3 कोन समीप असू शकतात का? कोणत्या कोनांना समीप म्हणतात? दोन समीप कोनांची बेरीज किती आहे?

भूमिती अभ्यासक्रमाच्या अभ्यासाच्या प्रक्रियेत, “कोन”, “उभ्या कोन”, “समीप कोन” या संकल्पना बऱ्याचदा येतात. प्रत्येक अटी समजून घेतल्याने तुम्हाला समस्या समजण्यास आणि ती योग्यरित्या सोडविण्यात मदत होईल. समीप कोन काय आहेत आणि ते कसे ठरवायचे?

समीप कोन - संकल्पनेची व्याख्या

"समीप कोन" हा शब्द सामान्य किरणांनी तयार केलेले दोन कोन आणि त्याच सरळ रेषेवर पडलेल्या दोन अतिरिक्त अर्ध्या रेषा दर्शवितो. तिन्ही किरण एकाच बिंदूतून बाहेर पडतात. एक सामान्य अर्ध-रेषा ही एकाच वेळी एक आणि दुसऱ्या कोनाची दोन्ही बाजू असते.

समीप कोन - मूलभूत गुणधर्म

1. समीप कोनांच्या निर्मितीवर आधारित, हे लक्षात घेणे सोपे आहे की अशा कोनांची बेरीज नेहमी उलट कोन बनवते, ज्याचे अंश माप 180° आहे:

• जर μ आणि η समीप कोन असतील, तर μ + η = 180°.
• समीप कोनांपैकी एका कोनाची विशालता (उदाहरणार्थ, μ) जाणून घेऊन, तुम्ही η = 180° – μ ही अभिव्यक्ती वापरून दुसऱ्या कोनाचे (η) अंश मोजू शकता.

2. कोनांचा हा गुणधर्म आपल्याला खालील निष्कर्ष काढू देतो: एक कोन जो समीप आहे काटकोन, देखील थेट असेल.

3. विचारात घेणे त्रिकोणमितीय कार्ये(sin, cos, tg, ctg), समीप कोन μ आणि η साठी कपात सूत्रांवर आधारित, खालील सत्य आहे:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

समीप कोन - उदाहरणे

उदाहरण १

शिरोबिंदू M, P, Q – ΔMPQ सह त्रिकोण दिलेला आहे. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM या कोनांना लागून असलेले कोन शोधा.

• त्रिकोणाची प्रत्येक बाजू सरळ रेषेने वाढवू.
• समीप कोन उलटा कोनापर्यंत एकमेकांना पूरक आहेत हे जाणून, आम्हाला आढळले की:

कोनाला लागून ∠QMP ∠LMP आहे,

कोनाला लागून ∠MPQ ∠SPQ आहे,

कोनाला लागून ∠PQM ∠HQP आहे.

उदाहरण २

एका समीप कोनाचे मूल्य 35° आहे. दुसऱ्या समीप कोनाचे अंश माप काय आहे?

• दोन समीप कोन 180° पर्यंत जोडतात.
• जर ∠μ = 35°, तर त्यास लागून ∠η = 180° – 35° = 145°.

उदाहरण ३

समीप कोनांची मूल्ये निश्चित करा जर हे ज्ञात असेल की त्यांपैकी एकाचे अंश माप दुसऱ्या कोनाच्या अंश मापापेक्षा तीन पटीने जास्त आहे.

• ∠μ = λ ने एका (लहान) कोनाचे परिमाण दर्शवू.
• नंतर, समस्येच्या परिस्थितीनुसार, दुसऱ्या कोनाचे मूल्य ∠η = 3λ इतके असेल.
• समीप कोनांच्या मूळ गुणधर्मावर आधारित, μ + η = 180° खालीलप्रमाणे आहे

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

याचा अर्थ पहिला कोन ∠μ = λ = 45° आहे आणि दुसरा कोन ∠η = 3λ = 135° आहे.

शब्दावली वापरण्याची क्षमता, तसेच समीप कोनांच्या मूलभूत गुणधर्मांचे ज्ञान, आपल्याला अनेक भौमितिक समस्या सोडविण्यास मदत करेल.

1. समीप कोन.

जर आपण कोणत्याही कोनाची बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवली, तर आपल्याला दोन कोन मिळतात (चित्र 72): ∠ABC आणि ∠CBD, ज्यामध्ये एक बाजू BC सामान्य आहे आणि इतर दोन, AB आणि BD, एक सरळ रेषा तयार करतात.

दोन कोन ज्यामध्ये एक बाजू समान असते आणि दुसरी दोन सरळ रेषा बनवतात त्यांना समीप कोन म्हणतात.

समीप कोन अशा प्रकारे देखील मिळू शकतात: जर आपण रेषेवर काही बिंदूपासून किरण काढला (दिलेल्या रेषेवर पडलेला नाही), तर आपल्याला समीप कोन मिळू शकतात.

उदाहरणार्थ, ∠ADF आणि ∠FDB हे समीप कोन आहेत (चित्र 73).

समीप कोनांमध्ये विविध प्रकारचे स्थान असू शकते (चित्र 74).

समीप कोन सरळ कोनापर्यंत जोडतात, म्हणून दोन समीप कोनांची बेरीज 180° आहे

म्हणून, काटकोन त्याच्या समीप कोनाइतका कोन म्हणून परिभाषित केला जाऊ शकतो.

समीप असलेल्या एका कोनाचा आकार जाणून घेतल्यास, त्याच्या शेजारील दुसऱ्या कोनाचा आकार आपण शोधू शकतो.

उदाहरणार्थ, समीप कोनांपैकी एक 54° असल्यास, दुसरा कोन समान असेल:

180° - 54° = l26°.

2. अनुलंब कोन.

जर आपण कोनाच्या बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवल्या तर आपल्याला अनुलंब कोन मिळतात. आकृती 75 मध्ये, कोन EOF आणि AOC अनुलंब आहेत; कोन AOE आणि COF देखील अनुलंब आहेत.

जर एका कोनाच्या बाजू दुसऱ्या कोनाच्या बाजूंच्या निरंतर असतील तर दोन कोनांना उभ्या म्हणतात.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(चित्र 76) समजा. त्याला लागून असलेला ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, म्हणजे 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° असेल.

त्याच प्रकारे, तुम्ही ∠3 आणि ∠4 किती समान आहेत ते काढू शकता.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (चित्र 77).

आपण पाहतो की ∠1 = ∠3 आणि ∠2 = ∠4.

तुम्ही समान अनेक समस्या सोडवू शकता आणि प्रत्येक वेळी तुम्हाला समान परिणाम मिळेल: उभे कोन एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत.

तथापि, अनुलंब कोन नेहमी एकमेकांशी समान असतात याची खात्री करण्यासाठी, वैयक्तिक संख्यात्मक उदाहरणे विचारात घेणे पुरेसे नाही, कारण विशिष्ट उदाहरणांवरून काढलेले निष्कर्ष कधीकधी चुकीचे असू शकतात.

पुराव्याद्वारे उभ्या कोनांच्या गुणधर्मांची वैधता सत्यापित करणे आवश्यक आहे.

पुरावा खालीलप्रमाणे केला जाऊ शकतो (चित्र 78):

∠a +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(समीप कोनांची बेरीज 180° असल्याने).

∠a +∠c = ∠b+∠c

(या समानतेची डावी बाजू 180° च्या बरोबरीची असल्याने आणि तिची उजवी बाजू देखील 180° च्या बरोबरीची आहे).

या समानतेमध्ये समान कोन समाविष्ट आहे सह.

जर आपण समान प्रमाणांमधून समान रक्कम वजा केली तर समान रक्कम राहतील. परिणाम होईल: ∠a = ∠b, म्हणजे उभ्या कोन एकमेकांना समान आहेत.

3. सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या कोनांची बेरीज.

रेखाचित्र 79 मध्ये, ∠1, ∠2, ∠3 आणि ∠4 एका रेषेच्या एका बाजूला स्थित आहेत आणि या रेषेवर एक समान शिरोबिंदू आहे. बेरीज मध्ये, हे कोन एक सरळ कोन बनवतात, म्हणजे.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

आकृती 80 मध्ये, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 आणि ∠5 मध्ये एक समान शिरोबिंदू आहे. हे कोन पूर्ण कोनापर्यंत जोडतात, म्हणजे ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

धडा I.

मूलभूत संकल्पना.

§11. समीप आणि उभे कोपरे.

1. समीप कोन.

जर आपण कोणत्याही कोनाची बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवली तर आपल्याला दोन कोन मिळतात (चित्र 72): / आणि सूर्य आणि / SVD, ज्यामध्ये एक बाजू BC सामान्य आहे, आणि इतर दोन A आणि BD एक सरळ रेषा बनवतात.

दोन कोन ज्यामध्ये एक बाजू समान असते आणि दुसरी दोन सरळ रेषा बनवतात त्यांना समीप कोन म्हणतात.

समीप कोन अशा प्रकारे देखील मिळू शकतात: जर आपण रेषेवर काही बिंदूपासून किरण काढला (दिलेल्या रेषेवर पडलेला नाही), तर आपल्याला समीप कोन मिळू शकतात.
उदाहरणार्थ, / एडीएफ आणि / FDВ - समीप कोन (Fig. 73).

समीप कोनांमध्ये विविध प्रकारचे स्थान असू शकते (चित्र 74).

समीप कोन सरळ कोनापर्यंत जोडतात, म्हणून दोन समीप कोनांची उमा समान आहे 2d

म्हणून, काटकोन त्याच्या समीप कोनाइतका कोन म्हणून परिभाषित केला जाऊ शकतो.

समीप असलेल्या एका कोनाचा आकार जाणून घेतल्यास, त्याच्या शेजारील दुसऱ्या कोनाचा आकार आपण शोधू शकतो.

उदाहरणार्थ, समीप कोनांपैकी एक 3/5 असल्यास d, नंतर दुसरा कोन समान असेल:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. अनुलंब कोन.

जर आपण कोनाच्या बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवल्या तर आपल्याला अनुलंब कोन मिळतात. रेखाचित्र 75 मध्ये, कोन EOF आणि AOC अनुलंब आहेत; कोन AOE आणि COF देखील अनुलंब आहेत.

जर एका कोनाच्या बाजू दुसऱ्या कोनाच्या बाजूंच्या निरंतर असतील तर दोन कोनांना उभ्या म्हणतात.

द्या / 1 = 7 / 8 d(आकृती 76). त्याला लागून / 2 बरोबर 2 होईल d- 7 / 8 d, म्हणजे १ १/८ d.

त्याच प्रकारे आपण ते काय समान आहेत याची गणना करू शकता / 3 आणि / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(आकृती 77).

आम्ही ते पाहतो / 1 = / 3 आणि / 2 = / 4.

तुम्ही समान अनेक समस्या सोडवू शकता आणि प्रत्येक वेळी तुम्हाला समान परिणाम मिळेल: उभे कोन एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत.

तथापि, अनुलंब कोन नेहमी एकमेकांशी समान असतात याची खात्री करण्यासाठी, वैयक्तिक संख्यात्मक उदाहरणे विचारात घेणे पुरेसे नाही, कारण विशिष्ट उदाहरणांवरून काढलेले निष्कर्ष कधीकधी चुकीचे असू शकतात.

उभ्या कोनांच्या गुणधर्मांची वैधता तर्काने, पुराव्याद्वारे सत्यापित करणे आवश्यक आहे.

पुरावा खालीलप्रमाणे केला जाऊ शकतो (चित्र 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(समीप कोनांची बेरीज 2 असल्याने d).

/ a +/ c = / b+/ c

(या समानतेची डावी बाजू देखील 2 च्या बरोबरीची असल्याने d, आणि त्याची उजवी बाजू देखील 2 च्या बरोबरीची आहे d).

या समानतेमध्ये समान कोन समाविष्ट आहे सह.

जर आपण समान प्रमाणांमधून समान रक्कम वजा केली तर समान रक्कम राहतील. परिणाम होईल: / a = / b, म्हणजे उभ्या कोन एकमेकांना समान आहेत.

उभ्या कोनांच्या समस्येचा विचार करताना, आम्ही प्रथम स्पष्ट केले की कोणत्या कोनांना अनुलंब म्हणतात, म्हणजे. व्याख्याअनुलंब कोन.

मग आम्ही उभ्या कोनांच्या समानतेबद्दल एक निर्णय (विधान) केला आणि पुराव्यांद्वारे या निकालाच्या वैधतेबद्दल खात्री पटली. असे निवाडे, ज्याची वैधता सिद्ध करणे आवश्यक आहे, असे म्हणतात प्रमेये. अशा प्रकारे, या विभागात आम्ही उभ्या कोनांची व्याख्या दिली आणि त्यांच्या गुणधर्मांबद्दल एक प्रमेय देखील सांगितले आणि सिद्ध केले.

भविष्यात, भूमितीचा अभ्यास करताना, आपल्याला प्रमेयांच्या व्याख्या आणि पुराव्यांचा सामना सतत करावा लागेल.

3. सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या कोनांची बेरीज.

रेखाचित्र 79 वर / 1, / 2, / 3 आणि / 4 एका रेषेच्या एका बाजूला स्थित आहेत आणि या रेषेवर एक सामान्य शिरोबिंदू आहे. बेरीज मध्ये, हे कोन एक सरळ कोन बनवतात, म्हणजे.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

रेखाचित्र 80 वर / 1, / 2, / 3, / 4 आणि / 5 मध्ये एक सामान्य शिरोबिंदू आहे. बेरीज मध्ये, हे कोन पूर्ण कोन बनवतात, म्हणजे. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

व्यायाम.

1. समीप कोनांपैकी एक 0.72 आहे dया समीप कोनांच्या दुभाजकांनी तयार केलेल्या कोनाची गणना करा.

2. दोन समीप कोनांचे दुभाजक काटकोन बनवतात हे सिद्ध करा.

3. दोन कोन समान असल्यास त्यांचे समीप कोन देखील समान आहेत हे सिद्ध करा.

4. रेखाचित्र 81 मध्ये समीप कोनांच्या किती जोड्या आहेत?

5. समीप कोनांच्या जोडीमध्ये दोन तीव्र कोन असू शकतात? दोन अस्पष्ट कोनातून? उजव्या आणि अस्पष्ट कोनातून? थेट पासून आणि तीव्र कोन?

6. समीप कोनांपैकी एक कोन बरोबर असेल, तर त्याला लागून असलेल्या कोनाच्या आकाराबद्दल काय म्हणता येईल?

7. जर दोन सरळ रेषांच्या छेदनबिंदूवर एक कोन बरोबर असेल, तर इतर तीन कोनांच्या आकाराबद्दल काय म्हणता येईल?

दोन कोनांची एक बाजू सामाईक असल्यास त्यांना समीप म्हटले जाते आणि या कोनांच्या इतर बाजू पूरक किरण असतात. आकृती 20 मध्ये, कोन AOB आणि BOC समीप आहेत.

समीप कोनांची बेरीज 180° आहे

प्रमेय 1. समीप कोनांची बेरीज 180° आहे.

पुरावा. बीम ओबी (चित्र 1 पहा) उलगडलेल्या कोनाच्या बाजूंमधून जातो. त्यामुळेच ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

प्रमेय 1 वरून असे दिसून येते की जर दोन कोन समान असतील तर त्यांचे समीप कोन समान असतील.

अनुलंब कोन समान आहेत

जर एका कोनाच्या बाजू दुसऱ्या बाजूंच्या पूरक किरण असतील तर दोन कोनांना उभ्या म्हणतात. दोन सरळ रेषांच्या छेदनबिंदूवर तयार झालेले AOB आणि COD, BOD आणि AOC हे कोन उभे आहेत (चित्र 2).

प्रमेय 2. अनुलंब कोन समान आहेत.

पुरावा. AOB आणि COD या उभ्या कोनांचा विचार करूया (चित्र 2 पहा). कोन BOD प्रत्येक कोन AOB आणि COD ला लागून आहे. प्रमेय 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

यावरून आपण असा निष्कर्ष काढतो की ∠ AOB = ∠ COD.

कोरोलरी 1. काटकोनाला लागून असलेला कोन म्हणजे काटकोन.

AC आणि BD (चित्र 3) यांना छेदणाऱ्या दोन सरळ रेषांचा विचार करू. ते चार कोपरे तयार करतात. जर त्यापैकी एक सरळ असेल (चित्र 3 मधील कोन 1), तर उर्वरित कोन देखील उजवे आहेत (कोन 1 आणि 2, 1 आणि 4 समीप आहेत, कोन 1 आणि 3 उभे आहेत). या प्रकरणात, ते म्हणतात की या रेषा काटकोनात छेदतात आणि त्यांना लंब (किंवा परस्पर लंब) म्हणतात. AC आणि BD रेषांची लंबकता खालीलप्रमाणे दर्शविली जाते: AC ⊥ BD.

सेगमेंटला लंबदुभाजक ही रेषा या विभागाला लंब असते आणि त्याच्या मध्यबिंदूतून जाते.

AN - रेषेला लंब

एक सरळ रेषा a आणि त्यावर पडलेला नसलेला बिंदू A विचारात घ्या (चित्र 4). बिंदू A ला एका रेषाखंडासह H बिंदूशी सरळ रेषा a सह जोडू. रेषा AN आणि a लंब असल्यास बिंदू A पासून रेषा a पर्यंत काढलेल्या AN खंडाला लंब म्हणतात. बिंदू H ला लंबाचा पाया म्हणतात.

रेखाचित्र चौरस

खालील प्रमेय सत्य आहे.

प्रमेय 3. रेषेवर नसलेल्या कोणत्याही बिंदूपासून, या रेषेला लंब काढणे शक्य आहे, आणि त्याशिवाय, फक्त एक.

रेखांकनातील एका बिंदूपासून सरळ रेषेपर्यंत लंब काढण्यासाठी, ड्रॉइंग स्क्वेअर (चित्र 5) वापरा.

टिप्पणी द्या. प्रमेयाच्या निर्मितीमध्ये सहसा दोन भाग असतात. एक भाग काय दिले आहे याबद्दल बोलतो. या भागाला प्रमेयाची स्थिती म्हणतात. दुसरा भाग काय सिद्ध करणे आवश्यक आहे याबद्दल बोलतो. या भागाला प्रमेयाचा निष्कर्ष म्हणतात. उदाहरणार्थ, प्रमेय 2 ची स्थिती अशी आहे की कोन उभे आहेत; निष्कर्ष - हे कोन समान आहेत.

कोणतेही प्रमेय शब्दांमध्ये तपशीलवार व्यक्त केले जाऊ शकते जेणेकरुन त्याची स्थिती “जर” या शब्दाने सुरू होईल आणि “तर” या शब्दाने त्याचा निष्कर्ष निघेल. उदाहरणार्थ, प्रमेय 2 खालीलप्रमाणे तपशीलवार सांगितले जाऊ शकते: "जर दोन कोन उभे असतील तर ते समान असतील."

उदाहरण १.समीप कोनांपैकी एक 44° आहे. इतर समान काय आहे?

उपाय. प्रमेय 1 नुसार दुसऱ्या कोनाचे अंश माप x ने दर्शवू.
44° + x = 180°.
परिणामी समीकरण सोडवताना आपल्याला आढळते की x = 136°. म्हणून, दुसरा कोन 136° आहे.

उदाहरण २.आकृती 21 मधील COD कोन 45° असू द्या. AOB आणि AOC कोणते कोन आहेत?

उपाय. कोन COD आणि AOB अनुलंब आहेत, म्हणून, प्रमेय 1.2 नुसार ते समान आहेत, म्हणजे ∠ AOB = 45°. कोन AOC कोन सीओडीला लागून आहे, याचा अर्थ प्रमेय 1 नुसार आहे.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

उदाहरण ३.समीप कोन शोधा जर त्यापैकी एक दुसऱ्यापेक्षा 3 पट मोठा असेल.

उपाय. x ने लहान कोनाचे अंश माप दर्शवू. नंतर मोठ्या कोनाचे अंश माप 3x असेल. समीप कोनांची बेरीज 180° (प्रमेय 1) सारखी असल्याने x + 3x = 180°, तेथून x = 45°.
याचा अर्थ समीप कोन 45° आणि 135° आहेत.

उदाहरण ४.दोन उभ्या कोनांची बेरीज 100° आहे. चार कोनांपैकी प्रत्येकाचा आकार शोधा.

उपाय. आकृती 2 ला समस्येच्या अटी पूर्ण करू या. म्हणून, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (स्थितीनुसार त्यांची बेरीज 100° आहे). कोन BOD (कोन AOC देखील) कोन सीओडीला लागून आहे, आणि म्हणून, प्रमेय 1 द्वारे
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

समीप कोन कसा शोधायचा?

गणित हे सर्वात जुने अचूक विज्ञान आहे, ज्याचा अभ्यास शाळा, महाविद्यालये, संस्था आणि विद्यापीठांमध्ये अनिवार्यपणे केला जातो. तथापि, मूलभूत ज्ञान नेहमी शाळेत घातले जाते. कधीकधी, मुलाला खूप जटिल कार्ये दिली जातात, परंतु पालक मदत करू शकत नाहीत कारण ते गणितातील काही गोष्टी विसरतात. उदाहरणार्थ, मुख्य कोनाच्या आकारावर आधारित समीप कोन कसा शोधायचा, इ. समस्या सोपी आहे, परंतु कोणत्या कोनांना समीप म्हणतात आणि ते कसे शोधायचे याच्या अज्ञानामुळे सोडवण्यात अडचणी येऊ शकतात.

समीप कोनांची व्याख्या आणि गुणधर्म, तसेच समस्येतील डेटावरून त्यांची गणना कशी करायची ते जवळून पाहू.

समीप कोनांची व्याख्या आणि गुणधर्म

एका बिंदूतून निघणारे दोन किरण "प्लेन अँगल" नावाची आकृती बनवतात. या प्रकरणात, या बिंदूला कोनाचा शिरोबिंदू म्हणतात आणि किरण त्याच्या बाजू आहेत. जर तुम्ही एका सरळ रेषेत सुरुवातीच्या बिंदूच्या पलीकडे एक किरण चालू ठेवला तर दुसरा कोन तयार होतो, ज्याला समीप म्हणतात. या प्रकरणातील प्रत्येक कोनाला दोन समीप कोन आहेत, कारण कोनाच्या बाजू समतुल्य आहेत. म्हणजेच, नेहमी 180 अंशांचा समीप कोन असतो.

समीप कोनांचे मुख्य गुणधर्म समाविष्ट आहेत

• समीप कोनांमध्ये एक सामान्य शिरोबिंदू आणि एक बाजू असते;
• समीप कोनांची बेरीज नेहमी 180 अंश किंवा संख्या Pi सारखी असते जर गणना रेडियनमध्ये केली जाते;
• समीप कोनांचे साइन नेहमी समान असतात;
• समीप कोनांचे कोसाइन आणि स्पर्शिका समान आहेत परंतु विरुद्ध चिन्हे आहेत.

समीप कोन कसे शोधायचे

समीप कोनांचा आकार शोधण्यासाठी सामान्यत: समस्यांच्या तीन भिन्नता दिल्या जातात

• मुख्य कोनाचे मूल्य दिले आहे;
• मुख्य आणि समीप कोनाचे गुणोत्तर दिले आहे;
• मूल्य दिले अनुलंब कोन.

समस्येच्या प्रत्येक आवृत्तीचे स्वतःचे निराकरण आहे. त्यांच्याकडे पाहू या.

मुख्य कोनाचे मूल्य दिले आहे

जर समस्या मुख्य कोनाचे मूल्य निर्दिष्ट करते, तर समीप कोन शोधणे खूप सोपे आहे. हे करण्यासाठी, फक्त 180 अंशातून मुख्य कोनाचे मूल्य वजा करा, आणि तुम्हाला समीप कोनाचे मूल्य मिळेल. हे समाधान समीप कोनाच्या गुणधर्मावर आधारित आहे - समीप कोनांची बेरीज नेहमी 180 अंश असते.

जर मुख्य कोनाचे मूल्य रेडियनमध्ये दिलेले असेल आणि समस्येसाठी रेडियनमध्ये समीप कोन शोधणे आवश्यक असेल, तर 180 अंशांच्या पूर्ण उलगडलेल्या कोनाचे मूल्य Pi या संख्येतून मुख्य कोनाचे मूल्य वजा करणे आवश्यक आहे. Pi या संख्येच्या बरोबरीचे आहे.

मुख्य आणि समीप कोनाचे गुणोत्तर दिले आहे

समस्या मुख्य कोनाच्या अंश आणि रेडियन्सऐवजी मुख्य आणि समीप कोनांचे गुणोत्तर देऊ शकते. या प्रकरणात, समाधान प्रमाण समीकरणासारखे दिसेल:

1. आम्ही मुख्य कोनाचे प्रमाण "Y" व्हेरिएबल म्हणून दर्शवतो.
2. समीप कोनाशी संबंधित अपूर्णांक व्हेरिएबल "X" म्हणून दर्शविला जातो.
3. प्रत्येक प्रमाणात पडणाऱ्या अंशांची संख्या दर्शविली जाईल, उदाहरणार्थ, “a” द्वारे.
4. सामान्य सूत्र असे दिसेल - a*X+a*Y=180 किंवा a*(X+Y)=180.
5. a=180/(X+Y) सूत्र वापरून आम्हाला “a” समीकरणाचा सामान्य घटक सापडतो.
6. मग आम्ही सामान्य घटक "a" चे परिणामी मूल्य निर्धारित करणे आवश्यक असलेल्या कोनाच्या अंशाने गुणाकार करतो.

अशा प्रकारे आपण समीप कोनाचे मूल्य अंशांमध्ये शोधू शकतो. तथापि, जर तुम्हाला रेडियनमध्ये मूल्य शोधण्याची आवश्यकता असेल, तर तुम्हाला फक्त अंश रेडियनमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, अंशातील कोन Pi ने गुणाकार करा आणि सर्वकाही 180 अंशांनी विभाजित करा. परिणामी मूल्य रेडियनमध्ये असेल.

उभ्या कोनाचे मूल्य दिले आहे

जर समस्या मुख्य कोनाचे मूल्य देत नसेल, परंतु उभ्या कोनाचे मूल्य दिले असेल, तर समीप कोन पहिल्या परिच्छेदाप्रमाणेच सूत्र वापरून काढता येईल, जेथे मुख्य कोनाचे मूल्य दिले आहे.

उभ्या कोन हा एक कोन आहे जो मुख्य बिंदूच्या समान बिंदूपासून उद्भवतो, परंतु अगदी विरुद्ध दिशेने निर्देशित केला जातो. त्यामुळे ते बाहेर वळते मिरर प्रतिमा. याचा अर्थ उभ्या कोनाची परिमाण मुख्य बरोबर आहे. या बदल्यात, उभ्या कोनाचा समीप कोन मुख्य कोनाच्या समीप कोनाइतका असतो. याबद्दल धन्यवाद, मुख्य कोनाच्या समीप कोनाची गणना केली जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, फक्त 180 अंशांमधून अनुलंब मूल्य वजा करा आणि अंशांमध्ये मुख्य कोनाच्या समीप कोनाचे मूल्य मिळवा.

जर मूल्य रेडियनमध्ये दिले असेल, तर 180 अंश पूर्ण उलगडलेल्या कोनाचे मूल्य Pi या संख्येच्या बरोबर असल्याने, Pi संख्येतून उभ्या कोनाचे मूल्य वजा करणे आवश्यक आहे.

आपण आमचे उपयुक्त लेख देखील वाचू शकता आणि.