ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಇದು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಬದಿಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ ಸೂತ್ರಗಳು ಬದಿಗಳು, ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಯತ, ಚದರ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವ ಬದಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತನಿಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು a = 4 cm, b = 6 cm ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು α = 30 ° ಆಗಿದೆ. ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರದೇಶ

ಕರ್ಣಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ, ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. D = 7 cm, d = 5 cm ಕರ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು α = 30 ° ಆಗಿದೆ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

ಕರ್ಣೀಯ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಯು ನಮಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಿತು - 8.75.

ಕರ್ಣೀಯ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಕಾರ್ಯ:ನಿಮಗೆ 92 ಚದರ ಮೀಟರ್ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೋಡಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಫ್ ಅದರ ಬದಿಯ BC ಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಇರುವ ADFB ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೆಳೆಯೋಣ.
ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ನಮ್ಮ ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ah = 92, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ನಮ್ಮ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಸೂಚನೆ... ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಾಠದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಭಾಗ). ಇಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ವೇದಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಚಿಹ್ನೆ √ ಅಥವಾ sqrt () ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತು

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿವರಣೆಗಳು:

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಈ ಬದಿಗೆ ಇಳಿಸಿದ ಎತ್ತರದಿಂದ ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಅದರ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕಾರ್ಯ.
ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಚಿಕ್ಕ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಭಾಗವು ಕ್ರಮವಾಗಿ 9 cm ಮತ್ತು 82 ರ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ದೊಡ್ಡ ಕರ್ಣವು 15 cm ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.
ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ಕಡಿಮೆ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, B ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಬೇಸ್ AD ಗೆ BK ಯಂತೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ABK ಯ ಕಾಲಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಇದು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎತ್ತರ, ಚಿಕ್ಕ ಭಾಗ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ತಳದ ಭಾಗದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + ಎಕೆ 2
ಎಕೆ 2 = 82 - 81
ಎಕೆ = 1

ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ BC ಯ ಮೇಲಿನ ತಳವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ತಳದಿಂದ ಎತ್ತರ AN ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ. AN = BK ಆಯತ ANBK ಯ ಬದಿಗಳಾಗಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಲ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ANC ಯ ಲೆಗ್ NC ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12

ಈಗ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ದೊಡ್ಡ ಮೂಲ BC ಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
BC = NC - NB
ನಾವು ಆಯತದ ಬದಿಗಳಾಗಿ NB = AK ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
BC = 12 - 1 = 11

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಬೇಸ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಬೇಸ್ಗೆ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.
ಎಸ್ = ಆಹ್
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

ಉತ್ತರ: 99 ಸೆಂ 2.

ಕಾರ್ಯ

AVSD ಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಲಂಬವಾದ VO ಅನ್ನು AC ಕರ್ಣೀಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. AO = 8, OC = 6 ಮತ್ತು BO = 4 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.
ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಲಂಬವಾದ DK ಅನ್ನು ಕರ್ಣೀಯ АС ಮೇಲೆ ಬಿಡೋಣ.
ಅಂತೆಯೇ, AOB ಮತ್ತು DKC, COB ಮತ್ತು AKD ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬದಿಯು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎದುರು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಮೂಲೆಯು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕರ್ಣೀಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಕರ್ಣೀಯದ ಸಮಾನಾಂತರ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಳಗಿನ ಅಡ್ಡ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಸೂಚಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದು
ಸಮಾನಾಂತರ = 2S AOB + 2S BOC

ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವು ಕಾಲುಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಿ
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
ಉತ್ತರ: 56 ಸೆಂ 2.

ಈ ವಿಷಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಜೊತೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಳಗಿನ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಅದರಿಂದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಆಂತರಿಕ ಮೂಲೆಗಳಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಕರ್ಣಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದ್ದೇಶ 1.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ಕೋನ C ಯ ದ್ವಿಭಾಜಕವು AD ಯನ್ನು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು E ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ A ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೀರಿ AB ಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು AE = 4, DМ = 3 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. ತ್ರಿಕೋನ CMD ಸಮದ್ವಿಬಾಹು. (ಆಸ್ತಿ 1). ಆದ್ದರಿಂದ, CD = MD = 3 ಸೆಂ.

2. EAM ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು.
ಆದ್ದರಿಂದ, AE = AM = 4 ಸೆಂ.

3. AD = AM + MD = 7 ಸೆಂ.

4. ಪರಿಧಿ ABCD = 20 ಸೆಂ.

ಉತ್ತರ. 20 ಸೆಂ.ಮೀ.

ಉದ್ದೇಶ 2.

ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ABD, ACD, BCD ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನೀಡಿರುವ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. ಬಿಇ - ತ್ರಿಕೋನದ ಎಬಿಡಿ ಎತ್ತರ, ಸಿಎಫ್ - ಎಸಿಡಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ AD ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. BE = CF.

2. BE, CF AD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು AD ಯ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ. BE = CF. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆ ВС || ಕ್ರಿ.ಶ. (*)

3. АL ತ್ರಿಕೋನದ АСD, BK - ತ್ರಿಕೋನ BCD ಯ ಎತ್ತರವಾಗಿರಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ ಸಿಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. AL = BK.

4. AL ಮತ್ತು BK CD ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬಿ ಮತ್ತು ಎ ಅಂಕಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಯ CD ಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿವೆ. AL = BK. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆ AB || ಸಿಡಿ (**)

5. ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ (*), (**) ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ABCD ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.

ಉತ್ತರ. ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಎಬಿಸಿಡಿ - ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.

ಉದ್ದೇಶ 3.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ BC ಮತ್ತು CD ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ M ಮತ್ತು H ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ BM ಮತ್ತು HD ವಿಭಾಗಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ O ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ;<ВМD = 95 о,

ಪರಿಹಾರ.

1. ತ್ರಿಕೋನ DOM ನಲ್ಲಿ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ DHC ಯಲ್ಲಿ
(
ನಂತರ<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(ಬಲ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 30 ° ಕೋನದ ಎದುರು ಇರುವ ಕಾಲು ಅರ್ಧ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಆದರೆ CD = AB. ನಂತರ AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
ಉತ್ತರ: AB: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

ಕಾರ್ಯ 4.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ 4√6 ಉದ್ದವು ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ 60 ° ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕರ್ಣವು ಅದೇ ಬೇಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ 45 ° ಕೋನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕರ್ಣವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. AO = 2√6.

2. ನಾವು ಸೈನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು AOD ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

AO / sin D = OD / sin A.

2√6 / sin 45 о = OD / sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6.

ಉತ್ತರ: 12.

ಕಾರ್ಯ 5.

5√2 ಮತ್ತು 7√2 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಚಿಕ್ಕ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಣ್ಣ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

d 1, d 2 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಚಿಕ್ಕ ಕೋನವು φ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡೋಣ
ಅದರ ಪ್ರದೇಶದ ಮಾರ್ಗಗಳು.

S ABCD = AB AD ಪಾಪ A = 5√2 7√2 sin φ,

S ABCD = 1/2 AС ВD ಪಾಪ AОВ = 1/2 d 1 d 2 sin ф.

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 5√2 7√2 sin ф = 1 / 2d 1 d 2 sin ф ಅಥವಾ

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು (d 1 + d 2) 2 = 576 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ Id 1 + d 2 I = 24.

d 1, d 2 ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ d 1 + d 2 = 24.

ಉತ್ತರ: 24.

ಕಾರ್ಯ 6.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗಳು 4 ಮತ್ತು 6. ಕರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನವು 45 ° ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1. AOB ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳ ಬದಿಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2 / 2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು AOD ತ್ರಿಕೋನದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

ನಾವು d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

3. ನಮಗೆ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು 2d 1 d 2 √2 = 80 ಅಥವಾ

d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2

4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10.

ಸೂಚನೆ:ಇದರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಮಗೆ ಕರ್ಣಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಮುನ್ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: 10.

ಕಾರ್ಯ 7.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 96, ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು 8 ಮತ್ತು 15. ಚಿಕ್ಕ ಕರ್ಣೀಯ ಚೌಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

1.S ABCD = AB · AD · sin BAD. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು 96 = 8 15 ಪಾಪ BAD ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಪ ВAD = 4/5.

2. cos BAD ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. sin 2 BAD + cos 2 BAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 BAD = 9/25.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. BAD ಕೋನವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ BD ಕರ್ಣವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ cos BAD = 3/5.

3. ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ABD ಯಿಂದ ನಾವು ಕರ್ಣ BD ಯ ಚೌಕವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145.

ಉತ್ತರ: 145.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು - ನೋಂದಾಯಿಸಿ.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

ಸೈಟ್, ವಸ್ತುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲು ಜೊತೆಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರದೇಶ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಹಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಇವೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಈ ಒಳ್ಳೆಯದು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸೈಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕು. ನಾನು ಸಾರವನ್ನು ತಿಳಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ - ಇದರಿಂದ ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರ್ಯಾಮ್ ಮಾಡಬೇಡಿ, ಆದರೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಲೇಖನದ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ. ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವರು ಆಗಾಗ್ಗೆ ನಿರ್ಧಾರಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುತ್ತಾರೆ, ಅವರು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಕಂಠಪಾಠ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.
1. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಓದುತ್ತದೆ:

ಅದು ಏಕೆ? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ! ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸಲು, ನಾವು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ನಾವು ಎತ್ತರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:
ತ್ರಿಕೋನದ (2) ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ತ್ರಿಕೋನದ (1) ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಬಲ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡನೇ ಚಿಹ್ನೆ "ಕಾಲು ಮತ್ತು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ." ಈಗ ನಾವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು "ಕಡಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ" ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು ಮೂಲ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೆಚ್‌ನಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಆಯತದ ಒಂದು ಬದಿಯು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಬದಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ S = a ∙ hಎ
2. ಅದರ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರದೇಶ
ನಾವು ಬದಿಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಎಂದು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸೋಣ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು γ "ಗಾಮಾ", ಎತ್ತರವು h a ಆಗಿದೆ. ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಪ್ರದೇಶ

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತು

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕಾರ್ಯ

ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರದೇಶ

ಸಂಪಾದಕರ ಆಯ್ಕೆ