Miinus- ja miinusmerkki. Miinus toimet

"Viholliseni vihollinen on ystäväni."

Miinus ja plus ovat merkkejä negatiivisista ja positiivisista luvuista matematiikassa. He ovat vuorovaikutuksessa itsensä kanssa eri tavoin, joten kun teet mitään toimintoja numeroilla, esimerkiksi jakoa, kertolaskua, vähennystä, yhteenlaskua jne., Sinun on otettava huomioon merkkien säännöt... Ilman näitä sääntöjä et koskaan pysty ratkaisemaan edes yksinkertaisinta algebrallista tai geometrista ongelmaa. Et tiedä näitä sääntöjä, et voi opiskella matematiikan lisäksi myös fysiikkaa, kemiaa, biologiaa ja jopa maantiedettä.

Katsotaanpa tarkemmin merkkien perussääntöjä.

Divisioona.

Jos jaamme "plus" luvulla "miinus", niin saamme aina "miinus". Jos jaamme "miinus" plus: lla, niin saamme aina myös "miinus". Jos jaamme plus plusilla, saamme plus. Jos jaamme "miinus" miinuksella, saamme kummallakin tavalla myös "plus".

Kertolasku.

Jos kerrotaan "miinus" luvulla "plus", niin saamme aina "miinus". Jos kerrotaan "plus" luvulla "miinus", niin saamme aina myös "miinuksen". Jos kerrotaan "plus" luvulla "plus", niin saadaan positiivinen luku eli "plus". Sama koskee kahta negatiivista lukua. Jos kerrotaan miinus miinuksella, saadaan plus.

Vähentäminen ja summaaminen.

Ne perustuvat jo muihin periaatteisiin. Jos negatiivinen luku on suurempi absoluuttisessa arvossa kuin positiivinen, tulos on tietysti negatiivinen. Mietit varmasti, mikä moduuli on ja miksi se on täällä ollenkaan. Kaikki on hyvin yksinkertaista. Moduuli on luvun arvo, mutta allekirjoittamaton. Esimerkiksi -7 ja 3. Modulo -7 on vain 7 ja 3 pysyy 3. Tämän seurauksena näemme, että 7 on suurempi, eli käy ilmi, että negatiivinen lukumme on suurempi. Joten se tulee ulos -7 + 3 \u003d -4. Se voidaan tehdä entistä helpommaksi. Laita vain positiivinen luku ensin, ja se tulee 3-7 \u003d -4, ehkä se on ymmärrettävämpää jollekin. Vähennyslasku toimii täysin samalla periaatteella.

Kaksi negatiivista on myönteinen- tämä on sääntö, jonka opimme koulussa ja jota olemme soveltaneet koko elämämme. Ja kuka meistä ihmetteli miksi? Tietenkin on helpompaa muistaa tämä lausunto ilman tarpeettomia kysymyksiä eikä syventyä syvällisesti asian ytimeen. Nyt on jo tarpeeksi tietoa, joka täytyy "pilkkoa". Mutta niille, jotka ovat edelleen kiinnostuneita tästä kysymyksestä, yritämme antaa selityksen tästä matemaattisesta ilmiöstä.

Muinaisista ajoista lähtien ihmiset ovat käyttäneet positiivisia luonnollisia lukuja: 1, 2, 3, 4, 5, ... Numeroita käytettiin karjan, satojen, vihollisten jne. Laskemiseen. Kun lisätään ja kerrotaan kaksi positiivista lukua, he saivat aina positiivisen luvun, jakamalla joitain arvoja muilla, he eivät aina saaneet luonnollisia lukuja - näin murto-luvut ilmestyivät. Entä vähennyslasku? Lapsuudesta lähtien tiedämme, että on parempi lisätä vähemmän suurempaan ja vähentää pienempi suuremmasta, kun taas emme käytä negatiivisia lukuja. On käynyt ilmi, että jos minulla on 10 omenaa, voin antaa vain alle 10 tai 10 henkilölle. En voi antaa 13 omenaa, koska minulla ei ole niitä. Negatiivisia lukuja ei ole tarvittu pitkään aikaan.

Ainoastaan \u200b\u200b7. vuosisadalta jKr. negatiivisia lukuja käytettiin joissakin laskentajärjestelmissä apuarvoina, joiden avulla saat vastauksen positiivisen luvun.

Harkitse esimerkkiä, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Vastauksen löytämiseksi on jätettävä tuntemattomien termit vasemmalle puolelle ja loput oikealle: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Ratkaistessamme tätä yhtälöä, negatiivisia lukuja ei löytynyt. Voisimme siirtää tuntemattomien termit oikealle puolelle ja ilman tuntemattomia vasemmalle: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Jakamalla negatiivinen luku negatiivisella saadaan positiivinen vastaus: x \u003d 7.

Mitä näemme?

Toimintojen, joilla on negatiivinen luku, pitäisi johtaa meidät samaan vastaukseen kuin toimet, joissa on vain positiivisia lukuja. Emme voi enää ajatella toimintojen käytännöllisestä hyödyttömyydestä ja merkityksellisyydestä - ne auttavat meitä ratkaisemaan ongelman paljon nopeammin vähentämättä yhtälöä muotoon, jossa on vain positiivisia lukuja. Esimerkissämme emme käyttäneet monimutkaisia \u200b\u200blaskelmia, mutta lukuisilla termeillä negatiivisilla numeroilla tehdyt laskelmat voivat tehdä työstämme helpompaa.

Ajan myötä pitkäaikaisten kokeiden ja laskelmien jälkeen voitiin tunnistaa säännöt, jotka noudattavat kaikkia niitä koskevia lukuja ja toimintoja (matematiikassa niitä kutsutaan aksioomiksi). Täällä aksioma, jonka mukaan kun kaksi negatiivista lukua kerrotaan, saamme positiivisen.

www.site, kun aineisto kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Kun kuuntelet matematiikan opettajaa, useimmat opiskelijat pitävät materiaalia aksioomana. Samanaikaisesti harvat ihmiset yrittävät päästä sen pohjalle ja selvittää, miksi "miinus" plus: lla antaa "miinus" -merkin, ja kun kaksi negatiivista lukua kerrotaan, tulee positiivinen.

Matematiikan lait

Useimmat aikuiset eivät pysty selittämään itselleen tai lapselleen miksi näin tapahtuu. He oppivat tämän aineiston tiukasti koulussa, mutta eivät edes yrittäneet selvittää, mistä tällaiset säännöt tulivat. Mutta turhaan. Usein nykyaikaiset lapset eivät ole niin luottavaisia, heidän on päästävä asiaan ja ymmärrettävä, miksi "plus" tarkoittaa "miinus" antaa "miinus". Ja joskus pojat esittävät erityisesti hankalia kysymyksiä voidakseen nauttia hetkestä, jolloin aikuiset eivät voi antaa ymmärrettävää vastausta. Ja se on melko katastrofi, jos nuori opettaja joutuu vaikeuksiin ...

Muuten on huomattava, että yllä oleva sääntö pätee sekä kertolaskuun että jakoon. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain miinuksen. Jos puhumme kahdesta numerosta, joissa on "-" -merkki, tulos on positiivinen luku. Sama koskee jakamista. Jos jokin luvuista on negatiivinen, osamäärä on myös "-" -merkillä.

Tämän matematiikan lain oikeellisuuden selittämiseksi on välttämätöntä muotoilla renkaan aksiomit. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matematiikassa rengasta kutsutaan yleensä joukoksi, johon osallistuu kaksi operaatiota, joissa on kaksi elementtiä. Mutta on parempi käsitellä tätä esimerkillä.

Rengasaksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

• Ensimmäinen niistä on hänen mukaansa siirrettävä, C + V \u003d V + C.
• Toista kutsutaan yhdistelmäksi (V + C) + D \u003d V + (C + D).

Kertolasku (V x C) x D \u003d V x (C x D) on myös niiden alainen.

Kukaan ei ole peruuttanut sääntöjä, joilla suluet avautuvat (V + C) x D \u003d V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) \u003d C x V + C x D.

Lisäksi todettiin, että renkaaseen voidaan viedä erityinen, lisäysneutraali alkuaine, jota käytettäessä seuraava on totta: C + 0 \u003d C. Lisäksi jokaiselle C: lle on päinvastainen elementti, joka voidaan merkitä (-C). Tässä tapauksessa C + (-C) \u003d 0.

Negatiivisten lukujen aksiomien johtaminen

Hyväksyttyään edellä mainitut lausunnot voidaan vastata kysymykseen: "Mikä on" plus "-merkki" miinus "-merkille? Kun tiedetään aksioma negatiivisten lukujen kertomisesta, on tarpeen vahvistaa, että todellakin (-C) x V \u003d - (C x V). Ja myös, että seuraava tasa-arvo on totta: (- (- C)) \u003d C.

Tätä varten sinun on ensin osoitettava, että jokaisella elementillä on vain yksi vastakkainen "veli". Harkitse seuraavaa esimerkkiä todisteista. Yritetään kuvitella, että C: lle kaksi lukua ovat vastakkaiset - V ja D. Tästä seuraa, että C + V \u003d 0 ja C + D \u003d 0, toisin sanoen C + V \u003d 0 \u003d C + D. Muistamalla siirtolakeja ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V: n arvo. On loogista, että V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D, koska C +: n arvo D, kuten edellä on hyväksytty, on 0. Siksi V \u003d V + C + D.

D: n arvo näytetään samalla tavalla: D \u003d V + C + D \u003d (V + C) + D \u003d 0 + D \u003d D. Tämän perusteella käy selväksi, että V \u003d D.

Jotta ymmärrettäisiin, miksi "plus" tarkoittaa "miinus" kuitenkin "miinus", on ymmärrettävä seuraava. Joten alkuaineelle (-C) C ja (- (- C)) ovat vastakkaisia, toisin sanoen ne ovat yhtä suuria keskenään.

Sitten on ilmeistä, että 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Tämä tarkoittaa, että C x V on päinvastainen kuin (-) C x V, joten (- C) x V \u003d - (C x V).

Täydellisen matemaattisen tarkkuuden saavuttamiseksi on myös tarpeen vahvistaa, että 0 x V \u003d 0 mille tahansa elementille. Jos noudatat logiikkaa, niin 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Tämä tarkoittaa, että tuotteen 0 x V lisääminen ei muuta millään tavalla asetettua määrää. Loppujen lopuksi tämä tuote on nolla.

Tietäen kaikki nämä aksioomat, voit päätellä paitsi kuinka monta "plus" -merkki "miinus" antaa myös sen, mikä saadaan kertomalla negatiiviset luvut.

Kahden numeron kertominen ja jakaminen "-" -merkillä

Jos et syvene matemaattisiin vivahteisiin, voit yrittää yksinkertaisemmalla tavalla selittää toimintasäännöt negatiivisilla numeroilla.

Oletetaan, että C - (-V) \u003d D, tämän perusteella C \u003d D + (-V), toisin sanoen C \u003d D - V. Siirrämme V ja saamme, että C + V \u003d D. Eli C + V \u003d C - (-V). Tämä esimerkki selittää, miksi lausekkeessa, jossa on kaksi "miinusta" peräkkäin, mainitut merkit tulisi vaihtaa "plus" -merkkeihin. Nyt käsitellään kertolasku.

(-C) x (-V) \u003d D, voit lisätä ja vähentää kaksi identtistä tuotetta lausekkeeseen, joka ei muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Palauttamalla suluilla työskentelyn säännöt saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

Tästä seuraa, että C x V \u003d (-C) x (-V).

Vastaavasti voit todistaa, että kahden negatiivisen luvun jakaminen johtaa positiiviseen.

Yleiset matematiikkasäännöt

Tällainen selitys ei tietenkään toimi peruskoulun opiskelijoille, jotka ovat vasta alkaneet oppia abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvillä esineillä manipuloimalla tuttua termiä näkölasin läpi. Siellä on esimerkiksi keksittyjä, mutta ei olemassa olevia leluja. Ne voidaan näyttää "-" -merkillä. Kahden peilimäisen objektin kertominen siirtää ne toiseen maailmaan, joka rinnastetaan nykyhetkeen, eli seurauksena on positiiviset luvut. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain kaikille tutun tuloksen. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinus". Totta, lapset eivät yritä liian kovasti ymmärtää kaikkia matemaattisia vivahteita.

Vaikka, jos kohtaat totuuden, monille ihmisille, jopa korkeakoulutetut, monet säännöt ovat edelleen mysteeri. Jokainen pitää itsestäänselvyytenä sitä, mitä opettajat opettavat heille, epäröimättä syventyä kaikkiin matematiikan vaikeuksiin. "Miinus" tarkoittaa "miinus" antaa "plus" - kaikki tietävät siitä poikkeuksetta. Tämä pätee sekä kokonaislukuihin että murtolukuihin.

Kun kuuntelet matematiikan opettajaa, useimmat opiskelijat pitävät materiaalia aksioomana. Samanaikaisesti harvat ihmiset yrittävät päästä sen pohjalle ja selvittää, miksi "miinus" plus: lla antaa "miinus" -merkin, ja kun kaksi negatiivista lukua kerrotaan, tulee positiivinen.

Matematiikan lait

Useimmat aikuiset eivät pysty selittämään itselleen tai lapselleen miksi näin tapahtuu. He oppivat tämän aineiston tiukasti koulussa, mutta eivät edes yrittäneet selvittää, mistä tällaiset säännöt tulivat. Mutta turhaan. Usein nykyaikaiset lapset eivät ole niin luottavaisia, heidän on päästävä asiaan ja ymmärrettävä, miksi "plus" tarkoittaa "miinus" antaa "miinus". Ja joskus pojat esittävät erityisesti hankalia kysymyksiä voidakseen nauttia hetkestä, jolloin aikuiset eivät voi antaa ymmärrettävää vastausta. Ja se on melko katastrofi, jos nuori opettaja joutuu vaikeuksiin ...

Muuten on huomattava, että yllä oleva sääntö pätee sekä kertolaskuun että jakoon. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain miinuksen. Jos puhumme kahdesta numerosta, joissa on "-" -merkki, tulos on positiivinen luku. Sama koskee jakamista. Jos jokin luvuista on negatiivinen, osamäärä on myös "-" -merkillä.

Tämän matematiikan lain oikeellisuuden selittämiseksi on välttämätöntä muotoilla renkaan aksiomit. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matematiikassa rengasta kutsutaan yleensä joukoksi, johon osallistuu kaksi operaatiota, joissa on kaksi elementtiä. Mutta on parempi käsitellä tätä esimerkillä.

Rengasaksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

• Ensimmäinen niistä on hänen mukaansa siirrettävä, C + V \u003d V + C.
• Toista kutsutaan yhdistelmäksi (V + C) + D \u003d V + (C + D).

Kertolasku (V x C) x D \u003d V x (C x D) on myös niiden alainen.

Kukaan ei ole peruuttanut sääntöjä, joilla suluet avautuvat (V + C) x D \u003d V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) \u003d C x V + C x D.

Lisäksi todettiin, että renkaaseen voidaan viedä erityinen, lisäysneutraali alkuaine, jota käytettäessä seuraava on totta: C + 0 \u003d C. Lisäksi jokaiselle C: lle on päinvastainen elementti, joka voidaan merkitä (-C). Tässä tapauksessa C + (-C) \u003d 0.

Negatiivisten lukujen aksiomien johtaminen

Hyväksyttyään edellä mainitut lausunnot voidaan vastata kysymykseen: "Mikä on" plus "-merkki" miinus "-merkille? Kun tiedetään aksioma negatiivisten lukujen kertomisesta, on tarpeen vahvistaa, että todellakin (-C) x V \u003d - (C x V). Ja myös, että seuraava tasa-arvo on totta: (- (- C)) \u003d C.

Tätä varten sinun on ensin osoitettava, että jokaisella elementillä on vain yksi vastakkainen "veli". Harkitse seuraavaa esimerkkiä todisteista. Yritetään kuvitella, että C: lle kaksi lukua ovat vastakkaiset - V ja D. Tästä seuraa, että C + V \u003d 0 ja C + D \u003d 0, toisin sanoen C + V \u003d 0 \u003d C + D. Muistamalla siirtolakeja ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V: n arvo. On loogista, että V \u003d V + 0 \u003d V + (C + D) \u003d V + C + D, koska C +: n arvo D, kuten edellä on hyväksytty, on 0. Siksi V \u003d V + C + D.

D: n arvo näytetään samalla tavalla: D \u003d V + C + D \u003d (V + C) + D \u003d 0 + D \u003d D. Tämän perusteella käy selväksi, että V \u003d D.

Jotta ymmärrettäisiin, miksi "plus" tarkoittaa "miinus" kuitenkin "miinus", on ymmärrettävä seuraava. Joten alkuaineelle (-C) C ja (- (- C)) ovat vastakkaisia, toisin sanoen ne ovat yhtä suuria keskenään.

Sitten on ilmeistä, että 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Tämä tarkoittaa, että C x V on päinvastainen kuin (-) C x V, joten (- C) x V \u003d - (C x V).

Täydellisen matemaattisen tarkkuuden saavuttamiseksi on myös tarpeen vahvistaa, että 0 x V \u003d 0 mille tahansa elementille. Jos noudatat logiikkaa, niin 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Tämä tarkoittaa, että tuotteen 0 x V lisääminen ei muuta millään tavalla asetettua määrää. Loppujen lopuksi tämä tuote on nolla.

Tietäen kaikki nämä aksioomat, voit päätellä paitsi kuinka monta "plus" -merkki "miinus" antaa myös sen, mikä saadaan kertomalla negatiiviset luvut.

Kahden numeron kertominen ja jakaminen "-" -merkillä

Jos et syvene matemaattisiin vivahteisiin, voit yrittää yksinkertaisemmalla tavalla selittää toimintasäännöt negatiivisilla numeroilla.

Oletetaan, että C - (-V) \u003d D, tämän perusteella C \u003d D + (-V), toisin sanoen C \u003d D - V. Siirrämme V ja saamme, että C + V \u003d D. Eli C + V \u003d C - (-V). Tämä esimerkki selittää, miksi lausekkeessa, jossa on kaksi "miinusta" peräkkäin, mainitut merkit tulisi vaihtaa "plus" -merkkeihin. Nyt käsitellään kertolasku.

(-C) x (-V) \u003d D, voit lisätä ja vähentää kaksi identtistä tuotetta lausekkeeseen, joka ei muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.

Palauttamalla suluilla työskentelyn säännöt saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V \u003d D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V \u003d D;

3) (-C) x 0 + C x V \u003d D;

Tästä seuraa, että C x V \u003d (-C) x (-V).

Vastaavasti voit todistaa, että kahden negatiivisen luvun jakaminen johtaa positiiviseen.

Yleiset matematiikkasäännöt

Tällainen selitys ei tietenkään toimi ala-asteen opiskelijoille, jotka ovat vasta alkamassa oppimaan abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvillä esineillä manipuloimalla tuttua termiä näkölasin läpi. Esimerkiksi siellä on keksittyjä, mutta ei olemassa olevia leluja. Ne voidaan näyttää "-" -merkillä. Kahden peilimäisen objektin kertominen siirtää ne toiseen maailmaan, joka rinnastetaan nykyhetkeen, eli seurauksena on positiiviset luvut. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain kaikille tutun tuloksen. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinus". Totta, lapset eivät yritä liian kovasti ymmärtää kaikkia matemaattisia vivahteita.

Vaikka, jos kohtaat totuuden, monille ihmisille, jopa korkeakoulutetut, monet säännöt ovat edelleen mysteeri. Jokainen pitää itsestäänselvyytenä sitä, mitä opettajat opettavat heille, epäröimättä syventyä kaikkiin matematiikan vaikeuksiin. "Miinus" tarkoittaa "miinus" antaa "plus" - kaikki tietävät siitä poikkeuksetta. Tämä pätee sekä kokonaislukuihin että murtolukuihin.

Ymmärrämmekö kertolasku oikein?

"- A ja B istuivat putkessa. A putosi, B katosi, mitä putkelle jäi?"
- Kirjeesi jäin. "

(Elokuvasta "Teens in the Universe")

Miksi se on nolla kertomalla luku nollalla?

7 * 0 = 0

Miksi se on positiivinen kertomalla kaksi negatiivista lukua?

7 * (-3) = + 21

Mitä opettajat eivät kykene antamaan vastauksia näihin kahteen kysymykseen.

Mutta kenelläkään ei ole rohkeutta myöntää, että kertomisen muotoilussa on kolme semanttista virhettä!

Ovatko aritmeettiset virheet mahdollisia? Loppujen lopuksi matematiikka asettaa itsensä tarkaksi tiedeeksi ...

Koulujen matematiikan oppikirjat eivät pysty vastaamaan näihin kysymyksiin, korvaamalla selitykset muistettavilla säännöillä. Ehkä heidän on vaikea selittää tätä aihetta lukiossa? Yritetään ymmärtää nämä ongelmat.

7 - kerrottava. 3 on tekijä. 21- työ.

Virallisen sanamuodon mukaan:

• luvun kertominen toisella luvulla tarkoittaa niin monien kertojien lisäämistä kuin kertoja määrää.

Hyväksytyn muotoilun mukaan tekijä 3 kertoo meille, että tasa-arvon oikealla puolella pitäisi olla kolme seitsemää.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Mutta tämä kertolasku ei voi selittää yllä olevia kysymyksiä.

Korjaa kertolasku

Yleensä matematiikassa ne tarkoittavat paljon, mutta he eivät puhu siitä tai kirjoita sitä.

Tämä tarkoittaa plusmerkkiä seitsemän ensimmäisen edessä tasa-arvon oikealla puolella. Kirjoitetaan tämä plus.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Mutta johon lisätään ensimmäiset seitsemän. Se tarkoittaa tietysti nollaa. Kirjoitetaan ylös ja nolla.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Entä jos kerrotaan kolmella miinus seitsemällä?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Kirjoitamme kertoimen -7 lisäyksen, itse asiassa teemme useita vähennyksiä nollasta. Laajennetaan suluita.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Nyt voimme antaa tarkemman kertolasun.

• Kertolasku on kertojan (-7) moninkertainen lisäys nollaan (tai vähennys nollasta) niin monta kertaa kuin kerroin osoittaa. Kerroin (3) ja sen merkki (+ tai -) osoittavat nollaan tehtyjen lisäysten tai nollasta vähennysten määrän.

Tämä hienostunut ja jonkin verran muunnettu kertolasku selittää helposti "merkkien säännöt" kertolaskussa, kun kertoja on negatiivinen.

7 * (-3) - nollan jälkeen on oltava kolme miinusmerkkiä \u003d 0 - (+7) - (+7) - (+7) \u003d - 21

7 * (-3) - taas nollan jälkeen tulee olla kolme miinusmerkkiä \u003d

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Kerrotaan nollalla

7 * 0 \u003d 0 + ... ei lisäystä nollaan.

Jos kertolasku on lisäämässä nollaan ja kertoja osoittaa nollaan lisättävien operaatioiden määrän, niin kerroin nolla osoittaa, että mitään ei lisätä nollaan. Siksi nolla on jäljellä.

Joten nykyisessä kertolaskuformulaatiossa löysimme kolme semanttista virhettä, jotka estävät kahden "merkkien säännön" (kun tekijä on negatiivinen) ymmärtämisen ja luvun kertomisen nollalla.

1. Sinun ei tarvitse lisätä kerrointa, mutta lisätä se nollaan.
2. Kertolasku ei vain lisää nollaan, vaan vähentää nollasta.
3. Kerroin ja sen merkki eivät näytä termien lukumäärää, mutta plus- tai miinusmerkkien lukumäärää kertolaskun laajentamisessa termeiksi (tai vähennettynä).

Hieman selkeyttämällä muotoilua, pystyimme selittämään merkkien säännöt, kun kerrotaan ja kerrotaan luku nollalla ilman kertolaskujen siirtolain apua, ilman jakelulakia, piirtämättä analogioita numerolinjan kanssa, ilman yhtälöitä, ilman todisteita päinvastaisesta jne.

Kertomisen hienostuneen muotoilun merkkien säännöt johdetaan hyvin yksinkertaisesti.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Kertoja ja sen merkki (+3 tai -3) osoittavat yhtälön oikealla puolella olevien "+" - tai "-" -merkkien määrän.

Muunnettu kertolaskuformulaatio vastaa luvun nostamisen tehoon.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 \u003d 1 (1 ei ole kerrottava eikä jaettavissa millään, joten se jää 1)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matemaatikot ovat yhtä mieltä siitä, että luvun nostaminen positiiviseksi eksponentiksi on yhden kerrottaminen kerralla. Luvun nostaminen negatiiviseksi tehoksi on yhden jakaminen kerralla.

Kertolaskuoperaation tulisi olla samanlainen kuin eksponenttioperaatio.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 \u003d 0 (mitään ei lisätä nollaan eikä mitään vähennetä nollasta)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Muunnettu kertolasku ei muuta mitään matematiikassa, mutta se palauttaa kertolaskuoperaation alkuperäisen merkityksen, selittää "merkkien säännöt" kertomalla luvun nollalla, sovittamalla kertolasku tehoon nostamiseen.

Tarkistetaan, onko kertolaskumme yhdenmukainen jako-operaation kanssa.

15: 5 \u003d 3 (käänteiskerroin 5 * 3 \u003d 15)

Osamäärä (3) vastaa nollaan (+3) lisättävien operaatioiden määrää kertomalla.

Jakamalla 15 viidellä tarkoitetaan sitä, kuinka monta kertaa sinun on vähennettävä 5/15. Tämä tehdään peräkkäisellä vähennyslaskulla, kunnes saadaan nollatulos.

Jaon tuloksen löytämiseksi sinun on laskettava miinusmerkkien määrä. Niitä on kolme.

15: 5 \u003d 3 operaatiota vähentämällä viisi 15: stä nollan saamiseksi.

15-5-5-5 \u003d 0 (jako 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 \u003d 15 (kertolasku 5 * 3)

Jako loput.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 \u003d 3 ja 2 loput

Jos jako on jäljellä, miksi ei kerrota lisäyksellä?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Katso ero sanamuodossa laskimessa

Nykyinen kertolasku (kolme termiä).

10 + 10 + 10 = 30

Korjattu kertolasku (kolme nollaan lisäysoperaatiota).

0 + 10 = = = 30

(Paina "yhtä kuin" kolme kertaa.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Kerroin 3 osoittaa, että kerroin 10 on lisättävä nollaan kolme kertaa.

Kokeile kertoa (-10) * (-3) lisäämällä termi (-10) miinus kolme kertaa!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Mitä miinusmerkki tarkoittaa kolmessa? Ehkä niin?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Hups ... En voi hajottaa tuotetta termien (-10) summaksi (tai eroksi).

Tarkistetulla sanamuodolla tämä tehdään oikein.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Kerroin (-3) osoittaa, että kerroin (-10) on vähennettävä nollasta kolme kertaa.

Allekirjoita yhteenlaskemisen ja vähentämisen säännöt

Edellä esitettiin yksinkertainen tapa johtaa merkkien säännöt kertolaskussa muuttamalla kertolaskujen merkitystä.

Mutta johdannossa käytimme merkkien sääntöjä summaamiseen ja vähentämiseen. Ne ovat melkein samat kuin kertolasku. Luodaan visualisointi merkkien lisäys- ja vähennyssäännöistä, jotta ensimmäisen luokkalainen voi ymmärtää.

Mikä on "miinus", "negatiivinen"?

Luonnossa ei ole mitään negatiivista. Ei ole negatiivista lämpötilaa, ei negatiivista suuntaa, ei negatiivista massaa, ei negatiivisia varauksia ... Jopa sinus voi olla luonteeltaan vain positiivinen.

Mutta matemaatikot ovat keksineet negatiivisia lukuja. Minkä vuoksi? Mitä "miinus" tarkoittaa?

Miinus tarkoittaa päinvastaista suuntaa. Vasen oikea. Yläosa. Myötäpäivään - vastapäivään. Edestakaisin. Kylmä kuuma. Kevyt painava. Hitaasti - nopeasti. Jos ajattelet sitä, on monia muita esimerkkejä, joissa negatiiviset arvot ovat käteviä.

Tiedossa olevassa maailmassa ääretön alkaa nollasta ja menee plus äärettömyyteen.

"Miinus äärettömyyttä" ei ole todellisessa maailmassa. Tämä on sama matemaattinen käytäntö kuin käsite "miinus".

Joten "miinus" tarkoittaa päinvastaista suuntaa: liike, kierto, prosessi, kertolasku, summaus. Analysoidaan eri suuntaa, kun positiivisia ja negatiivisia (kasvavia toiseen suuntaan) lukuja lisätään ja vähennetään.

Lisäys- ja vähennysmerkkien sääntöjen ymmärtämisen monimutkaisuus johtuu siitä, että yleensä nämä säännöt yrittävät selittää numerorivillä. Numerorivillä sekoitetaan kolme eri komponenttia, joista säännöt johdetaan. Sekoittamisen ja erilaisten käsitteiden yhdistämisen vuoksi kasaan syntyy ymmärtämisvaikeuksia.

Sääntöjen ymmärtämiseksi meidän on erotettava toisistaan:

• ensimmäinen termi ja summa (ne ovat vaaka-akselilla);
• toinen termi (se on pystyakselilla);
• summaus- ja vähennysoperaatioiden suunta.

Tämä jako näkyy selvästi kuvassa. Kuvittele, että pystyakseli voi kiertää päällekkäin vaaka-akselin kanssa.

Lisäys suoritetaan aina pyörittämällä pystyakselia myötäpäivään (plusmerkki). Vähennys tehdään aina kiertämällä pystyakselia vastapäivään (miinusmerkki).

Esimerkki. Kaavio oikeassa alakulmassa.

Voidaan nähdä, että kahdella vierekkäisellä miinusmerkillä (vähennysoperaation merkki ja luvun 3 merkki) on erilainen merkitys. Ensimmäinen miinus osoittaa vähennyssuunnan. Toinen miinus on numeroakseli pystyakselilla.

Etsi vaaka-akselilta ensimmäinen termi (-2). Etsi toinen termi (-3) pystyakselilta. Kierrä pystyakselia henkisesti vastapäivään, kunnes suuntaus (-3) ja vaaka-akselin numero (+1). Luku (+1) on summauksen tulos.

Vähennysoperaatio

antaa saman tuloksen kuin oikean yläkulman kaavion lisäystoiminto.

Siksi kaksi vierekkäistä miinusmerkkiä voidaan korvata yhdellä plusmerkillä.

Olemme kaikki tottuneet käyttämään valmiita aritmeettisia sääntöjä ajattelematta niiden merkitystä. Siksi emme useinkaan edes huomaa, kuinka yhteenlaskemisten (vähennysten) merkkien säännöt eroavat kertolaskujen (jako) merkkien säännöistä. Näyttävätkö ne samoilta? Melkein ... Seuraavassa kuvassa näkyy pieni ero.

Meillä on nyt kaikki mitä tarvitsemme johtaaksemme merkkisäännöt kertolaskuun. Lähtösekvenssi on seuraava.

1. Näytämme selvästi, kuinka yhteenlasku- ja vähennysmerkkien säännöt saadaan.
2. Teemme semanttisia muutoksia nykyiseen kertolaskuformulaatioon.
3. Kertomuodon muunnetun muotoilun ja merkkien lisäämistä koskevien sääntöjen perusteella johdetaan kertolaskujen säännöt.

Huomautus.

Alla on kirjoitettu n allekirjoita yhteenlaskemisen ja vähentämisen säännötsaatu visualisoinnista. Ja punaisella vertailun vuoksi samat matematiikan oppikirjan merkkien säännöt. Suluissa oleva harmaa plus on näkymätön plus, jota ei kirjoiteta positiiviselle luvulle.

Termien välillä on aina kaksi merkkiä: operaation merkki ja luvun merkki (emme kirjoita plus, mutta tarkoitamme). Kylttisäännöt määräävät yhden merkkiparin korvaamisen toiselle parille muuttamatta yhteenlaskutulosta (vähennyslasku). Itse asiassa on vain kaksi sääntöä.

Säännöt 1 ja 3 (visualisoimalla) - päällekkäiset säännöt 4 ja 2 .. Säännöt 1 ja 3 koulun tulkinnassa eivät ole yhtäläisiä visuaalisen järjestelmän kanssa, joten niitä ei sovelleta merkkien sääntöihin, kun ne lisätään. Nämä ovat joitain muita sääntöjä ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - \u003d - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - \u003d + (+) ok

Koulusääntö 1 (punainen) antaa mahdollisuuden korvata kaksi plusmerkkiä peräkkäin yhdellä plusmerkillä. Sääntö ei koske merkkien korvaamista summaamiseen ja vähentämiseen.

Koulun sääntö 3. (punainen) sallii olla kirjoittamatta plusmerkkiä positiiviseen lukuun vähennysoperaation jälkeen. Sääntö ei koske merkkien korvaamista summaamiseen ja vähentämiseen.

Merkkien sääntöjen merkitys lisäyksen aikana on yhden merkkiparin korvaaminen toisella merkkien parilla lisäämättä tuloksen tulosta.

Koulun metodologit ovat sekoittaneet kaksi sääntöä yhteen sääntöön:

Kaksi merkkisääntöä, kun positiivisia ja negatiivisia lukuja lisätään ja vähennetään (korvaamalla yksi merkkipari toisella merkkiparilla);

Kaksi sääntöä, joiden mukaan et voi kirjoittaa plusmerkkiä positiiviselle luvulle.

Kaksi erilaista sekoitettua sääntöä ovat kuin kertomerkkien säännöt, joissa kahta merkkiä seuraa kolmas. Samanlainen yksi.

Hyvin hämmentynyt! Sama asia jälleen, parempaa selvittämistä varten. Korostetaan operaatioiden merkit punaisella erottaaksemme ne numeroista.

1. Lisäys ja vähennys. Kaksi merkkisääntöä, joiden mukaan merkkiparit vaihdetaan termien välillä. Toimintamerkki ja numeromerkki.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Kaksi sääntöä, joiden mukaan positiivisen luvun plusmerkki saa olla kirjoittamatta. Nämä ovat ilmoittautumislomakkeen säännöt. Lisäystä ei sovelleta. Positiivisen luvun kohdalla tallennetaan vain operaation merkki.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Neljä kertolaskujen sääntöä. Kun tuotteen kolmas merkki seuraa kahdesta kertojamerkistä. Kertomerkkien säännöissä vain numeromerkit.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Nyt kun olemme erottaneet merkintäsäännöt, pitäisi olla selvää, että summaus- ja vähennyslaskumerkkisäännöt eivät ole lainkaan kertolaskujen merkkisääntöjä.

V.Kozarenko

Todellakin, miksi? Yksinkertaisin vastaus on: "Koska nämä ovat sääntöjä negatiivisten numeroiden käsittelemiseksi." Säännöt, joita opetamme koulussa ja joita sovelletaan koko elämämme ajan. Oppikirjoissa ei kuitenkaan selitetä, miksi säännöt ovat täsmälleen tällaiset. Olemme muistaneet, että juuri näin emme enää kysy itseltämme kysymystä.

Kysytään itseltämme ...

Kauan sitten ihmiset tiesivät vain luonnolliset numerot: 1, 2, 3, ... Niitä käytettiin laskemaan ruokailuvälineitä, saalista, vihollisia jne. Mutta numerot sinänsä ovat melko hyödyttömiä - sinun on tiedettävä, miten käsitellä niitä. Lisäys on selkeä ja ymmärrettävä, kahden luonnollisen luvun summan lisäksi on myös luonnollinen luku (matemaatikko sanoisi, että luonnollisten lukujen joukko on suljettu summaustoiminnon alla). Kertolasku on olennaisesti sama lisäys, jos puhumme luonnollisista luvuista. Elämässä suoritamme usein näihin kahteen toimintaan liittyviä toimintoja (esimerkiksi ostoksilla lisäämme ja kerrotaan), ja on outoa ajatella, että esi-isämme kohtasivat heitä harvemmin - ihmiskunta hallitsi summaamisen ja kertomisen hyvin kauan sitten. Joitakin määriä on usein tarpeen jakaa toisilla, mutta tässä tulos ei aina ilmaistu luonnollisena lukuna - näin murto-luvut ilmestyivät.

Tietenkään et voi tehdä ilman vähennystä. Mutta käytännössä meillä on tapana vähentää pienempi suurempi lukumäärä, eikä negatiivisia lukuja tarvitse käyttää. (Jos minulla on 5 karkkia ja annan sisarelleni 3, minulla on 5 - 3 \u003d 2 karkkia, mutta en voi antaa hänelle 7 karkkia, jos haluan.) Tämä selittää, miksi ihmiset eivät käyttäneet negatiivisia lukuja pitkään aikaan.


Intialaisissa asiakirjoissa negatiivisia lukuja esiintyy 700-luvulta jKr. kiinalaiset alkoivat ilmeisesti käyttää niitä hieman aikaisemmin. Niitä käytettiin velkojen kirjanpitoon tai välilaskelmissa yksinkertaistamaan yhtälöiden ratkaisua - se oli vain työkalu positiivisen vastauksen saamiseksi. Se, että negatiiviset luvut, toisin kuin positiiviset, eivät ilmaise minkään yksikön läsnäoloa, aiheutti voimakasta epäluottamusta. Sanan kirjaimellisessa mielessä ihmiset välttivät negatiivisia lukuja: jos ongelma sai kielteisen vastauksen, he uskoivat, ettei vastausta ollut lainkaan. Tämä epäluottamus jatkui hyvin kauan, ja jopa Descartes - yksi modernin matematiikan perustajista - kutsui heitä "vääriksi" (1700-luvulla!).

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä 7x - 17 \u003d 2x - 2. Se voidaan ratkaista seuraavasti: siirrä termit tuntemattoman kanssa vasemmalle ja loput oikealle, jolloin saat 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Tämän avulla ratkaisu, emme edes kohdanneet negatiivisia lukuja.

Mutta se oli mahdollista tehdä vahingossa toisin: siirtää termit tuntemattoman kanssa oikealle puolelle ja saada 2 - 17 \u003d 2x - 7x, (-15) \u003d (-5) x. Tuntemattoman löytämiseksi sinun on jaettava yksi negatiivinen luku toisella: x \u003d (-15) / (- 5). Mutta oikea vastaus on tiedossa, ja on vielä pääteltävä, että (-15) / (- 5) \u003d 3.

Mitä tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa? Ensinnäkin käy selväksi logiikka, jolla negatiivisten numeroiden toimintojen säännöt määritettiin: Näiden toimien tulosten on oltava yhtäpitäviä vastausten kanssa, jotka on saatu eri tavalla, ilman negatiivisia lukuja. Toiseksi, sallimalla negatiivisten numeroiden käytön, pääsemme eroon tylsästä (jos yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi, lukuisilla termeillä) etsimällä ratkaisupolua, jossa kaikki toiminnot suoritetaan vain luonnollisilla numeroilla. Emme voi enää ajatella joka kerta muunnettujen arvojen merkityksellisyyttä - ja tämä on jo askel kohti matematiikan muuttumista abstraktiksi tiedeksi.

Negatiivisia lukuja koskevia sääntöjä ei muodostettu heti, mutta niistä tuli yleistys lukuisista esimerkeistä, jotka syntyivät sovellettujen ongelmien ratkaisemisessa. Yleensä matematiikan kehitys voidaan jakaa ehdollisesti vaiheisiin: jokainen seuraava vaihe eroaa edellisestä uuden abstraktion tason avulla esineiden tutkimuksessa. Joten 1800-luvulla matemaatikot tajusivat, että kokonaislukuilla ja polynomeilla kaikesta ulkoisesta erilaisuudestaan \u200b\u200bhuolimatta on paljon yhteistä: molempia voidaan lisätä, vähentää ja kertoa. Nämä toiminnot noudattavat samoja lakeja - sekä numeroiden että polynomien tapauksessa. Mutta jakamalla kokonaisluvut keskenään siten, että tulos on jälleen kokonaislukuja, ehkä ei aina. Sama on polynomien kanssa.

Sitten löydettiin muita matemaattisten esineiden sarjoja, joita voitaisiin käyttää tällaisiin operaatioihin: muodolliset tehosarjat, jatkuvat toiminnot ... kaikelle nykyaikaiselle matematiikalle).

Tämän seurauksena ilmestyi uusi konsepti: rengas. Tämä on vain joukko elementtejä ja toimintoja, jotka voidaan suorittaa niille. Toimintaa hallitsevat säännöt (niitä kutsutaan aksioomiksi), eivät joukon elementtien luonne (tässä se on uusi abstraktiotaso!), Jotka ovat tässä olennaisia. Matemaatikot haluavat korostaa, että juuri aksiomien käyttöönoton jälkeen syntyvä rakenne on tärkeä: kokonaislukujen rengas, polynomien rengas jne. Aksioomista alkaen voimme johtaa renkaiden muita ominaisuuksia.

Muodostetaan renkaan aksioomat (jotka tietysti ovat samanlaisia \u200b\u200bkuin kokonaislukujen käsittelyä koskevat säännöt), ja sitten osoitamme, että miinuksen kertominen miinuksella tuottaa plusmerkin missä tahansa renkaassa.

Rengas on joukko, jossa on kaksi binääritoimintoa (ts. Jokainen operaatio sisältää renkaan kaksi elementtiä), joita perinteisesti kutsutaan summaukseksi ja kertolaskuksi, ja seuraavat aksioomat:

Rengaselementtien lisääminen noudattaa siirtymää (A + B \u003d B + A mille tahansa alkuaineelle A ja B) ja yhdistelmä- (A + (B + C) \u003d (A + B) + C) lakeja; renkaassa on erityinen elementti 0 (neutraali elementti lisäystä varten) siten, että A + 0 \u003d A, ja mille tahansa elementille A on vastakkainen elementti (merkitty (-A)) siten, että A + (-A) \u003d 0;
- kertolasku noudattaa yhdistelmälakia: A · (B · C) \u003d (A · B) · C;
summaus ja kertolasku riippuvat seuraavista sulkeiden laajennussäännöistä: (A + B) C \u003d A C + B C ja A (B + C) \u003d A B + A C.

Huomaa, että renkaat eivät yleisimmässä rakenteessaan vaadi kertolaskun permutaatiota eikä sen palautuvuutta (ts. Ei aina ole mahdollista jakaa) eikä yksikön olemassaoloa - neutraalia elementtiä kertolaskussa. Jos esitämme nämä aksioomat, saamme muita algebrallisia rakenteita, mutta kaikki renkaille osoitetut lauseet ovat totta niissä.

Todistakaamme nyt, että mielivaltaisen renkaan minkä tahansa alkion A ja B kohdalla ensin (-A) B \u003d - (A B) ja toiseksi (- (- A)) \u003d A. Tämä merkitsee helposti lausunnot yksiköistä: (-1) 1 \u003d - (1 1) \u003d -1 ja (-1) (-1) \u003d - ((- 1) 1) \u003d - (- 1) \u003d 1.

Tätä varten meidän on löydettävä joitain tosiasioita. Ensinnäkin, todistakaamme, että jokaisella elementillä voi olla vain yksi vastakohta. Olkoon elementillä A kaksi vastakohtaa: B ja C. Toisin sanoen A + B \u003d 0 \u003d A + C. Tarkastellaan summaa A + B + C. Yhdistämis- ja siirtolakien sekä nollaominaisuuden avulla saamme sen toisaalta summa on B: B \u003d B + 0 \u003d B + (A + C) \u003d A + B + C, ja toisaalta se on C: A + B + C \u003d (A + B) + C \u003d 0 + C \u003d C. Joten B \u003d C.

Huomaa nyt, että sekä A että (- (- A)) ovat päinvastaisia \u200b\u200bsamaa elementtiä (-A), joten niiden on oltava yhtä suuria.

Ensimmäinen tosiasia käy näin: 0 \u003d 0 B \u003d (A + (-A)) B \u003d A B + (-A) B, eli (-A) B on päinvastainen kuin A B, joten se on yhtä suuri kuin - (A B).

Jotta voimme olla matemaattisesti tarkkoja, selittäkää miksi 0 · B \u003d 0 mille tahansa elementille B. Todellakin, 0 · B \u003d (0 + 0) B \u003d 0 · B + 0 · B. Eli 0 · B: n lisääminen ei muuta määrää. Siksi tämä tuote on yhtä suuri kuin nolla.

Ja tosiasia, että renkaassa on täsmälleen yksi nolla (loppujen lopuksi aksioomat sanovat, että tällainen elementti on olemassa, mutta sen ainutlaatuisuudesta ei sanota mitään!), Jätämme lukijalle yksinkertaisen harjoituksen.

Jevgeni Epifanov