Sebelum memberikan konsep hasil vektor, mari kita beralih kepada persoalan orientasi triplet tertib vektor a →, b →, c → dalam ruang tiga dimensi.

Mari kita ketepikan untuk permulaan vektor a →, b →, c → dari satu titik. Orientasi triple a →, b →, c → boleh ke kanan atau kiri, bergantung pada arah vektor c → itu sendiri. Dari arah di mana putaran terpendek dibuat daripada vektor a → ke b → dari hujung vektor c →, bentuk rangkap tiga a →, b →, c → akan ditentukan.

Jika putaran terpendek adalah lawan jam, maka triplet vektor a →, b →, c → dipanggil betul jika mengikut arah jam - dibiarkan.

Seterusnya, ambil dua vektor bukan kolinear a → dan b →. Marilah kita menangguhkan vektor A B → = a → dan A C → = b → dari titik A. Kami membina vektor A D → = c →, yang serentak berserenjang dengan kedua-dua A B → dan A C →. Oleh itu, apabila membina vektor itu sendiri A D → = c → kita boleh melakukan dua perkara, memberikannya sama ada satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Tiga kali ganda tertib vektor a →, b →, c → boleh, seperti yang kita ketahui, kanan atau kiri, bergantung pada arah vektor.

Daripada perkara di atas, kita boleh memperkenalkan definisi produk silang. Takrifan ini diberikan untuk dua vektor yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Hasil darab vektor dua vektor a → dan b → kita akan memanggil vektor sedemikian yang diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi supaya:

• jika vektor a → dan b → adalah kolinear, ia akan menjadi sifar;
• ia akan berserenjang dengan kedua-dua vektor a → dan vektor b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• panjangnya ditentukan oleh formula: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• triplet bagi vektor a →, b →, c → mempunyai orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

Hasil darab vektor bagi vektor a → dan b → mempunyai tatatanda berikut: a → × b →.

Koordinat produk vektor

Memandangkan mana-mana vektor mempunyai koordinat tertentu dalam sistem koordinat, anda boleh memasukkan takrifan kedua bagi hasil silang, yang akan membolehkan anda mencari koordinatnya mengikut koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi hasil vektor dua vektor a → = (a x; a y; a z) dan b → = (b x; b y; b z) dipanggil vektor c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, di mana i →, j →, k → ialah vektor koordinat.

Produk vektor boleh diwakili sebagai penentu bagi matriks segi empat sama tertib ketiga, di mana baris pertama ialah vektor bagi vektor unit i →, j →, k →, baris kedua mengandungi koordinat vektor a →, dan yang ketiga ialah koordinat bagi vektor b → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan, penentu matriks ini kelihatan seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Mengembangkan penentu ini ke atas unsur-unsur baris pertama, kita memperoleh kesamaan: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Sifat produk vektor

Diketahui bahawa produk vektor dalam koordinat diwakili sebagai penentu matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, kemudian berdasarkan sifat penentu matriks memaparkan perkara berikut sifat produk vektor:

1. antikomutatif a → × b → = - b → × a →;
2. pengagihan a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. persekutuan λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b →, dengan λ ialah nombor nyata arbitrari.

Sifat-sifat ini tidak sukar untuk dibuktikan.

Sebagai contoh, kita boleh membuktikan sifat anti-komutatif bagi produk vektor.

Bukti Antikomutatif

Mengikut takrifan, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z dan b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Dan jika dua baris matriks disusun semula, maka nilai penentu matriks harus berubah kepada sebaliknya, oleh itu, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, yang dan membuktikan anti-komutatif produk vektor.

Produk vektor - contoh dan penyelesaian

Dalam kebanyakan kes, terdapat tiga jenis tugas.

Dalam masalah jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka biasanya diberikan, tetapi anda perlu mencari panjang hasil silang. Dalam kes ini, gunakan formula berikut c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Contoh 1

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor a → dan b → jika anda tahu a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Penyelesaian

Dengan menentukan panjang hasil darab vektor bagi vektor a → dan b → kita akan menyelesaikan masalah ini: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

Jawapan: 15 2 2 .

Masalah jenis kedua mempunyai hubungan dengan koordinat vektor, di dalamnya hasil silang, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui bagi vektor yang diberikan a → = (a x; a y; a z) dan b → = (b x; b y; b z) .

Untuk jenis tugasan ini, anda boleh menyelesaikan banyak pilihan untuk tugasan. Sebagai contoh, bukan koordinat vektor a → dan b → boleh diberikan, tetapi pengembangannya dalam vektor koordinat bentuk b → = b x i → + b y j → + b z k → dan c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, atau vektor a → dan b → boleh ditentukan mengikut koordinat titik mula dan tamatnya.

Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, dua vektor a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) diberikan. Cari hasil silang mereka.

Penyelesaian

Dengan definisi kedua, kita dapati hasil vektor dua vektor dalam koordinat yang diberikan: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Jika kita menulis produk vektor melalui penentu matriks, maka penyelesaian contoh ini kelihatan seperti ini: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Jawapan: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Contoh 3

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor i → - j → dan i → + j → + k →, dengan i →, j →, k → ialah vektor unit bagi sistem koordinat Cartesan segi empat tepat.

Penyelesaian

Pertama, kita mencari koordinat bagi hasil vektor yang diberi i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat segi empat tepat yang diberikan.

Adalah diketahui bahawa vektor i → - j → dan i → + j → + k → masing-masing mempunyai koordinat (1; - 1; 0) dan (1; 1; 1). Mari kita cari panjang produk vektor menggunakan penentu matriks, maka kita mempunyai i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Oleh itu, hasil darab vektor i → - j → × i → + j → + k → mempunyai koordinat (- 1; - 1; 2) dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami mencari panjang produk vektor dengan formula (lihat bahagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Jawapan: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Contoh 4

Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, koordinat tiga titik A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) diberikan. Cari beberapa vektor berserenjang dengan A B → dan A C → pada masa yang sama.

Penyelesaian

Vektor A B → dan A C → masing-masing mempunyai koordinat berikut (- 1; 2; 2) dan (0; 4; 1). Setelah menemui hasil darab vektor bagi vektor A B → dan A C →, adalah jelas bahawa ia adalah vektor berserenjang mengikut takrifan kepada kedua-dua A B → dan A C →, iaitu, ia adalah penyelesaian kepada masalah kita. Mari cari A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

Jawapan: - 6 i → + j → - 4 k →. - salah satu vektor serenjang.

Masalah jenis ketiga tertumpu pada penggunaan sifat produk vektor vektor. Selepas memohon yang mana, kami akan memperoleh penyelesaian kepada masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → adalah berserenjang dan panjangnya ialah 3 dan 4, masing-masing. Cari panjang hasil darab vektor 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Penyelesaian

Dengan sifat pengagihan produk vektor, kita boleh menulis 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Dengan sifat persekutuan, kita mengalihkan pekali berangka di luar tanda produk vektor dalam ungkapan terakhir: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Hasil darab vektor a → × a → dan b → × b → ialah 0 kerana a → × a → = a → a → sin 0 = 0 dan b → × b → = b → b → sin 0 = 0, kemudian 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Antikomutatif produk vektor membayangkan - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Dengan menggunakan sifat produk vektor, kita memperoleh kesamaan 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Mengikut hipotesis, vektor a → dan b → adalah berserenjang, iaitu, sudut di antara mereka ialah π 2. Sekarang tinggal hanya untuk menggantikan nilai yang dijumpai ke dalam formula yang sepadan: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

Jawapan: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Panjang hasil darab vektor bagi vektor dengan susunan adalah sama dengan a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Oleh kerana sudah diketahui (dari kursus sekolah) bahawa luas segitiga adalah sama dengan separuh hasil darab panjang kedua-dua sisinya didarab dengan sinus sudut antara sisi ini. Oleh itu, panjang produk vektor adalah sama dengan luas segi empat selari - segi tiga berganda, iaitu hasil darab sisi dalam bentuk vektor a → dan b →, diplot dari satu titik, dengan sinus sudut antara mereka sin ∠ a →, b →.

Ini ialah makna geometri produk vektor.

Maksud fizikal produk vektor

Dalam mekanik, salah satu cabang fizik, terima kasih kepada produk vektor, anda boleh menentukan momen daya relatif kepada titik dalam ruang.

Definisi 3

Dengan momen daya F → digunakan pada titik B, berbanding dengan titik A, kami maksudkan hasil vektor berikut A B → × F →.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + Enter

PRODUK CAMPURAN TIGA VEKTOR DAN SIFATNYA

Kerja campur tiga vektor dipanggil nombor sama dengan. Ditandakan ... Di sini dua vektor pertama didarab secara vektor dan kemudian vektor yang terhasil didarab secara skalar dengan vektor ketiga. Jelas sekali, produk sedemikian adalah nombor tertentu.

Pertimbangkan sifat produk campuran.

1. Makna geometri kerja bercampur. Hasil bercampur 3 vektor, sehingga tanda, adalah sama dengan isipadu selari yang dibina pada vektor ini, seperti pada tepi, i.e. ...

   Oleh itu, dan .

   

   Bukti... Ketepikan vektor daripada asal biasa dan bina parallelepiped padanya. Mari kita nyatakan dan ambil perhatian bahawa. Mengikut definisi produk titik

   Dengan mengandaikan itu dan menandakan dengan h ketinggian parallelepiped, kita dapati.

   Justeru, untuk

   Jika, maka dan. Oleh itu, .

   Menggabungkan kedua-dua kes ini, kita mendapat atau.

   Khususnya, ia mengikuti dari bukti harta ini bahawa jika triplet vektor adalah betul, maka ia adalah hasil campuran, dan jika ia dibiarkan, maka.

2. Untuk mana-mana vektor,, kesamaan

   Dalil harta ini ikut daripada harta 1. Sesungguhnya mudah untuk menunjukkan bahawa dan. Selain itu, tanda "+" dan "-" diambil serentak, sejak sudut antara vektor dan dan dan kedua-duanya adalah akut atau tumpul.

3. Selepas pilih atur mana-mana dua faktor, tanda perubahan produk campuran.

   Sesungguhnya, jika kita menganggap kerja campuran, maka, sebagai contoh, atau

4. Hasil campuran jika dan hanya jika salah satu faktor adalah sifar atau vektor adalah koplanar.

   Bukti.

   Oleh itu, syarat yang perlu dan mencukupi untuk kesetaraan 3 vektor ialah kesamaan kepada sifar hasil campurannya. Di samping itu, ia berikutan bahawa tiga vektor membentuk asas dalam ruang, jika.

   Jika vektor diberikan dalam bentuk koordinat, maka dapat ditunjukkan bahawa hasil campurannya ditemui dengan formula:

   .

   Oleh itu, hasil campuran adalah sama dengan penentu susunan ketiga, di mana baris pertama mengandungi koordinat vektor pertama, baris kedua mengandungi koordinat vektor kedua, dan baris ketiga mengandungi vektor ketiga.

   Contoh.

GEOMETRI ANALITIK DALAM ANGKASA

Persamaan F (x, y, z)= 0 mentakrifkan dalam ruang Oxyz beberapa permukaan, i.e. lokus titik yang koordinatnya x, y, z memenuhi persamaan ini. Persamaan ini dipanggil persamaan permukaan, dan x, y, z- koordinat semasa.

Walau bagaimanapun, selalunya permukaan tidak ditentukan oleh persamaan, tetapi sebagai satu set titik dalam ruang yang mempunyai satu atau sifat lain. Dalam kes ini, perlu mencari persamaan permukaan berdasarkan sifat geometrinya.

PESAWAT.

VEKTOR PESAWAT BIASA.

PERSAMAAN UNTUK PESAWAT YANG MELALUI TITIK YANG DIBERIKAN

Pertimbangkan satah arbitrari σ dalam angkasa. Kedudukannya ditentukan dengan menentukan vektor yang berserenjang dengan satah ini dan beberapa titik tetap M 0(x 0, y 0, z 0) berbaring di dalam pesawat σ.

Vektor berserenjang dengan satah σ dipanggil biasa vektor pesawat ini. Biarkan vektor mempunyai koordinat.

Mari kita terbitkan persamaan satah σ yang melalui titik tertentu M 0 dan mempunyai vektor normal. Untuk melakukan ini, ambil titik sewenang-wenangnya pada satah σ M (x, y, z) dan pertimbangkan vektor.

Untuk sebarang perkara MÎ σ ialah vektor. Oleh itu, hasil darab skalarnya adalah sama dengan sifar. Persamaan ini adalah syarat bahawa titik MÎ σ. Ia sah untuk semua titik pesawat ini dan dilanggar sebaik sahaja titik itu M akan berada di luar satah σ.

Jika kita nyatakan dengan vektor jejari titik itu M, Adakah vektor jejari titik M 0, maka persamaan juga boleh ditulis dalam bentuk

Persamaan ini dipanggil vektor persamaan satah. Mari kita tuliskannya dalam bentuk koordinat. Sejak itu

Jadi, kami mendapat persamaan satah yang melalui titik ini. Oleh itu, untuk membentuk persamaan satah, anda perlu mengetahui koordinat vektor normal dan koordinat beberapa titik yang terletak pada satah.

Perhatikan bahawa persamaan satah ialah persamaan darjah 1 berkenaan dengan koordinat semasa x, y dan z.

Contoh.

PERSAMAAN AM PESAWAT

Ia boleh ditunjukkan bahawa mana-mana persamaan darjah pertama berkenaan dengan koordinat Cartesan x, y, z ialah persamaan bagi satah tertentu. Persamaan ini ditulis sebagai:

Ax + By + Cz + D=0

dan dipanggil persamaan am satah, dan koordinat A, B, C berikut ialah koordinat bagi vektor normal satah.

Pertimbangkan kes khas persamaan am. Mari kita ketahui bagaimana satah itu terletak secara relatif kepada sistem koordinat jika satu atau beberapa pekali persamaan lenyap.

A ialah panjang garis yang dipotong oleh satah pada paksi lembu... Begitu juga, seseorang boleh menunjukkannya b dan c- panjang segmen yang dipotong oleh satah berkenaan pada paksi Oy dan Oz.

Ia adalah mudah untuk menggunakan persamaan satah dalam segmen garisan untuk membina satah.

7.1. Definisi hasil silang

Tiga vektor bukan koplanar a, b dan c, diambil dalam susunan yang ditunjukkan, membentuk triplet kanan jika, dari hujung vektor ketiga c, putaran terpendek dari vektor pertama a ke vektor kedua b dilihat melawan arah jam, dan kiri, jika mengikut arah jam (lihat Rajah. 16).

Hasil darab vektor bagi vektor a dengan vektor b ialah vektor c, yang:

1. Serenjang dengan vektor a dan b, iaitu, c ^ a dan c ^ b;

2. Mempunyai panjang secara berangka sama dengan luas segi empat selari yang dibina pada vektor a danb seperti pada sisi (lihat rajah 17), iaitu.

3. Vektor a, b dan c membentuk tiga tangan kanan.

Hasil silang ditandakan a x b atau [a, b]. Takrif produk vektor secara langsung membayangkan hubungan berikut antara vektor i, j dan k(lihat rajah 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Mari kita buktikan, sebagai contoh, itu i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, tetapi | i x j| = | i | | J | dosa (90 °) = 1;

3) vektor i, j dan k membentuk triplet kanan (lihat Rajah 16).

7.2. Sifat produk vektor

1. Apabila faktor disusun semula, produk vektor bertukar tanda; a xb = (b xa) (lihat Rajah 19).

Vektor a xb dan b adalah kolinear, mempunyai moduli yang sama (kawasan segi empat selari kekal tidak berubah), tetapi arah bertentangan (tiga kali ganda a, b, a xb dan a, b, b x a orientasi bertentangan). Itu dia a xb = -(b xa).

2. Produk vektor mempunyai sifat gabungan berkenaan dengan faktor skalar, iaitu, l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Biar l> 0. Vektor l (a xb) berserenjang dengan vektor a dan b. vektor ( l a) x b juga berserenjang dengan vektor a dan b(vektor a, l dan berbaring dalam satah yang sama). Oleh itu vektor l(a xb) dan ( l a) x b kolinear. Jelas sekali, arah mereka bertepatan. Mempunyai panjang yang sama:

Jadi l(a хb) = l a xb. Ia boleh dibuktikan sama untuk l<0.

3. Dua vektor bukan sifar a dan b kolinear jika dan hanya jika hasil silangnya adalah sama dengan vektor sifar, iaitu a || b<=>a xb = 0.

Khususnya, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Produk vektor mempunyai sifat pengedaran:

(a + b) xc = a xc + b xc.

Kami akan terima tanpa bukti.

7.3. Ungkapan hasil silang dari segi koordinat

Kami akan menggunakan jadual hasil silang bagi vektor i, j dan k:

jika arah laluan terpendek dari vektor pertama ke kedua bertepatan dengan arah anak panah, maka hasil darab adalah sama dengan vektor ketiga, jika tidak, vektor ketiga diambil dengan tanda tolak.

Biarkan dua vektor a = a x i + a y j+ a z k dan b = b x i+ b y j+ b z k... Mari cari hasil silang bagi vektor ini, darabkannya sebagai polinomial (mengikut sifat hasil silang):

Formula yang terhasil boleh ditulis lebih pendek:

memandangkan bahagian kanan kesamaan (7.1) sepadan dengan pengembangan penentu tertib ketiga dari segi unsur-unsur baris pertama. Kesamaan (7.2) mudah diingati.

7.4. Beberapa aplikasi kerja vektor

Mewujudkan vektor kolinear

Mencari luas segi empat selari dan segi tiga

Mengikut definisi hasil vektor vektor a dan b | a xb | =| a | * | b | sin g, iaitu pasangan S = | a x b |. Dan, oleh itu, D S = 1/2 | a x b |.

Penentuan momen daya relatif kepada sesuatu titik

Biarkan daya dikenakan pada titik A F = AB lepaskan O- beberapa titik dalam ruang (lihat Rajah 20).

Dari fizik diketahui bahawa momen kekuatan F relatif kepada titik O dipanggil vektor M, yang melalui titik O dan:

1) berserenjang dengan satah yang melalui titik O, A, B;

2) secara berangka sama dengan hasil daya setiap bahu

3) membentuk triplet kanan dengan vektor OA dan AB.

Oleh itu, M = OA x F.

Mencari kelajuan linear putaran

Kelajuan v titik M jasad tegar berputar dengan halaju sudut w di sekeliling paksi tetap, ditentukan oleh formula Euler v = w хr, dengan r = ОМ, dengan О ialah beberapa titik tetap paksi (lihat Rajah 21).

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua lagi operasi vektor: produk vektor bagi vektor dan hasil campuran vektor (hubungkan segera, siapa yang memerlukannya)... Tidak mengapa, kadang-kadang berlaku bahawa untuk kebahagiaan yang lengkap, sebagai tambahan kepada hasil darab titik bagi vektor, ia memerlukan lebih banyak dan lebih. Begitulah ketagihan vektor. Seseorang mungkin mendapat tanggapan bahawa kita sedang memasuki hutan geometri analitik. Ini tidak benar. Dalam bahagian matematik yang lebih tinggi ini, secara amnya tidak terdapat kayu api yang mencukupi, kecuali kayu api yang mencukupi untuk Buratino. Malah, bahannya sangat biasa dan mudah - hampir tidak lebih rumit daripada yang sama produk skalar, malah akan terdapat lebih sedikit tugasan biasa. Perkara utama dalam geometri analitik, kerana ramai yang akan diyakinkan atau telah diyakinkan, adalah TIDAK PERLU SALAH DALAM PENGIRAAN. Ulangi sebagai mantra, dan anda akan gembira =)

Jika vektor berkilauan di tempat yang jauh, seperti kilat di kaki langit, tidak mengapa, mulakan dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau mendapatkan semula pengetahuan asas tentang vektor. Pembaca yang lebih bersedia boleh membiasakan diri dengan maklumat secara selektif, saya cuba mengumpul koleksi contoh paling lengkap yang sering dijumpai dalam kerja amali

Bagaimana untuk menggembirakan anda dengan segera? Semasa saya kecil, saya tahu bagaimana untuk menyulap dengan dua atau tiga bola. Dexterously ia ternyata. Sekarang anda tidak perlu menyulap sama sekali, kerana kami akan mempertimbangkan hanya vektor spatial, dan vektor satah dengan dua koordinat akan ditinggalkan. kenapa? Beginilah cara tindakan ini dilahirkan - vektor dan hasil campuran vektor ditakrifkan dan berfungsi dalam ruang tiga dimensi. Ia sudah lebih mudah!

Operasi ini, dengan cara yang sama seperti dalam produk titik, melibatkan dua vektor... Biarlah ini menjadi surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara berikut: . Terdapat pilihan lain, tetapi saya sudah biasa untuk menandakan produk vektor vektor dengan cara itu, dalam kurungan persegi dengan salib.

Dan serta merta soalan: jika masuk hasil darab titik bagi vektor dua vektor terlibat, dan di sini, juga, dua vektor didarab, kemudian Apakah perbezaannya? Perbezaan yang jelas adalah, pertama sekali, dalam HASIL:

Hasil darab titik bagi vektor ialah NUMBER:

Hasil darab vektor bagi vektor menghasilkan VECTOR:, iaitu, kita mendarabkan vektor dan mendapatkan vektor semula. Kelab tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasi. Dalam kesusasteraan pendidikan yang berbeza, sebutan juga boleh berbeza-beza, saya akan menggunakan surat itu.

Definisi hasil silang

Mula-mula akan ada definisi dengan gambar, kemudian komen.

Definisi: Mengikut produk vektor bukan kolinear vektor, diambil mengikut susunan ini, dipanggil VECTOR, panjang yang secara berangka sama dengan luas segi empat selari dibina pada vektor ini; vektor ortogon kepada vektor, dan diarahkan supaya asas mempunyai orientasi yang betul:

Kami menghuraikan definisi dengan tulang, terdapat banyak perkara yang menarik!

Jadi, perkara penting berikut boleh diserlahkan:

1) Vektor asal, dilambangkan dengan anak panah merah, mengikut definisi bukan kolinear... Adalah wajar untuk mempertimbangkan kes vektor kolinear sedikit kemudian.

2) Vektor diambil dalam susunan yang ditetapkan dengan ketat: – "A" didarab dengan "bh", dan bukan "bh" kepada "a". Hasil pendaraban vektor ialah VEKTOR, yang ditandakan dengan warna biru. Jika vektor didarab dalam susunan terbalik, kita mendapat vektor yang sama panjang dan bertentangan arah (warna merah). Maksudnya, persamaan itu benar .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan makna geometri produk vektor. Ini adalah perkara yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh itu, vektor lembayung) secara berangka sama dengan LUAS segi empat selari yang dibina pada vektor. Dalam rajah, segi empat selari ini dilorekkan dengan warna hitam.

Nota : lukisan adalah skema, dan, sudah tentu, panjang nominal hasil silang tidak sama dengan luas segi empat selari.

Kami ingat salah satu formula geometri: luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab sisi bersebelahan dengan sinus sudut di antara mereka... Oleh itu, berdasarkan perkara di atas, formula untuk mengira PANJANG produk vektor adalah sah:

Saya menekankan bahawa dalam formula kita bercakap tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apakah perkara praktikal? Dan maksudnya ialah dalam masalah geometri analitik, luas segi empat selari sering dijumpai melalui konsep produk vektor:

Jom dapatkan formula penting kedua. Diagonal segi empat selari (garis putus-putus merah) membahagikannya kepada dua segi tiga sama. Oleh itu, kawasan segitiga yang dibina pada vektor (lorek merah) boleh didapati dengan formula:

4) Fakta yang sama penting ialah vektor adalah ortogon kepada vektor, iaitu, ... Sudah tentu, vektor yang berlawanan arah (anak panah merah) juga ortogon kepada vektor asal.

5) Vektor diarahkan supaya asas Ia mempunyai betul orientasi. Dalam pelajaran tentang peralihan kepada asas baharu Saya bercakap dengan cukup terperinci tentang orientasi kapal terbang, dan sekarang kita akan mengetahui apakah orientasi ruang. Saya akan menerangkan pada jari anda tangan kanan... Gabungan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan pinky tekan ke tapak tangan anda. Akibatnya ibu jari- hasil silang akan melihat ke atas. Ini adalah asas berorientasikan betul (dalam angka itu adalah ia). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di tempat, akibatnya, ibu jari akan terbentang, dan hasil silang sudah melihat ke bawah. Ini juga merupakan asas berorientasikan betul. Mungkin anda mempunyai soalan: apakah asas orientasi kiri? "Tugaskan" pada jari yang sama Tangan kiri vektor, dan dapatkan asas kiri dan orientasi kiri ruang (dalam kes ini, ibu jari akan terletak ke arah vektor yang lebih rendah)... Secara kiasan, pangkalan ini "memutar" atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeza. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - sebagai contoh, orientasi ruang diubah oleh cermin yang paling biasa, dan jika anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari kaca yang kelihatan", maka dalam kes umum ia tidak akan mungkin untuk menggabungkannya dengan "asal". Dengan cara ini, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulan ;-)

... betapa bagusnya yang anda ketahui sekarang berorientasikan kanan dan kiri bases, sebab penyataan beberapa pensyarah tentang perubahan orientasi adalah dahsyat =)

Hasil silang bagi vektor kolinear

Takrifan telah dianalisis secara terperinci, ia kekal untuk mengetahui apa yang berlaku apabila vektor adalah kolinear. Jika vektor adalah kolinear, maka ia boleh terletak pada satu garis lurus dan selari kami juga "lipatan" menjadi satu garis lurus. Kawasan seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematik, merosot segi empat selari ialah sifar. Perkara yang sama mengikuti dari formula - sinus sifar atau 180 darjah adalah sama dengan sifar, yang bermaksud bahawa kawasan itu adalah sifar.

Oleh itu, jika, maka dan ... Ambil perhatian bahawa hasil silang itu sendiri adalah sama dengan vektor sifar, tetapi dalam amalan ini sering diabaikan dan ditulis bahawa ia juga sifar.

Kes khas ialah hasil vektor vektor dengan sendirinya:

Menggunakan produk silang, anda boleh menyemak kolineariti vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk menyelesaikan contoh praktikal, anda mungkin perlu jadual trigonometri untuk mencari nilai sinus daripadanya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor jika

b) Cari luas segi empat selari yang dibina pada vektor jika

Penyelesaian: Tidak, ini bukan kesilapan menaip, saya sengaja menjadikan data awal dalam klausa syarat sama. Kerana reka bentuk penyelesaian akan berbeza!

a) Dengan syarat, ia dikehendaki mencari panjangnya vektor (produk vektor). Mengikut formula yang sepadan:

Jawab:

Oleh kerana soalan itu ditanya tentang panjang, maka dalam jawapan kami menunjukkan dimensi - unit.

b) Dengan syarat, ia dikehendaki mencari segi empat sama segi empat selari yang dibina pada vektor. Luas segi empat selari ini secara berangka sama dengan panjang produk vektor:

Jawab:

Sila ambil perhatian bahawa jawapan tentang produk vektor adalah di luar soalan sama sekali, kami ditanya mengenainya kawasan angka, masing-masing, dimensi ialah unit segi empat sama.

Kami sentiasa melihat APA yang diperlukan untuk ditemui mengikut syarat, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan jelas jawab. Ia mungkin kelihatan seperti literalisme, tetapi terdapat cukup ahli literal dalam kalangan guru, dan tugas dengan peluang yang baik akan kembali untuk semakan. Walaupun ini bukan omelan yang sangat tegang - jika jawapannya tidak betul, maka seseorang mendapat tanggapan bahawa orang itu tidak memahami perkara mudah dan / atau tidak memahami intipati tugas itu. Detik ini mesti sentiasa dikawal, menyelesaikan sebarang masalah dalam matematik yang lebih tinggi, dan dalam mata pelajaran lain juga.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada dasarnya, ia juga boleh dimasukkan ke dalam penyelesaian, tetapi untuk memendekkan rakaman, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang memahaminya dan merupakan sebutan untuk perkara yang sama.

Contoh popular untuk penyelesaian do-it-yourself:

Contoh 2

Cari luas segi tiga yang dibina pada vektor jika

Formula untuk mencari luas segi tiga melalui hasil silang diberikan dalam ulasan kepada definisi. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Dalam amalan, tugas itu sangat biasa, segi tiga secara amnya boleh menyeksa anda.

Untuk menyelesaikan masalah lain, kami memerlukan:

Sifat produk vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa sifat produk silang, bagaimanapun, saya akan memasukkannya ke dalam senarai ini.

Untuk vektor arbitrari dan nombor arbitrari, sifat berikut adalah sah:

1) Dalam sumber maklumat lain, item ini biasanya tidak diserlahkan dalam sifat, tetapi ia sangat penting dari segi praktikal. Jadi biarlah.

2) - harta itu juga dibincangkan di atas, kadang-kadang dipanggil antikomutatif... Dalam erti kata lain, susunan vektor adalah penting.

3) - gabungan atau berpersatuan undang-undang produk vektor. Pemalar dikeluarkan dengan lancar di luar produk vektor. Sesungguhnya, apa yang harus mereka lakukan di sana?

4) - pengedaran atau pengedaran undang-undang produk vektor. Tiada masalah dengan pengembangan kurungan sama ada.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh ringkas:

Contoh 3

Cari jika

Penyelesaian: Mengikut syarat itu, sekali lagi diperlukan untuk mencari panjang hasil silang. Mari tulis lakaran kecil kami:

(1) Mengikut undang-undang bersekutu, kita mengalihkan pemalar di luar pembahagian hasil vektor.

(2) Kami memindahkan pemalar keluar dari modul, manakala modul "makan" tanda tolak. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Perkara berikut adalah jelas.

Jawab:

Sudah tiba masanya untuk meletakkan kayu di atas api:

Contoh 4

Kira luas segi tiga yang dibina di atas vektor jika

Penyelesaian: Luas segi tiga ditemui oleh formula ... Tangkapannya ialah vektor "tse" dan "de" sendiri diwakili sebagai jumlah vektor. Algoritma di sini adalah standard dan agak mengingatkan contoh 3 dan 4 pelajaran Hasil darab titik bagi vektor... Untuk kejelasan, mari bahagikan penyelesaian kepada tiga peringkat:

1) Pada langkah pertama, kami menyatakan produk vektor dari segi produk vektor, sebenarnya, menyatakan vektor dalam sebutan vektor... Belum lagi panjang!

(1) Gantikan ungkapan vektor.

(2) Dengan menggunakan undang-undang pengedaran, kami mengembangkan kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial.

(3) Menggunakan undang-undang bersekutu, kami mengalihkan semua pemalar di luar produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 boleh dilakukan secara serentak.

(4) Sebutan pertama dan terakhir adalah sama dengan sifar (vektor sifar) disebabkan oleh sifat yang menyenangkan. Dalam istilah kedua, kami menggunakan sifat antikomutatif bagi produk vektor:

(5) Kami mengemukakan istilah yang serupa.

Akibatnya, vektor dinyatakan dalam bentuk vektor, iaitu apa yang diperlukan untuk dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita dapati panjang produk vektor yang kita perlukan. Tindakan ini menyerupai Contoh 3:

3) Cari luas segi tiga yang diperlukan:

Keputusan peringkat 2-3 boleh diselesaikan dalam satu baris.

Jawab:

Masalah yang dipertimbangkan agak biasa dalam kertas ujian, berikut ialah contoh untuk penyelesaian bebas:

Contoh 5

Cari jika

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir tutorial. Mari lihat sejauh mana anda berhati-hati semasa mengkaji contoh sebelumnya ;-)

Hasil darab vektor bagi vektor dalam koordinat

Formulanya sangat mudah: di baris atas penentu kami menulis vektor koordinat, di baris kedua dan ketiga kami "meletakkan" koordinat vektor, dan kami meletakkan dalam susunan yang ketat- pertama koordinat vektor "ve", kemudian koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu didarab dalam susunan yang berbeza, maka garisan harus ditukar:

Contoh 10

Semak sama ada vektor ruang berikut adalah kolinear:
a)
b)

Penyelesaian: Semakan adalah berdasarkan salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor adalah kolinear, maka hasil silangnya adalah sama dengan sifar (vektor sifar): .

a) Cari hasil silang:

Oleh itu, vektor bukan kolinear.

b) Cari hasil silang:

Jawab: a) bukan kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua maklumat asas tentang produk vektor vektor.

Bahagian ini tidak akan menjadi sangat besar, kerana tidak banyak tugas di mana produk campuran vektor digunakan. Sebenarnya, segala-galanya bergantung pada definisi, makna geometri dan beberapa formula yang berfungsi.

Hasil darab campuran bagi vektor ialah hasil darab tiga vektor:

Jadi mereka berbaris dengan kereta api kecil dan sedang menunggu, mereka tidak sabar untuk mengetahuinya.

Pertama, sekali lagi definisi dan gambar:

Definisi: Kerja campur bukan coplanar vektor, diambil mengikut susunan ini dipanggil isipadu paip selari, dibina di atas vektor yang diberikan, dibekalkan dengan tanda "+" jika asasnya betul, dan tanda "-" jika asas ditinggalkan.

Mari kita lengkapkan lukisan itu. Garisan yang tidak kelihatan kepada kami dilukis dengan garis putus-putus:

Mari kita selami definisi:

2) Vektor diambil dalam susunan tertentu, iaitu, pilih atur vektor dalam produk, seperti yang anda mungkin rasa, tidak lulus tanpa akibat.

3) Sebelum mengulas tentang makna geometri, saya akan perhatikan fakta yang jelas: hasil darab campuran bagi vektor ialah NOMBOR:. Dalam kesusasteraan pendidikan, reka bentuk mungkin agak berbeza, saya digunakan untuk menandakan kerja campuran melalui, dan hasil pengiraan dengan huruf "pe".

Mengikut takrifan hasil campuran ialah isipadu paip selari dibina pada vektor (angka dilukis dengan vektor merah dan garis hitam). Iaitu, bilangannya adalah sama dengan isipadu parallelepiped ini.

Nota : lukisan adalah skematik.

4) Janganlah kita bersusah payah lagi dengan konsep asas dan orientasi ruang. Maksud bahagian akhir ialah tanda tolak boleh ditambah pada kelantangan. Dalam kata mudah, kerja bercampur boleh menjadi negatif:.

Formula untuk mengira isipadu paip selari yang dibina pada vektor mengikut terus daripada takrifan.

Dalam artikel ini, kita akan membincangkan konsep hasil silang dua vektor. Kami akan memberikan definisi yang diperlukan, menulis formula untuk mencari koordinat produk vektor, menyenaraikan dan mewajarkan sifatnya. Selepas itu, kita akan memikirkan makna geometri produk vektor dua vektor dan mempertimbangkan penyelesaian kepada pelbagai contoh tipikal.

Navigasi halaman.

Definisi hasil silang.

Sebelum mentakrifkan produk vektor, mari kita tentukan orientasi tiga tertib vektor dalam ruang tiga dimensi.

Ketepikan vektor dari satu titik. Bergantung pada arah vektor, triplet boleh ke kanan atau kiri. Mari kita lihat dari hujung vektor bagaimana putaran terpendek dari vektor berlaku. Jika putaran terpendek berlaku mengikut lawan jam, maka triplet vektor dipanggil betul, jika tidak - dibiarkan.

Sekarang kita mengambil dua vektor bukan kolinear dan. Mari kita ketepikan vektor dan dari titik A. Mari kita bina beberapa vektor berserenjang dengan kedua-dua dan dan. Jelas sekali, apabila membina vektor, kita boleh melakukan dua perkara, memberikannya sama ada satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Bergantung pada arah vektor, triplet vektor yang dipesan boleh menjadi kanan atau kiri.

Jadi kita mendekati definisi produk vektor. Ia diberikan untuk dua vektor, diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat ruang tiga dimensi.

Definisi.

Produk vektor dua vektor dan, diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi, dipanggil vektor sedemikian

Hasil darab vektor bagi vektor dan dilambangkan sebagai.

Koordinat produk vektor.

Sekarang mari kita berikan definisi kedua produk vektor, yang membolehkan anda mencari koordinatnya dengan koordinat vektor yang diberikan dan.

Definisi.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat bagi ruang tiga dimensi hasil silang dua vektor dan ialah vektor, di mana terdapat vektor koordinat.

Takrifan ini memberikan kita hasil silang dalam bentuk koordinat.

Adalah mudah untuk mewakili produk vektor dalam bentuk penentu matriks segi empat sama tertib ketiga, baris pertama adalah vektor unit, baris kedua mengandungi koordinat vektor, dan baris ketiga mengandungi koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat tertentu:

Jika kita mengembangkan penentu ini dengan unsur-unsur baris pertama, maka kita mendapat kesamaan daripada definisi produk vektor dalam koordinat (jika perlu, rujuk artikel):

Perlu diingatkan bahawa bentuk koordinat produk silang adalah konsisten sepenuhnya dengan definisi yang diberikan dalam perenggan pertama artikel ini. Selain itu, kedua-dua takrifan hasil silang ini adalah setara. Anda boleh melihat bukti fakta ini dalam buku yang ditunjukkan pada akhir artikel.

Sifat produk vektor.

Oleh kerana hasil silang dalam koordinat boleh diwakili dalam bentuk penentu matriks, perkara berikut mudah dibenarkan berdasarkan sifat produk vektor:

Sebagai contoh, mari kita buktikan sifat anti-komutatif bagi produk vektor.

Mengikut takrifan dan ... Kita tahu bahawa nilai penentu matriks diterbalikkan jika dua baris ditukar, oleh itu, , yang membuktikan sifat anti-komutatif produk vektor.

Produk vektor - contoh dan penyelesaian.

Pada asasnya terdapat tiga jenis tugas.

Dalam masalah jenis pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara mereka diberikan, dan ia diperlukan untuk mencari panjang produk vektor. Dalam kes ini, formula digunakan .

Contoh.

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor dan, jika diketahui .

Penyelesaian.

Kita tahu daripada takrifan bahawa panjang produk vektor bagi vektor dan adalah sama dengan hasil darab panjang vektor dan sinus sudut di antara mereka, oleh itu, .

Jawapan:

.

Masalah jenis kedua dikaitkan dengan koordinat vektor, di mana hasil silang, panjangnya, atau sesuatu yang lain dicari melalui koordinat vektor yang diberikan dan .

Banyak pilihan yang berbeza boleh didapati di sini. Sebagai contoh, bukan koordinat vektor dan boleh ditentukan, tetapi pengembangannya dalam vektor koordinat bentuk dan, atau vektor dan boleh ditentukan oleh koordinat titik mula dan tamatnya.

Mari kita pertimbangkan contoh biasa.

Contoh.

Dua vektor diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat ... Cari hasil silang mereka.

Penyelesaian.

Menurut definisi kedua, hasil silang dua vektor dalam koordinat ditulis sebagai:

Kami akan mencapai keputusan yang sama jika hasil silang ditulis dalam sebutan penentu

Jawapan:

.

Contoh.

Cari panjang hasil darab vektor bagi vektor dan, di manakah vektor unit bagi sistem koordinat Cartesan segi empat tepat.

Penyelesaian.

Pertama, kita mencari koordinat produk vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat tertentu.

Oleh kerana vektor dan mempunyai koordinat dan, sewajarnya (jika perlu, lihat koordinat artikel vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat), maka dengan takrifan kedua produk silang kita ada

Iaitu, hasil silang mempunyai koordinat dalam sistem koordinat tertentu.

Kami mencari panjang produk vektor sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya (kami memperoleh formula ini untuk panjang vektor dalam bahagian mencari panjang vektor):

Jawapan:

.

Contoh.

Koordinat tiga titik diberikan dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Cari beberapa vektor yang berserenjang dan pada masa yang sama.

Penyelesaian.

Vektor dan mempunyai koordinat dan, masing-masing (lihat artikel tentang mencari koordinat vektor melalui koordinat titik). Jika kita menjumpai produk vektor bagi vektor dan, maka secara takrif ia adalah vektor yang berserenjang dengan k dan k, iaitu, ia adalah penyelesaian kepada masalah kita. Cari ia

Jawapan:

- salah satu vektor serenjang.

Dalam tugasan jenis ketiga, kemahiran menggunakan sifat produk vektor vektor diuji. Selepas menggunakan sifat, formula yang sepadan digunakan.

Contoh.

Vektor dan adalah berserenjang dan panjangnya ialah 3 dan 4, masing-masing. Cari panjang hasil silang .

Penyelesaian.

Dengan sifat pengedaran produk vektor, kita boleh menulis

Disebabkan oleh sifat gabungan, kami mengeluarkan pekali berangka di luar tanda produk vektor dalam ungkapan terakhir:

Produk vektor dan adalah sama dengan sifar, kerana dan , kemudian .

Oleh kerana hasil silang adalah antikomutatif, maka.

Jadi, menggunakan sifat produk vektor, kami sampai kepada kesamaan .

Dengan keadaan vektor dan berserenjang, iaitu, sudut di antara mereka adalah sama. Iaitu, kami mempunyai semua data untuk mencari panjang yang diperlukan

Jawapan:

.

Makna geometri produk vektor.

Mengikut takrifan, panjang hasil darab vektor bagi vektor ialah ... Dan dari kursus geometri sekolah tinggi, kita tahu bahawa luas segi tiga ialah separuh hasil darab panjang kedua-dua belah segi tiga dengan sinus sudut di antara mereka. Akibatnya, panjang produk vektor adalah sama dengan dua kali luas segitiga dengan vektor dan sisi, jika ia diketepikan dari satu titik. Dalam erti kata lain, panjang produk vektor vektor dan adalah sama dengan luas segi empat selari dengan sisi dan dan sudut di antara mereka sama dengan. Ini ialah makna geometri produk vektor.