മൂന്ന് വെക്‌ടറുകളുടെയും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളുടെയും മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം

സമ്മിശ്ര ജോലിമൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിയുക്തമാക്കിയത് . ഇവിടെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളെ വെക്‌റ്റോറിയലായി ഗുണിക്കുകയും തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന വെക്‌ടറിനെ മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറുകൊണ്ട് സ്‌കെലാർ ആയി ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു ഉൽപ്പന്നം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്.

ഒരു മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

1. ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംസമ്മിശ്ര ജോലി. 3 വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം, ഒരു അടയാളം വരെ, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തര പൈപ്പിൻ്റെ വോള്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അരികുകളിലുള്ളത്, അതായത്. .

   അങ്ങനെ, ഒപ്പം .

   

   തെളിവ്. നമുക്ക് പൊതുവായ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് വെക്റ്ററുകൾ മാറ്റിവെച്ച് അവയിൽ ഒരു സമാന്തര പൈപ്പ് നിർമ്മിക്കാം. നമുക്ക് അത് സൂചിപ്പിക്കുകയും ശ്രദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യാം. സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം

   എന്ന് അനുമാനിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എച്ച്സമാന്തര പൈപ്പിൻ്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുക.

   അങ്ങനെ, എപ്പോൾ

   എങ്കിൽ, അങ്ങനെ. അതിനാൽ, .

   ഈ രണ്ട് കേസുകളും സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും അല്ലെങ്കിൽ .

   ഈ വസ്തുവിൻ്റെ തെളിവിൽ നിന്ന്, പ്രത്യേകിച്ച്, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ വലംകൈയാണെങ്കിൽ, മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നം , ഇടത് കൈയാണെങ്കിൽ, അത് പിന്തുടരുന്നു.

2. ഏത് വെക്‌ടറുകൾക്കും, സമത്വം ശരിയാണ്

   ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടി 1 ൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. തീർച്ചയായും, അത് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് ഒപ്പം . മാത്രമല്ല, "+", "-" എന്നീ അടയാളങ്ങൾ ഒരേസമയം എടുക്കുന്നു, കാരണം വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണുകൾ നിശിതവും മങ്ങിയതുമാണ്.

3. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ, മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം അടയാളം മാറുന്നു.

   തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ ഒരു മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ

4. ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം.

   തെളിവ്.

   അങ്ങനെ, 3 വെക്റ്ററുകളുടെ കോപ്ലാനാരിറ്റിക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ, അവയുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ്. കൂടാതെ, മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കുന്നു എങ്കിൽ .

   വെക്റ്ററുകൾ കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിലാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, അവയുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം സൂത്രവാക്യം വഴി കണ്ടെത്തുന്നുവെന്ന് കാണിക്കാം:

   .

   അങ്ങനെ, മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം മൂന്നാം-ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റിന് തുല്യമാണ്, അതിൽ ആദ്യ വരിയിലെ ആദ്യ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ രണ്ടാമത്തെ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും മൂന്നാം വരിയിലെ മൂന്നാമത്തെ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും ഉണ്ട്.

   ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ബഹിരാകാശത്ത് അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതി

സമവാക്യം F(x, y, z)= 0 ബഹിരാകാശത്ത് നിർവചിക്കുന്നു ഓക്സിസ്ചില ഉപരിതലം, അതായത്. കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനം x, y, zഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക. ഈ സമവാക്യത്തെ ഉപരിതല സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ x, y, z- നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

എന്നിരുന്നാലും, പലപ്പോഴും ഉപരിതലം ഒരു സമവാക്യം മുഖേനയല്ല, മറിച്ച് ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വസ്തുവോ ഉള്ള ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകളായി കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഉപരിതലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

വിമാനം.

സാധാരണ പ്ലെയിൻ വെക്റ്റർ.

ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ തലം σ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ തലത്തിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു വെക്‌ടറും ചില നിശ്ചിത പോയിൻ്റും വ്യക്തമാക്കിയാണ് അതിൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. M0(x 0, y 0, z 0), σ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്നു.

σ വിമാനത്തിന് ലംബമായ വെക്റ്ററിനെ വിളിക്കുന്നു സാധാരണഈ വിമാനത്തിൻ്റെ വെക്റ്റർ. വെക്റ്ററിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ.

ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന σ വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം M0ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉള്ളതും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, σ വിമാനത്തിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ് എടുക്കുക M(x, y, z)കൂടാതെ വെക്റ്റർ പരിഗണിക്കുക.

ഏത് പോയിൻ്റിനും എംО σ ഒരു വെക്റ്റർ ആയതിനാൽ, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ സമത്വമാണ് പ്രധാന വ്യവസ്ഥ എംഓ σ. ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും ഇത് സാധുതയുള്ളതാണ്, പോയിൻ്റ് ഉടൻ ലംഘിക്കപ്പെടും എംσ വിമാനത്തിന് പുറത്തായിരിക്കും.

റേഡിയസ് വെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ പോയിൻ്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ എം, – പോയിൻ്റിൻ്റെ ആരം വെക്റ്റർ M0, അപ്പോൾ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതാം

ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വെക്റ്റർവിമാന സമവാക്യം. നമുക്ക് ഇത് കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം. അന്ന് മുതൽ

അതിനാൽ, ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും വിമാനത്തിൽ കിടക്കുന്ന ചില പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യമാണ് വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. x, yഒപ്പം z.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

വിമാനത്തിൻ്റെ പൊതു സമവാക്യം

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏതെങ്കിലും ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രി സമവാക്യം കാണിക്കാം x, y, zചില വിമാനങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

Ax+By+Cz+D=0

എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു പൊതുവായ സമവാക്യംവിമാനം, കോർഡിനേറ്റുകൾ എ, ബി, സിവിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഇതാ.

പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വിമാനം എങ്ങനെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

A എന്നത് അച്ചുതണ്ടിൽ തലം മുറിച്ച ഭാഗത്തിൻ്റെ നീളമാണ് കാള. അതുപോലെ, അത് കാണിക്കാം ബിഒപ്പം സി- അച്ചുതണ്ടിൽ പരിഗണനയിലുള്ള വിമാനം മുറിച്ച ഭാഗങ്ങളുടെ നീളം അയ്യോഒപ്പം ഓസ്.

വിമാനങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് സെഗ്മെൻ്റുകളിൽ ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

7.1 ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം

മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറിൻ്റെ അറ്റത്ത് നിന്ന് ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ വെക്‌ടറിലേക്കുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിവ് കാണുകയാണെങ്കിൽ, സൂചിപ്പിച്ച ക്രമത്തിൽ എടുത്ത മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്‌ടറുകൾ a, b, c എന്നിവ വലംകൈ ട്രിപ്പിൾ ആയി മാറുന്നു. എതിർ ഘടികാരദിശയിലായിരിക്കുക, ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ ഇടത് കൈ ട്രിപ്പിൾ (ചിത്രം. 16 കാണുക).

വെക്റ്റർ എ, വെക്റ്റർ ബി എന്നിവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്റ്റർ സി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത്:

1. വെക്‌ടറുകൾക്ക് ലംബമായി a, b, അതായത് c ^ a, c ^ ബി ;

2. വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായ നീളം ഉണ്ട്ബിവശങ്ങളിലെന്നപോലെ (ചിത്രം 17 കാണുക), അതായത്.

3. വെക്‌ടറുകൾ a, b, c എന്നിവ വലംകൈ ട്രിപ്പിൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു x b അല്ലെങ്കിൽ [a,b] എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഞാൻ നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു, ജെഒപ്പം കെ(ചിത്രം 18 കാണുക):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം i xj =k.

1) കെ ^ ഐ, കെ ^ ജെ ;

2) |k |=1, എന്നാൽ | i x j| = |ഞാൻ | |ജെ | പാപം(90°)=1;

3) വെക്‌ടറുകൾ i, j ഒപ്പം കെശരിയായ ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തുക (ചിത്രം 16 കാണുക).

7.2 ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ

1. ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം അടയാളം മാറുന്നു, അതായത്. കൂടാതെ xb =(b xa) (ചിത്രം 19 കാണുക).

വെക്‌ടറുകൾ a xb, b xa എന്നിവ കോളിനിയർ ആണ്, ഒരേ മൊഡ്യൂളുകൾ ഉണ്ട് (സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു), എന്നാൽ വിപരീത ദിശയിലാണ് (ട്രിപ്പിൾസ് a, b, a xb, a, b, b x a വിപരീത ദിശാബോധം). അതാണ് axb = -(b xa).

2. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് സ്കെയിലർ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു സംയോജന ഗുണമുണ്ട്, അതായത് l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0 എന്ന് അനുവദിക്കുക. വെക്റ്റർ l (a xb) വെക്‌ടറുകൾ a, b എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമാണ്. വെക്റ്റർ ( എൽ a)x ബിവെക്‌ടറുകൾക്ക് ലംബമായും a and ബി(വെക്‌ടറുകൾ a, എൽഎന്നാൽ അതേ വിമാനത്തിൽ കിടക്കുക). ഇതിനർത്ഥം വെക്റ്ററുകൾ എന്നാണ് എൽ(എ xb) കൂടാതെ ( എൽ a)x ബികോളിനിയർ. അവരുടെ ദിശകൾ യോജിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അവയ്ക്ക് ഒരേ നീളമുണ്ട്:

അതുകൊണ്ടാണ് എൽ(a xb)= എൽഒരു xb. ഇത് സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് എൽ<0.

3. പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ a ഒപ്പം ബിഅവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യം വെക്‌ടറിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം കോളിനിയർ ആകുന്നു, അതായത് a ||b<=>കൂടാതെ xb =0.

പ്രത്യേകിച്ചും, i *i =j *j =k *k =0 .

4. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് വിതരണ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്:

(a+b) xc = a xc + ബി xs.

തെളിവില്ലാതെ ഞങ്ങൾ അംഗീകരിക്കും.

7.3 കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് ടേബിൾ ഉപയോഗിക്കും i, ജെകൂടാതെ കെ:

ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേക്കുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പാതയുടെ ദിശ അമ്പടയാളത്തിൻ്റെ ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഉൽപ്പന്നം മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറിന് തുല്യമാണ്, അത് പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ വെക്റ്റർ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തോടെ എടുക്കും.

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ a =a x i +a y നൽകട്ടെ ജെ+a z കെകൂടാതെ b =b x ഐ+ബി വൈ ജെ+b z കെ. ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ പ്രോഡക്‌ട് പോളിനോമിയലുകളായി ഗുണിച്ച് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം (വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്):

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യം കൂടുതൽ ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

സമത്വത്തിൻ്റെ വലത് വശം (7.1) ഒന്നാം നിരയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ (7.2) മൂന്നാം-ഓർഡറിൻ്റെ വികാസവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

7.4 ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ചില പ്രയോഗങ്ങൾ

വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റി സ്ഥാപിക്കുന്നു

ഒരു സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെയും ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നു

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് എകൂടാതെ ബി |എ xb | =|എ | * |b |sin g, അതായത് S ജോഡികൾ = |a x b |. അതിനാൽ, D S =1/2|a x b |.

ഒരു പോയിൻ്റിനെക്കുറിച്ചുള്ള ശക്തിയുടെ നിമിഷം നിർണ്ണയിക്കൽ

പോയിൻ്റ് എയിൽ ഒരു ബലം പ്രയോഗിക്കാം F =ABഅതിനെ പോകാൻ അനുവദിക്കുക കുറിച്ച്- ബഹിരാകാശത്ത് ചില പോയിൻ്റുകൾ (ചിത്രം 20 കാണുക).

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്ന് അത് അറിയപ്പെടുന്നു ശക്തിയുടെ നിമിഷം എഫ് ബിന്ദുവിനോട് ആപേക്ഷികം കുറിച്ച്വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം,പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത് കുറിച്ച്ഒപ്പം:

1) പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിന് ലംബമായി ഒ, എ, ബി;

2) സംഖ്യാപരമായി ഓരോ ഭുജത്തിനും ശക്തിയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്

3) OA, A B എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് ട്രിപ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

അതിനാൽ, M = OA x F.

രേഖീയ ഭ്രമണ വേഗത കണ്ടെത്തുന്നു

വേഗത വികോണീയ പ്രവേഗത്തിൽ കറങ്ങുന്ന ദൃഢമായ ശരീരത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് M wഒരു നിശ്ചിത അക്ഷത്തിന് ചുറ്റും, യൂലറുടെ ഫോർമുല v =w xr കൊണ്ടാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, ഇവിടെ r =OM, ഇവിടെ O എന്നത് അക്ഷത്തിൻ്റെ ചില നിശ്ചിത ബിന്ദുവാണ് (ചിത്രം 21 കാണുക).

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയം നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ഒരു →, b →, c → എന്ന ക്രമീകരിച്ച ട്രിപ്പിൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ്റെ ചോദ്യത്തിലേക്ക് തിരിയാം.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററുകൾ a → , b → , c → ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കാം. ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്നിവയുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച് വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം. ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → വെക്‌ടറിൻ്റെ അവസാനം മുതൽ വെക്‌ടർ a → മുതൽ b → വരെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിയുന്ന ദിശയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും.

ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിവ് എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശരിയാണ്ഘടികാരദിശയിലാണെങ്കിൽ - ഇടത്തെ.

അടുത്തതായി, a →, b → എന്നീ രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്‌ടറുകൾ എടുക്കുക. അപ്പോൾ നമുക്ക് എ ബി → = എ →, എ സി → = ബി → എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ എ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം. നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാം A D → = c →, അത് A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേസമയം ലംബമാണ്. അങ്ങനെ, വെക്റ്റർ തന്നെ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, A D → = c →, നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഒരു ദിശയോ വിപരീതമോ നൽകാം (ചിത്രം കാണുക).

വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, വെക്‌ടറുകളുടെ ഒരു ഓർഡർ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം.

മുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനം പരിചയപ്പെടുത്താം. ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഈ നിർവ്വചനം നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 1

a →, b → എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന അത്തരമൊരു വെക്റ്ററിനെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും:

• a →, b → വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അത് പൂജ്യമായിരിക്കും;
• ഇത് വെക്റ്റർ a → , വെക്റ്റർ b → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായിരിക്കും, അതായത്. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• അതിൻ്റെ നീളം സൂത്രവാക്യം നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• വെക്‌ടറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ a → , b → , c → എന്നിവയ്‌ക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അതേ ഓറിയൻ്റേഷൻ ഉണ്ട്.

a →, b → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്റ്റിന് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്: a → × b → .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ

ഏതൊരു വെക്റ്ററിനും കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ചില കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് വെക്റ്ററുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

നിർവ്വചനം 2

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ a → = (a x ; a y ; a z), b → = (b x ; b y ; b z) എന്നീ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം വെക്‌ടറിനെ വിളിക്കുന്നു c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , എവിടെയാണ് i → co →

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു മൂന്നാം-ഓർഡർ സ്ക്വയർ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അവിടെ ആദ്യ വരിയിൽ വെക്റ്റർ വെക്റ്ററുകൾ i → , j → , k → , രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ വെക്റ്റർ a → , മൂന്നാമത്തെ വരി എന്നിവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ വെക്റ്റർ b → യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഇതാണ് മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നത്: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b

ഈ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കുന്നു: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ix → b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ മാട്രിക്സ് c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z എന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്ന് അറിയാം. മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ സവിശേഷതകൾഇനിപ്പറയുന്നവ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ:

1. ആൻ്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി a → × b → = - b → × a → ;
2. വിതരണക്ഷമത a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. അസോസിയേറ്റിവിറ്റി λ a → × b → = λ a → × b → അല്ലെങ്കിൽ a → × (λ b →) = λ a → × b →, ഇവിടെ λ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

ഈ ഗുണങ്ങൾക്ക് ലളിതമായ തെളിവുകളുണ്ട്.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആൻ്റികമ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാനാകും.

ആൻ്റികമ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ തെളിവ്

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. മാട്രിക്സിൻ്റെ രണ്ട് വരികൾ പരസ്പരം മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറണം, അതിനാൽ, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b ax = - i → j → k - b → × a → , ഇത് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ആൻ്റികമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം - ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

മിക്ക കേസുകളിലും, മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും സാധാരണയായി നൽകിയിരിക്കുന്നു, നിങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

ഉദാഹരണം 1

നിങ്ങൾക്ക് a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക a →, b →.

പരിഹാരം

a →, b → വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

ഉത്തരം: 15 2 2 .

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധമുണ്ട്, അവയിൽ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം, അതിൻ്റെ നീളം മുതലായവ. നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിലൂടെ തിരയുന്നു a → = (a x; a y; a z) ഒപ്പം b → = (b x ; b y ; b z) .

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ടാസ്ക് ഓപ്ഷനുകൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളല്ല, ഫോമിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് വെക്‌ടറുകളിലേക്കുള്ള അവയുടെ വികാസം വ്യക്തമാക്കാം. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → കൂടാതെ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ വെക്‌ടറുകൾ a → യുടെ കോർഡിനേറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ആരംഭിക്കാം. അവസാന പോയിൻ്റുകളും.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). അവരുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിലൂടെ ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 -1 - 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ഉത്തരം: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ഉദാഹരണം 3

i → - j →, i → + j → + k → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക, ഇവിടെ i →, j →, k → ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളാണ്.

പരിഹാരം

ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം i → - j → × i → + j → + k →.

i → - j →, i → + j → + k → വെക്‌ടറുകൾക്ക് യഥാക്രമം (1; - 1; 0), (1; 1; 1) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് അറിയാം. മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്താം, അപ്പോൾ നമുക്ക് i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നമായ i → - j → × i → + j → + k → നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1 ; - 1 ; 2) ഉണ്ട്.

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിഭാഗം കാണുക): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

ഉത്തരം: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

ഉദാഹരണം 4

ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരേ സമയം A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് ലംബമായി ചില വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വെക്‌ടറുകൾ A B →, A C → എന്നിവയ്ക്ക് യഥാക്രമം ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 1 ; 2 ; 2), (0 ; 4 ; 1) ഉണ്ട്. A B →, A C → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ പ്രോഡക്‌ട് കണ്ടെത്തി, ഇത് A B →, A C → എന്നിവയ്‌ക്ക് നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലംബമായ വെക്‌ടറാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്, ഇത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്. നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

ഉത്തരം: - 6 i → + j → - 4 k → . - ലംബമായ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്ന്.

മൂന്നാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. ഇത് പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം നേടും.

ഉദാഹരണം 5

വെക്‌ടറുകൾ a →, b → എന്നിവ ലംബവും അവയുടെ നീളം യഥാക്രമം 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുക 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

പരിഹാരം

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വിതരണ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 എന്ന് എഴുതാം. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

അസോസിയേറ്റിവിറ്റിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം, അവസാന പദപ്രയോഗത്തിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ എടുക്കുന്നു: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ a → × a →, b → × b → എന്നിവ 0 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0, b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, തുടർന്ന് 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → . × a → .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആൻ്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ബി → . .

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് തുല്യത 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, a →, b → വെക്‌ടറുകൾ ലംബമാണ്, അതായത്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ π 2 ന് തുല്യമാണ്. കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ഉചിതമായ ഫോർമുലകളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ് ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത്: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

ഉത്തരം: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ ഉൽപന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം നിർവചനം പ്രകാരം a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനാൽ ഗുണിച്ചാൽ അതിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിൻ്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് (സ്‌കൂൾ കോഴ്‌സിൽ നിന്ന്) ഇതിനകം അറിയാവുന്നതിനാൽ. തൽഫലമായി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് - ഒരു ഇരട്ടി ത്രികോണം, അതായത് വെക്റ്ററുകളുടെ രൂപത്തിൽ വശങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം a →, b →, ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്. അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ ∠ a →, b →.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇതാണ്.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ശാഖകളിലൊന്നായ മെക്കാനിക്സിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് നന്ദി, ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ശക്തിയുടെ നിമിഷം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

നിർവ്വചനം 3

പോയിൻ്റ് എയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ബി പോയിൻ്റിലേക്ക് എഫ് → പ്രയോഗിക്കുന്ന ശക്തിയുടെ നിമിഷത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം എ ബി → × എഫ് → നമുക്ക് മനസ്സിലാകും.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുള്ള രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ കൂടി നോക്കും: വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംഒപ്പം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം (ആവശ്യമുള്ളവർക്കായി ഉടനടി ലിങ്ക്). ഇത് കുഴപ്പമില്ല, ചിലപ്പോൾ അത് പൂർണ്ണ സന്തോഷത്തിനായി സംഭവിക്കുന്നു, കൂടാതെ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം, കൂടുതൽ കൂടുതൽ ആവശ്യമാണ്. ഇത് വെക്റ്റർ ആസക്തിയാണ്. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെ കാടുകളിലേക്ക് നാം കടക്കുകയാണെന്ന് തോന്നാം. ഇത് തെറ്റാണ്. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ, പിനോച്ചിയോയ്ക്ക് വേണ്ടത്ര തടി മാത്രമേയുള്ളൂ. വാസ്തവത്തിൽ, മെറ്റീരിയൽ വളരെ സാധാരണവും ലളിതവുമാണ് - ഒരേതിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമല്ല സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം, സാധാരണ ജോലികൾ പോലും കുറവായിരിക്കും. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിലെ പ്രധാന കാര്യം, പലർക്കും ബോധ്യപ്പെടും അല്ലെങ്കിൽ ഇതിനകം ബോധ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടാകും, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ തെറ്റുകൾ വരുത്തരുത് എന്നതാണ്. ഒരു മന്ത്രവാദം പോലെ ആവർത്തിക്കുക, നിങ്ങൾ സന്തോഷവാനായിരിക്കും =)

ചക്രവാളത്തിലെ മിന്നൽ പോലെ ദൂരെ എവിടെയെങ്കിലും വെക്‌ടറുകൾ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ, അത് പ്രശ്നമല്ല, പാഠത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾവെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് പുനഃസ്ഥാപിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ വീണ്ടെടുക്കുക. കൂടുതൽ തയ്യാറാക്കിയ വായനക്കാർക്ക് വിവരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് പരിചയപ്പെടാം;

എന്താണ് നിങ്ങളെ ഉടൻ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നത്? ഞാൻ ചെറുതായിരിക്കുമ്പോൾ, എനിക്ക് രണ്ടും മൂന്നും പന്തുകൾ പോലും കൈകാര്യം ചെയ്യാമായിരുന്നു. അത് നന്നായി പ്രവർത്തിച്ചു. ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും എന്നതിനാൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് തന്ത്രങ്ങൾ മെനയേണ്ടതില്ല സ്പേഷ്യൽ വെക്റ്ററുകൾ മാത്രം, കൂടാതെ രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഫ്ലാറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും. എന്തുകൊണ്ട്? ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ജനിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ് - വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്ററും മിക്സഡ് ഉൽപ്പന്നവും നിർവചിക്കുകയും ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് ഇതിനകം എളുപ്പമാണ്!

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പോലെ ഈ പ്രവർത്തനവും ഉൾപ്പെടുന്നു രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ. ഇവ നശിക്കാത്ത അക്ഷരങ്ങളാകട്ടെ.

നടപടി തന്നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ: . മറ്റ് ഓപ്ഷനുകളുണ്ട്, എന്നാൽ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ ക്രോസ് ഉള്ള ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഈ രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ പതിവാണ്.

ഉടനെയും ചോദ്യം: അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നംരണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു എന്താണ് വ്യത്യാസം? വ്യക്തമായ വ്യത്യാസം, ഒന്നാമതായി, ഫലത്തിൽ:

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഫലം NUMBER ആണ്:

വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റിൻ്റെ ഫലം VECTOR ആണ്:, അതായത്, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകൾ ഗുണിച്ച് വീണ്ടും ഒരു വെക്റ്റർ നേടുന്നു. അടച്ച ക്ലബ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇവിടെ നിന്നാണ് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പേര് വരുന്നത്. വ്യത്യസ്ത വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യങ്ങളിൽ, പദവികൾ വ്യത്യാസപ്പെടാം;

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം

ആദ്യം ഒരു ചിത്രത്തോടുകൂടിയ ഒരു നിർവചനം ഉണ്ടാകും, തുടർന്ന് അഭിപ്രായങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം: വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം നോൺ-കോളിനിയർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്, VECTOR എന്ന് വിളിക്കുന്നു, നീളംസംഖ്യാപരമായത് സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്; വെക്റ്റർ വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനത്തിന് ശരിയായ ഓറിയൻ്റേഷൻ ഉള്ള തരത്തിൽ നയിക്കപ്പെടുന്നു:

നമുക്ക് നിർവചനം ഓരോന്നായി തകർക്കാം, ഇവിടെ രസകരമായ ഒരുപാട് കാര്യങ്ങൾ ഉണ്ട്!

അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സുപ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

1) നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച് ചുവന്ന അമ്പടയാളങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ച യഥാർത്ഥ വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയർ അല്ല. കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ കാര്യം കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമായിരിക്കും.

2) വെക്റ്ററുകൾ എടുക്കുന്നു കർശനമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ക്രമത്തിൽ: – "a" എന്നത് "be" കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, "a" കൊണ്ട് "ആയിരിക്കുക" അല്ല. വെക്റ്റർ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഫലം VECTOR ആണ്, അത് നീല നിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ റിവേഴ്സ് ഓർഡറിൽ ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ തുല്യ നീളത്തിലും വിപരീത ദിശയിലും (റാസ്ബെറി നിറം) ലഭിക്കും. അതായത് സമത്വം സത്യമാണ് .

3) ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം പരിചയപ്പെടാം. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പോയിൻ്റാണ്! നീല വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം (അതിനാൽ, ക്രിംസൺ വെക്‌ടറും) വെക്‌റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖയുടെ ഏരിയയ്‌ക്ക് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ, ഈ സമാന്തരരേഖ കറുപ്പ് ഷേഡുള്ളതാണ്.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്, കൂടാതെ, സ്വാഭാവികമായും, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നാമമാത്രമായ നീളം സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമല്ല.

നമുക്ക് ജ്യാമിതീയ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ഓർമ്മിക്കാം: ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.. അതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല സാധുവാണ്:

സൂത്രവാക്യം വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണ്, അല്ലാതെ വെക്‌ടറിനെക്കുറിച്ചല്ലെന്ന് ഞാൻ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. എന്താണ് പ്രായോഗിക അർത്ഥം? അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണം പലപ്പോഴും ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആശയത്തിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്നു എന്നതാണ് അർത്ഥം:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ പ്രധാന ഫോർമുല നേടാം. ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ ഡയഗണൽ (ചുവന്ന ഡോട്ടഡ് ലൈൻ) അതിനെ രണ്ട് തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ചുവപ്പ് ഷേഡിംഗ്) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

4) വെക്‌ടർ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ് എന്നതാണ് ഒരു പ്രധാന വസ്തുത, അതായത് . തീർച്ചയായും, വിപരീത ദിശയിലുള്ള വെക്‌ടറും (റാസ്‌ബെറി അമ്പടയാളം) യഥാർത്ഥ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

5) വെക്റ്റർ അങ്ങനെയാണ് സംവിധാനം ചെയ്തിരിക്കുന്നത് അടിസ്ഥാനംഅതിനുണ്ട് ശരിയാണ്ഓറിയൻ്റേഷൻ. എന്ന പാഠത്തിൽ ഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റംഞാൻ വേണ്ടത്ര വിശദമായി സംസാരിച്ചു വിമാന ഓറിയൻ്റേഷൻ, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്പേസ് ഓറിയൻ്റേഷൻ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തും. ഞാൻ നിങ്ങളുടെ വിരലുകളിൽ വിശദീകരിക്കും വലംകൈ. മാനസികമായി സംയോജിപ്പിക്കുക ചൂണ്ടുവിരൽവെക്റ്റർ കൂടെ നടുവിരൽവെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച്. മോതിരവിരലും ചെറുവിരലുംനിങ്ങളുടെ കൈപ്പത്തിയിൽ അമർത്തുക. തൽഫലമായി പെരുവിരൽ- വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം മുകളിലേക്ക് നോക്കും. ഇതൊരു വലത്-അധിഷ്ഠിത അടിത്തറയാണ് (ചിത്രത്തിൽ ഇതാണ്). ഇപ്പോൾ വെക്റ്ററുകൾ മാറ്റുക ( സൂചികയും നടുവിരലും) ചില സ്ഥലങ്ങളിൽ, തൽഫലമായി തള്ളവിരൽ തിരിയുകയും വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഇതിനകം താഴേക്ക് നോക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതും വലതുപക്ഷ അടിസ്ഥാനമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചോദ്യമുണ്ടാകാം: ഏത് അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ഇടത് ഓറിയൻ്റേഷൻ ഉള്ളത്? ഒരേ വിരലുകൾക്ക് "അസൈൻ ചെയ്യുക" ഇടതു കൈവെക്‌ടറുകൾ, ഇടത് അടിസ്ഥാനവും സ്ഥലത്തിൻ്റെ ഇടത് ഓറിയൻ്റേഷനും നേടുക (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തള്ളവിരൽ താഴ്ന്ന വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും). ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ അടിത്തറകൾ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് "വളച്ചൊടിക്കുക" അല്ലെങ്കിൽ ഓറിയൻ്റ് സ്പേസ്. ഈ ആശയം വിദൂരമായതോ അമൂർത്തമായതോ ആയ ഒന്നായി കണക്കാക്കരുത് - ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഥലത്തിൻ്റെ ഓറിയൻ്റേഷൻ ഏറ്റവും സാധാരണമായ കണ്ണാടിയാണ് മാറ്റുന്നത്, നിങ്ങൾ "പ്രതിഫലിക്കുന്ന വസ്തുവിനെ നോക്കുന്ന ഗ്ലാസിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ", പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ അത് അത് "ഒറിജിനൽ" എന്നതുമായി സംയോജിപ്പിക്കാൻ സാധ്യമല്ല. വഴിയിൽ, കണ്ണാടിയിൽ മൂന്ന് വിരലുകൾ പിടിച്ച് പ്രതിഫലനം വിശകലനം ചെയ്യുക ;-)

...നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അറിയുന്നത് എത്ര നല്ലതാണ് വലത്-ഇടത്-ഓറിയൻ്റഡ്അടിസ്ഥാനങ്ങൾ, കാരണം ഓറിയൻ്റേഷനിലെ മാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചില ലക്ചറർമാരുടെ പ്രസ്താവനകൾ ഭയാനകമാണ് =)

കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം

നിർവചനം വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറായിരിക്കുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ, അവ ഒരു നേർരേഖയിൽ സ്ഥാപിക്കുകയും നമ്മുടെ സമാന്തരരേഖയും ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് "മടയുകയും" ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നതുപോലെ അത്തരം മേഖലകൾ, അധഃപതിക്കുകസമാന്തരരേഖ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു - പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ 180 ഡിഗ്രിയുടെ സൈൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് ഏരിയ പൂജ്യമാണ്

അങ്ങനെ, എങ്കിൽ , പിന്നെ ഒപ്പം . വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം തന്നെ പൂജ്യം വെക്റ്ററിന് തുല്യമാണെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് പലപ്പോഴും അവഗണിക്കപ്പെടുകയും അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അവർ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു പ്രത്യേക കേസ് വെക്റ്ററിൻ്റെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റാണ്:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ത്രിമാന വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ ഈ പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം ത്രികോണമിതി പട്ടികഅതിൽ നിന്ന് സൈനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

ശരി, നമുക്ക് തീ കൊളുത്താം:

ഉദാഹരണം 1

a) എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക

b) എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: ഇല്ല, ഇതൊരു അക്ഷരത്തെറ്റല്ല, ക്ലോസുകളിലെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഞാൻ മനഃപൂർവം തന്നെ ആക്കി. കാരണം പരിഹാരങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പന വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും!

a) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് നീളംവെക്റ്റർ (ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം). അനുബന്ധ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്:

ഉത്തരം:

നിങ്ങളോട് നീളത്തെക്കുറിച്ച് ചോദിച്ചാൽ, ഉത്തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ അളവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു - യൂണിറ്റുകൾ.

ബി) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് സമചതുരം Samachathuramവെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സമാന്തരരേഖ. ഈ സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്:

ഉത്തരം:

ഞങ്ങളോട് ചോദിച്ചത് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ച് ഉത്തരം പറയുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, അതനുസരിച്ച്, അളവ് ചതുര യൂണിറ്റുകളാണ്.

വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് അനുസൃതമായി എന്താണ് കണ്ടെത്തേണ്ടതെന്ന് ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും നോക്കുന്നു, ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു വ്യക്തമായഉത്തരം. ഇത് ലിറ്ററലിസം പോലെ തോന്നാം, പക്ഷേ അധ്യാപകർക്കിടയിൽ ധാരാളം ലിറ്ററലിസ്റ്റുകൾ ഉണ്ട്, അസൈൻമെൻ്റ് പുനരവലോകനത്തിനായി തിരികെ നൽകാനുള്ള നല്ല അവസരമുണ്ട്. ഇത് പ്രത്യേകിച്ച് വിദൂരമായ ഒരു വ്യവഹാരമല്ലെങ്കിലും - ഉത്തരം തെറ്റാണെങ്കിൽ, ആ വ്യക്തിക്ക് ലളിതമായ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാകുന്നില്ലെന്നും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ചുമതലയുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കിയിട്ടില്ലെന്നും ഒരു ധാരണ ലഭിക്കും. ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലും മറ്റ് വിഷയങ്ങളിലും എന്തെങ്കിലും പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ പോയിൻ്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും നിയന്ത്രണത്തിലായിരിക്കണം.

"en" എന്ന വലിയ അക്ഷരം എവിടെ പോയി? തത്വത്തിൽ, ഇത് പരിഹാരത്തിൽ അധികമായി അറ്റാച്ചുചെയ്യാമായിരുന്നു, പക്ഷേ എൻട്രി ചെറുതാക്കാൻ, ഞാൻ ഇത് ചെയ്തില്ല. എല്ലാവരും അത് മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, ഇത് ഒരേ കാര്യത്തിനുള്ള ഒരു പദവിയാണ്.

DIY പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ജനപ്രിയ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 2

എങ്കിൽ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിനുള്ള അഭിപ്രായങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. പരിഹാരവും ഉത്തരവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിലാണ്.

പ്രായോഗികമായി, ത്രികോണങ്ങൾ സാധാരണയായി നിങ്ങളെ പീഡിപ്പിക്കും.

മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ചില പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, ഞാൻ അവ ഈ ലിസ്റ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും.

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകൾക്കും അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾക്കും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ശരിയാണ്:

1) മറ്റ് വിവര സ്രോതസ്സുകളിൽ, ഈ ഇനം സാധാരണയായി പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. അങ്ങനെ ഇരിക്കട്ടെ.

2) - സ്വത്തും മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, ചിലപ്പോൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു ആൻ്റികമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്.

3) - അസോസിയേറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ സഹകാരിവെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന നിയമങ്ങൾ. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് പുറത്ത് സ്ഥിരതകൾ എളുപ്പത്തിൽ നീക്കാൻ കഴിയും. ശരിക്കും, അവർ അവിടെ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്?

4) - വിതരണം അല്ലെങ്കിൽ വിതരണക്കാരൻവെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്ന നിയമങ്ങൾ. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളില്ല.

തെളിയിക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 3

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വീണ്ടും വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് നമ്മുടെ മിനിയേച്ചർ വരയ്ക്കാം:

(1) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പരിധിക്ക് പുറത്തുള്ള സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

(2) മൊഡ്യൂളിന് പുറത്തുള്ള സ്ഥിരാങ്കം ഞങ്ങൾ നീക്കുന്നു, കൂടാതെ മൊഡ്യൂൾ മൈനസ് ചിഹ്നത്തെ "തിന്നുന്നു". ദൈർഘ്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

(3) ബാക്കിയുള്ളത് വ്യക്തമാണ്.

ഉത്തരം:

തീയിൽ കൂടുതൽ വിറക് ചേർക്കേണ്ട സമയമാണിത്:

ഉദാഹരണം 4

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക . "tse", "de" എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ തന്നെ വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ് ക്യാച്ച്. ഇവിടെയുള്ള അൽഗോരിതം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്, പാഠത്തിൻ്റെ നം. 3, 4 ഉദാഹരണങ്ങളെ അനുസ്മരിപ്പിക്കും. വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ പരിഹാരത്തെ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളായി വിഭജിക്കും:

1) ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, വാസ്തവത്തിൽ, വെക്‌ടറിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് വെക്‌ടറിനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം. ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഇതുവരെ പറഞ്ഞിട്ടില്ല!

(1) വെക്റ്ററുകളുടെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

(2) വിതരണ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു.

(3) അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ എല്ലാ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെയും വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് നീക്കുന്നു. ഒരു ചെറിയ അനുഭവം ഉപയോഗിച്ച്, 2, 3 ഘട്ടങ്ങൾ ഒരേസമയം നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.

(4) നല്ല പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ) തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ പദത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആൻ്റികമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കുന്നു:

(5) ഞങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

തൽഫലമായി, വെക്റ്റർ ഒരു വെക്റ്ററിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതായി മാറി, അത് നേടേണ്ടതുണ്ട്:

2) രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം ഉദാഹരണം 3-ന് സമാനമാണ്:

3) ആവശ്യമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരത്തിൻ്റെ 2-3 ഘട്ടങ്ങൾ ഒരു വരിയിൽ എഴുതാമായിരുന്നു.

ഉത്തരം:

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നം ടെസ്റ്റുകളിൽ വളരെ സാധാരണമാണ്, അത് സ്വയം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 5

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഒരു ചെറിയ പരിഹാരവും ഉത്തരവും. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ എത്രമാത്രം ശ്രദ്ധാലുവായിരുന്നുവെന്ന് നോക്കാം ;-)

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ്

ഫോർമുല വളരെ ലളിതമാണ്: ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ മുകളിലെ വരിയിൽ ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ എഴുതുന്നു, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികളിൽ ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "ഇട്ടു", ഞങ്ങൾ ഇടുന്നു കർശനമായ ക്രമത്തിൽ- ആദ്യം "ve" വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ, പിന്നെ "ഡബിൾ-വെ" വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ. വെക്റ്ററുകൾ മറ്റൊരു ക്രമത്തിൽ ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യണം:

ഉദാഹരണം 10

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്പേസ് വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:
എ)
b)

പരിഹാരം: ഈ പാഠത്തിലെ ഒരു പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് പരിശോധന: വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ, അവയുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (പൂജ്യം വെക്റ്റർ): .

a) വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകൾ കോളിനിയറല്ല.

b) വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരം: എ) കോളിനിയർ അല്ല, ബി)

ഇവിടെ, ഒരുപക്ഷേ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാ അടിസ്ഥാന വിവരങ്ങളും.

ഈ വിഭാഗം വളരെ വലുതായിരിക്കില്ല, കാരണം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്നിടത്ത് കുറച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാം നിർവചനം, ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, രണ്ട് പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം മൂന്ന് വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്:

അങ്ങനെ അവർ ഒരു ട്രെയിൻ പോലെ അണിനിരന്നു, തിരിച്ചറിയാൻ കാത്തിരിക്കാനാവില്ല.

ആദ്യം, വീണ്ടും, ഒരു നിർവചനവും ചിത്രവും:

നിർവ്വചനം: സമ്മിശ്ര ജോലി നോൺ-കോപ്ലനാർവെക്‌ടറുകൾ, ഈ ക്രമത്തിൽ എടുത്തത്, വിളിച്ചു സമാന്തര പൈപ്പ് വോള്യം, ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അടിസ്ഥാനം ശരിയാണെങ്കിൽ "+" ചിഹ്നവും അടിസ്ഥാനം ഇടത് ആണെങ്കിൽ "-" ചിഹ്നവും കൊണ്ട് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യാം. നമുക്ക് അദൃശ്യമായ വരകൾ ഡോട്ട് വരകൾ കൊണ്ട് വരച്ചിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് നിർവചനത്തിലേക്ക് കടക്കാം:

2) വെക്റ്ററുകൾ എടുക്കുന്നു ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ, അതായത്, ഉൽപ്പന്നത്തിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ പുനഃക്രമീകരണം, നിങ്ങൾ ഊഹിക്കുന്നതുപോലെ, അനന്തരഫലങ്ങളില്ലാതെ സംഭവിക്കുന്നില്ല.

3) ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച് അഭിപ്രായമിടുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞാൻ വ്യക്തമായ ഒരു വസ്തുത ശ്രദ്ധിക്കും: വെക്‌ടറുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം ഒരു NUMBER ആണ്: . വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യത്തിൽ, രൂപകൽപ്പന അല്പം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം;

എ-പ്രിയറി സമാന്തരപൈപ്പിൻ്റെ അളവാണ് മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം, വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് (ചിത്രം ചുവന്ന വെക്റ്ററുകളും കറുത്ത വരകളും ഉപയോഗിച്ച് വരച്ചിരിക്കുന്നു). അതായത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന സമാന്തര പൈപ്പിൻ്റെ വോളിയത്തിന് തുല്യമാണ് സംഖ്യ.

കുറിപ്പ് : ഡ്രോയിംഗ് സ്കീമാറ്റിക് ആണ്.

4) അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെയും സ്ഥലത്തിൻ്റെയും ഓറിയൻ്റേഷൻ എന്ന ആശയത്തെക്കുറിച്ച് വീണ്ടും വിഷമിക്കേണ്ടതില്ല. വോളിയത്തിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ചേർക്കാം എന്നതാണ് അവസാന ഭാഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം: .

വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തര പൈപ്പിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു.

ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് എന്ന ആശയം കൂടുതൽ വിശദമായി പരിശോധിക്കും. ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകും, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു സൂത്രവാക്യം എഴുതുകയും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും ന്യായീകരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതിനുശേഷം, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിൽ ഞങ്ങൾ താമസിക്കുകയും വിവിധ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ട്രിപ്പിൾ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം.

നമുക്ക് വെക്റ്ററുകൾ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം. വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച്, മൂന്ന് വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ ആകാം. വെക്‌ടറിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ചെറിയ തിരിയുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് വെക്‌ടറിൻ്റെ അറ്റത്ത് നിന്ന് നോക്കാം. ഏറ്റവും ചെറിയ ഭ്രമണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശരിയാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം - ഇടത്തെ.

ഇനി നമുക്ക് രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ എടുക്കാം. നമുക്ക് വെക്റ്ററുകളും പോയിൻ്റ് എയിൽ നിന്നും പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം. രണ്ടിനും, എന്നിവയ്ക്കും ലംബമായി ചില വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാം. വ്യക്തമായും, ഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഒന്നുകിൽ ഒരു ദിശയോ വിപരീതമോ നൽകാം (ചിത്രം കാണുക).

വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയെ ആശ്രയിച്ച്, ക്രമീകരിച്ച ട്രിപ്പിൾ വെക്‌ടറുകൾ വലംകൈയോ ഇടത് കൈയോ ആകാം.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തോട് ഇത് നമ്മെ അടുപ്പിക്കുന്നു. ത്രിമാന സ്ഥലത്ത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്ക് ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ്കൂടാതെ, ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നതിനെ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വെക്‌ടറുകളുടെ ക്രോസ് പ്രോഡക്‌ട്, എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം നൽകും, ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്നും അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഒപ്പം ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്, കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ എവിടെയാണ്.

ഈ നിർവചനം കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നൽകുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു മൂന്നാം-ഓർഡർ സ്ക്വയർ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിൽ ആദ്യ വരി വെക്റ്ററുകളാണ്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേതിൽ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം:

ഈ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കും (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലേഖനം കാണുക):

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് രൂപം ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനവുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. മാത്രമല്ല, ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഈ രണ്ട് നിർവചനങ്ങളും തുല്യമാണ്. ലേഖനത്തിൻ്റെ അവസാനം പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പുസ്തകത്തിൽ ഈ വസ്തുതയുടെ തെളിവ് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തെ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർണ്ണായകമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എളുപ്പത്തിൽ ന്യായീകരിക്കാൻ കഴിയും ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ:

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആൻ്റികമ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

എ-പ്രിയറി ഒപ്പം . രണ്ട് വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്താൽ ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം വിപരീതമാകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ, , ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആൻ്റികമ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി തെളിയിക്കുന്നു.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം - ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും.

പ്രധാനമായും മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളാണുള്ളത്.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു, നിങ്ങൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു .

ഉദാഹരണം.

വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുക, അറിയാമെങ്കിൽ .

പരിഹാരം.

വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപന്നത്തിൻ്റെ നീളം വെക്‌ടറുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ഗുണനത്തിനും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിനും തുല്യമാണെന്നും നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്കറിയാം, അതിനാൽ, .

ഉത്തരം:

.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിൽ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം, അതിൻ്റെ നീളം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തെങ്കിലും നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിലൂടെ തിരയുന്നു. ഒപ്പം .

ഇവിടെ സാധ്യമായ നിരവധി വ്യത്യസ്ത ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളല്ല, അവ വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും, മറിച്ച് അവയുടെ രൂപത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് വെക്റ്ററുകളിലേക്കുള്ള വികാസം കൂടാതെ, അല്ലെങ്കിൽ വെക്റ്ററുകൾ അവയുടെ ആരംഭ, അവസാന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം.

നമുക്ക് സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു . അവരുടെ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, കോർഡിനേറ്റുകളിലെ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എഴുതിയിരുന്നെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ ഇതേ ഫലത്തിൽ എത്തുമായിരുന്നു

ഉത്തരം:

.

ഉദാഹരണം.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകൾ എവിടെയാണ് വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം നമ്മൾ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ.

വെക്‌ടറുകൾക്കും കോർഡിനേറ്റുകൾക്കും യഥാക്രമം ഉള്ളതിനാൽ (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ വെക്‌ടറിൻ്റെ ആർട്ടിക്കിൾ കോർഡിനേറ്റുകൾ കാണുക), തുടർന്ന് ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ നിർവചനം പ്രകാരം നമുക്കുണ്ട്.

അതായത്, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം തന്നിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്.

ഒരു വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സ്‌ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സ്‌ക്വയർ റൂട്ടായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിഭാഗത്തിലെ വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഈ ഫോർമുല നേടി):

ഉത്തരം:

.

ഉദാഹരണം.

ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ലംബമായും അതേ സമയം ചില വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

വെക്‌ടറുകൾക്കും കോർഡിനേറ്റുകൾക്കും യഥാക്രമം ഉണ്ട് (പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്ന ലേഖനം കാണുക). വെക്‌ടറുകളുടെ വെക്‌ടർ പ്രോഡക്‌ട് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് രണ്ട് ലേക്കും ലംബമായ വെക്‌ടറാണ്, അതായത്, ഇത് നമ്മുടെ പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്. നമുക്ക് അവനെ കണ്ടെത്താം

ഉത്തരം:

- ലംബമായ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്ന്.

മൂന്നാമത്തെ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം പരിശോധിക്കപ്പെടുന്നു. പ്രോപ്പർട്ടികൾ പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, അനുബന്ധ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

വെക്റ്ററുകളും ലംബവുമാണ്, അവയുടെ നീളം യഥാക്രമം 3 ഉം 4 ഉം ആണ്. ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം.

ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വിതരണ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം

കോമ്പിനേഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം, അവസാന എക്സ്പ്രഷനിലെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ എടുക്കുന്നു:

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, മുതൽ ഒപ്പം , പിന്നെ.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ആൻ്റികമ്യൂട്ടേറ്റീവ് ആയതിനാൽ, .

അതിനാൽ, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ തുല്യതയിൽ എത്തി .

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, വെക്റ്ററുകളും ലംബവുമാണ്, അതായത്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ . അതായത്, ആവശ്യമായ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള എല്ലാ ഡാറ്റയും ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്

ഉത്തരം:

.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം . ഒരു ഹൈസ്കൂൾ ജ്യാമിതി കോഴ്‌സിൽ നിന്ന്, ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയും നീളത്തിൻ്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. തൽഫലമായി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ വശങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളാണ്, അവ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്താൽ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം, വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും തുല്യമാണ്. വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇതാണ്.