Horner շղթայի սահմանում. Հավասարումներ ավելի բարձր մաթեմատիկայում: Պոլինոմիալ ռացիոնալ արմատներ

Սլայդ 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - Անգլերեն մաթեմատիկոս: Ծնվել է Բրիստոլում։ Նա սովորում եւ աշխատում էր այնտեղ, այնուհետեւ լոգանքի դպրոցներում: Հիմնական աշխատանքներ հանրահաշիվ. 1819 թ հրապարակել է բազմանդամի իրական արմատների մոտավոր հաշվարկման մեթոդ, որն այժմ կոչվում է Ռաֆֆինի-Հորների մեթոդ (այս մեթոդը չինացիներին հայտնի է եղել դեռևս 13-րդ դարում): Բազմանդամը x-a երկանդամով բաժանելու սխեման կոչվում է. Հորների անվ.

Սլայդ 4

HORNER SCHEME

n-րդ աստիճանի բազմանդամը գծային երկանդամով բաժանելու մեթոդ՝ ա՝ հիմնված այն բանի վրա, որ թերի գործակիցի և մնացորդի գործակիցները կապված են բաժանվող բազմանդամի գործակիցների հետ և բանաձևերով.

Սլայդ 5

Հաշվարկների համաձայն հաշվարկները տեղադրված են աղյուսակում.

Օրինակ 1. Բաժանեք մասնակի գնորդը x3-x2 + 3x - 13, իսկ մնացած մասը `42 = F (-3):

Սլայդ 6

Այս մեթոդի հիմնական առավելությունը նոտացիայի կոմպակտությունն է եւ բազմամյա բինոմիալը արագորեն բաժանելու ունակությունը: Փաստորեն, Horner- ի սխեման խմբավորման մեթոդը ձայնագրելու մեկ այլ ձեւ է, չնայած, ի տարբերություն վերջինիս, այն ամբողջովին ոչ տեսողական է: Պատասխանը (ֆակտորացումը) ստացվում է այստեղ ինքնուրույն, եւ մենք չենք տեսնում այն ​​ձեռք բերելու գործընթացը: Մենք չենք զբաղվի Հորնորի սխեմայի խիստ հիմնավորմամբ, բայց միայն ցույց կտա, թե ինչպես է այն գործում:

Սլայդ 7

Օրինակ 2.

Ապացուցենք, որ P(x)=x4-6x3+7x-392 բազմանդամը բաժանվում է x-7-ի, և գտենք բաժանման գործակիցը։ Լուծում. Օգտագործելով Հորների սխեման՝ մենք գտնում ենք P(7): Այստեղից մենք ստանում ենք P(7)=0, այսինքն. մնացորդը բազմանդամը x-7-ի բաժանելիս հավասար է զրոյի և, հետևաբար, P(x) բազմանդամը բազմապատիկ է (x-7-ի), ընդ որում, աղյուսակի երկրորդ շարքի թվերը թվերի գործակիցներն են. P(x)-ի գործակիցը բաժանված է (x-7), հետևաբար P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56):

Սլայդ 8

Գործոնավորեք x3 – 5x2 – 2x + 16 բազմանդամը:

Այս բազմանդամն ունի ամբողջ թվային գործակիցներ։ Եթե ​​ամբողջ թիվն այս բազմանդամի արմատն է, ապա այն 16 թվի բաժանարարն է: Այսպիսով, եթե տրված բազմանդամն ունի ամբողջական արմատներ, ապա դրանք կարող են լինել միայն ±1 թվերը; ±2; ±4; ±8; ±16. Ուղղակի ստուգմամբ մենք համոզված ենք, որ 2 թիվը այս բազմանդամի արմատն է, այսինքն՝ x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), որտեղ Q(x)-ը երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է։

Սլայդ 9

Ստացված 1, −3, −8 թվերը այն բազմանդամի գործակիցներն են, որը ստացվում է սկզբնական բազմանդամը x – 2-ի բաժանելով։ Սա նշանակում է, որ բաժանման արդյունքն է՝ 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Բաժանման արդյունքում առաջացող բազմանդամի աստիճանը միշտ 1-ով փոքր է սկզբնականի աստիճանից: Այսպիսով՝ x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8):

և այլն: կրում է հանրակրթական բնույթ և մեծ նշանակություն ունի բարձրագույն մաթեմատիկայի ԱՄԲՈՂՋ կուրսը ուսումնասիրելու համար։ Այսօր մենք կկրկնենք «դպրոցական» հավասարումները, բայց ոչ միայն «դպրոցական», այլ նրանք, որոնք ամենուր հանդիպում են տարբեր վիշմատ խնդիրներում: Ինչպես միշտ, պատմությունը կպատմվի կիրառական եղանակով, այսինքն. Ես չեմ կենտրոնանա սահմանումների և դասակարգումների վրա, այլ ձեզ հետ կկիսվեմ դրա լուծման իմ անձնական փորձով։ Տեղեկատվությունը նախատեսված է հիմնականում սկսնակների համար, բայց ավելի առաջադեմ ընթերցողները նույնպես կգտնեն շատ հետաքրքիր կետեր իրենց համար: Եվ, իհարկե, կլինի նոր նյութ, որը դուրս կգա ավագ դպրոցից:

Այսպիսով, հավասարումը…. Շատերը սարսուռով են հիշում այս բառը. Ի՞նչ արժեն արմատներով «բարդ» հավասարումները... ...մոռացե՛ք դրանց մասին: Որովհետև այդ դեպքում դուք կհանդիպեք այս տեսակի ամենաանվնաս «ներկայացուցիչներին»։ Կամ ձանձրալի եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծման տասնյակ մեթոդներով: Անկեղծ ասած, ես ինքս այնքան էլ չէի սիրում դրանք… Խուճապի մի մատնվեք! – ապա ձեզ հիմնականում սպասում են «դանդելիոններ»՝ 1-2 քայլով ակնհայտ լուծումով: Չնայած «կռատուկն» անկասկած կպչում է, այստեղ պետք է օբյեկտիվ լինել:

Տարօրինակ կերպով, բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ շատ ավելի տարածված է գործ ունենալ շատ պարզունակ հավասարումների հետ, ինչպիսիք են. գծայինհավասարումներ

Ի՞նչ է նշանակում լուծել այս հավասարումը: Սա նշանակում է գտնել «x»-ի այնպիսի արժեք (արմատ), որն այն վերածում է իսկական հավասարության: Եկեք «երեքը» նետենք դեպի աջ՝ նշանի փոփոխությամբ.

և «երկուսը» գցեք աջ կողմում (կամ, նույնը, բազմապատկեք երկու կողմերը) :

Ստուգելու համար եկեք փոխարինենք շահած գավաթը սկզբնական հավասարման մեջ.

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ հայտնաբերված արժեքը իսկապես այս հավասարման արմատն է։ Կամ, ինչպես ասում են նաև, բավարարում է այս հավասարումը։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ արմատը կարող է գրվել նաև որպես տասնորդական կոտորակ.
Եվ փորձեք չհավատալ այս վատ ոճին: Պատճառը մեկ անգամ չէ, որ կրկնել եմ, մասնավորապես, հենց առաջին դասին բարձրագույն հանրահաշիվ.

Ի դեպ, հավասարումը կարելի է լուծել նաև «արաբերենով».

Եվ ամենահետաքրքիրն այն է, որ այս ձայնագրությունը լիովին օրինական է: Բայց եթե դուք ուսուցիչ չեք, ապա ավելի լավ է դա չանեք, քանի որ ինքնատիպությունն այստեղ պատժելի է =)

Իսկ հիմա մի փոքր մասին

լուծման գրաֆիկական մեթոդ

Հավասարումն ունի ձև և դրա արմատը «X» կոորդինատ հատման կետերը գծային ֆունկցիայի գրաֆիկգծային ֆունկցիայի գրաֆիկով (x առանցք):

Թվում է, թե օրինակն այնքան տարրական է, որ այստեղ այլևս վերլուծելու բան չկա, բայց դրանից կարելի է «քամել» ևս մեկ անսպասելի նրբերանգ. եկեք նույն հավասարումը ձևով ներկայացնենք և կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները.

Որտեղ, խնդրում եմ մի շփոթեք երկու հասկացություններըհավասարումը հավասարում է, և ֆունկցիան- սա գործառույթ է: Գործառույթներ միայն օգնությունգտնել հավասարման արմատները. Որոնցից կարող են լինել երկու, երեք, չորս կամ նույնիսկ անսահման շատ: Այս առումով ամենամոտ օրինակը հայտնին է քառակուսային հավասարում, լուծման ալգորիթմը, որի համար ստացել է առանձին պարբերություն «տաք» դպրոցական բանաձեւեր. Եվ սա պատահական չէ! Եթե ​​դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարում և գիտեք Պյութագորասի թեորեմ, ապա, կարելի է ասել, «բարձրագույն մաթեմատիկայի կեսն արդեն գրպանում է» =) Չափազանցված, իհարկե, բայց ոչ այնքան հեռու ճշմարտությունից:

Հետևաբար, եկեք չծուլանանք և լուծենք մի քանի քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմ:

, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը ունի երկու տարբեր վավերարմատ:

Հեշտ է ստուգել, ​​որ երկու հայտնաբերված արժեքներն էլ իրականում բավարարում են այս հավասարումը.

Ի՞նչ անել, եթե հանկարծ մոռացել եք լուծման ալգորիթմը, և ձեռքի տակ չկան միջոցներ/օգնողներ: Այս իրավիճակը կարող է առաջանալ, օրինակ, թեստի կամ քննության ժամանակ: Մենք օգտագործում ենք գրաֆիկական մեթոդ: Եվ երկու ճանապարհ կա՝ կարող ես կետ առ կետ կառուցելպարաբոլա , դրանով իսկ պարզելով, թե որտեղ է այն հատում առանցքը (եթե այն ընդհանրապես անցնում է). Բայց ավելի լավ է ավելի խորամանկ բան անել. պատկերացրեք հավասարումը ձևով, նկարեք ավելի պարզ գործառույթների գրաֆիկներ և «X» կոորդինատներընրանց հատման կետերը հստակ տեսանելի են:


Եթե ​​պարզվում է, որ ուղիղ գիծը դիպչում է պարաբոլային, ապա հավասարումն ունի երկու համապատասխանող (բազմակի) արմատ։ Եթե ​​պարզվի, որ ուղիղ գիծը չի հատում պարաբոլան, ապա իրական արմատներ չկան։

Դա անելու համար, իհարկե, դուք պետք է կարողանաք կառուցել տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկներ, բայց մյուս կողմից, նույնիսկ դպրոցականը կարող է կատարել այդ հմտությունները։

Եվ կրկին - հավասարումը հավասարում է, և ֆունկցիաները , գործառույթներ են, որոնք միայն օգնեցլուծել հավասարումը!

Եվ այստեղ, ի դեպ, տեղին կլինի հիշել ևս մեկ բան. եթե հավասարման բոլոր գործակիցները բազմապատկվեն ոչ զրոյական թվով, ապա դրա արմատները չեն փոխվի..

Այսպիսով, օրինակ, հավասարումը ունի նույն արմատները. Որպես պարզ «ապացույց», ես փակագծերից կհանեմ հաստատունը.
և ես այն կհեռացնեմ առանց ցավի (Երկու մասերը կբաժանեմ «մինուս երկու»-ով):

ԲԱՅՑԵթե ​​դիտարկենք ֆունկցիան , ապա դուք չեք կարող ազատվել այստեղ մշտականից: Բազմապատկիչը փակագծերից թույլատրելի է հանել միայն. .

Շատերը թերագնահատում են գրաֆիկական լուծման մեթոդը՝ այն համարելով «անարժանապատիվ» մի բան, իսկ ոմանք նույնիսկ ամբողջովին մոռանում են այս հնարավորության մասին։ Եվ սա սկզբունքորեն սխալ է, քանի որ գրաֆիկների գծագրումը երբեմն պարզապես փրկում է իրավիճակը:

Մեկ այլ օրինակ. ենթադրենք, որ դուք չեք հիշում ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարման արմատները. Ընդհանուր բանաձևը կա դպրոցական դասագրքերում, տարրական մաթեմատիկայի բոլոր տեղեկատու գրքերում, բայց դրանք ձեզ հասանելի չեն: Այնուամենայնիվ, հավասարումը լուծելը կրիտիկական է (նույնպես «երկու»): Ելք կա! - Կառուցեք գործառույթների գրաֆիկներ.


որից հետո մենք հանգիստ գրում ենք դրանց հատման կետերի «X» կոորդինատները.

Արմատները անսահման շատ են, և հանրահաշվում ընդունված է դրանց խտացված նշումը.
, Որտեղ ( – ամբողջ թվերի հավաքածու) .

Եվ, առանց «հեռանալու», մի քանի խոսք մեկ փոփոխականով անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական մեթոդի մասին։ Սկզբունքը նույնն է. Այսպիսով, օրինակ, անհավասարության լուծումը ցանկացած «x» է, քանի որ Սինուսոիդը գրեթե ամբողջությամբ գտնվում է ուղիղ գծի տակ: Անհավասարության լուծումը ինտերվալների ամբողջությունն է, որոնցում սինուսոիդի կտորները գտնվում են ուղիղ գծից խիստ վերև։ (x առանցք):

կամ կարճ ասած.

Բայց ահա անհավասարության բազմաթիվ լուծումներ. դատարկ, քանի որ սինուսոիդի ոչ մի կետ ուղիղ գծից վեր չի գտնվում։

Ինչ-որ բան կա՞, որ չես հասկանում: Շտապ ուսումնասիրել դասերը մասին հավաքածուներԵվ ֆունկցիայի գրաֆիկներ!

Եկեք տաքանանք.

Վարժություն 1

Գրաֆիկորեն լուծեք հետևյալ եռանկյունաչափական հավասարումները.

Պատասխանները դասի վերջում

Ինչպես տեսնում եք, ճշգրիտ գիտություններ ուսումնասիրելու համար ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ բանաձևեր և տեղեկատու գրքեր հավաքել: Ավելին, սա սկզբունքորեն թերի մոտեցում է։

Ինչպես ես արդեն հավաստիացրել եմ ձեզ դասի հենց սկզբում, բարդ եռանկյունաչափական հավասարումները բարձրագույն մաթեմատիկայի ստանդարտ դասընթացում պետք է շատ հազվադեպ լուծվեն: Ամբողջ բարդությունը, որպես կանոն, ավարտվում է նման հավասարումներով, որոնց լուծումը ամենապարզ հավասարումներից բխող արմատների երկու խումբ է և . Շատ մի անհանգստացեք վերջինիս լուծման համար. փնտրեք գրքում կամ գտեք այն ինտերնետում =)

Գրաֆիկական լուծման մեթոդը կարող է օգնել նաև ավելի քիչ չնչին դեպքերում: Դիտարկենք, օրինակ, հետևյալ «ռագթագ» հավասարումը.

Դրա լուծման հեռանկարները կարծես թե ոչ մի բանի նման չեն, այլ պարզապես պետք է պատկերացնել հավասարումը ձևով, կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկներև ամեն ինչ կստացվի աներևակայելի պարզ: Հոդվածի մեջտեղում նկար կա դրա մասին անվերջ փոքր գործառույթներ (կբացվի հաջորդ ներդիրում).

Օգտագործելով նույն գրաֆիկական մեթոդը, կարող եք պարզել, որ հավասարումն արդեն ունի երկու արմատ, և դրանցից մեկը հավասար է զրոյի, իսկ մյուսը, ըստ երևույթին, իռացիոնալև պատկանում է հատվածին. Այս արմատը կարելի է մոտավորապես հաշվարկել, օրինակ. շոշափող մեթոդ. Ի դեպ, որոշ խնդիրներում պատահում է, որ պետք չէ արմատները գտնել, այլ պարզել նրանք ընդհանրապես գոյություն ունեն?. Եվ այստեղ նույնպես գծանկարը կարող է օգնել՝ եթե գրաֆիկները չեն հատվում, ուրեմն արմատներ չկան։

Ամբողջ թվային գործակիցներով բազմանդամների ռացիոնալ արմատները:
Horner սխեման

Իսկ հիմա հրավիրում եմ հայացքդ ուղղել դեպի միջնադար և զգալ դասական հանրահաշվի յուրահատուկ մթնոլորտը։ Նյութը ավելի լավ հասկանալու համար խորհուրդ եմ տալիս գոնե մի քիչ կարդալ բարդ թվեր.

Նրանք լավագույնն են: Բազմանդամներ.

Մեր հետաքրքրության առարկան կլինեն հետ ձևի ամենատարածված բազմանդամները ամբողջգործակիցները Բնական թիվը կոչվում է բազմանդամի աստիճանը, թիվ – ամենաբարձր աստիճանի գործակից (կամ պարզապես ամենաբարձր գործակիցը), իսկ գործակիցն է ազատ անդամ.

Այս բազմանդամը հակիրճ կնշանակեմ .

Բազմանդամի արմատներըկանչել հավասարման արմատները

Ես սիրում եմ երկաթյա տրամաբանությունը =)

Օրինակների համար անցեք հոդվածի հենց սկզբին.

1-ին և 2-րդ աստիճանի բազմանդամների արմատները գտնելու հետ կապված խնդիրներ չկան, բայց քանի որ մեծանում եք, այս առաջադրանքն ավելի ու ավելի դժվար է դառնում: Չնայած, մյուս կողմից, ամեն ինչ ավելի հետաքրքիր է: Եվ հենց դրան էլ նվիրված կլինի դասի երկրորդ մասը։

Նախ, բառացիորեն տեսության էկրանի կեսը.

1) Համաձայն եզրակացության հանրահաշվի հիմնարար թեորեմ, աստիճանի բազմանդամն ունի հենց համալիրարմատները. Որոշ արմատներ (կամ նույնիսկ բոլորը) կարող են հատկապես լինել վավեր. Ընդ որում, իրական արմատների մեջ կարող են լինել նույնական (բազմակի) արմատներ (նվազագույնը երկու, առավելագույն կտոր).

Եթե ​​ինչ-որ բարդ թիվ բազմանդամի արմատն է, ապա զուգորդելդրա թիվը նույնպես անպայմանորեն այս բազմանդամի արմատն է (խոնարհված բարդ արմատներն ունեն ձևը).

Ամենապարզ օրինակը քառակուսի հավասարումն է, որն առաջին անգամ հանդիպել է 8-ում (նման)դասարան, և որը մենք վերջապես «ավարտեցինք» թեմայում բարդ թվեր. Հիշեցնեմ՝ քառակուսի հավասարումը կամ ունի երկու տարբեր իրական արմատներ, կամ բազմակի արմատներ, կամ խոնարհված բարդ արմատներ:

2) Սկսած Բեզուտի թեորեմհետևում է, որ եթե թիվը հավասարման արմատն է, ապա համապատասխան բազմանդամը կարող է գործոնացվել.
, որտեղ է աստիճանի բազմանդամը :

Եվ նորից մեր հին օրինակը. քանի որ հավասարման արմատն է, ապա . Որից հետո դժվար չէ ձեռք բերել հայտնի «դպրոցական» ընդլայնումը։

Բեզութի թեորեմի հետևանքը գործնական մեծ արժեք ունի. եթե գիտենք 3-րդ աստիճանի հավասարման արմատը, ապա այն կարող ենք ներկայացնել ձևով. իսկ քառակուսի հավասարումից հեշտ է պարզել մնացած արմատները։ Եթե ​​գիտենք 4-րդ աստիճանի հավասարման արմատը, ապա հնարավոր է ձախ կողմն ընդարձակել արտադրյալի և այլն։

Եվ այստեղ երկու հարց կա.

Հարց առաջին. Ինչպե՞ս գտնել հենց այս արմատը: Նախ սահմանենք դրա բնույթը՝ բարձրագույն մաթեմատիկայի բազմաթիվ խնդիրներում անհրաժեշտ է գտնել ռացիոնալ, մասնավորապես ամբողջբազմանդամների արմատները, և այս առումով հետագայում դրանք հիմնականում կհետաքրքրվենք.... ...նրանք այնքան լավն են, այնքան փափկամազ, որ պարզապես ուզում ես գտնել նրանց: =)

Առաջին բանը, որ գալիս է մտքին, ընտրության մեթոդն է: Դիտարկենք, օրինակ, հավասարումը. Այստեղ բռնելն ազատ տերմինի մեջ է, եթե այն հավասար լիներ զրոյի, ապա ամեն ինչ լավ կլիներ, մենք «x»-ը հանում ենք փակագծերից, իսկ արմատներն իրենք «դուրս են գալիս» մակերեսին.

Բայց մեր ազատ տերմինը հավասար է «երեքի», և, հետևաբար, մենք սկսում ենք տարբեր թվեր փոխարինել հավասարման մեջ, որոնք պնդում են, որ «արմատ» են: Առաջին հերթին ինքն իրեն հուշում է միայնակ արժեքների փոխարինումը։ Փոխարինենք.

Ստացել է սխալհավասարություն, հետևաբար միավորը «չի տեղավորվում»։ Դե, լավ, եկեք փոխարինենք.

Ստացել է ճիշտհավասարություն! Այսինքն՝ արժեքը այս հավասարման արմատն է։

3-րդ աստիճանի բազմանդամի արմատները գտնելու համար կա վերլուծական մեթոդ (այսպես կոչված Cardano բանաձեւերը), բայց հիմա մեզ մի փոքր այլ խնդիր է հետաքրքրում։

Քանի որ --ն մեր բազմանդամի արմատն է, բազմանդամը կարող է ներկայացվել ձևով և առաջանալ Երկրորդ հարցըԻնչպե՞ս գտնել «կրտսեր եղբայր»:

Ամենապարզ հանրահաշվական նկատառումները հուշում են, որ դա անելու համար մենք պետք է բաժանենք . Ինչպե՞ս բաժանել բազմանդամը բազմանդամի վրա: Նույն դպրոցական մեթոդը, որը բաժանում է սովորական թվերը՝ «սյունակ»: Այս մեթոդը մանրամասն քննարկել եմ դասի առաջին օրինակներում: Համալիր սահմաններ, և այժմ մենք կանդրադառնանք մեկ այլ մեթոդի, որը կոչվում է Horner սխեման.

Նախ գրում ենք «ամենաբարձր» բազմանդամը բոլորի հետ , ներառյալ զրոյական գործակիցները:
, որից հետո աղյուսակի վերին շարքում մուտքագրում ենք այս գործակիցները (խստորեն ըստ հերթականության).

Մենք ձախ կողմում գրում ենք արմատը.

Ես անմիջապես վերապահում կանեմ, որ Հորների սխեման նույնպես գործում է, եթե «կարմիր» համարը լինի Ոչբազմանդամի արմատն է։ Այնուամենայնիվ, եկեք չշտապենք գործերը։

Վերևից վերացնում ենք առաջատար գործակիցը.

Ստորին բջիջները լցնելու գործընթացը որոշակիորեն հիշեցնում է ասեղնագործությունը, որտեղ «մինուս մեկը» մի տեսակ «ասեղ» է, որը ներթափանցում է հետագա քայլերը: Մենք բազմապատկում ենք «կրած» թիվը (–1) և ավելացնում ենք վերին բջիջից ստացված թիվը.

Գտնված արժեքը բազմապատկում ենք «կարմիր ասեղով» և արդյունքին ավելացնում ենք հետևյալ հավասարման գործակիցը.

Եվ վերջապես, ստացված արժեքը կրկին «մշակվում» է «ասեղով» և վերին գործակցով.

Վերջին բջիջի զրոն մեզ ասում է, որ բազմանդամը բաժանված է առանց հետքի (ինչպես պետք է լինի), մինչդեռ ընդլայնման գործակիցները «հանվում են» անմիջապես աղյուսակի ներքևի տողից.

Այսպիսով, մենք հավասարումից անցանք համարժեք հավասարման, և մնացած երկու արմատներով ամեն ինչ պարզ է. (այս դեպքում մենք ստանում ենք զուգակցված բարդ արմատներ).

Հավասարումն, ի դեպ, կարելի է լուծել նաև գրաֆիկորեն՝ սյուժեն "կայծակ" և տեսեք, որ գրաֆիկը հատում է x առանցքը () կետում. Կամ նույն «խորամանկ» հնարքը. մենք վերագրում ենք հավասարումը ձևով, նկարում տարրական գրաֆիկներ և հայտնաբերում դրանց հատման կետի «X» կոորդինատը:

Ի դեպ, 3-րդ աստիճանի ցանկացած ֆունկցիա-բազմանդամի գրաֆիկը առնվազն մեկ անգամ հատում է առանցքը, ինչը նշանակում է, որ համապատասխան հավասարումը ունի. գոնեմեկ վավերարմատ. Այս փաստը ճշմարիտ է կենտ աստիճանի ցանկացած բազմանդամ ֆունկցիայի համար։

Եվ այստեղ ես նույնպես կցանկանայի կանգ առնել կարևոր կետորը վերաբերում է տերմինաբանությանը. բազմանդամԵվ բազմանդամ ֆունկցիա – դա նույն բանը չէ! Բայց գործնականում հաճախ խոսում են, օրինակ, «բազմանդամի գրաֆիկի» մասին, ինչը, իհարկե, անփութություն է։

Այնուամենայնիվ, վերադառնանք Հորների սխեմային։ Ինչպես վերջերս նշեցի, այս սխեման աշխատում է այլ թվերի համար, բայց եթե համարը Ոչհավասարման արմատն է, ապա մեր բանաձևում հայտնվում է ոչ զրոյական գումարում (մնացորդ).

Եկեք «գործարկենք» «անհաջող» արժեքը Հորների սխեմայի համաձայն: Այս դեպքում հարմար է օգտագործել նույն աղյուսակը՝ ձախ կողմում գրել նոր «ասեղ», վերևից տեղափոխել առաջատար գործակիցը։ (ձախ կանաչ սլաք), և մենք գնում ենք.

Ստուգելու համար բացենք փակագծերը և ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ.
, ԼԱՎ.

Հեշտ է տեսնել, որ մնացորդը («վեց») հենց բազմանդամի արժեքն է . Իսկ իրականում ինչպիսի՞ն է.
, և նույնիսկ ավելի գեղեցիկ - այսպես.

Վերոնշյալ հաշվարկներից հեշտ է հասկանալ, որ Հորների սխեման թույլ է տալիս ոչ միայն գործոնավորել բազմանդամը, այլև իրականացնել արմատի «քաղաքակիրթ» ընտրություն: Ես առաջարկում եմ ձեզ համախմբել հաշվարկի ալգորիթմը ինքներդ մի փոքր առաջադրանքով.

Առաջադրանք 2

Օգտվելով Հորների սխեմայից՝ գտե՛ք հավասարման ամբողջ թվային արմատը և չափե՛ք համապատասխան բազմանդամը։

Այլ կերպ ասած, այստեղ դուք պետք է հաջորդաբար ստուգեք 1, –1, 2, –2, ... թվերը, մինչև վերջին սյունակում զրոյական մնացորդ «գծվի»: Սա կնշանակի, որ այս տողի «ասեղը» բազմանդամի արմատն է

Հարմար է հաշվարկները կազմակերպել մեկ աղյուսակում։ Մանրամասն լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Արմատների ընտրության մեթոդը լավ է համեմատաբար պարզ դեպքերի համար, բայց եթե բազմանդամի գործակիցները և/կամ աստիճանը մեծ են, ապա գործընթացը կարող է երկար տևել։ Կամ միգուցե կան որոշ արժեքներ նույն ցուցակից 1, –1, 2, –2, և իմաստ չունի դիտարկել: Եվ, բացի այդ, արմատները կարող են կոտորակային լինել, ինչը կհանգեցնի բոլորովին ոչ գիտական ​​ծակծկման։

Բարեբախտաբար, կան երկու հզոր թեորեմներ, որոնք կարող են զգալիորեն նվազեցնել ռացիոնալ արմատների «թեկնածու» արժեքների որոնումը.

Թեորեմ 1Եկեք դիտարկենք անկրճատելիկոտորակ, որտեղ. Եթե ​​թիվը հավասարման արմատն է, ապա ազատ անդամը բաժանվում է, իսկ առաջատար գործակիցը բաժանվում է:

Մասնավորապես, եթե առաջատար գործակիցը , ապա այս ռացիոնալ արմատը մի ամբողջ թիվ է.

Եվ մենք սկսում ենք օգտագործել թեորեմը հենց այս համեղ մանրամասնությամբ.

Եկեք վերադառնանք հավասարմանը: Քանի որ նրա առաջատար գործակիցը , ուրեմն հիպոթետիկ ռացիոնալ արմատները կարող են լինել բացառապես ամբողջ թվեր, և ազատ անդամը պետք է անպայմանորեն բաժանվի այդ արմատների՝ առանց մնացորդի։ Իսկ «երեքը» կարելի է բաժանել միայն 1-ի, -1-ի, 3-ի և -3-ի: Այսինքն, մենք ունենք ընդամենը 4 «արմատային թեկնածու»: Եվ, ըստ Թեորեմ 1, այլ ռացիոնալ թվեր սկզբունքորեն չեն կարող լինել այս հավասարման արմատները:

Հավասարման մեջ մի փոքր ավելի շատ «հավակնորդներ» կան՝ ազատ անդամը բաժանված է 1, –1, 2, – 2, 4 և –4-ի:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 1, –1 թվերը հնարավոր արմատների ցանկի «կանոնավոր» են (Թեորեմի ակնհայտ հետեւանք)եւ առաջնահերթ փորձարկման լավագույն ընտրությունը:

Եկեք անցնենք ավելի իմաստալից օրինակներ.

Խնդիր 3

Լուծումքանի որ առաջատար գործակիցը ն է, ապա հիպոթետիկ ռացիոնալ արմատները կարող են լինել միայն ամբողջ թվեր, և նրանք անպայման պետք է լինեն ազատ անդամի բաժանարարներ։ «Մինուս քառասուն»-ը բաժանվում է հետևյալ զույգ թվերի.
- Ընդհանուր 16 «թեկնածուներ»:

Եվ այստեղ անմիջապես առաջանում է մի գայթակղիչ միտք՝ հնարավո՞ր է ջնջել բոլոր բացասական, թե՞ բոլոր դրական արմատները։ Որոշ դեպքերում դա հնարավոր է: Ես կկազմակերպեմ երկու նշան.

1) Եթե ԲոլորըԵթե ​​բազմանդամի գործակիցները ոչ բացասական են, ապա այն չի կարող ունենալ դրական արմատներ։ Ցավոք սրտի, դա մեր դեպքը չէ (Հիմա, եթե մեզ տրվի հավասարում, ապա այո, բազմանդամի ցանկացած արժեք փոխարինելիս, բազմանդամի արժեքը խիստ դրական է, ինչը նշանակում է, որ բոլոր դրական թվերը (եւ իռացիոնալները նույնպես)չի կարող լինել հավասարման արմատներ:

2) Եթե կենտ հզորությունների գործակիցները ոչ բացասական են, իսկ բոլոր զույգերի համար. (ներառյալ անվճար անդամ)բացասական են, ապա բազմանդամը չի կարող բացասական արմատներ ունենալ։ Սա մեր դեպքն է։ Մի փոքր ավելի մոտիկից նայելով՝ կարող եք տեսնել, որ ցանկացած բացասական «X»-ը հավասարման մեջ փոխարինելիս ձախ կողմը կլինի խիստ բացասական, ինչը նշանակում է, որ բացասական արմատները անհետանում են։

Այսպիսով, հետազոտության համար մնացել է 8 թիվ.

Մենք դրանք «լիցքավորում ենք» հաջորդաբար՝ ըստ Հորների սխեմայի: Հուսով եմ, որ դուք արդեն տիրապետել եք մտավոր հաշվարկներին.

Բախտը մեզ սպասում էր «երկուսը» փորձարկելիս։ Այսպիսով, դիտարկվող հավասարման արմատն է, և

Մնում է ուսումնասիրել հավասարումը . Դա հեշտ է անել տարբերակիչի միջոցով, բայց ես կանցկացնեմ ինդիկատիվ թեստ՝ օգտագործելով նույն սխեմա: Նախ նշենք, որ ազատ տերմինը հավասար է 20-ի, ինչը նշանակում է Թեորեմ 1 8 և 40 թվերը դուրս են գալիս հնարավոր արմատների ցանկից՝ թողնելով արժեքները հետազոտության համար (մեկը վերացվել է Հորների սխեմայի համաձայն).

Նոր աղյուսակի վերին տողում գրում ենք եռանդամի գործակիցները և Մենք սկսում ենք ստուգել նույն «երկու»-ով. Ինչո՞ւ։ Եվ քանի որ արմատները կարող են բազմապատիկ լինել, խնդրում եմ. - այս հավասարումն ունի 10 նույնական արմատ: Բայց եկեք չշեղվենք.

Եվ այստեղ, իհարկե, մի քիչ ստում էի՝ իմանալով, որ արմատները ռացիոնալ են։ Ի վերջո, եթե դրանք իռացիոնալ կամ բարդ լինեին, ապա ես կկանգնեի մնացած բոլոր թվերի անհաջող ստուգման հետ։ Ուստի գործնականում առաջնորդվեք խտրականով։

ՊատասխանելՌացիոնալ արմատներ՝ 2, 4, 5

Մեր վերլուծած խնդրի մեջ մեր բախտը բերեց, քանի որ՝ ա) բացասական արժեքներն անմիջապես ընկան, և բ) մենք շատ արագ գտանք արմատը (և տեսականորեն մենք կարող էինք ստուգել ամբողջ ցուցակը):

Բայց իրականում իրավիճակը շատ ավելի վատ է։ Հրավիրում եմ ձեզ դիտելու հետաքրքիր խաղ, որը կոչվում է «Վերջին հերոսը».

Խնդիր 4

Գտե՛ք հավասարման ռացիոնալ արմատները

Լուծում: Ըստ Թեորեմ 1Հիպոթետիկ ռացիոնալ արմատների համարիչները պետք է բավարարեն պայմանը (մենք կարդում ենք «տասներկուսը բաժանվում է էլի վրա»), իսկ հայտարարները համապատասխանում են պայմանին . Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք երկու ցուցակ.

«ցուցակ էլ»:
և «ցուցակ հըմ»: (բարեբախտաբար, այստեղ թվերը բնական են).

Հիմա եկեք կազմենք բոլոր հնարավոր արմատների ցանկը: Նախ, մենք «էլ ցուցակը» բաժանում ենք . Միանգամայն պարզ է, որ նույն թվերը կստացվեն։ Հարմարության համար եկեք դրանք դնենք աղյուսակում.

Բազմաթիվ կոտորակներ կրճատվել են, ինչի արդյունքում ստացվել են արժեքներ, որոնք արդեն գտնվում են «հերոսների ցանկում»: Մենք ավելացնում ենք միայն «նորեկներ».

Նմանապես, մենք նույն «ցուցակը» բաժանում ենք հետևյալի.

և վերջապես շարունակվում է

Այսպիսով, մեր խաղի մասնակիցների թիմը համալրվում է.


Ցավոք, այս խնդրի բազմանդամը չի բավարարում «դրական» կամ «բացասական» չափանիշը, և, հետևաբար, մենք չենք կարող հրաժարվել վերևի կամ ներքևի տողից: Դուք պետք է աշխատեք բոլոր թվերի հետ:

Ինչպես ես քեզ զգում? Արի, գլուխդ բարձրացրու. կա ևս մեկ թեորեմ, որը փոխաբերական իմաստով կարելի է անվանել «մարդասպանի թեորեմ»: ...«թեկնածուներ», իհարկե =)

Բայց նախ դուք պետք է ոլորեք Հորների գծապատկերը առնվազն մեկի համար ամբողջըթվեր։ Ավանդաբար, եկեք վերցնենք մեկը: Վերևի տողում գրում ենք բազմանդամի գործակիցները և ամեն ինչ սովորական է.

Քանի որ չորսն ակնհայտորեն զրո չէ, արժեքը խնդրո առարկա բազմանդամի արմատը չէ: Բայց նա մեզ շատ կօգնի։

Թեորեմ 2Եթե ​​ոմանց համար ընդհանուր առմամբբազմանդամի արժեքը զրոյական չէ, ապա նրա ռացիոնալ արմատները (եթե դրանք կան)բավարարել պայմանը

Մեր դեպքում և, հետևաբար, բոլոր հնարավոր արմատները պետք է բավարարեն պայմանը (եկեք դա անվանենք պայման թիվ 1). Այս քառյակը լինելու է բազմաթիվ «թեկնածուների» «սպանողը»։ Որպես ցուցադրություն, ես կանդրադառնամ մի քանի ստուգումների.

Եկեք ստուգենք «թեկնածուն». Դա անելու համար եկեք արհեստականորեն ներկայացնենք այն մի բաժնի տեսքով, որից դա հստակ երեւում է: Եկեք հաշվարկենք թեստի տարբերությունը. Չորսը բաժանվում է «մինուս երկու»-ի՝ , ինչը նշանակում է, որ հնարավոր արմատը անցել է թեստը:

Եկեք ստուգենք արժեքը: Ահա թեստի տարբերությունը հետևյալն է. . Իհարկե, և, հետևաբար, երկրորդ «առարկան» նույնպես մնում է ցուցակում։

«Մաթեմատիկայի մասնագիտական ​​դաստիարակ» կայքը շարունակում է դասավանդման վերաբերյալ մեթոդական հոդվածների շարքը։ Հրապարակում եմ իմ աշխատանքի մեթոդների նկարագրությունները դպրոցական ծրագրի ամենաբարդ և խնդրահարույց թեմաներով: Այս նյութը օգտակար կլինի մաթեմատիկայի ուսուցիչներին և դասավանդողներին, ովքեր աշխատում են 8-11-րդ դասարանների աշակերտների հետ ինչպես սովորական, այնպես էլ մաթեմատիկայի դասերի ծրագրում:

Մաթեմատիկայի դասախոսը միշտ չի կարող բացատրել դասագրքում վատ ներկայացված նյութը: Ցավոք, նման թեմաներն ավելի ու ավելի շատ են դառնում, իսկ ձեռնարկների հեղինակներին հետևող ներկայացման սխալները զանգվածաբար արվում են։ Սա վերաբերում է ոչ միայն մաթեմատիկայի դասավանդողներին և հեռակա դասավանդողներին (դաստիարակները ուսանողներն են և համալսարանի կրկնուսույցները), այլ նաև փորձառու ուսուցիչներին, պրոֆեսիոնալ դաստիարակներին, փորձ և որակավորում ունեցող կրկնուսույցներին: Մաթեմատիկայի ոչ բոլոր դասախոսներն ունեն դպրոցական դասագրքերում կոպիտ եզրերը գրագետ ուղղելու տաղանդը: Ոչ բոլորն են հասկանում նաև, որ այդ ուղղումները (կամ լրացումները) անհրաժեշտ են։ Քիչ երեխաներ են ներգրավված նյութը երեխաների կողմից դրա որակական ընկալմանը հարմարեցնելու մեջ: Ցավոք, անցել է այն ժամանակը, երբ մաթեմատիկայի ուսուցիչները մեթոդիստների ու հրապարակումների հեղինակների հետ զանգվածաբար քննարկում էին դասագրքի յուրաքանչյուր տառը։ Նախկինում, մինչ դասագիրքը դպրոցներ դուրս բերելը, լուրջ վերլուծություններ և ուսումնառության արդյունքների ուսումնասիրություններ էին իրականացվում։ Եկել է սիրողականների ժամանակը, ովքեր ձգտում են դասագրքերը դարձնել ունիվերսալ՝ հարմարեցնելով դրանք մաթեմատիկայի ուժեղ դասաժամերի չափանիշներին։

Տեղեկատվության քանակի ավելացման մրցավազքը միայն հանգեցնում է դրա յուրացման որակի նվազմանը և, որպես հետևանք, մաթեմատիկայի իրական գիտելիքների մակարդակի նվազմանը։ Բայց սրա վրա ոչ ոք ուշադրություն չի դարձնում։ Իսկ մեր երեխաներին ստիպում են, արդեն 8-րդ դասարանում, սովորել այն, ինչ մենք սովորել ենք ինստիտուտում՝ հավանականությունների տեսություն, բարձր աստիճանի հավասարումներ լուծել եւ այլ բան։ Գրքերի նյութի հարմարեցումը երեխայի լիարժեք ընկալման համար շատ ցանկալի է թողնում, և մաթեմատիկայի դաստիարակը ստիպված է ինչ-որ կերպ զբաղվել դրա հետ:

Եկեք խոսենք այնպիսի կոնկրետ թեմայի ուսուցման մեթոդաբանության մասին, ինչպիսին է «բազմանդամը բազմանդամի բաժանումը անկյունով», որը մեծահասակների մաթեմատիկայի մեջ ավելի հայտնի է որպես «Բեզութի թեորեմ և Հորների սխեմա»: Ընդամենը մի քանի տարի առաջ հարցն այնքան էլ հրատապ չէր մաթեմատիկայի կրկնուսույցի համար, քանի որ այն չէր մտնում հիմնական դպրոցի ուսումնական ծրագրի մեջ: Հիմա Տելյակովսկու խմբագրած դասագրքի հարգելի հեղինակները փոփոխություններ են կատարել իմ կարծիքով ամենալավ դասագրքի վերջին հրատարակության մեջ և ամբողջովին փչացնելով, միայն ավելորդ հոգսեր են ավելացրել կրկնուսույցին։ Մաթեմատիկայի կարգավիճակ չունեցող դպրոցների և դասարանների ուսուցիչները, կենտրոնանալով հեղինակների նորամուծությունների վրա, սկսեցին ավելի հաճախ իրենց դասերին ներառել լրացուցիչ պարբերություններ, իսկ ուսումնասեր երեխաները, նայելով իրենց մաթեմատիկայի դասագրքի գեղեցիկ էջերին, ավելի ու ավելի շատ էին հարցնում. դաստիարակ. «Ի՞նչ է այս բաժանումը անկյունով: Սրա միջով անցնելո՞ւ ենք։ Ինչպե՞ս կիսել անկյունը: Այսպիսի ուղղակի հարցերից այլեւս թաքնված չկա։ Ուսուցիչը պետք է երեխային ինչ-որ բան ասի.

Բայց ինչպես? Թեմայի հետ աշխատելու մեթոդը երեւի չէի նկարագրի, եթե այն գրագետ ներկայացված լիներ դասագրքերում։ Ինչպե՞ս է ամեն ինչ ընթանում մեզ մոտ: Դասագրքերը պետք է տպագրվեն և վաճառվեն։ Եվ դրա համար դրանք պետք է պարբերաբար թարմացվեն։ Բուհերի ուսուցիչները բողոքո՞ւմ են, որ երեխաներն իրենց մոտ գալիս են դատարկագլուխ, առանց գիտելիքի ու հմտությունների։ Աճու՞մ են մաթեմատիկական գիտելիքների պահանջները։ Հիանալի Եկեք հանենք որոշ վարժություններ և փոխարենը տեղադրենք թեմաներ, որոնք ուսումնասիրվում են այլ ծրագրերում։ Ինչու՞ է մեր դասագիրքն ավելի վատը։ Մենք կներառենք մի քանի լրացուցիչ գլուխներ: Դպրոցականները չգիտե՞ն անկյուն բաժանելու կանոնը. Սա հիմնական մաթեմատիկա է: Այս պարբերությունը պետք է լինի ընտրովի՝ վերնագրված «նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ավելին իմանալ»: Դաստիարակները դեմ? Ինչո՞ւ ենք մենք ընդհանրապես հոգում կրկնուսույցների մասին: Մեթոդաբաններն ու դպրոցի ուսուցիչներն էլ են դեմ. Մենք չենք բարդացնի նյութը և կդիտարկենք դրա ամենապարզ մասը:

Եվ այստեղից է այն սկսվում: Թեմայի պարզությունն ու յուրացման որակը, առաջին հերթին, դրա տրամաբանությունը հասկանալու մեջ է, այլ ոչ թե դասագրքերի հեղինակների ցուցումներին համապատասխան մի շարք գործողությունների, որոնք հստակորեն կապված չեն միմյանց հետ: . Հակառակ դեպքում ուսանողի գլխում մառախուղ կլինի։ Եթե ​​հեղինակները ուղղված են համեմատաբար ուժեղ ուսանողներին (բայց սովորում են սովորական ծրագրով), ապա դուք չպետք է թեման ներկայացնեք հրամանի տեսքով: Ի՞նչ ենք մենք տեսնում դասագրքում: Երեխաներ, մենք պետք է բաժանվենք ըստ այս կանոնի. Ստացեք անկյան տակ գտնվող բազմանդամը: Այսպիսով, սկզբնական բազմանդամը ֆակտորիզացվելու է: Այնուամենայնիվ, անհասկանալի է հասկանալ, թե ինչու են անկյունի տակ գտնվող տերմիններն ընտրված հենց այս կերպ, ինչու պետք է դրանք բազմապատկվեն անկյունի վերևի բազմանդամով, իսկ հետո հանվեն ընթացիկ մնացորդից: Եվ ամենակարևորը, անհասկանալի է, թե ինչու ընտրված միանունները պետք է ի վերջո ավելացվեն, և ինչու ստացված փակագծերը կլինեն սկզբնական բազմանդամի ընդլայնումը: Ցանկացած իրավասու մաթեմատիկոս դասագրքում տրված բացատրությունների վրա թավ հարցական կդնի։

Կրկնուսույցների և մաթեմատիկայի ուսուցիչների ուշադրությանն եմ ներկայացնում խնդրի իմ լուծումը, որը գործնականում աշակերտի համար ակնհայտ է դարձնում այն ​​ամենը, ինչ նշված է դասագրքում։ Փաստորեն, մենք կապացուցենք Բեզուտի թեորեմը. եթե a թիվը բազմանդամի արմատն է, ապա այս բազմանդամը կարելի է բաժանել գործոնների, որոնցից մեկը x-a է, իսկ երկրորդը ստացվում է սկզբնականից երեք եղանակներից մեկով. փոխակերպումների միջոցով գծային գործոնը մեկուսացնելով, անկյունով բաժանելով կամ Հորների սխեմայով։ Հենց այս ձեւակերպմամբ է, որ մաթեմատիկայի կրկնուսույցի համար ավելի հեշտ կլինի աշխատել։

Ի՞նչ է դասավանդման մեթոդաբանությունը: Սա առաջին հերթին պարզ կարգ է բացատրությունների և օրինակների հաջորդականության մեջ, որոնց հիման վրա արվում են մաթեմատիկական եզրակացություններ։ Այս թեման բացառություն չէ։ Մաթեմատիկայի դաստիարակի համար շատ կարևոր է երեխային ծանոթացնել Բեզութի թեորեմին նախքան անկյունով բաժանելը. Դա շատ կարեւոր է! Ավելի լավ է հասկանալ, թե կոնկրետ օրինակով: Վերցնենք ընտրված արմատով մի քանի բազմանդամ և ցույց տանք այն գործոնների վերածելու տեխնիկան ինքնության փոխակերպումների մեթոդով, որը ծանոթ է 7-րդ դասարանի դպրոցականներին։ Մաթեմատիկայի դասավանդողի կողմից համապատասխան բացատրություններով, շեշտադրումներով և խորհուրդներով նյութը միանգամայն հնարավոր է փոխանցել առանց ընդհանուր մաթեմատիկական հաշվարկների, կամայական գործակիցների և աստիճանների:

Կարևոր խորհուրդ մաթեմատիկայի դասախոսի համար- հետևեք հրահանգներին սկզբից մինչև վերջ և մի փոխեք այս հաջորդականությունը:

Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք բազմանդամ: Եթե ​​1 թիվը փոխարինենք նրա X-ի փոխարեն, ապա բազմանդամի արժեքը հավասար կլինի զրոյի։ Հետևաբար x=1 նրա արմատն է։ Փորձենք այն տարրալուծել երկու անդամի, որպեսզի դրանցից մեկը լինի գծային արտահայտության և որոշ միանդամի արտադրյալ, իսկ երկրորդը ունենա 1-ից փոքր աստիճան: Այսինքն՝ եկեք այն ներկայացնենք տեսքով

Կարմիր դաշտի միանդամն ընտրում ենք այնպես, որ առաջատար անդամով բազմապատկելիս այն ամբողջությամբ համընկնի սկզբնական բազմանդամի առաջատար անդամի հետ։ Եթե ​​ուսանողը ամենաթույլը չէ, ապա նա բավականին ունակ կլինի մաթեմատիկայի դասախոսին ասել պահանջվող արտահայտությունը. Դասավանդողին անմիջապես պետք է խնդրել, որ այն մտցնի կարմիր դաշտի մեջ և ցույց տա, թե ինչ կլինի, երբ դրանք բացվեն: Ավելի լավ է այս վիրտուալ ժամանակավոր բազմանդամը ստորագրել սլաքների տակ (փոքր լուսանկարի տակ)՝ ընդգծելով այն ինչ-որ գույնով, օրինակ՝ կապույտ: Սա կօգնի ձեզ ընտրել կարմիր դաշտի տերմին, որը կոչվում է ընտրության մնացորդ: Ես խորհուրդ կտայի դաստիարակներին այստեղ նշել, որ այս մնացորդը կարելի է գտնել հանումով: Այս գործողությունը կատարելով մենք ստանում ենք.

Մաթեմատիկայի դասավանդողը պետք է աշակերտի ուշադրությունը հրավիրի այն փաստի վրա, որ մեկը փոխարինելով այս հավասարության մեջ, մենք երաշխավորում ենք, որ դրա ձախ կողմում կստացվի զրո (քանի որ 1-ը սկզբնական բազմանդամի արմատն է), իսկ աջ կողմում, ակնհայտորեն, մենք. կզրոյացնի նաև առաջին կիսամյակը: Սա նշանակում է, որ առանց որևէ ստուգման կարելի է ասել, որ մեկը «կանաչ մնացորդի» արմատն է։

Եկեք դրան վերաբերվենք այնպես, ինչպես վարվեցինք սկզբնական բազմանդամի հետ՝ նրանից առանձնացնելով նույն գծային գործոնը։ Մաթեմատիկայի դասավանդողը աշակերտի առջև նկարում է երկու շրջանակ և խնդրում լրացնել ձախից աջ:

Աշակերտը դասավանդողի համար ընտրում է կարմիր դաշտի միանդամ, որպեսզի գծային արտահայտության առաջատար անդամով բազմապատկելիս ստացվի ընդլայնվող բազմանդամի առաջատար անդամը: Մենք այն տեղավորում ենք շրջանակի մեջ, անմիջապես բացում ենք փակագիծը և կապույտով ընդգծում այն ​​արտահայտությունը, որը պետք է հանել ծալվողից։ Կատարելով այս գործողությունը մենք ստանում ենք

Եվ վերջապես նույնն անելով վերջին մնացորդի հետ

վերջապես կստանանք

Այժմ եկեք դուրս բերենք արտահայտությունը փակագծից և կտեսնենք սկզբնական բազմանդամի տարրալուծումը գործոնների, որոնցից մեկը «x հանած ընտրված արմատը»:

Որպեսզի ուսանողը չմտածի, որ վերջին «կանաչ մնացորդը» պատահաբար տարրալուծվել է պահանջվող գործոնների, մաթեմատիկայի դասավանդողը պետք է մատնանշի բոլոր կանաչ մնացորդների կարևոր հատկությունը. նրանցից յուրաքանչյուրն ունի 1 արմատ: Քանի որ աստիճանները այս մնացորդները նվազում են, այնուհետև սկզբնականի ինչ աստիճան էլ, որքան էլ մեզ տրվի բազմանդամ, վաղ թե ուշ մենք կստանանք գծային «կանաչ մնացորդ» 1-ին արմատով, և, հետևաբար, այն անպայման կքայքայվի որոշակիի արտադրյալի։ թիվ և արտահայտություն.

Նման նախապատրաստական ​​աշխատանքից հետո մաթեմատիկայի դասավանդողի համար դժվար չի լինի աշակերտին բացատրել, թե ինչ է տեղի ունենում անկյունի բաժանելիս։ Սա նույն գործընթացն է, միայն ավելի կարճ և կոմպակտ ձևով, առանց հավասար նշանների և առանց վերաշարադրելու նույն ընդգծված տերմինները: Բազմանդամը, որից հանվում է գծային գործակիցը, գրվում է անկյունից ձախ, ընտրված կարմիր միանունները հավաքվում են անկյան տակ (հիմա պարզ է դառնում, թե ինչու պետք է գումարվեն), ստանալու համար «կապույտ բազմանդամները», «կարմիրը»: «Նրանք պետք է բազմապատկվեն x-1-ով, այնուհետև հանել ներկայումս ընտրվածից, թե ինչպես է դա արվում թվերի սովորական բաժանման մեջ սյունակի մեջ (այստեղ անալոգիա է նախկինում ուսումնասիրվածի հետ): Ստացված «կանաչ մնացորդները» ենթակա են նոր մեկուսացման և «կարմիր միանվագների» ընտրության։ Եվ այսպես շարունակ, մինչև չստանաք զրոյական «կանաչ հաշվեկշիռ»: Ամենակարեւորն այն է, որ աշակերտը հասկանա անկյան վերեւում եւ ներքեւում գրված բազմանդամների հետագա ճակատագիրը։ Ակնհայտ է, որ դրանք փակագծեր են, որոնց արտադրյալը հավասար է սկզբնական բազմանդամին:

Մաթեմատիկայի դաստիարակի աշխատանքի հաջորդ փուլը Բեզութի թեորեմի ձևակերպումն է։ Փաստորեն, նրա ձևակերպումը դաստիարակի այս մոտեցմամբ ակնհայտ է դառնում. եթե a թիվը բազմանդամի արմատն է, ապա այն կարելի է ֆակտորիզացնել, որոնցից մեկը , իսկ մյուսը սկզբից ստացվել է երեք եղանակներից մեկով։ :

• ուղղակի տարրալուծում (խմբավորման մեթոդի անալոգը)
• բաժանվելով անկյունով (սյունակում)
• Հորների շրջանի միջոցով

Պետք է ասել, որ մաթեմատիկայի ոչ բոլոր դասախոսներն են իրենց աշակերտներին ցույց տալիս Հորների դիագրամը, և ոչ բոլոր դպրոցի ուսուցիչները (բարեբախտաբար հենց դաստիարակների համար) դասերի ժամանակ այդքան խորանում են թեմայի մեջ: Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկայի դասարանի ուսանողի համար ես պատճառ չեմ տեսնում կանգ առնելու երկար բաժանման վրա: Ավելին, ամենահարմար եւ արագՔայքայման տեխնիկան հիմնված է հենց Հորների սխեմայի վրա: Երեխային բացատրելու համար, թե որտեղից է այն գալիս, բավական է հետևել, օգտագործելով անկյունով բաժանման օրինակը, կանաչ մնացորդներում ավելի բարձր գործակիցների տեսքը: Պարզ է դառնում, որ սկզբնական բազմանդամի առաջատար գործակիցը տեղափոխվում է առաջին «կարմիր միանդամի» գործակիցը, իսկ ընթացիկ վերին բազմանդամի երկրորդ գործակիցից ավելի հեռու։ հանել«կարմիր միանդամի» ընթացիկ գործակիցը բազմապատկելու արդյունքը . Ուստի հնարավոր է ավելացնելբազմապատկելու արդյունքը. Աշակերտի ուշադրությունը գործակիցներով գործողությունների առանձնահատկությունների վրա կենտրոնացնելուց հետո մաթեմատիկայի դասավանդողը կարող է ցույց տալ, թե ինչպես են այդ գործողությունները սովորաբար կատարվում առանց փոփոխականներն իրենք գրանցելու: Դա անելու համար հարմար է սկզբնական բազմանդամի արմատը և գործակիցները ըստ առաջնահերթության մուտքագրել հետևյալ աղյուսակում.

Եթե ​​բազմանդամում որևէ աստիճան բացակայում է, ապա դրա զրոյական գործակիցը դրվում է աղյուսակում: «Կարմիր բազմամոլների» գործակիցները գրված են ներքեւի գծում `« Կեռիկի »կանոնների համաձայն.

Արմատը բազմապատկվում է վերջին կարմիր գործակցով, ավելացվում է վերին տողի հաջորդ գործակցին, և արդյունքը գրվում է մինչև ներքևի տող: Վերջին սյունակում մենք երաշխավորված ենք, որ ստանանք վերջին «կանաչ մնացորդի» ամենաբարձր գործակիցը, այսինքն `զրո: Գործընթացի ավարտից հետո թվերը սենդվիչ խաղացած արմատի եւ զրոյի մնացորդի միջեւՊարզվեք, որ երկրորդ (ոչ գծային) գործոնի գործակիցներն են:

Քանի որ a արմատը ներքևի տողի վերջում տալիս է զրո, Հորների սխեման կարող է օգտագործվել բազմանդամի արմատի վերնագրի համար թվերը ստուգելու համար: Եթե ​​հատուկ թեորեմ `ռացիոնալ արմատի ընտրության հարցում: Իր օգնությամբ ձեռք բերված այս վերնագրի բոլոր թեկնածուները պարզապես վերածվում են ձախից եղջյուրի դիագրամ: Հենց որ ստանանք զրո, փորձարկված թիվը կլինի արմատ, և միևնույն ժամանակ կստանանք սկզբնական բազմանդամի գործակիցները նրա ուղիղի վրա։ Շատ հարմարավետ։

Եզրափակելով, ես կցանկանայի նշել, որ Հորների սխեման ճշգրիտ ներկայացնելու, ինչպես նաև թեման գործնականում համախմբելու համար մաթեմատիկայի դասախոսը պետք է իր տրամադրության տակ ունենա բավականաչափ ժամեր: «Շաբաթը մեկ անգամ» ռեժիմով աշխատող դաստիարակը չպետք է զբաղվի անկյունային բաժանմամբ։ Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության և մաթեմատիկայի պետական ​​ակադեմիայի վերաբերյալ դժվար թե առաջին մասում հանդիպեք երրորդ աստիճանի հավասարման, որը հնարավոր կլինի լուծել նման միջոցներով։ Եթե ​​մանկավարժը երեխային պատրաստում է Մոսկվայի պետական ​​համալսարանում մաթեմատիկայի քննությանը, ապա թեմայի ուսումնասիրությունը դառնում է պարտադիր։ Համալսարանի ուսուցիչները, ի տարբերություն պետական ​​միասնական քննություն կազմողների, շատ են սիրում ստուգել դիմորդի գիտելիքների խորությունը։

Կոլպակով Ալեքսանդր Նիկոլաևիչ, մաթեմատիկայի դասախոս Մոսկվա, Ստրոգինո

Հորների սխեման - բազմանդամի բաժանման մեթոդ

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

$x-a$ երկանդամության վրա: Դուք պետք է աշխատեք աղյուսակի հետ, որի առաջին շարքը պարունակում է տվյալ բազմանդամի գործակիցները։ Երկրորդ տողի առաջին տարրը կլինի $a$ թիվը՝ վերցված $x-a$ երկանդամից.

n-րդ աստիճանի բազմանդամը $x-a$ երկանդամին բաժանելուց հետո ստանում ենք բազմանդամ, որի աստիճանը մեկով փոքր է սկզբնականից, այսինքն. հավասար է $n-1$: Հորների սխեմայի ուղղակի կիրառումը ամենահեշտն է ցույց տալ օրինակներով:

Օրինակ թիվ 1

$5x^4+5x^3+x^2-11$-ը բաժանեք $x-1$-ի` օգտագործելով Հորների սխեմա:

Կազմենք երկու տողից բաղկացած աղյուսակ՝ առաջին տողում գրում ենք $5x^4+5x^3+x^2-11$ բազմանդամի գործակիցները՝ դասավորված $x$ փոփոխականի հզորությունների նվազման կարգով։ Նկատի ունեցեք, որ այս բազմանդամը չի պարունակում $x$ առաջին աստիճանի, այսինքն. $x$-ի գործակիցը առաջին հզորությանը 0 է: Քանի որ մենք բաժանում ենք $x-1$-ի, երկրորդ տողում գրում ենք մեկը.

Սկսենք լրացնել երկրորդ տողի դատարկ բջիջները։ Երկրորդ տողի երկրորդ բջիջում գրում ենք $5$ թիվը՝ ուղղակի տեղափոխելով այն առաջին տողի համապատասխան բջիջից.

Հաջորդ բջիջը լրացնենք այս սկզբունքով՝ $1\cdot 5+5=10$:

Նույն կերպ լրացնենք երկրորդ տողի չորրորդ բջիջը՝ $1\cdot 10+1=11$:

Հինգերորդ բջիջի համար մենք ստանում ենք՝ $1\cdot 11+0=11$:

Եվ վերջապես, վերջին՝ վեցերորդ բջիջի համար մենք ունենք՝ $1\cdot 11+(-11)=0$:

Խնդիրը լուծված է, մնում է գրել պատասխանը.

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ տողում (մեկ և զրոյի միջև) տեղակայված թվերը $5x^4+5x^3+x^2-11$-ի $x-1$-ի բաժանելուց հետո ստացված բազմանդամի գործակիցներն են։ Բնականաբար, քանի որ սկզբնական $5x^4+5x^3+x^2-11$ բազմանդամի աստիճանը հավասար էր չորսի, ստացված $5x^3+10x^2+11x+11$ բազմանդամի աստիճանը մեկ է։ պակաս, այսինքն. հավասար է երեքի։ Երկրորդ տողի վերջին թիվը (զրո) նշանակում է մնացորդ $5x^4+5x^3+x^2-11$ բազմանդամը $x-1$-ով բաժանելիս։ Մեր դեպքում մնացորդը զրո է, այսինքն. բազմանդամները հավասարապես բաժանվում են. Այս արդյունքը կարելի է բնութագրել նաև հետևյալ կերպ՝ $5x^4+5x^3+x^2-11$ բազմանդամի արժեքը $x=1$-ի համար հավասար է զրոյի։

Եզրակացությունը կարելի է ձևակերպել նաև այս ձևով. քանի որ $5x^4+5x^3+x^2-11$ բազմանդամի արժեքը $x=1$-ում հավասար է զրոյի, ապա միասնությունը բազմանդամի արմատն է։ $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Օրինակ թիվ 2

Հորների սխեմայով $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ բազմանդամը բաժանեք $x+3$-ի։

Անմիջապես սահմանենք, որ $x+3$ արտահայտությունը պետք է ներկայացված լինի $x-(-3)$ ձևով։ Horner-ի սխեման կներառի ուղիղ $3$: Քանի որ բնօրինակ բազմամյա X ^ 4 + 3x ^ 3 + 4x ^ 2-5X-47 $ հավասար է չորսին, ապա բաժանման արդյունքում մենք ստանում ենք երրորդ աստիճանի բազմամյա քաղաքականություն.

Արդյունքը նշանակում է, որ

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Այս իրավիճակում $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$-ը $x+3$-ով բաժանելիս մնացածը կազմում է $4$։ Կամ, ինչ նույնն է, $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ բազմանդամի արժեքը $x=-3$-ի համար հավասար է $4$-ի։ Ի դեպ, դա հեշտ է կրկնակի ստուգել՝ ուղղակիորեն փոխարինելով $x=-3$-ը տվյալ բազմանդամի մեջ.

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

Նրանք. Հորների սխեման կարող է օգտագործվել, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել բազմանդամի արժեքը փոփոխականի տվյալ արժեքի համար: Եթե ​​մեր նպատակն է գտնել բազմամյա բոլոր արմատները, ապա Հորների սխեման կարող է կիրառվել մի քանի անգամ անընդմեջ, քանի դեռ չենք սպառել բոլոր արմատները, ինչպես քննարկվում է թիվ 3-ի օրինակով:

Օրինակ թիվ 3

Գտե՛ք $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ բազմանդամի բոլոր արմատները Հորների սխեմայով։

Հարցվող բազմամյա գործակիցները ամբողջ թվեր են, եւ փոփոխականի ամենաբարձր ուժի գործակիցը (I.E., X ^ 6 $) հավասար է մեկին: Այս դեպքում բազմանդամի ամբողջական արմատները պետք է փնտրել ազատ անդամի բաժանարարների մեջ, այսինքն. 45 թվի բաժանարարների մեջ: Տրված բազմանդամի համար նման արմատներ կարող են լինել $45 թվերը; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ և $45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Եկեք ստուգենք, օրինակ, $1$ թիվը.

Ինչպես տեսնում եք, բազմամյա $ X ^ 6 + 2x ^ 4-20x ^ 4-20x ^ 4-20x ^ + 71x + 45 + 45 $ $ X = 1 $ հավասար է $ 192 $ (վերջին համարը) Երկրորդ գծում), եւ ոչ թե $ 0 $, ուստի միասնությունը այս բազմամյա արմատը չէ: Քանի որ չեկը ձախողվել է, եկեք ստուգենք $ X = -1 $ արժեքը: Մենք դրա համար նոր սեղան չենք ստեղծի, բայց կշարունակենք օգտագործել սեղանը: Թիվ 1՝ դրան ավելացնելով նոր (երրորդ) տող։ Երկրորդ տողը, որում ստուգվել է $1$ արժեքը, կնշվի կարմիրով և չի օգտագործվի հետագա քննարկումներում։

Դուք, իհարկե, կարող եք պարզապես նորից վերաշարադրել սեղանը, բայց այն ձեռքով լրացնելը շատ ժամանակ կպահանջի: Ավելին, կարող են լինել մի քանի թվեր, որոնց ստուգումը ձախողվի, և դժվար է ամեն անգամ նոր աղյուսակ գրել։ «Թղթի վրա» հաշվարկելիս կարմիր գծերը պարզապես կարելի է հատել։

Այսպիսով, $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ բազմանդամի արժեքը $x=-1$-ում հավասար է զրոյի, այսինքն. $-1$ թիվը այս բազմանդամի արմատն է: $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ բազմանդամը $x-(-1)=x+1$ երկանդամին բաժանելուց հետո ստանում ենք $x բազմանդամը։ ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, որի գործակիցները վերցված են աղյուսակի երրորդ շարքից։ Թիվ 2 (տե՛ս օրինակ թիվ 1): Հաշվարկների արդյունքը կարող է ներկայացվել նաև այս ձևով.

\սկիզբ(հավասարում)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\վերջ (հավասարում)

Շարունակենք ամբողջ թվերի արմատների որոնումը։ Այժմ մենք պետք է փնտրենք $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ բազմանդամի արմատները։ Կրկին այս բազմանդամի ամբողջ թվային արմատները որոնվում են նրա ազատ անդամի բաժանարարների մեջ՝ $45$ թվերի մեջ։ Փորձենք նորից ստուգել $-1$ թիվը։ Մենք նոր աղյուսակ չենք ստեղծի, այլ կշարունակենք օգտագործել նախորդ աղյուսակը: Թիվ 2, այսինքն. Դրան ավելացնենք ևս մեկ տող.

Այսպիսով, $-1$ թիվը $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ բազմանդամի արմատն է։ Այս արդյունքը կարելի է գրել այսպես.

\սկիզբ(հավասարում)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \վերջ (հավասարում)

Հաշվի առնելով (2) հավասարությունը, հավասարությունը (1) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ ձևով.

\սկիզբ(հավասարում)\սկիզբ (հավասարեցված) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\վերջ (հավասարեցված)\վերջ (հավասարում)

Այժմ մենք պետք է փնտրենք $x^4-22x^2+24x+45$ բազմանդամի արմատները, բնականաբար, նրա ազատ անդամի բաժանարարների մեջ ($45$ թվերը)։ Եկեք նորից ստուգենք $-1$ թիվը.

$-1$ թիվը $x^4-22x^2+24x+45$ բազմանդամի արմատն է։ Այս արդյունքը կարելի է գրել այսպես.

\սկիզբ(հավասարում)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \վերջ (հավասարում)

Հաշվի առնելով (4) հավասարությունը՝ հավասարությունը (3) վերաշարադրում ենք հետևյալ ձևով.

\սկիզբ(հավասարում)\սկիզբ (հավասարեցված) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\վերջ (հավասարեցված)\վերջ (հավասարում)

Այժմ մենք փնտրում ենք $x^3-x^2-21x+45$ բազմանդամի արմատները։ Եկեք նորից ստուգենք $-1$ թիվը.

Ստուգումն ավարտվել է անհաջողությամբ. Կարմիրով առանձնացնենք վեցերորդ տողը և փորձենք ստուգել մեկ այլ թիվ, օրինակ՝ $3$ թիվը.

Մնացածը զրո է, հետևաբար $3$ թիվը խնդրո առարկա բազմանդամի արմատն է։ Այսպիսով, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$: Այժմ հավասարությունը (5) կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել շնորհանդեսի բոլոր հատկանիշները: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Դասի տեսակըԱռաջնային գիտելիքների յուրացման և համախմբման դաս:

Դասի նպատակը.

• Աշակերտներին ծանոթացրեք բազմանդամի արմատների հասկացությանը և սովորեցրեք նրանց գտնել դրանք: Բարելավել Հորների սխեմայի օգտագործման հմտությունները՝ բազմանդամն ըստ հզորությունների ընդլայնելու և բազմանդամը երկանդամով բաժանելու համար:
• Սովորեք գտնել հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Հորների դիագրամը:
• Զարգացնել վերացական մտածողությունը:
• Խթանել հաշվողական մշակույթը:
• Միջառարկայական կապերի զարգացում.

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ.

Տեղեկացնել դասի թեման, ձևակերպել նպատակներ:

2. Տնային առաջադրանքների ստուգում.

3. Նոր նյութի ուսումնասիրություն.

Թող Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - n աստիճանի x-ի բազմանդամ, որտեղ a 0, a 1,...,a n թվեր են տրված, իսկ a 0-ը հավասար չէ 0-ի: Եթե F n բազմանդամը (x) մնացորդի հետ բաժանվի x-a երկանդամով. , ապա գործակիցը (անավարտ քանորդը) n-1 աստիճանի Q n-1 (x) բազմանդամն է, R մնացորդը թիվ է, և հավասարությունը ճշմարիտ է։ F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. F n (x) բազմանդամը բաժանվում է (x-a) երկանդամին միայն R=0-ի դեպքում։

Բեզուտի թեորեմ. F n (x) բազմանդամը (x-a) երկանդամին բաժանելուց R մնացորդը հավասար է F n (x) բազմանդամի արժեքին x=a-ում, այսինքն. R=Pn(a):

Մի փոքր պատմություն. Բեզուտի թեորեմը, չնայած իր թվացյալ պարզությանը և ակնհայտությանը, բազմանդամների տեսության հիմնարար թեորեմներից է։ Այս թեորեմը կապում է բազմանդամների հանրահաշվական հատկությունները (որոնք թույլ են տալիս բազմանդամներին վերաբերվել որպես ամբողջ թվեր) նրանց ֆունկցիոնալ հատկությունների հետ (որոնք թույլ են տալիս բազմանդամներին վերաբերվել որպես ֆունկցիա)։ Ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներ լուծելու եղանակներից մեկը հավասարման ձախ կողմում գտնվող բազմանդամը գործոնավորելն է: Բազմանդամի և մնացորդի գործակիցների հաշվարկը գրված է աղյուսակի տեսքով, որը կոչվում է Հորների սխեմա։

Հորների սխեման բազմանդամների բաժանման ալգորիթմ է, որը գրված է հատուկ դեպքի համար, երբ գործակիցը հավասար է երկանդամին։ x–a.

Հորներ Ուիլյամ Ջորջ (1786 - 1837), անգլիացի մաթեմատիկոս։ Հիմնական հետազոտությունը վերաբերում է հանրահաշվական հավասարումների տեսությանը։ Մշակել է ցանկացած աստիճանի հավասարումների մոտավոր լուծման մեթոդ: 1819 թվականին նա ներմուծեց հանրահաշվի կարևոր մեթոդ՝ բազմանդամը x - a երկանդամով բաժանելու համար (Հորների սխեման)։

Հորների սխեմայի ընդհանուր բանաձևի ստացում.

F(x) բազմանդամը մնացորդի հետ բաժանել երկանդամով (x-c) նշանակում է գտնել q(x) բազմանդամ և r այնպիսի թիվ, որ f(x)=(x-c)q(x)+r.

Եկեք մանրամասնորեն գրենք այս հավասարությունը.

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Եկեք հավասարեցնենք գործակիցները նույն աստիճաններով.

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Հորների շղթայի ցուցադրում` օգտագործելով օրինակ:

Վարժություն 1.Օգտվելով Հորների սխեմայից՝ f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 բազմանդամը մնացորդի հետ բաժանում ենք x-2 երկանդամին:

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2) (x 2 -3x-6)-4, որտեղ g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 մնացորդ:

Բազմանդամի ընդլայնումը երկանդամի հզորություններով:

Օգտագործելով Հորների սխեման՝ մենք ընդլայնում ենք f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 բազմանդամը (x+2) երկանդամի հզորություններով։

Արդյունքում մենք պետք է ստանանք ընդլայնում f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)(x-1 )(x+ 2)-2)+12 = ((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2 (x+2)+12

Հորների սխեման հաճախ օգտագործվում է երրորդ, չորրորդ և ավելի բարձր աստիճանների հավասարումներ լուծելիս, երբ հարմար է բազմանդամն ընդարձակել x-a երկանդամության։ Թիվ ականչեց բազմանդամի արմատը F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, եթե x=a F n (x) բազմանդամի արժեքը հավասար է զրոյի՝ F n (a)=0, այսինքն. եթե բազմանդամը բաժանվում է x-a երկանդամին.

Օրինակ՝ 2 թիվը F 3 (x)=3x 3 -2x-20 բազմանդամի արմատն է, քանի որ F 3 (2)=0։ դա նշանակում է. Որ այս բազմանդամի գործոնացումը պարունակում է x-2 գործակից:

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10):

F n(x) աստիճանի ցանկացած բազմանդամ n 1-ն ավելին չի կարող ունենալ nիրական արմատներ.

Ամբողջական գործակիցներով հավասարման ցանկացած ամբողջ արմատը նրա ազատ անդամի բաժանարարն է։

Եթե ​​հավասարման առաջատար գործակիցը 1 է, ապա հավասարման բոլոր ռացիոնալ արմատները, եթե դրանք կան, ամբողջ թվեր են։

Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

Նոր նյութը համախմբելու համար ուսանողներին հրավիրում ենք լրացնել 2.41 և 2.42 դասագրքի թվերը (էջ 65):

(2 ուսանող լուծում է գրատախտակին, իսկ մնացածը, որոշելով, ստուգում են նոթատետրում տրված առաջադրանքները՝ գրատախտակի պատասխաններով):

Ամփոփելով.

Հասկանալով Հորների սխեմայի կառուցվածքը և սկզբունքը, այն կարող է օգտագործվել նաև համակարգչային գիտության դասերին, երբ դիտարկվում է ամբողջ թվերը տասնորդական թվային համակարգից երկուական համակարգ և հակառակը փոխարկելու հարցը: Մի թվային համակարգից մյուսը փոխանցելու հիմքը հետևյալ ընդհանուր թեորեմն է

Թեորեմ.Ամբողջ թիվը փոխարկելու համար Ապ-ից էջ-արի թվային համակարգից բազային թվային համակարգ դանհրաժեշտ Ապմնացորդի հետ հաջորդաբար բաժանել թվով դ, գրված է նույն էջ-արի համակարգ, մինչև ստացված գործակիցը դառնա զրոյի: Բաժանումից մնացածները կլինեն դ- թվային թվեր Հայտարարություն, սկսած ամենաերիտասարդ կատեգորիայից մինչև ամենաավագը։ Բոլոր գործողությունները պետք է իրականացվեն ք էջ- Արի թվային համակարգ. Մարդու համար այս կանոնը հարմար է միայն այն ժամանակ, երբ էջ= 10, այսինքն. թարգմանելիս -իցտասնորդական համակարգ. Ինչ վերաբերում է համակարգչին, ընդհակառակը, նրա համար «ավելի հարմար է» հաշվարկներ կատարել երկուական համակարգում։ Հետևաբար, «2-ը 10»-ի փոխարկելու համար օգտագործվում է երկուական համակարգում հաջորդական բաժանումը տասի վրա, իսկ «10-ից 2»-ը տասի հզորությունների գումարումն է։ «10-ը 2-ում» ընթացակարգի հաշվարկները օպտիմալացնելու համար համակարգիչը օգտագործում է Հորների տնտեսական հաշվարկման սխեման:

Տնային աշխատանք. Առաջարկվում է կատարել երկու առաջադրանք.

1-ին. Օգտվելով Հորների սխեմայից՝ f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 բազմանդամը բաժանեք (x-3):

2-րդ. Գտե՛ք f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 բազմանդամի ամբողջ թվային արմատները (հաշվի առնելով, որ ամբողջ գործակիցներով հավասարման ցանկացած ամբողջ արմատը նրա ազատ անդամի բաժանարարն է)

գրականություն.

1. Կուրոշ Ա.Գ. «Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց».
2. Նիկոլսկի Ս.Մ., Պոտապով Մ.Կ. և այլք 10-րդ դասարան «Հանրահաշիվը և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը».
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.