Jos värähtely kuvataan sinilain mukaan. Värähtelyt

>> Harmoninen värähtely

§ 22 HARMONINEN VÄRINÄYTTÖ

Tietäen kuinka värähtelevän kappaleen kiihtyvyys ja koordinaatti liittyvät toisiinsa, on matemaattisen analyysin perusteella mahdollista löytää koordinaatin riippuvuus ajasta.

Kiihtyvyys on koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen. Pisteen hetkellinen nopeus, kuten tiedät matematiikan kurssilta, on pisteen koordinaattien derivaatta ajan suhteen. Pisteen kiihtyvyys on sen nopeuden derivaatta ajan suhteen tai koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen. Siksi yhtälö (3.4) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

missä x " - koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen. Yhtälön (3.11) mukaan vapaiden värähtelyjen aikana koordinaatti x muuttuu ajan myötä siten, että koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen on suoraan verrannollinen itse koordinaattiin ja on etumerkillisesti vastakkainen.

Matematiikan kurssilta tiedetään, että sinin ja kosinin toiset derivaatat argumenttinsa suhteen ovat verrannollisia itse funktioihin, jotka on otettu vastakkaisella merkillä. Matemaattinen analyysi osoittaa, että millään muulla funktiolla ei ole tätä ominaisuutta. Kaikki tämä mahdollistaa sen, että voimme perustellusti väittää, että vapaita värähtelyjä suorittavan kappaleen koordinaatit muuttuvat ajan kuluessa sinin tai pasiinin lain mukaan. Kuva 3.6 esittää pisteen koordinaatin muutosta ajan kuluessa kosinilain mukaan.

Fysikaalisen suuren jaksollisia ajasta riippuvia muutoksia, jotka tapahtuvat sinin tai kosinin lain mukaan, kutsutaan harmonisiksi värähtelyiksi.

Värähtelyjen amplitudi. Harmonisten värähtelyjen amplitudi on kappaleen suurimman siirtymän moduuli tasapainoasennostaan.

Amplitudilla voi olla erilaisia ​​arvoja riippuen siitä, kuinka paljon siirrämme kehon tasapainoasennosta alkuhetkellä tai minkä nopeuden keho saa aikaan. Amplitudi määräytyy alkuolosuhteiden tai tarkemmin sanoen kehon energian perusteella. Mutta sinimoduulin ja kosinimoduulin enimmäisarvot ovat yhtä. Siksi yhtälön (3.11) ratkaisua ei voida ilmaista yksinkertaisesti sininä tai kosinina. Sen tulisi olla värähtelyamplitudin x m tulo sinillä tai kosinilla.

Vapaata värähtelyä kuvaavan yhtälön ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälön (3.11) ratkaisu seuraavassa muodossa:

ja toinen derivaatta on yhtä suuri kuin:

Olemme saaneet yhtälön (3.11). Näin ollen funktio (3.12) on ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön (3.11). Tämän yhtälön ratkaisu on myös funktio

Kuvaaja kappaleen koordinaatista ajan funktiona (3.14) on kosiniaalto (ks. kuva 3.6).

Harmonisten värähtelyjen jakso ja taajuus. Värähtelyssä kehon liikkeet toistuvat ajoittain. Aikajaksoa T, jonka aikana järjestelmä suorittaa yhden täydellisen värähtelyjakson, kutsutaan värähtelyjaksoksi.

Jakson tuntemalla voit määrittää värähtelyjen taajuuden eli värähtelyjen määrän aikayksikköä kohden, esimerkiksi sekunnissa. Jos ajassa T tapahtuu yksi värähtely, niin värähtelyjen määrä sekunnissa

Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) värähtelytaajuus on yhtä suuri kuin yksi, jos värähtely on yksi sekunnissa. Taajuusyksikköä kutsutaan hertseiksi (lyhennettynä: Hz) saksalaisen fyysikon G. Hertzin kunniaksi.

Värähtelyjen määrä 2 sekunnissa on yhtä suuri:

Suuruus on syklinen tai ympyrävärähtelytaajuus. Jos yhtälössä (3.14) aika t on yhtä jaksoa, niin T = 2. Jos siis hetkellä t = 0 x = x m, niin hetkellä t = T x = x m, eli ajanjaksolla, joka on yhtä suuri kuin yksi. jakson aikana värähtelyt toistuvat.

Vapaan värähtelyn taajuus määräytyy värähtelyjärjestelmän 1 ominaistaajuuden mukaan.

Vapaan värähtelyn taajuuden ja jakson riippuvuus järjestelmän ominaisuuksista. Jouseen kiinnitetyn kappaleen luonnollinen värähtelytaajuus yhtälön (3.13) mukaan on yhtä suuri kuin:

Mitä suurempi jousen jäykkyys k, sitä suurempi se on, ja mitä pienempi, sitä suurempi on ruumiinmassa m. Tämä on helppo ymmärtää: jäykkä jousi antaa vartalolle enemmän kiihtyvyyttä ja muuttaa rungon nopeutta nopeammin. Ja mitä massiivisempi keho, sitä hitaammin se muuttaa nopeutta voiman vaikutuksesta. Värähtelyjakso on yhtä suuri kuin:

Eri jäykkyysjousien ja eri massaisten kappaleiden avulla on helppo kokemuksen perusteella todeta, että kaavat (3.13) ja (3.18) kuvaavat oikein ja T:n riippuvuuden luonnetta k:stä ja m:stä.

On huomionarvoista, että kappaleen värähtelyjakso jousella ja heilurin värähtelyjakso pienillä taipumakulmilla eivät riipu värähtelyjen amplitudista.

Kiihtyvyyden t ja siirtymän x välisen suhteellisuuskertoimen moduuli yhtälössä (3.10), joka kuvaa heilurin värähtelyjä, on, kuten yhtälössä (3.11), syklisen taajuuden neliö. Näin ollen matemaattisen heilurin luonnollinen värähtelytaajuus pienillä langan poikkeamakulmilla pystysuorasta riippuu heilurin pituudesta ja painovoiman kiihtyvyydestä:

Tämän kaavan sai ensimmäisenä ja testasi kokeellisesti hollantilainen tiedemies G. Huygens, I. Newtonin aikalainen. Se on voimassa vain pienille kierteen taipumakulmille.

1 Usein seuraavassa viitataan lyhyyden vuoksi vain sykliseen taajuuteen taajuudena. Voit erottaa syklisen taajuuden normaalista taajuudesta merkinnöillä.

Värähtelyjakso kasvaa heilurin pituuden kasvaessa. Se ei riipu heilurin massasta. Tämä voidaan helposti todentaa kokeellisesti erilaisilla heilureilla. Voidaan myös havaita värähtelyjakson riippuvuus painovoiman kiihtyvyydestä. Mitä pienempi g, sitä pidempi heilurin värähtelyjakso on ja siksi sitä hitaammin heilurikello käy. Siten kello, jossa on heiluri sauvan painon muodossa, jää jäljessä lähes 3 s päivässä, jos se nostetaan kellarista Moskovan yliopiston ylimpään kerrokseen (korkeus 200 m). Ja tämä johtuu vain vapaan pudotuksen kiihtyvyyden vähenemisestä korkeuden myötä.

Käytännössä käytetään heilurin värähtelyjakson riippuvuutta g:n arvosta. Värähtelyjaksoa mittaamalla g voidaan määrittää erittäin tarkasti. Painovoiman kiihtyvyys muuttuu maantieteellisen leveysasteen mukaan. Mutta edes tietyllä leveysasteella se ei ole sama kaikkialla. Loppujen lopuksi maankuoren tiheys ei ole sama kaikkialla. Alueilla, joilla esiintyy tiheitä kiviä, kiihtyvyys g on jonkin verran suurempi. Tämä otetaan huomioon mineraaleja etsittäessä.

Näin ollen rautamalmilla on tavallisiin kiviin verrattuna suurempi tiheys. Akateemikko A. A. Mikhailovin johdolla suoritetut painovoiman kiihtyvyyden mittaukset lähellä Kurskia mahdollistivat rautamalmin sijainnin selvittämisen. Ne löydettiin ensin magneettimittauksilla.

Mekaanisen tärinän ominaisuuksia käytetään useimpien elektronisten vaakojen laitteissa. Punnittava runko asetetaan alustalle, jonka alle on asennettu jäykkä jousi. Tämän seurauksena syntyy mekaanisia värähtelyjä, joiden taajuutta mittaa vastaava anturi. Tähän anturiin liittyvä mikroprosessori muuntaa värähtelytaajuuden punnittavan kappaleen massaksi, koska tämä taajuus riippuu massasta.

Tuloksena saadut kaavat (3.18) ja (3.20) värähtelyjaksolle osoittavat, että harmonisten värähtelyjen jakso riippuu järjestelmän parametreista (jousen jäykkyys, kierteen pituus jne.)

Myakishev G. Ya., fysiikka. 11. luokka: koulutus. yleissivistävää koulutusta varten oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; muokannut V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17. painos, tarkistettu. ja ylimääräisiä - M.: Koulutus, 2008. - 399 s.: ill.

Täydellinen luettelo aiheista luokittain, kalenterisuunnitelma fysiikan koulun opetussuunnitelman mukaan verkossa, fysiikkaa käsittelevä videomateriaali luokalle 11 lataus

Suurin nopeus ja kiihtyvyys

Analysoituaan riippuvuusyhtälöt v(t) ja a(t), voimme arvata, että nopeus ja kiihtyvyys saavat suurimmat arvot siinä tapauksessa, että trigonometrinen tekijä on 1 tai -1. Määritetään kaavalla

Kuinka saada riippuvuudet v(t) ja a(t)

7. Vapaa tärinä. Värähtelevän liikkeen nopeus, kiihtyvyys ja energia. Värinän lisäys

Vapaa värähtely(tai luonnollisia värähtelyjä) ovat värähtelyjärjestelmän värähtelyjä, jotka tapahtuvat vain alun perin välitetyn energian (potentiaalisen tai kineettisen) vaikutuksesta ulkoisten vaikutusten puuttuessa.

Potentiaalista tai kineettistä energiaa voidaan välittää esimerkiksi mekaanisissa järjestelmissä alkusiirtymän tai alkunopeuden kautta.

Vapaasti värähtelevät kappaleet ovat aina vuorovaikutuksessa muiden kappaleiden kanssa ja muodostavat yhdessä niiden kanssa kappaleiden järjestelmän ns värähtelevä järjestelmä.

Esimerkiksi jousi, pallo ja pystysuora pylväs, johon jousen yläpää on kiinnitetty (katso alla oleva kuva), sisältyvät värähtelyjärjestelmään. Tässä pallo liukuu vapaasti lankaa pitkin (kitkavoimat ovat merkityksettömiä). Jos siirrät palloa oikealle ja jätät sen omakseen, se värähtelee vapaasti tasapainoasennon ympärillä (piste NOIN) johtuen tasapainoasentoon suunnatun jousen kimmovoiman vaikutuksesta.

Toinen klassinen esimerkki mekaanisesta värähtelyjärjestelmästä on matemaattinen heiluri (katso kuva alla). Tässä tapauksessa pallo suorittaa vapaita värähtelyjä kahden voiman vaikutuksesta: painovoima ja langan kimmovoima (maa kuuluu myös värähtelyjärjestelmään). Niiden resultantti on suunnattu kohti tasapainoasemaa.

Värähtelyjärjestelmän kappaleiden välillä vaikuttavia voimia kutsutaan sisäisiä voimia. Ulkoisten voimien toimesta kutsutaan voimiksi, jotka vaikuttavat järjestelmään sen ulkopuolisista kappaleista. Tästä näkökulmasta vapaat värähtelyt voidaan määritellä värähtelyiksi järjestelmässä sisäisten voimien vaikutuksesta sen jälkeen, kun järjestelmä on poistettu tasapainoasennostaan.

Edellytykset vapaiden värähtelyjen esiintymiselle ovat:

1) voiman ilmaantuminen niihin, joka palauttaa järjestelmän vakaan tasapainon asentoon sen jälkeen, kun se on poistettu tästä tilasta;

2) kitkan puute järjestelmässä.

Vapaan värähtelyn dynamiikka.

Kehon värähtelyt elastisten voimien vaikutuksesta. Kappaleen värähtelevän liikkeen yhtälö elastisen voiman vaikutuksesta F(katso kuva) voidaan saada ottamalla huomioon Newtonin toinen laki ( F = ma) ja Hooken laki ( F ohjaus= -kx), Missä m on pallon massa ja kiihtyvyys, jonka pallo saavuttaa elastisen voiman vaikutuksesta, k- jousen jäykkyyskerroin, X- kehon siirtyminen tasapainoasennosta (molemmat yhtälöt on kirjoitettu projektiossa vaaka-akselille vai niin). Yhtälöimällä näiden yhtälöiden oikeat puolet ja ottamalla huomioon, että kiihtyvyys A on koordinaatin toinen derivaatta X(siirtymä), saamme:

.

Tämä on elastisen voiman vaikutuksesta värähtelevän kappaleen liikkeen differentiaaliyhtälö: koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen (kehon kiihtyvyys) on suoraan verrannollinen sen koordinaattiin, otettuna vastakkaisella merkillä.

Matemaattisen heilurin värähtelyt. Matemaattisen heilurin (kuvan) värähtelyyhtälön saamiseksi on tarpeen laajentaa painovoimaa F T= mg normaaliksi Fn(suuntautunut lankaa pitkin) ja tangentiaalinen F τ(pallon lentoradan tangentti - ympyrä) komponentit. Normaali painovoiman komponentti Fn ja langan kimmovoima Fynp kokonaisvaikuttaa heilurin keskikiihtyvyyteen, joka ei vaikuta nopeuden suuruuteen, vaan muuttaa vain sen suuntaa ja tangentiaalikomponenttia F τ on voima, joka palauttaa pallon tasapainoasentoon ja saa sen suorittamaan värähteleviä liikkeitä. Käyttämällä, kuten edellisessä tapauksessa, Newtonin lakia tangentiaaliseen kiihtyvyyteen ma τ = F τ ja sen huomioon ottaen F τ= -mg sinα, saamme:

a τ= -g sinα,

Miinusmerkki ilmestyi, koska voima ja kulma poikkeama tasapainoasennosta α on päinvastaisia ​​merkkejä. Pienille taipumakulmille sin α ≈ α. puolestaan α = s/l, Missä s- kaari O.A., minä- langan pituus. Ottaen huomioon ja τ= s", vihdoin saamme:

Yhtälön muoto on samanlainen kuin yhtälö . Vain tässä järjestelmän parametrit ovat langan pituus ja vapaan pudotuksen kiihtyvyys, eivät jousen jäykkyys ja pallon massa; koordinaatin roolia esittää kaaren pituus (eli kuljettu matka, kuten ensimmäisessä tapauksessa).

Siten vapaita värähtelyjä kuvataan samantyyppisillä yhtälöillä (saman lain alaisina) riippumatta näiden värähtelyjen aiheuttavien voimien fyysisestä luonteesta.

Yhtälöiden ratkaiseminen ja on muodon funktio:

x = xmcos ω 0t(tai x = xmsin ω 0t).

Toisin sanoen vapaita värähtelyjä suorittavan kappaleen koordinaatit muuttuvat ajan myötä kosinin tai sinin lain mukaan, ja siksi nämä värähtelyt ovat harmonisia:

Eq. x = xmcos ω 0t(tai x = xmsin ω 0t), x m- värähtelyn amplitudi, ω 0 - oma syklinen (ympyrä) värähtelytaajuus.

Vapaiden harmonisten värähtelyjen syklinen taajuus ja jakso määräytyvät järjestelmän ominaisuuksien mukaan. Näin ollen jouseen kiinnitetyn kappaleen värähtelyille pätevät seuraavat suhteet:

.

Mitä suurempi jousen jäykkyys tai pienempi kuorman massa, sitä suurempi on luonnollinen taajuus, jonka kokemus vahvistaa.

Matemaattiselle heilurille täyttyvät seuraavat yhtälöt:

.

Tämän kaavan hankki ja testasi ensin hollantilainen tiedemies Huygens (Newtonin aikalainen).

Värähtelyjakso kasvaa heilurin pituuden kasvaessa, eikä se riipu sen massasta.

Erityistä huomiota tulee kiinnittää siihen, että harmoniset värähtelyt ovat tiukasti jaksollisia (kosinin tai kosinin lakia noudattavat) ja jopa matemaattiselle heilurille, joka on todellisen (fyysisen) heilurin idealisointi, ovat mahdollisia vain pienellä värähtelyllä. kulmat. Jos taipumakulmat ovat suuria, kuorman siirtymä ei ole verrannollinen taipumakulmaan (kulman sini) eikä kiihtyvyys ole verrannollinen siirtymään.

Vapaasti värähtelevän kappaleen nopeus ja kiihtyvyys joutuvat myös harmonisiin värähtelyihin. Otetaan funktion aikaderivaata ( x = xmcos ω 0t(tai x = xmsin ω 0t)), saamme nopeuden lausekkeen:

v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

Missä v m= ω 0 x m- nopeuden amplitudi.

Samanlainen lauseke kiihtyvyydelle A saamme erottamalla ( v = -v msin ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0t,

Missä olen= ω 2 0x m- kiihtyvyyden amplitudi. Siten harmonisten värähtelyjen nopeuden amplitudi on verrannollinen taajuuteen ja kiihtyvyyden amplitudi on verrannollinen värähtelytaajuuden neliöön.

HARMONISET VÄRINNÄT
Värähtelyjä, joissa fysikaalisten suureiden muutokset tapahtuvat kosinin tai sinin lain (harmonisen lain) mukaan, kutsutaan. harmonisia värähtelyjä. Esimerkiksi mekaanisten harmonisten värähtelyjen tapauksessa:. Näissä kaavoissa ω on värähtelyn taajuus, x m on värähtelyn amplitudi, φ 0 ja φ 0 ' ovat värähtelyn alkuvaiheita. Yllä olevat kaavat eroavat alkuvaiheen määritelmässä ja φ 0 ’ = φ 0 +π/2 ovat täysin yhtenevät.
Tämä on yksinkertaisin jaksollisen värähtelyn tyyppi. Funktion erityinen muoto (sini tai kosini) riippuu menetelmästä, jolla järjestelmä poistetaan tasapainoasennosta. Jos poisto tapahtuu työntämällä (kineettistä energiaa välitetään), silloin t=0:lla siirtymä x=0, joten on kätevämpää käyttää sin-funktiota, asettamalla φ 0 '=0; tasapainoasennosta poikkeaessa (potentiaalienergia ilmoitetaan) kohdalla t = 0, siirtymä x = x m, joten on kätevämpää käyttää cos-funktiota ja φ 0 = 0.
Ilmaisua merkin cos tai sin alla kutsutaan. värähtelyvaihe:. Värähtelyn vaihe mitataan radiaaneina ja määrittää siirtymän arvon (värähtelysuureen) tietyllä hetkellä.
Värähtelyn amplitudi riippuu vain alkupoikkeamasta (värähtelyjärjestelmään tulevasta alkuenergiasta).
Nopeus ja kiihtyvyys harmonisten värähtelyjen aikana.
Nopeuden määritelmän mukaan nopeus on paikan derivaatta ajan suhteen
Näin ollen nähdään, että nopeus harmonisen värähtelyliikkeen aikana myös muuttuu harmonisen lain mukaan, mutta nopeusvärähtelyt ovat π/2:lla edellä vaihesiirtymävärähtelyjä.
Arvo - värähtelevän liikkeen maksiminopeus (nopeuden vaihteluiden amplitudi).
Siksi harmonisen värähtelyn nopeudelle meillä on: , ja nollan alkuvaiheen tapauksessa (katso kuvaaja).
Kiihtyvyyden määritelmän mukaan kiihtyvyys on nopeuden derivaatta ajan suhteen: on koordinaatin toinen derivaatta ajan suhteen. Sitten: . Kiihtyvyys harmonisen värähtelyliikkeen aikana myös muuttuu harmonisen lain mukaan, mutta kiihtyvyysvärähtelyt ovat nopeusvärähtelyjä π/2:lla ja siirtymävärähtelyjä π:llä edellä (värähtelyjen sanotaan tapahtuvan vastavaiheessa).
Arvo - maksimikiihtyvyys (kiihtyvyyden vaihteluiden amplitudi). Siksi meillä on kiihdytystä varten: , ja nollan alkuvaiheen tapauksessa: (katso kaavio).
Värähtelevän liikkeen prosessin, kaavioiden ja vastaavien matemaattisten lausekkeiden analysoinnin perusteella on selvää, että kun värähtelevä kappale ohittaa tasapainoasennon (siirtymä on nolla), kiihtyvyys on nolla ja kappaleen nopeus on suurin ( kappale ohittaa tasapainoasennon hitaudella), ja kun siirtymän amplitudiarvo saavutetaan, nopeus on nolla ja kiihtyvyys on absoluuttisena arvona maksimi (kappale muuttaa liikkeensä suuntaa).
Vertaillaan harmonisten värähtelyjen aikana tapahtuvan siirtymän ja kiihtyvyyden lausekkeita: ja .
Sinä voit kirjoittaa: - eli siirtymän toinen derivaatta on suoraan verrannollinen (vastakkaisella merkillä) siirtymään. Tätä yhtälöä kutsutaan harmonisen värähtelyn yhtälö. Tämä riippuvuus pätee kaikkiin harmonisiin värähtelyihin sen luonteesta riippumatta. Koska emme ole koskaan käyttäneet tietyn värähtelyjärjestelmän parametreja, vain syklinen taajuus voi riippua niistä.
Usein on kätevää kirjoittaa värähtelyjen yhtälöt muodossa: , jossa T on värähtelyjakso. Sitten, jos aika ilmaistaan ​​jakson murto-osina, laskelmat yksinkertaistuvat. Esimerkiksi, jos meidän on löydettävä siirtymä 1/8 jakson jälkeen, saamme: . Sama nopeuden ja kiihtyvyyden suhteen.

Usein on tapauksia, joissa järjestelmä osallistuu samanaikaisesti kahteen tai useampaan toisistaan ​​riippumattomaan värähtelyyn. Näissä tapauksissa muodostuu monimutkainen värähtelyliike, joka syntyy asettamalla (lisäämällä) värähtelyjä päällekkäin. On selvää, että värähtelyjen lisäystapaukset voivat olla hyvin erilaisia. Ne eivät riipu vain lisättyjen värähtelyjen lukumäärästä, vaan myös värähtelyjen parametreista, niiden taajuuksista, vaiheista, amplitudeista ja suunnista. Ei ole mahdollista tarkastella kaikkia mahdollisia erilaisia ​​värähtelyjen lisäystapauksia, joten rajoitamme tarkastelemaan vain yksittäisiä esimerkkejä.
1. Yhden suunnan värähtelyjen yhteenlasku. Lisätään kaksi värähtelyä, joilla on sama taajuus, mutta eri vaiheet ja amplitudit.

(4.40)
Kun värähtelyt asettuvat päällekkäin


Otetaan käyttöön uudet parametrit A ja j yhtälöiden mukaisesti:

(4.42)
Yhtälöjärjestelmä (4.42) on helppo ratkaista.

(4.43)

(4.44)
Siten x:lle saadaan lopulta yhtälö

(4.45)
Joten saman taajuuden yksisuuntaisten värähtelyjen lisäämisen seurauksena saadaan harmoninen (sinimuotoinen) värähtely, jonka amplitudi ja vaihe määritetään kaavoilla (4.43) ja (4.44).
Tarkastellaan erikoistapauksia, joissa kahden lisätyn värähtelyn vaiheiden väliset suhteet ovat erilaisia:


(4.46)
Lasketaan nyt yhteen saman amplitudin, identtiset vaiheet, mutta eri taajuudet, yksisuuntaiset värähtelyt.


(4.47)
Tarkastellaan tilannetta, jossa taajuudet ovat lähellä toisiaan, eli w1~w2=w
Silloin oletetaan likimäärin, että (w1+w2)/2= w ja (w2-w1)/2 on pieni arvo. Tuloksena olevan värähtelyn yhtälö näyttää tältä:

(4.48)
Sen kaavio on esitetty kuvassa. 4.5 Tätä värähtelyä kutsutaan lyömiseksi. Se esiintyy taajuudella w, mutta sen amplitudi värähtelee suurella jaksolla.

2. Kahden keskenään kohtisuoran värähtelyn yhteenlasku. Oletetaan, että yksi värähtely tapahtuu x-akselilla ja toinen y-akselilla. Tuloksena oleva liike sijaitsee selvästi xy-tasossa.
1. Oletetaan, että värähtelytaajuudet ja -vaiheet ovat samat, mutta amplitudit ovat erilaisia.

(4.49)
Tuloksena olevan liikkeen liikeradan löytämiseksi sinun on eliminoitava aika yhtälöistä (4.49). Tätä varten riittää jakaa yksi yhtälön termi termillä toisella, jonka seurauksena saamme

(4.50)
Yhtälö (4.50) osoittaa, että tässä tapauksessa värähtelyjen summaus johtaa värähtelyyn suorassa linjassa, jonka kaltevuus määräytyy amplitudien suhteen.
2. Olkoon lisättyjen värähtelyjen vaiheet eroavat toisistaan ​​/2:lla ja yhtälöillä on muoto:

(4.51)
Löytääksesi tuloksena olevan liikkeen liikeradan ilman aikaa, sinun on neliöitävä yhtälöt (4.51), ensin jaettava ne A1:een ja A2:een, ja sitten lisätään ne. Ratayhtälö saa muotoa:

(4.52)
Tämä on ellipsin yhtälö. Voidaan todistaa, että kahden yhteenlasketun, keskenään kohtisuoraan samantaajuisen värähtelyn minkä tahansa alkuvaiheen ja minkä tahansa amplitudin kohdalla tuloksena oleva värähtely tapahtuu ellipsiä pitkin. Sen suunta riippuu lisättyjen värähtelyjen vaiheista ja amplitudeista.
Jos lisätyillä värähtelyillä on erilaiset taajuudet, niin tuloksena olevien liikkeiden liikeradat osoittautuvat hyvin monimuotoisiksi. Vain jos värähtelytaajuudet x:ssä ja y:ssä ovat toistensa kerrannaisia, saadaan suljetut liikeradat. Tällaiset liikkeet voidaan luokitella jaksollisiksi. Tässä tapauksessa liikkeiden lentoratoja kutsutaan Lissajous-hahmoiksi. Tarkastellaan yhtä Lissajous-kuvioista, joka saadaan lisäämällä värähtelyjä taajuussuhteilla 1:2, joilla on identtiset amplitudit ja vaiheet liikkeen alussa.

(4.53)
Värähtelyjä esiintyy kaksi kertaa useammin y-akselilla kuin x-akselilla. Tällaisten värähtelyjen lisääminen johtaa liikeradalle kahdeksaan kuvion muodossa (kuva 4.7).

8. Vaimennetut värähtelyt ja niiden parametrit: dekrementti ja värähtelykerroin, rentoutumisaika

)Vaimennettujen värähtelyjen jakso:

T = (58)

klo δ << ω o värähtelyt eivät eroa harmonisista: T = 2π/ ω o.

2) Vaimennettujen värähtelyjen amplitudi ilmaistaan ​​kaavalla (119).

3) vaimennuksen vähentäminen, yhtä suuri kuin kahden peräkkäisen värähtelyamplitudin suhde A(t) Ja A(t+T), kuvaa amplitudin laskun nopeutta ajanjakson aikana:

= e d T (59)

4) Logaritmisen vaimennuksen vähennys- kahden peräkkäisen värähtelyn amplitudien suhteen luonnollinen logaritmi, jotka vastaavat jaksolla eroavia ajanhetkiä

q = ln = ln e d Т = dT(60)

Logaritminen vaimennusvähennys on vakioarvo tietylle värähtelyjärjestelmälle.

5) Rentoutumisaika on tapana kutsua ajanjaksoa ( t), jonka aikana vaimennettujen värähtelyjen amplitudi pienenee e kertaa:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

Lausekkeiden (60) ja (61) vertailusta saadaan:

q= = , (62)

Missä ei - rentoutumisen aikana suoritettujen värähtelyjen määrä.

Jos aikana t järjestelmä sitoutuu Ν epäröintiä siis t = Ν . Τ ja vaimennettujen värähtelyjen yhtälö voidaan esittää seuraavasti:

S = A 0 e - d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)Värähtelyjärjestelmän laatutekijä(K) kutsutaan yleensä suureksi, joka kuvaa järjestelmän energiahäviötä värähtelyjakson aikana:

Q = 2s , (63)

Missä W- järjestelmän kokonaisenergia, ΔW- energia haihtunut ajan kuluessa. Mitä vähemmän energiaa kuluu, sitä suurempi on järjestelmän laatutekijä. Laskelmat sen osoittavat

Q = = pN e = = . (64)

Laatutekijä on kuitenkin kääntäen verrannollinen logaritmisen vaimennuksen vähennykseen. Kaavasta (64) seuraa, että laatutekijä on verrannollinen värähtelyjen määrään N e järjestelmän suorittama rentoutumisen aikana.

7) Mahdollinen energia järjestelmä hetkellä t, voidaan ilmaista potentiaalienergiana W 0 suurimmalla poikkeamalla:

W = = kAo2e-2qN = W0e-2qN. (65)

Tavallisesti katsotaan, että värähtelyt ovat käytännössä pysähtyneet, jos niiden energia on laskenut 100 kertaa (amplitudi on laskenut 10 kertaa). Täältä saamme lausekkeen järjestelmän suorittamien värähtelyjen määrän laskemiseksi:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

N = = . (66)

9. Pakotettu tärinä. Resonanssi. Jaksottaiset värähtelyt. Itsevärähtelyt.

Jotta järjestelmä voisi suorittaa vaimentamattomia värähtelyjä, on välttämätöntä kompensoida ulkopuolelta tulevan kitkan aiheuttama värähtelyenergian menetys. Sen varmistamiseksi, että järjestelmän värähtelyenergia ei pienene, tuodaan yleensä järjestelmään määräajoin vaikuttava voima (kutsumme tällaista voimaa pakottaa, ja värähtelyt ovat pakotettuja).

MÄÄRITELMÄ: pakko Nämä ovat värähtelyjä, joita esiintyy värähtelyjärjestelmässä ulkoisen jaksollisesti muuttuvan voiman vaikutuksesta.

Tällä voimalla on yleensä kaksi roolia:

Ensinnäkin se ravistaa järjestelmää ja antaa sille tietyn määrän energiaa;

toiseksi se täydentää ajoittain energiahäviöitä (energiankulutusta) voittaakseen vastus- ja kitkavoimat.

Anna liikkeellepanevan voiman muuttua ajan myötä lain mukaan:

.

Muodostetaan liikeyhtälö sellaisen voiman vaikutuksesta värähtelevälle järjestelmälle. Oletetaan, että järjestelmään vaikuttaa myös kvasielastinen voima ja väliaineen vastusvoima (mikä on totta, jos oletetaan pieniä värähtelyjä). Sitten järjestelmän liikeyhtälö näyttää tältä:

Tai .

Tehtyään substituutiot , , – järjestelmän värähtelyjen luonnollinen taajuus, saadaan epähomogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö 2 th Tilaus:

Differentiaaliyhtälöiden teoriasta tiedetään, että epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja epähomogeenisen yhtälön tietyn ratkaisun summa.

Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu tunnetaan:

,

Missä ; a 0 ja a– mielivaltainen kokoonpano

.

Vektorikaavion avulla voit varmistaa, että tämä oletus on totta, ja määrittää myös arvot " a"ja" j”.

Värähtelyn amplitudi määritetään seuraavalla lausekkeella:

.

Merkitys " j”, joka on pakotetun värähtelyn vaiheviiveen suuruus sen määrittäneestä käyttövoimasta, määritetään myös vektorikaaviosta ja se on:

.

Lopuksi erityinen ratkaisu epähomogeeniseen yhtälöön on seuraavanlainen:

(8.18)

Tämä toiminto yhdistettynä

(8.19)

antaa yleisen ratkaisun epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle, joka kuvaa järjestelmän käyttäytymistä pakotettujen värähtelyjen alaisena. Termillä (8.19) on merkittävä rooli prosessin alkuvaiheessa, ns. värähtelyjen muodostuksen aikana (kuva 8.10). Ajan myötä eksponentiaalisesta tekijästä johtuen toisen termin (8.19) rooli pienenee yhä enemmän ja riittävän ajan kuluttua se voidaan jättää huomiotta jättäen ratkaisuun vain termi (8.18).

Siten funktio (8.18) kuvaa vakaan tilan pakotettuja värähtelyjä. Ne edustavat harmonisia värähtelyjä, joiden taajuus on yhtä suuri kuin käyttövoiman taajuus. Pakotetun värähtelyn amplitudi on verrannollinen käyttövoiman amplitudiin. Tietylle värähtelyjärjestelmälle (määritelty arvoilla w 0 ja b) amplitudi riippuu käyttövoiman taajuudesta. Pakotetut värähtelyt jäävät vaiheessa käyttövoiman jälkeen, ja viiveen "j" suuruus riippuu myös käyttövoiman taajuudesta.

Pakkovärähtelyjen amplitudin riippuvuus käyttövoiman taajuudesta johtaa siihen, että tietyllä tietylle järjestelmälle määritetyllä taajuudella värähtelyjen amplitudi saavuttaa maksimiarvon. Värähtelyjärjestelmä on erityisen herkkä käyttövoiman vaikutukselle tällä taajuudella. Tätä ilmiötä kutsutaan resonanssi, ja vastaava taajuus on resonanssitaajuus.

MÄÄRITELMÄ: ilmiö, jossa havaitaan voimakasta nousua pakkovärähtelyn amplitudissa, on ns. resonanssi.

Resonanssitaajuus määritetään pakotetun värähtelyn amplitudin maksimiehdosta:

. (8.20)

Sitten kun tämä arvo korvataan amplitudin lausekkeella, saadaan:

. (8.21)

Keskivastuksen puuttuessa värähtelyjen amplitudi resonanssissa kääntyisi äärettömyyteen; resonanssitaajuus samoissa olosuhteissa (b=0) osuu yhteen värähtelyjen luonnollisen taajuuden kanssa.

Pakotetun värähtelyn amplitudin riippuvuus käyttövoiman taajuudesta (tai mikä on sama, värähtelytaajuudesta) voidaan esittää graafisesti (kuva 8.11). Yksittäiset käyrät vastaavat eri "b"-arvoja. Mitä pienempi ”b”, sitä korkeampi ja oikealla tämän käyrän maksimi on (katso w res.:n lauseke). Erittäin suurella vaimennuksella resonanssia ei havaita - taajuuden kasvaessa pakkovärähtelyjen amplitudi pienenee monotonisesti (alempi käyrä kuvassa 8.11).

Esitettyjen kaavioiden joukkoa, jotka vastaavat b:n eri arvoja, kutsutaan resonanssikäyrät.

Huomautuksia resonanssikäyrien suhteen:

kuten w®0 pyrkii, kaikki käyrät tulevat samaan nollasta poikkeavaan arvoon, joka on yhtä suuri kuin . Tämä arvo edustaa siirtymää tasapainoasennosta, jonka järjestelmä vastaanottaa vakiovoiman vaikutuksesta F 0 .

koska w®¥ kaikki käyrät pyrkivät asymptoottisesti nollaan, koska korkeilla taajuuksilla voima muuttaa suuntaa niin nopeasti, että järjestelmä ei ehdi merkittävästi siirtyä tasapainoasennostaan.

mitä pienempi b, sitä enemmän amplitudi lähellä resonanssia muuttuu taajuuden myötä, sitä "terävämpi" on maksimi.

Resonanssiilmiö osoittautuu usein hyödylliseksi erityisesti akustiikassa ja radiotekniikassa.

Itsevärähtelyt- vaimentamattomat värähtelyt dissipatiivisessa dynaamisessa järjestelmässä, jossa on epälineaarinen takaisinkytkentä, jota tukee vakioenergia, eli ei-jaksollinen ulkoinen vaikutus.

Itsevärähtelyt eroavat pakotetut värähtelyt koska jälkimmäiset johtuvat määräajoin ulkoinen vaikutus ja esiintyy tämän vaikutuksen taajuudella, kun taas itsevärähtelyjen esiintyminen ja niiden taajuus määräytyvät itsevärähtelevän järjestelmän sisäisistä ominaisuuksista.

Termi itsevärähtelyjä A. A. Andronov otti venäjän terminologiaan käyttöön vuonna 1928.

Esimerkkejä[

Esimerkkejä itsevärähtelystä ovat:

· kellon heilurin vaimentamattomat värähtelyt johtuen käämipainon painovoiman jatkuvasta vaikutuksesta;

viulun kielen värähtelyt tasaisesti liikkuvan jousen vaikutuksesta

· vaihtovirran esiintyminen multivibraattoripiireissä ja muissa elektronisissa generaattoreissa vakiosyöttöjännitteellä;

· ilmapylvään värähtely urkujen putkessa, ja siihen tulee tasainen ilmansyöttö. (katso myös seisova aalto)

· messinkikellopyörän pyörimisvärähtelyt, jonka teräsakseli on ripustettu magneetiin ja kierretty (Gamazkovin koe) (pyörän kineettinen energia, kuten yksinapaisessa generaattorissa, muunnetaan sähkökentän potentiaalienergiaksi, potentiaalienergiaksi sähkökenttä, kuten yksinapaisessa moottorissa, muunnetaan pyörän kineettiseksi energiaksi jne.)

Maklakovin vasara

Vasara, joka iskee käyttämällä vaihtovirtaenergiaa taajuudella, joka on monta kertaa pienempi kuin sähköpiirin virran taajuus.

Värähtelypiirin kela L sijoitetaan pöydän (tai muun iskuttavan kohteen) yläpuolelle. Alhaalta tulee sisään rautaputki, jonka alapää on vasaran iskevä osa. Putkessa on pystysuora aukko Foucault-virtojen vähentämiseksi. Värähtelypiirin parametrit ovat sellaiset, että sen värähtelyjen luonnollinen taajuus on sama kuin piirissä olevan virran taajuus (esim. kaupunkivaihtovirta, 50 hertsiä).

Virran kytkemisen ja värähtelyjen luomisen jälkeen havaitaan piirin ja ulkoisen piirin virtojen resonanssi ja rautaputki vedetään kelaan. Kelan induktanssi kasvaa, värähtelypiiri menee pois resonanssista ja virran värähtelyjen amplitudi kelassa pienenee. Siksi putki palaa alkuperäiseen asentoonsa - kelan ulkopuolelle - painovoiman vaikutuksesta. Sitten virran värähtelyt piirin sisällä alkavat kasvaa, ja resonanssi tapahtuu uudelleen: putki vedetään jälleen kelaan.

Putki tekee itsevärähtelyjä, eli säännölliset liikkeet ylös ja alas, ja samalla koputtaa äänekkäästi pöytään, kuin vasara. Näiden mekaanisten itsevärähtelyjen jakso on kymmeniä kertoja pidempi kuin niitä tukevan vaihtovirran jakso.

Vasara on nimetty Moskovan fysiikan ja tekniikan instituutin luennoitsijan M.I. Maklakovin mukaan, joka ehdotti ja suoritti tällaisen kokeen itsevärähtelyjen osoittamiseksi.

Itsevärähtelymekanismi

Kuva 1. Itsevärähtelymekanismi

Itsevärähtelyt voivat olla erilaisia: mekaanisia, lämpöisiä, sähkömagneettisia, kemiallisia. Itsevärähtelyjen esiintymis- ja ylläpitomekanismi eri järjestelmissä voi perustua erilaisiin fysiikan tai kemian lakeihin. Eri järjestelmien itsevärähtelyjen tarkkaa kvantitatiivista kuvaamista varten voidaan tarvita erilaisia ​​matemaattisia laitteita. Siitä huolimatta on mahdollista kuvitella kaikille itsevärähteleville järjestelmille yhteinen kaavio, joka kuvaa kvalitatiivisesti tätä mekanismia (kuva 1).

Kaaviossa: S- jatkuvan (ei-säännöllisen) vaikutuksen lähde; R- epälineaarinen ohjain, joka muuntaa jatkuvan vaikutuksen muuttuvaksi (esimerkiksi ajoittaiseksi), joka "heilahtaa" oskillaattori V- järjestelmän värähtelyelementti(t) ja oskillaattorivärähtelyt takaisinkytkennän kautta B ohjata säätimen toimintaa R, kysyy vaihe Ja taajuus hänen tekonsa. Itsevärähtelevässä järjestelmässä hajoamista (energiahäviötä) kompensoi energian virtaus siihen jatkuvan vaikutuksen lähteestä, minkä vuoksi itsevärähtelyt eivät kuole pois.

Riisi. 2 Kaavio heilurikellon räikkämekanismista

Jos järjestelmän värähtelevä elementti kykenee omaan vaimennettuja värähtelyjä(niin sanottu harmoninen dissipatiivinen oskillaattori), itsevärähtelyt (jolla on yhtäläinen häviö ja energian syöttö järjestelmään ajanjakson aikana) muodostuvat taajuudella, joka on lähellä resonoiva tälle oskillaattorille niiden muoto tulee lähelle harmonista, ja amplitudi tietyllä arvoalueella on sitä suurempi jatkuvan ulkoisen vaikutuksen suuruus.

Esimerkki tällaisesta järjestelmästä on heilurikellon räikkämekanismi, jonka kaavio on esitetty kuvassa. 2. Räikkäpyörän akselilla A(joka tässä järjestelmässä toimii epälineaarisena säätimenä) on jatkuva voimamomentti M, välitetään vaihteiston kautta pääjousesta tai painosta. Kun pyörä pyörii A sen hampaat antavat heiluriin lyhytaikaisia ​​voimapulsseja P(oskillaattori), jonka ansiosta sen värähtelyt eivät haalistu. Mekanismin kinematiikalla on järjestelmässä takaisinkytkentä, joka synkronoi pyörän pyörimisen heilurin värähtelyjen kanssa siten, että koko värähtelyjakson aikana pyörä pyörii yhtä hammasta vastaavan kulman läpi.

Itsevärähteleviä järjestelmiä, jotka eivät sisällä harmonisia oskillaattoreita, kutsutaan rentoutumista. Niiden värähtelyt voivat olla hyvin erilaisia ​​​​kuin harmoniset, ja ne voivat olla suorakaiteen, kolmion tai puolisuunnikkaan muotoisia. Relaksaatioiden itsevärähtelyjen amplitudi ja jakso määräytyvät jatkuvan iskun suuruuden ja järjestelmän inertian ja hajoamisen ominaisuuksien suhteen.

Riisi. 3 Sähköinen kello

Yksinkertaisin esimerkki rentoutumisitsevärähtelyistä on sähkökellon toiminta, joka näkyy kuvassa. 3. Jatkuvan (ei-jaksollisen) altistuksen lähde tässä on sähköakku U; Epälineaarisen säätimen roolia suorittaa chopper T, sähköpiirin sulkeminen ja avaaminen, minkä seurauksena siihen ilmestyy ajoittainen virta; värähtelevät elementit ovat sähkömagneetin ytimeen ajoittain indusoituvaa magneettikenttää E, ja ankkuri A, liikkuu vaihtuvan magneettikentän vaikutuksen alaisena. Ankkurin värähtelyt aktivoivat katkaisijan, joka muodostaa takaisinkytkentää.

Tämän järjestelmän hitaus määräytyy kahdella eri fysikaalisella suurella: ankkurin hitausmomentilla A ja sähkömagneettikäämin induktanssi E. Minkä tahansa näistä parametreista kasvaminen johtaa itsevärähtelyjakson pidentymiseen.

Jos järjestelmässä on useita elementtejä, jotka värähtelevät toisistaan ​​riippumatta ja vaikuttavat samanaikaisesti epälineaariseen säätimeen tai säätimiin (joita voi olla myös useita), itsevärähtelyt voivat muuttua monimutkaisemmaksi, esim. jaksoton, tai dynaaminen kaaos.

Luonnossa ja tekniikassa

Itsevärähtelyt ovat monien luonnonilmiöiden taustalla:

· kasvien lehtien tärinä tasaisen ilmavirran vaikutuksesta;

· pyörteisten virtausten muodostuminen jokien halkeamiin ja koskiin;

· tavallisten geysirien toiminta jne.

Useiden erilaisten teknisten laitteiden ja laitteiden toimintaperiaate perustuu itsevärähtelyihin, mukaan lukien:

· kaikenlaisten kellojen, sekä mekaanisten että sähköisten, käyttö;

· kaikkien puhallin- ja kielisoittimien ääni;

©2015-2019 sivusto
Kaikki oikeudet kuuluvat niiden tekijöille. Tämä sivusto ei vaadi tekijää, mutta tarjoaa ilmaisen käytön.
Sivun luomispäivämäärä: 2017-04-04

Värähtelevä liike- kappaleen jaksollinen tai lähes jaksollinen liike, jonka koordinaatti, nopeus ja kiihtyvyys tasaisin aikavälein saavat suunnilleen samat arvot.

Mekaanisia värähtelyjä syntyy, kun kehon poistuessa tasapainoasennosta ilmaantuu voima, joka pyrkii palauttamaan kehon takaisin.

Siirtymä x on kehon poikkeama tasapainoasennosta.

Amplitudi A on kehon suurimman siirtymän moduuli.

Värähtelyjakso T - yhden värähtelyn aika:

Värähtelytaajuus

Kappaleen suorittamien värähtelyjen määrä aikayksikköä kohti: Värähdyksen aikana nopeus ja kiihtyvyys muuttuvat ajoittain. Tasapainoasennossa nopeus on suurin ja kiihtyvyys nolla. Suurin siirtymän kohdissa kiihtyvyys saavuttaa maksiminsa ja nopeudeksi tulee nolla.

HARMONINEN VÄRITÖN AIKATAULU

Harmoninen värähtelyjä, jotka esiintyvät sinin tai kosinin lain mukaan, kutsutaan:

missä x(t) on järjestelmän siirtymä hetkellä t, A on amplitudi, ω on värähtelyjen syklinen taajuus.

Jos piirrät kehon poikkeaman tasapainoasennosta pystyakselille ja ajan vaaka-akselille, saat värähtelyn käyrän x = x(t) - kehon siirtymän riippuvuuden ajasta. Vapaille harmonisille värähtelyille se on siniaalto tai kosiniaalto. Kuvassa on kaaviot siirtymän x, nopeuden V x projektioiden ja kiihtyvyyden a x riippuvuudesta ajasta.

Kuten käyrästöstä nähdään, suurimmalla siirtymällä x värähtelevän kappaleen nopeus V on nolla, kiihtyvyys a ja siten kappaleeseen vaikuttava voima on maksimi ja suunnattu vastapäätä siirtymää. Tasapainoasennossa siirtymä ja kiihtyvyys ovat nolla ja nopeus on maksimi. Kiihtyvyysprojektiolla on aina päinvastainen etumerkki kuin siirtymä.

värähtelyn ENERGIA

Värähtelevän kappaleen mekaaninen kokonaisenergia on yhtä suuri kuin sen kineettisten ja potentiaalisten energioiden summa, ja kitkan puuttuessa se pysyy vakiona:

Sillä hetkellä, kun siirtymä saavuttaa maksimiarvon x = A, nopeus ja sen mukana liike-energia menee nollaan.

Tässä tapauksessa kokonaisenergia on yhtä suuri kuin potentiaalienergia:

Värähtelevän kappaleen mekaaninen kokonaisenergia on verrannollinen sen värähtelyjen amplitudin neliöön.

Kun järjestelmä ohittaa tasapainoasennon, siirtymä ja potentiaalienergia ovat nolla: x = 0, E p = 0. Siksi kokonaisenergia on yhtä suuri kuin liike-energia:

Värähtelevän kappaleen mekaaninen kokonaisenergia on verrannollinen sen nopeuden neliöön tasapainoasennossa. Siten:

MATEMAATTINEN HEYRURI

1. Matemaattinen heiluri on materiaalipiste, joka on ripustettu painottomaan venymättömään kierteeseen.

Tasapainoasennossa painovoima kompensoituu langan kireydellä. Jos heiluri taivutetaan ja vapautetaan, voimat lakkaavat kompensoimasta toisiaan ja syntyy tuloksena oleva voima, joka on suunnattu tasapainoasentoon. Newtonin toinen laki:

Pienillä värähtelyillä, kun siirtymä x on paljon pienempi kuin l, materiaalipiste liikkuu melkein vaakasuuntaista x-akselia pitkin. Sitten kolmiosta MAB saamme:

Koska sin a = x/l, niin tuloksena olevan voiman R projektio x-akselille on yhtä suuri kuin

Miinusmerkki osoittaa, että voima R on aina suunnattu vastapäätä siirtymää x.

2. Joten matemaattisen heilurin värähtelyjen aikana, samoin kuin jousiheilurin värähtelyjen aikana, palautusvoima on verrannollinen siirtymään ja suunnattu vastakkaiseen suuntaan.

Verrataan matemaattisten ja jousiheilurien palautusvoiman lausekkeita:

Voidaan nähdä, että mg/l on k:n analogi. Korvaa k:lla mg/l jousiheilurin jakson kaavassa

saamme kaavan matemaattisen heilurin jaksolle:

Matemaattisen heilurin pienten värähtelyjen jakso ei riipu amplitudista.

Matemaattista heiluria käytetään mittaamaan aikaa ja määrittämään painovoiman kiihtyvyys tietyssä paikassa maan pinnalla.

Matemaattisen heilurin vapaat värähtelyt pienillä taipumakulmilla ovat harmonisia. Ne syntyvät tuloksena olevan painovoiman ja langan vetovoiman sekä kuorman hitausvoiman vuoksi. Näiden voimien resultantti on palauttava voima.

Esimerkki. Määritä painovoiman aiheuttama kiihtyvyys planeetalla, jossa 6,25 m pitkän heilurin vapaa värähtelyjakso on 3,14 s.

Matemaattisen heilurin värähtelyjakso riippuu langan pituudesta ja painovoiman kiihtyvyydestä:

Neliöimällä tasa-arvon molemmat puolet, saamme:

Vastaus: painovoiman kiihtyvyys on 25 m/s 2 .

Ongelmia ja testejä aiheesta "Aihe 4. "Mekaniikka. Värähtelyt ja aallot."

• Poikittaiset ja pitkittäiset aallot. Aallonpituus

  Oppitunnit: 3 tehtäviä: 9 koetta: 1

• Ääniaallot. Äänen nopeus - Mekaaniset värähtelyt ja aallot. Ääni 9. luokka

Tutkimme useita fyysisesti täysin erilaisia ​​järjestelmiä ja varmistimme, että liikeyhtälöt pelkistyvät samaan muotoon

Fyysisten järjestelmien väliset erot näkyvät vain suuren erilaisissa määritelmissä ja muuttujan eri fyysisissä merkityksissä x: tämä voi olla koordinaatti, kulma, varaus, virta jne. Huomaa, että tässä tapauksessa, kuten yhtälön (1.18) rakenteesta seuraa, suurella on aina käänteisajan mitta.

Yhtälö (1.18) kuvaa ns harmonisia värähtelyjä.

Harmoninen värähtelyyhtälö (1.18) on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö (koska se sisältää muuttujan toisen derivaatan x). Yhtälön lineaarisuus tarkoittaa sitä

jos jokin toimii x(t) on ratkaisu tähän yhtälöön, sitten funktio Cx(t) on myös hänen ratkaisunsa ( C– mielivaltainen vakio);

jos toimii x 1(t) Ja x 2(t) ovat ratkaisuja tähän yhtälöön, sitten niiden summa x 1 (t) + x 2 (t) on myös ratkaisu samaan yhtälöön.

Myös matemaattinen lause on todistettu, jonka mukaan toisen asteen yhtälöllä on kaksi itsenäistä ratkaisua. Kaikki muut ratkaisut, lineaarisuuden ominaisuuksien mukaan, voidaan saada niiden lineaarisina yhdistelminä. On helppo varmistaa suoralla differentiaatiolla, että riippumattomat toiminnot ja täyttävät yhtälön (1.18). Tämä tarkoittaa, että tämän yhtälön yleisratkaisulla on muoto:

Missä C 1,C 2- mielivaltaiset vakiot. Tämä ratkaisu voidaan esittää toisessa muodossa. Syötetään arvo

ja määritä kulma suhteilla:

Sitten yleinen ratkaisu (1.19) kirjoitetaan muodossa

Trigonometriakaavojen mukaan suluissa oleva lauseke on yhtä suuri kuin

Lopulta tulemme harmonisen värähtelyyhtälön yleinen ratkaisu kuten:

Ei-negatiivinen arvo A nimeltään värähtelyn amplitudi, - värähtelyn alkuvaihe. Koko kosini-argumentti - yhdistelmä - kutsutaan värähtelyvaihe.

Lausekkeet (1.19) ja (1.23) ovat täysin ekvivalentteja, joten voimme käyttää mitä tahansa niistä yksinkertaisuuden vuoksi. Molemmat ratkaisut ovat jaksollisia ajan funktioita. Itse asiassa sini ja kosini ovat jaksollisia pisteen kanssa . Siksi harmonisia värähtelyjä suorittavan järjestelmän eri tilat toistuvat tietyn ajan kuluttua t*, jonka aikana värähtelyvaihe saa lisäyksen, joka on kerrannainen :

Seuraa, että

Vähiten näistä ajoista

nimeltään värähtelyjakso (Kuva 1.8) ja - hänen pyöreä (syklinen) taajuus.

Riisi. 1.8

He myös käyttävät taajuus vaihtelut

Näin ollen ympyrätaajuus on yhtä suuri kuin värähtelyjen lukumäärä per sekuntia

Joten, jos järjestelmä aikanaan t tunnusomaista muuttujan arvo x(t), silloin muuttujalla on sama arvo tietyn ajan kuluttua (kuva 1.9), eli

Sama merkitys luonnollisesti toistuu ajan myötä 2T, ZT jne.

Riisi. 1.9. Värähtelyjakso

Yleinen ratkaisu sisältää kaksi mielivaltaista vakiota ( C 1, C 2 tai A, a), joiden arvot on määritettävä kahdella alkuolosuhteet. Yleensä (vaikkakaan ei välttämättä) niiden roolia ovat muuttujan alkuarvot x(0) ja sen johdannainen.

Otetaan esimerkki. Kuvaa harmonisten värähtelyjen yhtälön ratkaisu (1.19) jousiheilurin liikettä. Mielivaltaisten vakioiden arvot riippuvat tavasta, jolla saamme heilurin pois tasapainosta. Esimerkiksi vetimme jousen kauas ja vapautti pallon ilman alkunopeutta. Tässä tapauksessa

Korvaaminen t = 0 kohdassa (1.19), löydämme vakion arvon C 2

Ratkaisu näyttää siis tältä:

Kuorman nopeus saadaan aikaan differentiaatiolla

Korvaa täällä t = 0, etsi vakio C 1:

Lopulta

Vertaamalla (1.23) huomaamme sen on värähtelyjen amplitudi ja sen alkuvaihe on nolla: .

Epätasapainotetaan nyt heiluri toisella tavalla. Isketään kuormaan niin, että se saa alkunopeuden, mutta ei käytännössä liiku iskun aikana. Meillä on sitten muut alkuehdot:

ratkaisumme näyttää tältä

Kuorman nopeus muuttuu lain mukaan:

Korvataan tähän:

Mitä tahansa ajoittain toistuvaa liikettä kutsutaan värähteleväksi. Siksi kappaleen koordinaattien ja nopeuden riippuvuuksia ajasta värähtelyjen aikana kuvataan jaksollisilla ajan funktioilla. Koulun fysiikan kurssilla tarkastellaan värähtelyjä, joissa kehon riippuvuudet ja nopeudet ovat trigonometrisiä toimintoja , tai niiden yhdistelmä, jossa on tietty luku. Tällaisia ​​värähtelyjä kutsutaan harmonisiksi (funktiot Ja kutsutaan usein harmonisiksi funktioiksi). Fysiikan yhtenäisen tilakokeen ohjelmaan sisältyvien värähtelyjen ongelmien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä värähtelyliikkeen pääominaisuuksien määritelmät: amplitudi, jakso, taajuus, ympyrä (tai syklinen) taajuus ja värähtelyn vaihe. Annetaan nämä määritelmät ja yhdistetään luetellut suureet kappaleen koordinaattien aikariippuvuuden parametreihin, jotka harmonisten värähtelyjen tapauksessa voidaan aina esittää muodossa

missä , ja on joitain numeroita.

Värähtelyn amplitudi on värähtelevän kappaleen suurin poikkeama sen tasapainoasennosta. Koska kosinin maksimi- ja minimiarvot kohdassa (11.1) ovat ±1, on kappaleen värähtelyn amplitudi (11.1) yhtä suuri kuin . Värähtelyjakso on vähimmäisaika, jonka jälkeen kappaleen liike toistetaan. Riippuvuuden (11.1) jakso voidaan asettaa seuraavista näkökohdista. Kosini on jaksollinen funktio ja piste. Siksi liike toistetaan kokonaan sellaisen arvon kautta, että . Täältä saamme

Värähtelyjen ympyrä (tai syklinen) taajuus on aikayksikköä kohti suoritettujen värähtelyjen lukumäärä. Kaavasta (11.3) päättelemme, että ympyrätaajuus on suure kaavasta (11.1).

Värähtelyvaihe on trigonometrisen funktion argumentti, joka kuvaa koordinaatin riippuvuutta ajasta. Kaavasta (11.1) nähdään, että kappaleen värähtelyvaihe, jonka liikettä kuvaa riippuvuus (11.1), on yhtä suuri kuin . Värähtelyvaiheen arvoa hetkellä = 0 kutsutaan alkuvaiheeksi. Riippuvuuden (11.1) osalta värähtelyjen alkuvaihe on yhtä suuri kuin . Ilmeisesti värähtelyjen alkuvaihe riippuu ajan vertailupisteen valinnasta (hetki = 0), joka on aina ehdollinen. Ajan origoa muuttamalla värähtelyjen alkuvaihe voidaan aina ”tehdä” nollaksi ja kaavan (11.1) sini ”kääntää” kosiniksi tai päinvastoin.

Yhtenäisen valtiokokeen ohjelmaan kuuluu myös jousien ja matemaattisten heilurien värähtelytaajuuden kaavojen tuntemus. Jousiheiluriksi kutsutaan yleensä kappaletta, joka voi värähdellä tasaisella vaakapinnalla jousen vaikutuksesta, jonka toinen pää on kiinteä (vasen kuva). Matemaattinen heiluri on massiivinen kappale, jonka mitat voidaan jättää huomiotta ja joka värähtelee pitkällä, painottomalla ja venymättömällä langalla (oikea kuva). Tämän järjestelmän nimi "matemaattinen heiluri" johtuu siitä tosiasiasta, että se edustaa abstraktia matemaattinen todellinen malli ( fyysistä) heiluri. On tarpeen muistaa kaavat jousen ja matemaattisten heilurien värähtelyjaksolle (tai taajuudelle). Jousiheiluriksi

missä on langan pituus, on painovoiman kiihtyvyys. Tarkastellaan näiden määritelmien ja lakien soveltamista ongelmanratkaisun esimerkin avulla.

Löytää kuorman värähtelyjen syklinen taajuus sisään tehtävä 11.1.1 Etsitään ensin värähtelyjakso ja sitten käytetään kaavaa (11.2). Koska 10 m 28 s on 628 s ja tänä aikana kuorma värähtelee 100 kertaa, on kuorman värähtelyjakso 6,28 s. Siksi värähtelyjen syklinen taajuus on 1 s -1 (vastaus 2 ). SISÄÄN ongelma 11.1.2 kuorma teki 60 värähtelyä 600 sekunnissa, joten värähtelytaajuus on 0,1 s -1 (vastaus 1 ).

Ymmärtääksesi matkan, jonka kuorma kulkee 2,5 jaksossa ( ongelma 11.1.3), seurataan hänen liikettä. Jonkin ajan kuluttua kuorma palaa takaisin maksimipoikkeutuspisteeseen ja saa päätökseen täydellisen värähtelyn. Siksi kuorma kulkee tänä aikana neljää amplitudia vastaavan matkan: tasapainoasentoon - yksi amplitudi, tasapainoasennosta suurimman poikkeaman pisteeseen toiseen suuntaan - toiseen, takaisin tasapainoasentoon - kolmas, tasapainoasennosta lähtöpisteeseen - neljäs. Toisen jakson aikana kuorma kulkee jälleen neljän amplitudin läpi ja jakson jäljellä olevan puolikkaan aikana - kaksi amplitudia. Siksi kuljettu matka on yhtä suuri kuin kymmenen amplitudia (vastaus 4 ).

Kehon liikkeen määrä on etäisyys aloituspisteestä päätepisteeseen. Yli 2,5 jaksoa sisään tehtävä 11.1.4 keho ehtii suorittaa kaksi täyttä ja puoli täyttä värähtelyä, ts. on suurimmalla poikkeamalla, mutta tasapainoaseman toisella puolella. Siksi siirtymän suuruus on yhtä suuri kuin kaksi amplitudia (vastaus 3 ).

Määritelmän mukaan värähtelyn vaihe on trigonometrisen funktion argumentti, joka kuvaa värähtelevän kappaleen koordinaattien riippuvuutta ajasta. Siksi oikea vastaus on ongelma 11.1.5 - 3 .

Jakso on täydellisen värähtelyn aika. Tämä tarkoittaa, että kehon paluu takaisin samaan pisteeseen, josta keho alkoi liikkua, ei tarkoita, että jakso on kulunut: kehon on palattava samaan pisteeseen samalla nopeudella. Esimerkiksi keholla, joka on aloittanut värähtelyt tasapainoasennosta, on aikaa poiketa maksimimäärän verran yhteen suuntaan, palata takaisin, poiketa maksimin verran toiseen suuntaan ja palata takaisin. Siksi keholla on ajanjakson aikana aikaa poiketa maksimimäärällä tasapainoasennosta kahdesti ja palata takaisin. Näin ollen siirtyminen tasapainoasennosta suurimman poikkeaman pisteeseen ( ongelma 11.1.6) keho viettää neljänneksen ajanjaksosta (vastaus 3 ).

Harmoniset värähtelyt ovat sellaisia, joissa värähtelevän kappaleen koordinaattien riippuvuus ajasta on kuvattu trigonometrisellä (sini- tai kosini) ajanfunktiolla. SISÄÄN tehtävä 11.1.7 nämä ovat funktioita ja huolimatta siitä, että niihin sisältyvät parametrit on merkitty 2 ja 2 . Funktio on ajan neliön trigonometrinen funktio. Siksi värähtelyt, jotka ovat vain määriä ja ovat harmonisia (vastaus 4 ).

Harmonisten värähtelyjen aikana kehon nopeus muuttuu lain mukaan , jossa on nopeusvärähtelyjen amplitudi (ajan vertailupiste valitaan siten, että värähtelyjen alkuvaihe on nolla). Täältä löydämme kehon kineettisen energian riippuvuuden ajasta
(ongelma 11.1.8). Käyttämällä edelleen hyvin tunnettua trigonometrista kaavaa saamme

Tästä kaavasta seuraa, että kehon liike-energia muuttuu harmonisten värähtelyjen aikana myös harmonisen lain mukaan, mutta kaksinkertaisella taajuudella (vastaus 2 ).

Kuorman kineettisen energian ja jousen potentiaalienergian välisen suhteen takana ( ongelma 11.1.9) on helppo seurata seuraavista näkökohdista. Kun kehoa poikkeutetaan maksimimäärällä tasapainoasennosta, kappaleen nopeus on nolla, ja siksi jousen potentiaalienergia on suurempi kuin kuorman liike-energia. Päinvastoin, kun keho kulkee tasapainoasennon läpi, jousen potentiaalienergia on nolla, ja siksi liike-energia on suurempi kuin potentiaalienergia. Siksi tasapainoasennon läpikulun ja suurimman taipuman välillä kineettistä ja potentiaalista energiaa verrataan kerran. Ja koska jakson aikana keho siirtyy neljä kertaa tasapainoasennosta maksimipoikkeutukseen tai takaisin, niin jakson aikana kuorman liike-energiaa ja jousen potentiaalienergiaa verrataan toisiinsa neljä kertaa (vastaus 2 ).

Nopeuden vaihteluiden amplitudi ( tehtävä 11.1.10) on helpoin löytää käyttämällä energian säilymisen lakia. Maksimaalisen taipuman kohdalla värähtelyjärjestelmän energia on yhtä suuri kuin jousen potentiaalienergia , missä on jousen jäykkyyskerroin, on värähtelyn amplitudi. Tasapainoasennon läpi kulkiessaan kehon energia on yhtä suuri kuin liike-energia , jossa on kappaleen massa, on kehon nopeus kulkiessaan tasapainoasennon läpi, joka on kehon suurin nopeus värähtelyprosessin aikana ja edustaa siten nopeusvärähtelyjen amplitudia. Ymmärrämme nämä energiat

(vastaus 4 ).

Kaavasta (11.5) päätämme ( ongelma 11.2.2), että sen jakso ei riipu matemaattisen heilurin massasta ja pituuden kasvaessa 4 kertaa värähtelyjakso kasvaa 2 kertaa (vastaus 1 ).

Kello on värähtelevä prosessi, jota käytetään mittaamaan aikavälejä ( ongelma 11.2.3). Sanat "kellolla on kiire" tarkoittavat, että tämän prosessin aika on lyhyempi kuin sen pitäisi olla. Siksi näiden kellojen edistymisen selkeyttämiseksi on tarpeen pidentää prosessin ajanjaksoa. Kaavan (11.5) mukaan matemaattisen heilurin värähtelyjakson lisäämiseksi on tarpeen lisätä sen pituutta (vastaus 3 ).

Löytääksesi värähtelyjen amplitudin ongelma 11.2.4, on tarpeen esittää kehon koordinaattien riippuvuus ajasta yhden trigonometrisen funktion muodossa. Ehdossa annetulle funktiolle tämä voidaan tehdä ottamalla käyttöön lisäkulma. Kertomalla ja jakamalla tämä funktio arvolla ja käyttämällä trigonometristen funktioiden lisäämiskaavaa, saamme

missä on sellainen kulma . Tästä kaavasta seuraa, että kehon värähtelyjen amplitudi on (vastaus 4 ).