ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ- ಸುಲಭದ ಕೆಲಸವಲ್ಲ.ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರು ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಐದು ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸಲು, ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

• 6552 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸೋಣ.

ಆನ್ಲೈನ್ ​​ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್.
ದ್ವಿಪದವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿ.

ಆ. \(p, q\) ಮತ್ತು \(n, m\) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕುದಿಯುತ್ತವೆ

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಲ್ಲದೆ, ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಗಳುತಯಾರಿಯಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳುಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೊದಲು ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ, ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಪೋಷಕರಿಗೆ. ಅಥವಾ ನೀವು ಬೋಧಕರನ್ನು ನೇಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಥವಾ ಹೊಸ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಖರೀದಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆಯೇ? ಅಥವಾ ನೀವು ಅದನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬೇಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಬಯಸುವಿರಾ? ಮನೆಕೆಲಸಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ತರಬೇತಿ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಕಿರಿಯ ಸಹೋದರರು ಅಥವಾ ಸಹೋದರಿಯರ ತರಬೇತಿಯನ್ನು ನೀವು ನಡೆಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದೇ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ನಮೂದಿಸಬಹುದು.

ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಅವಧಿ ಅಥವಾ ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ನಮೂದಿಸಬಹುದು ದಶಮಾಂಶಗಳುಈ ರೀತಿ: 2.5x - 3.5x^2

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು.
ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಾತ್ರ ಭಾಗದ ಅಂಶ, ಛೇದ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಛೇದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ, ಅಂಶವನ್ನು ವಿಭಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಛೇದದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: /
ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಆಂಪರ್ಸಂಡ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: &
ಇನ್‌ಪುಟ್: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ಫಲಿತಾಂಶ: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ ನೀವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

ಉದಾಹರಣೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ

ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \ಬಲ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\ಎಡ (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $2\ಎಡ(x+\frac(1)(2) \ಬಲಕ್ಕೆ)^2-\frac(9)(2) $$ ಉತ್ತರ:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ ಅಪವರ್ತನ.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\ಎಡ(x^2+x-2 \ಬಲ) = $$
$$ 2 \ಎಡ(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \ಎಡ(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \ಬಲ) = $$ $$ 2 \ಎಡ(x -1 \ಬಲ) \ಎಡ(x +2 \ಬಲ) $$ ಉತ್ತರ:$$2x^2+2x-4 = 2 \ಎಡ(x -1 \ಬಲ) \ಎಡ(x +2 \ಬಲ) $$

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೆಲವು ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದೇ ಇರಬಹುದು ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು.
ನೀವು AdBlock ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿರಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಪುಟವನ್ನು ರಿಫ್ರೆಶ್ ಮಾಡಿ.

ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಜನರು ಸಿದ್ಧರಿದ್ದಾರೆ, ನಿಮ್ಮ ವಿನಂತಿಯನ್ನು ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಕೆಲವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ.
ದಯಮಾಡಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ ಸೆಕೆಂಡ್...

ನೀನೇನಾದರೂ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ನಂತರ ನೀವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಫಾರ್ಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
ಮರೆಯಬೇಡ ಯಾವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿನೀವು ಏನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೀರಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಿ.

ನಮ್ಮ ಆಟಗಳು, ಒಗಟುಗಳು, ಎಮ್ಯುಲೇಟರ್‌ಗಳು:

ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ.

ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಚೌಕ ತ್ರಿಪದಿಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು

ಚದರ ತ್ರಿಪದಿಯ ಕೊಡಲಿ 2 +bx+c ಅನ್ನು a(x+p) 2 +q ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, p ಮತ್ತು q ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಚದರ ತ್ರಿಪದಿ, ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ 2x 2 +12x+14 ನಿಂದ ನಾವು ದ್ವಿಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 6x ಅನ್ನು 2*3*x ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಊಹಿಸಿ, ತದನಂತರ 3 2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

ಅದು. ನಾವು ಚೌಕ ತ್ರಿಪದಿಯಿಂದ ಚೌಕ ದ್ವಿಪದವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು

ಚದರ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಕೊಡಲಿ 2 +bx+c ಅನ್ನು a(x+n)(x+m) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಮತ್ತು m ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯ ಅಪವರ್ತನ.

ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸೋಣ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ 2x 2 +4x-6 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸೋಣ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅಂದರೆ. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 2x ಅನ್ನು 3x-1x ಎಂದು ಮತ್ತು -3 ಅನ್ನು -1*3 ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

ಅದು. ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದು ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ, ಈ ತ್ರಿಪದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ 2x 2 +4x-6 =0 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ 2x 2 +4x-6 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅಪವರ್ತನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, 2x 2 + 4x-6 = 0 ಸಮೀಕರಣವು 1 ಮತ್ತು -3 ಎಂಬ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ, 2(x-1)(x+3)=0 ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಪವರ್ತನದ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ಅಪವರ್ತನದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ 4 ರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

8 ಅನ್ನು 2 * 4 ರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ.

ಇದು 8 ರ ಏಕೈಕ ಅಪವರ್ತನವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, 4 ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ 8 ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

ನಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಅಪವರ್ತನವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಉತ್ತರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

24 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ

24 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೆ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ?

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ 8 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ 8 ರ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 24 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಿಯೋಜನೆಯು "ಸಂಖ್ಯೆ 24 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ, 3 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು 8 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವಲ್ಲ.

ಈ ಲೇಖನವು ಹಾಳೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಭಾಗಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು?

ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಫಾರ್ಮ್ 2 · 7 · 7 · 23 ರ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾವು 2, 7, 7, 23 ರೂಪದಲ್ಲಿ 4 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಅಪವರ್ತನವು ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು 30 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊಳೆಯಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು 2, 3, 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಮೂದು 30 = 2 · 3 · 5 ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. 144 ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು 144 = 2 2 2 2 3 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೊಳೆಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿಲ್ಲ. 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಪವರ್ತನಗೊಂಡಾಗ, 1 ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದಲೇ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ.

z ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು a ಮತ್ತು b ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ z ಅನ್ನು a ಮತ್ತು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ p 1, p 2, ..., p n ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ a = p 1 , p 2 , ... , p n . ವಿಘಟನೆಯು ಒಂದೇ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ

ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪದವಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊಳೆಯುವಾಗ, ನಾವು p 1 ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು s 1 ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು p n – s n ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆ ರೂಪ ಪಡೆಯಲಿದೆ a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. ಈ ನಮೂದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಪವರ್ತನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

609840 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 609 840 = 2 2 2 3 3 5 7 11 11 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಸರಿಯಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಪಾಯಿಂಟ್ p 1, p 2, ..., p n ರೂಪದ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a , a 1 , a 2 , ... , a n - 1, ಇದು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ a = p 1 a 1, ಅಲ್ಲಿ a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , ಅಲ್ಲಿ a 2 = a 1: p 2 , ... , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , ಅಲ್ಲಿ a n = a n - 1: p n. ರಶೀದಿಯ ಮೇಲೆ a n = 1, ನಂತರ ಸಮಾನತೆ a = p 1 · p 2 · … · p nನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಗತ್ಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. z ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2, 3, 5, 11 ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ z ಅನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ. z ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವು z ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. z ನ ಯಾವುದೇ ಭಾಜಕಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಆಗ z ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಂಖ್ಯೆ 87 ರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅದನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 87: 2 = 43 ಅನ್ನು 1 ರ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. 2 ಭಾಜಕವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮಾಡಬೇಕು. 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 87: 3 = 29 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತೀರ್ಮಾನವು 3 ಎಂಬುದು 87 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ a. 95 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಸುಮಾರು 10 ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು ಮತ್ತು 846653 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವಾಗ ಸುಮಾರು 1000 ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.

ವಿಭಜನೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

• ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಜಕ p 1 ನ ಚಿಕ್ಕ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ a 1 = a: p 1, ಯಾವಾಗ a 1 = 1, ನಂತರ a ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ a = p 1 · a 1 ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅನುಸರಿಸಿ;
• ಸಂಖ್ಯೆ a 1 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕ p 2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು 2 = a 1: p 2 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ , ಯಾವಾಗ a 2 = 1 , ನಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ a = p 1 p 2 , ಯಾವಾಗ a 2 = 1, ನಂತರ a = p 1 p 2 a 2 , ಮತ್ತು ನಾವು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ;
• ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕುವುದು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಪು 3ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 2ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ a 3 = a 2: p 3 ಯಾವಾಗ a 3 = 1 , ನಂತರ ನಾವು a = p 1 p 2 p 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ , 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, a = p 1 p 2 p 3 a 3 ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ;
• ಪ್ರಧಾನ ಭಾಜಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಪಿ ಎನ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a n - 1ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ pn - 1, ಮತ್ತು a n = a n - 1: p n, ಅಲ್ಲಿ a n = 1, ಹಂತವು ಅಂತಿಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು a = p 1 · p 2 · ... · p n ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲಂಬ ಪಟ್ಟಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೊಳೆತ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಮೂಲ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 2

78 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು 78 ರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು 78: 2 = 39. ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ವಿಭಜನೆ ಎಂದರೆ ಇದು ಮೊದಲ ಸರಳ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು p 1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39 ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು a = p 1 · a 1 ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ , ಅಲ್ಲಿ 78 = 2 39. ನಂತರ 1 = 39, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವತ್ತ ಗಮನಹರಿಸೋಣ p2ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1 = 39. ನೀವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಬೇಕು, ಅಂದರೆ, 39: 2 = 19 (ಉಳಿದ 1). ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದ, 2 ಭಾಜಕವಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು 39: 3 = 13 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ p 2 = 3 ಒಂದು 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 ರಿಂದ 39 ರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ a = p 1 p 2 a 2 78 = 2 3 13 ರೂಪದಲ್ಲಿ. 2 = 13 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು.

2 = 13 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವು 3 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಾವು 13: 3 = 4 (ಉಳಿದ 1) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರಿಂದ ನಾವು 13 ಅನ್ನು 5, 7, 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ 13: 5 = 2 (ಉಳಿದ. 3), 13: 7 = 1 (ಉಳಿದ. 6) ಮತ್ತು 13: 11 = 1 (ಉಳಿದ. 2) . 13 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. ನಾವು 3 = 1 ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು. ಈಗ ಅಂಶಗಳನ್ನು 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: 78 = 2 3 13.

ಉದಾಹರಣೆ 3

83,006 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲ ಹಂತವು ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಪು 1 = 2ಮತ್ತು a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, ಅಲ್ಲಿ 83,006 = 2 · 41,503.

ಎರಡನೇ ಹಂತವು 1 = 41,503 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 2, 3 ಮತ್ತು 5 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ 7 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 41,503: 7 = 5,929. ನಾವು p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929 ಎಂದು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 83,006 = 2 7 5 929.

a 3 = 847 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ p 4 ರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು 7 ಆಗಿದೆ. a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, ಆದ್ದರಿಂದ 83 006 = 2 7 7 7 121 ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು.

a 4 = 121 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಧಾನ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು 11 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, p 5 = 11. ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, ಮತ್ತು 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ a 5 = 11ಸಂಖ್ಯೆ ಪು 6 = 11ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಧಾನ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. ನಂತರ 6 = 1. ಇದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಶಗಳನ್ನು 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಕೇತವು 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

ಉದಾಹರಣೆ 4

897,924,289 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, 2 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಿ. ಹುಡುಕಾಟದ ಅಂತ್ಯವು 937 ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 ಮತ್ತು 897 924 289 = 937 958 297.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಹಂತವು ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು 937 ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 967 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು 1 = 958,297 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು p 2 = 967 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 ಮತ್ತು 897 924 289 = 937 967 991.

ಮೂರನೇ ಹಂತವು 991 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು 991 ಅನ್ನು ಮೀರದ ಏಕೈಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು 991 ಆಗಿದೆ< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . ಇದು p 3 = 991 ಮತ್ತು a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1 ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 897 924 289 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು 897 924 289 = 937 967 991 ಎಂದು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: 897 924 289 = 937 967 991.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು. ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದಾಗ, ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿ ಇದೆ. ಇದನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

10 ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಟೇಬಲ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: 2 · 5 = 10. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ಮತ್ತು 5 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು 10 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

48 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊಳೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಟೇಬಲ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: 48 = 6 8. ಆದರೆ 6 ಮತ್ತು 8 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು 6 = 2 3 ಮತ್ತು 8 = 2 4 ಎಂದು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಇಲ್ಲಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು 48 = 6 8 = 2 3 2 4 ಎಂದು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಕೇತವು 48 = 2 4 · 3 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

3400 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊಳೆಯುವಾಗ, ನೀವು ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 10 ಮತ್ತು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು 3,400 = 34 · 100 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ 100 ಅನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ 100 = 10 · 10 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 3,400 = 34 · 10 · 10. ವಿಭಜನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿವೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ 3 400 = 2 3 5 2 17.

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ನಾವು ವಿಭಜನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು 75 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಊಹಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ನೀವು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು 75 = 5 15 ಮತ್ತು 15 = 3 5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯು 75 = 5 · 3 · 5 ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೊಳೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು?

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುವು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಈ ಪದಗುಚ್ಛದಲ್ಲಿ "ಅಂಶಗಳು" ಎಂಬ ಪದವು ಇರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ ಮತ್ತು "ಸರಳ" ಎಂಬ ಅರ್ಹತೆಯ ಪದವು ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2·7·7·23 ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಿವೆ: 2, 7, 7 ಮತ್ತು 23.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು?

ಇದರರ್ಥ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 2, 3 ಮತ್ತು 5 ರ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದು 30 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ 30 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಘಟನೆಯು 2·3·5 ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: 30=2·3·5. ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ: 144=2·2·2·2·3·3. ಆದರೆ 45=3·15 ರೂಪದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 15 ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಶ್ನೆ: "ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು?"

ಅದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರದ ಹುಡುಕಾಟದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಹಲವಾರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಬಹುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಒಂದನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದೇ?

ಸರಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೇವಲ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - ಒಂದು ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ z ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು z ಅನ್ನು a ಮತ್ತು b ಎರಡರಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು z ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಳತೆಯಿಂದಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವತಃ ವಿಘಟನೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ.

ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತವೆಯೇ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿವೆಯೇ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಹಲವಾರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ದೃಢವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು p 1, p 2, ..., p n, ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯು a = p 1 · p 2 · ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ … · p n, ಮತ್ತು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ

ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಘಟನೆಯಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ p 1 s 1 ಬಾರಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶ p 2 – s 2 ಬಾರಿ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, p n – s n ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಧಾನ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. ಈ ರೀತಿಯ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಭಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. ವಿಘಟನೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಂಕೇತವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಲು, ಲೇಖನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಉತ್ತಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಮೀರಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ, ಎ 1, ಎ 2, ..., ಎ n-1 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ p 1, p 2, ..., p n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಇದು ಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. a=p 1 ·a 1, ಅಲ್ಲಿ a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, ಅಲ್ಲಿ a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n, ಅಲ್ಲಿ a n =a n-1:p n . ಇದು n =1 ಎಂದು ತಿರುಗಿದಾಗ, ಸಮಾನತೆ a=p 1 ·p 2 ·...·p n ನಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಂಬುದನ್ನೂ ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕು p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. z ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (2, 3, 5, 7, 11, ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವು) ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ z ಅನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. z ಅನ್ನು ಸಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಿದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. z ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವು z ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. z ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, z ನಿಂದ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೀರದಿರುವಲ್ಲಿ, z ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಭಾಜಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು z ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು (ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜಿತ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ )

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, 87 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. 87 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು 87: 2 = 43 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉಳಿದ 1) (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಅಂದರೆ, 87 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಶೇಷವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 2 ಸಂಖ್ಯೆ 87 ರ ಭಾಜಕವಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಮುಂದಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಆಗಿದೆ. 87 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು 87: 3=29 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 87 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ 3 87 ರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಲು, ನಮಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯವರೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಈ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕೈಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 95 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲು, ನಮಗೆ 10 ರವರೆಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಟೇಬಲ್ ಮಾತ್ರ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (10 ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಮತ್ತು 846,653 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊಳೆಯಲು, ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ 1,000 ವರೆಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ (1,000 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ).

ನಾವು ಈಗ ಬರೆಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊಳೆಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

• ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು 1 =a:p 1 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. a 1 =1 ಆಗಿದ್ದರೆ, a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಸ್ವತಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. a 1 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು a=p 1 ·a 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.
• a 1 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 2 ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾವು p 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ 2 =a 1:p 2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. a 2 =1 ಆಗಿದ್ದರೆ, a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು a=p 1 ·p 2 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು 2 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು a=p 1 ·p 2 ·a 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.
• ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುವಾಗ, p 2 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, a 2 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 3 ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು 3 =a 2:p 3 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. a 3 =1 ಆಗಿದ್ದರೆ, a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು a=p 1 ·p 2 ·p 3 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು 3 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.
• ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಂಗಡಿಸುವ ಮೂಲಕ a n-1 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕ p n ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, p n-1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಹಾಗೆಯೇ n =a n-1:p n, ಮತ್ತು n 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಹಂತವಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲಿ ನಾವು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಘಟನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, a 1, a 2, ..., a n ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ - ಅನುಗುಣವಾದ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳು p 1, p 2, ..., p n.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಅನ್ವಯದ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಈಗ ನಾವು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಕೊಳೆಯುವಾಗ, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಕ್ರಮೇಣ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

78 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು a=78 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 1 ಗಾಗಿ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ 78 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು 78: 2 = 39 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 78 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ p 1 =2 78 ರ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a 1 =a:p 1 =78:2=39. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು 78=2·39 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ a=p 1 ·a 1 ಸಮಾನತೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 1 =39 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ ನಾವು a 1 =39 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 2 ಅನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು p 1 =2 ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. 39 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು 39: 2=19 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉಳಿದ 1). 39 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಸಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ 2 ಅದರ ಭಾಜಕವಲ್ಲ. ನಂತರ ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಸಂಖ್ಯೆ 3) ಮತ್ತು 39 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು 39: 3=13 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, p 2 =3 ಸಂಖ್ಯೆ 39 ರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. ನಾವು 78=2·3·13 ರೂಪದಲ್ಲಿ a=p 1 ·p 2 ·a 2 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. 2 =13 1 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು 2 =13 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಂಖ್ಯೆ 13 ರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 3 ರ ಹುಡುಕಾಟದಲ್ಲಿ, ನಾವು p 2 =3 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 13 ಅನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 13:3=4 (ಉಳಿದ. 1), 13 ರಿಂದ 5, 7 ಮತ್ತು 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ 13:5=2 (ಉಳಿದ. 3), 13:7=1 (ವಿಶ್ರಾಂತಿ. 6) ಮತ್ತು 13:11=1 (ಉಳಿದ. 2). ಮುಂದಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 13, ಮತ್ತು 13 ಅನ್ನು ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ, 13 ರ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕ p 3 ಸಂಖ್ಯೆ 13 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು 3 =a 2:p 3 =13:13=1. ಒಂದು 3 =1 ರಿಂದ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಈ ಹಂತವು ಕೊನೆಯದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 78 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

78=2·3·13.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ 83,006 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು p 1 =2 ಮತ್ತು 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದ 83,006=2·41,503.

ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, 2, 3 ಮತ್ತು 5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1 = 41,503 ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ 41,503:7=5,929 ರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 83,006=2 7 5 929.

2 =5 929 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವು 5 929:7 = 847 ರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, ಇದರಿಂದ 83 006 = 2·7·7·847.

ಮುಂದೆ ನಾವು a 3 =847 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 4 7 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, ಆದ್ದರಿಂದ 83 006=2·7·7·7·121.

ಈಗ ನಾವು a 4 =121 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದು p 5 =11 ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (121 ಅನ್ನು 11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು 7 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ನಂತರ a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, ಮತ್ತು 83 006=2·7·7·7·11·11.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, a 5 =11 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಕ್ಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವು p 6 =11 ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 ರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಈ ಹಂತವು ಕೊನೆಯದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಭಜನೆಯು 83 006 = 2·7·7·7·11·11 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾದ 83 006 = 2·7 3 ·11 2 ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಘಟನೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು 991 ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

ಉತ್ತರ:

897 924 289 = 937 967 991 .

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಸರಳ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಲೇಖನದ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸದೆ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು. ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು 10 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ 2·5=10, ಮತ್ತು 2 ಮತ್ತು 5 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನವು 10=2·5 ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು 48 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆರು ಎಂಟು - ನಲವತ್ತೆಂಟು, ಅಂದರೆ 48 = 6 · 8 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 6 ಅಥವಾ 8 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ. ಆದರೆ ಎರಡು ಬಾರಿ ಮೂರು ಆರು, ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಾರಿ ನಾಲ್ಕು ಎಂಟು, ಅಂದರೆ 6=2·3 ಮತ್ತು 8=2·4 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಂತರ 48=6·8=2·3·2·4. ಎರಡು ಬಾರಿ ಎರಡು ನಾಲ್ಕು ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಳಿದಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಬಯಸಿದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2 ಆಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ: 48=2 4 ·3.

ಆದರೆ 3,400 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸುವಾಗ, ನೀವು ವಿಭಜನೆಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. 10, 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು 3,400 ಅನ್ನು 100 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, 3,400=34·100, ಮತ್ತು 100 ಅನ್ನು 10 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, 100=10·10, ಆದ್ದರಿಂದ, 3,400=34·10·10 ಎಂದು ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳು 34, 10 ಮತ್ತು 10 ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂಶಗಳು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೋಗುವಂತೆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಭಾಗಾಕಾರದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕ ಎರಡನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ 75 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು 75 ಅನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು 75 = 5·15 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಮಗೆ 15=3·5, ಆದ್ದರಿಂದ, 75=5·3·5 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ 75 ರ ಅಗತ್ಯ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಎನ್.ಯಾ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಗಣಿತ. 6 ನೇ ತರಗತಿ: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.
• ವಿನೋಗ್ರಾಡೋವ್ I.M. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು.
• ಮಿಖೆಲೋವಿಚ್ Sh.H. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ.
• ಕುಲಿಕೋವ್ ಎಲ್.ಯಾ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ: ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿಶೇಷತೆಗಳು.