Formula untuk fungsi logaritma. Ungkapan Logaritma

sifat utama.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

alasan yang sama

Log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Peralihan kepada asas baharu

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Lihat juga:

Sifat asas logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen adalah sama dengan 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy.

Sifat asas logaritma

Mengetahui peraturan ini, anda akan mengetahui nilai sebenar eksponen dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Contoh untuk logaritma

Ungkapan logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan sifat 3.5 kami mengira

2.

3.

4. di mana .

Contoh 2. Cari x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , iaitu Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa penyebut mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut.

Formula logaritma. Penyelesaian contoh logaritma.

Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log2 7. Oleh kerana log2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan kepada kuasa sedemikian sehingga nombor b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: hasilnya adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetaknya dan selesaikan masalah.

Lihat juga:

Logaritma b kepada asas a menandakan ungkapan. Untuk mengira logaritma bermakna mencari kuasa x () di mana kesamaan itu dipenuhi

Sifat asas logaritma

Adalah perlu untuk mengetahui sifat di atas, kerana hampir semua masalah dan contoh yang berkaitan dengan logaritma diselesaikan berdasarkan mereka. Selebihnya sifat eksotik boleh diperoleh melalui manipulasi matematik dengan formula ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Apabila mengira formula untuk jumlah dan perbezaan logaritma (3.4) anda sering terjumpa. Selebihnya agak rumit, tetapi dalam beberapa tugas, ia amat diperlukan untuk memudahkan ungkapan kompleks dan mengira nilainya.

Kes biasa logaritma

Beberapa logaritma biasa ialah logaritma yang asasnya ialah sepuluh, eksponen atau dua.
Logaritma kepada asas sepuluh biasanya dipanggil logaritma perpuluhan dan hanya dilambangkan dengan lg(x).

Jelas dari rakaman itu bahawa asas tidak ditulis dalam rakaman. Contohnya

Logaritma asli ialah logaritma yang tapaknya ialah eksponen (ditandakan dengan ln(x)).

Eksponennya ialah 2.718281828…. Untuk mengingati eksponen, anda boleh mengkaji peraturan: eksponen adalah sama dengan 2.7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy. Mengetahui peraturan ini, anda akan mengetahui nilai sebenar eksponen dan tarikh lahir Leo Tolstoy.

Dan satu lagi logaritma penting kepada asas dua dilambangkan dengan

Terbitan logaritma fungsi adalah sama dengan satu dibahagikan dengan pembolehubah

Logaritma kamiran atau antiterbitan ditentukan oleh hubungan

Bahan yang diberikan sudah cukup untuk anda menyelesaikan kelas masalah yang luas berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk membantu anda memahami bahan tersebut, saya hanya akan memberikan beberapa contoh biasa daripada kurikulum sekolah dan universiti.

Contoh untuk logaritma

Ungkapan logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan sifat 3.5 kami mengira

2.
Dengan sifat perbezaan logaritma yang kita ada

3.
Menggunakan sifat 3.5 kita dapati

4. di mana .

Ungkapan yang kelihatan kompleks dipermudahkan untuk dibentuk menggunakan beberapa peraturan

Mencari nilai logaritma

Contoh 2. Cari x jika

Penyelesaian. Untuk pengiraan, kami memohon kepada penggal terakhir 5 dan 13 sifat

Kami meletakkannya dalam rekod dan berkabung

Oleh kerana asas adalah sama, kami menyamakan ungkapan

Logaritma. Tahap kemasukan.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Kira log(x) jika

Penyelesaian: Mari kita ambil logaritma pembolehubah untuk menulis logaritma melalui hasil tambah sebutannya

Ini hanyalah permulaan perkenalan kita dengan logaritma dan sifatnya. Amalkan pengiraan, perkayakan kemahiran praktikal anda - tidak lama lagi anda akan memerlukan pengetahuan yang anda peroleh untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Setelah mempelajari kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan mengembangkan pengetahuan anda kepada topik lain yang sama penting - ketaksamaan logaritma...

Sifat asas logaritma

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log6 4 + log6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log2 48 − log2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , iaitu Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log7 496.

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa penyebut mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 24; 49 = 72. Kami ada:

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log2 7. Oleh kerana log2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan logaritma logax diberikan. Kemudian untuk sebarang nombor c supaya c > 0 dan c ≠ 1, kesamaan adalah benar:

Khususnya, jika kita menetapkan c = x, kita mendapat:

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log5 16 log2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi eksponen dalam hujah. Nombor n boleh menjadi apa-apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah namanya: .

Sebenarnya, apakah yang berlaku jika nombor b dinaikkan kepada kuasa sedemikian sehingga nombor b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: hasilnya adalah nombor yang sama a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa log25 64 = log5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. logaa = 1 ialah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a asas itu sendiri adalah sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 ialah. Asas a boleh menjadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a0 = 1 adalah akibat langsung dari definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetaknya dan selesaikan masalah.

Mari kita mulakan dengan sifat logaritma satu. Perumusannya adalah seperti berikut: logaritma perpaduan adalah sama dengan sifar, iaitu, log a 1=0 untuk sebarang a>0, a≠1. Buktinya tidak sukar: kerana a 0 =1 untuk mana-mana a memenuhi syarat di atas a>0 dan a≠1, maka log kesamaan a 1=0 yang akan dibuktikan mengikuti serta-merta daripada takrifan logaritma.

Mari kita berikan contoh penggunaan harta yang dipertimbangkan: log 3 1=0, log1=0 dan .

Mari kita beralih ke harta seterusnya: logaritma nombor yang sama dengan asas adalah sama dengan satu, iaitu, log a a=1 untuk a>0, a≠1. Sesungguhnya, oleh kerana a 1 =a untuk sebarang a, maka mengikut takrifan logaritma log a a=1.

Contoh penggunaan sifat logaritma ini ialah kesamaan log 5 5=1, log 5.6 5.6 dan lne=1.

Contohnya, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 dan .

Logaritma hasil darab dua nombor positif x dan y adalah sama dengan hasil darab logaritma nombor ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma produk. Oleh kerana sifat-sifat ijazah a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, dan oleh kerana identiti logaritma utama log a x =x dan log a y =y, maka log a x ·a log a y =x·y. Oleh itu, log a x+log a y =x·y, daripadanya, mengikut takrifan logaritma, kesamaan yang dibuktikan berikut.

Mari tunjukkan contoh menggunakan sifat logaritma hasil darab: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Sifat logaritma hasil darab boleh digeneralisasikan kepada hasil darab nombor terhingga n nombor positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Kesaksamaan ini boleh dibuktikan tanpa masalah.

Sebagai contoh, logaritma asli produk boleh digantikan dengan hasil tambah tiga logaritma asli bagi nombor 4, e, dan.

Logaritma hasil bagi dua nombor positif x dan y adalah sama dengan perbezaan antara logaritma nombor ini. Sifat logaritma hasil bagi sepadan dengan formula bentuk , di mana a>0, a≠1, x dan y ialah beberapa nombor positif. Kesahan formula ini terbukti serta formula untuk logaritma produk: sejak , kemudian mengikut takrifan logaritma.

Berikut ialah contoh menggunakan sifat logaritma ini: .

Mari kita teruskan ke sifat logaritma kuasa. Logaritma darjah adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma modulus asas darjah ini. Mari kita tulis sifat logaritma kuasa ini sebagai formula: log a b p =p·log a |b|, di mana a>0, a≠1, b dan p ialah nombor sedemikian rupa sehingga darjah b p masuk akal dan b p >0.

Mula-mula kita buktikan sifat ini untuk positif b. Identiti logaritma asas membolehkan kita mewakili nombor b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ungkapan yang terhasil, disebabkan oleh sifat kuasa, adalah sama dengan p·log a b . Jadi kita sampai kepada kesamaan b p =a p·log a b, dari mana, mengikut takrifan logaritma, kita membuat kesimpulan bahawa log a b p =p·log a b.

Ia kekal untuk membuktikan sifat ini untuk negatif b. Di sini kita perhatikan bahawa ungkapan log a b p untuk negatif b masuk akal hanya untuk eksponen genap p (kerana nilai darjah b p mestilah lebih besar daripada sifar, jika tidak logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kes ini b p =|b| hlm. Kemudian b p ==b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, dari mana log a b p =p·log a |b| .

Sebagai contoh, dan ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Ia mengikuti dari harta sebelumnya sifat logaritma daripada punca: logaritma punca ke-n adalah sama dengan hasil darab pecahan 1/n dengan logaritma ungkapan radikal, iaitu, , di mana a>0, a≠1, n ialah nombor asli lebih besar daripada satu, b>0.

Buktinya adalah berdasarkan kesamaan (lihat), yang sah untuk mana-mana b positif, dan sifat logaritma kuasa: .

Berikut ialah contoh menggunakan harta ini: .

Sekarang mari kita buktikan formula untuk berpindah ke asas logaritma baharu baik hati . Untuk melakukan ini, sudah cukup untuk membuktikan kesahihan log kesamaan c b=log a b·log c a. Identiti logaritma asas membolehkan kita mewakili nombor b sebagai log a b , kemudian log c b=log c a log a b . Ia tetap menggunakan sifat logaritma darjah: log c a log a b =log a b log c a. Ini membuktikan log kesamaan c b=log a b·log c a, yang bermaksud bahawa formula peralihan kepada asas baharu logaritma juga telah dibuktikan.

Mari tunjukkan beberapa contoh menggunakan sifat logaritma ini: dan .

Formula untuk berpindah ke pangkalan baharu membolehkan anda meneruskan kerja dengan logaritma yang mempunyai asas "mudah". Sebagai contoh, ia boleh digunakan untuk pergi ke logaritma semula jadi atau perpuluhan supaya anda boleh mengira nilai logaritma daripada jadual logaritma. Formula untuk berpindah ke asas logaritma baharu juga membenarkan, dalam beberapa kes, untuk mencari nilai logaritma tertentu apabila nilai beberapa logaritma dengan asas lain diketahui.

Kes khas formula untuk peralihan kepada asas logaritma baru untuk c=b bentuk sering digunakan . Ini menunjukkan bahawa log a b dan log b a – . Sebagai contoh, .

Formula juga sering digunakan , yang sesuai untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengesahkan perkataan kami, kami akan menunjukkan cara ia boleh digunakan untuk mengira nilai logaritma borang . Kami ada . Untuk membuktikan formula ia cukup untuk menggunakan formula untuk peralihan kepada asas baru logaritma a: .

Ia kekal untuk membuktikan sifat-sifat perbandingan logaritma.

Mari kita buktikan bahawa untuk sebarang nombor positif b 1 dan b 2, b 1 log a b 2 , dan untuk a>1 – ketaksamaan log a b 1

Akhirnya, ia kekal untuk membuktikan sifat terakhir logaritma yang disenaraikan. Mari kita hadkan diri kita kepada pembuktian bahagian pertamanya, iaitu, kita akan membuktikan bahawa jika a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 1 ialah log benar a 1 b>log a 2 b . Pernyataan selebihnya bagi sifat logaritma ini dibuktikan mengikut prinsip yang serupa.

Mari gunakan kaedah yang bertentangan. Katakan untuk 1 >1, a 2 >1 dan 1 1 ialah log benar a 1 b≤log a 2 b . Berdasarkan sifat logaritma, ketaksamaan ini boleh ditulis semula sebagai Dan masing-masing, dan daripada mereka ia mengikuti bahawa log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2, masing-masing. Kemudian, mengikut sifat kuasa dengan asas yang sama, kesamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 mesti dipegang, iaitu, a 1 ≥a 2 . Jadi kami sampai kepada percanggahan dengan syarat 1

Rujukan.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis: Buku teks untuk gred 10 - 11 institusi pendidikan am.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik).

Logaritma, seperti mana-mana nombor, boleh ditambah, ditolak dan diubah dalam semua cara. Tetapi kerana logaritma bukan nombor biasa, terdapat peraturan di sini, yang dipanggil sifat utama.

Anda pastinya perlu mengetahui peraturan ini - tiada satu masalah logaritma yang serius boleh diselesaikan tanpanya. Di samping itu, terdapat sangat sedikit daripada mereka - anda boleh mempelajari segala-galanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulakan.

Menambah dan menolak logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan asas yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka boleh ditambah dan ditolak, dan:

1. log a x+log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Jadi, jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab, dan perbezaannya adalah sama dengan logaritma hasil bagi. Sila ambil perhatian: perkara utama di sini ialah alasan yang sama. Jika alasannya berbeza, peraturan ini tidak berfungsi!

Formula ini akan membantu anda mengira ungkapan logaritma walaupun bahagian individunya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apakah itu logaritma"). Lihat contoh dan lihat:

Log 6 4 + log 6 9.

Oleh kerana logaritma mempunyai asas yang sama, kami menggunakan formula jumlah:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 2 48 − log 2 3.

Asasnya adalah sama, kami menggunakan formula perbezaan:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi pangkalannya adalah sama, jadi kami mempunyai:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang anda lihat, ungkapan asal terdiri daripada logaritma "buruk", yang tidak dikira secara berasingan. Tetapi selepas transformasi, nombor normal sepenuhnya diperolehi. Banyak ujian berdasarkan fakta ini. Ya, ungkapan seperti ujian ditawarkan dalam semua kesungguhan (kadangkala hampir tiada perubahan) pada Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Mengeluarkan eksponen daripada logaritma

Sekarang mari kita merumitkan sedikit tugas. Bagaimana jika asas atau hujah logaritma ialah kuasa? Kemudian eksponen darjah ini boleh dikeluarkan dari tanda logaritma mengikut peraturan berikut:

Adalah mudah untuk melihat bahawa peraturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatinya - dalam beberapa kes ia akan mengurangkan jumlah pengiraan dengan ketara.

Sudah tentu, semua peraturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dan satu lagi perkara: belajar menggunakan semua formula bukan sahaja dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, i.e. Anda boleh memasukkan nombor sebelum logaritma masuk ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling kerap diperlukan.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 7 49 6 .

Mari kita buang darjah dalam hujah menggunakan formula pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa penyebutnya mengandungi logaritma, asas dan hujahnya adalah kuasa tepat: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kami ada:

[Kapsyen untuk gambar]

Saya rasa contoh terakhir memerlukan beberapa penjelasan. Ke mana perginya logaritma? Sehingga saat terakhir kita bekerja hanya dengan penyebut. Kami membentangkan asas dan hujah logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk kuasa dan mengeluarkan eksponen - kami mendapat pecahan "tiga tingkat".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pengangka dan penyebut mengandungi nombor yang sama: log 2 7. Oleh kerana log 2 7 ≠ 0, kita boleh mengurangkan pecahan - 2/4 akan kekal dalam penyebut. Mengikut peraturan aritmetik, empat boleh dipindahkan ke pengangka, iaitu apa yang telah dilakukan. Hasilnya ialah jawapan: 2.

Peralihan kepada asas baharu

Bercakap tentang peraturan untuk menambah dan menolak logaritma, saya secara khusus menekankan bahawa ia hanya berfungsi dengan asas yang sama. Bagaimana jika sebabnya berbeza? Bagaimana jika mereka bukan kuasa tepat nombor yang sama?

Formula untuk peralihan kepada asas baharu datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorem:

Biarkan log logaritma diberikan a x. Kemudian untuk sebarang nombor c sedemikian rupa c> 0 dan c≠ 1, kesamaan adalah benar:

[Kapsyen untuk gambar]

Khususnya, jika kita meletakkan c = x, kita dapat:

[Kapsyen untuk gambar]

Daripada formula kedua ia mengikuti bahawa asas dan hujah logaritma boleh ditukar, tetapi dalam kes ini keseluruhan ungkapan "terbalik", i.e. logaritma muncul dalam penyebut.

Formula ini jarang ditemui dalam ungkapan berangka biasa. Adalah mungkin untuk menilai betapa mudahnya mereka hanya apabila menyelesaikan persamaan logaritma dan ketaksamaan.

Namun, terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan berpindah ke asas baru. Mari kita lihat beberapa perkara ini:

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 5 16 log 2 25.

Ambil perhatian bahawa hujah kedua-dua logaritma mengandungi kuasa yang tepat. Mari kita keluarkan penunjuk: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita "terbalikkan" logaritma kedua:

[Kapsyen untuk gambar]

Memandangkan produk tidak berubah apabila menyusun semula faktor, kami dengan tenang mendarab empat dan dua, dan kemudian berurusan dengan logaritma.

Tugasan. Cari nilai ungkapan: log 9 100 lg 3.

Asas dan hujah logaritma pertama adalah kuasa yang tepat. Mari kita tulis ini dan singkirkan penunjuk:

[Kapsyen untuk gambar]

Sekarang mari kita buang logaritma perpuluhan dengan berpindah ke pangkalan baharu:

[Kapsyen untuk gambar]

Identiti logaritma asas

Selalunya dalam proses penyelesaian adalah perlu untuk mewakili nombor sebagai logaritma kepada asas tertentu. Dalam kes ini, formula berikut akan membantu kami:

Dalam kes pertama, nombor n menjadi penunjuk darjah berdiri dalam hujah. Nombor n boleh jadi apa sahaja, kerana ia hanyalah nilai logaritma.

Formula kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasa. Itulah yang dipanggil: identiti logaritma asas.

Malah, apa yang akan berlaku jika nombor b meningkatkan kuasa sehingga bilangan b kepada kuasa ini memberikan nombor a? Betul: anda mendapat nombor yang sama ini a. Baca perenggan ini dengan teliti sekali lagi - ramai orang terjebak padanya.

Seperti formula untuk berpindah ke pangkalan baharu, identiti logaritma asas kadangkala merupakan satu-satunya penyelesaian yang mungkin.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

[Kapsyen untuk gambar]

Perhatikan bahawa log 25 64 = log 5 8 - hanya mengambil kuasa dua daripada asas dan hujah logaritma. Dengan mengambil kira peraturan untuk mendarab kuasa dengan asas yang sama, kita mendapat:

[Kapsyen untuk gambar]

Jika ada yang tidak tahu, ini adalah tugas sebenar dari Peperiksaan Negeri Bersepadu :)

Unit logaritma dan sifar logaritma

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identiti yang hampir tidak boleh dipanggil sifat - sebaliknya, ia adalah akibat daripada takrifan logaritma. Mereka sentiasa muncul dalam masalah dan, secara mengejutkan, mencipta masalah walaupun untuk pelajar "maju".

1. log a a= 1 ialah unit logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma kepada mana-mana asas a dari asas ini adalah sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 ialah sifar logaritma. Pangkalan a boleh jadi apa-apa, tetapi jika hujah mengandungi satu, logaritma adalah sama dengan sifar! Kerana a 0 = 1 adalah akibat langsung daripada definisi.

Itu semua sifatnya. Pastikan anda berlatih mempraktikkannya! Muat turun helaian panduan pada permulaan pelajaran, cetaknya dan selesaikan masalah.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Logaritma dan peraturan untuk beroperasi dengannya agak komprehensif dan mudah. Oleh itu, tidak sukar untuk anda memahami topik ini. Selepas anda mempelajari semua peraturan logaritma semula jadi, sebarang masalah boleh diselesaikan secara bebas. Perkenalan pertama dengan topik ini mungkin kelihatan membosankan dan sia-sia, tetapi dengan bantuan logaritma, banyak masalah ahli matematik abad ke-16 telah diselesaikan. "Perkara apa ini?" - anda fikir. Baca artikel hingga akhir dan ketahui bahawa bahagian "ratu sains" ini mungkin menarik bukan sahaja kepada ahli matematik dan saintis sains tepat, tetapi juga kepada pelajar sekolah menengah biasa.

Definisi logaritma

Mari kita mulakan dengan definisi logaritma. Seperti yang dikatakan oleh banyak buku teks: logaritma nombor b untuk asas a (logab) ialah nombor c tertentu yang mana persamaan berikut dipegang: b=ac. Iaitu, dalam perkataan mudah, logaritma ialah kuasa tertentu yang mana kita menaikkan asas untuk mendapatkan nombor tertentu. Tetapi adalah penting untuk diingat bahawa logaritma bentuk logab masuk akal hanya apabila: a>0; a - nombor yang berbeza daripada 1; b>0, oleh itu, kami membuat kesimpulan bahawa logaritma hanya boleh didapati untuk nombor positif.

Pengelasan logaritma mengikut asas

Logaritma boleh mempunyai sebarang nombor positif di pangkalan. Tetapi terdapat juga dua jenis: logaritma semula jadi dan perpuluhan.

• Logaritma asli - logaritma dengan asas e (e ialah nombor Euler, secara berangka lebih kurang sama dengan 2.7, nombor tidak rasional yang diperkenalkan untuk fungsi eksponen y = ex), dilambangkan sebagai ln a = logea;
• Logaritma perpuluhan ialah logaritma dengan asas 10, iaitu log10a = log a.

Peraturan asas logaritma

Mula-mula anda perlu membiasakan diri dengan identiti logaritma asas: alogab=b, diikuti dengan dua peraturan asas:

• loga1 = 0 - kerana sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan 1;
• log = 1.

Terima kasih kepada penemuan logaritma, tidaklah sukar bagi kita untuk menyelesaikan sebarang persamaan eksponen secara mutlak, jawapannya tidak boleh dinyatakan dalam nombor asli, tetapi hanya dalam satu tidak rasional. Contohnya: 5x = 9, x = log59 (kerana tiada x asli untuk persamaan ini).

Operasi dengan logaritma

• loga(x · y) = logax+ logay - untuk mencari logaritma hasil darab, anda perlu menambah logaritma faktor. Sila ambil perhatian bahawa asas logaritma adalah sama. Jika kita menulis ini dalam susunan terbalik, kita mendapat peraturan untuk menambah logaritma.
• loga xy = logax - logay - untuk mencari logaritma hasil bagi, anda perlu mencari perbezaan antara logaritma dividen dan pembahagi. Sila ambil perhatian: logaritma mempunyai asas yang sama. Apabila ditulis dalam susunan terbalik, kita memperoleh peraturan untuk menolak logaritma.

• logakxp = (p/k)*logax - oleh itu, jika hujah dan asas logaritma mengandungi kuasa, maka ia boleh dikeluarkan daripada tanda logaritma.
• logax = logac xc - kes khas peraturan sebelumnya, apabila eksponen adalah sama, mereka boleh dikurangkan.
• logax = (logbx)(logba) - modul peralihan yang dipanggil, prosedur untuk mengurangkan logaritma ke pangkalan lain.
• logax = 1/logxa - kes peralihan khas, menukar tempat pangkalan dan nombor yang diberikan. Seluruh ungkapan, secara kiasan, diterbalikkan, dan logaritma dengan pangkalan baru muncul dalam penyebut.

Sejarah logaritma

Pada abad ke-16, keperluan timbul untuk menjalankan banyak pengiraan anggaran untuk menyelesaikan masalah praktikal, terutamanya dalam astronomi (contohnya, menentukan kedudukan kapal dari Matahari atau bintang).

Keperluan ini berkembang pesat dan pendaraban dan pembahagian nombor berbilang digit menimbulkan kesukaran yang ketara. Dan ahli matematik Napier, apabila membuat pengiraan trigonometri, memutuskan untuk menggantikan pendaraban intensif buruh dengan penambahan biasa, membandingkan beberapa janjang untuk ini. Kemudian pembahagian, begitu juga, digantikan dengan prosedur yang lebih mudah dan lebih dipercayai - penolakan, dan untuk mengekstrak punca ke-n, anda perlu membahagikan logaritma ungkapan radikal dengan n. Menyelesaikan masalah yang sukar dalam matematik jelas mencerminkan matlamat Napier dalam sains. Begini cara dia menulis mengenainya pada permulaan bukunya "Rhabdology":

Saya sentiasa mencuba, setakat kekuatan dan kebolehan saya, untuk membebaskan orang daripada kesukaran dan kepayahan pengiraan, yang membosankan yang biasanya menghalang ramai daripada belajar matematik.

Nama logaritma itu dicadangkan oleh Napier sendiri; ia diperoleh dengan menggabungkan perkataan Yunani, yang dalam kombinasi bermaksud "bilangan nisbah."

Asas logaritma diperkenalkan oleh Speidel. Euler meminjamnya daripada teori kuasa dan memindahkannya kepada teori logaritma. Konsep logaritma menjadi terkenal terima kasih kepada Coppe pada abad ke-19. Dan penggunaan logaritma semula jadi dan perpuluhan, serta notasi mereka, muncul terima kasih kepada Cauchy.

Pada tahun 1614, John Napier menerbitkan sebuah esei dalam bahasa Latin, "Description of the Amazing Table of Logaritms." Terdapat penerangan ringkas tentang logaritma, peraturan dan sifatnya. Ini adalah bagaimana istilah "logaritma" ditubuhkan dalam sains tepat.

Operasi logaritma dan sebutan pertamanya muncul terima kasih kepada Wallis dan Johann Bernoulli, dan ia akhirnya ditubuhkan oleh Euler pada abad ke-18.

Ia adalah merit Euler dalam memanjangkan fungsi logaritma bentuk y = logax kepada domain kompleks. Pada separuh pertama abad ke-18, bukunya "Introduction to the Analysis of Infinites" diterbitkan, yang mengandungi takrifan moden fungsi eksponen dan logaritma.

Fungsi logaritma

Satu fungsi dalam bentuk y = logax (hanya masuk akal jika: a > 0, a ≠ 1).

• Fungsi logaritma ditakrifkan oleh set semua nombor positif, kerana logaks kemasukan hanya wujud di bawah keadaan - x > 0;.
• Fungsi ini boleh mengambil semua nilai dari set R (nombor nyata). Oleh kerana setiap nombor nyata b mempunyai x positif, supaya kesamaan logaх = b berpuas hati, iaitu, persamaan ini mempunyai punca - x = ab (mengikut daripada fakta bahawa logaab = b).
• Fungsi bertambah pada selang a>0, dan berkurang pada selang 0. Jika a>0, maka fungsi mengambil nilai positif untuk x>1.

Perlu diingat bahawa mana-mana graf bagi fungsi logaritma y = logax mempunyai satu titik pegun (1; 0), kerana logа 1 = 0. Ini jelas kelihatan dalam ilustrasi graf di bawah.

Seperti yang dapat kita lihat dalam imej, fungsi itu tidak mempunyai pariti atau ganjil, tiada nilai maksimum atau minimum, dan tidak terhad di atas atau di bawah.

Fungsi logaritma y = logаx dan fungsi eksponen y = aх, dengan (а>0, а≠1), adalah saling songsang. Ini boleh dilihat dalam imej graf mereka.

Menyelesaikan masalah dengan logaritma

Biasanya, penyelesaian kepada masalah yang mengandungi logaritma adalah berdasarkan kepada menukarkannya kepada bentuk piawai atau bertujuan untuk memudahkan ungkapan di bawah tanda logaritma. Atau adakah ia berbaloi untuk menukar nombor asli biasa kepada logaritma dengan asas yang diperlukan, dan menjalankan operasi selanjutnya untuk memudahkan ungkapan.

Terdapat beberapa kehalusan yang tidak boleh dilupakan:

• Apabila menyelesaikan ketaksamaan apabila kedua-dua belah berada di bawah logaritma mengikut peraturan dengan asas yang sama, jangan tergesa-gesa untuk "membuang" tanda logaritma. Berhati-hati dengan selang monotonisitas fungsi logaritma. Oleh kerana, jika asas lebih besar daripada 1 (kes apabila fungsi meningkat), tanda ketaksamaan akan kekal tidak berubah, tetapi apabila asas lebih besar daripada 0 dan kurang daripada 1 (kes apabila fungsi berkurangan), ketaksamaan tanda akan berubah kepada sebaliknya;
• Jangan lupa takrifan logaritma: logax = b, a>0, a≠1 dan x>0, supaya tidak kehilangan punca disebabkan julat nilai yang tidak diambil kira. Julat nilai yang dibenarkan (VA) wujud untuk hampir semua fungsi kompleks.

Ini adalah kesilapan yang remeh, tetapi berskala besar yang banyak ditemui dalam perjalanan mencari jawapan yang tepat untuk sesuatu tugasan. Tidak banyak peraturan untuk menyelesaikan logaritma, jadi topik ini lebih mudah daripada yang lain dan yang berikutnya, tetapi ia patut difahami dengan baik.

Kesimpulan

Topik ini mungkin kelihatan rumit dan menyusahkan pada pandangan pertama, tetapi apabila anda mengkajinya dengan lebih mendalam dan lebih mendalam, anda mula memahami bahawa topik itu hanya berakhir, dan tiada apa yang menyebabkan sebarang kesulitan. Kami telah merangkumi semua sifat, peraturan dan juga ralat yang berkaitan dengan topik logaritma. Semoga berjaya dalam pelajaran!