Ohjeet

10, 30, 90, 270...

Vaaditaan geometrisen etenemisen nimittäjän löytämistä.
Päätös:

Vaihtoehto 1. Ota mielivaltainen vaihe etenemisestä (esimerkiksi 90) ja jaa se edellisellä (30): 90/30 \u003d 3.

Jos tiedät geometrisen etenemisen useiden jäsenten summan tai alenevan geometrisen etenemisen kaikkien jäsenten summan, etsi etenemisen nimittäjä sopivilla kaavoilla:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), missä Sn on geometrisen etenemisen ensimmäisen n lausekkeen summa ja
S \u003d b1 / (1-q), missä S on portaattomasti laskevan geometrisen etenemisen summa (etenemisen kaikkien jäsenten summa, joiden nimittäjä on vähemmän kuin yksi).
Esimerkki.

Laskevan geometrisen etenemisen ensimmäinen termi on yhtä ja yksi sen kaikkien jäsenten summa on kaksi.

Tämän etenemisen nimittäjä on määritettävä.
Päätös:

Kytke ongelman tiedot kaavaan. Osoittautuu:
2 \u003d 1 / (1-q), mistä - q \u003d 1/2.

Eteneminen on numerojonosarja. Geometrisessa etenemisessä jokainen seuraava termi saadaan kertomalla edellinen yhdellä luvulla q, jota kutsutaan etenemisen nimittäjäksi.

Ohjeet

Jos geometrisen b (n + 1) ja b (n) kaksi vierekkäistä termiä tunnetaan, nimittäjän saamiseksi sinun on jaettava numero suurella sitä edeltävällä: q \u003d b (n + 1) / b (n). Tämä seuraa etenemisen ja sen nimittäjän määritelmästä. Tärkeä ehto on ensimmäisen aikavälin epätasa-arvo ja nollaan siirtymisen nimittäjä, muuten sitä pidetään määrittelemättömänä.

Joten, etenemisvaiheen jäsenten välillä luodaan seuraavat suhteet: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. Kaavalla b (n) \u003d b1 q ^ (n-1) voidaan laskea mikä tahansa geometrisen etenemisen termi, jossa nimittäjä q ja termi b1 tunnetaan. Kukin moduulin etenemisistä on yhtä suuri kuin vierekkäisten jäsentensä keskiarvo: | b (n) | \u003d √, joten eteneminen sai oman.

Geometrisen etenemisen analogi on yksinkertaisin eksponenttifunktio y \u003d a ^ x, missä x on eksponentissa ja a on jokin luku. Tässä tapauksessa etenemisen nimittäjä on samanlainen kuin ensimmäinen termi ja on yhtä suuri kuin luku a. Funktion y arvo voidaan ymmärtää etenemisen n: ntenä termina, jos argumenttia x pidetään luonnollisena numerona n (laskuri).

Geometrisen etenemisen ensimmäisten n ehtojen summa on olemassa: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). Tämä kaava on voimassa q for 1: lle. Jos q \u003d 1, niin ensimmäisten n ehtojen summa lasketaan kaavalla S (n) \u003d n b1. Muuten, etenemistä kutsutaan kasvavaksi, kun q on suurempi kuin yksi ja b1 on positiivinen. Jos etenemisen nimittäjä ei ylitä absoluuttisessa arvossa yhtä, etenemistä kutsutaan väheneväksi.

Geometrisen etenemisen erityistapaus on äärettömästi aleneva geometrinen eteneminen (b.d.g.). Tosiasia on, että laskevan geometrisen etenemisen ehdot vähenevät yhä uudelleen, mutta ne eivät koskaan saavuta nollaa. Tästä huolimatta voit löytää kaikkien sellaisen etenemisen jäsenten summan. Se määritetään kaavalla S \u003d b1 / (1-q). Jäsenten kokonaismäärä n on ääretön.

Paista kakku, jotta näet kuinka voit lisätä ääretön määrän numeroita eikä saada äärettömyyttä samanaikaisesti. Katkaise puolet tästä. Leikkaa sitten puoli puolikkaasta ja niin edelleen. Palasi, jotka saat, eivät ole muuta kuin jäsenet äärettömästi laskevaan geometriseen etenemiseen nimittäjällä 1/2. Jos lisäät kaikki nämä palat, saat alkuperäisen kakun.

Geometriaongelmat ovat erityinen harjoitus, joka vaatii alueellista ajattelua. Jos et pysty ratkaisemaan geometristä tehtäväYritä noudattaa alla olevia sääntöjä.

Ohjeet

Lue ongelman selvitys huolellisesti, jos et muista tai ymmärrä jotain, lue se uudelleen.

Yritä selvittää, millaisia \u200b\u200bgeometrisia ongelmia se on, esimerkiksi: laskennalliset ongelmat, kun joudut selvittämään jonkin arvon, ongelmat, jotka vaativat loogisen päättelyketjun, rakennusongelmat kompassin ja viivaimen avulla. Lisää sekalaisia \u200b\u200bongelmia. Kun olet selvittänyt ongelman tyypin, yritä ajatella loogisesti.

Sovele tarvittava lause tähän ongelmaan, mutta jos on epäilyksiä tai vaihtoehtoja ei ole ollenkaan, yritä muistaa teoria, jonka olet siirtänyt aiheeseen.

Piirrä ongelman ratkaisu myös luonnokseen. Yritä käyttää tunnettuja menetelmiä varmistaaksesi, että ratkaisusi on oikein.

Täytä ratkaisu ongelmaan siististi kannettavassa tietokoneessa, ilman täpliä ja yliviivattuja, ja mikä tärkeintä - Ensimmäisten geometristen ongelmien ratkaiseminen voi viedä aikaa ja vaivaa. Heti kun hallitset tämän prosessin - aloita napsauttamalla tehtäviä, kuten pähkinöitä, hauskaa!

Geometrinen eteneminen on numeroiden b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) sekvenssi siten, että b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Toisin sanoen, jokainen etenemistermi saadaan edellisestä, kertomalla se jollain ei-nolla-vaiheisella nimittäjällä q.

Ohjeet

Etenemisvaiheeseen liittyvät ongelmat ratkaistaan \u200b\u200buseimmiten laatimalla ja seuraamalla järjestelmää suhteessa etenemisen ensimmäiseen termiin b1 ja etenemisen nimittäjään q. On hyödyllistä muistaa jotkut kaavat yhtälöiden kirjoittamiseksi.

Kuinka ilmaista progression n: nnen aikavälin etenemisen ensimmäisen termin ja etenemisen nimittäjän mukaan: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

Tarkastellaan tapausta erikseen | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Numerojonot. Geometrinen eteneminen"

Lisämateriaaleja
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, arvosteluja, toiveita! Virustorjuntaohjelma on tarkistanut kaikki materiaalit.

Integral-verkkokaupan luokan 9 opetusvälineet ja simulaattorit
Asteet ja juuret Toiminnot ja kuvaajat

Kaverit, tutustumme tänään muun tyyppiseen etenemiseen.
Tämän päivän oppitunnin aihe on geometrinen eteneminen.

Geometrinen eteneminen

Esimerkki. 1,2,4,8,16 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä ja $ q \u003d 2 $.

Esimerkki. 8,8,8,8 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin kahdeksan,
ja $ q \u003d 1 $.

Esimerkki. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä kuin kolme,
ja $ q \u003d -1 $.

Geometrisella etenemisellä on yksitoikkoisuuden ominaisuuksia.
Jos $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
sitten sekvenssi on nouseva.
Jos $ b_ (1)\u003e 0 $, 0 $ Sekvenssiä merkitään yleensä: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Samoin kuin aritmeettisessa etenemisessä, jos elementtien lukumäärä on äärellinen geometrisessa etenemisessä, niin etenemistä kutsutaan äärelliseksi geometriseksi etenemiseksi.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Huomaa, että jos sekvenssi on geometrinen eteneminen, niin jäsenten neliösarja on myös geometrinen eteneminen. Toisessa jaksossa ensimmäinen termi on $ b_ (1) ^ 2 $ ja nimittäjä on $ q ^ 2 $.

Geometrisen etenemisen n: nnen aikavälin kaava

Palatkaamme takaisin esimerkkeihimme.

Esimerkki. 1,2,4,8,16 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on yhtä,
ja $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Esimerkki. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kuusitoista ja $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Esimerkki. 8,8,8,8 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kahdeksan ja $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Esimerkki. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on kolme ja $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Esimerkki. Sinulle annetaan geometrinen eteneminen $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Etsi $ b_ (5) $.
b) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Etsi n.
c) Tiedetään, että $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Etsi $ b_ (1) $.
d) Tiedetään, että $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Etsi q.

Päätös.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
2 dollaria ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 dollaria, koska dollari 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 dollaria.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Esimerkki. Ero geometrisen etenemisen seitsemännen ja viidennen termin välillä on 192, etenemisen viidennen ja kuudennen termin summa on 192. Löydä tämän etenemisen kymmenes termi.

Päätös.
Tiedämme, että: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ ja $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Tiedämme myös: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Sitten:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Meillä on yhtälöjärjestelmä:
$ \\ alkavat (tapaukset) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ loppu (tapaukset) $.
Yhtälöiden yhtälöt saavat:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Saimme kaksi ratkaisua q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Korvaa peräkkäin toinen yhtälö:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ ei ratkaisuja.
Saimme sen: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Etsi kymmenes termi: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Rajoitetun geometrisen etenemisen summa

Annetaan äärellinen geometrinen eteneminen: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Esitetään sen jäsenten summan merkintä: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Tapauksessa, kun $ q \u003d 1 $. Kaikki geometrisen etenemisen jäsenet ovat yhtä suuria kuin ensimmäinen termi, silloin on selvää, että $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Tarkastellaan nyt tapausta $ q ≠ 1 $.
Kerro yllä oleva summa q: lla.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
merkintä:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ fra (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Saimme kaavan äärellisen geometrisen etenemisen summalle.

Päätös.
$ S_ (7) \u003d \\ fra (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Esimerkki.
Etsi geometrisen etenemisen viides termi, joka tunnetaan: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; S_ (n) \u003d - 4095 dollaria.

Päätös.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ fra (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
-4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
-4095 dollaria (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) dollaria.
1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
341 dollaria \u003d 1364 dollaria.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Geometrisen etenemisen ominaisominaisuus

Numeerinen sekvenssi on geometrinen eteneminen vain silloin, kun sen kunkin jäsenen neliö on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen etenemissuunnan tulo. Älä unohda, että rajallisessa etenemisessä tämä ehto ei täyty ensimmäisen ja viimeisen jäsenen kohdalla.

Minkä tahansa geometrisen etenemisen jäsenen moduuli on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen osan geometrinen keskiarvo.

Päätös.
Käytämme ominaista ominaisuutta:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ ja $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Korvaavat peräkkäin alkuperäisen lausekkeen, ratkaisumme:
Kun x x \u003d 2 $, saimme sekvenssin: 4; 6; 9 - geometrinen eteneminen, jossa $ q \u003d 1,5 $.
Kun x x \u003d -1 $, saimme sekvenssin: 1; 0; 0.
Vastaus: $ x \u003d 2. $

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Geometrinen eteneminen ja aritmeettinen eteneminen ovat tärkeitä numerosarjoja, joita tutkitaan koulun algebran kurssilla luokassa 9. Tässä artikkelissa tarkastellaan geometrisen etenemisen nimittäjää ja kuinka sen arvo vaikuttaa sen ominaisuuksiin.

Määritelmä geometrinen eteneminen

Aluksi annamme tämän numerosarjan määritelmän. Geometrinen eteneminen on rationaalisten lukujen sarja, joka muodostetaan kertomalla peräkkäin sen ensimmäinen elementti vakioarvolla, jota kutsutaan nimittäjäksi.

Esimerkiksi rivin 3, 6, 12, 24, ... numerot ovat geometrista etenemistä, koska jos kerrotaan 3 (ensimmäinen elementti) 2: lla, saat 6. Jos kerrot 6: lla 2, saat 12: n jne.

Tarkasteltavan sekvenssin jäseniä merkitään yleensä symbolilla ai, missä i on kokonaisluku, joka ilmaisee rivin elementin numeron.

Edellä esitetty etenemisen määritelmä voidaan kirjoittaa matematiikan kielellä seuraavasti: an \u003d bn-1 * a1, missä b on nimittäjä. Tämä kaava on helppo tarkistaa: jos n \u003d 1, niin b1-1 \u003d 1, ja saamme a1 \u003d a1. Jos n \u003d 2, niin an \u003d b * a1, ja tulemme jälleen tarkasteltavana olevien lukusarjojen määritelmään. Samanlaista päättelyä voidaan jatkaa suurille n-arvoille.

Geometrisen etenemisen nimittäjä

Numero b määrittelee täysin, minkä merkin koko numerosarjalla tulee olemaan. Nimittäjä b voi olla positiivinen, negatiivinen tai suurempi kuin yksi tai vähemmän. Kaikki nämä vaihtoehdot johtavat erilaisiin sekvensseihin:

• b\u003e 1. rationaalisten lukujen sarja kasvaa. Esimerkiksi 1, 2, 4, 8, ... Jos elementti a1 on negatiivinen, koko sekvenssi kasvaa vain absoluuttisessa arvossa, mutta vähenee ottaen huomioon numeroiden merkki.
• b \u003d 1. Sellaista tapausta ei usein kutsuta etenemiseksi, koska on olemassa tavanomaisten identtisten rationaalilukujen sarja. Esimerkiksi -4, -4, -4.

Määrä kaava

Ennen kuin siirrytään tiettyjen ongelmien tarkasteluun käyttämällä tarkasteltavana olevan etenemistyypin nimeäjää, tärkeä kaava olisi annettava sen ensimmäisten n elementin summalle. Kaava on: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Voit saada tämän lausekkeen itse, jos tarkastellaan etenemisen jäsenten rekursiivistä sekvenssiä. Huomaa myös, että yllä olevassa kaavassa riittää tietää vain ensimmäinen elementti ja nimittäjä löytääksesi mielivaltaisen määrän termejä.

Äärimmäisen pienenevä järjestys

Edellä selitettiin mikä se on. Nyt kun tiedät Sn: n kaavan, käytä sitä tähän numerosarjaan. Koska mikä tahansa luku, jonka moduuli ei ylitä 1, nostettaessa suuriin asteisiin, on nolla, eli b∞ \u003d\u003e 0, jos -1

Koska ero (1 - b) on aina positiivinen, nimittäjän arvosta riippumatta, geometrisen S∞: n laskevan äärettömän etenevän summan merkin määrää yksilöllisesti sen ensimmäisen elementin a1 merkki.

Nyt pohdimme useita tehtäviä, joissa esittelemme kuinka soveltaa saatuja tietoja tiettyihin numeroihin.

Ongelma numero 1. Edeltävien elementtien ja summan laskeminen

Annetaan geometrinen eteneminen, etenemisen nimittäjä on 2 ja sen ensimmäinen elementti on 3. Minkä kanssa seitsemäs ja kymmenes ehto ovat yhtä suuret ja mikä on sen seitsemän alkuelementin summa?

Ongelman ehto on muodostettu melko yksinkertaisesti ja siinä oletetaan yllä olevien kaavojen suora käyttö. Joten laskeaksesi elementin numerolla n, käytämme lauseketta an \u003d bn-1 * a1. Seitsemännelle elementille, joka meillä on: a7 \u003d b6 * a1, korvaamalla tunnetut tiedot, saadaan: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Teemme saman 10. aikavälillä: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Käytämme yleisesti tunnettua kaavaa summalle ja määritetään tämä arvo sarjan ensimmäisille 7 elementille. Meillä on: S7 \u003d (27-1) * 3 / (2-1) \u003d 381.

Ongelma numero 2. Etenemisen mielivaltaisten elementtien summan määrittäminen

Olkoon -2 eksponentiaalisen etenemisnopeuden bn-1 * 4 nimittäjä, missä n on kokonaisluku. On tarpeen määrittää määrä tämän sarjan viidennestä 10. elementtiin, mukaan lukien.

Esitettyä ongelmaa ei voida ratkaista suoraan käyttämällä tunnettuja kaavoja. Se voidaan ratkaista kahdella eri menetelmällä. Esitämme molemmat täydellisyyden vuoksi.

Menetelmä 1. Sen idea on yksinkertainen: on tarpeen laskea ensimmäisten ehtojen kaksi vastaavaa summaa ja vähentää toinen toisesta. Laskemme pienemmän määrän: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Nyt lasketaan suuri summa: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Huomaa, että viimeisessä lausekkeessa summataan vain 4 termeä, koska viidesosa sisältyy jo summaan, joka on laskettava ongelmalausunnon mukaan. Lopuksi ota ero: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Menetelmä 2. Ennen numeroiden korvaamista ja laskemista voit saada kaavan summalle kyseisen sarjan jäsenten m ja n välillä. Teemme täsmälleen samat kuin menetelmässä 1, vain työskentelemme ensin summan symbolisella esityksellä. Meillä on: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). Voit korvata tunnetut numerot tuloksena olevaan lausekkeeseen ja laskea lopputuloksen: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Ongelma numero 3. Mikä on nimittäjä?

Olkoon a1 \u003d 2, löydä geometrisen etenemisen nimittäjä edellyttäen, että sen ääretön summa on 3, ja tiedetään, että tämä on aleneva lukusarja.

Ongelman perusteella on helppo arvata, mitä kaavaa tulisi käyttää sen ratkaisemiseksi. Tietenkin, etenemisen summa pienenee äärettömästi. Meillä on: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Mistä ilmoitamme nimittäjän: b \u003d 1 - a1 / S∞. Jää vielä korvata tunnetut arvot ja saada vaadittu luku: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 tai -0,333 (3). Tämä tulos voidaan tarkistaa laadullisesti, jos muistelemme, että tämän tyyppisissä sekvensseissä moduulin b ei tulisi ylittää arvoa 1. Kuten näette, | -1 / 3 |

Ongelmanumero 4. Numerosarjan palauttaminen

Annetaan numerosarjan 2 elementtiä, esimerkiksi viides on yhtä suuri kuin 30 ja kymmenes on yhtä suuri kuin 60. On tarpeen rekonstruoida koko sarja näiden tietojen perusteella tietäen, että se täyttää geometrisen etenemisen ominaisuudet.

Ongelman ratkaisemiseksi sinun on ensin kirjoitettava vastaava lauseke jokaiselle tunnetulle termille. Meillä on: a5 \u003d b4 * a1 ja a10 \u003d b9 * a1. Nyt jaamme toisen lausekkeen ensimmäisellä, saamme: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Tästä lähtien määritämme nimittäjän ottamalla ongelmalausunnossa tunnettujen termien suhteen viidennen juuren, b \u003d 1,148698. Korvaamme tuloksena olevan luvun yhdeksi tunnetun elementin lausekkeista, saadaan: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

Siten olemme löytäneet, mikä on etenemisnopeuden bn nimittäjä, ja geometrinen eteneminen bn-1 * 17,2304966 \u003d an, missä b \u003d 1,148698.

Missä geometrisia etenemisiä käytetään?

Jos tätä numerosarjaa ei sovelleta käytännössä, sen tutkimus vähenee puhtaasti teoreettiseen kiinnostukseen. Mutta on olemassa sellainen sovellus.

Alla on 3 kuuluisinta esimerkkiä:

• Zenon paradoksi, jossa taitava Achilleus ei pääse kiinni hitaaseen kilpikontaan, ratkaistaan \u200b\u200bkäsitteellä äärettömästi laskevasta numerosarjasta.
• Jos laitat vehnäjyviä shakkilaudan jokaiseen neliöön siten, että 1 jyvä sijoitetaan ensimmäiselle neliölle, 2 - toiselle, 3 - kolmannelle ja niin edelleen, niin silloin tarvitaan 18446744073709551615 jyviä kaikkien levyn neliöiden täyttämiseksi!
• Hanoi Tower -pelissä levyjen uudelleen järjestämiseksi yhdestä sauvasta toiseen sinun on suoritettava 2n - 1 toimenpiteet, toisin sanoen niiden lukumäärä kasvaa räjähdysmäisesti käytettyjen levyjen määrän kanssa.

Ensimmäinen taso

Geometrinen eteneminen. Kattava opas esimerkein (2019)

Numerojärjestys

Joten istumme alas ja ala kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (tässä tapauksessa niitä). Riippumatta siitä kuinka monta numeroa me kirjoitamme, voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, mikä toinen ja niin edelleen viimeiseen, ts. Voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerojärjestyksestä:

Numerojärjestys on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan antaa yksilöivä numero.

Esimerkiksi sekvenssillemme:

Annettu numero on spesifinen vain yhdelle järjestysnumerolle. Toisin sanoen, sekvenssissä ei ole kolme toista numeroa. Toinen numero (kuten kuudes numero) on aina yksi.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin kolmanneksi jäseneksi.

Kutsumme koko sekvenssiä yleensä jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka hakemisto on yhtä suuri kuin tämän jäsenen lukumäärä :.

Meidän tapauksessamme:

Yleisimmät etenemismuodot ovat aritmeettinen ja geometrinen. Tässä säieessä puhumme toisesta lajista - geometrinen eteneminen.

Miksi tarvitsemme geometrista etenemistä ja sen alkuperähistoriaa?

Jo muinaisina aikoina italialainen matemaatikko Leonardo Pisasta (tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci) käsitteli kaupan käytännön tarpeita. Munkki joutui selvittämään, kuinka pienintä määrää painoja voidaan käyttää tavaroiden punnitsemiseen? Fibonacci todistaa kirjoituksissaan, että tällainen painojärjestelmä on optimaalinen: Tämä on yksi ensimmäisistä tilanteista, joissa ihmisten oli kohdattava geometrinen eteneminen, josta olet todennäköisesti jo kuullut ja jolla on ainakin yleinen käsitys. Kun olet ymmärtänyt aiheen täysin, mieti, miksi tällainen järjestelmä on optimaalinen?

Tällä hetkellä elämäkäytännössä geometrinen eteneminen ilmenee sijoitettaessa rahaa pankkiin, kun koron määrä veloitetaan tilille kertyneeltä määrältä edelliseltä ajalta. Toisin sanoen, jos laitat rahaa talletukselle säästöpankissa, niin talletus kasvaa vuodessa enemmän kuin alkuperäinen summa, ts. uusi summa on yhtä suuri kuin talletus kerrottuna luvulla. Toisella vuonna tämä määrä kasvaa, ts. tuolloin saatu määrä kerrotaan ja niin edelleen. Samanlainen tilanne on kuvattu ns korkoa korolle - Prosentti otetaan joka kerta tilin summasta ottaen huomioon aiempi korko. Puhumme näistä tehtävistä vähän myöhemmin.

On paljon enemmän yksinkertaisia \u200b\u200btapauksia, joissa käytetään geometrista etenemistä. Esimerkiksi influenssan leviäminen: yksi henkilö sai tartunnan ihmiseen, hän puolestaan \u200b\u200btarttui toiseen, ja siten toinen tartunta-aalto on henkilö, ja he puolestaan \u200b\u200btartuttavat toisen ... ja niin edelleen ...

Muuten, taloudellinen pyramidi, sama MMM, on yksinkertainen ja kuiva laskelma, joka perustuu geometrisen etenemisen ominaisuuksiin. Mielenkiintoista? Selvitetään se.

Geometrinen eteneminen.

Oletetaan, että meillä on numeerisarja:

Vastaat heti, että tämä on helppoa ja tällaisen sekvenssin nimi on aritmeettinen eteneminen sen jäsenten erotuksella. Entä tämä:

Jos vähennät edellisen seuraavasta luvusta, huomaat, että joka kerta saadaan uusi ero (ja niin edelleen), mutta sekvenssi on ehdottomasti olemassa ja se on helppo huomata - jokainen seuraava luku on kertaa suurempi kuin edellinen!

Tällaista numerojärjestystä kutsutaan geometrinen eteneminen ja on merkitty.

Geometrinen eteneminen () on numeerinen sekvenssi, jonka ensimmäinen termi ei ole nolla, ja jokainen termi, joka alkaa toisesta, on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla numerolla. Tätä numeroa kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjäksi.

Rajoitukset, joiden mukaan ensimmäinen termi () ei ole sama eikä satunnainen. Oletetaan, että niitä ei ole, ja ensimmäinen termi on silti yhtä suuri, ja q on yhtä suuri, hmm .. anna, sitten käy ilmi:

Hyväksy, että tämä ei ole enää etenemistä.

Kuten ymmärrät, saamme samat tulokset, jos se on jokin muu luku kuin nolla, ja. Näissä tapauksissa etenemistä ei yksinkertaisesti tapahdu, koska koko numerosarja on joko kaikki nollat \u200b\u200btai yksi numero ja kaikki muut nollat.

Nyt puhutaan yksityiskohtaisemmin geometrisen etenemisen nimittäjästä eli Fr.

Toistetaan: on numero, kuinka monta kertaa jokainen seuraava termi muuttuu geometrinen eteneminen.

Mikä luulet sen olevan? Oikein, positiivinen ja negatiivinen, mutta ei nolla (puhuimme tästä hieman korkeammalle).

Oletetaan, että meillä on positiivista. Olkoon myös meidän tapauksessamme. Mikä on toinen termi ja? Voit helposti vastata siihen:

Kaikki on oikein. Vastaavasti jos, niin, niin kaikilla seuraavilla etenemisen jäsenillä on sama merkki - he positiivinen.

Entä jos negatiivinen? Esimerkiksi a. Mikä on toinen termi ja?

Tämä on täysin erilainen tarina

Yritä laskea tämän etenemisen termi. Kuinka paljon sait? Minulla on. Siten, jos, niin geometrisen etenemisen jäsenten merkit vuorottelevat. Eli jos näet edistymisen vuorottelevilla merkkeillä sen jäsenillä, sen nimittäjä on negatiivinen. Tämän tiedon avulla voit testata itseäsi ratkaistaessasi aiheeseen liittyviä ongelmia.

Harjoitetaan nyt vähän: yritetään selvittää, mitkä numerosekvenssit ovat geometrista etenemistä ja mitkä ovat aritmeettisia:

Ymmärsi? Vertaillaan vastauksiamme:

• Geometrinen eteneminen - 3, 6.
• Aritmeettinen eteneminen - 2, 4.
• Se ei ole aritmeettinen eikä geometrinen eteneminen - 1, 5, 7.

Palataan viimeiseen etenemiseen ja yritetään löytää sen termi samalla tavalla kuin aritmeettisessa. Kuten saatat arvata, sen löytämiseen on kaksi tapaa.

Kertomme peräkkäin jokainen termi termillä.

Joten kuvatun geometrisen etenemisen kolmas jäsen on yhtä suuri.

Kuten saatat arvata, nyt itse päätät kaavan, joka auttaa sinua löytämään minkä tahansa geometrisen etenemisen jäsenen. Tai oletko jo tuonut sen itsellesi, kuvaamalla kuinka löytää kolmas jäsen vaiheittain? Jos näin on, tarkista perustelujesi oikeellisuus.

Kuvailkaamme tätä esimerkillä tietyn etenemisen kolmannen jäsenen löytämisestä:

Toisin sanoen:

Löydä itse tietyn geometrisen etenemisen jäsenen arvo.

Tapahtui? Vertaillaan vastauksiamme:

Huomaa, että saat tarkalleen saman numeron kuin edellisessä menetelmässä, kun kerrotaan peräkkäin jokaisella edellisellä geometrisen etenemisen termillä.
Yritetään "poistaa käytöstä" tämä kaava - tuomme se yleiseen muotoon ja saadaan:

Johdettu kaava on oikein kaikille arvoille, sekä positiivisille että negatiivisille. Tarkista se itse laskemalla geometrisen etenemisen jäsenet seuraavilla ehdoilla:, a.

Oletko laskenut? Vertaillaan saatuja tuloksia:

Hyväksy, että etenemisen jäsen olisi mahdollista löytää samalla tavalla kuin jäsen, mutta virheellinen laskenta on kuitenkin mahdollista. Ja jos olemme jo löytäneet geometrisen etenemisen kolmannen termin, niin mikä voisi olla helpompaa kuin kaavan "katkaisun" osan käyttäminen.

Äärimmäisen pienenevä geometrinen eteneminen.

Viime aikoina puhuimme siitä, että se voi olla joko enemmän tai vähemmän kuin nolla, mutta on kuitenkin erityisiä arvoja, joissa geometrista etenemistä kutsutaan äärettömästi laskeva.

Miksi luulet sellaisen nimen?
Ensin kirjoitetaan muistiin jokin jäsenistä koostuva geometrinen eteneminen.
Oletetaan, että sitten:

Näemme, että jokainen seuraava termi on vähemmän kuin edellinen yksi kerroin, mutta onko olemassa mitään lukuja? Vastaat heti - ei. Siksi portaattomasti aleneva - pienenee, laskee eikä koskaan muutu nollaksi.

Yritämme ymmärtää selvästi, miltä se näyttää visuaalisesti, yritämällä piirtää kuvaaja etenemisestämme. Joten meidän tapauksemme kaava on seuraava:

Siksi on tapana rakentaa riippuvuus kaavioista, siksi:

Lausekkeen ydin ei ole muuttunut: ensimmäisessä merkinnässä osoitimme geometrisen etenemisjäsenen arvon riippuvuutta sen järjestysluvusta, ja toisessa merkinnässä otimme yksinkertaisesti geometrisen etenemistermin arvon muodossa, ja järjestysnumerolle osoitettiin, kuinka, mutta miten. Ainoa jäljellä oleva tehtävä on rakentaa kuvaaja.
Katsotaanpa mitä teit. Tässä on kaavio, jonka sain:

Katso? Toiminto laskee, taipuu nollaan, mutta ei koskaan ylitä sitä, joten se pienenee äärettömästi. Merkitään pisteet graafiin ja samalla mitä koordinaatti ja tarkoittaa:

Yritä kaavamaisesti kuvaaa kuvaajaa geometrisesta etenemisestä, jos sen ensimmäinen termi on myös sama. Analysoi, mitä eroa edellisellä kaaviollamme on?

Onnistuitko? Tässä on kaavio, jonka sain:

Nyt kun olet ymmärtänyt geometrisen etenemisteeman perusteet: tiedät mitä se on, osaat löytää sen termin, ja tiedät myös, mikä on äärettömästi laskeva geometrinen eteneminen, siirrymme sen pääominaisuuteen.

Geometrisen etenemisen ominaisuus.

Muistatko aritmeettisen etenemisen jäsenten omaisuuden? Kyllä, kyllä, kuinka löytää tietyn määrän etenemistä, kun tietyllä etenemisellä on aiempia ja seuraavia arvoja. Muistaa? Tämä:

Nyt meillä on täsmälleen sama kysymys geometrisen etenemisen jäsenille. Aloitetaan piirtäminen ja päättely samanlaisen kaavan saamiseksi. Huomaat, että se on erittäin helppoa, ja jos unohdat, voit tuoda sen itse esiin.

Otetaan toinen yksinkertainen geometrinen eteneminen, jossa tunnemme ja. Kuinka löytää? Aritmeettisella etenemisellä tämä on helppoa ja yksinkertaista, mutta entä täällä? Itse asiassa geometrisessä muodossa ei myöskään ole mitään monimutkaista - sinun on vain kirjoitettava jokainen meille annettu arvo kaavan avulla.

Kysyt, mitä meidän pitäisi tehdä tämän kanssa nyt? Se on hyvin yksinkertaista. Aluksi kuvaamme nämä kaavat kuvassa ja yritämme tehdä erilaisia \u200b\u200bmanipulointeja niiden kanssa arvon saavuttamiseksi.

Abstraktimme annetuista numeroista, keskitymme vain ilmaisemaan ne kaavan avulla. Meidän on löydettävä oranssilla korostettu arvo tuntemalla sen viereiset jäsenet. Yritetään suorittaa heidän kanssaan erilaisia \u200b\u200btoimia, joiden seurauksena voimme vastaanottaa.

Lisäys.
Yritetään lisätä kaksi lauseketta ja saamme:

Tästä lausekkeesta, kuten näette, emme voi ilmaista millään tavalla, joten yritämme toista vaihtoehtoa - vähennyslaskua.

Vähennyslasku.

Kuten näette, emme myöskään voi ilmaista tästä, siksi yritämme kertoa nämä lausekkeet toisiltaan.

Kertominen.

Katso nyt tarkkaan mitä meillä on, kertomalla meille annetun geometrisen etenemisen jäsenet verrattuna siihen, mitä on löydettävä:

Arvaa mitä puhun? Oikein tavoin löytääkseni on otettava geometristen etenemisnumeroiden neliöjuuri halutun luvun vieressä kerrottuna:

Hyvin. Olet itse päätellyt geometrisen etenemisen ominaisuuden. Yritä kirjoittaa tämä kaava yleisesti. Tapahtui?

Unohditko ehdon? Mieti, miksi se on tärkeää, esimerkiksi yritä laskea se itse, jos. Mitä tässä tapauksessa tapahtuu? Se on totta, täydellinen hölynpöly, koska kaava näyttää tältä:

Älä siis unohda tätä rajoitusta.

Lasketaan nyt mikä on yhtä suuri kuin

Oikea vastaus - ! Jos lasketessasi et unohtanut toista mahdollista arvoa, olet suuri mies ja voit siirtyä välittömästi koulutukseen, ja jos unohdat, lue mitä käsitellään tarkemmin ja kiinnitä huomiota siihen, miksi molemmat juuret on kirjoitettava vastauksessa.

Piirrämme molemmat geometriset etenemisemme - toisella tarkoituksella ja toisella merkityksellä ja tarkistamme, onko molemmilla oikeus olemassa:

Jotta voidaan tarkistaa, onko tällainen geometrinen eteneminen olemassa vai ei, on tarpeen selvittää, onko se kaikkien annettujen jäsenten välillä sama? Laske q ensimmäiselle ja toiselle tapaukselle.

Miksi meidän on kirjoitettava kaksi vastausta? Koska vaaditun termin merkki riippuu siitä onko se positiivinen vai negatiivinen! Ja koska emme tiedä mitä hän on, meidän on kirjoitettava molemmat vastaukset plus ja miinus.

Nyt kun olet hallinnut pääpisteet ja päätellyt kaavan geometrisen etenemisen ominaisuudelle, löydä, tiedä ja

Vertaa vastaanotettuja vastauksia oikeisiin:

Mitä luulet, entä jos meille ei annettu geometrisen etenemisen jäsenten arvoja vaaditun luvun vieressä, mutta yhtä kaukana siitä. Meidän on esimerkiksi löydettävä, ja meille annetaan ja. Voimmeko tässä tapauksessa käyttää johdettua kaavaa? Yritä vahvistaa tai kieltää tämä mahdollisuus samalla tavalla kirjoittamalla, mistä kukin arvo koostuu, kuten teit kaavan alun perin johtaessa.
Mitä sinä teit?

Katso nyt tarkkaan uudelleen.
ja vastaavasti:

Tästä voidaan päätellä, että kaava toimii ei vain naapurimaiden kanssa vaaditulla geometrisen etenemisen ehdoilla, mutta myös yhtä kaukana jäseniltä, \u200b\u200bjoita etsittiin.

Alkuperäinen kaavasi on siis seuraavanlainen:

Eli jos ensimmäisessä tapauksessa sanoimme niin, nyt sanomme, että se voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa pienempi luonnollinen luku. Tärkeintä on, että se on sama molemmille annettuille numeroille.

Harjoittele erityisillä esimerkeillä, ole vain erityisen varovainen!

1. ,. Löytää.
2. ,. Löytää.
3. ,. Löytää.

Päätin? Toivon, että olit erityisen varovainen ja huomasit pienen saaliin.

Vertaamme tuloksia.

Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa käytämme rauhallisesti yllä olevaa kaavaa ja saamme seuraavat arvot:

Kolmannessa tapauksessa, kun harkitaan huolellisesti meille annettujen numeroiden järjestyslukuja, ymmärrämme, että ne eivät ole yhtä kaukana etsimästämme numerosta: se on edellinen numero, mutta poistettu paikoilleen, joten kaavaa ei ole mahdollista soveltaa.

Kuinka ratkaista se? Se ei oikeastaan \u200b\u200bole niin vaikeaa kuin miltä se kuulostaa! Kirjoita muistiin kanssasi, mistä kukin meille annettu numero ja vaadittu numero koostuvat.

Joten meillä on ja. Katsotaanpa mitä voit tehdä heidän kanssaan? Ehdotan jakaa. Saamme:

Korvaamme tietomme kaavaan:

Seuraava vaihe, jonka voimme löytää - tätä varten meidän on otettava tuloksena olevan luvun kuutiojuuri.

Ja nyt tarkastelemme uudelleen sitä, mitä meillä on. Meillä on se, mutta meidän on löydettävä se, ja se puolestaan \u200b\u200bon yhtä suuri kuin:

Löysimme kaikki laskelmaan tarvittavat tiedot. Korvaamme kaavassa:

Vastauksemme: .

Yritä ratkaista toinen samanlainen ongelma itse:
annetaan :,
Löytää:

Kuinka paljon sait? Minulla on - .

Kuten näette, tarvitset itse asiassa muista vain yksi kaava -. Kaikki muut voit vetää itsesi pois ilman mitään vaikeuksia milloin tahansa. Kirjoita tähän yksinkertainen geometrinen eteneminen paperille ja kirjoita yllä olevan kaavan mukaan kukin sen luku yhtä suureksi.

Geometrisen etenemisen jäsenten summa.

Mieti nyt kaavoja, joiden avulla voimme nopeasti laskea geometrisen etenemisen jäsenten summan tietyllä aikavälillä:

Jotta voidaan saada kaava rajallisen geometrisen etenemisen jäsenten summalle, kerrotaan korkeamman yhtälön kaikki osat kertoimella. Saamme:

Katso tarkkaan: mitä kahdella viimeisellä kaavalla on yhteistä? Se on totta, esimerkiksi tavalliset jäsenet ja niin edelleen, paitsi ensimmäinen ja viimeinen jäsen. Yritetään vähentää ensimmäinen 2. yhtälöstä. Mitä sinä teit?

Ilmaise nyt geometrisen etenemisen termi kaavan avulla ja korvaa tuloksena oleva lauseke viimeisessä kaavassamme:

Ryhmittele lauseke. Sinun pitäisi saada:

Ainoa jäljellä oleva tehtävä on ilmaista:

Näin ollen tässä tapauksessa.

Mitä jos? Mikä kaava toimii sitten? Kuvittele geometrinen eteneminen kohdassa. Millainen hän on? Oikein identtisten lukujen sarja, vastaavasti, kaava näyttää tältä:

Sekä aritmeettisessa että geometrisessa etenemisessä on monia legendoja. Yksi niistä on legenda Setistä, shakin luojasta.

Monet ihmiset tietävät, että shakkipeli keksittiin Intiassa. Kun hindulainen kuningas tapasi hänet, hän oli ilahtunut naisen tajuudesta ja mahdollisista tehtävistä hänessä. Saatuaan tietää, että yksi hänen aiheistaan \u200b\u200bkeksi sen, kuningas päätti palkita hänet henkilökohtaisesti. Hän kutsui keksijän luokseen ja käski häntä kysyä häneltä mitä hän halusi, lupaten täyttää jopa taitavimman toiveen.

Seta pyysi aikaa ajatella ja kun seuraavana päivänä seta ilmestyi kuninkaalle, hän yllätti kuninkaan pyynnöllään ennennäkemättömällä vaatimattomuudella. Hän pyysi antamaan vehnäjyvän shakkilaudan ensimmäiselle neliölle, vehnänjyvät toiselle, kolmannelle, neljännelle jne.

Kuningas suuttui ja ajoi Sethin pois sanomalla, että palvelijan pyyntö oli kuninkaallisen anteliaisuuden vastainen, mutta lupasi palvelijan vastaanottavan viljansa kaikista hallituksen soluista.

Ja nyt kysymys: laskekaa kaava geometrisen etenemisen jäsenten summalle, kuinka monta jyvää Seta saa?

Aloitetaan syyt. Koska ehtojen mukaan Seta pyysi vehnäjyvää shakkilaudan ensimmäiselle neliölle, toiselle, kolmannelle, neljännelle jne., Näemme, että ongelmana on geometrinen eteneminen. Mikä on tässä tapauksessa yhtä suuri?
Oikea.

Shakkilaudan solut yhteensä. Asianmukaisesti,. Meillä on kaikki tiedot, jää vain korvata se kaavalla ja laskea.

Esittääksesi ainakin suunnilleen tietyn luvun "asteikot", muuntamalla tutkinnon ominaisuudet:

Tietysti, jos haluat, voit ottaa laskurin ja laskea mitä numeron saat lopulta. Jos ei, sinun on otettava sanani siitä: lausekkeen lopullinen arvo on.
so:

nelikillaria nelikillaria miljardia miljoonaa tuhatta.

Fuh) Jos haluat kuvitella tämän luvun valtavuuden, arvioi, kuinka suuri lato vaaditaan sisältävän koko viljamäärän.
Kun navetan korkeus m ja leveys m, sen pituuden olisi pidennettävä km, ts. kaksi kertaa kauempana maasta aurinkoon.

Jos tsaari olisi vahva matematiikassa, hän voisi ehdottaa, että tiedemies itse laskee jyvät, koska miljoonan jyvän laskemiseksi hän tarvitsisi ainakin päivän väsymätöntä laskentaa, ja koska on tarpeen laskea kvintillioita, jyvät on laskettava koko elämänsä ajan.

Nyt ratkaistaan \u200b\u200byksinkertainen ongelma geometrisen etenemisen jäsenten summalle.
Vasya, luokan 5 A oppilas, sairastuu influenssaan, mutta jatkaa koulunkäyntiään. Joka päivä Vasya tartuttaa kaksi ihmistä, jotka puolestaan \u200b\u200btartuttavat vielä kaksi ihmistä ja niin edelleen. Luokassa on ihmisiä. Kuinka monta päivää koko luokka sairastuu flunssa?

Joten, geometrisen etenemisen ensimmäinen jäsen on Vasya, eli henkilö. Geometrisen etenemisen jäsen, nämä ovat kaksi ihmistä, jotka hän tartutti saapumisensa ensimmäisenä päivänä. Progressiivisten jäsenten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin 5A-opiskelijoiden lukumäärä. Sen vuoksi puhumme etenemisestä, jossa:

Korvataan tietomme kaavaan geometrisen etenemisen jäsenten summalle:

Koko luokka sairastuu päivinä. Etkö usko kaavoihin ja numeroihin? Yritä kuvata opiskelijoiden "tartunta" itse. Tapahtui? Katso miten se näyttää minusta:

Laske itsellesi, kuinka monta päivää oppilaiden kestää flunssa, jos kukin tartuttaa ihmisen ja jos luokassa on henkilö.

Mitä arvoa sait? Kävi ilmi, että kaikki alkoivat sairastua päivän kuluttua.

Kuten näette, tällainen tehtävä ja siihen piirtäminen muistuttavat pyramidia, jossa jokainen seuraava "tuo" uusia ihmisiä. Ennen tai myöhemmin tulee kuitenkin hetki, jolloin jälkimmäinen ei voi houkutella ketään. Jos kuvittelemme luokan olevan erillinen, tapauksessamme henkilö sulkee ketjun (). Siten, jos henkilö osallistuu finanssipyramidiin, jossa annettiin rahaa siinä tapauksessa, että tulet kaksi muuta osallistujaa, kyseinen henkilö (tai yleisessä tapauksessa) ei tuo ketään vastaavasti, hän menettää kaiken sijoitetunsa tähän rahoitukseen. huijaus.

Kaikki, mitä edellä sanottiin, viittaa laskevaan tai kasvavaan geometriseen etenemiseen, mutta kuten muistat, meillä on erityinen tyyppi - äärettömästi laskeva geometrinen eteneminen. Kuinka laskea jäsentensä summa? Ja miksi tämän tyyppisellä etenemisellä on tiettyjä piirteitä? Lajitellaan se yhdessä.

Joten aluksi tarkastellaan uudelleen tätä kuvaa äärettömästi laskevasta geometrisesta etenemisestä esimerkistämme:

Katsotaanpa nyt kaavaa geometrisen etenemisen summalle, joka on johdettu hiukan aikaisemmin:
tai

Mitä me pyrimme? Se on totta, kaavio osoittaa, että se pyrkii nollaan. Eli kun se on melkein yhtä suuri, vastaavasti laskettaessa lauseketta saadaan melkein. Tässä suhteessa uskomme, että laskettaessa portaattomasti laskevan geometrisen etenemisen summaa, tämä kannatin voidaan jättää huomiotta, koska se on sama.

- kaava on äärettömästi laskevan geometrisen etenemisen ehtojen summa.

TÄRKEÄ! Käytämme kaavaa äärettömästi alenevan geometrisen etenemisen ehtojen summalle vain, jos ehossa todetaan nimenomaisesti, että meidän on löydettävä summa loputon jäsenten lukumäärä.

Jos tietty numero n on ilmoitettu, niin käytämme kaavaa n-ehtojen summalle, vaikka tai.

Harjoitetaan nyt.

1. Löydä geometrisen etenemisen ensimmäisten ehtojen summa ja.
2. Löydä äärettömästi laskevan geometrisen etenemisen ehtojen summa näppäimillä ja.

Toivon, että olit erityisen varovainen. Vertaillaan vastauksiamme:

Nyt tiedät kaiken geometrisesta etenemisestä, ja on aika siirtyä teoriasta käytäntöön. Tentissä yleisimmät geometriset etenemisongelmat ovat korkoon liittyviä ongelmia. Puhumme heistä heistä.

Yhdistelmäkorkojen laskentatehtävät.

Olet todennäköisesti kuullut ns. Korkokaavasta. Ymmärrätkö mitä hän tarkoittaa? Jos ei, niin selvitetään se, koska toteutettuasi prosessin itse ymmärrät heti, ja tässä on geometrinen eteneminen.

Me kaikki menemme pankkiin ja tiedämme, että talletuksille on olemassa eri ehdot: tämä on termi, lisäpalvelu ja korko kahdella erilaisella laskutavalla - yksinkertaisella ja monimutkaisella.

FROM yksinkertainen kiinnostus kaikki on enemmän tai vähemmän selvää: korkoa veloitetaan kerran talletuskauden lopussa. Eli jos sanomme, että laskemme 100 ruplaa vuodeksi, se hyvitetään vasta vuoden lopussa. Vastaavasti talletuksen loppuun mennessä saamme ruplaa.

Korkoa korolle - tässä vaihtoehdossa koron aktivointi, ts. niiden lisääminen talletussummaan ja myöhempi tulolaskelma ei alkuperäisestä, vaan talletuksen kertyneestä määrästä. Suurin kirjain ei tapahdu jatkuvasti, mutta jollain taajuudella. Nämä ajanjaksot ovat tyypillisesti yhtä suuret ja useimmiten pankit käyttävät kuukautta, vuosineljännestä tai vuotta.

Oletetaan, että laitamme kaikki samat ruplat vuosikorkoon, mutta talletus aktivoidaan kuukausittain. Mitä me saamme?

Ymmärrätkö kaiken täällä? Jos ei, selvitetään se vaiheittain.

Toimme ruplaa pankkiin. Kuukauden loppuun mennessä tilillämme pitäisi olla summa, joka koostuu ruplamme plus heille maksettavista koroista, toisin sanoen:

Olen samaa mieltä?

Voimme laittaa sen kiinnikkeen ulkopuolelle ja sitten saamme:

Olen samaa mieltä, tämä kaava on jo samanlainen kuin alussa kirjoittamamme. Korkojen käsittely on vielä tehtävä

Ongelmalausunnossa meille kerrotaan vuosittaisesta. Kuten tiedät, emme kerro kertoimella - muuntamme prosenttimäärät desimaalin tarkkuudella, toisin sanoen:

Oikea? Nyt kysyt, mistä numero tuli? Erittäin yksinkertainen!
Toistan: ongelmalausunnossa sanotaan VARSINAINEN kertyneet korot KUUKAUSITTAIN... Kuten tiedät, pankki veloittaa meiltä kuukauden vuodessa osan kuukauden koroista:

Tajusi? Yritä nyt kirjoittaa miltä tämä kaavan osa näyttää, jos sanon, että korko lasketaan päivittäin.
Onnistuitko? Vertaillaan tuloksia:

Hyvin tehty! Palataan tehtäväämme: kirjoita muistiin, kuinka paljon tiliämme hyvitetään toisena kuukautena, ottaen huomioon, että talletuksen kertyneestä summasta veloitetaan korko.
Tässä on mitä sain:

Tai toisin sanoen:

Luulen, että olet jo huomannut kuvion ja nähnyt geometrisen etenemisen tässä kaikessa. Kirjoita muistiin, mikä sen jäsen on yhtä suuri tai toisin sanoen kuinka paljon rahaa saamme kuukauden lopussa.
Ollut? Tarkkailun!

Kuten näette, jos laitat rahaa pankkiin vuodeksi yksinkertaisella korolla, saat ruplaa, ja jos kompleksisella korolla - ruplaa. Hyöty on pieni, mutta tämä tapahtuu vasta kolmannen vuoden aikana, mutta pidempään ajanjaksoon aktivointi on paljon kannattavampaa:

Tarkastellaan toisen tyyppisiä yhdistettyjen korkojen ongelmia. Sen jälkeen kun keksit, se on sinulle alkeellista. Joten tehtävä:

Zvezda-yritys aloitti sijoittamisen teollisuuteen vuonna 2000, sillä sillä oli pääomaa dollareissa. Joka vuosi vuodesta 2001 lähtien hän on saanut voittoa, joka on peräisin edellisen vuoden pääomasta. Kuinka paljon voittoa Zvezda-yritys saa vuoden 2003 lopussa, jos voittoa ei ole poistettu liikkeestä?

Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2000.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2001.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2002.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2003.

Tai voimme kirjoittaa lyhyesti:

Meidän tapauksemme:

2000, 2001, 2002 ja 2003.

Vastaavasti:
ruplaa
Huomaa, että tässä ongelmassa meillä ei ole jakoa joko eikä toisella, koska prosenttiosuus annetaan vuosittain ja se lasketaan vuosittain. Toisin sanoen, kun luet korkoon liittyvää ongelmaa, kiinnitä huomiota siihen, mikä prosenttiosuus annetaan ja minkä ajanjakson aikana se veloitetaan, ja jatka sitten sitten laskelmiin.
Nyt tiedät kaiken geometrisesta etenemisestä.

Treenata.

1. Etsi eksponentiaalinen termi, jos tiedetään, että
2. Löydä geometrisen etenemisen ensimmäisten ehtojen summa, jos tiedetään, että
3. MDM Capital aloitti sijoittamisen teollisuuteen vuonna 2003, sillä sillä oli pääomaa dollareissa. Joka vuosi vuodesta 2004 lähtien hän ansaitsee voittoa, joka on peräisin edellisen vuoden pääomasta. Yhtiö "MSK Cash Flows" aloitti teollisuudelle investointien tekemisen vuonna 2005 10 000 dollarilla, ja se aloitti vuoden 2006 voiton. Kuinka monta dollaria yhden yrityksen pääoma on enemmän kuin toisen vuoden 2007 lopussa, jos voittoa ei ole poistettu liikkeestä?

vastaukset:

1. Koska ongelmalausunnossa ei sanota, että eteneminen on ääretöntä, ja se on määritettävä tietyn lukumäärän jäseniä, laskelma suoritetaan seuraavan kaavan mukaan:
2. 
   MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - kasvaa 100%, toisin sanoen 2 kertaa.
   Vastaavasti:
   ruplaa
   MSK kassavirrat:

   2005, 2006, 2007.
   - kasvaa, toisin sanoen kertaa.
   Vastaavasti:
   ruplaa
   ruplaa

Tehdään yhteenveto.

1) Geometrinen eteneminen () on numeerinen sekvenssi, jonka ensimmäinen termi ei ole nolla ja jokainen termi, joka alkaa toisesta, on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla numerolla. Tätä numeroa kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjäksi.

2) Geometrisen etenemisen jäsenten yhtälö -.

3) osaa ottaa mitkä tahansa arvot paitsi ja.

• jos, niin kaikilla seuraavilla etenemisen jäsenillä on sama merkki - he positiivinen;
• jos, niin kaikki seuraavat progression jäsenet varajäsen merkkejä;
• at - etenemistä kutsutaan äärettömän väheneväksi.

4), sillä on geometrisen etenemisen ominaisuus (vierekkäiset termit)

tai
, at (yhtä kaukana ehdoista)

Kun unohdat, älä unohda sitä vastauksia pitäisi olla kaksi.

Esimerkiksi,

5) Geometrisen etenemisen jäsenten summa lasketaan kaavalla:
tai

Jos eteneminen vähenee äärettömästi, niin:
tai

TÄRKEÄ! Käytämme kaavaa äärettömästi laskevan geometrisen etenemisen ehtojen summalle vain, jos ehossa todetaan nimenomaisesti, että on löydettävä ääretön määrä ehtoja.

6) Yhdistelmäkorkoon liittyvät ongelmat lasketaan myös geometrisen etenemisen kolmannen ajanjakson kaavan mukaan, edellyttäen että varoja ei ole poistettu liikkeestä:

Geometrinen eteneminen. LYHYESTI PÄÄKIRJASTA

Geometrinen eteneminen () on numeerinen sekvenssi, jonka ensimmäinen jäsen ei ole nolla, ja jokainen toisesta alkaen oleva jäsen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla numerolla. Tätä numeroa kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjä.

Geometrinen nimittäjä voi ottaa minkä tahansa arvon paitsi ja.

• Jos sitten kaikilla seuraavilla etenemisen jäsenillä on sama merkki - he ovat positiivisia;
• jos, niin kaikki seuraavat etenemisen jäsenet vaihtavat merkkejä;
• at - etenemistä kutsutaan äärettömän väheneväksi.

Geometrisen etenemisen jäsenten yhtälö - .

Geometrisen etenemisen jäsenten summa lasketaan kaavalla:
tai

\u003e\u003e Matematiikka: Geometrinen eteneminen

Lukijan mukavuuden vuoksi tämä osa noudattaa täsmälleen samaa ääriviivaa kuin edellisessä osassa.

1. Peruskäsitteet.

Määritelmä. Numero numeerista sekvenssiä, jonka kaikki jäsenet eroavat nollasta ja jonka jokainen termi, joka alkaa toisesta, saadaan edellisestä termistä kertomalla se samalla numerolla, kutsutaan geometriseksi etenemiseksi. Tässä tapauksessa numeroa 5 kutsutaan geometrisen etenemisen nimittäjäksi.

Siten geometrinen eteneminen on numeerinen sekvenssi (bn), joka määritetään suhteiden rekursiivisesti

Onko mahdollista nähdä numerojärjestystä tarkastelemalla, onko kyse geometrisesta etenemisestä? Can. Jos olet vakuuttunut siitä, että sekvenssin minkä tahansa jäsenen suhde edelliseen jäseneseen on vakio, niin sinulla on geometrinen eteneminen.
Esimerkki 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
B1 \u003d 1, q \u003d 3.

Esimerkki 2

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa
Esimerkki 3

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa
Esimerkki 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Tämä on geometrinen eteneminen b 1 - 8, q \u003d 1.

Huomaa, että tämä sekvenssi on myös aritmeettinen eteneminen (katso esimerkki 3 kappaleessa 15).

Esimerkki 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Geometrinen eteneminen on selvästi kasvava sekvenssi, jos b 1\u003e 0, q\u003e 1 (katso esimerkki 1), ja vähenevä, jos b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Seuraava merkintä on joskus kätevä osoittaaksesi, että sekvenssi (bn) on geometrinen eteneminen:

Kuvake korvaa lauseen "geometrinen eteneminen".
Huomattakoon yksi utelias ja samalla aivan ilmeinen geometrisen etenemisen ominaisuus:
Jos sekvenssi on geometrinen eteneminen, sitten neliösarja, ts. on geometrinen eteneminen.
Toisessa geometrisessa etenemisessä ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin a on q 2.
Jos hylkäämme eksponentiaalisesti kaikki ehdot, jotka seuraavat bn: tä, niin saadaan äärellinen geometrinen eteneminen
Tämän osan seuraavissa kappaleissa tarkastellaan geometrisen etenemisen tärkeimpiä ominaisuuksia.

2. Geometrisen etenemisen n: nnen aikavälin kaava.

Harkitse geometrista etenemistä nimittäjä q. Meillä on:

On helppo arvata, että jokaiselle luvulle n on tasa-arvo

Tämä on kaava geometrisen etenemisen n. Aikavälille.

Kommentti.

Jos olet lukenut tärkeän huomautuksen edellisestä kappaleesta ja ymmärtänyt sen, yritä todistaa kaava (1) matemaattisella induktiomenetelmällä, samalla tavalla kuin se tehtiin kaavalle aritmeettisen etenemisen n: nnen kauden ajan.

Uudelleenkirjoitetaan kaava geometrisen etenemisen n: nnen kauden ajaksi

ja esitä merkintä: Saamme y \u003d mq 2 tai, yksityiskohtaisemmin,
Argumentti x sisältyy eksponenttiin, joten tätä kutsutaan eksponentiaalifunktioksi. Tämä tarkoittaa, että geometrista etenemistä voidaan pitää eksponentiaalisena funktiona, joka määritetään luonnollisten lukujen joukossa N. Kuvassa 1 Kuvio 96a esittää funktion kuvaajaa. 966 - funktion kuvaaja Molemmissa tapauksissa meillä on eristettyjä pisteitä (abskissilla x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3 jne.), Jotka sijaitsevat tietyllä käyrällä (molemmat luvut osoittavat samaa käyrää, vain sijaitsevat eri tavalla ja on esitetty eri asteikot). Tätä käyrää kutsutaan eksponentiaaliseksi. Lisätietoja eksponentiaalisesta toiminnasta ja sen kuvaajasta keskustellaan 11. luokan algebran kurssilla.

Palatkaamme edellisen kappaleen esimerkkeihin 1-5.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Tämä on geometrinen eteneminen, jossa b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Muodostetaan kaava n: lle aikavälille
2) Tämä on geometrinen etenemisvaihe, jossa sävelletään n: nnen termin kaava

Tämä on geometrinen eteneminen, jossa Laaditaan kaava n: lle aikavälille
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Tämä on geometrinen etenemisvaihe, jossa b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Muodostetaan kaava n: lle aikavälille
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Tämä on geometrinen eteneminen, jossa b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Laaditaan kaava n: lle aikavälille

Esimerkki 6

Geometrinen eteneminen annetaan

Kaikissa tapauksissa ratkaisu perustuu kaavaan geometrisen etenemisen n: nnen aikavälin osalta

a) Laittamalla kaavaan geometrisen etenemisen n \u003d 6 termi, saadaan

b) Meillä on

Koska 512 \u003d 2 9, saamme n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Meillä on

Esimerkki 7

Ero geometrisen etenemisen seitsemännen ja viidennen termin välillä on 48, etenemisen viidennen ja kuudennen termin summa on myös 48. Löydä tämän etenemisen kahdestoista aikaväli.

Ensimmäinen askel. Matemaattisen mallin laatiminen.

Ongelmaolosuhteet voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti:

Käyttämällä kaavaa geometrisen etenemisen n: nnessä termissä, saadaan:
Sitten tehtävän toinen ehto (b 7 - b 5 \u003d 48) voidaan kirjoittaa muotoon

Tehtävän kolmas ehto (b 5 + b 6 \u003d 48) voidaan kirjoittaa muodolla

Tuloksena saadaan kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi muuttujaa b 1 ja q:

joka yhdessä yllä olevan ehdon 1) kanssa on matemaattinen malli ongelmasta.

Toinen vaihe.

Työskentely käännetyn mallin kanssa. Yhtälöimällä järjestelmän molemmat yhtälöt vasemmalla puolella saadaan:

(jaoimme yhtälön molemmat puolet nolla-lausekkeeseen b 1 q 4).

Yhtälöstä q 2 - q - 2 \u003d 0 löydämme q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Korvaamalla arvo q \u003d 2 järjestelmän toiseen yhtälöön, saadaan
Korvaamalla arvo q \u003d -1 järjestelmän toisessa yhtälössä, saadaan b 1 1 0 \u003d 48; tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Joten, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - tämä pari on ratkaisu muodostetusta yhtälöjärjestelmästä.

Nyt voimme kirjoittaa muistiin ongelmaan tarkoitetun geometrisen etenemisen: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Kolmas vaihe.

Vastaus ongelmakysymykseen. Se on laskettava b 12. Meillä on

Vastaus: b 12 \u003d 2048.

3. Kaava äärellisen geometrisen etenemisen jäsenten summalle.

Annetaan äärellinen geometrinen eteneminen

Merkitsemme Sn: lla sen ehtojen summan, ts.

Lasketaan kaava tämän määrän löytämiseksi.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla tapauksella, kun q \u003d 1. Sitten geometrinen eteneminen b 1, b 2, b 3, ..., bn koostuu n luvusta, joka on yhtä kuin b 1, ts. etenemisellä on muodot b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Näiden lukujen summa on nb 1.

Lasketaan nyt q \u003d 1 S n: n löytämiseksi käytetään keinotekoista menetelmää: suoritamme joitain lausekkeen S n q muunnoksia. Meillä on:

Suorittamalla muunnoksia käytimme ensinnäkin geometrisen etenemisen määritelmää, jonka mukaan (katso kolmas päättelysarja); toiseksi, he lisäsivät ja vähensivät, miksi ilmaisun merkitys tietysti ei muuttunut (ks. päättelyn neljäs rivi); kolmanneksi, me käytimme kaavaa geometrisen etenemisen n: nnelle aikavälille:

Kaavasta (1) löytyy:

Tämä on kaava geometrisen etenemisen n ehtojen summalle (tapaukselle, kun q \u003d 1).

Esimerkki 8

Annetaan äärellinen geometrinen eteneminen

a) etenemisen jäsenten summa; b) jäsenten neliöiden summa.

b) Yllä (katso s. 132) olemme jo todenneet, että jos kaikki geometrisen etenemisen ehdot ovat neliöitä, niin saadaan geometrinen eteneminen ensimmäisen termin b2 ja nimittäjän q 2 kanssa. Sitten uuden edistyksen kuuden jäsenen summa lasketaan

Esimerkki 9

Löydä geometrisen etenemisen kahdeksas aikaväli

Itse asiassa olemme todistaneet seuraavan lauseen.

Numeerinen sekvenssi on geometrinen eteneminen vain silloin, kun kunkin jäsenen neliö, paitsi ensimmäinen lause (ja viimeisen, äärellisen sekvenssin tapauksessa), on yhtä suuri kuin edeltävien ja seuraavien lauseiden tulo (geometrisen etenemisen karakteristinen ominaisuus).