समीप कोनांची बेरीज शोधा. समीप आणि अनुलंब कोन

1. समीप कोन.

जर आपण कोणत्याही कोनाची बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवली, तर आपल्याला दोन कोन मिळतात (चित्र 72): ∠ABC आणि ∠CBD, ज्यामध्ये एक बाजू BC सामान्य आहे आणि इतर दोन, AB आणि BD, एक सरळ रेषा तयार करतात.

दोन कोन ज्यामध्ये एक बाजू सामान्य असते आणि दुसरी दोन सरळ रेषा बनवतात त्यांना समीप कोन म्हणतात.

समीप कोन अशा प्रकारे देखील मिळू शकतात: जर आपण रेषेवर काही बिंदूपासून किरण काढला (दिलेल्या रेषेवर पडलेला नाही), तर आपल्याला समीप कोन मिळू शकतात.

उदाहरणार्थ, ∠ADF आणि ∠FDB हे समीप कोन आहेत (चित्र 73).

समीप कोनांमध्ये विविध प्रकारचे स्थान असू शकते (चित्र 74).

समीप कोन सरळ कोनापर्यंत जोडतात, म्हणून दोनची बेरीज समीप कोपरे 180° च्या समान

म्हणून, काटकोन त्याच्या समीप कोनाइतका कोन म्हणून परिभाषित केला जाऊ शकतो.

समीप असलेल्या एका कोनाचा आकार जाणून घेतल्यास, त्याच्या शेजारील दुसऱ्या कोनाचा आकार आपण शोधू शकतो.

उदाहरणार्थ, जर समीप कोनांपैकी एक 54° असेल, तर दुसरा कोन बरोबर असेल:

180° - 54° = l26°.

2. अनुलंब कोन.

जर आपण कोनाच्या बाजू त्याच्या शिरोबिंदूच्या पलीकडे वाढवल्या तर आपल्याला मिळेल अनुलंब कोन. आकृती 75 मध्ये, कोन EOF आणि AOC अनुलंब आहेत; कोन AOE आणि COF देखील अनुलंब आहेत.

जर एका कोनाच्या बाजू दुसऱ्या कोनाच्या बाजूंच्या निरंतर असतील तर दोन कोनांना उभ्या म्हणतात.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(चित्र 76) समजा. त्याला लागून असलेला ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, म्हणजे 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° असेल.

त्याच प्रकारे, तुम्ही ∠3 आणि ∠4 किती समान आहेत ते काढू शकता.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (चित्र 77).

आपण पाहतो की ∠1 = ∠3 आणि ∠2 = ∠4.

तुम्ही समान अनेक समस्या सोडवू शकता आणि प्रत्येक वेळी तुम्हाला समान परिणाम मिळेल: उभे कोन एकमेकांच्या बरोबरीचे आहेत.

तथापि, अनुलंब कोन नेहमी एकमेकांशी समान असतात याची खात्री करण्यासाठी, वैयक्तिक संख्यात्मक उदाहरणे विचारात घेणे पुरेसे नाही, कारण विशिष्ट उदाहरणांवरून काढलेले निष्कर्ष कधीकधी चुकीचे असू शकतात.

पुराव्याद्वारे उभ्या कोनांच्या गुणधर्मांची वैधता सत्यापित करणे आवश्यक आहे.

पुरावा खालीलप्रमाणे करता येतो (चित्र 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(समीप कोनांची बेरीज 180° असल्याने).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(या समानतेची डावी बाजू 180° च्या बरोबरीची असल्याने, आणि तिची उजवी बाजू देखील 180° च्या बरोबरीची आहे).

या समानतेमध्ये समान कोन समाविष्ट आहे सह.

जर आपण समान प्रमाणांमधून समान रक्कम वजा केली तर समान रक्कम राहतील. परिणाम होईल: ∠a = ∠b, म्हणजे उभ्या कोन एकमेकांना समान आहेत.

3. सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या कोनांची बेरीज.

रेखाचित्र 79 मध्ये, ∠1, ∠2, ∠3 आणि ∠4 एका रेषेच्या एका बाजूला स्थित आहेत आणि या रेषेवर एक समान शिरोबिंदू आहे. बेरीज मध्ये, हे कोन एक सरळ कोन बनवतात, म्हणजे.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

आकृती 80 मध्ये, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 आणि ∠5 मध्ये एक समान शिरोबिंदू आहे. हे कोन पूर्ण कोनापर्यंत जोडतात, म्हणजे ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

भूमिती हे अतिशय बहुआयामी विज्ञान आहे. हे तर्कशास्त्र, कल्पनाशक्ती आणि बुद्धिमत्ता विकसित करते. अर्थात, त्याच्या जटिलतेमुळे आणि प्रमेय आणि स्वयंसिद्धांच्या प्रचंड संख्येमुळे, शाळकरी मुलांना ते नेहमीच आवडत नाही. याव्यतिरिक्त, सामान्यतः स्वीकृत मानके आणि नियमांचा वापर करून आपले निष्कर्ष सतत सिद्ध करण्याची आवश्यकता आहे.

समीप आणि अनुलंब कोन भूमितीचा अविभाज्य भाग आहेत. निश्चितच अनेक शाळकरी मुले त्यांना फक्त या कारणासाठी पूजा करतात की त्यांचे गुणधर्म स्पष्ट आणि सिद्ध करणे सोपे आहे.

कोपऱ्यांची निर्मिती

कोणताही कोन दोन सरळ रेषांना छेदून किंवा एका बिंदूपासून दोन किरण काढल्याने तयार होतो. त्यांना एकतर एक किंवा तीन अक्षरे म्हटले जाऊ शकते, जे कोन ज्या बिंदूवर बांधले गेले आहे ते अनुक्रमे नियुक्त करतात.

कोन अंशांमध्ये मोजले जातात आणि (त्यांच्या मूल्यावर अवलंबून) वेगळ्या पद्धतीने म्हटले जाऊ शकतात. तर, एक काटकोन आहे, तीव्र, अस्पष्ट आणि उलगडलेला. प्रत्येक नाव एका विशिष्ट प्रमाणात किंवा त्याच्या मध्यांतराशी संबंधित आहे.

तीव्र कोन एक कोन आहे ज्याचे माप 90 अंशांपेक्षा जास्त नाही.

स्थूल कोन म्हणजे ९० अंशांपेक्षा मोठा कोन.

कोनाची डिग्री माप 90 असेल तेव्हा उजवीकडे म्हणतात.

जेव्हा ती एका सतत सरळ रेषेने बनते आणि त्याची डिग्री माप 180 असते तेव्हा त्याला विस्तारित म्हणतात.

ज्या कोनांची एक समान बाजू असते, ज्याची दुसरी बाजू एकमेकांना चालू ठेवते, त्यांना समीप म्हणतात. ते एकतर तीक्ष्ण किंवा बोथट असू शकतात. रेषेचा छेदनबिंदू समीप कोन बनवतो. त्यांचे गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहेत.

1. अशा कोनांची बेरीज 180 अंश असेल (हे सिद्ध करणारे एक प्रमेय आहे). म्हणून, जर दुसरा ज्ञात असेल तर त्यापैकी एक सहजपणे मोजू शकतो.
2. पहिल्या बिंदूपासून असे दिसते की समीप कोन दोन ओबटस किंवा दोन तीव्र कोनांनी बनू शकत नाहीत.

या गुणधर्मांबद्दल धन्यवाद, तुम्ही नेहमी दुसऱ्या कोनाचे मूल्य लक्षात घेऊन कोनाचे अंश मोजू शकता किंवा किमान, त्यांच्यातील संबंध.

अनुलंब कोन

ज्या कोनांच्या बाजू एकमेकांच्या निरंतर असतात त्यांना उभ्या म्हणतात. त्यांची कोणतीही वाण अशी जोडी म्हणून काम करू शकते. अनुलंब कोन नेहमी एकमेकांना समान असतात.

जेव्हा सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात तेव्हा ते तयार होतात. त्यांच्याबरोबर, समीप कोन नेहमी उपस्थित असतात. एक कोन एकाच वेळी एकाला लागून आणि दुसऱ्यासाठी उभा असू शकतो.

अनियंत्रित रेषा ओलांडताना, इतर अनेक प्रकारचे कोन देखील विचारात घेतले जातात. अशा रेषेला सेकंट रेषा म्हणतात आणि ती संबंधित, एकतर्फी आणि आडवा कोन बनवते. ते एकमेकांच्या समान आहेत. ते उभ्या आणि समीप कोनांच्या गुणधर्मांच्या प्रकाशात पाहिले जाऊ शकतात.

त्यामुळे कोनांचा विषय अगदी सोपा आणि समजण्यासारखा वाटतो. त्यांचे सर्व गुणधर्म लक्षात ठेवणे आणि सिद्ध करणे सोपे आहे. जोपर्यंत कोन जुळतात तोपर्यंत समस्या सोडवणे अवघड वाटत नाही संख्यात्मक मूल्य. नंतर, जेव्हा पाप आणि कॉसचा अभ्यास सुरू होईल, तेव्हा तुम्हाला अनेक जटिल सूत्रे, त्यांचे निष्कर्ष आणि परिणाम लक्षात ठेवावे लागतील. तोपर्यंत, तुम्ही फक्त सोप्या कोडींचा आनंद घेऊ शकता जिथे तुम्हाला समीप कोन शोधण्याची आवश्यकता आहे.

समीप कोन म्हणजे काय

कोपरा- हे भौमितिक आकृती(चित्र 1), OA आणि OB (कोनाच्या बाजू) दोन किरणांनी बनलेले, एका बिंदू O (कोनाचे शिरोबिंदू) मधून बाहेर पडतात.

लगतचे कोपरे- दोन कोन ज्यांची बेरीज 180° आहे. यातील प्रत्येक कोन दुसऱ्याला पूर्ण कोनासाठी पूरक आहे.

समीप कोन- (Agles adjacets) ज्यांना एक सामान्य शीर्ष आणि एक समान बाजू आहे. बहुतेक, हे नाव कोनांना सूचित करते ज्याच्या उरलेल्या दोन बाजू एका सरळ रेषेच्या विरुद्ध दिशेने असतात.

दोन कोनांची एक बाजू सामाईक असल्यास त्यांना समीप म्हटले जाते आणि या कोनांच्या इतर बाजू पूरक अर्ध-रेषा आहेत.

तांदूळ 2

आकृती 2 मध्ये, कोन a1b आणि a2b समीप आहेत. त्यांची एक सामान्य बाजू b आहे आणि बाजू a1, a2 अतिरिक्त अर्ध-रेषा आहेत.

तांदूळ 3

आकृती 3 सरळ रेषा AB दाखवते, बिंदू C हा बिंदू A आणि B मध्ये स्थित आहे. बिंदू D हा सरळ AB वर नसलेला बिंदू आहे. असे दिसून आले की कोन BCD आणि ACD समीप आहेत. त्यांच्याकडे एक सामान्य बाजूची CD आहे, आणि बाजू CA आणि CB या सरळ रेषेच्या AB च्या अतिरिक्त अर्ध्या रेषा आहेत, कारण बिंदू A, B प्रारंभ बिंदू C ने विभक्त केले आहेत.

समीप कोन प्रमेय

प्रमेय:समीप कोनांची बेरीज 180° आहे

पुरावा:
कोन a1b आणि a2b समीप आहेत (चित्र 2 पहा) किरण b उलगडलेल्या कोनाच्या a1 आणि a2 बाजूंमधून जातो. म्हणून, a1b आणि a2b कोनांची बेरीज विकसित कोनाच्या समान आहे, म्हणजेच 180°. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

९०° च्या बरोबरीच्या कोनाला काटकोन म्हणतात. समीप कोनांच्या बेरजेवरील प्रमेयावरून असे दिसून येते की काटकोनाला लागून असलेला कोन देखील काटकोन असतो. 90° पेक्षा कमी कोनाला तीव्र म्हणतात आणि 90° पेक्षा जास्त कोनाला ओबट्युज म्हणतात. समीप कोनांची बेरीज 180° असल्याने, समीप असलेला कोन तीव्र कोन- अस्पष्ट कोन. ओब्टस अँगलला लागून असलेला कोन हा तीव्र कोन आहे.

समीप कोन- समान शिरोबिंदू असलेले दोन कोन, ज्याची एक बाजू सामान्य आहे आणि उर्वरित बाजू समान सरळ रेषेवर आहेत (एकत्रित नाही). समीप कोनांची बेरीज 180° आहे.

व्याख्या १.कोन हा समान मूळ असलेल्या दोन किरणांनी बांधलेला विमानाचा भाग असतो.

व्याख्या 1.1.कोन म्हणजे बिंदू - कोनाचा शिरोबिंदू - आणि या बिंदूपासून निघणाऱ्या दोन भिन्न अर्ध-रेषा - कोनाच्या बाजूंचा समावेश असलेली आकृती.
उदाहरणार्थ, Fig.1 मधील BOC कोन प्रथम दोन छेदणाऱ्या रेषांचा विचार करू. जेव्हा सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात तेव्हा ते कोन तयार करतात. विशेष प्रकरणे आहेत:

व्याख्या २.जर कोनाच्या बाजू एका सरळ रेषेच्या अतिरिक्त अर्ध्या रेषा असतील तर त्या कोनास विकसित म्हणतात.

व्याख्या 3.काटकोन म्हणजे ९० अंश मोजणारा कोन.

व्याख्या 4. 90 अंशांपेक्षा कमी कोनाला तीव्र कोन म्हणतात.

व्याख्या 5. 90 अंशांपेक्षा जास्त आणि 180 अंशांपेक्षा कमी कोनाला ओबटस कोन म्हणतात.
छेदणाऱ्या रेषा.

व्याख्या 6.दोन कोन, ज्याची एक बाजू सामान्य असते आणि दुसरी बाजू एकाच सरळ रेषेवर असते, त्यांना समीप असे म्हणतात.

व्याख्या 7.ज्या कोनांच्या बाजू एकमेकांना चालू ठेवतात त्यांना उभ्या कोन म्हणतात.
आकृती 1 मध्ये:
समीप: 1 आणि 2; 2 आणि 3; 3 आणि 4; 4 आणि 1
अनुलंब: 1 आणि 3; 2 आणि 4
प्रमेय १.समीप कोनांची बेरीज 180 अंश आहे.
पुराव्यासाठी, अंजीर मध्ये विचार करा. 4 समीप कोन AOB आणि BOC. त्यांची बेरीज विकसित कोन AOC आहे. म्हणून, या समीप कोनांची बेरीज 180 अंश आहे.

तांदूळ 4

गणित आणि संगीत यांचा संबंध

"कला आणि विज्ञान, त्यांचे परस्पर संबंध आणि विरोधाभास याबद्दल विचार करताना, मी या निष्कर्षावर पोहोचलो की गणित आणि संगीत अत्यंत ध्रुवांवर आहेत. मानवी आत्मा"हे दोन अँटीपोड्स मर्यादित आहेत आणि मनुष्याच्या सर्व सर्जनशील आध्यात्मिक क्रियाकलापांद्वारे निर्धारित आहेत आणि त्यांच्यामध्ये मानवतेने विज्ञान आणि कलेच्या क्षेत्रात निर्माण केलेल्या सर्व गोष्टी आहेत."
G. Neuhaus
असे दिसते की कला हे गणितातील एक अतिशय अमूर्त क्षेत्र आहे. तथापि, गणित हा विज्ञानाचा सर्वात अमूर्त आहे आणि संगीत हा कलेचा सर्वात अमूर्त प्रकार असूनही, गणित आणि संगीत यांच्यातील संबंध ऐतिहासिक आणि आंतरिक दोन्ही प्रकारे निर्धारित केले जातात.
व्यंजन स्ट्रिंगचा आनंददायी आवाज निर्धारित करते
ही संगीत प्रणाली दोन महान शास्त्रज्ञांची नावे असलेल्या दोन नियमांवर आधारित होती - पायथागोरस आणि आर्किटास. हे कायदे आहेत:
1. दोन ध्वनी स्ट्रिंग्स त्यांची लांबी 10=1+2+3+4, उदा. जसे 1:2, 2:3, 3:4. शिवाय, n:(n+1) (n=1,2,3) या गुणोत्तरामध्ये n ही संख्या जितकी लहान असेल तितकी परिणामी मध्यांतर जास्त व्यंजन असेल.
2. ध्वनी स्ट्रिंगची कंपन वारंवारता w तिच्या लांबी l च्या व्यस्त प्रमाणात असते.
w = a:l,
जेथे a हा गुणांक वर्णित करतो भौतिक गुणधर्मतार

मी तुम्हाला दोन गणितज्ञांमधील वादाबद्दल एक मजेदार विडंबन देखील देऊ करेन =)

आपल्या सभोवतालची भूमिती

आपल्या जीवनात भूमितीला फारसे महत्त्व नाही. आपण आजूबाजूला पहाल तेव्हा हे लक्षात घेणे कठीण होणार नाही की आपण विविध भूमितीय आकारांनी वेढलेले आहोत. आम्ही त्यांना सर्वत्र भेटतो: रस्त्यावर, वर्गात, घरी, उद्यानात, आत व्यायामशाळा, शाळेच्या कॅफेटेरियामध्ये, मुळात तुम्ही आणि मी कुठेही असू. पण आजच्या धड्याचा विषय जवळचा निखारा आहे. चला तर मग आजूबाजूला बघू या आणि या वातावरणातील कोन शोधण्याचा प्रयत्न करूया. जर तुम्ही खिडकीकडे बारकाईने पाहिले तर तुम्हाला दिसेल की काही झाडांच्या फांद्या लगतचे कोपरे तयार करतात आणि गेटवरील विभाजनांमध्ये तुम्हाला अनेक उभ्या कोन दिसतात. तुम्ही तुमच्या वातावरणात पाहत असलेल्या समीप कोनांची तुमची स्वतःची उदाहरणे द्या.

कार्य १.

1. बुक स्टँडवर टेबलवर एक पुस्तक आहे. तो कोणता कोन तयार करतो?
2. परंतु विद्यार्थी लॅपटॉपवर काम करत आहे. तुम्हाला इथे कोणता कोन दिसतो?
3. स्टँडवर फोटो फ्रेम कोणता कोन बनतो?
4. दोन समीप कोन समान असणे शक्य आहे असे तुम्हाला वाटते का?

कार्य २.

तुमच्या समोर एक भौमितिक आकृती आहे. ही कसली आकृती आहे, नाव सांगा? आता या भौमितिक आकृतीवर तुम्हाला दिसणाऱ्या सर्व समीप कोनांची नावे द्या.

कार्य 3.

येथे रेखाचित्र आणि पेंटिंगची प्रतिमा आहे. त्यांना काळजीपूर्वक पहा आणि मला सांगा की तुम्हाला चित्रात कोणत्या प्रकारचे मासे दिसत आहेत आणि तुम्हाला चित्रात कोणते कोन दिसत आहेत.

समस्या सोडवणे

पूर्वी शिकलेल्या सामग्रीचे पुनरावलोकन करण्यासाठी गणितीय श्रुतलेख

समस्या सोडवा:

1. 2 सरळ रेषांना छेदून तयार झालेल्या 3 कोनांची बेरीज 100° असू शकते का? ३७०°?
2. आकृतीमध्ये, समीप कोनांच्या सर्व जोड्या शोधा. आणि आता उभ्या कोन. या कोनांची नावे द्या.

3. तुम्हाला कोन शोधणे आवश्यक आहे जेव्हा तो त्याच्या समीप असलेल्यापेक्षा तीनपट मोठा असतो.
4. दोन सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात. या छेदनबिंदूच्या परिणामी, चार कोपरे तयार झाले. त्यापैकी कोणत्याहीचे मूल्य निश्चित करा, बशर्ते की:

अ) चार पैकी 2 कोनांची बेरीज 84° आहे;
b) 2 कोनांमधील फरक 45° आहे;
c) एक कोन दुसऱ्यापेक्षा 4 पट लहान आहे;
d) यातील तीन कोनांची बेरीज 290° आहे.

धडा सारांश

1. 2 सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात तेव्हा तयार होणाऱ्या कोनांची नावे सांगा?
2. आकृतीमध्ये कोनांच्या सर्व संभाव्य जोड्यांची नावे द्या आणि त्यांचा प्रकार निश्चित करा.

गृहपाठ:

1. समीप कोनांच्या अंश मापांचे गुणोत्तर शोधा जेव्हा त्यापैकी एक दुसऱ्यापेक्षा 54° मोठा असेल.
2. 2 सरळ रेषा एकमेकांना छेदतात तेव्हा तयार होणारे कोन शोधा, बशर्ते की कोनांपैकी एक कोन त्याच्या समीप असलेल्या 2 इतर कोनांच्या बेरजेइतका असेल.
3. समीप कोन शोधणे आवश्यक आहे जेव्हा त्यापैकी एकाचा दुभाजक दुसऱ्याच्या बाजूने दुसरा कोन बनवतो जो दुसऱ्या कोनापेक्षा 60° मोठा असतो.
4. 2 समीप कोनांमधील फरक या दोन कोनांच्या बेरीजच्या एक तृतीयांश इतका आहे. 2 समीप कोनांची मूल्ये निश्चित करा.
5. 2 समीप कोनांचा फरक आणि बेरीज अनुक्रमे 1:5 च्या प्रमाणात आहे. समीप कोन शोधा.
6. दोन समीप असलेल्यांमधील फरक त्यांच्या बेरजेच्या 25% आहे. 2 समीप कोनांची मूल्ये कशी संबंधित आहेत? 2 समीप कोनांची मूल्ये निश्चित करा.

प्रश्न:

1. कोन म्हणजे काय?
2. कोणत्या प्रकारचे कोन आहेत?
3. समीप कोनांचा गुणधर्म काय आहे?

प्रश्न १.कोणत्या कोनांना समीप म्हणतात?
उत्तर द्या.दोन कोनांची एक बाजू सामाईक असल्यास त्यांना समीप म्हटले जाते आणि या कोनांच्या इतर बाजू पूरक अर्ध-रेषा आहेत.
आकृती 31 मध्ये, कोन (a 1 b) आणि (a 2 b) समीप आहेत. त्यांच्यात बाजू b सामाईक आहे आणि बाजू a 1 आणि a 2 अतिरिक्त अर्ध-रेषा आहेत.

प्रश्न २.समीप कोनांची बेरीज 180° आहे हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या. प्रमेय 2.1.समीप कोनांची बेरीज 180° आहे.
पुरावा.कोन (a 1 b) आणि कोन (a 2 b) समीप कोन देऊ द्या (चित्र 31 पहा). रे b एका सरळ कोनाच्या a 1 आणि a 2 मधून जातो. म्हणून, कोनांची बेरीज (a 1 b) आणि (a 2 b) उलगडलेल्या कोनाशी समान आहे, म्हणजे 180°. Q.E.D.

प्रश्न 3.दोन कोन समान असल्यास त्यांचे समीप कोन देखील समान आहेत हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या.

प्रमेय पासून 2.1 हे खालीलप्रमाणे आहे की जर दोन कोन समान असतील तर त्यांचे समीप कोन समान असतील.
समजा कोन (a 1 b) आणि (c 1 d) समान आहेत. आपल्याला हे सिद्ध करावे लागेल की कोन (a 2 b) आणि (c 2 d) देखील समान आहेत.
समीप कोनांची बेरीज 180° आहे. यावरून पुढे येते की a 1 b + a 2 b = 180° आणि c 1 d + c 2 d = 180°. म्हणून, a 2 b = 180° - a 1 b आणि c 2 d = 180° - c 1 d. कोन (a 1 b) आणि (c 1 d) समान असल्याने, आपल्याला a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d मिळते. समान चिन्हाच्या संक्रमणाच्या गुणधर्मानुसार ते 2 b = c 2 d चे अनुसरण करते. Q.E.D.

प्रश्न 4.कोणत्या कोनाला उजवा (तीव्र, स्थूल) म्हणतात?
उत्तर द्या.९०° च्या बरोबरीच्या कोनाला काटकोन म्हणतात.
90° पेक्षा कमी कोनाला तीव्र कोन म्हणतात.
90° पेक्षा जास्त आणि 180° पेक्षा कमी कोनाला ओबट्युज म्हणतात.

प्रश्न 5.काटकोनाला लागून असलेला कोन काटकोन आहे हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या.समीप कोनांच्या बेरजेवरील प्रमेयावरून असे दिसते की काटकोनाला लागून असलेला कोन काटकोन आहे: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

प्रश्न 6.कोणत्या कोनांना अनुलंब म्हणतात?
उत्तर द्या.एका कोनाच्या बाजू दुस-या बाजूंच्या अर्ध-रेषा पूरक असतील तर दोन कोनांना उभ्या म्हणतात.

प्रश्न 7.उभे कोन समान आहेत हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या. प्रमेय 2.2. अनुलंब कोन समान आहेत.
पुरावा.(a 1 b 1) आणि (a 2 b 2) हे दिलेले उभे कोन असू द्या (Fig. 34). कोन (a 1 b 2) कोन (a 1 b 1) आणि कोन (a 2 b 2) च्या समीप आहे. येथून, समीप कोनांच्या बेरजेवर प्रमेय वापरून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की प्रत्येक कोन (a 1 b 1) आणि (a 2 b 2) कोन (a 1 b 2) ते 180°, उदा. कोन (a 1 b 1) आणि (a 2 b 2) समान आहेत. Q.E.D.

प्रश्न 8.दोन रेषा एकमेकांना छेदतात तेव्हा एक कोन बरोबर असेल तर बाकीचे तीन कोन बरोबर असतात हे सिद्ध करा.
उत्तर द्या.समजा रेषा AB आणि CD एकमेकांना O बिंदूवर छेदतात. समजा कोन AOD 90° आहे. समीप कोनांची बेरीज 180° असल्याने, आम्हाला ते AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° मिळते. कोन COB कोन AOD च्या अनुलंब आहे, म्हणून ते समान आहेत. म्हणजेच कोन COB = 90°. कोन COA कोन BOD च्या अनुलंब आहे, म्हणून ते समान आहेत. म्हणजेच कोन BOD = 90°. अशा प्रकारे, सर्व कोन 90° सारखे आहेत, म्हणजेच ते सर्व काटकोन आहेत. Q.E.D.

प्रश्न 9.कोणत्या रेषांना लंब म्हणतात? रेषांचा लंब दर्शविण्यासाठी कोणते चिन्ह वापरले जाते?
उत्तर द्या.दोन रेषा काटकोनात छेदत असल्यास त्यांना लंब म्हणतात.
रेषांची लंबकता \(\perp\) चिन्हाद्वारे दर्शविली जाते. एंट्री \(a\perp b\) वाचते: "रेषा a रेषा b ला लंब आहे."

प्रश्न 10.हे सिद्ध करा की रेषेवरील कोणत्याही बिंदूद्वारे तुम्ही त्यावर लंब असलेली रेषा काढू शकता आणि फक्त एक.
उत्तर द्या. प्रमेय 2.3.प्रत्येक रेषेद्वारे तुम्ही त्यावर लंब एक रेषा काढू शकता आणि फक्त एक.
पुरावा.एक दिलेली रेषा आणि A वर दिलेला बिंदू असू द्या. प्रारंभ बिंदू A (चित्र 38) सह सरळ रेषेच्या अर्ध्या रेषांपैकी 1 द्वारे दर्शवू. अर्ध्या रेषा a 1 मधून 90° इतका कोन (a 1 b 1) वजा करू. नंतर किरण b 1 असलेली सरळ रेषा a ला लंब असेल.

बिंदू A मधून जाणारी आणि रेषा a ला लंब असणारी आणखी एक रेषा आहे असे गृहीत धरू या. या रेषेची अर्धी रेषा c 1 ने दर्शवूया, जी किरण b 1 सह त्याच अर्ध्या समतलात आहे.
कोन (a 1 b 1) आणि (a 1 c 1), प्रत्येक 90° च्या बरोबरीचे, अर्ध-रेषा a 1 पासून एका अर्ध्या समतलात मांडले जातात. परंतु अर्ध-रेषेतून 1 90° इतकाच एक कोन दिलेल्या अर्ध्या विमानात ठेवता येतो. म्हणून, बिंदू A मधून जाणारी दुसरी रेषा असू शकत नाही आणि रेषा a ला लंब असू शकत नाही. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

प्रश्न 11.रेषेला लंब म्हणजे काय?
उत्तर द्या.दिलेल्या रेषेचा लंब हा दिलेल्या रेषेला लंब असलेल्या रेषेचा एक विभाग असतो, ज्याचे एक टोक त्यांच्या छेदनबिंदूवर असते. विभागाच्या या टोकाला म्हणतात आधारलंब

प्रश्न 12.विरोधाभासाने कोणता पुरावा असतो ते स्पष्ट करा.
उत्तर द्या.प्रमेय 2.3 मध्ये आपण वापरलेली पुरावा पद्धत विरोधाभासाने पुरावा म्हणतात. पुराव्याची ही पद्धत म्हणजे आपण प्रथम एक गृहितक बनवतो त्या उलट, जे प्रमेयाने सांगितले आहे. मग, तर्क करून, स्वयंसिद्ध आणि सिद्ध प्रमेयांवर विसंबून, आपण अशा निष्कर्षाप्रत पोहोचतो जो एकतर प्रमेयाच्या परिस्थितीशी किंवा स्वयंसिद्धांपैकी एकाचा किंवा पूर्वी सिद्ध झालेल्या प्रमेयांशी विरोधाभास करतो. या आधारावर, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की आमची धारणा चुकीची होती आणि म्हणून प्रमेय विधान सत्य आहे.

प्रश्न १३.कोनाचा दुभाजक किती असतो?
उत्तर द्या.कोनाचा दुभाजक हा एक किरण आहे जो कोनाच्या शिरोबिंदूमधून बाहेर पडतो, त्याच्या बाजूंमधून जातो आणि कोन अर्ध्यामध्ये विभाजित करतो.

दोन कोनांची एक बाजू सामाईक असल्यास त्यांना समीप म्हटले जाते आणि या कोनांच्या इतर बाजू पूरक किरण असतात. आकृती 20 मध्ये, कोन AOB आणि BOC समीप आहेत.

समीप कोनांची बेरीज 180° आहे

प्रमेय 1. समीप कोनांची बेरीज 180° आहे.

पुरावा. बीम ओबी (चित्र 1 पहा) उलगडलेल्या कोनाच्या बाजूंमधून जातो. त्यामुळेच ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

प्रमेय 1 वरून असे दिसून येते की जर दोन कोन समान असतील तर त्यांचे समीप कोन समान असतील.

अनुलंब कोन समान आहेत

जर एका कोनाच्या बाजू दुसऱ्या बाजूंच्या पूरक किरण असतील तर दोन कोनांना उभ्या म्हणतात. दोन सरळ रेषांच्या छेदनबिंदूवर तयार झालेले AOB आणि COD, BOD आणि AOC हे कोन उभे आहेत (चित्र 2).

प्रमेय 2. अनुलंब कोन समान आहेत.

पुरावा. AOB आणि COD या उभ्या कोनांचा विचार करूया (चित्र 2 पहा). कोन BOD प्रत्येक कोन AOB आणि COD ला लागून आहे. प्रमेय 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

यावरून आपण असा निष्कर्ष काढतो की ∠ AOB = ∠ COD.

कोरोलरी 1. काटकोनाला लागून असलेला कोन म्हणजे काटकोन.

AC आणि BD (चित्र 3) यांना छेदणाऱ्या दोन सरळ रेषांचा विचार करा. ते चार कोपरे तयार करतात. जर त्यापैकी एक सरळ असेल (चित्र 3 मधील कोन 1), तर उर्वरित कोन देखील उजवे आहेत (कोन 1 आणि 2, 1 आणि 4 समीप आहेत, कोन 1 आणि 3 उभे आहेत). या प्रकरणात, ते म्हणतात की या रेषा काटकोनात छेदतात आणि त्यांना लंब (किंवा परस्पर लंब) म्हणतात. AC आणि BD रेषांची लंबकता खालीलप्रमाणे दर्शविली जाते: AC ⊥ BD.

सेगमेंटला लंबदुभाजक ही रेषा या विभागाला लंब असते आणि त्याच्या मध्यबिंदूतून जाते.

AN - रेषेला लंब

एक सरळ रेषा a आणि त्यावर पडलेला नसलेला बिंदू A विचारात घ्या (चित्र 4). बिंदू A ला एका रेषाखंडासह H बिंदूशी सरळ रेषा a सह जोडू. रेषा AN आणि a लंब असल्यास बिंदू A पासून रेषा a पर्यंत काढलेल्या AN खंडाला लंब म्हणतात. बिंदू H ला लंबाचा पाया म्हणतात.

रेखाचित्र चौरस

खालील प्रमेय सत्य आहे.

प्रमेय 3. रेषेवर नसलेल्या कोणत्याही बिंदूपासून, या रेषेला लंब काढणे शक्य आहे, आणि त्याशिवाय, फक्त एक.

रेखांकनातील एका बिंदूपासून सरळ रेषेपर्यंत लंब काढण्यासाठी, ड्रॉइंग स्क्वेअर (चित्र 5) वापरा.

टिप्पणी द्या. प्रमेयाच्या निर्मितीमध्ये सहसा दोन भाग असतात. एक भाग काय दिले आहे याबद्दल बोलतो. या भागाला प्रमेयाची स्थिती म्हणतात. दुसरा भाग काय सिद्ध करणे आवश्यक आहे याबद्दल बोलतो. या भागाला प्रमेयाचा निष्कर्ष म्हणतात. उदाहरणार्थ, प्रमेय 2 ची स्थिती अशी आहे की कोन उभे आहेत; निष्कर्ष - हे कोन समान आहेत.

कोणतेही प्रमेय शब्दांमध्ये तपशीलवार व्यक्त केले जाऊ शकते जेणेकरुन त्याची स्थिती “जर” या शब्दाने सुरू होईल आणि “तर” या शब्दाने त्याचा निष्कर्ष निघेल. उदाहरणार्थ, प्रमेय 2 खालीलप्रमाणे तपशीलवार सांगितले जाऊ शकते: "जर दोन कोन उभे असतील तर ते समान असतील."

उदाहरण १.समीप कोनांपैकी एक 44° आहे. इतर समान काय आहे?

उपाय. प्रमेय 1 नुसार दुसऱ्या कोनाचे अंश माप x ने दर्शवू.
44° + x = 180°.
परिणामी समीकरण सोडवताना आपल्याला आढळते की x = 136°. म्हणून, दुसरा कोन 136° आहे.

उदाहरण २.आकृती 21 मधील COD कोन 45° असू द्या. AOB आणि AOC कोणते कोन आहेत?

उपाय. कोन COD आणि AOB अनुलंब आहेत, म्हणून, प्रमेय 1.2 नुसार ते समान आहेत, म्हणजे ∠ AOB = 45°. कोन AOC कोन सीओडीला लागून आहे, याचा अर्थ प्रमेय 1 नुसार आहे.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

उदाहरण ३.समीप कोन शोधा जर त्यापैकी एक दुसऱ्यापेक्षा 3 पट मोठा असेल.

उपाय. x ने लहान कोनाचे अंश माप दर्शवू. नंतर मोठ्या कोनाचे अंश माप 3x असेल. समीप कोनांची बेरीज 180° (प्रमेय 1) इतकी असल्याने x + 3x = 180°, तेथून x = 45°.
याचा अर्थ असा की समीप कोन 45° आणि 135° आहेत.

उदाहरण ४.दोन उभ्या कोनांची बेरीज 100° आहे. चार कोनांपैकी प्रत्येकाचा आकार शोधा.

उपाय. आकृती 2 ला समस्येच्या परिस्थितीची पूर्तता करू द्या COD ते AOB समान आहेत (प्रमेय 2), ज्याचा अर्थ असा आहे की त्यांचे अंश देखील समान आहेत. म्हणून, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (स्थितीनुसार त्यांची बेरीज 100° आहे). कोन BOD (कोन AOC देखील) कोन सीओडीला लागून आहे, आणि म्हणून, प्रमेय 1 द्वारे
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.