त्रिज्याद्वारे वर्तुळाकार कमानाच्या लांबीची गणना. वर्तुळ भूमिती

वर्तुळ, त्याचे भाग, त्यांचे आकार आणि नातेसंबंध अशा गोष्टी आहेत ज्यांचा ज्वेलर सतत सामना करतो. अंगठ्या, बांगड्या, जाती, नळ्या, बॉल, सर्पिल - खूप गोलाकार गोष्टी कराव्या लागतात. तुम्ही हे सर्व कसे मोजू शकता, विशेषत: जर तुम्ही शाळेत भूमितीचे वर्ग वगळण्यासाठी भाग्यवान असाल तर?..

प्रथम वर्तुळात कोणते भाग आहेत आणि त्यांना काय म्हणतात ते पाहू.

• वर्तुळ म्हणजे वर्तुळाला वेढणारी रेषा.
• चाप म्हणजे वर्तुळाचा एक भाग.
• त्रिज्या हा वर्तुळाच्या मध्यभागी वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदूशी जोडणारा विभाग आहे.
• जीवा म्हणजे वर्तुळावरील दोन बिंदूंना जोडणारा खंड.
• सेगमेंट हा वर्तुळाचा एक भाग आहे जो जीवा आणि कमानीने बांधलेला असतो.
• सेक्टर म्हणजे वर्तुळाचा दोन त्रिज्या आणि कमानीने बांधलेला भाग.

आम्हाला स्वारस्य असलेले प्रमाण आणि त्यांचे पदनाम:

आता वर्तुळाच्या भागांशी संबंधित कोणत्या समस्या सोडवल्या पाहिजेत ते पाहू.

• अंगठीच्या (ब्रेसलेट) कोणत्याही भागाच्या विकासाची लांबी शोधा. व्यास आणि जीवा (पर्याय: व्यास आणि मध्य कोन) दिल्यास, कमानीची लांबी शोधा.
• विमानात एक रेखांकन आहे, आपण त्यास कमानीमध्ये वाकल्यानंतर प्रोजेक्शनमध्ये त्याचा आकार शोधणे आवश्यक आहे. कमानीची लांबी आणि व्यास पाहता, जीवा लांबी शोधा.
• एका सपाट वर्कपीसला कमानीत वाकवून मिळवलेल्या भागाची उंची शोधा. स्रोत डेटा पर्याय: कमानीची लांबी आणि व्यास, कमानीची लांबी आणि जीवा; विभागाची उंची शोधा.

जीवन तुम्हाला इतर उदाहरणे देईल, परंतु मी ही फक्त इतर सर्व शोधण्यासाठी काही दोन पॅरामीटर्स सेट करण्याची आवश्यकता दर्शविण्यासाठी दिली आहेत. हे आम्ही करणार आहोत. म्हणजे, आम्ही विभागाचे पाच पॅरामीटर्स घेऊ: D, L, X, φ आणि H. त्यानंतर, त्यांच्यातील सर्व संभाव्य जोड्या निवडून, आम्ही त्यांचा प्रारंभिक डेटा म्हणून विचार करू आणि विचारमंथन करून उर्वरित सर्व शोधू.

वाचकांवर अनावश्यक भार पडू नये म्हणून, मी तपशीलवार उपाय देणार नाही, परंतु केवळ सूत्रांच्या स्वरूपात निकाल सादर करेन (ज्या प्रकरणांमध्ये कोणतेही औपचारिक समाधान नाही, मी मार्गात चर्चा करेन).

आणि आणखी एक टीप: मोजमापाच्या युनिट्सबद्दल. मध्यवर्ती कोन वगळता सर्व प्रमाण समान अमूर्त एककांमध्ये मोजले जातात. याचा अर्थ असा की, उदाहरणार्थ, जर तुम्ही एक मूल्य मिलीमीटरमध्ये निर्दिष्ट केले, तर दुसरे सेंटीमीटरमध्ये निर्दिष्ट करण्याची आवश्यकता नाही आणि परिणामी मूल्ये त्याच मिलिमीटरमध्ये मोजली जातील (आणि चौरस मिलिमीटरमधील क्षेत्रे). इंच, फूट आणि नॉटिकल मैलसाठीही असेच म्हणता येईल.

आणि सर्व प्रकरणांमध्ये फक्त मध्यवर्ती कोन अंशांमध्ये मोजला जातो आणि इतर काहीही नाही. कारण, अंगठ्याचा नियम म्हणून, जे लोक काहीतरी गोल डिझाइन करतात ते रेडियनमध्ये कोन मोजत नाहीत. “अँगल पाई बाय फोर” हा वाक्यांश अनेकांना गोंधळात टाकतो, तर “पंचेचाळीस अंशांचा कोन” हा प्रत्येकाला समजण्यासारखा आहे, कारण तो सामान्यपेक्षा फक्त पाच अंश जास्त आहे. तथापि, सर्व सूत्रांमध्ये आणखी एक कोन असेल - α - मध्यवर्ती मूल्य म्हणून उपस्थित असेल. अर्थानुसार, हा अर्धा मध्यवर्ती कोन आहे, रेडियनमध्ये मोजला जातो, परंतु आपण सुरक्षितपणे या अर्थाचा शोध घेऊ शकत नाही.

1. व्यास D आणि कंस लांबी L दिले

; जीवा लांबी ;
विभागाची उंची ; मध्यवर्ती कोन .

2. दिलेला व्यास D आणि जीवा लांबी X

; कंस लांबी;
विभागाची उंची ; मध्यवर्ती कोन .

जीवा वर्तुळाचे दोन भागांमध्ये विभाजन करत असल्याने, या समस्येला एक नाही तर दोन उपाय आहेत. दुसरा मिळविण्यासाठी, तुम्हाला वरील सूत्रांमधील कोन α कोनाने पुनर्स्थित करणे आवश्यक आहे.

3. व्यास D आणि मध्य कोन φ दिले

; कंस लांबी;
जीवा लांबी ; विभागाची उंची .

4. H या विभागाचा व्यास D आणि उंची दिली आहे

; कंस लांबी;
जीवा लांबी ; मध्यवर्ती कोन .

6. दिलेला कंस लांबी L आणि मध्य कोन φ

; व्यास;
जीवा लांबी ; विभागाची उंची .

8. जीवा लांबी X आणि मध्य कोन φ दिले

; चाप लांबी ;
व्यास; विभागाची उंची .

9. जीवा X ची लांबी आणि खंड H ची उंची दिली

; चाप लांबी ;
व्यास; मध्यवर्ती कोन .

10. मध्यवर्ती कोन φ आणि H खंडाची उंची दिली

; व्यास ;
कंस लांबी; जीवा लांबी .

लक्ष देणारा वाचक मदत करू शकला नाही परंतु लक्षात घ्या की मी दोन पर्याय गमावले आहेत:

5. दिलेली चाप लांबी L आणि जीवा लांबी X

7. कंस L ची लांबी आणि H खंडाची उंची दिली

ही फक्त दोन अप्रिय प्रकरणे आहेत जेव्हा समस्येला सूत्राच्या स्वरूपात लिहिता येईल असे समाधान नसते. आणि कार्य इतके दुर्मिळ नाही. उदाहरणार्थ, तुमच्याकडे L लांबीचा एक सपाट तुकडा आहे आणि तुम्हाला तो वाकवायचा आहे जेणेकरून त्याची लांबी X होईल (किंवा त्याची उंची H होईल). मी मँडरेल (क्रॉसबार) किती व्यासाचा घ्यावा?

ही समस्या समीकरणे सोडवण्यासाठी खाली येते:
; - पर्याय 5 मध्ये
; - पर्याय 7 मध्ये
आणि जरी ते विश्लेषणात्मक रीतीने सोडवता येत नसले तरी ते प्रोग्रामॅटिक पद्धतीने सोडवता येतात. आणि असा प्रोग्राम कोठे मिळवायचा हे मला माहित आहे: या साइटवर, नावाखाली . मी तुम्हाला सांगत असलेल्या सर्व गोष्टी ती मायक्रोसेकंदमध्ये करते.

चित्र पूर्ण करण्यासाठी, आपल्या गणनेच्या परिणामांमध्ये परिघ आणि तीन क्षेत्रीय मूल्ये जोडू - वर्तुळ, क्षेत्र आणि खंड. (सर्व गोल आणि अर्धवर्तुळाकार भागांच्या वस्तुमानाची गणना करताना क्षेत्रफळ आपल्याला खूप मदत करतील, परंतु एका स्वतंत्र लेखात याबद्दल अधिक.) या सर्व प्रमाणांची गणना समान सूत्रे वापरून केली जाते:

घेर;
वर्तुळाचे क्षेत्रफळ ;
सेक्टर क्षेत्र ;
विभाग क्षेत्र ;

आणि शेवटी, मी तुम्हाला पुन्हा एकदा एक पूर्णपणे विनामूल्य प्रोग्रामच्या अस्तित्वाची आठवण करून देतो जो वरील सर्व गणना करतो, तुम्हाला आर्कटॅंजेंट काय आहे आणि ते कुठे शोधायचे हे लक्षात ठेवण्याची गरज नाही.

घेरबंद, समतल वक्र असे म्हणतात, ज्याचे सर्व बिंदू, एकाच समतलात पडलेले, केंद्रापासून समान अंतरावर स्थित आहेत.

डॉट बद्दल वर्तुळाचे केंद्र आहे, आर वर्तुळाची त्रिज्या आहे - वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदूपासून केंद्रापर्यंतचे अंतर. व्याख्येनुसार, बंदची सर्व त्रिज्या

तांदूळ १

वक्रांची लांबी समान आहे.

वर्तुळावरील दोन बिंदूंमधील अंतराला जीवा म्हणतात. वर्तुळाच्या मध्यभागातून जाणाऱ्या आणि त्यातील दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या एका विभागाला व्यास म्हणतात. व्यासाचा मध्यबिंदू वर्तुळाचे केंद्र आहे. वर्तुळावरील बिंदू बंद वक्र दोन भागांमध्ये विभागतात, प्रत्येक भागाला वर्तुळाकार चाप म्हणतात. जर कमानीचे टोक व्यासाचे असतील तर अशा वर्तुळाला अर्धवर्तुळ म्हणतात, ज्याची लांबी सहसा दर्शविली जाते. π . समान टोके असलेल्या दोन वर्तुळांचे अंश माप 360 अंश आहे.

समकेंद्रित वर्तुळे ही वर्तुळे असतात ज्यांचे एक समान केंद्र असते. ऑर्थोगोनल वर्तुळ ही वर्तुळे आहेत जी 90 अंशांच्या कोनात छेदतात.

वर्तुळाने वेढलेल्या विमानाला वर्तुळ म्हणतात. वर्तुळाचा एक भाग, जो दोन त्रिज्या आणि कमानीने मर्यादित आहे, तो गोलाकार क्षेत्र आहे. सेक्टर आर्क एक चाप आहे जो सेक्टरला बांधतो.

तांदूळ. 2

वर्तुळ आणि सरळ रेषेची सापेक्ष स्थिती (चित्र 2).

सरळ रेषेपासून वर्तुळाच्या मध्यापर्यंतचे अंतर वर्तुळाच्या त्रिज्यापेक्षा कमी असल्यास वर्तुळ आणि सरळ रेषेत दोन बिंदू सामाईक असतात. या प्रकरणात, वर्तुळाच्या संबंधातील सरळ रेषेला सेकंट म्हणतात.

वर्तुळ आणि सरळ रेषेत एक समान बिंदू असतो जर सरळ रेषेपासून वर्तुळाच्या केंद्रापर्यंतचे अंतर वर्तुळाच्या त्रिज्याइतके असेल. या प्रकरणात, वर्तुळाच्या संबंधातील रेषेला वर्तुळाची स्पर्शिका म्हणतात. त्यांच्या सामान्य बिंदूला वर्तुळ आणि रेषेचा स्पर्शबिंदू म्हणतात.

मूलभूत वर्तुळ सूत्रे:

• C = 2πR , कुठे सी - घेर
• R = С/(2π) = D/2 , कुठे С/(२π) — वर्तुळाच्या कमानीची लांबी
• D = C/π = 2R , कुठे डी - व्यास
• S = πR2 , कुठे एस - वर्तुळाचे क्षेत्रफळ
• S = ((πR2)/360)α , कुठे एस — वर्तुळाकार क्षेत्राचे क्षेत्रफळ

परिघ आणि वर्तुळाला त्यांचे नाव प्राचीन ग्रीसमध्ये मिळाले. आधीच प्राचीन काळी, लोकांना गोलाकार शरीरात रस होता, म्हणून वर्तुळ पूर्णतेचा मुकुट बनले. गोलाकार शरीर स्वतःहून फिरू शकते ही वस्तुस्थिती चाकाच्या शोधाची प्रेरणा होती. असे वाटेल की या शोधात विशेष काय आहे? पण कल्पना करा की एका क्षणात आपल्या आयुष्यातून चाके गायब झाली. या शोधामुळे नंतर वर्तुळाची गणितीय संकल्पना उदयास आली.

"A मिळवा" या व्हिडिओ कोर्समध्ये गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षा 60-65 गुणांसह यशस्वीरीत्या उत्तीर्ण होण्यासाठी आवश्यक असलेले सर्व विषय समाविष्ट आहेत. गणितातील प्रोफाइल युनिफाइड स्टेट परीक्षेची पूर्णपणे सर्व कार्ये 1-13. गणितातील मूलभूत युनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण होण्यासाठी देखील योग्य. जर तुम्हाला युनिफाइड स्टेट परीक्षा 90-100 गुणांसह उत्तीर्ण करायची असेल, तर तुम्हाला भाग 1 30 मिनिटांत आणि चुकल्याशिवाय सोडवावा लागेल!

ग्रेड 10-11, तसेच शिक्षकांसाठी युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी अभ्यासक्रम. गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेचा भाग 1 (पहिल्या 12 समस्या) आणि समस्या 13 (त्रिकोणमिति) सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेली प्रत्येक गोष्ट. आणि हे युनिफाइड स्टेट परीक्षेत 70 पेक्षा जास्त गुण आहेत आणि 100 गुणांचा विद्यार्थी किंवा मानवतेचा विद्यार्थी त्यांच्याशिवाय करू शकत नाही.

सर्व आवश्यक सिद्धांत. युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे द्रुत उपाय, तोटे आणि रहस्ये. FIPI टास्क बँकेच्या भाग 1 च्या सर्व वर्तमान कार्यांचे विश्लेषण केले गेले आहे. अभ्यासक्रम युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2018 च्या आवश्यकतांचे पूर्णपणे पालन करतो.

कोर्समध्ये 5 मोठे विषय आहेत, प्रत्येकी 2.5 तास. प्रत्येक विषय सुरवातीपासून, सरळ आणि स्पष्टपणे दिलेला आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्ये शेकडो. शब्द समस्या आणि संभाव्यता सिद्धांत. समस्या सोडवण्यासाठी सोपे आणि लक्षात ठेवण्यास सोपे अल्गोरिदम. भूमिती. सिद्धांत, संदर्भ साहित्य, सर्व प्रकारच्या युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्यांचे विश्लेषण. स्टिरिओमेट्री. अवघड उपाय, उपयुक्त फसवणूक पत्रके, अवकाशीय कल्पनाशक्तीचा विकास. त्रिकोणमिती सुरवातीपासून समस्येपर्यंत 13. क्रॅमिंगऐवजी समजून घेणे. जटिल संकल्पनांचे स्पष्ट स्पष्टीकरण. बीजगणित. मूळ, शक्ती आणि लॉगरिदम, कार्य आणि व्युत्पन्न. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग 2 च्या जटिल समस्या सोडवण्याचा आधार.

मंडळाशी संबंधित सर्व नावे तुम्हाला किती चांगली आठवतात? फक्त बाबतीत, आम्ही तुम्हाला आठवण करून देऊ - चित्रे पहा - तुमचे ज्ञान ताजे करा.

पहिल्याने - वर्तुळाचे केंद्र हा एक बिंदू आहे ज्यापासून वर्तुळावरील सर्व बिंदूंपासूनचे अंतर समान आहे.

दुसरे म्हणजे - त्रिज्या - मध्यभागी जोडणारा रेषाखंड आणि वर्तुळावरील बिंदू.

त्रिज्या भरपूर आहेत (वर्तुळावर जितके बिंदू आहेत तितके), पण सर्व त्रिज्या समान लांबीच्या असतात.

कधीकधी थोडक्यात त्रिज्याते तंतोतंत म्हणतात विभागाची लांबी"मध्यभागी वर्तुळावरील एक बिंदू आहे," आणि स्वतः खंड नाही.

आणि येथे काय होते ते आहे आपण वर्तुळावर दोन बिंदू जोडल्यास? तसेच एक विभाग?

म्हणून, या विभागाला म्हणतात "जीवा".

त्रिज्येच्या बाबतीत, व्यास ही बहुतेक वेळा वर्तुळावरील दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या आणि मध्यभागी जाणाऱ्या खंडाची लांबी असते. तसे, व्यास आणि त्रिज्या यांचा संबंध कसा आहे? काळजीपूर्वक पहा. अर्थात, त्रिज्या अर्ध्या व्यासाच्या समान आहे.

जीवा व्यतिरिक्त, देखील आहेत secants

सर्वात सोपी गोष्ट आठवते?

मध्य कोन म्हणजे दोन त्रिज्यांमधील कोन.

आणि आता - कोरलेला कोन

कोरलेला कोन - वर्तुळावरील एका बिंदूला छेदणारा दोन जीवांमधील कोन.

या प्रकरणात, ते म्हणतात की कोरलेला कोन कमानीवर (किंवा जीवावर) असतो.

चित्र पहा:

चाप आणि कोनांचे मोजमाप.

घेर. आर्क आणि कोन अंश आणि रेडियनमध्ये मोजले जातात. प्रथम, अंशांबद्दल. कोनांसाठी कोणतीही समस्या नाही - आपल्याला अंशांमध्ये चाप कसे मोजायचे हे शिकण्याची आवश्यकता आहे.

डिग्री माप (कमान आकार) हे संबंधित मध्य कोनाचे मूल्य (अंशांमध्ये) आहे

येथे "योग्य" या शब्दाचा अर्थ काय आहे? चला काळजीपूर्वक पाहू:

तुम्हाला दोन चाप आणि दोन मध्य कोन दिसतात का? बरं, एक मोठा कंस मोठ्या कोनाशी संबंधित असतो (आणि तो मोठा आहे हे ठीक आहे), आणि एक लहान चाप लहान कोनाशी संबंधित आहे.

म्हणून, आम्ही सहमत झालो: कमानीमध्ये संबंधित मध्य कोनाइतकेच अंश असतात.

आणि आता भितीदायक गोष्टीबद्दल - रेडियन्सबद्दल!

हा "रेडियन" कोणत्या प्रकारचा प्राणी आहे?

याची कल्पना करा: रेडियन हे कोन मोजण्याचा एक मार्ग आहे... त्रिज्यामध्ये!

रेडियनचा कोन हा एक मध्यवर्ती कोन आहे ज्याची चाप लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढी आहे.

मग प्रश्न उद्भवतो - सरळ कोनात किती रेडियन असतात?

दुसऱ्या शब्दांत: अर्ध्या वर्तुळात किती त्रिज्या “फिट” आहेत? किंवा दुसर्‍या प्रकारे: अर्ध्या वर्तुळाची लांबी त्रिज्यापेक्षा किती पटीने जास्त आहे?

प्राचीन ग्रीसमध्ये शास्त्रज्ञांनी हा प्रश्न विचारला.

आणि म्हणून, दीर्घ शोधानंतर, त्यांना आढळले की परिघ आणि त्रिज्याचे गुणोत्तर "मानवी" संख्यांमध्ये व्यक्त करू इच्छित नाही, इ.

आणि ही वृत्ती मुळांद्वारे व्यक्त करणे देखील शक्य नाही. म्हणजेच, असे दिसून आले की अर्धे वर्तुळ त्रिज्यापेक्षा पटीने किंवा पटीने मोठे आहे असे म्हणणे अशक्य आहे! तुम्ही कल्पना करू शकता की लोकांना पहिल्यांदा हे शोधणे किती आश्चर्यकारक होते?! अर्ध्या वर्तुळाच्या लांबीच्या त्रिज्येच्या गुणोत्तरासाठी, "सामान्य" संख्या पुरेसे नाहीत. मला एक पत्र टाकायचे होते.

तर, - ही एक संख्या आहे जी अर्धवर्तुळाच्या लांबीच्या त्रिज्याचे गुणोत्तर दर्शवते.

आता आपण या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकतो: सरळ कोनात किती रेडियन आहेत? त्यात रेडियन्स असतात. तंतोतंत कारण अर्धे वर्तुळ त्रिज्यापेक्षा पटीने मोठे आहे.

शतकानुशतके प्राचीन (आणि इतके प्राचीन नाही) लोक (!) या अनाकलनीय संख्येची अधिक अचूक गणना करण्याचा प्रयत्न केला, तो "सामान्य" संख्यांद्वारे (किमान अंदाजे) चांगल्या प्रकारे व्यक्त करण्यासाठी. आणि आता आम्ही आश्चर्यकारकपणे आळशी आहोत - व्यस्त दिवसानंतरची दोन चिन्हे आमच्यासाठी पुरेशी आहेत, आम्हाला सवय झाली आहे

त्याबद्दल विचार करा, याचा अर्थ, उदाहरणार्थ, एका त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाची लांबी अंदाजे समान आहे, परंतु ही अचूक लांबी "मानवी" संख्येसह लिहिणे अशक्य आहे - आपल्याला एक पत्र आवश्यक आहे. आणि मग हा घेर समान असेल. आणि अर्थातच, त्रिज्याचा घेर समान आहे.

चला रेडियन वर परत जाऊया.

सरळ कोनात रेडियन असतात हे आम्हाला आधीच कळले आहे.

आमच्याकडे काय आहे:

याचा अर्थ मी आनंदी आहे, म्हणजेच मी आनंदी आहे. त्याच प्रकारे, सर्वात लोकप्रिय कोन असलेली प्लेट प्राप्त केली जाते.

कोरलेल्या आणि मध्य कोनांच्या मूल्यांमधील संबंध.

एक आश्चर्यकारक तथ्य आहे:

कोरलेला कोन संबंधित मध्यवर्ती कोनाच्या अर्धा आकाराचा आहे.

हे विधान चित्रात कसे दिसते ते पहा. "संबंधित" मध्यवर्ती कोन म्हणजे ज्याची टोके कोरलेल्या कोनाच्या टोकाशी जुळतात आणि शिरोबिंदू मध्यभागी असतो. आणि त्याच वेळी, "संबंधित" मध्यवर्ती कोन कोरलेल्या कोनाप्रमाणेच जीवा () "दिसणे" आवश्यक आहे.

हे असे का होते? प्रथम एक साधी केस पाहू. एक जीवा मध्यभागी जाऊ द्या. असं कधी कधी घडतं, बरोबर?

इथे काय होते? चला विचार करूया. हे समद्विभुज आहे - सर्व केल्यानंतर, आणि - त्रिज्या. म्हणून, (त्यांना लेबल).

आता बघूया. यासाठी हा बाह्य कोपरा आहे! आम्हाला आठवते की बाह्य कोन त्याच्या शेजारी नसलेल्या दोन अंतर्गत कोनांच्या बेरजेइतका असतो आणि लिहा:

ते आहे! अनपेक्षित प्रभाव. पण शिलालेखासाठी मध्यवर्ती कोन देखील आहे.

याचा अर्थ असा की या प्रकरणात त्यांनी हे सिद्ध केले की मध्यवर्ती कोन कोरलेल्या कोनाच्या दुप्पट आहे. परंतु हे एक वेदनादायक विशेष प्रकरण आहे: जीवा नेहमीच मध्यभागी जात नाही हे खरे नाही का? पण हे ठीक आहे, आता हे विशिष्ट प्रकरण आम्हाला खूप मदत करेल. पहा: दुसरी केस: मध्यभागी आडवे राहू द्या.

चला हे करूया: व्यास काढा. आणि मग... आम्ही दोन चित्रे पाहतो ज्यांचे पहिल्या प्रकरणात आधीच विश्लेषण केले गेले होते. म्हणून आमच्याकडे ते आधीच आहे

याचा अर्थ (रेखाचित्रात, अ)

बरं, ते शेवटचे केस सोडते: केंद्र कोपऱ्याच्या बाहेर आहे.

आम्ही तेच करतो: बिंदूद्वारे व्यास काढा. सर्व काही समान आहे, परंतु बेरजेऐवजी फरक आहे.

इतकंच!

आता कोरलेला कोन मध्य कोनाच्या अर्धा आहे या विधानावरून दोन मुख्य आणि अतिशय महत्त्वाचे परिणाम बनवू.

परिणाम १

एका कमानीवर आधारित सर्व कोरलेले कोन एकमेकांना समान असतात.

आम्ही उदाहरण देतो:

एकाच कमानीवर (आमच्याकडे हा चाप आहे) आधारित असंख्य कोरलेले कोन आहेत, ते पूर्णपणे भिन्न दिसू शकतात, परंतु त्या सर्वांचा मध्य कोन समान आहे (), म्हणजे हे सर्व कोरलेले कोन आपापसात समान आहेत.

परिणाम २

व्यासाने कमी केलेला कोन काटकोन असतो.

पहा: कोणता कोन मध्यवर्ती आहे?

नक्कीच, . पण तो समान आहे! बरं, म्हणून (तसेच आणखी बरेच कोन केलेले कोन ज्यावर विश्रांती घेतली आहे) आणि समान आहे.

दोन जीवा आणि सेकंटमधील कोन

परंतु जर आपल्याला स्वारस्य असलेला कोन कोरलेला नसेल आणि मध्यवर्ती नसेल तर, उदाहरणार्थ, याप्रमाणे:

किंवा यासारखे?

काही मध्यवर्ती कोनातून व्यक्त करणे शक्य आहे का? हे शक्य आहे की बाहेर वळते. पहा: आम्हाला स्वारस्य आहे.

अ) (यासाठी बाह्य कोपरा म्हणून). पण - कोरलेले, कमानीवर टिकून आहे -. - शिलालेख, कमानीवर विसावलेले - .

सौंदर्यासाठी ते म्हणतात:

जीवांमधील कोन या कोनात बंदिस्त चापांच्या कोनीय मूल्यांच्या अर्ध्या बेरजेइतका असतो.

ते संक्षिप्ततेसाठी हे लिहितात, परंतु अर्थातच, हे सूत्र वापरताना तुम्हाला मध्यवर्ती कोन लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.

ब) आणि आता - “बाहेर”! कसे असावे? होय, जवळजवळ समान! फक्त आता (पुन्हा आम्ही बाह्य कोनाची मालमत्ता लागू करतो). ते आता आहे.

आणि याचा अर्थ... नोट्स आणि शब्दांमध्ये सौंदर्य आणि संक्षिप्तता आणूया:

सेकंट्समधील कोन या कोनात बंद केलेल्या आर्क्सच्या कोनीय मूल्यांमधील अर्ध्या फरकाच्या समान आहे.

बरं, आता तुम्ही वर्तुळाशी संबंधित कोनांच्या सर्व मूलभूत ज्ञानाने सज्ज आहात. पुढे जा, आव्हाने स्वीकारा!

वर्तुळ आणि अंतर्भूत कोन. सरासरी पातळी

वर्तुळ म्हणजे काय हे अगदी पाच वर्षांच्या मुलालाही माहीत आहे, बरोबर? गणितज्ञांची, नेहमीप्रमाणेच या विषयावर एक अमूर्त व्याख्या आहे, परंतु आपण ती देणार नाही (पहा), उलट वर्तुळाशी संबंधित बिंदू, रेषा आणि कोन काय म्हणतात हे लक्षात ठेवूया.

महत्त्वाच्या अटी

पहिल्याने:

दुसरे म्हणजे:

आणखी एक स्वीकृत अभिव्यक्ती आहे: "जवा कंस आकुंचन पावते." येथे आकृतीमध्ये, उदाहरणार्थ, जीवा कंस खाली करते. आणि जर एखादी जीवा अचानक मध्यभागी गेली तर त्याला एक विशेष नाव आहे: "व्यास".

तसे, व्यास आणि त्रिज्या यांचा संबंध कसा आहे? काळजीपूर्वक पहा. अर्थात,

आणि आता - कोपऱ्यांसाठी नावे.

नैसर्गिक, नाही का? कोनाच्या बाजू केंद्रापासून विस्तारित आहेत - याचा अर्थ कोन मध्यवर्ती आहे.

इथेच कधी कधी अडचणी येतात. लक्ष द्या - वर्तुळात कोणताही कोन कोरलेला नाही,परंतु ज्याचा शिरोबिंदू वर्तुळावरच “बसतो”.

चला चित्रांमधील फरक पाहू:

आणखी एक मार्ग ते म्हणतात:

इथे एक अवघड मुद्दा आहे. "संबंधित" किंवा "स्वतःचा" मध्य कोन काय आहे? वर्तुळाच्या मध्यभागी शिरोबिंदू असलेला कोन आणि कमानीच्या टोकाला असलेला कोन? त्या मार्गाने नक्कीच नाही. रेखाचित्र पहा.

त्यापैकी एक, तथापि, कोपऱ्यासारखा दिसत नाही - तो मोठा आहे. परंतु त्रिकोणाला अधिक कोन असू शकत नाहीत, परंतु वर्तुळ चांगले असू शकते! तर: लहान चाप AB एका लहान कोनाशी (नारिंगी) आणि मोठा कंस मोठ्या कोनाशी संबंधित आहे. अगदी तसंच, नाही का?

कोरलेल्या आणि मध्य कोनांच्या परिमाणांमधील संबंध

हे अतिशय महत्त्वाचे विधान लक्षात ठेवा:

पाठ्यपुस्तकांमध्ये त्यांना हेच सत्य असे लिहायला आवडते:

मध्यवर्ती कोनासह सूत्रीकरण सोपे आहे हे खरे नाही का?

परंतु तरीही, दोन फॉर्म्युलेशनमधील पत्रव्यवहार शोधू या आणि त्याच वेळी रेखाचित्रांमध्ये "संबंधित" मध्य कोन आणि चाप ज्यावर कोरलेला कोन "विश्रांती" आहे ते शोधण्यास शिका.

पहा: येथे एक वर्तुळ आणि एक कोरलेला कोन आहे:

त्याचा "संबंधित" मध्य कोन कुठे आहे?

चला पुन्हा पाहू:

नियम काय आहे?

परंतु! या प्रकरणात, कोरलेले आणि मध्य कोन एका बाजूने कमानाकडे "पाहणे" महत्वाचे आहे. उदाहरणार्थ:

विचित्रपणे, निळा! कारण चाप लांब आहे, अर्ध्या वर्तुळापेक्षा लांब आहे! त्यामुळे कधीही गोंधळून जाऊ नका!

कोरलेल्या कोनाच्या "अर्धापणा" वरून कोणता परिणाम काढला जाऊ शकतो?

परंतु, उदाहरणार्थ:

व्यासाने कमी केलेला कोन

तुमच्या लक्षात आले आहे की गणितज्ञांना एकाच गोष्टीबद्दल वेगवेगळ्या शब्दांत बोलणे आवडते? त्यांना याची गरज का आहे? तुम्ही पाहता, गणिताची भाषा जरी औपचारिक असली तरी ती जिवंत आहे, आणि म्हणूनच, सामान्य भाषेप्रमाणे, प्रत्येक वेळी तुम्हाला ती अधिक सोयीस्कर पद्धतीने सांगायची आहे. बरं, “कमानावर कोन बसतो” म्हणजे काय ते आपण आधीच पाहिले आहे. आणि कल्पना करा, त्याच चित्राला "एक कोन जीवावर बसतो" असे म्हणतात. कशावर? होय, नक्कीच, ज्याने ही चाप घट्ट केली आहे त्याला!

कमानीपेक्षा जीवावर अवलंबून राहणे केव्हा सोयीचे असते?

विहीर, विशेषतः, जेव्हा ही जीवा एक व्यास आहे.

अशा परिस्थितीसाठी एक आश्चर्यकारकपणे सोपे, सुंदर आणि उपयुक्त विधान आहे!

पहा: येथे वर्तुळ, व्यास आणि त्यावर अवलंबून असलेला कोन आहे.

वर्तुळ आणि अंतर्भूत कोन. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

1. मूलभूत संकल्पना.

3. चाप आणि कोनांचे मोजमाप.

रेडियनचा कोन हा एक मध्यवर्ती कोन आहे ज्याची चाप लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्याएवढी आहे.

ही एक संख्या आहे जी अर्धवर्तुळाच्या लांबीच्या त्रिज्याशी गुणोत्तर व्यक्त करते.

त्रिज्येचा घेर समान आहे.

4. कोरलेल्या आणि मध्य कोनांच्या मूल्यांमधील संबंध.

बरं, विषय संपला. जर तुम्ही या ओळी वाचत असाल तर याचा अर्थ तुम्ही खूप मस्त आहात.

कारण फक्त 5% लोक स्वतःच काहीतरी मास्टर करू शकतात. आणि जर तुम्ही शेवटपर्यंत वाचलात तर तुम्ही या 5% मध्ये आहात!

आता सर्वात महत्वाची गोष्ट.

तुम्हाला या विषयावरील सिद्धांत समजला आहे. आणि, मी पुन्हा सांगतो, हे... हे फक्त सुपर आहे! तुम्ही तुमच्या बहुसंख्य समवयस्कांपेक्षा चांगले आहात.

समस्या अशी आहे की हे पुरेसे नाही...

कशासाठी?

युनिफाइड स्टेट परीक्षा यशस्वीपणे उत्तीर्ण झाल्याबद्दल, बजेटमध्ये कॉलेजमध्ये प्रवेश केल्याबद्दल आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे आयुष्यासाठी.

मी तुम्हाला काहीही पटवून देणार नाही, मी फक्त एक गोष्ट सांगेन...

ज्यांना चांगले शिक्षण मिळाले आहे ते न मिळालेल्या लोकांपेक्षा जास्त कमावतात. ही आकडेवारी आहे.

पण ही मुख्य गोष्ट नाही.

मुख्य गोष्ट अशी आहे की ते अधिक आनंदी आहेत (असे अभ्यास आहेत). कदाचित त्यांच्यासमोर आणखी अनेक संधी उघडल्या जातील आणि जीवन उजळ होईल म्हणून? माहीत नाही...

पण तुम्हीच विचार करा...

युनिफाइड स्टेट परीक्षेत इतरांपेक्षा चांगले होण्यासाठी आणि शेवटी... आनंदी होण्यासाठी काय करावे लागेल?

या विषयावरील समस्या सोडवून तुमचा हात मिळवा.

परीक्षेदरम्यान तुम्हाला सिद्धांत विचारला जाणार नाही.

तुला गरज पडेल वेळेवर समस्या सोडवा.

आणि, जर तुम्ही त्यांचे निराकरण केले नाही (बरेच!), तुम्ही नक्कीच कुठेतरी एक मूर्ख चूक कराल किंवा तुमच्याकडे वेळ नसेल.

हे खेळांसारखे आहे - निश्चितपणे जिंकण्यासाठी तुम्हाला ते अनेक वेळा पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला पाहिजे तेथे संग्रह शोधा, अपरिहार्यपणे उपायांसह, तपशीलवार विश्लेषणआणि ठरवा, ठरवा, ठरवा!

तुम्ही आमची कार्ये वापरू शकता (पर्यायी) आणि आम्ही अर्थातच त्यांची शिफारस करतो.

आमची कार्ये अधिक चांगल्या प्रकारे वापरण्यासाठी, तुम्ही सध्या वाचत असलेल्या YouClever पाठ्यपुस्तकाचे आयुष्य वाढविण्यात मदत करणे आवश्यक आहे.

कसे? दोन पर्याय आहेत:

1. या लेखातील सर्व लपविलेले कार्य अनलॉक करा -
2. पाठ्यपुस्तकातील सर्व 99 लेखांमधील सर्व लपविलेल्या कार्यांचा प्रवेश अनलॉक करा - पाठ्यपुस्तक खरेदी करा - 899 RUR

होय, आमच्या पाठ्यपुस्तकात असे 99 लेख आहेत आणि सर्व कामांमध्ये प्रवेश आहे आणि त्यातील लपलेले सर्व मजकूर त्वरित उघडले जाऊ शकतात.

साइटच्या संपूर्ण आयुष्यासाठी सर्व लपविलेल्या कार्यांमध्ये प्रवेश प्रदान केला जातो.

अनुमान मध्ये...

तुम्हाला आमची कामे आवडत नसल्यास, इतरांना शोधा. फक्त सिद्धांतावर थांबू नका.

"समजले" आणि "मी सोडवू शकतो" ही ​​पूर्णपणे भिन्न कौशल्ये आहेत. तुम्हाला दोन्हीची गरज आहे.

समस्या शोधा आणि त्यांचे निराकरण करा!

समस्या 10 (OGE - 2015)

O केंद्र असलेल्या वर्तुळावर, A आणि B बिंदू चिन्हांकित केले आहेत जेणेकरून ∠ AOB = 18°. लहान कंस AB ची लांबी 5 आहे. वर्तुळाच्या मोठ्या कमानीची लांबी शोधा.

उपाय

∠ AOB = 18°. संपूर्ण वर्तुळ 360° आहे. म्हणून ∠ AOB वर्तुळाचा 18/360 = 1/20 आहे.

याचा अर्थ असा की लहान कंस AB संपूर्ण वर्तुळाचा 1/20 आहे, म्हणून मोठा कंस उर्वरित आहे, म्हणजे. 19/20 घेर.

वर्तुळाचा 1/20 कंस लांबी 5 शी संबंधित आहे. नंतर मोठ्या कमानीची लांबी 5 * 19 = 95 आहे.

समस्या 10 (OGE - 2015)

O केंद्र असलेल्या वर्तुळावर, A आणि B बिंदू चिन्हांकित केले आहेत जेणेकरून ∠ AOB = 40°. लहान कंस AB ची लांबी 50 आहे. वर्तुळाच्या मोठ्या कमानीची लांबी शोधा.

उपाय

∠ AOB = 40°. संपूर्ण वर्तुळ 360° आहे. म्हणून ∠ AOB वर्तुळाचा 40/360 = 1/9 आहे.

याचा अर्थ असा की लहान कंस AB संपूर्ण वर्तुळाचा 1/9 आहे, म्हणून मोठा कंस उर्वरित आहे, म्हणजे. 8/9 मंडळ.

वर्तुळाचा 1/9 कंस लांबी 50 शी संबंधित आहे. नंतर मोठ्या कमानीची लांबी 50*8 = 400 आहे.

उत्तर: 400.

कार्य 10 (GIA - 2014)

वर्तुळाच्या एका जीवाची लांबी 72 आहे आणि वर्तुळाच्या केंद्रापासून या जीवेपर्यंतचे अंतर 27 आहे. वर्तुळाचा व्यास शोधा.

उपाय

पायथागोरियन प्रमेय वापरून, काटकोन त्रिकोण AOB वरून आम्ही प्राप्त करतो:

AO 2 = OB 2 + AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

मग व्यास 2R = 2*45 = 90 आहे.

कार्य 10 (GIA - 2014)

बिंदू O हे वर्तुळाचे केंद्र आहे ज्यावर बिंदू A, B आणि C आहेत. हे ज्ञात आहे की ∠ABC = 134° आणि ∠OAB = 75°. कोन BCO शोधा.तुमचे उत्तर अंशात द्या.