Sinien ja tangenttien summa eri argumenteilla. Sinien ja kosinien summa ja erotus: kaavojen johtaminen, esimerkkejä
Kahden kulman α ja β sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavat mahdollistavat siirtymisen näiden kulmien summasta kulmien α + β 2 ja α - β 2 tuloon. Huomaa heti, että sinun ei pidä sekoittaa sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja summan ja erotuksen sinien ja kosinien kaavoihin. Alla luetellaan nämä kaavat, annamme niiden johtopäätökset ja näytämme esimerkkejä sovelluksista tiettyihin ongelmiin.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kaavat sinien ja kosinien summalle ja erolle
Kirjataan ylös, miltä sinien ja kosinien summa- ja erotuskaavat näyttävät
Sinien summa- ja erotuskaavat
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Kosinien summa- ja erotuskaavat
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β 2 · = 2 sin α + β - α 2
Nämä kaavat pätevät kaikille kulmille α ja β. Kulmia α + β 2 ja α - β 2 kutsutaan kulmien alfa ja beta puolisummaksi ja puoli-eroksi. Esitetään kunkin kaavan formulaatio.
Sinien ja kosinien summien ja erojen kaavojen määritelmät
Kahden kulman sinien summa on yhtä suuri kuin kaksi kertaa näiden kulmien puolikkaan summan sinin ja puolikkaan eron kosinin tulo.
Kahden kulman sinien ero on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolikkaan eron sinin ja puolisumman kosinin tulo.
Kahden kulman kosinien summa on yhtä suuri kuin kaksi kertaa näiden kulmien puolisumman kosinin ja puolikkaan eron kosinin tulo.
Kahden kulman kosinien ero on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolisumman sinin ja puolikkaan eron kosinin tulo negatiivisella etumerkillä.
Johtamiskaavat sinien ja kosinien summalle ja erolle
Kahden kulman sinin ja kosinin summan ja eron kaavojen johtamiseen käytetään summauskaavoja. Listataan ne alle
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Kuvitellaan myös itse kulmat puolisummien ja puolierojen summana.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Siirrymme suoraan synin ja cosin summa- ja erotuskaavojen johtamiseen.
Sinien summan kaavan johtaminen
Summassa sin α + sin β korvaamme α ja β näiden kulmien edellä annetuilla lausekkeilla. Saamme
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Nyt käytämme yhteenlaskukaavaa ensimmäiseen lausekkeeseen ja toiseen - kulmaerojen sinin kaavaa (katso kaavat yllä)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Avaa sulut, lisää vastaavat termit ja hanki tarvittava kaava
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β α + 2 cos α - β 2
Vaiheet jäljellä olevien kaavojen johtamiseksi ovat samanlaisia.
Sinien eron kaavan johtaminen
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2
Kosinien summan kaavan johtaminen
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + β cos α - β 2
Kosinien erotuksen kaavan johtaminen
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2
Esimerkkejä käytännön ongelmien ratkaisemisesta
Ensin tarkistetaan yksi kaavoista korvaamalla siihen tietyt kulma-arvot. Olkoon α = π 2, β = π 6. Lasketaan näiden kulmien sinien summan arvo. Ensin käytämme trigonometristen funktioiden perusarvojen taulukkoa ja sitten käytämme kaavaa sinien summalle.
Esimerkki 1. Kahden kulman sinien summan kaavan tarkistaminen
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa kulma-arvot poikkeavat taulukossa esitetyistä perusarvoista. Olkoon α = 165°, β = 75°. Lasketaan näiden kulmien sinien välinen ero.
Esimerkki 2. Sinien erotuskaavan soveltaminen
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Käyttämällä sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja voit siirtyä summasta tai erotuksesta trigonometristen funktioiden tuloon. Usein näitä kaavoja kutsutaan kaavoiksi, joilla siirrytään summasta tuloksi. Sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja käytetään laajalti trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja trigonometristen lausekkeiden muuntamisessa.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Tämä sähköinen resurssi on erinomainen materiaali interaktiiviseen oppimiseen nykyaikaisissa kouluissa. Se on kirjoitettu oikein, siinä on selkeä rakenne ja se vastaa koulun opetussuunnitelmaa. Yksityiskohtaisten selitysten ansiosta videotunnilla esitelty aihe tulee selväksi mahdollisimman monelle luokan oppilaalle. Opettajien on muistettava, että kaikilla opiskelijoilla ei ole samaa havaintokykyä, ymmärryksen nopeutta tai perustaa. Tällaiset materiaalit auttavat sinua selviytymään vaikeuksista ja kuromaan kiinni ikätovereihisi, parantamaan akateemista suorituskykyäsi. Heidän avullaan opiskelija voi rauhallisessa kotiympäristössä itsenäisesti tai yhdessä ohjaajan kanssa ymmärtää tiettyä aihetta, opiskella teoriaa ja katsella esimerkkejä tietyn kaavan käytännön soveltamisesta jne.
Tämä videotunti on omistettu aiheelle "Argumenttien eron sini ja kosini". Oletetaan, että opiskelija on jo oppinut trigonometrian perusteet, tuntenut perusfunktiot ja niiden ominaisuudet, haamukaavat ja trigonometristen arvojen taulukot.
Ennen kuin siirryt tämän aiheen tutkimiseen, sinun on myös ymmärrettävä argumenttien summan sini ja kosini, tunnettava kaksi peruskaavaa ja osattava käyttää niitä.
Videotunnin alussa julistaja muistuttaa oppilaita näistä kahdesta kaavasta. Seuraavaksi esitetään ensimmäinen kaava - argumenttien eron sini. Sen lisäksi, miten itse kaava johdetaan, näytetään, kuinka se johdetaan toisesta. Siten opiskelijan ei tarvitse opetella ulkoa uutta kaavaa ymmärtämättä sitä, mikä on yleinen virhe. Tämä on erittäin tärkeää tämän luokan opiskelijoille. Muista aina, että voit lisätä +-merkin miinusmerkin eteen, ja plusmerkin miinus muuttuu lopulta miinukseksi. Tämän yksinkertaisen vaiheen avulla voit käyttää summan sinin kaavaa ja saada argumenttien erotuksen sinin kaavan.
Eron kosinin kaava johdetaan samalla tavalla argumenttien summan kosinin kaavasta.
Puhuja selittää kaiken askel askeleelta, ja tuloksena saadaan samalla tavalla argumenttien ja sinin summan ja eron kosinin yleinen kaava.
Ensimmäinen esimerkki tämän videotunnin käytännön osasta ehdottaa Pi/12:n kosinin löytämistä. Tämä arvo ehdotetaan esitettäväksi tietyn eron muodossa, jossa minuend ja alaosa ovat taulukkoarvoja. Seuraavaksi käytetään argumenttien eron kosinikaavaa. Korvaamalla lausekkeen voit korvata saadut arvot ja saada vastauksen. Ilmoittaja lukee vastauksen, joka näkyy esimerkin lopussa.
Toinen esimerkki on yhtälö. Sekä oikealla että vasemmalla puolella näemme argumenttien erojen kosinit. Kaiutin muistuttaa valukaavoja, joita käytetään korvaamaan ja yksinkertaistamaan näitä ilmaisuja. Nämä kaavat on kirjoitettu oikealle puolelle, jotta opiskelijat ymmärtävät, mistä tietyt muutokset tulevat.
Toinen esimerkki, kolmas, on tietty murto-osa, jossa sekä osoittajassa että nimittäjässä on trigonometriset lausekkeet, nimittäin tulojen erot.
Myös tässä ratkaistaessa käytetään pelkistyskaavoja. Siten koululaiset näkevät, että jos heiltä puuttuu yksi trigonometrian aihe, muiden on yhä vaikeampaa ymmärtää.
Ja lopuksi neljäs esimerkki. Tämä on myös yhtälö, jossa on tarpeen käyttää uusia opittuja ja vanhoja kaavoja niiden ratkaisemisessa.
Voit tarkastella video-opetusohjelmassa annettuja esimerkkejä yksityiskohtaisemmin ja yrittää ratkaista sen itse. Ne voidaan antaa koululaisille kotitehtäviksi.
TEKSTIN DEKOODAUS:
Oppitunnin aiheena on "Argumenttien eron sini ja kosini".
Edellisellä kurssilla tutustuttiin kahteen trigonometriseen kaavaan: argumenttien summan siniin ja kosiniin.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.
kahden kulman summan sini on yhtä suuri kuin ensimmäisen kulman sinin ja toisen kulman kosinin tulon ja ensimmäisen kulman kosinin ja toisen kulman sinin tulon välinen summa;
Kahden kulman summan kosini on yhtä suuri kuin näiden kulmien kosinien tulon ja näiden kulmien summan tulon välinen ero.
Näitä kaavoja käyttämällä johdetaan argumenttien eron kaavat Sini ja kosini.
Sini argumenttien erosta sin(x-y)
Kaksi kaavaa (summan sini ja erotuksen sini) voidaan kirjoittaa seuraavasti:
sin(xy) = sin x cos ycos x sin y.
Samalla tavalla johdetaan erotuksen kosinin kaava:
Kirjoitetaan argumenttien välisen eron kosini summaksi ja käytetään jo tunnettua kaavaa summan kosinille: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.
vain argumenteille x ja -y. Korvaamalla nämä argumentit kaavaan, saamme cosxcos(- y) - sinxsin(- y).
sin(- y)= - siny). ja saamme lopullisen lausekkeen cosxcosy + sinxsiny.
cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.
Tämä tarkoittaa cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.
Kahden kulman eron kosini on yhtä suuri kuin näiden kulmien kosinien tulon ja näiden kulmien sinien tulon välinen summa.
Yhdistämällä kaksi kaavaa (summan kosini ja erotuksen kosini) yhdeksi, kirjoitamme
cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.
Muistakaamme, että kaavoja voidaan käytännössä soveltaa sekä vasemmalta oikealle että päinvastoin.
Katsotaanpa esimerkkejä.
ESIMERKKI 1. Laske cos (pi:n kosini jaettuna kahdellatoista).
Ratkaisu. Kirjoitetaan pi jaettuna kahdellatoista erotuksena pi:llä kolmella ja pi jaettuna neljällä: = - .
Korvataan arvot erotuskosinikaavaan: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, eli cos = cos (-) = cos cos + sin sin
Tiedämme, että cos = , cos = sin= , sin = . Näytä arvotaulukko.
Korvaamme sinin ja kosinin arvon numeerisilla arvoilla ja saamme ∙ + ∙ kun kerromme murto-osan murtoluvulla, kerromme osoittajat ja nimittäjät, saamme
cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.
Vastaus: cos =.
ESIMERKKI 2. Ratkaise yhtälö cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (kahden pi:n kosini miinus viisi x on yhtä suuri kuin pi:n kosini kahdella miinus viisi x:llä).
Ratkaisu. Yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle sovelletaan pelkistyskaavoja cos(2π - cos (kahden pi:n kosini miinus alfa on yhtä suuri kuin alfan kosini) ja cos(- = sin (pi:n kosini kahdella miinus alfalla on yhtä suuri kuin sini alfa), saamme cos 5x = sin 5x, annamme sen ensimmäisen asteen homogeenisen yhtälön muotoon ja saamme cos 5x - sin 5x = 0. Tämä on ensimmäisen asteen homogeeninen yhtälö. jaa yhtälötermin molemmat puolet cos:lla 5x. Meillä on:
cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, koska cos 5x: cos 5x = 1 ja sin 5x: cos 5x = tan 5x, niin saadaan:
Koska tiedämme jo, että yhtälöllä tgt = a on ratkaisu t = arctga + πn, ja koska meillä on t = 5x, a = 1, saamme
5x = arctaani 1 + πn,
ja arctg:n arvo on 1, sitten tg 1= Näytä taulukko
Korvaa arvo yhtälöön ja ratkaise se:
Vastaus: x = +.
ESIMERKKI 3. Etsi murto-osan arvo. (osoittimessa on seitsemänkymmentäviisi asteen ja kuusikymmentäviisi asteen kosinien tulon ja seitsemänkymmentäviisi viiden asteen ja kuusikymmentäviisi asteen sinien tulon ero, ja nimittäjässä on sinin tulon erotus kahdeksankymmentäviisi astetta ja 35 asteen kosini ja kahdeksankymmentäviisi asteen kosinin ja 35 asteen sinin tulo).
Ratkaisu. Tämän murtoluvun osoittajassa ero voidaan "kutistaa" argumenttien 75° ja 65° summan kosiniksi ja nimittäjässä ero voidaan "kutistaa" argumenttien välisen eron siniksi. 85° ja 35°. Saamme
Vastaus: -1.
ESIMERKKI 4. Ratkaise yhtälö: cos(-x) + sin(-x) = 1(kosini pi:n erosta neljällä ja x:llä plus sini pi:n erosta neljällä ja x on yhtä suuri kuin yksi).
Ratkaisu. Sovelletaan kaavoja kosiniero ja sinierotus.
Näytä yleinen erokosinikaava
Sitten cos (-x) = cos cos x + sinsinх
Näytä sini-eron yleinen kaava
ja sin (-х)= sin cosх - cos sinх
Korvaa nämä lausekkeet yhtälöllä cos(-x) + sin(-x) = 1 ja saa:
cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,
Koska cos= ja sin= Näytä taulukko sinin ja kosinin merkitys
Saamme ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,
toinen ja neljäs termi ovat vastakkaisia, joten ne kumoavat toisensa jättäen:
∙ cos + ∙ cos = 1,
Ratkaistaan tämä yhtälö ja saadaan se
2∙ ∙ cos x = 1,
Koska tiedämme jo, että yhtälöllä cos = a on ratkaisu t = arcosa+ 2πk, ja koska meillä on t=x, a =, saamme
x = arccos + 2πn,
ja koska arvo on arccos, niin cos =
