasketaan kaavalla:
tai

Jos eteneminen vähenee loputtomasti, niin:
tai

TÄRKEÄ! Käytämme kaavaa äärettömän pienenevän geometrisen etenemisen ehtojen summalle vain, jos ehdossa todetaan nimenomaisesti, että on löydettävä loputon määrä termejä.

6) Yhdistettyjen korkojen ongelmat lasketaan myös geometrisen etenemisen kolmannen aikavälin kaavan mukaan, edellyttäen, että varoja ei ole otettu pois liikkeestä:

GEOMETRINEN EDISTYMINEN. LYHYESTI PÄÄTYÖSTÄ

Geometrinen eteneminen () on numeerinen sekvenssi, jonka ensimmäinen termi ei ole nolla, ja jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla. Tätä numeroa kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjä.

Geometrinen nimittäjä voi ottaa minkä tahansa arvon paitsi ja.

• Jos, niin kaikilla etenemisen seuraavilla jäsenillä on sama merkki - he ovat positiivisia;
• jos, niin kaikki seuraavat etenemisen jäsenet vaihtelevat merkkejä;
• at - etenemistä kutsutaan loputtomasti väheneväksi.

Geometrisen etenemisen jäsenten yhtälö - .

Geometrisen etenemisen jäsenten summa lasketaan kaavalla:
tai

\u003e\u003e Matematiikka: Geometrinen eteneminen

Lukijan mukavuuden vuoksi tämä osa noudattaa täsmälleen samaa suunnitelmaa kuin edellisessä osassa.

1. Peruskäsitteet.

Määritelmä. Numeerista etenemistä kutsutaan numeeriseksi sekvenssiksi, jonka kaikki jäsenet eroavat 0: sta ja jokaista termiä, joka alkaa toisesta alkaen, edellisestä termistä kertomalla se samalla luvulla. Tällöin lukua 5 kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjäksi.

Siten geometrinen eteneminen on numeerinen sekvenssi (b n), jonka relaatiot määrittelevät rekursiivisesti

Onko numerosarjaa tarkastelemalla mahdollista määrittää, onko kyseessä geometrinen eteneminen? Voi. Jos olet vakuuttunut siitä, että sekvenssin minkä tahansa jäsenen suhde edelliseen jäseneen on vakio, sinulla on geometrinen eteneminen.
Esimerkki 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Esimerkki 2.

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa
Esimerkki 3.

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa
Esimerkki 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Tämä on geometrinen eteneminen, kun b 1 - 8, q \u003d 1.

Huomaa, että tämä sekvenssi on myös aritmeettinen eteneminen (katso esimerkki 3 § 15).

Esimerkki 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa b1 \u003d 2, q \u003d -1.

Geometrinen eteneminen on tietysti kasvava sekvenssi, jos b 1\u003e 0, q\u003e 1 (katso esimerkki 1), ja pienenee, jos b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Seuraava merkintä on joskus kätevä osoittamaan, että sekvenssi (b n) on geometrinen eteneminen:

Kuvake korvaa lauseen "geometrinen eteneminen".
Otetaan huomioon yksi utelias ja samalla melko ilmeinen geometrisen etenemisen ominaisuus:
Jos jakso on geometrinen eteneminen, sitten neliösekvenssi, ts. on geometrinen eteneminen.
Toisessa geometrisessa etenemisessä ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin a on yhtä suuri kuin q 2.
Jos hylätään eksponentiaalisesti kaikki b n: n seuraavat termit, saadaan äärellinen geometrinen eteneminen
Tämän osan seuraavissa kappaleissa tarkastelemme geometrisen etenemisen tärkeimpiä ominaisuuksia.

2. Geometrisen etenemisen n: nnen termin kaava.

Tarkastellaan geometrista etenemistä nimittäjä q. Meillä on:

On helppo arvata, että minkä tahansa luvun n kohdalla tasa-arvo

Tämä on kaava geometrisen etenemisen n: nnelle aikavälille.

Kommentti.

Jos olet lukenut tärkeän huomautuksen edellisestä kappaleesta ja ymmärtänyt sen, yritä todistaa kaava (1) matemaattisen induktiomenetelmällä, aivan kuten se tehtiin aritmeettisen etenemisen n: nnen kaavan kaavalle.

Kirjoita uudestaan \u200b\u200bkaava geometrisen etenemisen n: nnelle termille

ja esittele notaatio: Saamme y \u003d mq 2, tai, tarkemmin,
Argumentti x sisältyy eksponenttiin, joten tätä kutsutaan eksponenttifunktioksi. Siksi geometrista etenemistä voidaan pitää eksponentiaalisena funktiona, joka on määritelty luonnollisten numeroiden joukossa N. Kuvassa 96a esittää kaavion toiminnosta Kuva. 966 - funktiokaavio Molemmissa tapauksissa meillä on eristettyjä pisteitä (abscissoilla x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3 jne.), Jotka sijaitsevat tietyllä käyrällä (molemmat luvut osoittavat saman käyrän, joka sijaitsee vain eri tavalla ja kuvattu eri mittakaavoissa). Tätä käyrää kutsutaan eksponentiaaliseksi. Lisätietoja eksponentiaalifunktiosta ja sen kaaviosta käsitellään 11. luokan algebrakurssilla.

Palataan edellisen kappaleen esimerkkeihin 1-5.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Tämä on geometrinen eteneminen, jossa b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Laaditaan kaava n: lle termille
2) Tämä on geometrinen eteneminen, jossa muodostetaan kaava n: lle termille

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa Laaditaan kaava n: lle termille
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Tämä on geometrinen eteneminen, jossa b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Laaditaan kaava n: lle termille
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Tämä on geometrinen eteneminen, jossa b \u003d 2, q \u003d -1. Laaditaan kaava n: lle termille

Esimerkki 6.

Annetaan geometrinen eteneminen

Kaikissa tapauksissa ratkaisu perustuu geometrisen etenemisen n: nnen termin kaavaan

a) Laittamalla kaavaan geometrisen etenemisen n: nnen termin n \u003d 6, saamme

b) Meillä on

Koska 512 \u003d 2 9, saadaan n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Meillä on

Esimerkki 7.

Ero geometrisen etenemisen seitsemännen ja viidennen termin välillä on 48, etenemisen viidennen ja kuudennen termin summa on myös 48. Etsi tämän etenemisen kahdestoista termi.

Ensimmäinen askel. Matemaattisen mallin laatiminen.

Ongelmaolosuhteet voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti:

Käyttämällä geometrisen etenemisen n: nnen kaavan kaavaa saadaan:
Sitten tehtävän toinen ehto (b 7 - b 5 \u003d 48) voidaan kirjoittaa muotoon

Tehtävän kolmas ehto (b 5 + b 6 \u003d 48) voidaan kirjoittaa muodossa

Tuloksena saadaan kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi muuttujaa b 1 ja q:

joka yhdistettynä yllä olevaan ehtoon 1) on ongelman matemaattinen malli.

Toinen vaihe.

Työskentely käännetyn mallin kanssa. Yhtälöimällä järjestelmän molempien yhtälöiden vasen puoli saadaan:

(jaoimme yhtälön molemmat puolet nollan ilmaisuun b 1 q 4).

Yhtälöstä q 2 - q - 2 \u003d 0 löydetään q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Korvaamalla arvo q \u003d 2 järjestelmän toiseen yhtälöön saadaan
Korvaamalla arvo q \u003d -1 järjestelmän toisessa yhtälössä saadaan b 1 1 0 \u003d 48; tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Joten, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - tämä pari on ratkaisu muodostetusta yhtälöjärjestelmästä.

Nyt voimme kirjoittaa ylös tehtävässä tarkoitetun geometrisen etenemisen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Kolmas vaihe.

Vastaus ongelmakysymykseen. Se on laskettava b 12. Meillä on

Vastaus: b 12 \u003d 2048.

3. Kaava äärellisen geometrisen etenemisen jäsenten summalle.

Annetaan äärellinen geometrinen eteneminen

Olkoon S n sen ehtojen summa, ts.

Johdetaan kaava tämän määrän löytämiseksi.

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta, kun q \u003d 1. Tällöin geometrinen eteneminen b 1, b 2, b 3, ..., bn koostuu n luvusta, jotka ovat yhtä suuret kuin b 1, ts. etenemisen muoto on b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Näiden numeroiden summa on nb 1.

Olkoon q \u003d 1 S: n löytämiseksi käytämme keinotekoista menetelmää: suorita joitain lausekkeen S n q muunnoksia. Meillä on:

Suoritettaessa muunnoksia käytimme ensinnäkin geometrisen etenemisen määritelmää, jonka mukaan (katso kolmas päättelyrivi); toiseksi he lisäsivät ja vähensivät, miksi lausekkeen merkitys ei tietenkään muuttunut (katso perustelun neljäs rivi); kolmanneksi käytimme kaavaa geometrisen etenemisen n: nnelle termille:

Kaavasta (1) löydämme:

Tämä on kaava geometrisen etenemisen n termin summalle (jos q \u003d 1).

Esimerkki 8.

Annetaan äärellinen geometrinen eteneminen

a) etenemisen jäsenten summa; b) jäsentensä neliöiden summa.

b) Edellä (ks. s. 132) olemme jo todenneet, että jos kaikki geometrisen etenemisen ehdot on neliö, niin saamme geometrisen etenemisen ensimmäisellä termillä b 2 ja nimittäjällä q 2. Sitten lasketaan uuden etenemisen kuuden jäsenen summa

Esimerkki 9.

Etsi geometrisen etenemisen kahdeksas termi

Itse asiassa olemme todistaneet seuraavan lauseen.

Numeerinen sekvenssi on geometrinen eteneminen vain ja vain, jos jokaisen sen jäsenen neliö, lukuun ottamatta ensimmäistä lausea (ja viimeistä, jos kyseessä on rajallinen sekvenssi), on yhtä suuri kuin edeltävien ja seuraavien termien tulo ( geometrisen etenemisen ominaisuus).