पूरक संख्या वापरून अपूर्णांकांसाठी तुलना नियम. अपूर्णांकांची तुलना

दैनंदिन जीवनात, आपल्याला अनेकदा अंशात्मक मूल्यांची तुलना करावी लागते. बर्याचदा, यामुळे कोणत्याही अडचणी येत नाहीत. खरंच, प्रत्येकाला समजते की अर्धा सफरचंद एक चतुर्थांशपेक्षा जास्त आहे. परंतु जेव्हा ते गणितीय अभिव्यक्तीच्या स्वरूपात लिहिणे आवश्यक असते तेव्हा ते कठीण होऊ शकते. खालील गणिताचे नियम लागू करून, तुम्ही या कार्याचा सहज सामना करू शकता.

अपूर्णांकांची समान भाजकाशी तुलना कशी करावी

अशा अपूर्णांकांची तुलना करणे सर्वात सोयीचे आहे. या प्रकरणात, नियम वापरा:

समान भाजक असलेल्या, परंतु भिन्न अंश असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, मोठा अंश असलेला एक मोठा असेल आणि लहान अंशाने लहान असेल.

उदाहरणार्थ, 3/8 आणि 5/8 अपूर्णांकांची तुलना करा. या उदाहरणातील भाजक समान आहेत, म्हणून आम्ही हा नियम लागू करतो. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

खरंच, जर तुम्ही दोन पिझ्झा 8 स्लाइसमध्ये कापले तर 3/8 नेहमी 5/8 पेक्षा कमी असेल.

समान अंश आणि भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना

या प्रकरणात, भाजक समभागांच्या आकारांची तुलना केली जाते. नियम लागू करणे आवश्यक आहे:

जर दोन अपूर्णांकांचे अंश समान असतील, तर मोठा अपूर्णांक असेल, ज्याचा भाजक कमी असेल.

उदाहरणार्थ, 3/4 आणि 3/8 अपूर्णांकांची तुलना करा. या उदाहरणात, अंक समान आहेत, म्हणून आपण दुसरा नियम वापरू. 3/4 चा 3/8 पेक्षा लहान भाजक आहे. म्हणून 3/4> 3/8

खरंच, जर तुम्ही पिझ्झाच्या 3 स्लाइस 4 स्लाइसमध्ये विभागून खाल्ले, तर तुम्ही 8 स्लाइसमध्ये विभागलेल्या पिझ्झाच्या 3 स्लाइस खाल्ल्यापेक्षा जास्त पोट भरेल.

भिन्न अंश आणि भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करणे

आम्ही तिसरा नियम लागू करतो:

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना समान भाजकांसह अपूर्णांकांच्या तुलनेत कमी करणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला अपूर्णांक एका सामान्य भाजकावर आणणे आणि पहिला नियम वापरणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, आपल्याला अपूर्णांकांची तुलना करणे आवश्यक आहे आणि. मोठा अपूर्णांक निश्चित करण्यासाठी, आम्ही हे दोन अपूर्णांक एका सामान्य भाजकावर आणतो:

• आता दुसरा अतिरिक्त घटक शोधू: 6: 3 = 2. आम्ही ते दुसऱ्या अंशावर लिहितो:

आम्ही अपूर्णांकांचा अभ्यास सुरू ठेवतो. आज आपण त्यांच्या तुलनेबद्दल बोलू. विषय मनोरंजक आणि उपयुक्त आहे. हे नवशिक्याला पांढऱ्या कोटातील शास्त्रज्ञासारखे वाटेल.

अपूर्णांकांची तुलना करण्याचे सार म्हणजे दोन अपूर्णांकांपैकी कोणता मोठा किंवा कमी हे शोधणे.

दोनपैकी कोणता अपूर्णांक मोठा किंवा कमी या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, वापरा, जसे की अधिक (>) किंवा कमी (<).

शास्त्रज्ञ-गणितज्ञांनी आधीच तयार नियमांची काळजी घेतली आहे ज्यामुळे त्यांना कोणता अपूर्णांक मोठा आहे आणि कोणता कमी आहे या प्रश्नाचे त्वरित उत्तर देऊ शकतात. हे नियम सुरक्षितपणे लागू केले जाऊ शकतात.

आम्ही हे सर्व नियम पाहू आणि हे का घडत आहे हे शोधण्याचा प्रयत्न करू.

अपूर्णांकांची समान भाजकाशी तुलना करणे

तुलना करावयाचे अपूर्णांक वेगळे आहेत. सर्वात यशस्वी केस म्हणजे जेव्हा अपूर्णांकांचे भाजक समान असतात, परंतु भिन्न अंश असतात. या प्रकरणात, खालील नियम लागू होतात:

समान भाजक असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, मोठ्या अंशासह मोठा अपूर्णांक असतो. आणि त्यानुसार, खालच्या अंशासह अपूर्णांक कमी असेल.

उदाहरणार्थ, अपूर्णांकांची तुलना करू आणि यापैकी कोणता अपूर्णांक मोठा आहे याचे उत्तर देऊ. येथे समान भाजक आहेत, परंतु भिन्न अंश आहेत. अपूर्णांकात अपूर्णांकापेक्षा मोठा अंश असतो. पेक्षा अपूर्णांक मोठा आहे. म्हणून आम्ही उत्तर देतो. तुम्हाला अधिक चिन्हासह उत्तर देणे आवश्यक आहे (>)

चार भागांमध्ये विभागलेल्या पिझ्झाचा विचार केल्यास हे उदाहरण सहज समजू शकते. पिझ्झा पेक्षा जास्त पिझ्झा आहेत:

प्रत्येकजण सहमत आहे की पहिला पिझ्झा दुसऱ्यापेक्षा मोठा आहे.

समान अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना करणे

अपूर्णांकांचे अंश समान असले तरी भाजक भिन्न असतात तेव्हा आपण पुढील प्रकरणात जाऊ शकतो. अशा प्रकरणांसाठी, खालील नियम प्रदान केले आहेत:

समान अंश असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, कमी भाजक असलेला अपूर्णांक मोठा असतो. आणि त्यानुसार, मोठ्या भाजकासह अपूर्णांक लहान आहे.

उदाहरणार्थ, अपूर्णांकांची तुलना करूया आणि. या अपूर्णांकांना समान अंक आहेत. अपूर्णांकामध्ये अपूर्णांकापेक्षा लहान भाजक असतो. याचा अर्थ अपूर्णांक अपूर्णांकापेक्षा मोठा आहे. तर आम्ही उत्तर देतो:

तीन आणि चार भागात विभागलेल्या पिझ्झाचा विचार केल्यास हे उदाहरण सहज समजू शकते. पिझ्झा पेक्षा जास्त पिझ्झा आहेत:

प्रत्येकजण सहमत आहे की पहिला पिझ्झा दुसऱ्यापेक्षा मोठा आहे.

भिन्न अंश आणि भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करणे

असे अनेकदा घडते की तुम्हाला भिन्न अंश आणि भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करावी लागते.

उदाहरणार्थ, अपूर्णांकांची तुलना करा आणि. यापैकी कोणता अपूर्णांक मोठा किंवा कमी या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, तुम्हाला त्यांना समान (सामान्य) भाजकावर आणावे लागेल. मग कोणता अपूर्णांक मोठा की कमी हे ठरवणे सोपे जाईल.

आपण अपूर्णांकांना समान (सामान्य) भाजकावर आणू. दोन्ही अपूर्णांकांचे भाजक (LCM) शोधा. अपूर्णांकांच्या भाजकांचा LCM आणि ही संख्या 6 आहे.

आता आम्हाला प्रत्येक अपूर्णांकासाठी अतिरिक्त घटक सापडतात. LCM ला पहिल्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM ही संख्या 6 आहे, आणि पहिल्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 2 आहे. 6 ला 2 ने विभाजित केल्यास, आम्हाला अतिरिक्त घटक 3 मिळेल. आम्ही ते पहिल्या अपूर्णांकावर लिहू:

आता दुसरा अतिरिक्त घटक शोधूया. LCM ला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या भाजकाने विभाजित करा. LCM हा क्रमांक 6 आहे, आणि दुसऱ्या अपूर्णांकाचा भाजक हा क्रमांक 3 आहे. 6 ला 3 ने भागल्यास आपल्याला अतिरिक्त घटक 2 मिळेल. आम्ही ते दुसऱ्या अपूर्णांकावर लिहू:

चला अपूर्णांकांना त्यांच्या अतिरिक्त घटकांनी गुणाकार करूया:

आम्ही या निष्कर्षावर पोहोचलो की भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक समान भाजकांसह अपूर्णांकात बदलले. अशा अपूर्णांकांची तुलना कशी करायची हे आम्हाला आधीच माहित आहे. समान भाजक असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, मोठ्या अंशासह अपूर्णांक मोठा असतो:

नियम हा नियम आहे आणि आम्ही त्यापेक्षा जास्त का हे शोधण्याचा प्रयत्न करू. हे करण्यासाठी, संपूर्ण भाग एका अपूर्णांकात निवडा. तुम्हाला अपूर्णांकात काहीही हायलाइट करण्याची गरज नाही, कारण हा अपूर्णांक आधीच बरोबर आहे.

अपूर्णांकात संपूर्ण भाग विभक्त केल्यानंतर, आम्हाला खालील अभिव्यक्ती मिळते:

पेक्षा अधिक का आता तुम्ही सहज पाहू शकता. चला हे अपूर्णांक पिझ्झाच्या रूपात काढू.

2 संपूर्ण पिझ्झा आणि पिझ्झा पेक्षा जास्त पिझ्झा.

मिश्र संख्यांची वजाबाकी. कठीण प्रकरणे.

मिश्र संख्या वजा करून, तुम्हाला कधीकधी असे आढळून येते की गोष्टी तुम्हाला पाहिजे तितक्या सहजतेने जात नाहीत. अनेकदा असे घडते की, उदाहरण सोडवताना ते काय असावे याचे उत्तर मिळत नाही.

संख्या वजा करताना, वजाबाकी वजाबाकीपेक्षा मोठी असणे आवश्यक आहे. त्यानंतरच सामान्य प्रतिसाद मिळेल.

उदाहरणार्थ, 10−8 = 2

10 - कमी होत आहे

8 - वजा

2 - फरक

वजा केलेले 10 हे वजा केलेल्या 8 पेक्षा मोठे आहे, म्हणून आम्हाला 2 चे सामान्य उत्तर मिळाले.

आता घट वजाबाकीपेक्षा कमी झाल्यास काय होते ते पाहू. उदाहरण 5−7 = −2

5 - कमी होत आहे

7 - वजा केले

−2 हा फरक आहे

या प्रकरणात, आपण ज्या संख्येची आपल्याला सवय आहे त्या मर्यादेच्या पलीकडे जातो आणि नकारात्मक संख्यांच्या जगात स्वतःला शोधतो, जिथे आपल्यासाठी चालणे खूप लवकर आहे, जर धोकादायक नसेल. ऋण संख्यांसह कार्य करण्यासाठी योग्य गणितीय पार्श्वभूमी आवश्यक आहे, जी आम्हाला अद्याप प्राप्त झालेली नाही.

वजाबाकीसाठी उदाहरणे सोडवताना, वजाबाकी वजाबाकीपेक्षा कमी असल्याचे तुम्हाला आढळले, तर तुम्ही असे उदाहरण आत्तासाठी वगळू शकता. नकारात्मक संख्यांसह कार्य करणे केवळ त्यांचा अभ्यास केल्यानंतरच परवानगी आहे.

अपूर्णांकांच्या बाबतीतही अशीच परिस्थिती आहे. कमी केलेले वजाबाकीपेक्षा मोठे असणे आवश्यक आहे. केवळ या प्रकरणात सामान्य उत्तर मिळणे शक्य होईल. आणि कमी केलेला अपूर्णांक वजा केलेल्या अपूर्णांकापेक्षा मोठा आहे की नाही हे समजून घेण्यासाठी, तुम्हाला या अपूर्णांकांची तुलना करणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, एक उदाहरण सोडवू.

हे वजाबाकीचे उदाहरण आहे. त्याचे निराकरण करण्यासाठी, कमी केलेला अपूर्णांक वजा केलेल्या अपूर्णांकापेक्षा मोठा आहे की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे. पेक्षा जास्त

म्हणून आम्ही सुरक्षितपणे उदाहरणाकडे परत जाऊ शकतो आणि त्याचे निराकरण करू शकतो:

आता हे उदाहरण सोडवू

कमी करावयाचा अपूर्णांक वजा करावयाच्या अपूर्णांकापेक्षा मोठा आहे का ते तपासा. आम्हाला आढळले की ते लहान आहे:

या प्रकरणात, थांबणे आणि पुढील गणना सुरू न ठेवणे अधिक शहाणपणाचे आहे. जेव्हा आपण ऋण संख्यांचा अभ्यास करू तेव्हा या उदाहरणाकडे परत येऊ.

वजाबाकी करण्यापूर्वी मिश्र संख्या तपासणे देखील उचित आहे. उदाहरणार्थ, अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया.

प्रथम, कमी करावयाची मिश्र संख्या वजा केलेल्या संख्येपेक्षा मोठी आहे का ते तपासा. हे करण्यासाठी, मिश्र संख्या अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतरित करूया:

आम्हाला भिन्न अंश आणि भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक मिळाले. अशा अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांना समान (सामान्य) भाजकावर आणण्याची आवश्यकता आहे. हे कसे करायचे ते आम्ही तपशीलवार वर्णन करणार नाही. जर तुम्हाला अडचण येत असेल तर पुनरावृत्ती करण्याचे सुनिश्चित करा.

अपूर्णांकांना समान भाजकापर्यंत कमी केल्यानंतर, आम्हाला खालील अभिव्यक्ती मिळते:

आता आपल्याला अपूर्णांकांची तुलना करणे आवश्यक आहे आणि. हे समान भाजक असलेले अपूर्णांक आहेत. समान भाजक असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, मोठ्या अंशासह मोठा अपूर्णांक असतो.

अपूर्णांकात अपूर्णांकापेक्षा मोठा अंश असतो. याचा अर्थ अपूर्णांक अपूर्णांकापेक्षा मोठा आहे.

आणि याचा अर्थ असा आहे की कमी केलेले वजाबाकीपेक्षा मोठे आहे

म्हणून आपण आपल्या उदाहरणाकडे परत जाऊ शकतो आणि धैर्याने त्याचे निराकरण करू शकतो:

उदाहरण ३.अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा

घट वजाबाकीपेक्षा जास्त आहे का ते तपासू.

मिश्र संख्यांचे अयोग्य अपूर्णांकांमध्ये रूपांतर करूया:

आम्हाला भिन्न अंश आणि भिन्न भाजक असलेले अपूर्णांक मिळाले. हे अपूर्णांक समान (सामान्य) भाजकावर आणू.

कोणता अपूर्णांक मोठा आहे आणि कोणता अपूर्णांक लहान आहे हे शोधण्यासाठी दोन असमान अपूर्णांकांची पुढील तुलना केली जाते. दोन अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी, अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी एक नियम आहे, जो आपण खाली तयार करू, आणि आपण समान आणि भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करताना हा नियम लागू करण्याच्या उदाहरणांचे विश्लेषण करू. शेवटी, आम्ही अपूर्णांकांची समान अंशांसोबत तुलना कशी करायची ते दाखवू आणि त्यांना एका सामान्य भाजकात न आणता, आणि सामान्य अपूर्णांकाची नैसर्गिक संख्येशी तुलना कशी करायची याचा देखील विचार करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

अपूर्णांकांची समान भाजकाशी तुलना करणे

अपूर्णांकांची समान भाजकाशी तुलना करणेमूलत: समान समभागांच्या संख्येची तुलना आहे. उदाहरणार्थ, सामान्य अपूर्णांक 3/7 3 भाग 1/7 परिभाषित करतो, आणि अपूर्णांक 8/7 8 भाग 1/7 शी संबंधित आहे, म्हणून समान भाजक 3/7 आणि 8/7 सह अपूर्णांकांची तुलना तुलना करण्यासाठी कमी केली जाते. संख्या 3 आणि 8, म्हणजेच अंकांच्या तुलनेत.

या विचारांतून पुढीलप्रमाणे अपूर्णांकांची समान भाजकाशी तुलना करण्याचा नियम: समान भाजक असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, ज्याचा अंश मोठा आहे तो अपूर्णांक मोठा आहे आणि ज्याचा अंश लहान आहे तो अपूर्णांक लहान आहे.

हा नियम समान भाजकाशी अपूर्णांकांची तुलना कशी करायची हे स्पष्ट करतो. समान भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी नियम लागू करण्याच्या उदाहरणाचा विचार करूया.

उदाहरण.

कोणता अपूर्णांक मोठा आहे: 65/126 किंवा 87/126?

उपाय.

तुलना केलेल्या सामान्य अपूर्णांकांचे भाजक समान आहेत आणि अपूर्णांक 87/126 चा अंश 87 हा अपूर्णांक 65/126 च्या अंश 65 पेक्षा मोठा आहे (आवश्यक असल्यास, नैसर्गिक संख्यांची तुलना पहा). म्हणून, समान भाजकासह अपूर्णांकांची तुलना करण्याच्या नियमानुसार, अपूर्णांक 87/126 हा अपूर्णांक 65/126 पेक्षा मोठा आहे.

उत्तर:

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलनासमान भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी कमी केले जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, केवळ तुलनात्मक सामान्य अपूर्णांकांना समान भाजकात आणणे आवश्यक आहे.

तर, दोन अपूर्णांकांची भिन्न भाजकांशी तुलना करण्यासाठी, तुम्हाला आवश्यक आहे

• अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणा;
• परिणामी अपूर्णांकांची समान भाजकांशी तुलना करा.

उदाहरण उपाय पाहू.

उदाहरण.

5/12 ची 9/16 शी तुलना करा.

उपाय.

प्रथम, आम्ही वेगवेगळ्या भाजकांसह हे अपूर्णांक एका सामान्य भाजकावर आणतो (अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणण्याचे नियम आणि उदाहरणे पहा). सामान्य भाजक म्हणून, सर्वात कमी सामान्य भाजक घ्या, जो LCM (12, 16) = 48 आहे. नंतर अपूर्णांक 5/12 चा अतिरिक्त घटक क्रमांक 48: 12 = 4 असेल आणि अपूर्णांक 9/16 चा अतिरिक्त घटक क्रमांक 48: 16 = 3 असेल. आम्हाला मिळते आणि .

प्राप्त अपूर्णांकांची तुलना करताना, आमच्याकडे आहे. म्हणून, 5/12 9/16 पेक्षा कमी आहे. हे भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना पूर्ण करते.

उत्तर:

आम्हाला भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्याचा आणखी एक मार्ग मिळेल, जो तुम्हाला अपूर्णांकांची तुलना सामान्य भाजकाशी न करता आणि या प्रक्रियेशी संबंधित सर्व अडचणींशी न करता तुलना करू देईल.

a / b आणि c / d अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी, त्यांची तुलना केल्या जाणार्‍या अपूर्णांकांच्या भाजकांच्या गुणाकाराच्या समान b · d पर्यंत कमी करता येते. या प्रकरणात, a / b आणि c / d या अपूर्णांकांचे अतिरिक्त घटक अनुक्रमे d आणि b आहेत आणि मूळ अपूर्णांक अपूर्णांकांमध्ये कमी केले जातात आणि सामान्य भाजक b · d सह. समान भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्याचा नियम लक्षात ठेवून, आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की a / b आणि c / d या मूळ अपूर्णांकांची तुलना a d आणि c b च्या उत्पादनांची तुलना करण्यासाठी कमी केली गेली आहे.

हे खालील सुचवते. भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्याचा नियम: जर a d > b c, तर, आणि जर a d

अशा प्रकारे भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्याचा विचार करा.

उदाहरण.

5/18 आणि 23/86 अपूर्णांकांची तुलना करा.

उपाय.

या उदाहरणात, a = 5, b = 18, c = 23, आणि d = 86. a d आणि b c ची उत्पादने काढू. आमच्याकडे d = 5 86 = 430 आणि b c = 18 23 = 414 आहे. 430> 414 पासून, अपूर्णांक 5/18 हा अपूर्णांक 23/86 पेक्षा मोठा आहे.

उत्तर:

समान अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना करणे

मागील परिच्छेदात चर्चा केलेल्या नियमांचा वापर करून समान अंश आणि भिन्न भाजक असलेल्या अपूर्णांकांची निःसंशयपणे तुलना केली जाऊ शकते. तथापि, अशा अपूर्णांकांची तुलना करण्याचा परिणाम या अपूर्णांकांच्या भाजकांची तुलना करून मिळवणे सोपे आहे.

अशी आहे समान अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्याचा नियम: समान अंश असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, लहान भाजक असलेला एक मोठा आणि मोठ्या भाजकासह लहान अपूर्णांक असतो.

उदाहरणाच्या समाधानाचा विचार करूया.

उदाहरण.

54/19 आणि 54/31 अपूर्णांकांची तुलना करा.

उपाय.

तुलना केलेल्या अपूर्णांकांचे अंश समान असल्याने, आणि अपूर्णांक 54/19 चा भाजक 19 हा अपूर्णांक 54/31 च्या भाजक 31 पेक्षा कमी असल्याने, 54/19 हा 54/31 पेक्षा मोठा आहे.

केवळ मूळ संख्यांचीच तुलना करता येत नाही तर अपूर्णांकांचीही तुलना करता येते. शेवटी, अपूर्णांक ही समान संख्या आहे, उदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्या. आपल्याला फक्त ते नियम माहित असणे आवश्यक आहे ज्याद्वारे अपूर्णांकांची तुलना केली जाते.

समान भाजकासह अपूर्णांकांची तुलना.

जर दोन अपूर्णांकांचा भाजक समान असेल तर अशा अपूर्णांकांची तुलना करणे सोपे आहे.

अपूर्णांकांची समान भाजकाशी तुलना करण्यासाठी, तुम्हाला त्यांच्या अंशांची तुलना करणे आवश्यक आहे. मोठा अंश ज्याचा अंश मोठा आहे.

चला एक उदाहरण विचारात घेऊया:

अपूर्णांकांची तुलना करा \ (\ frac (7) (26) \) आणि \ (\ frac (13) (26) \).

दोन्ही अपूर्णांकांचे भाजक 26 इतके आहेत, म्हणून आम्ही अंशांची तुलना करतो. 13 ही संख्या 7 पेक्षा जास्त आहे. आम्हाला मिळते:

\ (\ frac (7) (26)< \frac{13}{26}\)

समान अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना.

अपूर्णांकात समान अंश असल्यास, खालच्या भाजकासह अपूर्णांक मोठा असतो.

जीवनातून उदाहरण दिल्यास हा नियम समजू शकतो. आमच्याकडे केक आहे. आम्ही 5 किंवा 11 अतिथींना भेट देऊ शकतो. जर 5 पाहुणे आले तर आम्ही केकचे 5 समान तुकडे करू आणि 11 पाहुणे आले तर आम्ही 11 समान तुकड्यांमध्ये विभागू. आता विचार करा की एका अतिथीसाठी कोणत्या बाबतीत केकचा मोठा तुकडा असेल? अर्थात, जेव्हा 5 पाहुणे येतील तेव्हा केकचा तुकडा मोठा असेल.

किंवा दुसरे उदाहरण. आमच्याकडे 20 चॉकलेट्स आहेत. आम्ही कँडीज 4 मित्रांना समान रीतीने वितरित करू शकतो किंवा 10 मित्रांमध्ये समान रीतीने कँडीज सामायिक करू शकतो. प्रत्येक मित्राला जास्त मिठाई कधी मिळेल? अर्थात, जेव्हा आपण फक्त 4 मित्रांनी विभागतो, तेव्हा प्रत्येक मित्राकडे अधिक कॅंडीज असतील. चला ही समस्या गणिती तपासूया.

\ (\ frac (20) (4)> \ frac (20) (10) \)

\ (\ frac (20) (4) = 5 \) आणि \ (\ frac (20) (10) = 2 \) संख्या मिळण्यापूर्वी हे अपूर्णांक सोडवल्यास. आम्हाला ते 5> 2 मिळते

समान अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्याचा हा नियम आहे.

आणखी एक उदाहरण पाहू.

समान अंश \ (\ frac (1) (17) \) आणि \ (\ frac (1) (15) \) सह अपूर्णांकांची तुलना करा.

अंश सारखेच असल्याने, जेथे भाजक लहान असतो तो अपूर्णांक मोठा असतो.

\ (\ frac (1) (17)< \frac{1}{15}\)

भिन्न भाजक आणि अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना.

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी, आपल्याला अपूर्णांक कमी करणे आवश्यक आहे आणि नंतर अंशांची तुलना करणे आवश्यक आहे.

अपूर्णांकांची तुलना करा \ (\ frac (2) (3) \) आणि \ (\ frac (5) (7) \).

प्रथम, अपूर्णांकांचे सामान्य भाजक शोधा. ते 21 क्रमांकाच्या बरोबरीचे असेल.

\ (\ आरंभ (संरेखित) & \ frac (2) (3) = \ frac (2 \ वेळा 7) (3 \ वेळा 7) = \ frac (14) (21) \\\\ & \ frac (5) (७) = \ frac (5 \ वेळा 3) (7 \ वेळा 3) = \ frac (15) (21) \\\\ \ समाप्त (संरेखित) \)

मग आपण अंकांची तुलना करण्यासाठी पुढे जाऊ. अपूर्णांकांची समान भाजकाशी तुलना करण्याचा नियम.

\ (\ आरंभ (संरेखित) आणि \ frac (14) (21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

तुलना.

चुकीचा अपूर्णांक नेहमी अधिक योग्य असतो.कारण अयोग्य अपूर्णांक 1 पेक्षा मोठा आहे आणि योग्य अपूर्णांक 1 पेक्षा कमी आहे.

उदाहरण:
अपूर्णांकांची तुलना करा \ (\ frac (11) (13) \) आणि \ (\ frac (8) (7) \).

अपूर्णांक \ (\ frac (8) (7) \) चुकीचा आहे आणि 1 पेक्षा मोठा आहे.

\(1 < \frac{8}{7}\)

अपूर्णांक \ (\ frac (11) (13) \) बरोबर आहे आणि तो 1 पेक्षा कमी आहे. तुलना करा:

\ (1> \ frac (11) (13) \)

आम्हाला मिळते, \ (\ frac (11) (13)< \frac{8}{7}\)

विषयावरील प्रश्नः
तुम्ही भिन्न भाजकांशी अपूर्णांकांची तुलना कशी करता?
उत्तर: अपूर्णांकांना सामान्य भाजकात आणणे आणि नंतर त्यांच्या अंशांची तुलना करणे आवश्यक आहे.

तुम्ही अपूर्णांकांची तुलना कशी करता?
उत्तर: प्रथम तुम्हाला अपूर्णांक कोणत्या श्रेणीतील आहेत हे ठरविणे आवश्यक आहे: त्यांना एक समान भाजक आहे, त्यांच्याकडे एक समान अंश आहे, त्यांच्याकडे समान भाजक आणि अंश नाहीत किंवा तुमच्याकडे योग्य आणि चुकीचा अपूर्णांक आहे. अपूर्णांकांचे वर्गीकरण केल्यानंतर, योग्य तुलना नियम लागू करा.

समान अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना करणे म्हणजे काय?
उत्तर: जर अपूर्णांकांचे अंश समान असतील तर मोठ्या अपूर्णांकाचा कमी भाजक असेल.

उदाहरण # 1:
अपूर्णांकांची तुलना करा \ (\ frac (11) (12) \) आणि \ (\ frac (13) (16) \).

उपाय:
कोणतेही समान अंक किंवा भाजक नसल्यामुळे, आम्ही भिन्न भाजकांशी तुलना करण्याचा नियम लागू करतो. आपल्याला एक सामान्य भाजक शोधण्याची आवश्यकता आहे. सामान्य भाजक 96 असेल. अपूर्णांकांना सामान्य भाजकावर आणा. पहिला अपूर्णांक \ (\ frac (11) (12) \) अतिरिक्त घटक 8 ने गुणाकार केला जातो आणि दुसरा अपूर्णांक \ (\ frac (13) (16) \) 6 ने गुणाकार केला जातो.

\ (\ आरंभ (संरेखित) आणि \ frac (11) (12) = \ frac (11 \ वेळा 8) (12 \ वेळा 8) = \ frac (88) (96) \\\\ & \ frac (13) (16) = \ frac (13 \ वेळा 6) (16 \ वेळा 6) = \ frac (78) (96) \\\\ \ समाप्त (संरेखित) \)

अपूर्णांकांची अंशांशी तुलना करा, जो मोठा अंश आहे तो मोठा अंश आहे.

\ (\ आरंभ (संरेखित) & \ frac (88) (96)> \ frac (78) (96) \\\\ & \ frac (11) (12)> \ frac (13) (16) \\\ \\ शेवट (संरेखित) \)

उदाहरण # 2:
एका योग्य अपूर्णांकाची तुलना करा?

उपाय:
कोणताही नियमित अपूर्णांक नेहमी 1 पेक्षा कमी असतो.

कार्य क्रमांक १:
मुलगा आणि वडील फुटबॉल खेळले. मुलाने 10 पैकी 5 वेळा लक्ष्य गाठले. आणि वडिलांनी 5 पैकी 3 वेळा लक्ष्य गाठले. कोणाचा निकाल चांगला?

उपाय:
मुलाने 10 संभाव्य दृष्टिकोनांपैकी 5 वेळा मारले. अपूर्णांक म्हणून लिहूया \ (\ frac (5) (10) \).
वडिलांनी 5 संभाव्य दृष्टिकोनांपैकी 3 वेळा मारले. अपूर्णांक म्हणून लिहूया \ (\ frac (3) (5) \).

चला अपूर्णांकांची तुलना करूया. आमच्याकडे भिन्न अंश आणि भाजक आहेत, चला त्यांना एकाच भाजकावर आणूया. सामान्य भाजक 10 असेल.

\ (\ आरंभ (संरेखित) आणि \ frac (3) (5) = \ frac (3 \ वेळा 2) (5 \ वेळा 2) = \ frac (6) (10) \\\\ & \ frac (5) (दहा)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

उत्तरः वडिलांचा परिणाम चांगला आहे.

धड्याची उद्दिष्टे:

1. शैक्षणिक:वेगवेगळ्या तंत्रांचा वापर करून वेगवेगळ्या प्रकारच्या सामान्य अपूर्णांकांची तुलना कशी करायची ते शिकवा;
2. विकसनशील:मानसिक क्रियाकलापांच्या मूलभूत तंत्रांचा विकास, तुलनाचे सामान्यीकरण, मुख्य गोष्ट हायलाइट करणे; स्मृती, भाषणाचा विकास.
3. शैक्षणिक:एकमेकांचे ऐकणे शिकणे, परस्पर सहाय्याचे शिक्षण, संवादाची संस्कृती आणि वर्तन.

धड्याचे टप्पे:

1. संघटनात्मक.

फ्रेंच लेखक ए.फ्रान्स यांच्या शब्दांनी धड्याची सुरुवात करूया: "शिकणे मजेदार असू शकते.... ज्ञान पचवण्यासाठी, तुम्हाला ते भूकेने आत्मसात केले पाहिजे".

आम्ही या सल्ल्याचे पालन करू, आम्ही लक्ष देण्याचा प्रयत्न करू, आम्ही मोठ्या इच्छेने ज्ञान आत्मसात करू, कारण ते आम्हाला भविष्यात उपयोगी पडतील.

2. विद्यार्थ्यांच्या ज्ञानाचे प्रत्यक्षीकरण.

1.) विद्यार्थ्यांचे पुढचे तोंडी कार्य.

उद्देश: नवीन शिकताना आवश्यक असलेली सामग्री पुन्हा पुन्हा सांगणे:

अ) योग्य आणि चुकीचे अपूर्णांक;
ब) नवीन भाजकात अपूर्णांक कमी करणे;
ब) सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधणे;

(कार्य फायलींसह चालते. प्रत्येक धड्यावर विद्यार्थ्यांकडे ती उपलब्ध असतात. त्यांना फ्लेमास्टरसह उत्तरे लिहिली जातात आणि नंतर अनावश्यक माहिती पुसली जाते.)

तोंडी कामासाठी कार्ये.

1. साखळीतील अतिरिक्त अपूर्णांकाचे नाव द्या:

अ) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; ४/७.
ब) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; ४/१२.

2. नवीन भाजक 30 वर अपूर्णांक आणा:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

अपूर्णांकांचा सर्वात कमी सामान्य भाजक शोधा:

1/5 आणि 2/7; 3/4 आणि 1/6; 2/9 आणि 1/2.

2.) खेळाची परिस्थिती.

अगं, आमचा मित्र जोकर (विद्यार्थी त्याला शाळेच्या वर्षाच्या सुरूवातीस भेटले) मला समस्या सोडवण्यास मदत करण्यास सांगितले. पण मला विश्वास आहे की तुम्ही लोक माझ्याशिवाय आमच्या मित्राला मदत करू शकता. आणि कार्य खालीलप्रमाणे आहे.

"अपूर्णांकांची तुलना करा:

अ) 1/2 आणि 1/6;
ब) 3/5 आणि 1/3;
c) 5/6 आणि 1/6;
ड) 12/7 आणि 4/7;
e) 3 1/7 आणि 3 1/5;
f) 7 5/6 आणि 3 1/2;
g) 1/10 आणि 1;
h) 10/3 आणि 1;
i) 7/7 आणि 1."

मित्रांनो, विदूषकाला मदत करण्यासाठी आपण काय शिकले पाहिजे?

धड्याचा उद्देश, कार्ये (विद्यार्थी स्वतः तयार करतात).

शिक्षक त्यांना प्रश्न विचारून मदत करतात:

अ) अपूर्णांकांच्या कोणत्या जोडीची आपण आधीच तुलना करू शकतो?

ब) अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी आपल्याला कोणत्या साधनाची आवश्यकता आहे?

3. गटातील मुले (कायमस्वरूपी बहु-स्तरीय).

प्रत्येक गटाला एक कार्य आणि त्याच्या अंमलबजावणीसाठी सूचना दिल्या जातात.

पहिला गट : मिश्रित अपूर्णांकांची तुलना करा:

अ) 1 1/2 आणि 2 5/6;
b) 3 1/2 आणि 3 4/5

आणि मिश्र अपूर्णांकांना समान आणि भिन्न पूर्ण भागांसह समान करण्यासाठी एक नियम काढा.

ट्यूटोरियल: मिश्रित अपूर्णांकांची तुलना (संख्या किरण वापरून)

1. अपूर्णांकांच्या संपूर्ण भागांची तुलना करा आणि निष्कर्ष काढा;
2. अपूर्णांक भागांची तुलना करा (अपूर्णांक भागांची तुलना करण्यासाठी नियम प्रदर्शित करू नका);
3. एक नियम बनवा - अल्गोरिदम:

दुसरा गट: भिन्न भाजक आणि भिन्न अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना करा. (संख्या किरण वापरा)

अ) ६/७ आणि ९/१४;
b) 5/11 आणि 1/22

सूचना

1. भाजकांची तुलना करा
2. सामान्य भाजकात अपूर्णांक आणणे शक्य आहे का याचा विचार करा
3. या शब्दांसह नियम सुरू करा: "भिन्न भाजकांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी, आपण ..."

तिसरा गट: एककासह अपूर्णांकांची तुलना.

अ) 2/3 आणि 1;
b) 8/7 आणि 1;
c) 10/10 आणि 1 आणि एक नियम तयार करा.

सूचना

सर्व प्रकरणांचा विचार करा: (संख्या किरण वापरा)

अ) जर अपूर्णांकाचा अंश भाजकाशी समान असेल तर, ………;
b) अपूर्णांकाचा अंश भाजकापेक्षा कमी असल्यास, ………;
c) अपूर्णांकाचा अंश भाजकापेक्षा मोठा असल्यास, ………. ...

एक नियम तयार करा.

चौथा गट: अपूर्णांकांची तुलना करा:

अ) 5/8 आणि 3/8;
b) 1/7 आणि 4/7 आणि समान भाजकासह अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी एक नियम तयार करा.

सूचना

नंबर बीम वापरा.

अंकांची तुलना करा आणि एक निष्कर्ष काढा, या शब्दांपासून सुरू करा: “समान भाजक असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी……”.

पाचवा गट: अपूर्णांकांची तुलना करा:

अ) 1/6 आणि 1/3;
b) 4/9 आणि 4/3 क्रमांक बीम वापरून:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

समान अंशांसह अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी नियम तयार करा.

सूचना

भाजकांची तुलना करा आणि शब्दांपासून सुरुवात करून निष्कर्ष काढा:

"समान अंश असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी ……… ..".

सहावा गट: अपूर्णांकांची तुलना करा:

अ) 4/3 आणि 5/6; b) संख्या किरण वापरून 7/2 आणि 1/2

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

नियमित आणि अयोग्य अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी नियम तयार करा.

सूचना.

कोणता अपूर्णांक नेहमी मोठा, योग्य की अयोग्य याचा विचार करा.

4. गटांच्या निष्कर्षांची चर्चा.

प्रत्येक गटाला एक शब्द. विद्यार्थ्यांचे नियम तयार करणे आणि संबंधित नियमांसाठी बेंचमार्कशी त्यांची तुलना करणे. पुढे, प्रत्येक विद्यार्थ्याला वेगवेगळ्या प्रकारच्या सामान्य अपूर्णांकांची तुलना करण्यासाठी नियमाची प्रिंटआउट दिली आहे.

5. आम्ही धड्याच्या सुरुवातीला मांडलेल्या समस्येकडे परत जाऊ. (आम्ही विदूषक समस्या एकत्र सोडवतो).

6. नोटबुकमध्ये काम करा. अपूर्णांकांची तुलना करण्याचे नियम वापरून, विद्यार्थी, शिक्षकाच्या मार्गदर्शनाखाली, अपूर्णांकांची तुलना करा:

अ) 8/13 आणि 8/25;
ब) 11/42 आणि 3/42;
c) 7/5 आणि 1/5;
ड) 18/21 आणि 7/3;
e) 2 1/2 आणि 3 1/5;
f) 5 1/2 आणि 5 4/3;

(शक्यतो बोर्डात विद्यार्थ्याला आमंत्रित करणे).

7. विद्यार्थ्यांना दोन पर्यायांसाठी अपूर्णांकांची तुलना करणारी चाचणी पूर्ण करण्यासाठी प्रोत्साहित केले जाते.

पर्याय 1.

1) अपूर्णांकांची तुलना करा: 1/8 आणि 1/12

अ) 1/8> 1/12;
ब) 1/8<1/12;
c) 1/8 = 1/12

2) कोणते मोठे आहे: 5/13 किंवा 7/13?

अ) 5/13;
ब) 7/13;
c) समान आहेत

3) कोणते कमी आहे: 2/3 किंवा 4/6?

अ) 2/3;
ब) 4/6;
c) समान आहेत

4) कोणता अपूर्णांक 1:3/5 पेक्षा कमी आहे; 17/9; ७/७?

अ) 3/5;
ब) १७/९;
c) ७/७

5) कोणता अपूर्णांक 1:? पेक्षा मोठा आहे; 7/8; ४/३?

अ) १/२;
b) 7/8;
c) 4/3

6) अपूर्णांकांची तुलना करा: 2 1/5 आणि 1 7/9

अ) २ १/५<1 7/9;
ब) २ १/५ = १ ७/९;
क) २/५> १ ७/९

पर्याय २.

1) अपूर्णांकांची तुलना करा: 3/5 आणि 3/10

अ) 3/5> 3/10;
b) 3/5<3/10;
c) 3/5 = 3/10

2) कोणते अधिक आहे: 10/12 किंवा 1/12?

अ) समान आहेत;
ब) 10/12;
c) 1/12

3) कोणते कमी आहे: 3/5 किंवा 1/10?

अ) 3/5;
ब) 1/10;
c) समान आहेत

4) कोणता अपूर्णांक 1: 4/3; 1/15; 16/16 पेक्षा कमी आहे?

अ) 4/3;
ब) 1/15;
c) 16/16

5) कोणता अपूर्णांक 1:2/5; 9/8; 11/12 पेक्षा मोठा आहे?

अ) 2/5;
b) 9/8;
c) 11/12

6) अपूर्णांकांची तुलना करा: 3 1/4 आणि 3 2/3

अ) ३ १/४ = ३ २/३;
ब) ३/४> ३ २/३;
c) 3 1/4< 3 2/3

चाचणीची उत्तरे:

पर्याय 1: 1a, 2b, 3c, 4a, 5b, 6a

पर्याय 2: 2a, 2b, 3b, 4b, 5b, 6c

8. पुन्हा एकदा आपण धड्याच्या उद्देशाकडे परत जाऊ.

आम्ही तुलना नियम तपासतो आणि भिन्न गृहपाठ देतो:

1, 2, 3 गट - प्रत्येक नियमासाठी दोन उदाहरणांची तुलना करा आणि त्यांचे निराकरण करा.

4,5,6 गट - क्रमांक 83 a, b, c, क्र. 84 a, b, c (पाठ्यपुस्तकातून).