स्ट्राइकथ्रू पद्धत. विषय: क्रॉस-आउट पद्धत

रेखीय प्रोग्रामिंग वाहतूक समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, पुरवठादारांची एकूण यादी ग्राहकांच्या एकूण मागण्यांच्या बरोबरीने असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे, उदा. कार्य योग्य संतुलनासह असणे आवश्यक आहे.

प्रमेय 38.2 वाहतूक समस्येच्या निर्बंधांच्या प्रणालीची मालमत्ता

वाहतूक समस्येच्या वेक्टर-स्थितींच्या प्रणालीची श्रेणी N=m+n-1 (m - पुरवठादार, n-ग्राहक) च्या बरोबरीची आहे.

वाहतूक समस्येचे संदर्भ समाधान

वाहतूक समस्येचे संदर्भ समाधान हे कोणतेही व्यवहार्य समाधान आहे ज्यासाठी सकारात्मक निर्देशांकांशी संबंधित स्थिती वेक्टर रेखीयरित्या स्वतंत्र असतात.

वाहतूक समस्येच्या वेक्टर-स्थितींच्या प्रणालीची श्रेणी m+n - 1 च्या बरोबरीची आहे या वस्तुस्थितीमुळे, संदर्भ उपाय m+n-1 पेक्षा जास्त गैर-शून्य निर्देशांक असू शकत नाहीत. नॉन-डिजनरेट रेफरन्स सोल्युशनच्या नॉन-झिरो कोऑर्डिनेट्सची संख्या m+n-1 च्या बरोबरीची असते आणि डिजनरेट रेफरन्स सोल्यूशनसाठी ती m+n-1 पेक्षा कमी असते.

सायकलवाहतूक समस्या सारणी (i 1, j 1), (i 1, j 2), (i 2, j 2),...,(i k, j 1) मधील पेशींच्या अशा क्रमाला असे म्हणतात सेल ज्यामध्ये एकाच पंक्ती किंवा स्तंभामध्ये दोन आणि फक्त दोन समीप सेल आहेत, पहिल्या आणि शेवटच्या सेल देखील त्याच पंक्ती किंवा स्तंभात आहेत.

सायकल बंद तुटलेल्या ओळीच्या स्वरूपात वाहतूक समस्येचे सारणी म्हणून चित्रित केले आहे. एका चक्रात, कोणताही सेल हा एक कोपरा सेल असतो ज्यामध्ये पॉलीलाइन लिंक 90 अंश फिरते. सर्वात सोपी सायकल आकृती 38.1 मध्ये दर्शविली आहे

प्रमेय 38.3

वाहतूक समस्येचे स्वीकार्य समाधान X=(x ij) हे एक संदर्भ उपाय आहे जर आणि फक्त जर टेबलच्या व्यापलेल्या पेशींमधून कोणतेही चक्र तयार केले जाऊ शकत नाही.

क्रॉस-आउट पद्धत

हटवण्याची पद्धत तुम्हाला वाहतूक समस्येचे दिलेले समाधान संदर्भ समाधान आहे की नाही हे तपासण्याची परवानगी देते.

m+n-1 नॉन-झिरो कोऑर्डिनेट्स असलेल्या वाहतूक समस्येचे स्वीकार्य उपाय टेबलमध्ये लिहू द्या. हे सोल्यूशन संदर्भ सोल्यूशन होण्यासाठी, सकारात्मक निर्देशांकांशी संबंधित कंडिशन व्हेक्टर, तसेच बेस शून्य, रेखीयरित्या स्वतंत्र असणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, सोल्यूशनने व्यापलेल्या टेबलच्या पेशींची व्यवस्था करणे आवश्यक आहे जेणेकरून त्यांच्यापासून एक चक्र तयार करणे अशक्य आहे.

एका व्यापलेल्या सेलसह सारणी पंक्ती किंवा स्तंभ कोणत्याही चक्रात समाविष्ट केला जाऊ शकत नाही, कारण सायकलमध्ये प्रत्येक पंक्ती किंवा स्तंभामध्ये दोन आणि फक्त दोन सेल असतात. म्हणून, प्रथम एकतर एक व्यापलेला सेल असलेल्या सारणीच्या सर्व पंक्ती किंवा प्रत्येक एक व्यापलेला सेल असलेले सर्व स्तंभ क्रॉस आउट करण्यासाठी, नंतर स्तंभांवर (पंक्ती) परत या आणि क्रॉस आउट करणे सुरू ठेवा.

जर, हटवण्याच्या परिणामी, सर्व पंक्ती आणि स्तंभ ओलांडले गेले, तर याचा अर्थ असा आहे की सारणीच्या व्यापलेल्या पेशींमधून एक चक्र बनवणारा भाग निवडणे अशक्य आहे आणि संबंधित वेक्टर-स्थितीची प्रणाली रेखीयपणे स्वतंत्र आहे, आणि उपाय एक संदर्भ आहे.

जर, हटवल्यानंतर, काही पेशी राहिल्या, तर या पेशी एक चक्र तयार करतात, संबंधित वेक्टर-स्थितींची प्रणाली रेखीयपणे अवलंबून असते आणि उपाय हा संदर्भ नसतो.

"क्रॉस आउट" (संदर्भ) आणि "ओलांडलेले नाही" (संदर्भ नसलेले उपाय):

क्रॉस-आउट लॉजिक:

1. फक्त एक व्यापलेला सेल (5 0 0), (0 9 0) असलेले सर्व स्तंभ क्रॉस करा
2. फक्त एक व्यापलेला सेल असलेल्या सर्व ओळी पार करा (0 15), (2 0)
3. पुनरावृत्ती चक्र (७) (१)

प्रारंभिक संदर्भ समाधान तयार करण्याच्या पद्धती

वायव्य कोन पद्धत

प्रारंभिक संदर्भ उपाय तयार करण्यासाठी अनेक पद्धती आहेत, त्यापैकी सर्वात सोपी म्हणजे वायव्य कोपरा पद्धत.
IN ही पद्धतपुढील क्रमांकाच्या ग्राहकांच्या विनंत्या पूर्ण संपेपर्यंत पुरवठा करण्यासाठी क्रमांकानुसार पुढील पुरवठादाराच्या यादीचा वापर केला जातो, त्यानंतर पुढील पुरवठादाराच्या क्रमांकानुसार यादी वापरल्या जातात.

ट्रान्सपोर्ट टास्क टेबल भरणे वरच्या डाव्या कोपऱ्यापासून सुरू होते, म्हणूनच त्याला वायव्य कोपरा पद्धत म्हणतात.

या पद्धतीमध्ये अनेक समान चरणांचा समावेश आहे, त्यापैकी प्रत्येकामध्ये, पुढील पुरवठादाराच्या साठा आणि पुढील ग्राहकांच्या विनंत्यांवर आधारित, फक्त एक सेल भरला जातो आणि त्यानुसार, एक पुरवठादार किंवा एक ग्राहक विचारातून वगळला जातो. .

वायव्य कोपरा पद्धत वापरून समर्थन उपाय तयार करा.

1. आम्ही पहिल्या पुरवठादाराचा साठा वितरीत करतो.
जर पहिल्या पुरवठादाराचा साठा पहिल्या ग्राहकाच्या विनंतीपेक्षा जास्त असेल तर सेलमध्ये (1,1) पहिल्या ग्राहकाच्या विनंतीची रक्कम लिहा आणि दुसऱ्या ग्राहकाकडे जा. जर पहिल्या पुरवठादाराचा साठा पहिल्या ग्राहकाच्या विनंतीपेक्षा कमी असेल, तर आम्ही सेलमध्ये (1,1) पहिल्या पुरवठादाराच्या राखीव रकमेची रक्कम लिहितो, पहिल्या पुरवठादाराला विचारातून वगळतो आणि दुसऱ्या पुरवठादाराकडे जातो. .

उदाहरण: त्याचे राखीव 1 =100 हे पहिल्या ग्राहकाच्या विनंत्या b 1 =100 पेक्षा कमी असल्याने, सेल (1,1) मध्ये आम्ही वाहतूक x 11 =100 लिहून ठेवतो आणि पुरवठादाराला विचारातून वगळतो.
आम्ही पहिल्या ग्राहकाच्या उर्वरित असंतुष्ट विनंत्या b 1 = 150-100 = 50 निर्धारित करतो.

2.आम्ही 2 रा पुरवठादाराचा साठा वितरीत करतो.
त्याचे राखीव 2 = 250 हे 1ल्या ग्राहकाच्या उर्वरित असंतुष्ट विनंत्यांपेक्षा मोठे असल्याने b 1 =50, नंतर सेल (2,1) मध्ये आम्ही वाहतूक x 21 =50 लिहून ठेवतो आणि 1ल्या ग्राहकाला विचारातून वगळतो.
आम्ही 2 रा पुरवठादाराची उर्वरित यादी a 2 = a 2 - b 1 = 250-50 = 200 निर्धारित करतो. 2ऱ्या पुरवठादाराच्या उरलेल्या इन्व्हेंटरीज 2ऱ्या ग्राहकाच्या मागणीच्या बरोबरीच्या असल्याने, आम्ही सेल (2,2) मध्ये x 22 = 200 लिहितो आणि आमच्या विवेकबुद्धीनुसार 2रा पुरवठादार किंवा 2रा ग्राहक वगळतो. आमच्या उदाहरणात, आम्ही 2रा पुरवठादार वगळला.
आम्‍ही दुस-या उपभोक्‍ताच्‍या अतृप्त विनंत्‍यांची गणना करतो b 2 =b 2 -a 2 =200-200=0.

3. आम्ही 3 रा पुरवठादाराचा साठा वितरीत करतो.
महत्वाचे!मागील चरणात, आमच्याकडे पुरवठादार किंवा ग्राहक वगळण्याचा पर्याय होता. आम्ही पुरवठादाराला वगळले असल्याने, 2ऱ्या ग्राहकाच्या विनंत्या अजूनही राहिल्या आहेत (शून्य बरोबरी असूनही).
आम्ही उर्वरित विनंत्या सेलमध्ये शून्याच्या बरोबरीने लिहिल्या पाहिजेत (3,2)
हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की जर वाहतूक टेबलच्या पुढील सेलमध्ये (i, j) ठेवणे आवश्यक असेल आणि i क्रमांक असलेल्या पुरवठादाराकडे किंवा j क्रमांकाच्या ग्राहकाकडे शून्य साठा किंवा विनंत्या असतील, तर वाहतूक शून्य (i, j) च्या बरोबरीची असेल. मुलभूत शून्य) सेलमध्ये ठेवला जातो आणि संबंधित पुरवठादार किंवा ग्राहकाला नंतर विचारातून वगळले जाते.
अशा प्रकारे, टेबलमध्ये फक्त मूलभूत शून्य प्रविष्ट केले जातात, शून्य वाहतूक असलेल्या उर्वरित पेशी रिक्त राहतात.

त्रुटी टाळण्यासाठी, प्रारंभिक संदर्भ सोल्यूशन तयार केल्यानंतर, व्यापलेल्या पेशींची संख्या m+n-1 (बेस झिरो देखील व्यापलेला सेल मानला जातो) आणि या पेशींशी संबंधित वेक्टरची स्थिती तपासणे आवश्यक आहे. रेखीय स्वतंत्र आहेत.

मागील चरणात आम्ही दुसऱ्या पुरवठादाराला विचारातून वगळले असल्याने, आम्ही सेल (3.2) मध्ये x 32 =0 लिहितो आणि दुसरा ग्राहक वगळतो.

पुरवठादार 3 च्या यादीत बदल झालेला नाही. सेल (3.3) मध्ये आम्ही x 33 = 100 लिहितो आणि तिसरा ग्राहक वगळतो. सेल (3,4) मध्ये आपण x 34 = 100 लिहू. आमचे कार्य योग्य संतुलनासह आहे या वस्तुस्थितीमुळे, सर्व पुरवठादारांचा साठा संपला आहे आणि सर्व ग्राहकांच्या मागण्या पूर्ण आणि एकाच वेळी पूर्ण केल्या आहेत.

4. आम्ही संदर्भ समाधानाच्या बांधकामाची शुद्धता तपासतो.
व्यापलेल्या सेलची संख्या N=m(पुरवठादार)+m(ग्राहक) - 1=3+4 - 1=6 समान असावी.
क्रॉस-आउट पद्धत वापरून, आम्ही खात्री करतो की सापडलेला उपाय "क्रॉस-आउट" आहे (मूलभूत शून्य तारकाने चिन्हांकित आहे).

परिणामी, व्यापलेल्या पेशींशी संबंधित कंडिशन व्हेक्टर रेषीयरित्या स्वतंत्र आहेत आणि तयार केलेले समाधान खरोखरच एक संदर्भ आहे.

किमान खर्च पद्धत

किमान खर्चाची पद्धत सोपी आहे आणि तुम्हाला संदर्भ सोल्यूशन तयार करण्यास अनुमती देते जे इष्टतमच्या अगदी जवळ आहे, कारण ते वाहतूक समस्येचा खर्च मॅट्रिक्स C=(c ij) वापरते.

वायव्य कोपऱ्याच्या पद्धतीप्रमाणे, यात अनेक समान पायऱ्या असतात, ज्यापैकी प्रत्येकामध्ये टेबलचा फक्त एक सेल भरलेला असतो, किमान खर्चाशी संबंधित:

आणि फक्त एक पंक्ती (पुरवठादार) किंवा एक स्तंभ (ग्राहक) विचारातून वगळण्यात आले आहे. शी संबंधित पुढील सेल वायव्य कोपरा पद्धतीप्रमाणेच त्याच नियमांनुसार भरला जातो. जर एखाद्या पुरवठादाराची कार्गो यादी पूर्णपणे वापरली गेली असेल तर त्याला विचारातून वगळण्यात आले आहे. जर ग्राहक त्याच्या विनंत्या पूर्णतः समाधानी असतील तर त्याला विचारातून वगळण्यात आले आहे. प्रत्येक टप्प्यावर, एकतर एक पुरवठादार किंवा एक ग्राहक काढून टाकला जातो. शिवाय, जर पुरवठादार अद्याप वगळला गेला नसेल, परंतु त्याची यादी शून्याच्या बरोबरीची असेल, तर जेव्हा या पुरवठादाराला वस्तू वितरीत करणे आवश्यक असेल तेव्हा, टेबलच्या संबंधित सेलमध्ये बेस शून्य प्रविष्ट केला जातो आणि त्यानंतरच पुरवठादार विचारातून वगळले आहे. ग्राहकाबाबतही तेच.

किमान खर्चाची पद्धत वापरून, वाहतूक समस्येसाठी प्रारंभिक संदर्भ उपाय तयार करा.

1. किमान खर्च निवडणे अधिक सोयीस्कर होण्यासाठी खर्च मॅट्रिक्स स्वतंत्रपणे लिहू.

2. खर्च मॅट्रिक्सच्या घटकांपैकी, सर्वात कमी किंमत C 11 =1 निवडा, त्यास वर्तुळाने चिन्हांकित करा. हा खर्च 1 पुरवठादाराकडून 1 ग्राहकापर्यंत माल वाहतूक करताना येतो. योग्य बॉक्समध्ये आम्ही वाहतुकीची जास्तीत जास्त संभाव्य मात्रा लिहितो:
x 11 = min (a 1; b 1) = min (60; 40) = 40त्या 1ल्या पुरवठादाराच्या साठा आणि 1ल्या ग्राहकाच्या विनंत्यांमधील किमान.

२.१. आम्ही पहिल्या पुरवठादाराची यादी ४० ने कमी करतो.
२.२. आम्ही पहिल्या ग्राहकाला विचारातून वगळतो, कारण त्याच्या विनंत्या पूर्णतः समाधानी आहेत. मॅट्रिक्स C मध्ये आपण 1 ला स्तंभ पार करतो.

3. मॅट्रिक्स C च्या उर्वरित भागामध्ये, किमान किंमत C 14 =2 आहे. 1ल्या पुरवठादारापासून चौथ्या ग्राहकापर्यंत चालवता येणारी जास्तीत जास्त संभाव्य वाहतूक x 14 = min (a 1 "; b 4 ) = min (20; 60) = 20, जेथे प्राइमसह 1 ही पहिल्या पुरवठादाराची उर्वरित यादी असते.
३.१. पहिल्या पुरवठादाराचा पुरवठा संपला आहे, म्हणून आम्ही ते विचारातून वगळले आहे.
३.२. आम्ही चौथ्या ग्राहकाच्या विनंत्या २० ने कमी करतो.

4. मॅट्रिक्स C च्या उर्वरित भागामध्ये, किमान किंमत C 24 =C 32 =3 आहे. टेबलच्या दोन सेलपैकी एक भरा (2.4) किंवा (3.2). चला ते एका पिंजऱ्यात लिहूया x 24 = min (a 2; b 4) = min (80; 40) = 40 .
४.१. 4थ्या ग्राहकांच्या विनंत्या पूर्ण झाल्या आहेत. आम्ही मॅट्रिक्स सी मधील 4 था स्तंभ ओलांडून विचारातून वगळतो.
४.२. आम्ही दुसऱ्या पुरवठादाराची यादी 80-40=40 कमी करतो.

5. मॅट्रिक्स C च्या उर्वरित भागामध्ये, किमान किंमत C 32 =3 आहे. टेबलच्या सेल (3,2) मध्ये वाहतूक लिहू x 32 = मि (a 3; b 2) = min (100; 60) = 60.
५.१. 2रा ग्राहक विचारातून वगळूया. आम्ही मॅट्रिक्स सी मधून 2 रा स्तंभ वगळतो.
५.२. चला तिसऱ्या पुरवठादाराची यादी कमी करूया 100-60=40

6. मॅट्रिक्स C च्या उर्वरित भागामध्ये, किमान किंमत C 33 =6 आहे. टेबलच्या सेल (3,3) मध्ये वाहतूक लिहू x 33 = मि (a 3 "; b 3 ) = min (40; 80) = 40
६.१. आपण 3रा पुरवठादार विचारातून वगळू या आणि मॅट्रिक्स C मधील 3री पंक्ती.
६.२. आम्ही तिसऱ्या ग्राहकाच्या उर्वरित विनंत्या 80-40=40 निर्धारित करतो.

7. मॅट्रिक्स C मध्ये फक्त C 23 =8 शिल्लक आहे. आम्ही टेबलच्या सेलमध्ये (2.3) वाहतूक X 23 = 40 लिहितो.

8. आम्ही संदर्भ समाधानाच्या बांधकामाची शुद्धता तपासतो.
टेबलमधील व्यापलेल्या पेशींची संख्या N=m+n - 1=3+4 -1 आहे.
हटवण्याच्या पद्धतीचा वापर करून, आम्ही सोल्यूशनच्या सकारात्मक निर्देशांकांशी संबंधित कंडिशन वेक्टरची रेखीय स्वतंत्रता तपासतो. हटवण्याचा क्रम X मॅट्रिक्समध्ये दर्शविला आहे:

निष्कर्ष: किमान खर्चाच्या पद्धतीनुसार (टेबल 38.3) उपाय "क्रॉस आउट" आणि म्हणून संदर्भ आहे.

कार्य क्रमांक 4. व्यवहारांच्या संख्येत वाढ:

काय कॉल टू अॅक्शन असू शकतात? उदाहरण: “आता कॉल करा”, “आमच्या वेबसाइटवर तपशील शोधा”, “कॉल करून अधिक शोधा...”.

P.S.तुम्ही हा लेख नुकताच वाचला असेल आणि तुमच्या व्यवसायातील महसूल वाढवण्यासाठी वरीलपैकी कोणतीही पद्धत लागू केली नसेल, तर तुम्ही तुमचा वेळ वाया घालवला आहे.

तुमच्या संस्थेत विक्री वाढवण्यासाठी तुम्ही तुमच्या आवडत्या 2-3 मार्गांची अंमलबजावणी करणार असाल, तर चांगले परिणाम तुमची वाट पाहत आहेत.

आपण येथे वर्णन केलेल्या प्रत्येक पद्धती वापरण्याचे ठरविल्यास, यादीची समस्या आपल्यासाठी अस्तित्वात नाही. आणि तुम्ही हे विसराल की हा प्रश्न एकेकाळी तुमच्यासाठी इतका समर्पक होता.

P.P.S.फायदेशीर वनस्पती म्हणजे काय? हा एक असा उपक्रम आहे जो त्याच्या उत्पादनांचे बाजारपेठेत असलेले स्थान समजून घेतो आणि सक्षमपणे त्यांची विक्री करतो! विक्रीसह कार्य करणे हे लीड जनरेशन सारखेच आहे. विक्री फनेल विश्लेषण, ऑनलाइन विपणन. सर्व समान!

हटवण्याची पद्धत तुम्हाला वाहतूक समस्येचे दिलेले समाधान संदर्भ आहे की नाही हे तपासण्याची परवानगी देते.

m+n-1 नॉन-झिरो कोऑर्डिनेट्स असलेल्या वाहतुकीच्या समस्येचे स्वीकार्य उपाय टेबलमध्ये लिहू द्या. हे सोल्यूशन संदर्भ सोल्यूशन होण्यासाठी, सकारात्मक निर्देशांकांशी संबंधित कंडिशन व्हेक्टर रेखीयरित्या स्वतंत्र असणे आवश्यक आहे. हे करण्यासाठी, सोल्यूशनने व्यापलेल्या टेबलच्या पेशींची व्यवस्था करणे आवश्यक आहे जेणेकरून त्यांच्यापासून एक चक्र तयार करणे अशक्य आहे.

एका व्यापलेल्या सेलसह सारणीची पंक्ती किंवा स्तंभ कोणत्याही चक्रात समाविष्ट केला जाऊ शकत नाही, कारण सायकलमध्ये प्रत्येक पंक्ती किंवा स्तंभामध्ये दोन आणि फक्त दोन सेल असतात. म्हणून, तुम्ही प्रथम एकतर एक व्यापलेला सेल असलेल्या सारणीच्या सर्व पंक्ती किंवा प्रत्येकी एक व्यापलेला सेल असलेले सर्व स्तंभ ओलांडू शकता, नंतर स्तंभांवर (पंक्ती) परत या आणि त्यांना क्रॉस करणे सुरू ठेवा. जर, हटवण्याच्या परिणामी, सर्व पंक्ती आणि स्तंभ ओलांडले गेले, तर याचा अर्थ असा आहे की सारणीच्या व्यापलेल्या पेशींमधून एक चक्र बनवणारा भाग निवडणे अशक्य आहे आणि संबंधित वेक्टर-स्थितीची प्रणाली रेखीयपणे स्वतंत्र आहे, आणि उपाय एक संदर्भ आहे. जर, हटवल्यानंतर, काही पेशी राहिल्या, तर या पेशी एक चक्र तयार करतात, संबंधित वेक्टर-स्थितींची प्रणाली रेखीयपणे अवलंबून असते आणि उपाय हा संदर्भ नसतो.

खाली "क्रॉस आउट" (संदर्भ) आणि "नॉन-क्रॉस्ड आउट" (सपोर्ट नसलेल्या) उपायांची उदाहरणे आहेत:

;

"ओलांडले" "ओलांडले नाही"

6. प्रारंभिक संदर्भ समाधान तयार करण्याच्या पद्धती. वायव्य कोपरा पद्धत.

प्रारंभिक संदर्भ उपाय तयार करण्यासाठी अनेक पद्धती आहेत, त्यापैकी सर्वात सोपी म्हणजे वायव्य कोपरा पद्धत. या पद्धतीत, पुढील पुरवठादाराचा साठा पुढील ग्राहकांच्या विनंत्या पूर्ण संपेपर्यंत पुरवण्यासाठी वापरला जातो, त्यानंतर पुढील पुरवठादाराचा साठा वापरला जातो.

वाहतूक कार्य सारणी भरणे वरच्या डाव्या कोपऱ्यापासून सुरू होते आणि त्यात अनेक समान पायऱ्या असतात. प्रत्येक टप्प्यावर, पुढील पुरवठादाराचा साठा आणि पुढील ग्राहकांच्या विनंत्यांवर आधारित, फक्त एक सेल भरला जातो आणि त्यानुसार, एक पुरवठादार किंवा ग्राहक विचारातून वगळला जातो. हे अशा प्रकारे केले जाते:

जेव्हा ते भरण्यासाठी सेल (i,j) मध्ये येतात तेव्हाच टेबलमध्ये शून्य शिपमेंट टाकण्याची प्रथा आहे. जर वाहतूक टेबलच्या पुढील सेलमध्ये (i,j) ठेवणे आवश्यक असेल आणि i-th पुरवठादार किंवा j-th उपभोक्त्याकडे शून्य यादी किंवा विनंत्या असतील, तर शून्य (मूलभूत शून्य) च्या बरोबरीची वाहतूक ठेवली जाते. सेल, आणि त्यानंतर, नेहमीप्रमाणे, संबंधित पुरवठादार किंवा ग्राहकांना विचारातून वगळण्यात आले आहे. अशा प्रकारे, टेबलमध्ये फक्त मूलभूत शून्य प्रविष्ट केले जातात, शून्य वाहतूक असलेल्या उर्वरित पेशी रिक्त राहतात.

त्रुटी टाळण्यासाठी, प्रारंभिक संदर्भ सोल्यूशन तयार केल्यानंतर, व्यापलेल्या पेशींची संख्या m+n-1 च्या बरोबरीची आहे आणि या पेशींशी संबंधित वेक्टर्स रेखीयरित्या स्वतंत्र आहेत हे तपासणे आवश्यक आहे.

प्रमेय4.वायव्य कोपरा पद्धतीने बांधलेल्या वाहतूक समस्येचे निराकरण हा संदर्भ आहे.

पुरावा. संदर्भ सोल्यूशनने व्यापलेल्या टेबल सेलची संख्या N=m+n-1 च्या बरोबरीची असावी. वायव्य कोपरा पद्धतीचा वापर करून सोल्यूशन तयार करण्याच्या प्रत्येक टप्प्यावर, एक सेल भरला जातो आणि समस्या सारणीचा एक पंक्ती (पुरवठादार) किंवा एक स्तंभ (ग्राहक) विचारातून वगळला जातो. m+n-2 पायऱ्यांनंतर, m+n-2 सेल टेबलमध्ये व्यापले जातील. त्याच वेळी, एक पंक्ती आणि एक स्तंभ केवळ एका रिक्त सेलसह, क्रॉस न केलेले राहतील. हा शेवटचा सेल भरल्यावर, व्यापलेल्या सेलची संख्या m+n-2+1=m+n-1 असेल.

संदर्भ सोल्युशनने व्यापलेल्या पेशींशी संबंधित वेक्टर रेषीयरित्या स्वतंत्र आहेत हे तपासूया. चला हटवण्याची पद्धत वापरुया. ज्या क्रमाने ते भरले आहेत त्या क्रमाने तुम्ही हे केल्यास सर्व व्यापलेले सेल ओलांडले जाऊ शकतात.

हे लक्षात घेतले पाहिजे की वायव्य कोपरा पद्धत वाहतुकीची किंमत विचारात घेत नाही, म्हणून या पद्धतीद्वारे तयार केलेले संदर्भ समाधान इष्टतम असू शकत नाही.

अनिश्चित गुणांक पद्धत

साठी साध्या अपूर्णांकांमध्ये विघटन शोधू.

सामान्य फॉर्मया प्रकरणात विघटन

.

एक सामान्य भाजक कमी करणे आणि ते टाकून देणे, आमच्याकडे आहे

x 2 -1=A(x 2 +1) 2 +(Bx+C)x+(Dx+E)(x 2 +1)x

x च्या समान शक्तींसाठी गुणांकांची समानता करूया:

म्हणून, आवश्यक विस्ताराचा फॉर्म आहे:

.

योग्य परिमेय अपूर्णांकाच्या भाजक Q(x) ला वास्तविक संख्या आणि गुणाकाराचे मूळ असू द्या. मग सर्वात सोप्या अपूर्णांकांमध्ये, ज्या अपूर्णांकाची बेरीज विघटित केली जाते, तेथे एक अपूर्णांक असतो. गुणांक , कुठे .

नियम:साठी गुणांक A ची गणना करण्यासाठी सर्वात सोपा अंशगुणाकार a च्या बहुपदी Q(x) च्या वास्तविक मूळ a शी संबंधित, तुम्ही अपूर्णांकाच्या भाजकातील कंस ओलांडला पाहिजे आणि उर्वरित अभिव्यक्तीमध्ये x=a टाका. लक्षात घ्या की हे तंत्र केवळ Q(x) च्या वास्तविक मुळांशी संबंधित साध्या अपूर्णांकांच्या उच्च शक्तींच्या गुणांकांची गणना करण्यासाठी लागू आहे.

निर्मूलन पद्धत विशेषतः अशा बाबतीत प्रभावी आहे जेव्हा Q(x) भाजकाला फक्त एकच वास्तविक मुळे असतात, म्हणजे. कधी

Q(x)=(x-a 1)(x-a 2)×... ×(x-a n). मग निरूपण सत्य आहे

,

ज्याचे सर्व गुणांक हटवण्याची पद्धत वापरून मोजले जाऊ शकतात. A k गुणांक काढण्यासाठी, तुम्ही अपूर्णांकाच्या भाजकातील कंस (x-a k) ओलांडला पाहिजे आणि उर्वरित अभिव्यक्तीमध्ये x = a k ठेवावा.

अपूर्णांकाचा विस्तार शोधा

साठी स्मृतीशास्त्र इंग्रजी मध्ये- ज्यांना परदेशी शब्द शिकणे कठीण वाटते त्यांच्यासाठी एक वास्तविक मोक्ष.

तंत्रांचा उद्देश शब्द आणि प्रतिमा यांच्यातील संबंध आहे. ते तयार करण्यासाठी, प्रत्यक्ष आणि अप्रत्यक्ष संघटना वापरल्या जातात. उदाहरणार्थ, शब्द "रात्र"असे शिकले जाऊ शकते: "रात्र""N" अक्षराने सुरू होते - "N" अक्षर गडद निळे आहे ज्यामध्ये तारे एकमेकांशी जोडलेले आहेत. एकदा का मेंदूने सहवास स्वीकारला की, "रात्र" या शब्दाचा कोणताही उल्लेख तुमच्या डोक्यात एक आठवणीत चित्र आणेल.

इंग्रजी शिकण्यासाठी नेमोनिक्स तंत्र

आम्ही यामध्ये रेमन कॉम्पेयोच्या अनुसार अनेक निमोनिक तंत्र दिले आहेत

आम्ही तुम्हाला नवीन व्यायाम शिकण्याचा सल्ला देतो:

• क्रॉसिंग आउट अक्षरे पद्धतव्यंजन शब्द आणि व्हिज्युअलायझेशन मध्ये. तुम्हाला स्टिक हा शब्द शिकण्याची गरज आहे. एक असोसिएशन चित्र काढा: तुम्ही काठीने काच फोडत आहात. रशियनमध्ये साइन इन करा: "मी काच फोडतो." ग्लास या शब्दात, E च्या जागी I, LO पार करा. तुम्हाला मिळेल: "मी स्टिक तोडतो." मेंदूचा थेट संबंध - तुम्ही ते स्टिकने तोडू शकता.
• प्रस्ताव लिहिण्याची पद्धतरशियन भाषेतील परदेशी शब्दाचा अर्थ आणि परदेशी शब्दासह रशियन शब्द व्यंजन वापरणे. आचरण हा शब्द आहे पार पाडणे. एक उदाहरण वाक्य: “त्याने VKontakte मध्ये जाण्यासाठी इंटरनेट नेव्हिगेट केले” (व्यंजन - आचार).
• ध्वनीशी शब्द जोडा.धनुष्य - शूटिंगसाठी धनुष्य. अशी कल्पना करा की तुम्ही शस्त्र घेऊन उभे आहात आणि हळूहळू धनुष्य सोडत आहात. त्याच वेळी आपण ऐकू वाजणारा आवाज"धनुष्य." त्याच्या आवाजावर, धातूच्या कंपनावर लक्ष केंद्रित करा.
• भावनेशी एक शब्द जोडा. डोळा - डोळा. तुम्ही झाडाखाली पडलेले आहात, अचानक तुमच्या डोळ्यात काहीतरी आले. तू ओरडलास "ओच!" डोळ्यातील परदेशी वस्तूची संवेदना लक्षात ठेवा; जेव्हा एक अनपेक्षित इंटरजेक्शन “अय!” बाहेर पडते तेव्हा भावना.

Glycine D3 घेणार्‍या लोकांसाठी निमोनिक तंत्र यशस्वी आहेत. सक्रिय पदार्थ मेंदूच्या क्रियाकलापांना उत्तेजित करतो, ज्यामुळे लक्षात ठेवलेल्या माहितीची पातळी वाढते.

इंग्रजीसाठी मेमोनिक तंत्रांसह व्हिडिओ

व्हिडिओ आम्ही वर लिहिलेल्या व्यंजन तंत्राचे वर्णन करतो आणि तुम्हाला एका धड्यातील 10-15 नवीन शब्द लक्षात ठेवण्याची परवानगी देतो.

4 स्मृतीविषयक धड्यांची मालिका: सर्वात सोप्या शब्दांसाठी मेमोनिक तंत्रांचे प्रदर्शन करणारा व्हिडिओ.

इंग्रजी शब्द शिकण्यासाठी फोन अॅप्स

इंग्रजी शिकण्यात दिवसभर व्यत्यय आणण्याची गरज नाही: तुमच्या खिशात छान ट्यूटोरियल ठेवण्यासाठी एक किंवा अधिक अॅप्स डाउनलोड करा.

• "एका आठवड्यात 90% शब्द शिका!". इंग्रजी भाषेत 300 शब्द आहेत जे दैनंदिन संवादाचा आधार बनतात. हे विकसक शिकण्याचा प्रस्ताव देतात. प्रशिक्षणाची रचना चाचणीच्या स्वरूपात केली जाते: तुम्हाला इंग्रजीमध्ये एक शब्द दिला जातो आणि भाषांतर पर्याय ऑफर केले जातात. तुम्ही योग्य उत्तर निवडा. धड्यादरम्यान, प्रत्येक शब्द 5 वेळा दर्शविला जातो: जर उत्तरे बरोबर असतील, तर शब्द शिकलेला मानला जातो आणि नवीन शब्दाने बदलला जातो.
• "चित्रांसह इंग्रजी शिकणे."अॅपमध्ये 3000 सचित्र शब्द आहेत. तुम्ही ऑफलाइन अभ्यास करू शकता: फोटोवर लक्ष केंद्रित करा, लक्षात ठेवण्यासाठी शब्दाशी तो संबद्ध करा. ज्या वापरकर्त्यांनी अनुप्रयोग डाउनलोड केला आहे त्यांचा दावा आहे की ते आहे सर्वोत्तम पर्यायइंग्रजी शिकण्यासाठी.
• ब्राव्होलोल.विषय विशेष ब्लॉक्समध्ये विभागलेले आहेत. लक्षात ठेवण्यासाठी, स्वरात खेळण्याचा सल्ला दिला जातो - ही एक स्मृती तंत्र आहे. ज्या संदेशासह तो बोलला होता त्यावर आधारित एक शब्द तुम्हाला आठवतो. उद्घोषक नम्रपणे, रागाने किंवा आनंदाने वाक्य उच्चारण्याची ऑफर देतो.

आपल्याला इंग्रजी शिकण्यासाठी मनोरंजक स्मृती तंत्र माहित असल्यास, टिप्पण्यांमध्ये सामायिक करा! तुमचा दिवस चांगला जावो!