Kuvioiden symmetria akselin ympäri. Keskinen ja aksiaalinen symmetria

minä ... Symmetria matematiikassa :

Peruskäsitteet ja määritelmät.

Aksiaalinen symmetria (määritelmät, rakennesuunnitelma, esimerkit)

Keskusymmetria (määritelmät, rakennussuunnitelma, varten)toimenpiteet)

Yhteenvetotaulukko (kaikki ominaisuudet, ominaisuudet)

II ... Symmetriasovellukset:

1) matematiikassa

2) kemiassa

3) biologia, kasvitiede ja eläintiede

4) taiteessa, kirjallisuudessa ja arkkitehtuurissa

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Symmetrian peruskäsitteet ja tyypit.

Symmetrian käsite n rkäy läpi koko ihmiskunnan historian. Se löytyy jo ihmisten tiedon lähteistä. Se syntyi elävän organismin, nimittäin ihmisen, tutkimuksen yhteydessä. Ja kuvanveistäjät käyttivät sitä jo 5. vuosisadalla eKr. e. Sana "symmetria" on kreikka, se tarkoittaa "suhteellisuutta, suhteellisuutta, yhdenmukaisuutta osien järjestelyssä". Sitä käytetään laajalti kaikilla nykyajan tieteen aloilla poikkeuksetta. Monet hienot ihmiset ajattelivat tätä mallia. Esimerkiksi LN Tolstoi sanoi: ”Pysyvän mustan taulun edessä ja piirtäen siihen erilaisia \u200b\u200bhahmoja liidulla, minua yhtäkkiä ajatteli: miksi symmetria on selkeä silmälle? Mikä on symmetria? Tämä on luontainen tunne, vastasin itselleni. Mihin se perustuu? " Symmetria on todellakin miellyttävä silmälle. Kuka ei ole ihaillut luonnon luomakunnan symmetriaa: lehdet, kukat, linnut, eläimet; tai ihmisen luomuksia: rakennuksia, tekniikkaa - kaikkea, joka ympäröi meitä lapsuudesta lähtien, niitä, jotka pyrkivät kauneuteen ja harmoniaan. Hermann Weil sanoi: "Symmetria on idea, jonka kautta ihminen on vuosisatojen ajan yrittänyt ymmärtää ja luoda järjestystä, kauneutta ja täydellisyyttä." Hermann Weil on saksalainen matemaatikko. Hänen toimintaansa kuuluu 2000-luvun ensimmäisellä puoliskolla. Juuri hän muotoili symmetrian määritelmän, määritteli millä kriteereillä havaita läsnäolo tai päinvastoin, ettei symmetriaa ole yhdessä tai toisessa tapauksessa. Siten matemaattisesti tiukka käsite muodostui suhteellisen äskettäin - 1900-luvun alussa. Se on melko monimutkaista. Käännymme ja muistamme jälleen kerran oppikirjassa annetut määritelmät.

2. Aksiaalinen symmetria.

2.1 Perusmääritelmät

Määritelmä. Kahta pistettä A ja A1 kutsutaan symmetriseksi suoraan a nähden, jos tämä suora kulkee segmentin AA 1 keskikohdan läpi ja on kohtisuora siihen nähden. Jokaisen suoran a-pisteen katsotaan olevan symmetrinen itsensä suhteen.

Määritelmä. Lukua kutsutaan symmetriseksi suoran suhteen. jajos jokaisessa kuvion pisteessä piste, joka on symmetrinen siihen nähden suoran suhteen ja kuuluu myös tähän lukuun. Suoraan ja kutsutaan kuvan symmetria-akseliksi. Kuvion sanotaan myös olevan aksiaalinen symmetria.

2.2 Rakennussuunnitelma

Joten rakentaaksesi symmetrisen kuvan suhteessa suoraan viivaan kustakin pisteestä, piirrämme kohtisuoran tähän suoraan linjaan ja jatkamme sitä samalla etäisyydellä, merkitsemme tuloksena olevan pisteen. Teemme tämän jokaisella pisteellä, saamme uuden kuvan symmetriset kärkipisteet. Sitten yhdistämme ne sarjaan ja saamme symmetrisen kuvan annetusta suhteellisesta akselista.

2.3 Esimerkkejä aksiaalisesti symmetrisistä kuvioista.

3. Keskinen symmetria

3.1 Perusmääritelmät

Määritelmä. Kahta pistettä A ja A1 kutsutaan symmetriseksi pisteen O suhteen, jos O on segmentin AA 1 keskipiste. Pistettä O pidetään symmetrisenä itsensä suhteen.

Määritelmä. Lukua kutsutaan symmetriseksi pisteen O kohdalla, jos jokaiselle kuvion pisteelle se symmetrinen piste, joka liittyy siihen pisteen O kohdalla, myös kuuluu tähän kuvioon.

3.2 Rakennussuunnitelma

Tiettyyn nähden symmetrisen kolmion rakentaminen O-keskuksen ympärille.

Pisteen symmetrisen pisteen piirtäminen JAsuhteessa pisteeseen NOIN, riittää vetää suora viiva OA(kuva 46 ) ja pisteen toisella puolella NOINlykätä segmenttiä vastaavaa segmenttiä OA. Toisin sanoen , kohdat A ja ; Sisällä ja ; Kanssa ja ovat symmetrisiä jonkin pisteen O suhteen. 46 rakensi kolmion, joka oli symmetrinen kolmioon ABC suhteessa pisteeseen NOIN.Nämä kolmiot ovat yhtä suuret.

Piirrä symmetrisiä pisteitä keskikohdasta.

Kuviossa pisteet M ja M1, N ja N1 ovat symmetrisiä pisteen O suhteen, ja pisteet P ja Q eivät ole symmetrisiä tämän pisteen suhteen.

Yleensä luvut, jotka ovat symmetrisiä jonkin pisteen suhteen, ovat yhtä suuret .

3.3 Esimerkkejä

Tässä on esimerkkejä hahmoista, joilla on keskeinen symmetria. Yksinkertaisimmat hahmot, joissa on keskeinen symmetria, ovat ympyrä ja suuntauskuva.

Pistettä O kutsutaan kuvan symmetrian keskukseksi. Tällaisissa tapauksissa hahmolla on keskeinen symmetria. Ympyrän symmetrian keskipiste on ympyrän keskipiste, ja suuntaissuunnitelman symmetrian keskipiste on sen diagonaalien leikkauspiste.

Suoralla linjalla on myös keskisymmetria, toisin kuin ympyrä ja suuntausohjelma, joilla on vain yksi symmetrian keskipiste (kuvassa O-piste), suoralla on äärettömän monta niistä - suora viiva on mikä tahansa piste sen symmetrian keskipiste.

Kuviot esittävät kulman, joka on symmetrinen kärjen suhteen, segmentin, joka on symmetrinen toiselle segmentille keskiosan ympärillä JA ja nelikulmainen, joka on symmetrinen sen kärjen suhteen M.

Esimerkki muodosta, jolla ei ole symmetrian keskustaa, on kolmio.

4. Oppitunnin yhteenveto

Tehdään yhteenveto saadusta tiedosta. Tänään oppitunnissa tutustuimme kahteen pääsymmetriatyyppiin: keskiseen ja aksiaaliseen. Katsotaanpa näyttöä ja järjestelmästettävä saatu tieto.

Yhteenvetotaulukko

	Aksiaalinen symmetria	Keskinen symmetria
Ominaisuus	Kuvan kaikkien pisteiden on oltava symmetrisiä jonkin suoran suhteen.	Kaikkien muodon pisteiden on oltava symmetrisiä symmetrian keskukseksi valitun pisteen suhteen.
ominaisuudet	1. Symmetriset pisteet sijaitsevat suorassa suorassa kohtisuorassa. 3. Suorat viivat muuttuvat suoriksi, kulmat samoiksi. 4. Hahmojen koot ja muodot tallennetaan.	1. Symmetriset pisteet sijaitsevat suoralla linjalla, joka kulkee kuvan keskikohdan ja annetun pisteen läpi. 2. Etäisyys pisteestä suoraan on yhtä suuri kuin etäisyys suorasta symmetriseen pisteeseen. 3. Hahmojen koot ja muodot tallennetaan.

II. Symmetrian soveltaminen

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009.

Tarkastele aksiaalista ja keskisymmetriaa joidenkin geometristen muotojen ominaisuuksina; Tarkastele aksiaalista ja keskisymmetriaa joidenkin geometristen muotojen ominaisuuksina; Pystyy rakentamaan symmetrisiä pisteitä ja tunnistamaan muodot, jotka ovat symmetrisiä pisteen tai viivan suhteen; Pystyy rakentamaan symmetrisiä pisteitä ja tunnistamaan muodot, jotka ovat symmetrisiä pisteen tai viivan suhteen; Ongelmanratkaisutaitojen parantaminen; Ongelmanratkaisutaitojen parantaminen; Jatka työskentelyä geometrisen piirustuksen tallennuksen ja täydentämisen tarkistamiseksi; Jatka työskentelyä geometrisen piirustuksen tallennuksen ja täydentämisen tarkistamiseksi;

Suullinen työ "Hellävarainen kysely" Suullinen työ "Hellävarainen kysely" Mitä pistettä kutsutaan segmentin keskiosaksi? Mitä kolmiota kutsutaan yhtäsuuntaiseksi? Mitä ominaisuuksia rombin diagonaaleilla on? Formuloi tasakylkisen kolmion puolittimen ominaisuus. Mitä suoraa viivaa kutsutaan kohtisuoraksi? Mitä kolmiota kutsutaan tasasivuiseksi? Mitä ominaisuuksia neliön diagonaaleilla on? Mitä lukuja kutsutaan yhtä suureiksi?

Mitä uusia käsitteitä tapasit oppitunnissa? Mitä uusia käsitteitä tapasit oppitunnissa? Mitä uutta geometrisissa muodoissa? Mitä uutta geometrisissa muodoissa? Anna esimerkkejä aksiaalisesti symmetrisistä geometrisista muodoista. Anna esimerkkejä aksiaalisesti symmetrisistä geometrisista muodoista. Anna esimerkki muodoista, joissa on keskeinen symmetria. Anna esimerkki muodoista, joissa on keskeinen symmetria. Anna esimerkkejä ympäröivän elämän esineistä, joilla on yksi tai kahden tyyppinen symmetria. Anna esimerkkejä ympäröivän elämän esineistä, joilla on yksi tai kahden tyyppinen symmetria.

tavoitteet:

• koulutuksellinen:
  • antaa kuvan symmetriasta;
  • perehtyä symmetrian perustyyppeihin tasossa ja avaruudessa;
  • kehittää vahvoja taitoja symmetristen hahmojen rakentamisessa;
  • laajentaa tunnettujen muotojen ymmärtämistä ottamalla käyttöön symmetriaan liittyvät ominaisuudet;
  • näyttää mahdollisuudet käyttää symmetriaa erilaisten ongelmien ratkaisemisessa;
  • vakiinnuttaa saatu tieto;
• yleinen koulutus:
  • opettaa asettamaan itsesi työhön;
  • opettaa hallitsemaan itseäsi ja naapuriasi pöydälläsi;
  • opettaa arvioimaan itseäsi ja työtoveriasi;
• kehittämällä:
  • tehostaa itsenäistä toimintaa;
  • kehittää kognitiivista toimintaa;
  • oppia yleistämään ja järjestelmäntämään saatua tietoa;
• koulutuksellinen:
  • edistää opiskelijoiden ”hartiatuntoa”;
  • kouluttaa viestintää;
  • sisustaa viestintäkulttuurin.

LUOKKIEN AIKA

Kummankin edessä on sakset ja paperiarkki.

Harjoitus 1(3 min).

Otetaan arkki paperia, taitetaan se väliin ja leikataan jonkinlainen kuva. Laajenna nyt arkki ja katso taittolinjaa.

kysymys: Mikä on tämän linjan tehtävä?

Oletettu vastaus: Tämä rivi jakaa kuvan puoliksi.

kysymys: Kuinka kaikki kuvan pisteet sijaitsevat kahdessa tuloksellisessa puolikkaassa?

Oletettu vastaus: Kaikki puoliskojen kohdat ovat samalla etäisyydellä taittoviivasta ja samalla tasolla.

- Tämä tarkoittaa, että taiteviiva jakaa kuvan puoliksi siten, että 1 puoli on kopio kahdesta puolikkaasta, ts. tämä viiva ei ole yksinkertainen, sillä on huomattava ominaisuus (kaikki pisteet ovat samalla etäisyydellä siihen nähden), tämä viiva on symmetria-akseli.

Tehtävä 2 (2 minuuttia).

- Leikkaa lumihiutale, löydä symmetria-akseli, kuvaa sitä.

Tehtävä 3 (5 minuuttia).

- Piirrä ympyrä muistikirjaan.

kysymys: Selvitä, kuinka symmetria-akseli kulkee?

Oletettu vastaus: Eri tavalla.

kysymys: Joten kuinka monella symmetria-akselilla ympyrällä on?

Oletettu vastaus: Paljon.

- Se on totta, ympyrällä on monia symmetria-akseleita. Sama merkittävä hahmo on pallo (tilahahmo)

kysymys: Mitkä muut luvut ovat enemmän kuin yksi symmetria-akseli?

Oletettu vastaus: Neliö, suorakulmio, tasakulmaiset ja tasasivuiset kolmiot.

- Tarkastellaan tilavuuslukuja: kuutio, pyramidi, kartio, sylinteri jne. Näillä kuvilla on myös symmetria-akseli: Määritä, kuinka monella symmetria-akselilla neliö, suorakulmio, tasasivuinen kolmio ja ehdotetut tilavuuskuviot ovat?

Jaastan opiskelijoille plastiinihahmojen puolikkaat.

Tehtävä 4 (3 min).

- Täytä puuttuva osa kuvasta vastaanotettujen tietojen avulla.

merkintä: luku voi olla sekä litteä että tilavuus. On tärkeää, että opiskelijat määrittelevät kuinka symmetria-akseli kulkee ja suorittaa puuttuva kappale loppuun. Suorituksen oikeellisuuden määrittelee pöydällä oleva naapuri, arvioi työn oikeellisuuden.

Työpöydälle on asetettu samanvärisistä pitsistä viiva (suljettu, avoin, ristikkäin, ilman ristikkäitä).

Tehtävä 5 (ryhmätyö 5 min).

- Määritä visuaalisesti symmetria-akseli ja rakenna toinen osa nauhasta, jonka väri on sen suhteen erivärinen.

Suoritetun työn oikeellisuuden määräävät opiskelijat itse.

Piirustusten elementit esitellään opiskelijoille

Tehtävä 6 (2 minuuttia).

- Löydä näiden kuvioiden symmetriset osat.

Tarvittavan aineiston yhdistämiseksi ehdotan seuraavia tehtäviä 15 minuutin ajan:

Nimeä kaikki kolmion yhtä suuret elementit KOR ja KOM. Kuinka nämä kolmiot näyttävät?

2. Piirrä muistikirjaan useita tasakylkisiä kolmioita, joiden yhteinen pohja on 6 cm.

3. Piirrä linjasegmentti AB. Rakenna suora viiva kohtisuoraan linjaosaan AB nähden ja kulkee sen keskiosan läpi. Merkitse kohdat C ja D siten, että nelikulma ACBD on symmetrinen viivan AB suhteen.

- Alkuperäiset ideamme lomakkeesta ovat peräisin muinaisen kivikauden hyvin kaukaiseen aikakauteen - paleoliittiseen aikaan. Tämän ajanjakson satojen vuosituhansien ajan ihmiset asuivat luolissa olosuhteissa, jotka eivät eroa juurikaan eläinten elämästä. Ihmiset tekivät työkaluja metsästykseen ja kalastukseen, kehittivät kielen kommunikoidakseen keskenään ja myöhään paleoliittisella aikakaudella koristelivat heidän olemassaolonsa luomalla taideteoksia, hahmoja ja piirroksia, joista löytyy upea muotoilunäkymä.
Kun tapahtui siirtyminen yksinkertaisesta elintarvikkeiden keräämisestä aktiiviseen tuotantoon metsästyksestä ja kalastuksesta maataloudelle, ihmiskunta siirtyy uudelle kivikaudelle, neoliittiseen.
Neoliittinen mies tunsi innokkaasti geometrisen muodon. Maasäiliöiden polttaminen ja maalaaminen, ruokomattojen, korien, kankaiden valmistaminen ja myöhemmin - metallien työstö kehitti taso- ja aluehahmojen käsitteen. Neoliittiset koristeet olivat miellyttäviä silmille, paljastaen tasa-arvon ja symmetrian.
- Missä symmetria esiintyy luonnossa?

Oletettu vastaus: perhosia, kovakuoriaisia, puun lehtiä ...

”Symmetria näkyy myös arkkitehtuurissa. Rakennuksia rakennettaessa rakentajat noudattavat symmetriaa.

Siksi rakennukset ovat niin kauniita. Myös esimerkki symmetriasta on ihminen, eläimet.

Kotitehtävä:

1. Keksi oma koriste, kuvaa se A4-arkissa (voit piirtää sen maton muodossa).
2. Piirrä perhosia, merkitse, missä symmetriaelementit ovat.

Liikeidea

Analysoidaan ensin sellainen käsite kuin liike.

Määritelmä 1

Tason kartoittamista kutsutaan tason liikkeeksi, jos kartoitus ylläpitää etäisyyksiä.

Tähän käsitteeseen liittyy useita lauseita.

Lause 2

Kolmio siirtyy liikkuessa tasaiseksi kolmioksi.

Lause 3

Jokainen hahmo siirtyy liikkuessaan sitä vastaavaksi hahmoksi.

Aksiaalinen ja keskilainen symmetria ovat esimerkkejä liikkeestä. Tarkastellaan niitä yksityiskohtaisemmin.

Aksiaalinen symmetria

Määritelmä 2

Pisteitä $ A $ ja $ A_1 $ kutsutaan symmetrisiksi viivan $ a $ suhteen, jos tämä viiva on kohtisuora segmenttiin $ (AA) _1 $ ja kulkee sen keskipisteen läpi (kuva 1).

Kuva 1.

Mieti aksiaalista symmetriaa ongelman esimerkin avulla.

Esimerkki 1

Rakenna symmetrinen kolmio tälle kolmiolle suhteessa mihin tahansa sen sivuun.

Päätös.

Annetaan meille kolmio $ ABC $. Rakennamme sen symmetrian suhteessa $ BC $ -puoleen. Aksiaalisen symmetrian alla oleva BC BC $ -puoli muuttuu itsestään (seuraa määritelmästä). Kohta $ A $ siirtyy pisteeseen $ A_1 $ seuraavasti: $ (AA) _1 \\ bot BC $, $ (AH \u003d HA) _1 $. $ ABC $ -kolmio siirtyy $ A_1BC $ -kolmioon (kuva 2).

Kuvio 2.

Määritelmä 3

Lukua kutsutaan symmetriseksi suhteessa suoraan viivaan $ a $, jos tämän kuvan kukin symmetrinen piste sisältyy samaan kuvaan (kuva 3).

Kuvio 3.

Kuvio 3 $ $ näyttää suorakulmion. Sillä on aksiaalinen symmetria kunkin läpimitan suhteen, samoin kuin kaksi suoraa viivaa, jotka kulkevat tämän suorakaiteen vastakkaisten puolien keskipisteiden läpi.

Keskinen symmetria

Määritelmä 4

Pisteitä $ X $ ja $ X_1 $ kutsutaan symmetrisesti pisteen $ O $ suhteen, jos piste $ O $ on segmentin $ (XX) _1 $ keskipiste (kuva 4).

Kuvio 4.

Tarkastellaan keskeistä symmetriaa ongelman esimerkissä.

Esimerkki 2

Rajaa tietylle kolmiolle symmetrinen kolmio mihin tahansa sen kärkipisteeseen.

Päätös.

Annetaan meille kolmio $ ABC $. Rakennamme sen symmetrian suhteessa kärkeen $ A $. Keskusymmetrian alla oleva huippu $ A $ muuttuu itsestään (seuraa määritelmästä). Piste $ B $ menee pisteeseen $ B_1 $ seuraavasti $ (BA \u003d AB) _1 $, ja kohta $ C $ menee kohtaan $ C_1 $ seuraavasti: $ (CA \u003d AC) _1 $. $ ABC $ -kolmio siirtyy $ (AB) _1C_1 $ -kolmioon (kuva 5).

Kuvio 5.

Määritelmä 5

Kuvio on symmetrinen pisteen $ O $ suhteen, jos kuvion jokainen symmetrinen piste sisältyy samaan kuvaan (kuva 6).

Kuvio 6.

Kuvio 6 $ $ näyttää yhdensuuntaisen kuvan. Sillä on keskeinen symmetria diagonaaliensa leikkauspisteestä.

Esimerkki tehtävästä.

Esimerkki 3

Annetaan meille segmentti $ AB $. Rakenna sen symmetria linjaan $ l $ nähden, joka ei leikkaa tätä segmenttiä, ja suhteessa pisteeseen $ C $, joka makaa suorassa linjassa $ l $.

Päätös.

Piirretään ongelmatila.

Kuvio 7.

Piirrämme ensin aksiaalinen symmetria suoraan linjaan $ l $ nähden. Koska aksiaalinen symmetria on liike, niin lauseen $ 1 $ avulla segmentti $ AB $ yhdistetään segmenttiin, joka vastaa sitä $ A "B" $. Sen rakentamiseksi teemme seuraavan: Piirrä viivat $ m \\ ja \\ n $ pisteiden $ A \\ ja \\ B $ läpi kohtisuorassa linjaan $ l $ nähden. Olkoon $ m \\ cap l \u003d X, \\ n \\ cap l \u003d Y $. Sitten piirrämme segmentit $ A "X \u003d AX $ ja $ B" Y \u003d BY $.

Kuva 8.

Kuvailkaamme nyt pisteen $ C $ keskinen symmetria. Koska keskeinen symmetria on liike, niin lauseen $ 1 $ avulla segmentti $ AB $ kuvataan sitä vastaavaan segmenttiin $ A "" B "" $. Suorittaaksemme sen, teemme seuraavat: Piirrä viivat $ AC \\ ja \\ BC $. Sitten piirrämme segmentit $ A ^ ("") C \u003d AC $ ja $ B ^ ("") C \u003d BC $.

Kuvio 9.

Joten geometrian suhteen: symmetria on kolme päätyyppiä.

Ensinnäkin keskeinen symmetria (tai pisteen symmetria) - tämä on tason (tai avaruuden) muunnos, jossa ainoa piste (piste O on symmetrian keskipiste) pysyy paikallaan, kun taas muut kohdat muuttavat sijaintiaan: pisteen A sijasta saamme pisteen A1 siten, että piste O on segmentin AA1 keskikohta. Rakentaaksesi kuvan F1, joka on symmetrinen kuvalle Ф pisteeseen O, sinun on piirrettävä säde kuvan Ф kunkin pisteen läpi, joka kulkee pisteen O (symmetriakeskipiste) läpi, ja aseta tällä sädellä piste, joka on symmetrinen valittuun pisteeseen O nähden. Tällä tavalla rakennettu pistejoukko antaa kuvan F1.

Kuviot, joissa on symmetrian keskipiste, ovat erittäin kiinnostavia: pisteen O ympäri tapahtuvan symmetrian avulla kuvioiden mikä tahansa piste F muuttuu taas kuvion F jonakin pisteeksi. Geometriassa on monia sellaisia \u200b\u200bkuvioita. Esimerkiksi: segmentti (segmentin keskellä on symmetrian keskipiste), suora viiva (mikä tahansa sen pisteistä on symmetrian keskipiste), ympyrä (ympyrän keskipiste on symmetrian keskipiste), suorakulmio (sen diagonaalien leikkauspiste on symmetrian keskipiste). Elävässä ja elottomassa luonnossa on monia keskeisesti symmetrisiä esineitä (opiskelijoiden viesti). Usein ihmiset itse luovat esineitä, joilla on symmetrinen keskus.rukit (esimerkkejä käsitöistä, esimerkkejä konetekniikasta, esimerkkejä arkkitehtuurista ja monia muita esimerkkejä).

Toiseksi, aksiaalinen symmetria (tai symmetria suorassa suunnassa) - tämä on tason (tai avaruuden) muunnos, jossa vain suoran p kohdat pysyvät paikoillaan (tämä suora viiva on symmetria-akseli), kun taas muut kohdat muuttavat sijaintiaan: Pisteen B sijaan saamme sellaisen pisteen B1, että linja p on keskipiste kohtisuorassa segmenttiin BB1 nähden. ... Rakentaaksesi kuvan F1, joka on symmetrinen kuvioon F, nähden suoraa p: tä kohti, jokaiselle kuvion F pisteelle on rakennettava siihen symmetrinen piste suoraa p: n suhteen. Kaikkien näiden rakennettujen pisteiden joukko antaa halutun kuvan F1. On monia geometrisia muotoja, joilla on symmetria-akseli.

Suorakulmassa on kaksi, neliössä on neljä ja ympyrässä on suora linja, joka kulkee sen keskipisteen läpi. Jos tarkastellaan tarkkaan aakkosten kirjaimia, niin niiden joukosta löydät niitä, joilla on vaaka- tai pystysuuntainen ja joskus molemmat symmetria-akselit. Symmetria-akselilla varustettuja esineitä löytyy melko usein elävästä ja elottomasta luonnosta (opiskelijoiden raportit). Ihminen luo toiminnassaan monia esineitä (esimerkiksi koristeita), joilla on useita symmetria-akseleita.

______________________________________________________________________________________________________

Kolmanneksi tasomainen (peili) symmetria (tai symmetria tason ympäri) Onko avaruuden muunnos, jossa vain yhden tason pisteet säilyttävät sijaintinsa (α-symmetriataso), loput avaruuden pisteet muuttavat sijaintiaan: Pisteen C sijaan saadaan piste C1 siten, että taso α kulkee segmentin CC1 keskikohdan läpi kohtisuorassa siihen nähden.

Kuvion Ф1 rakentamiseksi, symmetrinen kuvioon Ф suhteessa tasoon α, on jokaiselle kuvion Ф pisteelle välttämätöntä rakentaa pisteitä, jotka ovat symmetrisiä α: n suhteen, ne muodostavat joukkoonsa kuvan Ф1.

Useimmiten ympärillämme olevien asioiden ja esineiden maailmassa kohtaamme kolmiulotteisia ruumiita. Ja joillakin näistä ruumista on symmetriatasot, joskus jopa useita. Ja henkilö itse toiminnassaan (rakentaminen, käsityöt, mallinnus, ...) luo esineitä, joilla on symmetriatasot.

On huomattava, että kolmen luetellun symmetriatyypin lisäksi on olemassa (arkkitehtuurissa)kannettava ja kääntyvä, jotka geometriassa ovat koostumuksia, joissa on useita liikkeitä.