अपूर्णांकांसह जटिल अभिव्यक्ती. कार्यपद्धती

संपूर्ण भागाच्या अपूर्णांकांमध्ये एक भाग व्यक्त करण्यासाठी, आपल्याला भाग पूर्णतः विभाजित करणे आवश्यक आहे.

उद्दिष्ट १.वर्गात 30 विद्यार्थी आहेत, चार बेपत्ता आहेत. किती विद्यार्थी बेपत्ता आहेत?

उपाय:

उत्तर:वर्गात विद्यार्थी नाहीत.

संख्येचा अंश शोधणे

समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी ज्यामध्ये संपूर्ण भाग शोधणे आवश्यक आहे, खालील नियम सत्य आहे:

जर संपूर्ण भाग एक अपूर्णांक म्हणून व्यक्त केला असेल, तर हा भाग शोधण्यासाठी, आपण अपूर्णांकाच्या भाजकाने संपूर्ण भाग करू शकता आणि परिणाम त्याच्या अंशाने गुणाकार करू शकता.

उद्दिष्ट १.तेथे 600 रूबल होते, ही रक्कम खर्च केली गेली. आपण किती पैसे खर्च केले?

उपाय: 600 रूबलमधून शोधण्यासाठी, आपल्याला ही रक्कम 4 भागांमध्ये विभाजित करणे आवश्यक आहे, त्याद्वारे आम्हाला एक चतुर्थांश किती पैसे आहेत हे कळते:

600: 4 = 150 (p.)

उत्तर: 150 रूबल खर्च केले.

उद्दिष्ट २. 1000 रूबल होते, ही रक्कम खर्च झाली. किती पैसे खर्च झाले?

उपाय:समस्येच्या स्थितीवरून, आम्हाला माहित आहे की 1000 रूबलमध्ये पाच समान भाग असतात. प्रथम, आम्ही 1000 च्या एक-पंचमांश किती रूबल आहेत हे शोधतो आणि नंतर दोन-पंचमांश किती रूबल आहेत ते शोधा:

1) 1000: 5 = 200 (p.) - एक पाचवा.

2) 200 2 = 400 (p.) - दोन-पंचमांश.

या दोन क्रिया एकत्र केल्या जाऊ शकतात: 1000: 5 2 = 400 (p.).

उत्तर: 400 रूबल खर्च झाले.

संपूर्ण भाग शोधण्याचा दुसरा मार्ग:

संपूर्ण भाग शोधण्यासाठी, तुम्ही संपूर्ण भागाचा भाग व्यक्त करणाऱ्या अपूर्णांकाने संपूर्ण गुणाकार करू शकता.

उद्दिष्ट ३.सहकाराच्या सनदेनुसार, अहवाल बैठक वैध होण्यासाठी, संस्थेचे किमान सदस्य उपस्थित असणे आवश्यक आहे. सहकारी संस्थेचे 120 सदस्य आहेत. अहवाल बैठक कोणत्या संरचनेत आयोजित केली जाऊ शकते?

उपाय:

उत्तर:संस्थेचे 80 सदस्य असल्यास अहवाल बैठक होऊ शकते.

त्याच्या अपूर्णांकानुसार संख्या शोधणे

समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी ज्यामध्ये संपूर्ण भाग शोधणे आवश्यक आहे, खालील नियम सत्य आहे:

जर इच्छित पूर्णांकाचा एक भाग अपूर्णांक म्हणून व्यक्त केला असेल, तर हा संपूर्ण शोधण्यासाठी, तुम्ही हा भाग अपूर्णांकाच्या अंशाने विभाजित करू शकता आणि परिणामाचा त्याच्या भाजकाने गुणाकार करू शकता.

उद्दिष्ट १.आम्ही 50 रूबल खर्च केले, जे मूळ रकमेच्या बरोबरीचे होते. पैशाची मूळ रक्कम शोधा.

उपाय:समस्येच्या वर्णनावरून, आम्ही पाहतो की 50 रूबल प्रारंभिक रकमेपेक्षा 6 पट कमी आहे, म्हणजेच, प्रारंभिक रक्कम 50 रूबलपेक्षा 6 पट जास्त आहे. ही रक्कम शोधण्यासाठी, तुम्हाला 50 चा 6 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे:

५० ६ = ३०० (पृ.)

उत्तर:प्रारंभिक रक्कम 300 रूबल आहे.

उद्दिष्ट २.आम्ही 600 रूबल खर्च केले, जे पैशाच्या सुरुवातीच्या रकमेइतके होते. मूळ रक्कम शोधा.

उपाय:आवश्यक संख्येमध्ये तीन तृतीयांश भाग आहेत असे आपण गृहीत धरू. स्थितीनुसार, संख्या दोन तृतीयांश 600 rubles च्या समान आहे. प्रथम, आम्हाला मूळ रकमेचा एक तृतीयांश सापडतो आणि नंतर किती रूबल तीन तृतीयांश आहेत (मूळ रक्कम):

1) 600: 2 3 = 900 (p.)

उत्तर:प्रारंभिक रक्कम 900 रूबल आहे.

त्याच्या भागानुसार संपूर्ण शोधण्याचा दुसरा मार्ग:

जो भाग व्यक्त करतो त्याच्या मूल्यानुसार संपूर्ण शोधण्यासाठी, तुम्ही या मूल्याला हा भाग व्यक्त करणाऱ्या अपूर्णांकाने भागू शकता.

उद्दिष्ट ३.विभाग एबी 42 सेमीच्या बरोबरीने विभागाची लांबी आहे सीडी... रेषाखंडाची लांबी शोधा सीडी.

उपाय:

उत्तर:विभागाची लांबी सीडी 70 सें.मी.

कार्य 4.त्यांनी दुकानात टरबूज आणले. दुपारच्या जेवणापूर्वी स्टोअर विकले, दुपारच्या जेवणानंतर - टरबूज आणले आणि 80 टरबूज विकायचे राहिले. एकूण किती टरबूज स्टोअरमध्ये आणले गेले?

उपाय:प्रथम, आम्ही आणलेल्या टरबूजांचा कोणता भाग 80 आहे हे शोधून काढू. हे करण्यासाठी, आपण एकूण आयात केलेल्या टरबूजांची संख्या एक युनिट म्हणून घेऊ आणि त्यातून आम्ही विक्री (विक्री) व्यवस्थापित केलेल्या टरबूजांची संख्या वजा करू:

आणि म्हणून, आम्ही शिकलो की आयात केलेल्या टरबूजांची एकूण संख्या 80 टरबूज बनवतात. आता एकूण किती टरबूज आहेत आणि नंतर किती टरबूज आहेत (आणलेल्या टरबूजांची संख्या):

2) 80: 4 15 = 300 (टरबूज)

उत्तर:एकूण, 300 टरबूज स्टोअरमध्ये आणले गेले.

5 व्या वर्गात विद्यार्थी अपूर्णांकांशी परिचित होतात. पूर्वी, ज्या लोकांना अपूर्णांकांसह कृती कशी करावी हे माहित होते त्यांना खूप हुशार मानले जात असे. पहिला अपूर्णांक 1/2 होता, म्हणजे अर्धा, नंतर 1/3 दिसला, इ. अनेक शतके, उदाहरणे खूप जटिल मानली गेली. आता, अपूर्णांक, बेरीज, गुणाकार आणि इतर क्रियांचे रूपांतर करण्यासाठी तपशीलवार नियम विकसित केले गेले आहेत. सामग्री थोडी समजून घेणे पुरेसे आहे आणि निर्णय घेणे सोपे होईल.

एक सामान्य अपूर्णांक, ज्याला साधा अपूर्णांक म्हणतात, दोन संख्यांचा भाग म्हणून लिहिला जातो: m आणि n.

M हा लाभांश आहे, म्हणजेच अपूर्णांकाचा अंश आहे आणि भाजक n ला भाजक म्हणतात.

योग्य अपूर्णांक वाटप करा (m< n) а также неправильные (m >n).

नियमित अपूर्णांक एकापेक्षा कमी असतो (उदाहरणार्थ, 5/6 - याचा अर्थ 5 भाग एकातून घेतले जातात; 2/8 - 2 भाग एकातून घेतले जातात). अनियमित अपूर्णांक 1 च्या बरोबरीचा किंवा त्याहून अधिक आहे (8/7 - एकक 7/7 असेल आणि आणखी एक भाग अधिक म्हणून घेतला जाईल).

तर, एकक म्हणजे जेव्हा अंश आणि भाजक एकरूप होतात (3/3, 12/12, 100/100 आणि इतर).

सामान्य अपूर्णांक ग्रेड 6 सह क्रिया

साध्या अपूर्णांकांसह, आपण पुढील गोष्टी करू शकता:

• अपूर्णांक विस्तृत करा. जर तुम्ही अपूर्णांकाच्या वरच्या आणि खालच्या भागांना समान संख्येने गुणाकार केला (परंतु शून्य नाही), तर अपूर्णांकाचे मूल्य बदलणार नाही (3/5 = 6/10 (फक्त 2 ने गुणाकार केला).
• अपूर्णांक कमी करणे हे विस्तारासारखेच आहे, परंतु येथे ते काही संख्येने भागले आहे.
• तुलना करा. जर दोन अपूर्णांकांचे अंश समान असतील, तर मोठा अपूर्णांक हा खालच्या भाजकाचा अपूर्णांक असेल. जर भाजक समान असतील तर सर्वात मोठा अंश असलेला अपूर्णांक मोठा असेल.
• बेरीज आणि वजाबाकी करा. समान भाजकांसह, हे करणे सोपे आहे (आम्ही वरच्या भागांची बेरीज करतो आणि खालचा भाग बदलत नाही). भिन्नांसाठी, तुम्हाला एक सामान्य भाजक आणि अतिरिक्त घटक शोधावे लागतील.
• अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार करा.

आम्ही खाली अपूर्णांकांसह क्रियांची उदाहरणे विचारात घेऊ.

कमी केलेले अपूर्णांक ग्रेड 6

संक्षेप म्हणजे अपूर्णांकाच्या वरच्या आणि खालच्या भागांना समान संख्येपैकी कोणत्याही एकाने विभाजित करणे.

आकृती संक्षेपाची साधी उदाहरणे दाखवते. पहिल्या पर्यायात, तुम्ही ताबडतोब अंदाज लावू शकता की अंश आणि भाजक 2 ने भागता येतील.

एका नोटवर! जर संख्या सम असेल तर ती कोणत्याही प्रकारे 2 ने भागता येणार नाही. सम संख्या 2, 4, 6 ... 32 आहेत. 8 (सम ने समाप्त होते), इ.

दुसऱ्या प्रकरणात, 6 ला 18 ने भागताना, तुम्ही लगेच पाहू शकता की संख्या 2 ने भाग जात आहेत. भागाकार केल्यावर आपल्याला 3/9 मिळेल. या अपूर्णांकाला 3 ने भाग जातो. तर उत्तर 1/3 आहे. जर तुम्ही दोन्ही भाजकांना: 2 ने 3 ने गुणले तर तुम्हाला 6 मिळेल. असे दिसून आले की अपूर्णांक सहा ने भागला आहे. या क्रमिक विभागणीला म्हणतात सामान्य घटकांद्वारे अपूर्णांकांची सलग घट.

कोणीतरी ताबडतोब 6 ने विभाजित करेल, कोणाला भागांद्वारे भागाकार आवश्यक असेल. मुख्य गोष्ट अशी आहे की शेवटी एक अंश आहे जो कोणत्याही प्रकारे कमी केला जाऊ शकत नाही.

लक्षात ठेवा की जर एखाद्या संख्येत अंक असतील तर, 3 ने भाग जाणार्‍या संख्येपर्यंत जोडल्यास, मूळ देखील 3 ने कमी करता येईल. उदाहरण: संख्या 341. संख्या जोडा: 3 + 4 + 1 = 8 (8 हा भाग जात नाही 3 ने, म्हणून, 341 हा आकडा 3 ने कमी करता येत नाही बाकीच्या शिवाय). दुसरे उदाहरण: 264. जोडा: 2 + 6 + 4 = 12 (3 ने विभाज्य). आम्हाला मिळते: 264: 3 = 88. हे मोठ्या संख्येचे प्रमाण कमी करणे सोपे करेल.

सामान्य घटकांद्वारे अपूर्णांक कमी करण्याच्या पद्धती व्यतिरिक्त, इतर पद्धती आहेत.

GCD हा संख्येचा सर्वात मोठा विभाजक आहे. भाजक आणि अंशासाठी GCD सापडल्यानंतर, आपण इच्छित संख्येने अपूर्णांक त्वरित कमी करू शकता. प्रत्येक क्रमांकाची हळूहळू विभागणी करून शोध घेतला जातो. पुढे, कोणते विभाजक जुळतात ते पाहतात, जर त्यापैकी बरेच असतील (खालील चित्रात), तर तुम्हाला गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

मिश्रित अपूर्णांक ग्रेड 6

त्यातील संपूर्ण भाग हायलाइट करून सर्व अनियमित अपूर्णांक मिश्रित केले जाऊ शकतात. डावीकडे पूर्णांक लिहिलेला आहे.

अनेकदा तुम्हाला अयोग्य अपूर्णांकातून मिश्र संख्या बनवावी लागते. खालील उदाहरणातील परिवर्तन प्रक्रिया: 22/4 = 22 आपण 4 ने भागतो, आपल्याला 5 पूर्णांक मिळतात (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. आम्हाला 5 पूर्णांक आणि 2/4 मिळतात (भाजक बदलत नाही). अपूर्णांक रद्द केला जाऊ शकतो म्हणून, आम्ही वरच्या आणि खालच्या भागांना 2 ने विभाजित करतो.

मिश्रित संख्येचे अयोग्य अपूर्णांकात रूपांतर करणे सोपे आहे (अपूर्णांकांचे विभाजन आणि गुणाकार करताना हे आवश्यक आहे). हे करण्यासाठी: पूर्ण संख्येचा अपूर्णांकाच्या खालच्या भागाने गुणाकार करा आणि त्यात अंश जोडा. तयार. भाजक बदलत नाही.

अपूर्णांक ग्रेड 6 सह गणना

मिश्र संख्या जोडली जाऊ शकते. जर भाजक समान असतील, तर हे करणे सोपे आहे: संपूर्ण भाग आणि अंश जोडा, भाजक जागेवर राहतो.

भिन्न भाजकांसह संख्या जोडताना, प्रक्रिया अधिक क्लिष्ट आहे. प्रथम, आम्ही संख्या एका सर्वात लहान भाजकावर (NOZ) आणतो.

खालील उदाहरणात, 9 आणि 6 क्रमांकासाठी, भाजक 18 आहे. त्यानंतर, अतिरिक्त घटक आवश्यक आहेत. त्यांना शोधण्यासाठी, 18 ला 9 ने भागले पाहिजे, त्यामुळे अतिरिक्त संख्या आढळते - 2. आम्ही अपूर्णांक 8/18 मिळविण्यासाठी अंश 4 ने गुणाकार करतो). दुसऱ्या अपूर्णांकानेही असेच केले जाते. आम्ही आधीच रूपांतरित अपूर्णांक जोडत आहोत (पूर्णांक आणि अंश स्वतंत्रपणे, आम्ही भाजक बदलत नाही). उदाहरणामध्ये, उत्तराचे नियमित अपूर्णांकात रूपांतर करावे लागले (सुरुवातीला, अंश हा भाजकापेक्षा मोठा होता).

कृपया लक्षात घ्या की अपूर्णांकांमधील फरकासाठी प्रक्रिया समान आहे.

अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, दोन्ही एकाच रेषेखाली ठेवणे महत्त्वाचे आहे. जर संख्या मिश्रित असेल तर आपण त्यास साध्या अपूर्णांकात बदलू. पुढे, आपण वर आणि खालचा गुणाकार करू आणि उत्तर लिहू. अपूर्णांक कमी करता येतात हे दिसले तर आपण लगेच कमी करतो.

वरील उदाहरणात, आम्हाला काहीही कापण्याची गरज नाही, आम्ही फक्त उत्तर लिहून पूर्ण भाग निवडला.

या उदाहरणात, मला एका ओळीखालील संख्या संक्षिप्त करायच्या होत्या. जरी आपण तयार उत्तर लहान करू शकता.

विभाजित करताना, अल्गोरिदम जवळजवळ समान आहे. प्रथम, आम्ही मिश्रित अपूर्णांक अनियमित मध्ये बदलतो, नंतर गुणाकाराने भागाकार बदलून, एका ओळीखाली संख्या लिहू. दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या वरच्या आणि खालच्या भागांची अदलाबदल करण्यास विसरू नका (अपूर्णांक विभाजित करण्याचा हा नियम आहे).

आवश्यक असल्यास, आम्ही संख्या कमी करतो (खालील उदाहरणात, आम्ही त्यांना पाच आणि दोन कमी केले आहेत). आम्ही संपूर्ण भाग हायलाइट करून अनियमित अपूर्णांक बदलतो.

अपूर्णांक ग्रेड 6 साठी मूलभूत समस्या

व्हिडिओ आणखी काही कार्ये दाखवते. स्पष्टतेसाठी, अपूर्णांकांची कल्पना करण्यात मदत करण्यासाठी सोल्यूशनच्या ग्राफिक प्रतिमा वापरल्या गेल्या.

स्पष्टीकरणांसह अपूर्णांक ग्रेड 6 च्या गुणाकाराची उदाहरणे

गुणाकार अपूर्णांक एका ओळीखाली लिहिलेले आहेत. त्यानंतर, ते समान संख्यांनी भागून कमी केले जातात (उदाहरणार्थ, भाजकातील 15 आणि अंशातील 5 हे पाचने भागले जाऊ शकतात).

अपूर्णांक ग्रेड 6 ची तुलना

अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी, तुम्हाला दोन साधे नियम लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.

नियम 1. भाजक भिन्न असल्यास

नियम 2. जेव्हा भाजक समान असतात

उदाहरणार्थ, 7/12 आणि 2/3 अपूर्णांकांची तुलना करूया.

1. आपण भाजक बघतो, ते एकरूप होत नाहीत. म्हणून आपल्याला एक सामान्य शोधण्याची आवश्यकता आहे.
2. अपूर्णांकांसाठी, सामान्य भाजक 12 आहे.
3. 12 ला प्रथम अपूर्णांकाच्या खालच्या भागाने विभाजित करा: 12: 12 = 1 (हा पहिल्या अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक आहे).
4. आता आपण 12 ला 3 ने विभाजित करतो, आपल्याला 4 मिळते - जोडा. 2 रा अपूर्णांकाचा गुणक.
5. अपूर्णांक रूपांतरित करण्यासाठी आम्ही परिणामी संख्यांचा गुणाकार करतो: 1 x 7 = 7 (प्रथम अपूर्णांक: 7/12); 4 x 2 = 8 (दुसरा अपूर्णांक: 8/12).
6. आता आपण तुलना करू शकतो: 7/12 आणि 8/12. घडले: 7/12< 8/12.

अपूर्णांकांचे अधिक चांगले प्रतिनिधित्व करण्यासाठी, आपण स्पष्टतेसाठी रेखाचित्रे वापरू शकता, जेथे ऑब्जेक्ट भागांमध्ये विभागलेला आहे (उदाहरणार्थ, एक केक). जर तुम्हाला 4/7 आणि 2/3 ची तुलना करायची असेल, तर पहिल्या प्रकरणात, केक 7 भागांमध्ये विभागलेला आहे आणि त्यापैकी 4 निवडले आहेत. दुसऱ्यामध्ये, ते 3 भागांमध्ये विभाजित करतात आणि 2 घेतात. हे उघड्या डोळ्यांना स्पष्ट होईल की 2/3 4/7 पेक्षा जास्त असेल.

प्रशिक्षणासाठी अपूर्णांक ग्रेड 6 सह उदाहरणे

कसरत म्हणून, आपण खालील कार्ये करू शकता.

• अपूर्णांकांची तुलना करा

• गुणाकार करा

टीप: जर अपूर्णांकांसाठी सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधणे कठीण असेल (विशेषत: जर त्यांची मूल्ये लहान असतील), तर तुम्ही पहिल्या आणि दुसऱ्या अपूर्णांकांचा भाजक गुणाकार करू शकता. उदाहरण: 2/8 आणि 5/9. त्यांचे भाजक शोधणे सोपे आहे: 8 ला 9 ने गुणाकार करा, आम्हाला 72 मिळेल.

अपूर्णांक ग्रेड 6 सह समीकरणे सोडवणे

समीकरणे सोडवताना, आपल्याला अपूर्णांकांसह क्रिया लक्षात ठेवण्याची आवश्यकता आहे: गुणाकार, भागाकार, वजाबाकी आणि बेरीज. जर घटकांपैकी एक अज्ञात असेल, तर उत्पादन (एकूण) ज्ञात घटकाने विभाजित केले जाते, म्हणजेच, अपूर्णांक गुणाकार केले जातात (दुसरा उलटला जातो).

जर लाभांश अज्ञात असेल, तर भाजकाचा भागाकाराने गुणाकार केला जातो आणि भाजक शोधण्यासाठी, लाभांश भागाकाराने भागला पाहिजे.

समीकरणे सोडवण्याची सोपी उदाहरणे देऊ:

येथे सामान्य भाजक न घेता फक्त अपूर्णांकांचा फरक निर्माण करणे आवश्यक आहे.

उत्तर चुकीचे अपूर्णांक म्हणून बाहेर आले. ते 1 पूर्णांक आणि 3/5 मध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते.

दुस-या पद्धतीमध्ये, भाजक फ्लिप करण्याऐवजी, तळ रद्द करण्यासाठी अंश आणि भाजक यांना 4 ने गुणले होते.

हा लेख अपूर्णांकांवरील क्रियांचा समावेश करतो. A B फॉर्मच्या अपूर्णांकांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार किंवा घातांकाचे नियम, जेथे A आणि B संख्या, संख्यात्मक अभिव्यक्ती किंवा चलांसह अभिव्यक्ती असू शकतात, तयार होतील आणि न्याय्य असतील. शेवटी, आम्ही तपशीलवार वर्णनासह उपायांची उदाहरणे विचारात घेऊ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

संख्यात्मक अपूर्णांकांसह क्रिया करण्यासाठी सामान्य नियम

सामान्य संख्यात्मक अपूर्णांकांमध्ये अंश आणि भाजक असतात, ज्यामध्ये नैसर्गिक संख्या किंवा अंकीय अभिव्यक्ती असतात. 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0.8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 सारख्या अपूर्णांकांचा विचार करणे ln 3, तर हे स्पष्ट आहे की अंश आणि भाजकामध्ये केवळ संख्याच नाही तर भिन्न योजनेची अभिव्यक्ती देखील असू शकतात.

व्याख्या १

सामान्य अपूर्णांकांसह क्रिया करण्यासाठी नियम आहेत. हे सामान्य अपूर्णांकांसाठी देखील योग्य आहे:

• समान भाजकांसह अपूर्णांक वजा करताना, फक्त अंश जोडले जातात, आणि भाजक समान राहतात, म्हणजे: a d ± c d = a ± c d, मूल्ये a, c आणि d ≠ 0 ही काही संख्या किंवा संख्यात्मक अभिव्यक्ती आहेत.
• भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडताना किंवा वजा करताना, एकूण कमी करणे आवश्यक आहे आणि नंतर समान निर्देशकांसह परिणामी अपूर्णांक जोडणे किंवा वजा करणे आवश्यक आहे. अक्षरशः हे ab ± cd = a p ± c rs असे दिसते, जेथे मूल्ये a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 ही वास्तविक संख्या आहेत आणि b p = dr = एस. जेव्हा p = d आणि r = b, तेव्हा a b ± c d = a d ± c d b d.
• अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, अंशांसह क्रिया केली जाते, नंतर भाजकांसह, नंतर आपल्याला एक b c d = a c b d मिळेल, जेथे a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 वास्तविक संख्या म्हणून कार्य करतात.
• एका अपूर्णांकाला अपूर्णांकाने विभाजित करताना, आपण पहिल्याला दुसऱ्या व्युत्क्रमाने गुणाकार करतो, म्हणजेच आपण अंश आणि भाजक बदलतो: a b: c d = a b d c.

नियमांसाठी तर्क

गणना करताना विसंबून राहण्यासाठी खालील गणितीय मुद्दे आहेत:

• फ्रॅक्शनल बार म्हणजे विभाजन चिन्ह;
• संख्येने भागाकार त्याच्या परस्परसंख्येने गुणाकार मानला जातो;
• वास्तविक संख्यांसह क्रियांचे गुणधर्म लागू करणे;
• अपूर्णांक आणि संख्यात्मक असमानतेच्या मूलभूत गुणधर्माचा वापर.

त्यांच्या मदतीने, आपण फॉर्मचे परिवर्तन करू शकता:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; ab cd = a db d b cb d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 B d - 1 = a d b cb d b d - 1 = (a c) (b d) - 1 = a cb d

ची उदाहरणे

मागील परिच्छेदात, अपूर्णांकांसह क्रियांबद्दल सांगितले होते. यानंतर अपूर्णांक सरलीकृत करणे आवश्यक आहे. अपूर्णांक रूपांतरित करण्याच्या परिच्छेदामध्ये या विषयावर तपशीलवार चर्चा केली आहे.

प्रथम, समान भाजक असलेल्या अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी करण्याचे उदाहरण पाहू.

उदाहरण १

8 2, 7 आणि 1 2, 7 अपूर्णांक दिले, तर नियमानुसार अंश जोडणे आणि भाजक पुन्हा लिहिणे आवश्यक आहे.

उपाय

मग आपल्याला 8 + 1 2, 7 या फॉर्मचा एक अंश मिळेल. बेरीज पूर्ण केल्यावर, आपल्याला 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 फॉर्मचा एक अंश मिळेल. म्हणून, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

उत्तर: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

दुसरा उपाय आहे. सुरुवातीला, एक सामान्य अपूर्णांकाच्या रूपात संक्रमण केले जाते, त्यानंतर आम्ही एक सरलीकरण करतो. हे असे दिसते:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

उदाहरण २

1 - 2 3 मधून वजा करा · लॉग 2 3 · लॉग 2 5 + 1 फॉर्मचे अपूर्णांक 2 3 3 · लॉग 2 3 · लॉग 2 5 + 1.

भाजक समान असल्याने, याचा अर्थ आपण समान भाजकासह अपूर्णांक मोजत आहोत. आम्हाला ते मिळते

1 - 2 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 लॉग 2 3 लॉग 2 5 + 1

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची गणना करण्याची उदाहरणे आहेत. एक महत्त्वाचा मुद्दा म्हणजे सामान्य भाजक कमी करणे. याशिवाय, आम्ही अपूर्णांकांसह पुढील क्रिया करू शकणार नाही.

प्रक्रिया अस्पष्टपणे सामान्य भाजक घट सारखी दिसते. म्हणजेच, भाजकातील किमान सामान्य घटकासाठी शोध घेतला जातो, त्यानंतर गहाळ घटक अपूर्णांकांमध्ये जोडले जातात.

जर जोडल्या जाणार्‍या अपूर्णांकांमध्ये सामान्य घटक नसतील, तर त्यांचे उत्पादन ते बनू शकते.

उदाहरण ३

2 3 5 + 1 आणि 1 2 अपूर्णांक जोडण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

उपाय

या प्रकरणात, सामान्य भाजक हे भाजकांचे उत्पादन आहे. मग आपल्याला ते 2 · 3 5 + 1 मिळेल. नंतर, अतिरिक्त घटक सेट करताना, आपल्याकडे पहिल्या अपूर्णांकासाठी ते 2 आणि दुसऱ्या 3 5 + 1 च्या बरोबरीचे आहे. गुणाकार केल्यानंतर, अपूर्णांक 4 2 · 3 5 + 1 या स्वरूपात कमी केले जातात. सामान्य कास्ट 1 2 चे फॉर्म 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 असेल. आम्ही परिणामी अपूर्णांक अभिव्यक्ती जोडतो आणि ते मिळवतो

२ ३ ५ + १ + १ २ = २ २ २ ३ ५ + १ + १ ३ ५ + १ २ ३ ५ + १ = ४ २ ३ ५ + १ + ३ ५ + १ २ ३ ५ + १ = ४ + ३ ५ + १ २ ३ ५ + १ = ५ + ३ ५ २ ३ ५ + १

उत्तर:२ ३ ५ + १ + १ २ = ५ + ३ ५ २ ३ ५ + १

जेव्हा आपण सामान्य अपूर्णांकांशी व्यवहार करत असतो, तेव्हा किमान सामान्य भाजक सहसा असे नसते. अंशांचा गुणाकार भाजक म्हणून घेणे फायदेशीर नाही. प्रथम, तुम्हाला त्यांच्या उत्पादनापेक्षा कमी मूल्याची संख्या आहे का ते तपासण्याची आवश्यकता आहे.

उदाहरण ४

उदाहरणार्थ, 1 6 2 1 5 आणि 1 4 2 3 5 विचारात घ्या, जेव्हा त्यांचे उत्पादन 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 असेल. मग आपण 12 · 2 3 5 समान भाजक घेतो.

सामान्य अपूर्णांकांच्या गुणाकारांची उदाहरणे विचारात घ्या.

उदाहरण ५

हे करण्यासाठी, तुम्हाला 2 + 1 6 आणि 2 · 5 3 · 2 + 1 गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

उपाय

खालील नियम पुन्हा लिहिला जाणे आवश्यक आहे आणि अंशांचे गुणाकार भाजकाच्या रूपात लिहिणे आवश्यक आहे. आम्हाला 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 मिळतो. एकदा अपूर्णांकाचा गुणाकार केल्यावर, ते सोपे करण्यासाठी संक्षेप केले जाऊ शकतात. नंतर 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10.

एका व्यस्त अपूर्णांकाने भागाकारापासून गुणाकारापर्यंत संक्रमणाचा नियम वापरून, आपल्याला दिलेल्या अपूर्णांकाचा व्यस्त मिळतो. हे करण्यासाठी, अंश आणि भाजक स्वॅप केले जातात. चला एक उदाहरण घेऊ:

५ ३ ३ २ + १: १० ९ ३ = ५ ३ ३ २ + १ ९ ३ १०

मग त्यांनी गुणाकार केला पाहिजे आणि परिणामी अपूर्णांक सुलभ केला पाहिजे. आवश्यक असल्यास, नंतर भाजकातील असमंजसपणापासून मुक्त व्हा. आम्हाला ते मिळते

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - १ २ २ २ - १ २ = ३ २ - १ २

उत्तर:५ ३ ३ २ + १: १० ९ ३ = ३ २ - १ २

हा खंड लागू होतो जेव्हा एखादी संख्या किंवा संख्यात्मक अभिव्यक्ती 1 च्या बरोबरीच्या भाजकासह अपूर्णांक म्हणून दर्शविली जाऊ शकते, तेव्हा अशा अपूर्णांकासह केलेली क्रिया स्वतंत्र खंड मानली जाते. उदाहरणार्थ, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 दर्शविते की 3 चे मूळ दुसर्या 3 1 अभिव्यक्तीने बदलले जाऊ शकते. मग ही नोंद 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 या स्वरूपातील दोन अपूर्णांकांच्या गुणाकारासारखी दिसेल.

व्हेरिएबल्स असलेल्या अपूर्णांकांवर क्रिया करणे

पहिल्या लेखात चर्चा केलेले नियम व्हेरिएबल्स असलेल्या अपूर्णांक असलेल्या क्रियांना लागू होतात. जेव्हा भाजक समान असतात तेव्हा वजाबाकीचा नियम विचारात घ्या.

हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे की A, C आणि D (D शून्याच्या समान नाही) कोणत्याही अभिव्यक्ती असू शकतात आणि समानता A D ± C D = A ± C D ही त्याच्या स्वीकार्य मूल्यांच्या श्रेणीशी समतुल्य आहे.

DHS व्हेरिएबल्सचा संच घेणे आवश्यक आहे. नंतर A, C, D ने संबंधित मूल्ये a 0, c 0 आणि घेणे आवश्यक आहे d 0... A D ± C D फॉर्मच्या बदलीमुळे 0 d 0 ± c 0 d 0 फॉर्ममध्ये फरक होतो, जेथे, जोडण्याच्या नियमानुसार, आम्हाला 0 ± c 0 d 0 फॉर्मचे सूत्र मिळते. जर आपण A ± C D ही अभिव्यक्ती बदलली, तर आपल्याला a 0 ± c 0 d 0 फॉर्मचा समान अंश मिळेल. म्हणून, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की ODZ, A ± C D आणि A D ± C D चे समाधान करणारे निवडलेले मूल्य समान मानले जाते.

व्हेरिएबल्सच्या कोणत्याही मूल्यासाठी, ही अभिव्यक्ती समान असतील, म्हणजेच त्यांना समान रीतीने समान म्हणतात. याचा अर्थ असा की ही अभिव्यक्ती A D ± C D = A ± C D या स्वरूपाची सिद्ध करण्यायोग्य समानता मानली जाते.

चलांसह अपूर्णांक जोडण्याची आणि वजा करण्याची उदाहरणे

जेव्हा भाजक समान असतात, तेव्हा तुम्हाला फक्त अंक जोडणे किंवा वजा करणे आवश्यक आहे. हा अंश सरलीकृत केला जाऊ शकतो. काहीवेळा तुम्हाला एकसमान समान असलेल्या अपूर्णांकांसह कार्य करावे लागेल, परंतु पहिल्या दृष्टीक्षेपात हे अदृश्य आहे, कारण काही परिवर्तने करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, x 2 3 x 1 3 + 1 आणि x 1 3 + 1 2 किंवा 1 2 sin 2 α आणि sin a cos a. बहुतेकदा, समान भाजक पाहण्यासाठी मूळ अभिव्यक्तीचे सरलीकरण आवश्यक असते.

उदाहरण 6

गणना करा: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2), x - 1 x - 1 + xx + 1.

उपाय

1. गणना करण्यासाठी, तुम्हाला समान भाजक असलेले अपूर्णांक वजा करणे आवश्यक आहे. मग आपल्याला ते x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 मिळेल. त्यानंतर, तुम्ही समान अटी कमी करून ब्रॅकेटचा विस्तार करू शकता. आपल्याला मिळेल ते x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. भाजक सारखेच असल्याने, भाजक सोडून फक्त अंश जोडण्यासाठीच राहते: lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2) = lg 2 x + 4 + 4 x (lgx + २)
   जोडणी पूर्ण झाली. हे पाहिले जाऊ शकते की अंश कमी करणे शक्य आहे. त्याचा अंश बेरीजच्या वर्गाच्या सूत्रानुसार दुमडला जाऊ शकतो, तर आपल्याला (l g x + 2) 2 मिळेल संक्षिप्त गुणाकार सूत्रांमधून. मग आम्हाला ते मिळते
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. वेगवेगळ्या भाजकांसह x - 1 x - 1 + x x + 1 फॉर्मचे अपूर्णांक दिले आहेत. परिवर्तनानंतर, आपण जोडण्यासाठी पुढे जाऊ शकता.

दुप्पट उपाय विचारात घ्या.

पहिला मार्ग असा आहे की पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक वर्ग वापरून घटकांमध्ये विघटित केला जातो आणि त्यानंतरच्या घटाने. आम्हाला फॉर्मचा एक अंश मिळतो

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

म्हणून, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

या प्रकरणात, भाजकातील असमंजसपणापासून मुक्त होणे आवश्यक आहे.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

दुसरा मार्ग म्हणजे x - 1 या अभिव्यक्तीने दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक गुणाकार करणे. अशा प्रकारे, आपण असमंजसपणापासून मुक्त होतो आणि त्याच भाजकाच्या उपस्थितीत अपूर्णांक जोडण्यासाठी पुढे जाऊ. मग

x - 1 x - 1 + xx + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - xx - 1 = x - 1 + xx - xx - १

उत्तर: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (Lgx + 2) = lgx + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + xx + 1 = x - 1 + xx - xx - 1.

शेवटच्या उदाहरणात, आम्हाला आढळले की सामान्य भाजक कमी करणे अपरिहार्य आहे. हे करण्यासाठी, आपण अपूर्णांक सोपे करणे आवश्यक आहे. जोडण्यासाठी किंवा वजा करण्यासाठी, तुम्हाला नेहमी सामान्य भाजक शोधणे आवश्यक आहे, जे अंशांमध्ये जोडलेल्या अतिरिक्त घटकांसह भाजकांच्या गुणाप्रमाणे दिसते.

उदाहरण 7

अपूर्णांकांच्या मूल्यांची गणना करा: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin xx 5 ln (x + 1) (2) x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x

उपाय

1. भाजकाला कोणत्याही क्लिष्ट गणनेची आवश्यकता नाही, म्हणून तुम्हाला 3 x 7 + 2 2 फॉर्मचे त्यांचे उत्पादन निवडणे आवश्यक आहे, नंतर पहिल्या अपूर्णांकासाठी x 7 + 2 2 हा अतिरिक्त घटक म्हणून निवडला जाईल आणि 3 ते दुसरा. गुणाकार करताना, आपल्याला x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 या स्वरूपाचा एक अंश मिळतो. x 7 + 2 2 = xx 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. हे पाहिले जाऊ शकते की भाजक एक उत्पादन म्हणून सादर केले जातात, याचा अर्थ अतिरिक्त परिवर्तने अनावश्यक आहेत. सामान्य भाजक हा x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 या स्वरूपाचा गुणाकार असेल. म्हणून x 4 पहिल्या अपूर्णांकाचा पूरक घटक आहे आणि ln (x + 1) दुसऱ्याला. मग आम्ही वजा करून मिळवतो:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4 )
3. अपूर्णांकांच्या भाजकांसह कार्य करताना हे उदाहरण अर्थपूर्ण आहे. वर्गातील फरक आणि बेरीजच्या वर्गासाठी सूत्रे लागू करणे आवश्यक आहे, कारण ते फॉर्म 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) च्या अभिव्यक्तीवर जाणे शक्य करतील. ) २. हे पाहिले जाऊ शकते की अपूर्णांक एका सामान्य भाजकापर्यंत कमी केले जातात. आम्हाला ते cos x - x · cos x + x 2 मिळते.

मग आम्हाला ते मिळते

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x Cos x + x 2

उत्तर:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

व्हेरिएबल्ससह अपूर्णांकांचा गुणाकार करण्याची उदाहरणे

अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, अंशाचा अंशाने गुणाकार केला जातो आणि भाजकाचा भाजकाने गुणाकार केला जातो. मग कपात मालमत्ता लागू केली जाऊ शकते.

उदाहरण 8

अपूर्णांक x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 आणि 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x यांचा गुणाकार करा.

उपाय

गुणाकार करणे आवश्यक आहे. आम्हाला ते मिळते

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 X + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

गणनेच्या सोयीसाठी क्रमांक 3 प्रथम स्थानावर हस्तांतरित केला जातो आणि आपण अपूर्णांक x 2 ने कमी करू शकता, नंतर आम्हाला फॉर्मची अभिव्यक्ती मिळेल

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

उत्तर: x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 पाप (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 पाप (2 x - x).

विभागणी

अपूर्णांकांचा भागाकार हा गुणाकार सारखाच असतो, कारण पहिल्या अपूर्णांकाचा दुसऱ्या व्युत्क्रमाने गुणाकार केला जातो. उदाहरणार्थ, x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 हा अपूर्णांक घेतला आणि त्याला 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x ने भागले तर ते असे लिहिता येईल.

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x), नंतर x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + फॉर्मच्या उत्पादनासह बदला 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

घातांक

पॉवर वाढवून सामान्य अपूर्णांक असलेल्या क्रियांचा विचार करूया. जर नैसर्गिक घातांकासह पदवी असेल, तर क्रिया समान अपूर्णांकांचा गुणाकार मानली जाते. परंतु अंशांच्या गुणधर्मांवर आधारित सामान्य दृष्टीकोन वापरण्याची शिफारस केली जाते. कोणतीही अभिव्यक्ती A आणि C, जेथे C शून्याच्या समान नाही, आणि ODZ वरील कोणतेही वास्तविक r A C r फॉर्मच्या अभिव्यक्तीसाठी, समानता A C r = A r C r सत्य आहे. परिणाम म्हणजे पॉवरमध्ये वाढलेला अपूर्णांक. उदाहरणार्थ, विचार करा:

x ०.७ - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0.7 - π ln 3 x - 2 - 5 2.5 x + 1 2, 5

अपूर्णांकांसह क्रियांचा क्रम

अपूर्णांकांवरील क्रिया विशिष्ट नियमांनुसार केल्या जातात. व्यवहारात, आम्ही लक्षात घेतो की अभिव्यक्तीमध्ये अनेक अपूर्णांक किंवा अंशात्मक अभिव्यक्ती असू शकतात. मग सर्व क्रिया कठोर क्रमाने करणे आवश्यक आहे: शक्ती वाढवा, गुणाकार करा, भागा आणि नंतर जोडा आणि वजा करा. कंस असल्यास, प्रथम क्रिया त्यांच्यामध्ये केली जाते.

उदाहरण ९

1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x चे मूल्यमापन करा.

उपाय

आपल्याकडे समान भाजक असल्याने, नंतर 1 - x cos x आणि 1 c o s x, परंतु नियमानुसार वजा करणे अशक्य आहे, प्रथम कंसातील क्रिया केल्या जातात, नंतर गुणाकार आणि नंतर बेरीज. मग, गणना करताना, आपल्याला ते सापडते

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

मूळ अभिव्यक्तीमध्ये अभिव्यक्ती बदलून, आपल्याला 1 - x cos x - 1 cos x x + 1 x प्राप्त होते. अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, आपल्याकडे आहे: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x. सर्व प्रतिस्थापन केल्याने आपल्याला 1 - x cos x - x + 1 cos x x मिळेल. आता तुम्हाला भिन्न भाजक असलेल्या अपूर्णांकांसह कार्य करण्याची आवश्यकता आहे. आम्हाला मिळते:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x x = x 1 - x - 1 + x cos x x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

उत्तर: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ती निवडा आणि Ctrl + Enter दाबा

सूचना

सामान्य भाजकापर्यंत कमी करणे.

a/b आणि c/d हे अपूर्णांक देऊ.

पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक LCM/b ने गुणाकार केला जातो

दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक LCM/d ने गुणाकार केला जातो

आकृतीमध्ये एक उदाहरण दर्शविले आहे.

अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी, ते एका सामान्य भाजकावर आणले जाणे आवश्यक आहे, त्यानंतर अंशांची तुलना करणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ 3/4< 4/5, см. .

अपूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी.

दोन सामान्य अपूर्णांकांची बेरीज शोधण्यासाठी, त्यांना एका सामान्य भाजकावर आणले पाहिजे आणि नंतर न बदललेले भाजक जोडा. 1/2 आणि 1/3 अपूर्णांक जोडण्याचे उदाहरण आकृतीमध्ये दाखवले आहे.

अपूर्णांकांचा फरक अशाच प्रकारे आढळतो, सामान्य भाजक शोधल्यानंतर, अपूर्णांकांचे अंश वजा केले जातात, आकृती पहा.

सामान्य अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, अंश आणि भाजक एकत्र गुणाकार केला जातो.

दोन अपूर्णांक वेगळे करण्यासाठी, तुम्हाला दुसऱ्या अपूर्णांकाचा अपूर्णांक आवश्यक आहे, म्हणजे. त्याचा अंश आणि भाजक बदला आणि नंतर परिणामी अपूर्णांकांचा गुणाकार करा.

संबंधित व्हिडिओ

स्रोत:

• अपूर्णांक ग्रेड 5 उदाहरणार्थ
• अपूर्णांकांसाठी मूलभूत समस्या

मॉड्यूलअभिव्यक्तीचे परिपूर्ण मूल्य दर्शवते. मॉड्यूल दर्शविण्यासाठी थेट कंस वापरले जातात. त्यामध्ये बंद केलेली मूल्ये मोड्यूलो मानली जातात. मॉड्यूलच्या सोल्यूशनमध्ये विशिष्ट नियमांनुसार कंस विस्तृत करणे आणि अभिव्यक्ती मूल्यांचा संच शोधणे समाविष्ट आहे. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, मॉड्यूल अशा प्रकारे विस्तारित केले जाते की सबमॉड्यूल अभिव्यक्ती शून्यासह सकारात्मक आणि नकारात्मक मूल्यांची मालिका प्राप्त करते. मॉड्यूलच्या या गुणधर्मांवर आधारित, मूळ अभिव्यक्तीची समीकरणे आणि असमानता संकलित केली जातात आणि पुढे सोडवली जातात.

सूचना

सह मूळ समीकरण लिहा. ते उघडण्यासाठी, मॉड्यूल विस्तृत करा. प्रत्येक सबमॉड्यूल अभिव्यक्तीचा विचार करा. मॉड्यूलर कंसातील अभिव्यक्ती शून्य होते त्यामध्ये समाविष्ट असलेल्या अज्ञात प्रमाणांचे मूल्य किती आहे ते ठरवा.

हे करण्यासाठी, सबमॉड्यूल अभिव्यक्तीचे शून्यावर समीकरण करा आणि परिणामी समीकरण शोधा. सापडलेली मूल्ये लिहा. दिलेल्या समीकरणातील प्रत्येक मोड्यूलससाठी अज्ञात चलची मूल्ये त्याच प्रकारे निर्धारित करा.

एक संख्या रेषा काढा आणि त्यावर परिणामी मूल्ये प्लॉट करा. मॉड्यूलर समीकरण सोडवताना शून्य मॉड्यूलसमधील व्हेरिएबलची मूल्ये मर्यादा म्हणून काम करतील.

मूळ समीकरणात, तुम्हाला मॉड्युलर विस्तारित करणे आवश्यक आहे, चिन्ह बदलणे आवश्यक आहे जेणेकरून व्हेरिएबलची मूल्ये संख्या रेषेवर दर्शविलेल्या मूल्यांशी संबंधित असतील. परिणामी समीकरण सोडवा. मॉड्यूलने सेट केलेल्या मर्यादेसाठी व्हेरिएबलचे आढळलेले मूल्य तपासा. जर समाधान अट पूर्ण करत असेल तर ते खरे आहे. बंधने पूर्ण न करणारी मुळे टाकून दिली पाहिजेत.

त्याच प्रकारे, चिन्ह लक्षात घेऊन मूळ अभिव्यक्तीचे मॉड्यूल उघडा आणि परिणामी समीकरणाच्या मुळांची गणना करा. सर्व परिणामी मुळे लिहा जे निर्बंध असमानता पूर्ण करतात.

फ्रॅक्शनल संख्या तुम्हाला प्रमाणाचे अचूक मूल्य वेगवेगळ्या स्वरूपात व्यक्त करू देते. तुम्ही पूर्णांकांप्रमाणेच अपूर्णांकांसह गणितीय क्रिया करू शकता: वजाबाकी, बेरीज, गुणाकार आणि भागाकार. सोडवायला शिकण्यासाठी अपूर्णांक, आपण त्यांच्या काही वैशिष्ट्यांबद्दल लक्षात ठेवले पाहिजे. ते प्रजातींवर अवलंबून असतात अपूर्णांक, संपूर्ण भागाची उपस्थिती, एक सामान्य भाजक. काही अंकगणित ऑपरेशन्स, अंमलबजावणीनंतर, परिणामाचा अंशात्मक भाग कमी करणे आवश्यक आहे.

तुला गरज पडेल

• - कॅल्क्युलेटर

सूचना

संख्या जवळून पहा. अपूर्णांकांमध्ये दशांश आणि अनियमित अपूर्णांक असल्यास, काहीवेळा प्रथम दशांश सह क्रिया करणे आणि नंतर त्यांना चुकीच्या स्वरूपात रूपांतरित करणे अधिक सोयीचे असते. तुम्ही भाषांतर करू शकता अपूर्णांकया फॉर्ममध्ये सुरुवातीला, अंशामध्ये दशांश बिंदूनंतर मूल्य लिहा आणि भाजकात 10 टाका. आवश्यक असल्यास, वरील आणि खालील संख्यांना एका विभाजकाने विभाजित करून अपूर्णांक कमी करा. अपूर्णांक ज्यामध्ये संपूर्ण भाग ठळकपणे दर्शविला जातो, त्यास भाजकाने गुणाकार करून आणि परिणामामध्ये अंश जोडून चुकीच्या स्वरूपात आणा. हे मूल्य नवीन अंश होईल अपूर्णांक... सुरुवातीच्या चुकीच्या भागापासून संपूर्ण भाग वेगळे करणे अपूर्णांक, तुम्ही अंशाला भाजकाने भागले पाहिजे. पासून संपूर्ण निकाल लिहा अपूर्णांक... आणि भागाचा उर्वरित भाग नवीन अंश, भाजक होईल अपूर्णांकते बदलत नाही. पूर्णांक भाग असलेल्या अपूर्णांकांसाठी, प्रथम संपूर्ण आणि नंतर अपूर्णांक भागांसाठी स्वतंत्रपणे क्रिया करणे शक्य आहे. उदाहरणार्थ, 1 2/3 आणि 2 ¾ ची बेरीज काढली जाऊ शकते:
- अपूर्णांकांना चुकीच्या स्वरूपात रूपांतरित करणे:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- अटींच्या संपूर्ण आणि अंशात्मक भागांचा स्वतंत्रपणे बेरीज:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1 + 2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

पट्टीच्या खाली असलेल्या मूल्यांसाठी, सामान्य भाजक शोधा. उदाहरणार्थ, 5/9 आणि 7/12 साठी, सामान्य भाजक 36 आहे. यासाठी, पहिल्याचा अंश आणि भाजक अपूर्णांकतुम्हाला 4 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे (तुम्हाला 28/36 मिळेल), आणि दुसरा - 3 ने (तुम्हाला 15/36 मिळेल). आता आपण गणना करू शकता.

जर तुम्ही अपूर्णांकांची बेरीज किंवा फरक काढणार असाल तर प्रथम रेषेखाली सापडलेला सामान्य भाजक लिहा. अंकांमध्ये आवश्यक क्रिया करा आणि नवीन ओळीच्या वर निकाल लिहा अपूर्णांक... अशा प्रकारे, नवीन अंश हा फरक किंवा मूळ अपूर्णांकांच्या अंशांची बेरीज असेल.

अपूर्णांकांच्या गुणाकाराची गणना करण्यासाठी, अपूर्णांकांच्या अंशांचा गुणाकार करा आणि अंतिम अंशाच्या जागी निकाल लिहा. अपूर्णांक... भाजकांसाठीही असेच करा. एक विभागताना अपूर्णांकएक अपूर्णांक दुसऱ्यावर लिहा आणि नंतर त्याचा अंश दुसऱ्या भाजकाने गुणा. या प्रकरणात, पहिल्याचा भाजक अपूर्णांकत्यानुसार दुसऱ्या अंशाने गुणाकार केला. त्याच वेळी, दुसरी क्रांती एक प्रकारची अपूर्णांक(विभाजक). अंतिम अपूर्णांक दोन्ही अपूर्णांकांच्या अंश आणि भाजकांच्या गुणाकाराच्या परिणामांमधून असेल. शिकण्यास सोपे अपूर्णांक"चार मजली" च्या स्वरूपात स्थितीत लिहिलेले अपूर्णांक... जर दोन वेगळे केले अपूर्णांक, त्यांना ":" विभाजक वापरून पुन्हा लिहा आणि सामान्य विभागणी सुरू ठेवा.

अंतिम परिणाम मिळविण्यासाठी, अंश आणि भाजक यांना एका पूर्णांकाने विभाजित करून परिणामी अपूर्णांक कमी करा, या प्रकरणात सर्वात मोठे शक्य आहे. या प्रकरणात, ओळीच्या वर आणि खाली पूर्ण संख्या असणे आवश्यक आहे.

नोंद

भिन्न भाजक असलेल्या अपूर्णांकांवर अंकगणित करू नका. एक संख्या निवडा म्हणजे जेव्हा तुम्ही प्रत्येक अपूर्णांकाचा अंश आणि भाजक गुणाकार करता तेव्हा दोन्ही अपूर्णांकांचे भाजक समान असतील.

उपयुक्त सल्ला

अंशात्मक संख्या लिहिताना, लाभांश रेषेच्या वर लिहिला जातो. या मूल्याला अपूर्णांकाचा अंश म्हणून संबोधले जाते. अपूर्णांकाचा भाजक किंवा भाजक ओळीखाली लिहिलेला असतो. उदाहरणार्थ, दीड किलो तांदूळ अपूर्णांक म्हणून खालीलप्रमाणे लिहिला जाईल: 1 ½ किलो तांदूळ. जर अपूर्णांकाचा भाजक 10 असेल तर त्याला दशांश अपूर्णांक म्हणतात. या प्रकरणात, अंश (लाभांश) स्वल्पविरामाने विभक्त करून संपूर्ण भागाच्या उजवीकडे लिहिलेला आहे: 1.5 किलो तांदूळ. गणनेच्या सोयीसाठी, असा अपूर्णांक नेहमी चुकीच्या स्वरूपात लिहिला जाऊ शकतो: 1 2/10 किलो बटाटे. साधेपणासाठी, तुम्ही अंश आणि भाजक मूल्यांना एका पूर्णांकाने विभाजित करून संक्षिप्त करू शकता. या उदाहरणात, 2 ने भागणे शक्य आहे. परिणाम म्हणजे 1 1/5 किलो बटाटे. तुम्ही ज्या संख्येने अंकगणित करणार आहात ते संख्या त्याच फॉर्ममध्ये सादर केले आहेत याची खात्री करा.

सूचना

"इन्सर्ट" मेनू आयटमवर एकदा क्लिक करा, नंतर "सिम्बॉल" आयटम निवडा. घालण्याचा हा सर्वात सोपा मार्ग आहे अपूर्णांकमजकूर मध्ये. त्यात खालील गोष्टींचा समावेश आहे. तयार चिन्हांचा संच समाविष्ट आहे अपूर्णांक... त्यांची संख्या, नियमानुसार, लहान आहे, परंतु जर तुम्हाला मजकूरात 1/2 नव्हे तर ½ लिहिण्याची आवश्यकता असेल तर हा पर्याय तुमच्यासाठी सर्वात इष्टतम असेल. याव्यतिरिक्त, फॉन्टच्या आधारावर अपूर्णांकांमधील वर्णांची संख्या बदलू शकते. उदाहरणार्थ, टाइम्स न्यू रोमन फॉन्टसाठी समान एरियलपेक्षा थोडे कमी अपूर्णांक आहेत. साध्या अभिव्यक्तीसाठी सर्वोत्तम फिट शोधण्यासाठी तुमचे फॉन्ट बदला.

"इन्सर्ट" मेनू आयटमवर क्लिक करा आणि "ऑब्जेक्ट" उप-आयटम निवडा. तुम्हाला समाविष्ट करण्यासाठी संभाव्य वस्तूंच्या सूचीसह एक विंडो दिसेल. त्यापैकी Microsoft समीकरण 3.0 निवडा. हे अॅप तुम्हाला टाइप करण्यात मदत करेल अपूर्णांक... आणि फक्त नाही अपूर्णांक, परंतु विविध त्रिकोणमितीय कार्ये आणि इतर घटक असलेले जटिल गणितीय अभिव्यक्ती देखील. डाव्या माऊस बटणाने या ऑब्जेक्टवर डबल क्लिक करा. तुम्हाला अनेक चिन्हे असलेली विंडो दिसेल.

अपूर्णांक मुद्रित करण्यासाठी, रिक्त अंश आणि भाजक असलेल्या अपूर्णांकाचे प्रतिनिधित्व करणारे चिन्ह निवडा. डाव्या माऊस बटणाने त्यावर एकदा क्लिक करा. स्कीम स्वतः निर्दिष्ट करून एक अतिरिक्त मेनू दिसेल अपूर्णांक... त्यासाठी अनेक पर्याय असू शकतात. तुम्हाला योग्य वाटेल ते निवडा आणि डाव्या माऊस बटणाने एकदा त्यावर क्लिक करा.

अपूर्णांकांचा गुणाकार आणि भागाकार.

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "खूप नाही ..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि जे "अगदी सम..." आहेत त्यांच्यासाठी)

हे ऑपरेशन बेरीज-वजाबाकीपेक्षा खूपच छान आहे! कारण ते सोपे आहे. मी तुम्हाला आठवण करून देतो: अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाने गुणाकार करण्यासाठी, तुम्हाला अंश (हा निकालाचा अंश असेल) आणि भाजक (हा भाजक असेल) गुणाकार करणे आवश्यक आहे. ते आहे:

उदाहरणार्थ:

सर्व काही अत्यंत सोपे आहे... आणि कृपया सामान्य भाजक शोधू नका! त्याची इथे गरज नाही...

अपूर्णांकाला अपूर्णांकात विभाजित करण्यासाठी, आपल्याला फ्लिप करणे आवश्यक आहे दुसरा(हे महत्त्वाचे आहे!) अपूर्णांक आणि त्यांचा गुणाकार करा, म्हणजे:

उदाहरणार्थ:

जर तुम्हाला पूर्णांक आणि अपूर्णांकांसह गुणाकार किंवा भागाकार आला तर - ते ठीक आहे. बेरीज प्रमाणे, आम्ही पूर्णांकातून भाजकातील एकासह एक अपूर्णांक बनवतो - आणि आम्ही निघतो! उदाहरणार्थ:

हायस्कूलमध्ये, तुम्हाला अनेकदा तीन-मजली ​​(किंवा अगदी चार-मजली!) अपूर्णांकांचा सामना करावा लागतो. उदाहरणार्थ:

या अपूर्णांकाला सभ्य स्वरूप कसे आणायचे? हे खूप सोपे आहे! दोन-बिंदू विभाजन वापरा:

पण विभाजनाचा आदेश विसरू नका! गुणाकार विपरीत, हे येथे खूप महत्वाचे आहे! अर्थात, 4:2, किंवा 2:4, आम्ही गोंधळात टाकणार नाही. परंतु तीन मजली अपूर्णांकामध्ये चूक करणे सोपे आहे. लक्षात ठेवा, उदाहरणार्थ:

पहिल्या प्रकरणात (डावीकडील अभिव्यक्ती):

दुसऱ्यामध्ये (उजवीकडे अभिव्यक्ती):

तुम्हाला फरक जाणवतो का? 4 आणि 1/9!

आणि विभाजनाचा क्रम काय ठरवतो? किंवा कंस, किंवा (येथे) आडव्या पट्ट्यांची लांबी. डोळा विकसित करा. आणि कंस किंवा डॅश नसल्यास, जसे:

मग आपण भागाकार-गुणाकार करतो क्रमाने, डावीकडून उजवीकडे!

आणि दुसरी अतिशय सोपी आणि महत्वाची युक्ती. अंशांसह कृतींमध्ये, ते आपल्यासाठी उपयुक्त ठरेल! युनिटला कोणत्याही अपूर्णांकाने विभाजित करा, उदाहरणार्थ, 13/15 ने:

अंश उलटला! आणि हे नेहमीच असेच घडते. 1 ला कोणत्याही अपूर्णांकाने भागताना, परिणाम समान अपूर्णांक असतो, फक्त उलटा.

अपूर्णांकांसाठी एवढेच. गोष्ट अगदी सोपी आहे, परंतु ती पुरेशा त्रुटींपेक्षा जास्त देते. व्यावहारिक टिप्स लक्षात घ्या, आणि कमी (चुका) होतील!

व्यावहारिक सल्ला:

1. अंशात्मक अभिव्यक्तीसह काम करताना सर्वात महत्वाची गोष्ट म्हणजे अचूकता आणि काळजी! हे सामान्य शब्द नाहीत, शुभेच्छा नाहीत! ही नितांत गरज आहे! परीक्षेतील सर्व आकडेमोड एकाग्रतेने आणि स्पष्टतेने पूर्ण कार्य म्हणून करा. डोक्यात मोजणी करताना गोंधळ घालण्यापेक्षा मसुद्यात दोन अतिरिक्त ओळी लिहिणे चांगले.

2. भिन्न प्रकारच्या अपूर्णांकांसह उदाहरणांमध्ये - सामान्य अपूर्णांकांकडे जा.

3. सर्व अपूर्णांक स्टॉपवर कमी केले जातात.

4. दोन बिंदूंद्वारे भागाकार वापरून बहुमजली अपूर्णांक अभिव्यक्ती सामान्यांपर्यंत कमी केली जातात (विभागाचा क्रम पहा!).

5. एकक मानसिकदृष्ट्या एका अपूर्णांकात विभाजित करा, फक्त अपूर्णांक उलटा.

येथे अशी कार्ये आहेत जी आपण निश्चितपणे सोडविली पाहिजेत. सर्व कामांनंतर उत्तरे दिली जातात. या विषयावरील सामग्री आणि व्यावहारिक सल्ला वापरा. तुम्ही किती उदाहरणे बरोबर सोडवू शकलात याचा विचार करा. पहिल्यावेळी! कॅल्क्युलेटर नाही! आणि योग्य निष्कर्ष काढा...

लक्षात ठेवा - योग्य उत्तर आहे दुसर्‍या (अधिक - तिसर्‍या) वेळेपासून प्राप्त - मोजत नाही!हे एक कठोर जीवन आहे.

तर, आम्ही परीक्षा मोडमध्ये सोडवतो ! ही आधीच परीक्षेची तयारी आहे, तसे. आम्ही उदाहरण सोडवतो, ते तपासतो, पुढील सोडवतो. आम्ही सर्वकाही ठरवले - पहिल्यापासून शेवटपर्यंत पुन्हा तपासले. फक्त मगउत्तरे पहा.

गणना करा:

आपण ते सोडवले आहे का?

आम्ही तुमच्याशी जुळणारी उत्तरे शोधत आहोत. मी त्यांना मुद्दाम गडबडीत लिहून ठेवले आहे, मोहापासून दूर आहे, म्हणून बोलायचे आहे ... ते येथे आहेत, अर्धविरामांनी विभक्त केलेली उत्तरे.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

आणि आता आम्ही निष्कर्ष काढतो. सर्वकाही कार्य केले तर, मी तुमच्यासाठी आनंदी आहे! अपूर्णांकांसह मूलभूत गणना ही तुमची समस्या नाही! आपण अधिक गंभीर गोष्टी करू शकता. जर नाही...

तर तुम्हाला दोनपैकी एक समस्या आहे. किंवा दोन्ही एकाच वेळी.) ज्ञानाचा अभाव आणि/किंवा दुर्लक्ष. पण हे सोडवण्यायोग्य अडचणी.

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. झटपट प्रमाणीकरण चाचणी. शिकणे - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.