Ինչպես գտնել ֆունկցիայի զրոները կոտորակի մեջ: Ինչպես գտնել ֆունկցիայի զրոները

Գործառույթների զրոներայն արգումենտի արժեքներն են, որոնց դեպքում ֆունկցիան հավասար է զրոյի:

y=f(x) բանաձեւով տրված ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել f(x)=0 հավասարումը։

Եթե ​​հավասարումը չունի արմատներ, ֆունկցիան չունի զրո:

Օրինակներ.

1) Գտե՛ք y=3x+15 գծային ֆունկցիայի զրոները։

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար լուծեք 3x+15=0 հավասարումը։

Այսպիսով, y=3x+15 ֆունկցիայի զրոն x= -5 է։

Պատասխան՝ x= -5:

2) Գտե՛ք f(x)=x²-7x+12 քառակուսի ֆունկցիայի զրոները:

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար լուծեք քառակուսի հավասարումը

Դրա արմատները x1=3 և x2=4 այս ֆունկցիայի զրոներն են։

Պատասխան՝ x=3; x=4.

Հրահանգներ

1. Ֆունկցիայի զրոն x արգումենտի արժեքն է, որի դեպքում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի։ Այնուամենայնիվ, զրո կարող են լինել միայն այն փաստարկները, որոնք գտնվում են ուսումնասիրվող ֆունկցիայի սահմանման շրջանակում։ Այսինքն, կան շատ արժեքներ, որոնց համար օգտակար է f(x) ֆունկցիան: 2. Գրի՛ր տրված ֆունկցիան և հավասարի՛ր այն զրոյի, ասենք f(x) = 2x?+5x+2 = 0։ Լուծի՛ր ստացված հավասարումը և գտիր դրա իրական արմատները։ Քառակուսային հավասարման արմատները հաշվարկվում են տարբերակիչները գտնելու աջակցությամբ: 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2 Այսպիսով, այս դեպքում ստացվում են քառակուսի հավասարման երկու արմատներ, որոնք համապատասխանում են. f(x) սկզբնական ֆունկցիայի արգումենտները: 3. Ստուգեք բոլոր հայտնաբերված x արժեքները տվյալ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին պատկանելու համար: Գտեք OOF-ը, դա անելու համար ստուգեք սկզբնական արտահայտությունը ձևի զույգ արմատների առկայության համար.f (x), կոտորակների առկայության համար ֆունկցիայի մեջ արգումենտով հայտարարի մեջ, լոգարիթմական կամ եռանկյունաչափական առկայության համար: արտահայտությունները. 4. Զույգ աստիճանի արմատի տակ արտահայտություն ունեցող ֆունկցիան դիտարկելիս որպես սահմանման տիրույթ վերցրեք բոլոր այն արգումենտները x, որոնց արժեքները արմատական ​​արտահայտությունը բացասական թվի չեն վերածում (ընդհակառակը, ֆունկցիան անում է. իմաստ չունի): Ստուգեք՝ արդյոք ֆունկցիայի հայտնաբերված զրոները գտնվում են ընդունելի x արժեքների որոշակի միջակայքում: 5. Կոտորակի հայտարարը չի կարող զրոյի հասնել, հետևաբար բացառեք այն x փաստարկները, որոնք հանգեցնում են նման արդյունքի: Լոգարիթմական մեծությունների համար պետք է հաշվի առնել միայն այն արգումենտի արժեքները, որոնց համար արտահայտությունն ինքնին զրոյից մեծ է: Ենթլոգարիթմական արտահայտությունը զրոյի կամ բացասական թվի վերածող ֆունկցիայի զրոները պետք է հանվեն վերջնական արդյունքից։ Նշում!Հավասարման արմատները գտնելիս կարող են առաջանալ լրացուցիչ արմատներ: Սա հեշտ է ստուգել. պարզապես արգումենտի ստացված արժեքը փոխարինեք ֆունկցիայի մեջ և համոզվեք, որ ֆունկցիան դառնում է զրո: Օգտակար խորհուրդԵրբեմն ֆունկցիան ակնհայտ կերպով չի արտահայտվում իր արգումենտի միջոցով, ապա հեշտ է իմանալ, թե որն է այս ֆունկցիան: Դրա օրինակն է շրջանագծի հավասարումը:

Գործառույթների զրոներԿանչվում է աբսցիսային արժեքը, որի դեպքում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի:

Եթե ​​ֆունկցիան տրված է իր հավասարմամբ, ապա ֆունկցիայի զրոները կլինեն հավասարման լուծումները: Եթե ​​տրված է ֆունկցիայի գրաֆիկ, ապա ֆունկցիայի զրոներն այն արժեքներն են, որոնց դեպքում գրաֆիկը հատում է x առանցքը:

Գործառույթմաթեմատիկական ամենակարևոր հասկացություններից է։ Ֆունկցիա - փոփոխական կախվածություն ժամըփոփոխականից x, եթե յուրաքանչյուր արժեք Xհամապատասխանում է մեկ արժեքի ժամը. Փոփոխական Xկոչվում է անկախ փոփոխական կամ արգումենտ: Փոփոխական ժամըկոչվում է կախյալ փոփոխական: Անկախ փոփոխականի բոլոր արժեքները (փոփոխական x) ձևավորել ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը: Բոլոր արժեքները, որոնք ընդունում է կախված փոփոխականը (փոփոխական y), ձևավորել ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Ֆունկցիայի գրաֆիկկանչել կոորդինատային հարթության բոլոր կետերի բազմությունը, որոնց աբսցիսաները հավասար են փաստարկի արժեքներին, իսկ օրդինատները հավասար են ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներին, այսինքն՝ ֆունկցիայի արժեքներին։ փոփոխականները գծագրված են աբսցիսայի առանցքի երկայնքով x, և փոփոխականի արժեքները գծագրվում են օրդինատների առանցքի երկայնքով y. Ֆունկցիան գծագրելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ֆունկցիայի հատկությունները: Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները կքննարկվեն ստորև:

Ֆունկցիայի գծապատկեր ստեղծելու համար խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել մեր ծրագիրը՝ Graphing functions առցանց: Եթե ​​այս էջի նյութն ուսումնասիրելիս հարցեր ունեք, միշտ կարող եք դրանք ուղղել մեր ֆորումում: Նաև ֆորումում նրանք կօգնեն ձեզ լուծել խնդիրներ մաթեմատիկայի, քիմիայի, երկրաչափության, հավանականությունների տեսության և շատ այլ առարկաներից:

Ֆունկցիաների հիմնական հատկությունները.

1) Ֆունկցիոնալ տիրույթ և ֆունկցիայի տիրույթ.

Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր վավեր փաստարկների արժեքների բազմությունն է x(փոփոխական x), որի համար ֆունկցիան y = f(x)որոշված.
Ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական արժեքների բազմությունն է y, որն ընդունում է ֆունկցիան։

Տարրական մաթեմատիկայի մեջ ֆունկցիաները ուսումնասիրվում են միայն իրական թվերի բազմության վրա։

2) ֆունկցիայի զրոներ.

Զրո ֆունկցիան այն փաստարկի արժեքն է, որի դեպքում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի:

3) ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը.

Ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը փաստարկների արժեքների հավաքածուներ են, որոնց վրա ֆունկցիայի արժեքները միայն դրական են կամ միայն բացասական:

4) ֆունկցիայի միապաղաղություն.

Աճող ֆունկցիան (որոշակի ընդմիջումով) այն ֆունկցիան է, որում այս միջակայքից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:

Նվազող ֆունկցիան (որոշակի ընդմիջումով) այն ֆունկցիան է, որի արգումենտի ավելի մեծ արժեքը այս միջակայքից համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:

5) Զույգ (կենտ) ֆունկցիա.

Զույգ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման և ցանկացածի նկատմամբ Xսահմանման տիրույթից՝ հավասարությունը f(-x) = f(x). Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատի նկատմամբ։

Կենտ ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է ծագման և ցանկացածի նկատմամբ Xսահմանման տիրույթից հավասարությունը ճշմարիտ է f(-x) = - f(x) Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

6) Սահմանափակ և անսահմանափակ գործառույթներ.

Ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա M դրական թիվ, որ |f(x)| ≤ M x-ի բոլոր արժեքների համար: Եթե ​​այդպիսի թիվ գոյություն չունի, ապա ֆունկցիան անսահմանափակ է։

7) ֆունկցիայի պարբերականությունը.

F(x) ֆունկցիան պարբերական է, եթե կա ոչ զրոյական T թիվ այնպես, որ ցանկացած x-ի դեպքում f(x+T) = f(x): Այս ամենափոքր թիվը կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։ Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են։ (Եռանկյունաչափական բանաձևեր):

Ուսումնասիրելով ֆունկցիայի այս հատկությունները, դուք հեշտությամբ կարող եք ուսումնասիրել ֆունկցիան և, օգտագործելով ֆունկցիայի հատկությունները, կարող եք կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Դիտեք նաև ճշմարտության աղյուսակի, բազմապատկման աղյուսակի, պարբերական աղյուսակի, ածանցյալների աղյուսակի և ինտեգրալների աղյուսակի մասին նյութը:

Գործառույթների զրոներ

Որո՞նք են ֆունկցիայի զրոները: Ինչպե՞ս որոշել ֆունկցիայի զրոները վերլուծական և գրաֆիկական եղանակով:

Գործառույթների զրոներ- սրանք այն արգումենտ արժեքներն են, որոնց դեպքում ֆունկցիան հավասար է զրոյի:

y=f(x) բանաձեւով տրված ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել f(x)=0 հավասարումը։

Եթե ​​հավասարումը չունի արմատներ, ֆունկցիան չունի զրո:

1) Գտե՛ք y=3x+15 գծային ֆունկցիայի զրոները։

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար լուծեք 3x+15 =0 հավասարումը։

Այսպիսով, ֆունկցիայի զրոն y=3x+15 - x= -5 է։

2) Գտե՛ք f(x)=x²-7x+12 քառակուսի ֆունկցիայի զրոները:

Ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար լուծեք քառակուսի հավասարումը

Դրա արմատները x1=3 և x2=4 այս ֆունկցիայի զրոներն են։

3) Գտեք ֆունկցիայի զրոները

Կոտորակն իմաստ ունի, եթե հայտարարը զրոյական չէ: Հետևաբար, x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1: Այսինքն՝ տվյալ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը (DO)

x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 հավասարման արմատներից սահմանման տիրույթում ներառված է միայն x=-4:

Գրաֆիկորեն տրված ֆունկցիայի զրոները գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը աբսցիսային առանցքի հետ։

Եթե ​​գրաֆիկը չի հատում Ox առանցքը, ֆունկցիան չունի զրոներ:

ֆունկցիան, որի գրաֆիկը ներկայացված է նկարում, ունի չորս զրո.

Հանրահաշվում ֆունկցիայի զրոները գտնելու խնդիրն առաջանում է և՛ որպես ինքնուրույն առաջադրանք, և՛ այլ խնդիրներ լուծելիս, օրինակ՝ ֆունկցիա ուսումնասիրելիս, անհավասարություններ լուծելիս և այլն։

www.algebraclass.ru

Զրոյական ֆունկցիայի կանոն

Ֆունկցիաների հիմնական հասկացությունները և հատկությունները

Կանոն (օրենք) նամակագրության. Միապաղաղ ֆունկցիա .

Սահմանափակ և անսահմանափակ գործառույթներ: Շարունակական և

ընդհատվող գործառույթներ . Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ:

Պարբերական ֆունկցիա. Գործառույթի ժամկետը:

Գործառույթների զրոներ . Ասիմպտոտ .

Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը և արժեքների տիրույթը: Տարրական մաթեմատիկայի մեջ ֆունկցիաները ուսումնասիրվում են միայն իրական թվերի բազմության վրա Ռ . Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի փաստարկը կարող է վերցնել միայն այն իրական արժեքները, որոնց համար սահմանված է ֆունկցիան, այսինքն. այն նույնպես ընդունում է միայն իրական արժեքներ։ Մի փունջ X բոլոր վավեր փաստարկների արժեքները x, որի համար ֆունկցիան y = զ (x) սահմանվում է, կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթը. Մի փունջ Յ բոլոր իրական արժեքները y, որը ֆունկցիան ընդունում է, կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթ. Այժմ մենք կարող ենք տալ գործառույթի ավելի ճշգրիտ սահմանում. կանոն բազմությունների միջև համապատասխանության (օրենք): XԵվ Յ , ըստ որի բազմության յուրաքանչյուր տարրի համար XԴուք կարող եք գտնել մեկ և միայն մեկ տարր հավաքածուից Յ, կոչվում է ֆունկցիա .

Այս սահմանումից հետևում է, որ ֆունկցիան համարվում է սահմանված, եթե.

— նշված է ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը X ;

— նշված է ֆունկցիայի տիրույթը Յ ;

— հայտնի է համապատասխանության կանոնը (օրենքը) և այնպես, որ յուրաքանչյուրի համար

փաստարկի արժեքը, կարելի է գտնել միայն մեկ ֆունկցիայի արժեք:

Գործառույթի եզակիության այս պահանջը պարտադիր է։

Միապաղաղ ֆունկցիա. Եթե ​​փաստարկի ցանկացած երկու արժեքի համար x 1 և x 2 պայման x 2 > x 1 հետևում է զ (x 2) > զ (x 1), ապա ֆունկցիան զ (x) կոչվում է աճող; եթե որևէ մեկի համար x 1 և x 2 պայման x 2 > x 1 հետևում է զ (x 2)

Նկար 3-ում ցուցադրված ֆունկցիան սահմանափակ է, բայց ոչ միապաղաղ: Նկար 4-ի ֆունկցիան ճիշտ հակառակն է, միապաղաղ, բայց անսահմանափակ: (Բացատրեք սա, խնդրում եմ!):

Շարունակական և ընդհատվող գործառույթներ: Գործառույթ y = զ (x) կոչվում է շարունակական կետում x = ա, Եթե:

1) ֆունկցիան սահմանվում է, երբ x = ա, այսինքն. զ (ա) գոյություն ունի;

2) գոյություն ունի վերջավորսահմանափակել սահմանը զ (x) ;

Եթե ​​այս պայմաններից գոնե մեկը չի բավարարվում, ապա ֆունկցիան կանչվում է պայթուցիկկետում x = ա .

Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է ընթացքում բոլորին դրա սահմանման տիրույթի կետերը, ապա այն կոչվում է շարունակական գործառույթ.

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ: Եթե ​​համար ցանկացած xֆունկցիայի սահմանման տիրույթից գործում է հետևյալը. զ (— x) = զ (x), այնուհետև կանչվում է ֆունկցիան նույնիսկ; եթե դա տեղի ունենա. զ (— x) = — զ (x), այնուհետև կանչվում է ֆունկցիան տարօրինակ. Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ սիմետրիկ Y առանցքի նկատմամբ(նկ. 5), կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկ Սիմ մետրիկ՝ կապված ծագման հետ(նկ. 6):

Պարբերական ֆունկցիա. Գործառույթ զ (x) — պարբերական, եթե նման բան կա ոչ զրոյականթիվ Տինչի համար ցանկացած xֆունկցիայի սահմանման տիրույթից գործում է հետևյալը. զ (x + Տ) = զ (x) Սա առնվազնհամարը կոչվում է գործառույթի ժամանակահատվածը. Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են։

Օրինակ 1. Ապացուցե՛ք այդ մեղքը xունի 2 ժամկետ։

Լուծում. Մենք գիտենք այդ մեղքը ( x+ 2 n) = մեղք x, Որտեղ n= 0, ± 1, ± 2, ...

Հետևաբար, լրացում 2 nոչ թե սին փաստարկին

փոխում է իր արժեքը էլ. Սրա հետ մեկ այլ թիվ կա՞

Եկեք այդպես ձևացնենք Պ- այդպիսի թիվ, այսինքն. հավասարություն:

վավեր ցանկացած արժեքի համար x. Բայց հետո այն ունի

տեղում և x= / 2, այսինքն.

մեղք (/2 + Պ) = մեղք / 2 = 1:

Բայց ըստ կրճատման բանաձևի sin (/ 2 + Պ) = cos Պ. Հետո

վերջին երկու հավասարություններից բխում է, որ կոս Պ= 1, բայց մենք

մենք գիտենք, որ դա ճիշտ է միայն այն ժամանակ, երբ Պ = 2 n. Քանի որ ամենափոքրը

ոչ զրոյական թիվ 2-ից n 2 է, ապա այս թիվը

և կա ժամանակաշրջանի մեղք x. Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ 2

ժամանակաշրջան է նաև կոս x .

Ապացուցեք, որ ֆունկցիաները tan xև մահճակալ xունեն ժամանակաշրջան.

Օրինակ 2. Ո՞ր թիվն է sin 2 ֆունկցիայի պարբերությունը x ?

Լուծում. Հաշվի առեք մեղքը 2 x= մեղք (2 x+ 2 n) = մեղք [ 2 ( x + n) ] .

Մենք տեսնում ենք, որ ավելացնելով nփաստարկին x, չի փոխվում

ֆունկցիայի արժեքը։ Ամենափոքր ոչ զրոյական թիվը

-ից nէ, ուրեմն սա մեղքի 2-րդ շրջանն է x .

Գործառույթների զրոներ. Կանչվում է արգումենտի արժեքը, որի դեպքում ֆունկցիան հավասար է 0-ի զրո ( արմատ) ֆունկցիա. Ֆունկցիան կարող է ունենալ մի քանի զրո: Օրինակ՝ ֆունկցիան y = x (x + 1) (x- 3) ունի երեք զրո. x = 0, x = — 1, x= 3. Երկրաչափական զրոյական ֆունկցիա – սա ֆունկցիայի գրաֆիկի առանցքի հետ հատման կետի աբսցիսան է X .

Նկար 7-ը ցույց է տալիս զրոներով ֆունկցիայի գրաֆիկը. x = ա , x = բԵվ x = գ .

Ասիմպտոտ. Եթե ​​ֆունկցիայի գրաֆիկն անորոշ ժամանակով մոտենում է որոշակի գծի, քանի որ այն հեռանում է սկզբնակետից, ապա այս ուղիղը կոչվում է. ասիմպտոտ.

Թեմա 6. «Ինտերվալ մեթոդ».

Եթե ​​f (x) f (x 0) x x 0-ի համար, ապա կոչվում է f (x) ֆունկցիան շարունակական x 0 կետում.

Եթե ​​ֆունկցիան շարունակական է I միջակայքի յուրաքանչյուր կետում, ապա այն կոչվում է շարունակական ընդմիջումով I (ինտերվալը կոչվում է I ֆունկցիայի շարունակականության միջակայքը). Այս ինտերվալի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը շարունակական գիծ է, որը, ըստ նրանց, կարելի է «գծել առանց մատիտը թղթից հանելու»։

Շարունակական ֆունկցիաների հատկություն.

Եթե ​​(a ; b) միջակայքում f ֆունկցիան շարունակական է և չի անհետանում, ապա այն պահպանում է հաստատուն նշան այս միջակայքում:

Այս հատկության վրա է հիմնված մեկ փոփոխականով անհավասարությունների լուծման մեթոդը՝ ինտերվալային մեթոդը։ Թող f(x) ֆունկցիան շարունակական լինի I միջակայքում և անհետանա այս միջակայքի վերջավոր թվով կետերում: Շարունակական ֆունկցիաների հատկությամբ այս կետերը I-ն բաժանում են միջակայքերի, որոնցից յուրաքանչյուրում f(x) c շարունակական ֆունկցիան պահպանում է հաստատուն նշան։ Այս նշանը որոշելու համար բավական է հաշվարկել f(x) ֆունկցիայի արժեքը յուրաքանչյուր այդպիսի միջակայքից ցանկացած մեկ կետում։ Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք անհավասարությունների լուծման հետևյալ ալգորիթմը միջակայքի մեթոդով.

Ձևի անհավասարությունների միջակայքային մեթոդ

Ինտերվալ մեթոդ. Միջին մակարդակ.

Ցանկանու՞մ եք ստուգել ձեր ուժերը և պարզել արդյունքը, թե որքանով եք պատրաստ միասնական պետական ​​քննությանը կամ միասնական պետական ​​քննությանը:

Գծային ֆունկցիա

Ձևի ֆունկցիան կոչվում է գծային: Որպես օրինակ վերցնենք ֆունկցիան։ Այն դրական է 3″>-ում և բացասական է: Կետը () ֆունկցիայի զրոն է։ Եկեք թվային առանցքի վրա ցույց տանք այս ֆունկցիայի նշանները.

Մենք ասում ենք, որ «կետով անցնելիս ֆունկցիան փոխում է նշանը»:

Երևում է, որ ֆունկցիայի նշանները համապատասխանում են ֆունկցիայի գրաֆիկի դիրքին. եթե գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում, ապա նշանը « »-ն է, եթե ներքևում « »-ն է:

Եթե ​​ստացված կանոնը ընդհանրացնենք կամայական գծային ֆունկցիայի, ապա կստանանք հետևյալ ալգորիթմը.

Քառակուսային ֆունկցիա

Հուսով եմ հիշում եք, թե ինչպես լուծել քառակուսի անհավասարությունները: Եթե ​​ոչ, ապա կարդացեք «Քառակուսային անհավասարություններ» թեման: Հիշեցնեմ քառակուսի ֆունկցիայի ընդհանուր ձևը՝ .

Հիմա հիշենք, թե ինչ նշաններ է ընդունում քառակուսի ֆունկցիան։ Դրա գրաֆիկը պարաբոլա է, և ֆունկցիան ընդունում է « » նշանը նրանց համար, որոնց պարաբոլան գտնվում է առանցքի վերևում, և «» - եթե պարաբոլան առանցքի տակ է.

Եթե ​​ֆունկցիան ունի զրոներ (արժեքներ, որոնցում), պարաբոլան հատում է առանցքը երկու կետում՝ համապատասխան քառակուսային հավասարման արմատները: Այսպիսով, առանցքը բաժանվում է երեք միջակայքի, և յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս ֆունկցիայի նշանները հերթափոխով փոխվում են։

Հնարավո՞ր է ամեն անգամ ինչ-որ կերպ որոշել նշանները՝ առանց պարաբոլա գծելու։

Հիշեցնենք, որ քառակուսի եռանկյունը կարող է ֆակտորիզացվել.

Եկեք նշենք արմատները առանցքի վրա.

Մենք հիշում ենք, որ ֆունկցիայի նշանը կարող է փոխվել միայն արմատից անցնելիս։ Եկեք օգտագործենք այս փաստը. երեք ինտերվալներից յուրաքանչյուրի համար, որոնց առանցքը բաժանվում է արմատներով, բավական է ֆունկցիայի նշանը որոշել միայն մեկ կամայական ընտրված կետում. միջակայքի մնացած կետերում նշանը կլինի նույնը: .

Մեր օրինակում՝ 3″>-ում փակագծերում երկու արտահայտություններն էլ դրական են (փոխարինում, օրինակ՝ 0″>): Մենք առանցքի վրա դնում ենք «» նշանը.

Դե, երբ (փոխարինող, օրինակ), երկու փակագծերը բացասական են, ինչը նշանակում է, որ արտադրանքը դրական է.

Ահա թե ինչ է դա ինտերվալ մեթոդԻմանալով գործոնների նշանները յուրաքանչյուր միջակայքում, մենք որոշում ենք ամբողջ արտադրանքի նշանը:

Դիտարկենք նաև այն դեպքերը, երբ ֆունկցիան չունի զրո կամ միայն մեկ։

Եթե ​​չկան, ուրեմն արմատներ էլ չկան։ Սա նշանակում է, որ «արմատով անցում» չի լինելու։ Սա նշանակում է, որ ֆունկցիան ընդունում է միայն մեկ նշան ամբողջ թվային տողի վրա։ Այն կարելի է հեշտությամբ որոշել՝ այն փոխարինելով ֆունկցիայի մեջ:

Եթե ​​կա միայն մեկ արմատ, պարաբոլան դիպչում է առանցքին, ուստի ֆունկցիայի նշանը արմատից անցնելիս չի փոխվում։ Ի՞նչ կանոն կարող ենք գտնել նման իրավիճակների համար:

Նման գործառույթը գործոնավորելու դեպքում դուք ստանում եք երկու նույնական գործոն.

Եվ ցանկացած քառակուսի արտահայտություն ոչ բացասական է: Հետեւաբար, ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում։ Նման դեպքերում մենք կնշենք այն արմատը, որի միջով նշանը չի փոխվում, այն շրջանցելով քառակուսիով.

Մենք այդպիսի արմատ կանվանենք բազմապատիկ.

Անհավասարությունների մեջ ինտերվալ մեթոդ

Այժմ ցանկացած քառակուսի անհավասարություն կարելի է լուծել առանց պարաբոլա նկարելու։ Բավական է միայն քառակուսի ֆունկցիայի նշանները տեղադրել առանցքի վրա և ընտրել ինտերվալներ՝ կախված անհավասարության նշանից։ Օրինակ:

Եկեք չափենք արմատները առանցքի վրա և տեղադրենք նշանները.

Մեզ անհրաժեշտ է առանցքի հատվածը « » նշանով; քանի որ անհավասարությունը խիստ չէ, լուծման մեջ ներառված են նաև արմատները.

Հիմա հաշվի առեք ռացիոնալ անհավասարությունը՝ անհավասարություն, որի երկու կողմերն էլ ռացիոնալ արտահայտություններ են (տես «Ռացիոնալ հավասարումներ»):

Օրինակ:

Բոլոր գործոնները, բացի մեկից, այստեղ «գծային» են, այսինքն՝ դրանք պարունակում են փոփոխական միայն առաջին ուժի համար: Մեզ անհրաժեշտ են այսպիսի գծային գործոններ՝ միջակայքի մեթոդը կիրառելու համար՝ նշանը փոխվում է դրանց արմատներով անցնելիս։ Բայց բազմապատկիչն ընդհանրապես արմատներ չունի։ Սա նշանակում է, որ այն միշտ դրական է (սա ինքներդ ստուգեք) և, հետևաբար, չի ազդում ամբողջ անհավասարության նշանի վրա: Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք դրա վրա բաժանել անհավասարության ձախ և աջ կողմերը և այդպիսով ազատվել դրանից.

Այժմ ամեն ինչ նույնն է, ինչ քառակուսային անհավասարությունների դեպքում. մենք որոշում ենք, թե որ կետերում է գործակիցներից յուրաքանչյուրը դառնում զրո, նշում ենք այս կետերը առանցքի վրա և դասավորում նշանները։ Ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մի շատ կարևոր փաստի վրա.

Զույգ թվի դեպքում անում ենք նույնը, ինչ նախկինում՝ կետը շրջանցում ենք քառակուսիով և արմատից անցնելիս նշանը չենք փոխում։ Բայց կենտ թվի դեպքում այս կանոնը չի գործում՝ նշանը դեռ կփոխվի արմատից անցնելիս։ Ուստի նման արմատով հավելյալ ոչինչ չենք անում, ասես բազմապատիկ չլիներ։ Վերոնշյալ կանոնները վերաբերում են բոլոր զույգ և կենտ ուժերին:

Ի՞նչ գրենք պատասխանում.

Եթե ​​նշանների հերթափոխը խախտված է, պետք է շատ զգույշ լինել, քանի որ եթե անհավասարությունը խիստ չէ, պատասխանը պետք է ներառի. բոլոր ստվերային կետերը. Բայց նրանցից ոմանք հաճախ առանձին են կանգնում, այսինքն, դրանք չեն մտնում ստվերային տարածքում: Այս դեպքում մենք դրանք ավելացնում ենք պատասխանին որպես մեկուսացված կետեր (գանգուր փակագծերում).

Օրինակներ (որոշեք ինքներդ).

Պատասխանները:

1. Եթե ​​գործոններից այն պարզ է, ապա դա արմատ է, քանի որ այն կարող է ներկայացվել որպես.
   .

2. Գտնենք ֆունկցիայի զրոները։

f(x) x-ում .

Պատասխանեք f(x) x-ին .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Եկեք f(x)=x 2 +4x +5, ապա գտնենք այնպիսի x, որի համար f(x)>0,

D=-4 Զրոներ չկան:

4. Անհավասարությունների համակարգեր. Երկու փոփոխականներով անհավասարություններ և անհավասարությունների համակարգեր

1) Անհավասարությունների համակարգի լուծումների բազմությունը դրանում ներառված անհավասարությունների լուծումների բազմությունների հատումն է:

2) f(x;y)>0 անհավասարության լուծումների բազմությունը կարելի է գրաֆիկորեն պատկերել կոորդինատային հարթության վրա։ Սովորաբար f(x;y) = 0 հավասարմամբ սահմանված ուղիղը հարթությունը բաժանում է 2 մասի, որոնցից մեկը անհավասարության լուծումն է։ Որոշելու համար, թե որ մասն է, անհրաժեշտ է M(x0;y0) կամայական կետի կոորդինատները, որը չի գտնվում f(x;y)=0 ուղիղի վրա, փոխարինել անհավասարությամբ: Եթե ​​f(x0;y0) > 0, ապա անհավասարության լուծումը հարթության այն մասն է, որը պարունակում է M0 կետը: եթե f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Անհավասարությունների համակարգի լուծումների բազմությունը դրանում ներառված անհավասարությունների լուծումների բազմությունների հատումն է: Եկեք, օրինակ, տրվի անհավասարությունների համակարգ.

.

Առաջին անհավասարության համար լուծումների բազմությունը 2 շառավղով շրջանագիծ է և կենտրոնացած է սկզբնակետում, իսկ երկրորդի համար այն կիսահավասար է, որը գտնվում է 2x+3y=0 ուղիղ գծից վեր։ Այս համակարգի լուծումների բազմությունը այս բազմությունների հատումն է, այսինքն. կիսաշրջան.

4) Օրինակ. Լուծե՛ք անհավասարությունների համակարգը.

1-ին անհավասարության լուծումը բազմությունն է, 2-րդը՝ բազմությունը (2;7) և երրորդը՝ բազմությունը:

Այս բազմությունների խաչմերուկը միջակայքն է (2;3], որը անհավասարությունների համակարգի լուծումների բազմությունն է։

5. Ռացիոնալ անհավասարությունների լուծում ինտերվալ մեթոդով

Ինտերվալների մեթոդը հիմնված է երկանդամի (x-a) հետևյալ հատկության վրա. x = α կետը թվային առանցքը բաժանում է երկու մասի՝ α կետից աջ երկանդամը (x-α)>0, իսկ դեպի α կետից ձախ (x-α)<0.

Թող անհրաժեշտ լինի լուծել (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 անհավասարությունը, որտեղ α 1, α 2 ...α n-1, α n ամրագրված են. թվեր, որոնց մեջ հավասարներ չկան, և այնպիսին, որ α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0, օգտագործելով ինտերվալ մեթոդը, գործում է հետևյալ կերպ. α 1, α 2 ...α n-1, α n թվերը գծագրվում են թվային առանցքի վրա; դրանցից ամենամեծի աջ միջակայքում, այսինքն. α n թվերի վրա դրեք գումարած նշան, դրան հաջորդող միջակայքում աջից ձախ դրեք մինուս նշան, ապա գումարած նշան, հետո մինուս նշան և այլն։ Այնուհետև (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 անհավասարության բոլոր լուծումների բազմությունը կլինի բոլոր միջակայքերի միությունը, որոնցում դրված է գումարած նշանը, և բազմությունը. անհավասարության լուծումների (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Ռացիոնալ անհավասարությունների լուծում (այսինքն՝ ձևի անհավասարություններ P(x) Q(x), որտեղ կան բազմանդամներ) հիմնված է շարունակական ֆունկցիայի հետևյալ հատկության վրա. եթե շարունակական ֆունկցիան անհետանում է x1 և x2 (x1; x2) կետերում և չունի այլ արմատներ այս կետերի միջև, ապա ընդմիջումներով (x1; x2) ֆունկցիան պահպանում է իր նշանը:

Հետևաբար, թվային տողի վրա y=f(x) ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը գտնելու համար նշեք բոլոր այն կետերը, որոնցում f(x) ֆունկցիան անհետանում է կամ դադարում է: Այս կետերը թվային ուղիղը բաժանում են մի քանի միջակայքերի, որոնցից յուրաքանչյուրի ներսում f(x) ֆունկցիան շարունակական է և չի անհետանում, այսինքն. պահպանում է նշանը. Այս նշանը որոշելու համար բավական է թվային ուղիղի դիտարկվող միջակայքի ցանկացած կետում գտնել ֆունկցիայի նշանը։

2) Որոշել ռացիոնալ ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը, այսինքն. Ռացիոնալ անհավասարությունը լուծելու համար թվային տողի վրա նշում ենք համարիչի արմատները և հայտարարի արմատները, որոնք նաև ռացիոնալ ֆունկցիայի արմատներն ու բեկման կետերն են։

Անհավասարությունների լուծում ինտերվալ մեթոդով

3. < 20.

Լուծում. Ընդունելի արժեքների միջակայքը որոշվում է անհավասարությունների համակարգով.

f(x) = ֆունկցիայի համար – 20. Գտեք f(x):

որտեղից x = 29 և x = 13:

f(30) = – 20 = 0.3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Պատասխան. Ռացիոնալ հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները. 1) Ամենապարզը՝ լուծվում է սովորական պարզեցումներով՝ կրճատում ընդհանուր հայտարարի, համանման տերմինների կրճատում և այլն։ ax2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարումները լուծվում են...

X-ը փոխվում է (0,1] միջակայքում և նվազում է = ½ [ ինտերվալի վրա
-(1/3)
], հետ | զ|< 1.

բ) զ(զ) = - ½ [
+
] = - (
), ժամը 1< |զ| < 3.

Հետ) զ(զ) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, հետ |2 - զ| < 1

Այն 1 շառավղով շրջան է՝ կենտրոնացած զ = 2 .

Որոշ դեպքերում ուժային շարքերը կարող են կրճատվել մինչև մի շարք երկրաչափական առաջընթացներ, և դրանից հետո հեշտ է որոշել դրանց մերձեցման շրջանը:

և այլն: Ուսումնասիրեք շարքի մերձեցումը

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Լուծում. Սա երկու երկրաչափական առաջընթացների գումարն է ք 1 = , ք 2 = () . Դրանց մերձեցման պայմաններից հետեւում է < 1 , < 1 или |զ| > 1 , |զ| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |զ| < 2 .