हॉर्नर सर्किट व्याख्या. उच्च गणितातील समीकरणे. बहुपदांची परिमेय मुळे

स्लाइड 3

हॉर्नर विल्यम्स जॉर्ज (१७८६-२२.९.१८३७) - इंग्रजी गणितज्ञ. ब्रिस्टल येथे जन्म. त्याने तेथे अभ्यास केला आणि काम केले, नंतर बाथमधील शाळांमध्ये. बीजगणितावरील मूलभूत कार्ये. 1819 मध्ये बहुपदीच्या वास्तविक मुळांच्या अंदाजे गणनासाठी एक पद्धत प्रकाशित केली, ज्याला आता रुफिनी-हॉर्नर पद्धत म्हणतात (ही पद्धत 13 व्या शतकात चिनी लोकांना ज्ञात होती) द्विपदी x-a ने बहुपदी विभाजित करण्याच्या योजनेला नाव देण्यात आले आहे. हॉर्नर नंतर.

स्लाइड 4

हॉर्नर योजना

nव्या अंशाच्या बहुपदीला रेखीय द्विपदीने विभाजित करण्याची पद्धत - अ, अपूर्ण भागाचे गुणांक आणि उर्वरित भाग विभाजित केल्या जाणाऱ्या बहुपदीच्या गुणांकांशी आणि सूत्रांसह संबंधित आहेत या वस्तुस्थितीवर आधारित:

स्लाइड 5

हॉर्नरच्या योजनेनुसार गणना टेबलमध्ये ठेवली आहे:

उदाहरण 1. भागाकार आंशिक भागांक x3-x2+3x - 13 आहे आणि उर्वरित भाग 42=f(-3) आहे.

स्लाइड 6

या पद्धतीचा मुख्य फायदा म्हणजे नोटेशनची संक्षिप्तता आणि बहुपदीला द्विपदीमध्ये द्रुतपणे विभाजित करण्याची क्षमता. खरं तर, हॉर्नरची योजना ही गटबद्ध पद्धत रेकॉर्ड करण्याचा आणखी एक प्रकार आहे, जरी नंतरच्या विपरीत, ती पूर्णपणे दृश्यमान नाही. येथे उत्तर (फॅक्टरायझेशन) स्वतःच मिळते आणि ते मिळवण्याची प्रक्रिया आपल्याला दिसत नाही. आम्ही हॉर्नरच्या योजनेच्या कठोर पुष्टीकरणात गुंतणार नाही, परंतु ते कसे कार्य करते ते केवळ दर्शवू.

स्लाइड 7

उदाहरण २.

बहुपदी P(x)=x4-6x3+7x-392 हा x-7 ने भाग जातो हे सिद्ध करू आणि भागाकाराचा भाग काढू. उपाय. हॉर्नरची योजना वापरून, आम्ही P(7) शोधतो: येथून आम्हाला P(7)=0 मिळतो, म्हणजे. बहुपदीला x-7 ने भागल्यास उर्वरित शून्य असते आणि म्हणून, बहुपदी P(x) हा (x-7) चा गुणक असतो. शिवाय, सारणीच्या दुसऱ्या रांगेतील संख्या हे गुणांक असतात. P(x) चा भाग (x-7), म्हणून P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

स्लाइड 8

बहुपदी x3 – 5x2 – 2x + 16 घटक करा.

या बहुपदीमध्ये पूर्णांक गुणांक असतात. जर पूर्णांक हे या बहुपदीचे मूळ असेल, तर तो 16 या संख्येचा विभाजक आहे. अशाप्रकारे, दिलेल्या बहुपदीला पूर्णांक मुळे असतील, तर या फक्त ±1 संख्या असू शकतात; ±2; ±4; ±8; ±16. थेट पडताळणी करून आम्हाला खात्री आहे की संख्या 2 हे या बहुपदीचे मूळ आहे, म्हणजेच x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), जिथे Q(x) ही दुसऱ्या पदवीची बहुपदी आहे.

स्लाइड 9

परिणामी संख्या 1, −3, −8 हे बहुपदीचे गुणांक आहेत, जे मूळ बहुपदीला x – 2 ने भागून प्राप्त होतात. याचा अर्थ भागाकाराचा परिणाम असा आहे: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. भागाकारामुळे निर्माण होणाऱ्या बहुपदीची डिग्री मूळच्या अंशापेक्षा 1 कमी असते. तर: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

इ. हे सामान्य शैक्षणिक स्वरूपाचे आहे आणि उच्च गणिताच्या संपूर्ण अभ्यासक्रमाच्या अभ्यासासाठी खूप महत्वाचे आहे. आज आपण "शाळा" समीकरणांची पुनरावृत्ती करू, परंतु केवळ "शाळा" समीकरणेच नव्हे - तर विविध समस्यांमध्ये सर्वत्र आढळणारी समीकरणे. नेहमीप्रमाणे, कथा लागू पद्धतीने सांगितली जाईल, म्हणजे. मी व्याख्या आणि वर्गीकरणांवर लक्ष केंद्रित करणार नाही, परंतु ते सोडवण्याचा माझा वैयक्तिक अनुभव तुमच्याबरोबर सामायिक करेन. माहिती प्रामुख्याने नवशिक्यांसाठी आहे, परंतु अधिक प्रगत वाचकांना स्वतःसाठी अनेक मनोरंजक मुद्दे देखील सापडतील. आणि, अर्थातच, हायस्कूलच्या पलीकडे जाणारी नवीन सामग्री असेल.

तर समीकरण…. अनेकांना हा शब्द आठवून थरकाप होतो. मुळांची किंमत असलेली "अत्याधुनिक" समीकरणे काय आहेत... ...त्याबद्दल विसरून जा! कारण मग आपण या प्रजातीच्या सर्वात निरुपद्रवी "प्रतिनिधींना" भेटाल. किंवा डझनभर समाधान पद्धतींसह कंटाळवाणे त्रिकोणमितीय समीकरण. खरे सांगायचे तर, मला स्वतःला ते आवडत नव्हते... घाबरू नका! - नंतर मुख्यतः "डँडेलियन्स" 1-2 चरणांमध्ये स्पष्ट समाधानाची वाट पाहत आहेत. जरी "बरडॉक" नक्कीच चिकटून असले तरी, तुम्हाला येथे वस्तुनिष्ठ असणे आवश्यक आहे.

विचित्रपणे, उच्च गणितामध्ये अगदी आदिम समीकरणे हाताळणे अधिक सामान्य आहे जसे की रेखीयसमीकरणे

हे समीकरण सोडवण्यात काय अर्थ आहे? याचा अर्थ “x” (रूट) चे असे मूल्य शोधणे जे त्यास खर्‍या समानतेमध्ये बदलते. चिन्हाच्या बदलासह "तीन" उजवीकडे फेकून देऊ:

आणि "दोन" उजव्या बाजूला टाका (किंवा, समान गोष्ट - दोन्ही बाजूंनी गुणाकार करा) :

तपासण्यासाठी, जिंकलेल्या ट्रॉफीला मूळ समीकरणात बदलू या:

योग्य समानता प्राप्त झाली आहे, म्हणजे सापडलेले मूल्य हे या समीकरणाचे मूळ आहे. किंवा, जसे ते म्हणतात, या समीकरणाचे समाधान करते.

कृपया लक्षात घ्या की रूट दशांश अपूर्णांक म्हणून देखील लिहिले जाऊ शकते:
आणि या वाईट शैलीला चिकटून न राहण्याचा प्रयत्न करा! मी एकापेक्षा जास्त वेळा कारण पुनरावृत्ती केली, विशेषतः, पहिल्या धड्यात उच्च बीजगणित.

तसे, समीकरण "अरबीमध्ये" देखील सोडवले जाऊ शकते:

आणि सर्वात मनोरंजक गोष्ट म्हणजे हे रेकॉर्डिंग पूर्णपणे कायदेशीर आहे! परंतु जर तुम्ही शिक्षक नसाल तर हे न करणे चांगले आहे कारण मौलिकता येथे दंडनीय आहे =)

आणि आता बद्दल थोडे

ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धत

समीकरणाला फॉर्म आहे आणि त्याचे मूळ आहे "X" समन्वय छेदनबिंदू रेखीय कार्य आलेखरेखीय कार्याच्या आलेखासह (x अक्ष):

असे दिसते की हे उदाहरण इतके प्राथमिक आहे की येथे विश्लेषण करण्यासाठी आणखी काही नाही, परंतु आणखी एक अनपेक्षित सूक्ष्मता त्यातून "पिळून" जाऊ शकते: आपण तेच समीकरण फॉर्ममध्ये सादर करू आणि फंक्शन्सचे आलेख तयार करू:

ज्यामध्ये, कृपया दोन संकल्पना गोंधळात टाकू नका: समीकरण हे समीकरण आहे आणि कार्य- हे एक कार्य आहे! कार्ये फक्त मदतसमीकरणाची मुळे शोधा. ज्यापैकी दोन, तीन, चार किंवा अनंत अनेक असू शकतात. या अर्थाने सर्वात जवळचे उदाहरण म्हणजे सुप्रसिद्ध चतुर्भुज समीकरण, सोल्यूशन अल्गोरिदम ज्यासाठी वेगळा परिच्छेद प्राप्त झाला "गरम" शाळेची सूत्रे. आणि हा योगायोग नाही! जर तुम्ही चतुर्भुज समीकरण सोडवू शकता आणि जाणून घ्या पायथागोरियन प्रमेय, तर, कोणी म्हणेल, “अर्धे उच्च गणित आधीच तुमच्या खिशात आहे” =) अतिशयोक्तीपूर्ण, अर्थातच, परंतु सत्यापासून फार दूर नाही!

म्हणून, आळशी होऊ नका आणि काही चतुर्भुज समीकरणे वापरून सोडवूया मानक अल्गोरिदम:

, म्हणजे समीकरण दोन भिन्न आहेत वैधमूळ:

हे सत्यापित करणे सोपे आहे की दोन्ही सापडलेली मूल्ये खरोखर या समीकरणाचे समाधान करतात:

तुम्ही सोल्यूशन अल्गोरिदम अचानक विसरलात आणि हातात कोणतेही साधन/मदत हात नसल्यास काय करावे? ही परिस्थिती उद्भवू शकते, उदाहरणार्थ, चाचणी किंवा परीक्षेदरम्यान. आम्ही ग्राफिकल पद्धत वापरतो! आणि दोन मार्ग आहेत: आपण करू शकता बिंदू बिंदू तयार करापॅराबोला , याद्वारे तो अक्ष कुठे छेदतो हे शोधून काढते (जर ते अजिबात ओलांडले तर). परंतु काहीतरी अधिक धूर्त करणे चांगले आहे: फॉर्ममधील समीकरणाची कल्पना करा, सोप्या कार्यांचे आलेख काढा - आणि "X" समन्वयत्यांचे छेदनबिंदू स्पष्टपणे दृश्यमान आहेत!


जर असे दिसून आले की सरळ रेषा पॅराबोलाला स्पर्श करते, तर समीकरणाला दोन जुळणारी (एकाधिक) मुळे आहेत. जर असे दिसून आले की सरळ रेषा पॅराबोलाला छेदत नाही, तर तेथे वास्तविक मुळे नाहीत.

हे करण्यासाठी, अर्थातच, आपण तयार करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे प्राथमिक कार्यांचे आलेख, परंतु दुसरीकडे, एक शाळकरी मुले देखील ही कौशल्ये करू शकतात.

आणि पुन्हा - समीकरण हे एक समीकरण आहे आणि फंक्शन्स ही फंक्शन्स आहेत फक्त मदत केलीसमीकरण सोडवा!

आणि येथे, तसे, आणखी एक गोष्ट लक्षात ठेवणे योग्य आहे: जर समीकरणाचे सर्व गुणांक शून्य नसलेल्या संख्येने गुणाकार केले तर त्याची मुळे बदलणार नाहीत.

तर, उदाहरणार्थ, समीकरण समान मुळे आहेत. एक साधा "पुरावा" म्हणून, मी कंसातून स्थिरांक घेईन:
आणि मी ते वेदनारहितपणे काढून टाकीन (मी दोन्ही भागांना “वजा दोन” ने विभाजित करेन):

परंतु!जर आपण कार्याचा विचार केला तर , मग आपण येथे स्थिरतेपासून मुक्त होऊ शकत नाही! कंसातून गुणक काढणे केवळ परवानगी आहे: .

बरेच लोक ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धतीला कमी लेखतात, तिला काहीतरी "अप्रतिष्ठित" मानतात आणि काही या शक्यतेबद्दल पूर्णपणे विसरतात. आणि हे मूलभूतपणे चुकीचे आहे, कारण आलेखांचे प्लॉटिंग कधीकधी परिस्थिती वाचवते!

दुसरे उदाहरण: समजा तुम्हाला सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणाची मुळे आठवत नाहीत: . सामान्य सूत्र शालेय पाठ्यपुस्तकांमध्ये आहे, प्राथमिक गणितावरील सर्व संदर्भ पुस्तकांमध्ये आहे, परंतु ते तुमच्यासाठी उपलब्ध नाहीत. तथापि, समीकरण सोडवणे महत्वाचे आहे (उर्फ “दोन”). एक निर्गमन आहे! - फंक्शन्सचे आलेख तयार करा:


त्यानंतर आम्ही त्यांच्या छेदनबिंदूंचे "X" निर्देशांक शांतपणे लिहू:

तेथे अमर्यादपणे अनेक मुळे आहेत आणि बीजगणितामध्ये त्यांचे घनरूप नोटेशन स्वीकारले जाते:
, कुठे ( – पूर्णांकांचा संच) .

आणि, “दूर न जाता”, एका व्हेरिएबलसह असमानता सोडवण्यासाठी ग्राफिकल पद्धतीबद्दल काही शब्द. तत्त्व समान आहे. तर, उदाहरणार्थ, असमानतेचे समाधान कोणतेही “x” आहे, कारण सायनसॉइड जवळजवळ पूर्णपणे सरळ रेषेखाली आहे. असमानतेचा उपाय म्हणजे मध्यांतरांचा संच ज्यामध्ये सायनसॉइडचे तुकडे सरळ रेषेच्या वर असतात. (x-अक्ष):

किंवा, थोडक्यात:

परंतु असमानतेचे अनेक उपाय येथे आहेत: रिक्त, कारण सायनसॉइडचा कोणताही बिंदू सरळ रेषेच्या वर नसतो.

तुम्हाला समजत नाही असे काही आहे का? बद्दलच्या धड्यांचा तातडीने अभ्यास करा संचआणि फंक्शन आलेख!

चला उबदार होऊया:

व्यायाम १

खालील त्रिकोणमितीय समीकरणे ग्राफिक पद्धतीने सोडवा:

धड्याच्या शेवटी उत्तरे

जसे तुम्ही बघू शकता, अचूक विज्ञानाचा अभ्यास करण्यासाठी सूत्रे आणि संदर्भ पुस्तके घासणे अजिबात आवश्यक नाही! शिवाय, हा मूलभूतपणे सदोष दृष्टीकोन आहे.

धड्याच्या अगदी सुरुवातीलाच मी तुम्हाला आश्वस्त केल्याप्रमाणे, उच्च गणिताच्या मानक अभ्यासक्रमातील जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणे अत्यंत क्वचितच सोडवावी लागतात. सर्व जटिलता, एक नियम म्हणून, समीकरणांसह समाप्त होते, ज्याचे समाधान सर्वात सोप्या समीकरणांपासून उद्भवणारे मूळचे दोन गट आहेत आणि . नंतरचे निराकरण करण्याबद्दल जास्त काळजी करू नका – पुस्तक पहा किंवा इंटरनेटवर शोधा =)

ग्राफिकल सोल्यूशन पद्धत कमी क्षुल्लक प्रकरणांमध्ये देखील मदत करू शकते. उदाहरणार्थ, खालील “रॅगटॅग” समीकरणाचा विचार करा:

त्याच्या समाधानाची शक्यता दिसत आहे... अजिबात दिसत नाही, परंतु तुम्हाला फक्त फॉर्ममधील समीकरणाची कल्पना करावी लागेल, तयार करा. फंक्शन आलेखआणि सर्वकाही आश्चर्यकारकपणे सोपे होईल. याबद्दल लेखाच्या मध्यभागी एक रेखाचित्र आहे अमर्याद कार्ये (पुढील टॅबमध्ये उघडेल).

त्याच ग्राफिकल पद्धतीचा वापर करून, आपण हे शोधू शकता की समीकरणाची आधीपासून दोन मुळे आहेत आणि त्यापैकी एक शून्य आहे आणि दुसरे, वरवर पाहता, तर्कहीनआणि विभागाशी संबंधित आहे. या रूटची अंदाजे गणना केली जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, स्पर्शिक पद्धत. तसे, काही समस्यांमध्ये असे घडते की आपल्याला मुळे शोधण्याची गरज नाही, परंतु शोधा ते अजिबात अस्तित्वात आहेत का?. आणि येथे देखील, एक रेखाचित्र मदत करू शकते - जर आलेख एकमेकांना छेदत नाहीत तर मुळे नाहीत.

पूर्णांक गुणांकांसह बहुपदांची तर्कसंगत मुळे.
हॉर्नर योजना

आणि आता मी तुम्हाला तुमची नजर मध्ययुगाकडे वळवण्यासाठी आणि शास्त्रीय बीजगणिताचे अद्वितीय वातावरण अनुभवण्यासाठी आमंत्रित करतो. सामग्रीच्या चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, मी शिफारस करतो की आपण कमीतकमी थोडे वाचावे जटिल संख्या.

ते सर्वोत्कृष्ट आहेत. बहुपदी.

आमच्या स्वारस्याचा ऑब्जेक्ट फॉर्मचे सर्वात सामान्य बहुपदी असेल संपूर्णगुणांक नैसर्गिक संख्या म्हणतात बहुपदीची पदवी, संख्या – सर्वोच्च पदवीचा गुणांक (किंवा फक्त सर्वोच्च गुणांक), आणि गुणांक आहे विनामूल्य सदस्य.

मी या बहुपदी द्वारे थोडक्यात सूचित करेन.

बहुपदीची मुळेसमीकरणाची मुळे कॉल करा

मला लोखंडी तर्कशास्त्र आवडते =)

उदाहरणांसाठी, लेखाच्या अगदी सुरुवातीस जा:

1ल्या आणि 2ऱ्या अंशांच्या बहुपदांची मुळे शोधण्यात कोणतीही अडचण नाही, परंतु जसजसे तुम्ही वाढवत जाल तसतसे हे कार्य अधिकाधिक कठीण होत जाते. जरी दुसरीकडे, सर्वकाही अधिक मनोरंजक आहे! आणि धड्याचा दुसरा भाग नेमका कशासाठी समर्पित केला जाईल.

प्रथम, सिद्धांताचा अक्षरशः अर्धा पडदा:

1) परिणामानुसार बीजगणिताचे मूलभूत प्रमेय, पदवी बहुपदी बरोबर आहे जटिलमुळं. काही मुळे (किंवा अगदी सर्व) विशेषतः असू शकतात वैध. शिवाय, वास्तविक मुळांमध्ये समान (एकाधिक) मुळे असू शकतात (किमान दोन, कमाल तुकडे).

जर काही जटिल संख्या बहुपदीचे मूळ असेल तर संयुग्मितत्याची संख्या देखील या बहुपदीचे मूळ असणे आवश्यक आहे (संयुग्मित जटिल मुळांना फॉर्म असतो).

सर्वात सोपा उदाहरण म्हणजे चतुर्भुज समीकरण, जे पहिल्यांदा 8 मध्ये आले होते (जसे)वर्ग, आणि जे आम्ही शेवटी विषयात "पूर्ण" केले जटिल संख्या. मी तुम्हाला आठवण करून देतो: चतुर्भुज समीकरणामध्ये एकतर दोन भिन्न वास्तविक मुळे, किंवा एकाधिक मुळे किंवा संयुग्मित जटिल मुळे असतात.

2) पासून बेझाउटचे प्रमेयहे खालीलप्रमाणे आहे की जर एखादी संख्या समीकरणाचे मूळ असेल, तर संबंधित बहुपदी घटकबद्ध केली जाऊ शकते:
, पदवीची बहुपदी कुठे आहे .

आणि पुन्हा, आमचे जुने उदाहरण: समीकरणाचे मूळ असल्याने, नंतर . त्यानंतर सुप्रसिद्ध "शाळा" विस्तार प्राप्त करणे कठीण नाही.

बेझाउटच्या प्रमेयाच्या परिणामास उत्तम व्यावहारिक मूल्य आहे: जर आपल्याला 3 र्या अंशाच्या समीकरणाचे मूळ माहित असेल तर आपण ते फॉर्ममध्ये दर्शवू शकतो. आणि द्विघात समीकरणातून उर्वरित मुळे शोधणे सोपे आहे. जर आपल्याला 4थ्या अंशाच्या समीकरणाचे मूळ माहित असेल तर डाव्या बाजूचा उत्पादन इ. मध्ये विस्तार करणे शक्य आहे.

आणि येथे दोन प्रश्न आहेत:

प्रश्न एक. हे अगदी मूळ कसे शोधायचे? सर्व प्रथम, त्याचे स्वरूप परिभाषित करूया: उच्च गणिताच्या अनेक समस्यांमध्ये ते शोधणे आवश्यक आहे तर्कशुद्ध, विशेषतः संपूर्णबहुपदांची मुळे, आणि या संदर्भात, पुढे आम्हाला त्यांच्यामध्ये प्रामुख्याने रस असेल.... ...ते इतके चांगले, इतके चपळ आहेत की तुम्हाला ते शोधायचे आहेत! =)

मनात येणारी पहिली गोष्ट म्हणजे निवड पद्धत. उदाहरणार्थ, समीकरणाचा विचार करा. येथे पकडणे विनामूल्य शब्दात आहे - जर ते शून्याच्या बरोबरीचे असते, तर सर्व काही ठीक असते - आम्ही कंसातून "x" काढतो आणि मुळे स्वतःच पृष्ठभागावर "पडतात":

परंतु आमची मुक्त संज्ञा "तीन" च्या बरोबरीची आहे, आणि म्हणून आम्ही "मूळ" असल्याचा दावा करणाऱ्या समीकरणामध्ये विविध संख्या बदलू लागतो. सर्व प्रथम, एकल मूल्यांचे प्रतिस्थापन स्वतःच सूचित करते. चला बदलूया:

मिळाले चुकीचेसमानता, अशा प्रकारे, युनिट "फिट नाही." ठीक आहे, चला बदलूया:

मिळाले खरेसमानता म्हणजेच मूल्य हे या समीकरणाचे मूळ आहे.

3 र्या अंशाच्या बहुपदीची मुळे शोधण्यासाठी, एक विश्लेषणात्मक पद्धत आहे (तथाकथित कार्डानो सूत्रे), परंतु आता आम्हाला थोड्या वेगळ्या कार्यात रस आहे.

- हे आपल्या बहुपदीचे मूळ असल्याने, बहुपदीला फॉर्ममध्ये दर्शविले जाऊ शकते आणि उद्भवते दुसरा प्रश्न: "लहान भाऊ" कसा शोधायचा?

सर्वात सोपा बीजगणितीय विचार सूचित करतात की हे करण्यासाठी आपल्याला द्वारे विभाजित करणे आवश्यक आहे. बहुपदीला बहुपदीने कसे विभाजित करावे? समान शाळा पद्धत जी सामान्य संख्यांना विभाजित करते - “स्तंभ”! मी धड्याच्या पहिल्या उदाहरणांमध्ये या पद्धतीबद्दल तपशीलवार चर्चा केली. जटिल मर्यादा, आणि आता आपण दुसरी पद्धत पाहू, ज्याला म्हणतात हॉर्नर योजना.

प्रथम आपण "सर्वोच्च" बहुपदी लिहू प्रत्येकासह , शून्य गुणांकांसह:
, ज्यानंतर आम्ही हे गुणांक (कठोरपणे क्रमाने) टेबलच्या वरच्या पंक्तीमध्ये प्रविष्ट करतो:

आम्ही डावीकडे रूट लिहितो:

मी ताबडतोब आरक्षण करेन की हॉर्नरची योजना "लाल" क्रमांक असल्यास देखील कार्य करते नाहीबहुपदीचे मूळ आहे. तथापि, गोष्टींची घाई करू नका.

आम्ही वरून अग्रगण्य गुणांक काढतो:

खालच्या पेशी भरण्याची प्रक्रिया काहीशी भरतकामाची आठवण करून देणारी आहे, जिथे “मायनस वन” ही एक प्रकारची “सुई” आहे जी त्यानंतरच्या पायऱ्यांमध्ये झिरपते. आम्ही "कॅरीड डाउन" नंबरला (–१) ने गुणाकार करतो आणि वरच्या सेलमधील संख्या उत्पादनामध्ये जोडतो:

आम्ही सापडलेले मूल्य “लाल सुई” ने गुणाकार करतो आणि उत्पादनामध्ये खालील समीकरण गुणांक जोडतो:

आणि शेवटी, परिणामी मूल्य पुन्हा "सुई" आणि वरच्या गुणांकाने "प्रक्रिया" केले जाते:

शेवटच्या सेलमधील शून्य आपल्याला सांगते की बहुपदी विभागली आहे काहीही माग न सोडता (जसे असावे), तर विस्तार गुणांक थेट सारणीच्या तळापासून "काढले" जातात:

अशा प्रकारे, आम्ही समीकरणातून समतुल्य समीकरणाकडे वळलो आणि उर्वरित दोन मुळांसह सर्व काही स्पष्ट आहे (या प्रकरणात आपल्याला संयुग्मित जटिल मुळे मिळतात).

समीकरण, तसे, ग्राफिक पद्धतीने देखील सोडवले जाऊ शकते: प्लॉट "वीज" आणि आलेख x-अक्ष ओलांडतो हे पहा () बिंदूवर किंवा तीच "धूर्त" युक्ती - आम्ही फॉर्ममध्ये समीकरण पुन्हा लिहितो, प्राथमिक आलेख काढतो आणि त्यांच्या छेदनबिंदूचा "X" समन्वय शोधतो.

तसे, 3र्या अंशाच्या कोणत्याही फंक्शन-बहुपदीचा आलेख अक्षाला किमान एकदा छेदतो, याचा अर्थ संबंधित समीकरण किमानएक वैधमूळ. हे तथ्य विषम अंशाच्या कोणत्याही बहुपदी कार्यासाठी सत्य आहे.

आणि इथेही मला राहायला आवडेल महत्वाचा मुद्दाजे शब्दावलीशी संबंधित आहे: बहुपदीआणि बहुपदी कार्य – ती समान गोष्ट नाही! परंतु व्यवहारात ते सहसा बोलतात, उदाहरणार्थ, "बहुपदी आलेख" बद्दल, जे अर्थातच निष्काळजीपणा आहे.

तथापि, हॉर्नरच्या योजनेकडे परत जाऊया. मी अलीकडेच नमूद केल्याप्रमाणे, ही योजना इतर संख्यांसाठी कार्य करते, परंतु जर संख्या नाहीसमीकरणाचे मूळ आहे, नंतर आपल्या सूत्रामध्ये शून्य नसलेली जोड (उर्वरित) दिसते:

हॉर्नरच्या योजनेनुसार “अयशस्वी” मूल्य “चालवू”. या प्रकरणात, समान टेबल वापरणे सोयीचे आहे - डावीकडे एक नवीन "सुई" लिहा, वरून अग्रगण्य गुणांक हलवा. (डावा हिरवा बाण), आणि आम्ही निघतो:

तपासण्यासाठी, कंस उघडू आणि तत्सम अटी सादर करू:
, ठीक आहे.

हे पाहणे सोपे आहे की उर्वरित ("सहा") वरील बहुपदीचे नेमके मूल्य आहे. आणि खरं तर - ते काय आहे:
, आणि आणखी छान - यासारखे:

वरील गणनेवरून हे समजणे सोपे आहे की हॉर्नरची योजना केवळ बहुपदी घटकच नाही तर मूळची "सुसंस्कृत" निवड देखील करू देते. मी सुचवितो की आपण एका छोट्या कार्यासह गणना अल्गोरिदम एकत्र करा:

कार्य २

हॉर्नरची योजना वापरून, समीकरणाचे पूर्णांक मूळ शोधा आणि संबंधित बहुपदी घटक काढा

दुसर्‍या शब्दात, शेवटच्या स्तंभात शून्य उरलेले "रेखांकित" होईपर्यंत येथे तुम्हाला अनुक्रमे 1, -1, 2, -2, ... - क्रमांक तपासण्याची आवश्यकता आहे. याचा अर्थ असा होईल की या रेषेची “सुई” हे बहुपदीचे मूळ आहे

एकाच टेबलमध्ये गणना करणे सोयीचे आहे. धड्याच्या शेवटी तपशीलवार उपाय आणि उत्तर.

मुळे निवडण्याची पद्धत तुलनेने सोप्या प्रकरणांसाठी चांगली आहे, परंतु जर बहुपदीचे गुणांक आणि/किंवा पदवी मोठी असेल, तर प्रक्रियेस बराच वेळ लागू शकतो. किंवा कदाचित त्याच यादी 1, -1, 2, -2 मधील काही मूल्ये आहेत आणि विचारात काही अर्थ नाही? आणि, याशिवाय, मुळे अपूर्णांक असू शकतात, ज्यामुळे पूर्णपणे अवैज्ञानिक पोकिंग होईल.

सुदैवाने, दोन शक्तिशाली प्रमेये आहेत जी तर्कसंगत मुळांसाठी "उमेदवार" मूल्यांचा शोध लक्षणीयरीत्या कमी करू शकतात:

प्रमेय १चला विचार करूया अपरिवर्तनीयअपूर्णांक , कुठे . जर संख्या समीकरणाचे मूळ असेल, तर मुक्त पद याने भागले जाईल आणि अग्रगण्य गुणांक भागिले जाईल.

विशेषतः, जर अग्रगण्य गुणांक असेल, तर हे परिमेय मूळ पूर्णांक आहे:

आणि आम्ही फक्त या चवदार तपशीलासह प्रमेय शोषण करण्यास सुरवात करतो:

चला समीकरणाकडे परत जाऊया. त्याचे अग्रगण्य गुणांक असल्याने, काल्पनिक परिमेय मूळ केवळ पूर्णांक असू शकतात, आणि मुक्त संज्ञा अनिवार्यपणे या मुळांमध्ये उर्वरित न करता विभागली जाणे आवश्यक आहे. आणि "तीन" फक्त 1, -1, 3 आणि -3 मध्ये विभागले जाऊ शकतात. म्हणजेच आमच्याकडे फक्त 4 “मूळ उमेदवार” आहेत. आणि, त्यानुसार प्रमेय १, इतर परिमेय संख्या या समीकरणाचे मूळ असू शकत नाहीत.

समीकरणामध्ये थोडे अधिक "स्पर्धक" आहेत: विनामूल्य पद 1, -1, 2, - 2, 4 आणि -4 मध्ये विभागले गेले आहे.

कृपया लक्षात घ्या की संख्या 1, -1 संभाव्य मुळांच्या सूचीचे "नियमित" आहेत (प्रमेयाचा स्पष्ट परिणाम)आणि प्राधान्य चाचणीसाठी सर्वोत्तम पर्याय.

चला अधिक अर्थपूर्ण उदाहरणांकडे जाऊया:

समस्या 3

उपाय: अग्रगण्य गुणांक असल्याने, काल्पनिक परिमेय मूळ केवळ पूर्णांक असू शकतात आणि ते मुक्त पदाचे विभाजक असणे आवश्यक आहे. "उणे चाळीस" खालील संख्यांच्या जोड्यांमध्ये विभागलेले आहे:
- एकूण 16 "उमेदवार".

आणि येथे एक मोहक विचार लगेच दिसून येतो: सर्व नकारात्मक किंवा सर्व सकारात्मक मुळे काढून टाकणे शक्य आहे का? काही प्रकरणांमध्ये हे शक्य आहे! मी दोन चिन्हे तयार करेन:

1) जर सर्वजर बहुपदीचे गुणांक नकारात्मक नसतील तर त्यास सकारात्मक मुळे असू शकत नाहीत. दुर्दैवाने, हे आमचे नाही (आता, जर आम्हाला एक समीकरण दिले गेले असेल - तर होय, बहुपदीचे कोणतेही मूल्य बदलताना, बहुपदीचे मूल्य काटेकोरपणे सकारात्मक असते, याचा अर्थ असा की सर्व सकारात्मक संख्या (आणि तर्कहीन सुद्धा)समीकरणाचे मूळ असू शकत नाही.

2) जर विषम शक्तींचे गुणांक नकारात्मक नसतील आणि सर्व सम शक्तींसाठी (मुक्त सदस्यासह)ऋणात्मक आहेत, तर बहुपदीमध्ये नकारात्मक मुळे असू शकत नाहीत. हे आमचे प्रकरण आहे! जरा जवळून पाहिल्यास, आपण पाहू शकता की समीकरणामध्ये कोणतेही नकारात्मक "X" बदलताना, डावीकडील बाजू कठोरपणे नकारात्मक असेल, याचा अर्थ नकारात्मक मुळे अदृश्य होतात.

अशा प्रकारे, संशोधनासाठी 8 संख्या शिल्लक आहेत:

हॉर्नरच्या योजनेनुसार आम्ही त्यांना अनुक्रमे “चार्ज” करतो. मला आशा आहे की आपण आधीच मानसिक गणनांमध्ये प्रभुत्व मिळवले आहे:

“दोन” ची चाचणी करताना नशीब आमची वाट पाहत होते. अशा प्रकारे, विचाराधीन समीकरणाचे मूळ आहे, आणि

समीकरणाचा अभ्यास करणे बाकी आहे . भेदभावाद्वारे हे करणे सोपे आहे, परंतु मी समान योजना वापरून सूचक चाचणी घेईन. प्रथम, आपण हे लक्षात घेऊया की मुक्त संज्ञा 20 च्या समान आहे, याचा अर्थ प्रमेय १ 8 आणि 40 अंक संभाव्य मुळांच्या यादीतून बाहेर पडतात, संशोधनासाठी मूल्ये सोडतात (हॉर्नरच्या योजनेनुसार एकाला काढून टाकण्यात आले).

आम्ही नवीन सारणीच्या वरच्या ओळीत त्रिपदाचे गुणांक लिहितो आणि आम्ही त्याच "दोन" सह तपासण्यास सुरुवात करतो. का? आणि मुळे गुणाकार असू शकतात, कृपया: - या समीकरणात 10 समान मुळे आहेत. पण विचलित होऊ नका:

आणि इथे, अर्थातच, मुळे तर्कशुद्ध आहेत हे जाणून मी थोडे खोटे बोललो होतो. शेवटी, जर ते असमंजसपणाचे किंवा जटिल असतील तर मला उर्वरित सर्व संख्यांच्या अयशस्वी तपासणीचा सामना करावा लागेल. म्हणून, व्यवहारात, विवेकबुद्धीचे मार्गदर्शन करा.

उत्तर द्या: तर्कसंगत मुळे: 2, 4, 5

आम्ही विश्लेषण केलेल्या समस्येमध्ये, आम्ही भाग्यवान होतो, कारण: अ) नकारात्मक मूल्ये ताबडतोब बंद झाली आणि ब) आम्हाला रूट खूप लवकर सापडले (आणि सैद्धांतिकदृष्ट्या आम्ही संपूर्ण यादी तपासू शकतो).

पण प्रत्यक्षात परिस्थिती खूपच वाईट आहे. मी तुम्हाला “द लास्ट हिरो” नावाचा एक रोमांचक खेळ पाहण्यासाठी आमंत्रित करतो:

समस्या 4

समीकरणाची तर्कशुद्ध मुळे शोधा

उपाय: द्वारे प्रमेय १काल्पनिक तर्कसंगत मुळांच्या अंकांनी स्थिती पूर्ण करणे आवश्यक आहे (आम्ही वाचतो "बाराला el ने भागले आहे"), आणि भाजक स्थितीशी संबंधित आहेत. यावर आधारित, आम्हाला दोन याद्या मिळतात:

"सूची el":
आणि "सूची अं": (सुदैवाने, येथे संख्या नैसर्गिक आहेत).

आता सर्व संभाव्य मुळांची यादी बनवू. प्रथम, आम्ही "el सूची" ने विभाजित करतो. समान संख्या प्राप्त होईल हे पूर्णपणे स्पष्ट आहे. सोयीसाठी, त्यांना टेबलमध्ये ठेवूया:

बरेच अपूर्णांक कमी केले गेले आहेत, परिणामी मूल्ये आधीच "नायक सूची" मध्ये आहेत. आम्ही फक्त "नवीन" जोडतो:

त्याचप्रमाणे, आम्ही समान "सूची" द्वारे विभाजित करतो:

आणि शेवटी

अशा प्रकारे, आमच्या गेममधील सहभागींची टीम पूर्ण झाली आहे:


दुर्दैवाने, या समस्येतील बहुपदी "सकारात्मक" किंवा "नकारात्मक" निकष पूर्ण करत नाही आणि म्हणून आम्ही वरची किंवा खालची पंक्ती टाकून देऊ शकत नाही. तुम्हाला सर्व संख्यांसह काम करावे लागेल.

तुला कसे वाटत आहे? चला, डोके वर काढा – आणखी एक प्रमेय आहे ज्याला लाक्षणिक अर्थाने “किलर प्रमेय” असे म्हटले जाऊ शकते…. ..."उमेदवार", अर्थातच =)

परंतु प्रथम तुम्हाला हॉर्नरच्या डायग्राममधून किमान एक स्क्रोल करणे आवश्यक आहे संपूर्णसंख्या पारंपारिकपणे, चला एक घेऊ. वरच्या ओळीत आपण बहुपदीचे गुणांक लिहितो आणि सर्वकाही नेहमीप्रमाणे आहे:

चार स्पष्टपणे शून्य नसल्यामुळे, मूल्य प्रश्नातील बहुपदीचे मूळ नाही. पण ती आम्हाला खूप मदत करेल.

प्रमेय 2जर काहींसाठी सामान्यतःबहुपदीचे मूल्य शून्य आहे: , नंतर त्याची परिमेय मुळे (ते असतील तर)अट पूर्ण करा

आमच्या बाबतीत आणि म्हणून सर्व संभाव्य मुळे स्थिती पूर्ण करणे आवश्यक आहे (याला अट क्रमांक १ म्हणूया). हे चौघे अनेक “उमेदवारांचे” “मारेकरी” असतील. प्रात्यक्षिक म्हणून, मी काही तपासण्या पाहू:

चला "उमेदवार" तपासूया. हे करण्यासाठी, आपण ते एका अपूर्णांकाच्या स्वरूपात कृत्रिमरित्या प्रस्तुत करूया, ज्यावरून ते स्पष्टपणे दिसून येते. चला चाचणी फरकाची गणना करूया: . चारला “वजा दोन” ने भागले आहे: , याचा अर्थ संभाव्य रूटने चाचणी उत्तीर्ण केली आहे.

चला मूल्य तपासूया. येथे चाचणी फरक आहे: . अर्थात, आणि म्हणून दुसरा “विषय” देखील यादीत आहे.

"व्यावसायिक गणिताचे शिक्षक" ही वेबसाइट शिकवण्याविषयीच्या पद्धतीविषयक लेखांची मालिका सुरू ठेवते. मी माझ्या कामाच्या पद्धतींचे वर्णन शालेय अभ्यासक्रमातील सर्वात जटिल आणि समस्याप्रधान विषयांसह प्रकाशित करतो. ही सामग्री नियमित कार्यक्रमात आणि गणित वर्गांच्या कार्यक्रमात इयत्ता 8-11 च्या विद्यार्थ्यांसोबत काम करणार्‍या गणितातील शिक्षक आणि शिक्षकांना उपयुक्त ठरेल.

गणिताचा शिक्षक नेहमी पाठ्यपुस्तकात असमाधानकारकपणे सादर केलेली सामग्री स्पष्ट करू शकत नाही. दुर्दैवाने, असे विषय अधिकाधिक संख्येने होत आहेत आणि मॅन्युअलच्या लेखकांच्या अनुषंगाने सादरीकरणातील चुका मोठ्या प्रमाणात केल्या जात आहेत. हे केवळ सुरुवातीच्या गणिताचे शिक्षक आणि अर्धवेळ शिक्षक (शिक्षक हे विद्यार्थी आणि विद्यापीठाचे शिक्षक) यांनाच लागू होत नाही, तर अनुभवी शिक्षक, व्यावसायिक शिक्षक, अनुभव आणि पात्रता असलेले शिक्षक यांनाही लागू होते. शालेय पाठ्यपुस्तकांतील खडबडीत कडा सक्षमपणे दुरुस्त करण्याची प्रतिभा सर्वच गणिताच्या शिक्षकांकडे नसते. प्रत्येकाला हे देखील समजत नाही की या दुरुस्त्या (किंवा जोडणे) आवश्यक आहेत. मुलांच्या गुणात्मक आकलनासाठी सामग्रीचे रुपांतर करण्यात काही मुले गुंतलेली असतात. दुर्दैवाने, गणिताचे शिक्षक, मेथडॉलॉजिस्ट आणि प्रकाशनांच्या लेखकांसह, पाठ्यपुस्तकातील प्रत्येक अक्षरावर सामूहिक चर्चा करताना वेळ निघून गेली आहे. पूर्वी, शाळांमध्ये पाठ्यपुस्तक सोडण्यापूर्वी, अभ्यासाच्या परिणामांचे गंभीर विश्लेषण आणि अभ्यास केले जात होते. पाठ्यपुस्तके सार्वत्रिक बनवण्याचा प्रयत्न करणाऱ्या शौकिनांसाठी वेळ आली आहे, त्यांना गणिताच्या मजबूत वर्गांच्या मानकांशी जुळवून घ्या.

माहितीचे प्रमाण वाढवण्याची शर्यत केवळ त्याच्या आत्मसात करण्याच्या गुणवत्तेत घट होते आणि परिणामी, गणितातील वास्तविक ज्ञानाची पातळी कमी होते. मात्र याकडे कोणी लक्ष देत नाही. आणि आमच्या मुलांना, आधीच 8 व्या इयत्तेत, आम्ही संस्थेत काय अभ्यास केला आहे याचा अभ्यास करण्यास भाग पाडले जाते: संभाव्यता सिद्धांत, उच्च-पदवी समीकरणे सोडवणे आणि आणखी काहीतरी. मुलाच्या पूर्ण आकलनासाठी पुस्तकांमधील सामग्रीचे रुपांतर खूप काही हवे असते आणि गणिताच्या शिक्षकाला हे कसे तरी हाताळण्यास भाग पाडले जाते.

"बहुपदी एका कोपऱ्याने बहुपदी विभाजित करणे" यासारख्या विशिष्ट विषयाच्या शिकवण्याच्या पद्धतीबद्दल बोलूया, प्रौढ गणितामध्ये "बेझाउटचे प्रमेय आणि हॉर्नरची योजना" म्हणून ओळखले जाते. काही वर्षांपूर्वी, गणिताच्या शिकवणीसाठी हा प्रश्न इतका दबाव नव्हता, कारण तो मुख्य शालेय अभ्यासक्रमाचा भाग नव्हता. आता टेल्याकोव्स्कीने संपादित केलेल्या पाठ्यपुस्तकाच्या आदरणीय लेखकांनी, माझ्या मते, सर्वोत्तम पाठ्यपुस्तक काय आहे, त्याच्या नवीनतम आवृत्तीत बदल केले आहेत आणि ते पूर्णपणे खराब करून, केवळ शिक्षकांना अनावश्यक चिंता जोडल्या आहेत. गणिताचा दर्जा नसलेल्या शाळा आणि वर्गातील शिक्षकांनी, लेखकांच्या नवकल्पनांवर लक्ष केंद्रित करून, त्यांच्या धड्यांमध्ये अधिक वेळा अतिरिक्त परिच्छेद समाविष्ट करण्यास सुरुवात केली आणि जिज्ञासू मुले, त्यांच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील सुंदर पृष्ठे पहात, अधिकाधिक प्रश्न विचारू लागली. शिक्षक: “हे कोपऱ्याने विभागणे म्हणजे काय? आपण यातून जाणार आहोत का? कोपरा कसा शेअर करायचा? अशा थेट प्रश्नांपासून आता काही लपून राहिलेले नाही. शिक्षकाला मुलाला काहीतरी सांगावे लागेल.

पण जस? हा विषय पाठ्यपुस्तकांमध्ये सक्षमपणे मांडला असता तर मी कदाचित त्या विषयावर काम करण्याच्या पद्धतीचे वर्णन केले नसते. आमच्याबरोबर सर्वकाही कसे चालले आहे? पाठ्यपुस्तके छापून विकणे आवश्यक आहे. आणि यासाठी ते नियमितपणे अपडेट करणे आवश्यक आहे. विद्यापीठातील शिक्षक तक्रार करतात का की मुले त्यांच्याकडे रिकाम्या डोक्याने, ज्ञान आणि कौशल्याशिवाय येतात? गणितीय ज्ञानाच्या गरजा वाढत आहेत का? छान! चला काही व्यायाम काढून टाकू आणि त्याऐवजी इतर प्रोग्राममध्ये अभ्यासलेले विषय समाविष्ट करू. आमचे पाठ्यपुस्तक वाईट का आहे? आम्ही काही अतिरिक्त अध्याय समाविष्ट करू. शाळकरी मुलांना एक कोपरा विभागण्याचा नियम माहित नाही? हे मूलभूत गणित आहे. हा परिच्छेद "ज्यांना अधिक जाणून घ्यायचे आहे त्यांच्यासाठी" असे शीर्षक असलेले वैकल्पिक केले पाहिजे. शिक्षक विरोधात? आम्ही सर्वसाधारणपणे शिक्षकांची काळजी का करतो? मेथडॉलॉजिस्ट आणि शाळेतील शिक्षकही विरोधात आहेत का? आम्ही सामग्रीची गुंतागुंत करणार नाही आणि त्याचा सर्वात सोपा भाग विचारात घेऊ.

आणि इथूनच त्याची सुरुवात होते. विषयाची साधेपणा आणि त्याच्या आत्मसात करण्याच्या गुणवत्तेत, सर्व प्रथम, त्याचे तर्कशास्त्र समजून घेणे, आणि पाठ्यपुस्तक लेखकांच्या सूचनांनुसार कार्य न करता, एकमेकांशी स्पष्टपणे संबंधित नसलेल्या ऑपरेशन्सचा एक विशिष्ट संच. . अन्यथा, विद्यार्थ्यांच्या डोक्यात धुके असेल. जर लेखक तुलनेने मजबूत विद्यार्थ्यांना लक्ष्य करत असतील (परंतु नियमित कार्यक्रमात अभ्यास करत असतील), तर तुम्ही हा विषय कमांड फॉर्ममध्ये सादर करू नये. पाठ्यपुस्तकात आपण काय पाहतो? मुलांनो, आपण या नियमानुसार विभागले पाहिजे. कोनाखालील बहुपद मिळवा. अशाप्रकारे, मूळ बहुपदी घटकबद्ध केली जाईल. तथापि, कोपऱ्याखालील संज्ञा अशा प्रकारे का निवडल्या गेल्या आहेत, त्यांना कोपऱ्याच्या वरच्या बहुपदीने गुणाकार का केला गेला पाहिजे आणि नंतर वर्तमान उर्वरित भागातून वजा केले पाहिजे हे समजणे स्पष्ट नाही. आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे, निवडलेले मोनोमिअल शेवटी का जोडले जावे आणि परिणामी कंस मूळ बहुपदीचा विस्तार का होईल हे स्पष्ट नाही. कोणताही सक्षम गणितज्ञ पाठ्यपुस्तकात दिलेल्या स्पष्टीकरणांवर ठळक प्रश्नचिन्ह लावेल.

मी माझ्या समस्येचे निराकरण शिक्षक आणि गणित शिक्षकांच्या लक्षात आणून देतो, ज्यामुळे पाठ्यपुस्तकात सांगितलेली प्रत्येक गोष्ट विद्यार्थ्याला व्यावहारिकपणे स्पष्ट होते. खरं तर, आम्ही Bezout चे प्रमेय सिद्ध करू: जर संख्या a बहुपदीचे मूळ असेल, तर या बहुपदीचे घटकांमध्ये विघटन केले जाऊ शकते, ज्यापैकी एक x-a आहे आणि दुसरा मूळपासून तीनपैकी एका प्रकारे मिळवला जातो: ट्रान्सफॉर्मेशनद्वारे रेषीय घटक वेगळे करून, कोपऱ्याद्वारे विभाजित करून किंवा हॉर्नरच्या योजनेद्वारे. या फॉर्म्युलेशनमुळेच गणिताच्या शिक्षकाला काम करणे सोपे होईल.

शिकवण्याची पद्धत म्हणजे काय? सर्व प्रथम, स्पष्टीकरण आणि उदाहरणांच्या क्रमवारीत हा एक स्पष्ट क्रम आहे ज्याच्या आधारावर गणितीय निष्कर्ष काढले जातात. हा विषयही त्याला अपवाद नाही. गणिताच्या शिक्षकाने मुलाला बेझाउटच्या प्रमेयाची ओळख करून देणे खूप महत्वाचे आहे एका कोपऱ्याने विभाजित करण्यापूर्वी. हे खूप महत्वाचे आहे! विशिष्ट उदाहरण वापरून समजून घेणे उत्तम. चला निवडलेल्या मुळासह काही बहुपदी घेऊ आणि 7 व्या इयत्तेपासून शाळकरी मुलांसाठी परिचित असलेल्या ओळख परिवर्तनाच्या पद्धतीचा वापर करून घटकांमध्ये घटक बनवण्याचे तंत्र दाखवू. गणिताच्या ट्यूटरकडून योग्य स्पष्टीकरणे, जोर आणि टिपांसह, कोणत्याही सामान्य गणितीय गणना, अनियंत्रित गुणांक आणि अधिकारांशिवाय सामग्री पोहोचवणे शक्य आहे.

गणिताच्या शिक्षकासाठी महत्त्वाचा सल्ला- सुरुवातीपासून शेवटपर्यंत सूचनांचे अनुसरण करा आणि हा क्रम बदलू नका.

तर, आपल्याकडे बहुपदी आहे असे म्हणू या. जर आपण X च्या ऐवजी 1 क्रमांक लावला तर बहुपदीचे मूल्य शून्य असेल. म्हणून x=1 त्याचे मूळ आहे. चला ते दोन संज्ञांमध्ये विघटित करण्याचा प्रयत्न करूया जेणेकरुन त्यापैकी एक रेषीय अभिव्यक्तीचे उत्पादन असेल आणि काही मोनोमियल असेल आणि दुसर्‍यामध्ये पेक्षा एक अंश कमी असेल. म्हणजेच फॉर्ममध्ये त्याचे प्रतिनिधित्व करूया

आम्ही लाल फील्डसाठी मोनोमियल निवडतो जेणेकरुन अग्रगण्य संज्ञाने गुणाकार केल्यावर ते मूळ बहुपदीच्या अग्रगण्य पदाशी पूर्णपणे एकरूप होईल. जर विद्यार्थी सर्वात कमकुवत नसेल, तर तो गणिताच्या शिक्षकाला आवश्यक अभिव्यक्ती सांगण्यास सक्षम असेल: . ट्यूटरला ताबडतोब ते लाल फील्डमध्ये घालण्यास सांगितले पाहिजे आणि ते उघडल्यावर काय होईल ते दर्शवावे. या आभासी तात्पुरत्या बहुपदीवर बाणांच्या खाली (छोट्या फोटोखाली) स्वाक्षरी करणे चांगले आहे, त्यास काही रंगाने हायलाइट करणे, उदाहरणार्थ, निळा. हे तुम्हाला लाल फील्डसाठी एक संज्ञा निवडण्यात मदत करेल, ज्याला निवडीचा उर्वरित भाग म्हणतात. ही उरलेली वजाबाकी करून सापडू शकते हे येथे निदर्शनास आणण्यासाठी मी शिक्षकांना सल्ला देईन. हे ऑपरेशन केल्याने आम्हाला मिळते:

गणिताच्या शिक्षकाने या वस्तुस्थितीकडे विद्यार्थ्याचे लक्ष वेधले पाहिजे की या समानतेमध्ये एक बदलून, आपल्याला त्याच्या डाव्या बाजूला शून्य मिळण्याची हमी आहे (कारण 1 हे मूळ बहुपदीचे मूळ आहे), आणि उजव्या बाजूला, स्पष्टपणे, आम्ही पहिल्या टर्ममध्ये देखील शून्य होईल. याचा अर्थ असा की कोणत्याही पडताळणीशिवाय आपण असे म्हणू शकतो की एक "हिरव्या अवशेष" चे मूळ आहे.

आपण मूळ बहुपदी प्रमाणेच त्याच्याशी समान रेखीय घटक वेगळे करून त्यास सामोरे जाऊ. गणिताचा शिक्षक विद्यार्थ्यासमोर दोन फ्रेम्स काढतो आणि त्यांना डावीकडून उजवीकडे भरण्यास सांगतो.

विद्यार्थ्याने ट्यूटरसाठी लाल फील्डसाठी मोनोमियल निवडतो जेणेकरून, रेखीय अभिव्यक्तीच्या अग्रस्थानी पदाने गुणाकार केल्यावर, ते विस्तारित बहुपदीची अग्रगण्य संज्ञा देते. आम्ही ते फ्रेममध्ये बसवतो, ताबडतोब ब्रॅकेट उघडतो आणि फोल्डिंगमधून वजा करणे आवश्यक असलेली अभिव्यक्ती निळ्या रंगात हायलाइट करतो. हे ऑपरेशन केल्याने आम्हाला मिळते

आणि शेवटी, शेवटच्या उर्वरितसह तेच करणे

आम्हाला ते शेवटी मिळेल

आता कंसातून अभिव्यक्ती काढू आणि मूळ बहुपदीचे घटकांमध्ये विघटन होणार आहे, त्यापैकी एक म्हणजे “x वजा निवडलेले मूळ”.

शेवटचा “हिरवा उरलेला भाग” चुकून आवश्यक घटकांमध्ये विघटित झाला असा विचार विद्यार्थ्याने करू नये म्हणून, गणिताच्या शिक्षकाने सर्व हिरव्या अवशेषांचा एक महत्त्वाचा गुणधर्म दर्शविला पाहिजे - त्या प्रत्येकाचे मूळ 1 आहे. हे अवशेष कमी होतात, मग आम्हांला बहुपदी कितीही दिलेली असली, तरी लवकर किंवा नंतर आम्हाला मूळ १ सह एक रेषीय "हिरवा शेष" मिळेल आणि त्यामुळे ते विशिष्ट गुणाकारात विघटित होईल. संख्या आणि अभिव्यक्ती.

अशा तयारीच्या कामानंतर, गणिताच्या शिक्षकाला विद्यार्थ्याला एका कोपऱ्याने विभाजित केल्यावर काय होते हे समजावून सांगणे कठीण होणार नाही. ही समान प्रक्रिया आहे, फक्त लहान आणि अधिक संक्षिप्त स्वरूपात, समान चिन्हांशिवाय आणि समान हायलाइट केलेल्या अटी पुन्हा लिहिल्याशिवाय. बहुपदी ज्यामधून रेखीय घटक काढला जातो तो कोपऱ्याच्या डावीकडे लिहिला जातो, निवडलेल्या लाल मोनोमिअल्स एका कोनात गोळा केल्या जातात (आता ते का जोडले जावे हे स्पष्ट झाले आहे), “निळे बहुपद” मिळविण्यासाठी, “लाल " x-1 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे, आणि नंतर सध्या निवडलेल्यामधून वजा करणे आवश्यक आहे की संख्यांच्या नेहमीच्या विभागणीमध्ये हे एका स्तंभात कसे केले जाते (आधी अभ्यास केलेल्या गोष्टीशी येथे एक साधर्म्य आहे). परिणामी "हिरवे अवशेष" नवीन अलगाव आणि "लाल मोनोमिअल्स" च्या निवडीच्या अधीन आहेत. आणि असेच तुम्हाला शून्य “ग्रीन बॅलन्स” मिळेपर्यंत. सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे विद्यार्थ्याला कोनाच्या वर आणि खाली लिहिलेल्या बहुपदींचे पुढील भवितव्य समजते. अर्थात, हे कंस आहेत ज्यांचे उत्पादन मूळ बहुपदीच्या बरोबरीचे आहे.

गणिताच्या शिक्षकाच्या कामाचा पुढचा टप्पा म्हणजे बेझाउटच्या प्रमेयाची निर्मिती. खरं तर, ट्यूटरच्या या दृष्टीकोनातून त्याचे सूत्रीकरण स्पष्ट होते: जर a ही संख्या बहुपदीचे मूळ असेल, तर ती घटकबद्ध केली जाऊ शकते, ज्यापैकी एक आहे, आणि दुसरा मूळ क्रमांकापासून तीनपैकी एका प्रकारे मिळवला जातो. :

• थेट विघटन (ग्रुपिंग पद्धतीशी साधर्म्य)
• एका कोपऱ्याने विभाजित करणे (स्तंभामध्ये)
• हॉर्नरच्या सर्किटद्वारे

असे म्हटले पाहिजे की सर्व गणिताचे शिक्षक विद्यार्थ्यांना हॉर्नर आकृती दाखवत नाहीत आणि सर्व शाळेतील शिक्षक (सुदैवाने स्वतः शिक्षकांसाठी) धड्यांदरम्यान विषयात इतके खोलवर जात नाहीत. तथापि, गणिताच्या वर्गातील विद्यार्थ्यासाठी, मला लांब भागाकारावर थांबण्याचे कोणतेही कारण दिसत नाही. शिवाय, सर्वात सोयीस्कर आणि जलदविघटन तंत्र तंतोतंत हॉर्नरच्या योजनेवर आधारित आहे. मुलाला ते कोठून आले आहे हे समजावून सांगण्यासाठी, कोपऱ्याद्वारे विभागणीचे उदाहरण वापरून, हिरव्या अवशेषांमध्ये उच्च गुणांक दिसणे हे शोधणे पुरेसे आहे. हे स्पष्ट होते की सुरुवातीच्या बहुपदीचा अग्रगण्य गुणांक पहिल्या “लाल मोनोमिअल” च्या गुणांकामध्ये आणला जातो आणि पुढे सध्याच्या वरच्या बहुपदीच्या दुसऱ्या गुणांकापासून वजा केले"लाल मोनोमिअल" च्या वर्तमान गुणांकाने गुणाकार केल्याचा परिणाम. त्यामुळे ते शक्य आहे जोडाने गुणाकार केल्याचा परिणाम. विद्यार्थ्याचे लक्ष गुणांकांसह क्रियांच्या वैशिष्ट्यांवर केंद्रित केल्यानंतर, एक गणित शिक्षक दाखवू शकतो की या क्रिया सामान्यत: व्हेरिएबल्स स्वतः रेकॉर्ड केल्याशिवाय कशा केल्या जातात. हे करण्यासाठी, खालील तक्त्यामध्ये अग्रक्रमानुसार मूळ बहुपदीचे मूळ आणि गुणांक प्रविष्ट करणे सोयीचे आहे:

बहुपदीमध्ये कोणतीही पदवी गहाळ असल्यास, त्याचा शून्य गुणांक सारणीमध्ये सक्तीने टाकला जातो. "लाल बहुपदी" चे गुणांक "हुक" नियमानुसार तळाच्या ओळीत लिहिलेले आहेत:

मूळ शेवटच्या लाल गुणांकाने गुणाकार केला जातो, वरच्या ओळीत पुढील गुणांक जोडला जातो आणि परिणाम खालच्या ओळीत लिहिला जातो. शेवटच्या स्तंभात आम्हाला शेवटच्या "हिरव्या शेष" चे सर्वोच्च गुणांक मिळण्याची हमी आहे, म्हणजेच शून्य. प्रक्रिया पूर्ण झाल्यानंतर, संख्या जुळलेले रूट आणि शून्य उर्वरित दरम्यान सँडविच केलेदुसर्‍या (नॉनलाइनर) घटकाचे गुणांक असल्याचे दिसून येते.

रूट a खालच्या ओळीच्या शेवटी शून्य देत असल्याने, हॉर्नरची योजना बहुपदीच्या मूळ शीर्षकासाठी संख्या तपासण्यासाठी वापरली जाऊ शकते. जर तर्कसंगत रूटच्या निवडीवर एक विशेष प्रमेय. त्याच्या मदतीने मिळविलेल्या या शीर्षकासाठी सर्व उमेदवार फक्त हॉर्नरच्या आकृतीमध्ये डावीकडून वळवले जातात. आपल्याला शून्य मिळताच, चाचणी केलेली संख्या मूळ असेल आणि त्याच वेळी आपल्याला त्याच्या रेषेवर मूळ बहुपदीच्या गुणांकाचे गुणांक मिळतील. अगदी आरामात.

शेवटी, मी हे लक्षात घेऊ इच्छितो की हॉर्नरची योजना अचूकपणे सादर करण्यासाठी तसेच विषयाचे व्यावहारिकदृष्ट्या एकत्रीकरण करण्यासाठी, गणिताच्या शिक्षकाकडे पुरेसे तास असणे आवश्यक आहे. “आठवड्यातून एकदा” या पद्धतीमध्ये काम करणाऱ्या शिक्षकाने कोपरा विभागणीमध्ये भाग घेऊ नये. गणितातील युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन आणि मॅथेमॅटिक्समधील स्टेट अकादमी ऑफ मॅथेमॅटिक्सवर, पहिल्या भागात तुम्हाला अशा प्रकारे सोडवता येणारे थर्ड डिग्रीचे समीकरण सापडण्याची शक्यता नाही. जर एखादा शिक्षक मॉस्को स्टेट युनिव्हर्सिटीमध्ये गणिताच्या परीक्षेसाठी मुलाला तयार करत असेल तर, विषयाचा अभ्यास करणे अनिवार्य होते. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या संकलकांच्या विपरीत, विद्यापीठातील शिक्षकांना अर्जदाराच्या ज्ञानाच्या खोलीची चाचणी घेणे खरोखरच आवडते.

कोल्पाकोव्ह अलेक्झांडर निकोलाविच, गणिताचे शिक्षक मॉस्को, स्ट्रोगिनो

हॉर्नरची योजना - बहुपदी विभाजित करण्याची पद्धत

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

द्विपदी $x-a$ वर. आपल्याला एका टेबलसह कार्य करावे लागेल, ज्याच्या पहिल्या पंक्तीमध्ये दिलेल्या बहुपदीचे गुणांक आहेत. दुस-या ओळीचा पहिला घटक $a$ हा द्विपदी $x-a$ मधून घेतलेला असेल:

nth अंशाच्या बहुपदीला द्विपदी $x-a$ ने भागल्यानंतर, आम्हाला बहुपदी मिळते ज्याची पदवी मूळपेक्षा एक कमी असते, म्हणजे. $n-1$ च्या बरोबरीचे. हॉर्नरच्या योजनेचा थेट वापर उदाहरणांसह प्रदर्शित करणे सर्वात सोपे आहे.

उदाहरण क्रमांक १

हॉर्नरची योजना वापरून $5x^4+5x^3+x^2-11$ ला $x-1$ ने विभाजित करा.

चला दोन ओळींचा एक तक्ता बनवू: पहिल्या ओळीत आपण $5x^4+5x^3+x^2-11$ चे गुणांक लिहू, $x$ व्हेरिएबलच्या शक्तींच्या उतरत्या क्रमाने मांडणी करू. लक्षात घ्या की या बहुपदीमध्ये पहिल्या पदवीपर्यंत $x$ समाविष्ट नाही, उदा. पहिल्या पॉवरचे $x$ चे गुणांक 0 आहे. आपण $x-1$ ने भाग करत असल्याने, दुसऱ्या ओळीत एक लिहू:

दुसऱ्या ओळीतील रिकाम्या पेशी भरू. दुसऱ्या ओळीच्या दुसऱ्या सेलमध्ये आम्ही $5$ ही संख्या लिहितो, फक्त पहिल्या ओळीच्या संबंधित सेलमधून हलवून:

या तत्त्वानुसार पुढील सेल भरा: $1\cdot 5+5=10$:

दुसऱ्या ओळीचा चौथा सेल त्याच प्रकारे भरू: $1\cdot 10+1=11$:

पाचव्या सेलसाठी आम्हाला मिळेल: $1\cdot 11+0=11$:

आणि शेवटी, शेवटच्या, सहाव्या सेलसाठी, आमच्याकडे आहे: $1\cdot 11+(-11)=0$:

समस्येचे निराकरण झाले आहे, फक्त उत्तर लिहिणे बाकी आहे:

तुम्ही बघू शकता, दुसर्‍या ओळीत (एक आणि शून्य दरम्यान) असलेल्या संख्या या $5x^4+5x^3+x^2-11$ ला $x-1$ ने भागल्यानंतर मिळणाऱ्या बहुपदीचे गुणांक आहेत. साहजिकच, मूळ बहुपदी $5x^4+5x^3+x^2-11$ ची पदवी चार समान असल्याने, परिणामी बहुपदी $5x^3+10x^2+11x+11$ एक आहे. कमी, म्हणजे . तीन समान. दुसऱ्या ओळीतील शेवटची संख्या (शून्य) म्हणजे $5x^4+5x^3+x^2-11$ ला $x-1$ ने विभाजित करताना उरलेली संख्या. आमच्या बाबतीत, उर्वरित शून्य आहे, म्हणजे. बहुपदी समान रीतीने विभाज्य आहेत. हा परिणाम देखील खालीलप्रमाणे दर्शविला जाऊ शकतो: $x=1$ साठी बहुपद $5x^4+5x^3+x^2-11$ चे मूल्य शून्य आहे.

निष्कर्ष या स्वरूपात देखील तयार केला जाऊ शकतो: कारण बहुपदी $5x^4+5x^3+x^2-11$ चे मूल्य $x=1$ च्या बरोबरीचे आहे, तर एकता हे बहुपदीचे मूळ आहे $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

उदाहरण क्रमांक २

हॉर्नरची योजना वापरून बहुपद $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ला $x+3$ ने विभाजित करा.

आपण ताबडतोब असे ठरवूया की $x+3$ ही अभिव्यक्ती $x-(-3)$ या स्वरूपात सादर करणे आवश्यक आहे. हॉर्नरच्या योजनेत नक्की $-3$ समाविष्ट असेल. मूळ बहुपदी $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ची पदवी चारच्या बरोबरीची असल्याने, विभाजनाच्या परिणामी आपल्याला तृतीय अंशाची बहुपदी प्राप्त होते:

परिणाम म्हणजे

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

या स्थितीत, $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ला $x+3$ ने भागल्यास उर्वरित $4$ आहे. किंवा, समान काय आहे, $x=-3$ साठी बहुपदी $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ चे मूल्य $4$ इतके आहे. तसे, दिलेल्या बहुपदीमध्ये थेट $x=-3$ बदलून हे पुन्हा तपासणे सोपे आहे:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$

त्या. जर तुम्हाला व्हेरिएबलच्या दिलेल्या मूल्यासाठी बहुपदीचे मूल्य शोधायचे असेल तर हॉर्नरची योजना वापरली जाऊ शकते. जर बहुपदीची सर्व मुळे शोधण्याचे आमचे ध्येय असेल, तर उदाहरण क्रमांक ३ मध्ये चर्चा केल्याप्रमाणे, सर्व मुळे संपेपर्यंत हॉर्नरची योजना सलग अनेक वेळा लागू केली जाऊ शकते.

उदाहरण क्रमांक 3

हॉर्नरची योजना वापरून बहुपद $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ची सर्व पूर्णांक मुळे शोधा.

प्रश्नातील बहुपदीचे गुणांक पूर्णांक आहेत आणि चलच्या सर्वोच्च बळाचा गुणांक (म्हणजे $x^6$) एक आहे. या प्रकरणात, मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये बहुपदीची पूर्णांक मुळे शोधणे आवश्यक आहे, उदा. 45 क्रमांकाच्या विभाजकांमध्ये. दिलेल्या बहुपदीसाठी, अशी मुळे ही संख्या $45 असू शकते; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ आणि $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. चला, उदाहरणार्थ, $1$ ही संख्या तपासू:

तुम्ही बघू शकता, बहुपदी $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ सह $x=1$ चे मूल्य $192$ (शेवटची संख्या) आहे दुसऱ्या ओळीत), आणि $0 $ नाही, म्हणून एकता हे या बहुपदीचे मूळ नाही. एक चेक अयशस्वी झाल्यामुळे, चला मूल्य तपासूया $x=-1$. आम्ही यासाठी नवीन टेबल तयार करणार नाही, परंतु टेबल वापरणे सुरू ठेवू. क्र. 1, त्यात एक नवीन (तृतीय) ओळ जोडणे. दुसरी ओळ, ज्यामध्ये $1$ चे मूल्य तपासले गेले होते, ती लाल रंगात हायलाइट केली जाईल आणि पुढील चर्चांमध्ये वापरली जाणार नाही.

आपण अर्थातच, टेबल पुन्हा पुन्हा लिहू शकता, परंतु ते व्यक्तिचलितपणे भरण्यासाठी बराच वेळ लागेल. शिवाय, असे अनेक नंबर असू शकतात ज्यांचे सत्यापन अयशस्वी होईल आणि प्रत्येक वेळी नवीन तक्ता लिहिणे कठीण आहे. "कागदावर" गणना करताना, लाल रेषा सहजपणे ओलांडल्या जाऊ शकतात.

तर, $x=-1$ वर बहुपदी $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ चे मूल्य शून्य आहे, म्हणजे. $-1$ ही संख्या या बहुपदीचे मूळ आहे. बहुपदी $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ द्विपदी $x-(-1)=x+1$ ने भागल्यानंतर आपल्याला बहुपदी $x मिळते. ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, ज्याचे गुणांक टेबलच्या तिसऱ्या ओळीतून घेतले आहेत. क्रमांक 2 (उदाहरण क्रमांक 1 पहा). गणनेचे परिणाम या फॉर्ममध्ये देखील सादर केले जाऊ शकतात:

\begin(समीकरण)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\end(समीकरण)

पूर्णांक मुळे शोधणे सुरू ठेवूया. आता आपल्याला बहुपदी $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ ची मूळे शोधायची आहेत. पुन्हा, या बहुपदीची पूर्णांक मुळे त्याच्या मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये शोधली जातात, संख्या $45$. चला पुन्हा $-1$ नंबर तपासण्याचा प्रयत्न करूया. आम्ही नवीन सारणी तयार करणार नाही, परंतु मागील सारणी वापरणे सुरू ठेवू. क्रमांक 2, i.e. चला त्यात आणखी एक ओळ जोडूया:

तर, $-1$ ही संख्या बहुपदी $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ चे मूळ आहे. हा निकाल याप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:

\begin(समीकरण)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(समीकरण)

समानता (2) लक्षात घेऊन, समानता (1) पुढील स्वरूपात पुन्हा लिहिली जाऊ शकते:

\begin(समीकरण)\begin(संरेखित) आणि x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(संरेखित)\end(समीकरण)

आता आपल्याला बहुपदी $x^4-22x^2+24x+45$ - स्वाभाविकपणे, त्याच्या मुक्त पदाच्या विभाजकांमध्ये ($45$ संख्या) मुळे शोधण्याची गरज आहे. चला नंबर $-1$ पुन्हा तपासूया:

$-1$ ही संख्या बहुपदी $x^4-22x^2+24x+45$ चे मूळ आहे. हा निकाल याप्रमाणे लिहिला जाऊ शकतो:

\begin(समीकरण)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(समीकरण)

समानता (4) लक्षात घेऊन, आम्ही समानता (3) खालील फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहितो:

\begin(समीकरण)\begin(संरेखित) आणि x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3) +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^) 2-21x+45)\end(संरेखित)\end(समीकरण)

आता आपण बहुपदी $x^3-x^2-21x+45$ ची मुळे शोधत आहोत. चला नंबर $-1$ पुन्हा तपासूया:

चेक अयशस्वी झाला. चला सहावी ओळ लाल रंगात हायलाइट करू आणि दुसरा नंबर तपासण्याचा प्रयत्न करू, उदाहरणार्थ, $3$:

उर्वरित शून्य आहे, म्हणून $3$ ही संख्या प्रश्नातील बहुपदीचे मूळ आहे. तर $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. आता समानता (5) खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिता येईल.

मागे पुढे

लक्ष द्या! स्लाइड पूर्वावलोकन केवळ माहितीच्या उद्देशाने आहेत आणि सादरीकरणाच्या सर्व वैशिष्ट्यांचे प्रतिनिधित्व करू शकत नाहीत. तुम्हाला या कामात स्वारस्य असल्यास, कृपया पूर्ण आवृत्ती डाउनलोड करा.

धडा प्रकार: प्राथमिक ज्ञानावर प्रभुत्व मिळवण्याचा आणि एकत्रित करण्याचा धडा.

धड्याचा उद्देश:

• विद्यार्थ्यांना बहुपदीच्या मुळांच्या संकल्पनेची ओळख करून द्या आणि ती कशी शोधायची ते शिकवा. पॉवर्सद्वारे बहुपदीचा विस्तार करण्यासाठी आणि बहुपदीला द्विपदीने विभाजित करण्यासाठी हॉर्नरची योजना वापरण्याचे कौशल्य सुधारा.
• हॉर्नरच्या आकृतीचा वापर करून समीकरणाची मुळे शोधायला शिका.
• अमूर्त विचार विकसित करा.
• संगणकीय संस्कृती वाढवा.
• अंतःविषय कनेक्शनचा विकास.

वर्ग दरम्यान

1. संघटनात्मक क्षण.

धड्याच्या विषयाची माहिती द्या, ध्येये तयार करा.

2. गृहपाठ तपासत आहे.

3. नवीन साहित्याचा अभ्यास करणे.

Fn(x) द्या = a n x n +a n-1 x n-1 + ... a 1 x +a 0 - डिग्री n च्या x साठी बहुपदी, जिथे a 0 , a 1 ,...,a n ही संख्या दिली आहे आणि a 0 ही 0 च्या बरोबरीची नाही. जर बहुपदी F n (x) ला उरलेल्या भागाने द्विपदी x-a ने भागले असेल तर , तर भागफल (अपूर्ण भाग) हा पदवी n-1 चा बहुपदी Q n-1 (x) आहे, उर्वरित R ही संख्या आहे आणि समानता सत्य आहे F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.बहुपदी F n (x) हा द्विपदी (x-a) ने केवळ R=0 च्या बाबतीत भाग जातो.

बेझाउटचे प्रमेय: बहुपदी F n (x) ला द्विपदी (x-a) ने भागून उर्वरित R हे x=a वर बहुपदी F n (x) च्या मूल्याच्या बरोबरीचे आहे, म्हणजे. R=Pn(a).

थोडा इतिहास. बेझाउटचे प्रमेय, त्याची स्पष्ट साधेपणा आणि स्पष्टता असूनही, बहुपदी सिद्धांताच्या मूलभूत प्रमेयांपैकी एक आहे. हे प्रमेय बहुपदींच्या बीजगणितीय गुणधर्मांशी संबंधित आहे (ज्या बहुपदांना पूर्णांक म्हणून मानले जाऊ शकतात) त्यांच्या कार्यात्मक गुणधर्मांशी (ज्यामुळे बहुपदांना कार्ये म्हणून मानले जाऊ शकते). उच्च पदवी समीकरणे सोडवण्याचा एक मार्ग म्हणजे समीकरणाच्या डाव्या बाजूला बहुपदाचा घटक करणे. बहुपदी आणि उर्वरित गुणांकांची गणना हॉर्नर स्कीम नावाच्या तक्त्याच्या स्वरूपात लिहिली जाते.

हॉर्नरची योजना ही बहुपदी विभाजित करण्यासाठी एक अल्गोरिदम आहे, जेव्हा भाग द्विपदी समान असतो तेव्हा विशेष केससाठी लिहिलेला असतो. x-a.

हॉर्नर विल्यम जॉर्ज (१७८६ - १८३७), इंग्लिश गणितज्ञ. मुख्य संशोधन बीजगणितीय समीकरणांच्या सिद्धांताशी संबंधित आहे. कोणत्याही पदवीच्या समीकरणांचे अंदाजे निराकरण करण्यासाठी एक पद्धत विकसित केली. 1819 मध्ये त्यांनी बहुपदीला द्विपदी x - a (हॉर्नर्स स्कीम) ने विभाजित करण्याची बीजगणिताची महत्त्वाची पद्धत सुरू केली.

हॉर्नरच्या योजनेसाठी सामान्य सूत्राची व्युत्पत्ती.

बहुपदी f(x) ला द्विपदी (x-c) ने भागणे म्हणजे बहुपदी q(x) आणि f(x)=(x-c)q(x)+r अशी बहुपदी संख्या शोधणे

ही समानता तपशीलवार लिहूया:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ... f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +... q n-2 x + q n-1)+r

चला गुणांक समान अंशांमध्ये समतुल्य करूया:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

उदाहरण वापरून हॉर्नरच्या सर्किटचे प्रात्यक्षिक.

व्यायाम १.हॉर्नरची योजना वापरून, आपण बहुपदी f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 ला द्विपदी x-2 ने भागतो.

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, जेथे g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 शेष.

द्विपदाच्या शक्तींमध्ये बहुपदीचा विस्तार.

हॉर्नरच्या योजनेचा वापर करून, आपण बहुपदी f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 द्विपदी (x+2) च्या शक्तींमध्ये विस्तृत करतो.

परिणामी, आपल्याला विस्तार f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) प्राप्त झाला पाहिजे. )(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

हॉर्नरची योजना सहसा तिसऱ्या, चौथ्या आणि उच्च अंशांची समीकरणे सोडवताना वापरली जाते, जेव्हा बहुपदीचा द्विपदी x-a मध्ये विस्तार करणे सोयीचे असते. क्रमांक aम्हणतात बहुपदीचे मूळ F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ... f n-1 x + f n, जर येथे x=aबहुपदी F n (x) चे मूल्य शून्याच्या बरोबरीचे आहे: F n (a)=0, i.e. जर बहुपदी द्विपदी x-a ने भाग जात असेल.

उदाहरणार्थ, संख्या 2 हे बहुपदी F 3 (x)=3x 3 -2x-20 चे मूळ आहे, कारण F 3 (2)=0. याचा अर्थ. या बहुपदीच्या गुणांकामध्ये x-2 हा घटक आहे.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

पदवीचे कोणतेही बहुपदी F n(x) n 1 मध्ये अधिक असू शकत नाही nवास्तविक मुळे.

पूर्णांक गुणांक असलेल्या समीकरणाचे कोणतेही पूर्णांक मूळ त्याच्या मुक्त पदाचा विभाजक आहे.

जर समीकरणाचा अग्रगण्य गुणांक 1 असेल, तर समीकरणाची सर्व परिमेय मुळे, ती अस्तित्त्वात असल्यास, पूर्णांक आहेत.

अभ्यास केलेल्या सामग्रीचे एकत्रीकरण.

नवीन सामग्री एकत्रित करण्यासाठी, विद्यार्थ्यांना पाठ्यपुस्तक 2.41 आणि 2.42 (पृ. 65) मधील संख्या पूर्ण करण्यासाठी आमंत्रित केले आहे.

(2 विद्यार्थी बोर्डवर सोडवतात, आणि बाकीचे, ठरवून, बोर्डवरील उत्तरांसह नोटबुकमधील असाइनमेंट तपासतात).

सारांश.

हॉर्नर योजनेची रचना आणि ऑपरेशनचे तत्त्व समजून घेतल्यावर, संगणक विज्ञान धड्यांमध्ये देखील याचा वापर केला जाऊ शकतो, जेव्हा दशांश संख्या प्रणालीपासून पूर्णांकांचे बायनरी सिस्टममध्ये रूपांतर करण्याचा मुद्दा विचारात घेतला जातो आणि त्याउलट. एका संख्या प्रणालीतून दुसऱ्या क्रमांकावर हस्तांतरित करण्याचा आधार खालील सामान्य प्रमेय आहे

प्रमेय.पूर्ण संख्या रूपांतरित करण्यासाठी एपीपासून p-एरी नंबर सिस्टम ते बेस नंबर सिस्टम dआवश्यक एपीक्रमाक्रमाने उर्वरित संख्येने भागा d, त्याच मध्ये लिहिले आहे p-ary सिस्टीम जोपर्यंत परिणामी भागांक शून्य होतो. विभागातील उर्वरित असतील d- संख्यात्मक अंक अॅड, सर्वात तरुण श्रेणीपासून सर्वात ज्येष्ठांपर्यंत. मध्ये सर्व क्रिया केल्या पाहिजेत p-अरी संख्या प्रणाली. एखाद्या व्यक्तीसाठी, हा नियम तेव्हाच सोयीचा असतो p= 10, i.e. अनुवाद करताना पासूनदशांश प्रणाली. संगणकासाठी, त्याउलट, बायनरी सिस्टममध्ये गणना करणे "अधिक सोयीस्कर" आहे. म्हणून, "2 ते 10" मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी, बायनरी प्रणालीमध्ये दहाने अनुक्रमिक भागाकार वापरला जातो आणि "10 ते 2" ही दहाच्या शक्तींची बेरीज आहे. "10 इन 2" प्रक्रियेची गणना ऑप्टिमाइझ करण्यासाठी, संगणक हॉर्नरची आर्थिक संगणन योजना वापरतो.

गृहपाठ. दोन कामे पूर्ण करण्याचा प्रस्ताव आहे.

१ला. हॉर्नरची योजना वापरून, बहुपदी f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 द्विपदी (x-3) ने विभाजित करा.

2रा. बहुपदी f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 ची पूर्णांक मुळे शोधा. (पूर्णांक गुणांक असलेल्या समीकरणाचे कोणतेही पूर्णांक मूळ त्याच्या मुक्त पदाचा विभाजक आहे हे लक्षात घेऊन)

साहित्य.

1. कुरोश ए.जी. "उच्च बीजगणिताचा अभ्यासक्रम."
2. निकोल्स्की एस.एम., पोटापोव्ह एम.के. आणि इतर. ग्रेड 10 "बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषणाची सुरुवात."
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.