Kalkulator dalam talian. Menyelesaikan ketaksamaan: linear, kuadratik dan pecahan
Ketaksamaan kuadratik. Panduan Komprehensif (2019)
Untuk mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadratik, kita perlu memahami apa itu fungsi kuadratik dan apakah sifat yang dimilikinya.
Anda mungkin tertanya-tanya mengapa fungsi kuadratik diperlukan sama sekali? Di manakah grafnya (parabola) boleh digunakan? Ya, anda hanya perlu melihat sekeliling, dan anda akan melihatnya setiap hari Kehidupan seharian awak jumpa dia. Adakah anda perasan bagaimana bola yang dibaling terbang dalam pendidikan jasmani? "Dalam arka"? Jawapan yang paling tepat ialah "parabola"! Dan sepanjang trajektori apakah jet itu bergerak di dalam air pancut? Ya, juga dalam parabola! Bagaimanakah peluru atau peluru terbang? Betul, juga dalam parabola! Oleh itu, mengetahui sifat-sifat fungsi kuadratik, adalah mungkin untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal. Sebagai contoh, pada sudut apakah bola harus dibaling untuk memastikan jarak yang paling jauh? Atau, di manakah peluru itu akan berakhir jika anda melancarkannya pada sudut tertentu? dan lain-lain.
Fungsi kuadratik
Jadi, mari kita fikirkan.
Cth, . Apakah persamaan di sini, dan? Sudah tentu!
Bagaimana jika, i.e. kurang daripada sifar? Sudah tentu, kita "sedih", yang bermaksud cawangan akan diarahkan ke bawah! Mari lihat graf.
Rajah ini menunjukkan graf bagi suatu fungsi. Sejak, i.e. kurang daripada sifar, cabang parabola diarahkan ke bawah. Di samping itu, anda mungkin sudah perasan bahawa cabang parabola ini bersilang dengan paksi, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai 2 punca, dan fungsi itu mengambil nilai positif dan negatif!
Pada mulanya, apabila kita memberikan definisi fungsi kuadratik, ia dikatakan bahawa dan ialah beberapa nombor. Bolehkah mereka sama dengan sifar? Sudah tentu mereka boleh! Saya akan membukanya semula rahsia yang lebih besar(yang bukan rahsia sama sekali, tetapi patut disebut): tiada sekatan yang dikenakan ke atas nombor ini (dan) sama sekali!
Baiklah, mari kita lihat apa yang berlaku kepada graf jika dan sama dengan sifar.
Seperti yang anda lihat, graf bagi fungsi (dan) yang sedang dipertimbangkan telah beralih supaya bucunya kini berada pada titik dengan koordinat, iaitu, di persimpangan paksi dan, ini tidak mempunyai kesan ke atas arah cawangan. . Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa mereka bertanggungjawab untuk "pergerakan" graf parabola di sepanjang sistem koordinat.
Graf fungsi menyentuh paksi pada satu titik. Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca. Oleh itu, fungsi mengambil nilai lebih besar daripada atau sama dengan sifar.
Kami mengikuti logik yang sama dengan graf fungsi. Ia menyentuh paksi-x pada satu titik. Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca. Oleh itu, fungsi mengambil nilai kurang daripada atau sama dengan sifar, iaitu.
Oleh itu, untuk menentukan tanda ungkapan, perkara pertama yang perlu anda lakukan ialah mencari punca persamaan. Ini akan sangat berguna kepada kami.
Ketaksamaan kuadratik
Apabila menyelesaikan ketaksamaan tersebut, kita memerlukan keupayaan untuk menentukan di mana fungsi kuadratik lebih besar, kurang atau sama dengan sifar. Itu dia:
- jika kita mempunyai ketaksamaan bentuk, maka sebenarnya tugas itu datang kepada menentukan selang berangka nilai di mana parabola terletak di atas paksi.
- jika kita mempunyai ketaksamaan bentuk, maka sebenarnya tugasnya adalah untuk menentukan selang berangka nilai x yang mana parabola terletak di bawah paksi.
Jika ketaksamaan tidak ketat, maka akar (koordinat persilangan parabola dengan paksi) dimasukkan ke dalam selang berangka yang dikehendaki dalam kes ketidaksamaan yang ketat, ia dikecualikan.
Ini semua agak formal, tetapi jangan putus asa atau takut! Sekarang mari kita lihat contoh, dan semuanya akan jatuh ke tempatnya.
Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, kami akan mematuhi algoritma yang diberikan, dan kejayaan yang tidak dapat dielakkan menanti kami!
| Algoritma | Contoh: |
| 1) Mari kita tuliskan ketaksamaan yang sepadan persamaan kuadratik(hanya tukar tanda ketaksamaan kepada tanda sama “=”). | |
| 2) Mari kita cari punca-punca persamaan ini. | |
| 3) Tandakan akar pada paksi dan tunjukkan secara skematik orientasi cabang parabola (“atas” atau “bawah”) |  |
| 4) Mari letakkan tanda pada paksi yang sepadan dengan tanda fungsi kuadratik: di mana parabola berada di atas paksi, kami meletakkan " ", dan di mana di bawah - " ". |  |
| 5) Tuliskan selang yang sepadan dengan “ ” atau “ ”, bergantung pada tanda ketaksamaan. Jika ketaksamaan tidak ketat, akarnya termasuk dalam selang jika ia ketat, mereka tidak. |
faham? Kemudian teruskan dan sematkannya!
Contoh:
Nah, adakah ia berjaya? Jika anda mempunyai sebarang kesulitan, cari penyelesaian.
Penyelesaian:
Mari tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Ketaksamaan tidak ketat, jadi akar dimasukkan dalam selang:
Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan:
Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini:
Mari kita tandakan secara skematik akar yang diperoleh pada paksi dan susun tanda-tanda:
Mari kita tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Ketaksamaan adalah ketat, jadi akar tidak termasuk dalam selang:
Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan:
Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini:
persamaan ini mempunyai satu punca
Mari kita tandakan secara skematik akar yang diperoleh pada paksi dan susun tanda-tanda:
Mari tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Untuk mana-mana, fungsi mengambil nilai bukan negatif. Oleh kerana ketidaksamaan itu tidak ketat, jawapannya adalah.
Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan:
Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini:
Mari kita lukiskan graf parabola secara skematik dan susun tandanya:
Mari tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Untuk mana-mana, fungsi mengambil nilai positif, oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan ialah selang:
KETIDAKSAMAAN KUASA. TAHAP PURATA
Fungsi kuadratik.
Sebelum bercakap tentang topik "ketaksamaan kuadratik", mari kita ingat apa itu fungsi kuadratik dan apakah grafnya.
| Fungsi kuadratik ialah fungsi bentuk, |
Dengan kata lain, ini polinomial darjah kedua.
Graf fungsi kuadratik ialah parabola (ingat apa itu?). Cawangannya diarahkan ke atas jika "a) fungsi hanya mengambil nilai positif untuk semua, dan di kedua () - hanya yang negatif:
Dalam kes apabila persamaan () mempunyai tepat satu punca (contohnya, jika diskriminasi ialah sifar), ini bermakna graf menyentuh paksi:
Kemudian, serupa dengan kes sebelumnya, untuk " .
Jadi, baru-baru ini kami belajar cara untuk menentukan di mana fungsi kuadratik adalah lebih besar daripada sifar dan di mana ia adalah kurang:
Jika ketaksamaan kuadratik tidak ketat, maka akar-akarnya termasuk dalam selang berangka jika ia ketat, mereka tidak.
Jika hanya ada satu akar, tidak mengapa, tanda yang sama akan ada di mana-mana. Jika tiada punca, semuanya bergantung hanya pada pekali: jika "25((x)^(2))-30x+9
Jawapan:
2) 25((x)^(2))-30x+9>
Tiada akar, jadi keseluruhan ungkapan di sebelah kiri mengambil tanda pekali sebelum: Fungsi kuadratik ialah fungsi bentuk: , Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola. Cawangannya diarahkan ke atas jika, dan ke bawah jika: Jenis ketaksamaan kuadratik: Semua ketaksamaan kuadratik dikurangkan kepada empat jenis berikut: Algoritma penyelesaian: Definisi ketaksamaan kuadratik Nota 1 Ketaksamaan itu dipanggil kuadratik kerana pembolehubah adalah kuasa dua. Ketaksamaan kuadratik juga dipanggil ketidaksamaan darjah kedua. Contoh 1 Contoh. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – ketaksamaan kuadratik. Seperti yang dapat dilihat daripada contoh, tidak semua unsur ketaksamaan bentuk $ax^2+bx+c > 0$ hadir. Contohnya, dalam ketaksamaan $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ tiada istilah bebas (istilah $с$), dan dalam ketaksamaan $11z^2+8 \le 0$ tiada istilah dengan pekali $b$. Ketaksamaan sedemikian juga kuadratik, tetapi ia juga dipanggil ketaksamaan kuadratik tidak lengkap. Ini hanya bermakna bahawa pekali $b$ atau $c$ adalah sama dengan sifar. Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, kaedah asas berikut digunakan: Nota 2 Kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik $ax^2+bx+c > 0$ (atau dengan tanda $ Selang ini adalah menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. Nota 3 Kaedah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dalam bentuk $ax^2+bx+c > 0$ (tanda ketaksamaan juga boleh menjadi $ Penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik dengan tanda $""$ - selang positif, dengan tanda $"≤"$ dan $"≥"$ - selang negatif dan positif (masing-masing), termasuk mata yang sepadan dengan sifar trinomial. Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan mengasingkan kuasa dua binomial adalah dengan beralih kepada ketaksamaan setara dalam bentuk $(x-n)^2 > m$ (atau dengan tanda $ Nota 4 Selalunya, apabila menyelesaikan ketaksamaan, ia perlu dikurangkan kepada ketaksamaan kuadratik dalam bentuk $ax^2+bx+c > 0$ (tanda ketaksamaan juga boleh menjadi $ ketaksamaan yang berkurangan kepada kuadratik. Nota 5 Cara paling mudah untuk mengurangkan ketaksamaan kepada kuadratik ialah menyusun semula istilah dalam ketaksamaan asal atau memindahkannya, sebagai contoh, dari sebelah kanan ke kiri. Sebagai contoh, apabila memindahkan semua sebutan ketaksamaan $7x > 6-3x^2$ dari sebelah kanan ke kiri, kami memperoleh ketaksamaan kuadratik dalam bentuk $3x^2+7x-6 > 0$. Jika kita menyusun semula istilah di sebelah kiri ketaksamaan $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ dalam tertib menurun bagi darjah pembolehubah $y$, maka ini akan membawa kepada ketaksamaan kuadratik setara bagi bentuk $5.3x^2+1.5y-2 \ge 0$. Apabila menyelesaikan ketaksamaan rasional, ia sering dikurangkan kepada ketaksamaan kuadratik. Dalam kes ini, adalah perlu untuk memindahkan semua istilah ke sebelah kiri dan mengubah ungkapan yang terhasil kepada bentuk trinomial kuadratik. Contoh 2 Contoh. Kurangkan ketaksamaan $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ kepada satu kuadratik. Penyelesaian. Mari kita alihkan semua istilah ke sebelah kiri ketaksamaan: $7 \cdot (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. Menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan dan tanda kurungan pembukaan, kami memudahkan ungkapan di sebelah kiri ketaksamaan: $7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21.5x-19 > 0$. Jawab: $x^2-21.5x-19 > 0$. Kaedah selang dianggap sebagai kaedah universal untuk menyelesaikan ketaksamaan. Ia adalah yang paling mudah digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dalam satu pembolehubah. Dalam bahan ini kita akan mempertimbangkan semua aspek menggunakan kaedah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. Untuk memudahkan asimilasi bahan, kami akan mempertimbangkan sejumlah besar contoh tahap kerumitan yang berbeza-beza. Yandex.RTB R-A-339285-1 Mari kita pertimbangkan algoritma untuk menggunakan kaedah selang dalam versi yang disesuaikan, yang sesuai untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. Versi kaedah selang inilah yang diperkenalkan kepada pelajar dalam pelajaran algebra. Jangan pula kita merumitkan tugas. Mari kita beralih kepada algoritma itu sendiri. Kami mempunyai trinomial kuadratik a · x 2 + b · x + c dari sebelah kiri ketaksamaan kuadratik. Kami mendapati sifar bagi trinomial ini. Dalam sistem koordinat kita menggambarkan garis koordinat. Kami menandakan akar di atasnya. Untuk kemudahan, kami boleh memperkenalkan cara yang berbeza untuk mencatat mata untuk ketidaksamaan yang ketat dan tidak ketat. Mari kita bersetuju bahawa kita akan menggunakan mata "kosong" untuk menandakan koordinat semasa menyelesaikan ketaksamaan yang ketat, dan mata biasa untuk menandakan yang tidak ketat. Dengan menandakan titik, kita mendapat beberapa selang pada paksi koordinat. Jika pada langkah pertama kami mendapati sifar, maka kami menentukan tanda-tanda nilai trinomial untuk setiap selang yang terhasil. Jika kami tidak menerima sifar, maka kami melakukan tindakan ini untuk keseluruhan garis nombor. Kami menandakan jurang dengan tanda "+" atau "-". Selain itu, kami akan memperkenalkan teduhan dalam kes di mana kami menyelesaikan ketaksamaan dengan tanda > atau ≥ dan< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ». Dengan mencatat tanda-tanda nilai trinomial dan menggunakan teduhan pada segmen, kami memperoleh imej geometri set berangka tertentu, yang sebenarnya merupakan penyelesaian kepada ketidaksamaan. Apa yang perlu kita lakukan ialah menulis jawapannya. Mari kita bincangkan dengan lebih terperinci mengenai langkah ketiga algoritma, yang melibatkan penentuan tanda jurang. Terdapat beberapa pendekatan untuk menentukan tanda. Mari kita lihat mereka dalam urutan, bermula dengan yang paling tepat, walaupun bukan yang terpantas. Kaedah ini melibatkan pengiraan nilai trinomial pada beberapa titik dalam selang yang terhasil. Contoh 1 Sebagai contoh, mari kita ambil trinomial x 2 + 4 · x − 5 . Punca-punca trinomial 1 dan - 5 ini membahagikan paksi koordinat kepada tiga selang (− ∞, − 5), (− 5, 1) dan (1, + ∞). Mari kita mulakan dengan selang (1, + ∞). Untuk memudahkan tugas kita, mari kita ambil x = 2. Kami mendapat 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7. 7 ialah nombor positif. Ini bermakna bahawa nilai trinomial kuadratik ini pada selang (1, + ∞) adalah positif dan boleh dilambangkan dengan tanda “+”. Untuk menentukan tanda selang (− 5, 1) kita ambil x = 0. Kami mempunyai 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Letakkan tanda “-” di atas selang waktu. Untuk selang (− ∞, − 5) kita ambil x = − 6, kita dapat (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Kami menandakan selang ini dengan tanda "+". Anda boleh mengenal pasti tanda dengan lebih cepat dengan mengambil kira fakta berikut. Dengan diskriminasi positif, trinomial segi empat sama dengan dua punca memberikan tanda bergantian nilainya pada selang di mana garis nombor dibahagikan dengan punca trinomial ini. Ini bermakna kita tidak semestinya perlu menentukan tanda untuk setiap selang. Ia cukup untuk menjalankan pengiraan untuk satu dan meletakkan tanda untuk yang lain, dengan mengambil kira prinsip bergantian. Sekiranya dikehendaki, anda boleh melakukan tanpa pengiraan sama sekali dengan membuat kesimpulan tentang tanda-tanda berdasarkan nilai pekali utama. Jika a > 0, maka kita mendapat urutan tanda +, −, +, dan jika a< 0 – то − , + , − . Untuk trinomial kuadratik dengan satu punca, apabila diskriminasi adalah sifar, kita mendapat dua selang pada paksi koordinat dengan tanda yang sama. Ini bermakna kita menentukan tanda untuk salah satu selang dan menetapkan yang sama untuk yang kedua. Di sini kita juga menggunakan kaedah menentukan tanda berdasarkan nilai pekali a: jika a > 0, maka ia akan menjadi +, +, dan jika a< 0 , то − , − . Jika trinomial segi empat sama tidak mempunyai punca, maka tanda-tanda nilainya untuk keseluruhan garis koordinat bertepatan dengan kedua-dua tanda pekali pendahulu a dan tanda istilah bebas c. Sebagai contoh, jika kita mengambil trinomial kuadratik − 4 x 2 − 7, ia tidak mempunyai punca (diskriminasinya negatif). Pekali bagi x 2 ialah negatif − 4, dan pintasan − 7 juga negatif. Ini bermakna bahawa pada selang (− ∞, + ∞) nilainya adalah negatif. Mari kita lihat contoh penyelesaian ketaksamaan kuadratik menggunakan algoritma yang dibincangkan di atas. Contoh 2 Selesaikan ketaksamaan 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0. Penyelesaian
Kami menggunakan kaedah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan. Untuk melakukan ini, mari kita cari punca bagi trinomial kuasa dua 8 x 2 − 4 x − 1 . Disebabkan fakta bahawa pekali untuk x adalah genap, adalah lebih mudah bagi kita untuk mengira bukan diskriminasi, tetapi bahagian keempat diskriminasi: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 . Diskriminasi lebih besar daripada sifar. Ini membolehkan kita mencari dua punca trinomial kuasa dua: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 dan x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Mari tandakan nilai ini pada garis nombor. Oleh kerana persamaan tidak ketat, kami menggunakan titik biasa pada graf. Sekarang, menggunakan kaedah selang, kami menentukan tanda-tanda tiga selang yang terhasil. Pekali x 2 adalah sama dengan 8, iaitu, positif, oleh itu, urutan tanda akan menjadi +, −, +. Memandangkan kami sedang menyelesaikan ketaksamaan dengan tanda ≥, kami menggambarkan lorekan pada selang dengan tanda tambah: Mari kita tulis set berangka secara analitik daripada imej grafik yang terhasil. Kita boleh melakukan ini dalam dua cara: Jawapan:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) atau x ≤ 1-3 4 , x ≥ 1 + 3 4 . Contoh 3 Selesaikan ketaksamaan kuadratik - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Penyelesaian
Mula-mula, mari kita cari punca trinomial kuadratik dari sebelah kiri ketaksamaan: D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Ini adalah ketidaksamaan yang ketat, jadi kami menggunakan titik "kosong" pada graf. Dengan koordinat 7. Sekarang kita perlu menentukan tanda-tanda pada selang yang terhasil (− ∞, 7) dan (7, + ∞). Oleh kerana diskriminasi trinomial kuadratik ialah sifar dan pekali pendahuluan adalah negatif, kami meletakkan tanda − , − : Memandangkan kita sedang menyelesaikan ketidaksamaan dengan tanda< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: Dalam kes ini, penyelesaian adalah kedua-dua selang (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) . Jawapan:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) atau dalam tatatanda lain x ≠ 7 . Contoh 4 Adakah ketaksamaan kuadratik x 2 + x + 7< 0 решения? Penyelesaian
Mari kita cari punca trinomial kuadratik dari sebelah kiri ketaksamaan. Untuk melakukan ini, kita dapati diskriminasi: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminasi adalah kurang daripada sifar, yang bermaksud tiada punca sebenar. Imej grafik akan kelihatan seperti garis nombor tanpa tanda titik di atasnya. Mari kita tentukan tanda nilai trinomial kuadratik. Di D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : Dalam kes ini, kita boleh menggunakan lorekan pada ruang dengan tanda "-". Tetapi kami tidak mempunyai jurang seperti itu. Oleh itu, lukisan kelihatan seperti ini: Hasil daripada pengiraan, kami menerima satu set kosong. Ini bermakna bahawa ketaksamaan kuadratik ini tidak mempunyai penyelesaian. Jawapan: Tidak. Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter Bahan tambahan Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 9
Kawan-kawan, kita sudah tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Sekarang mari kita belajar bagaimana untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. $ax^2+bx+c>0$. Tanda ketaksamaan boleh menjadi sebarang, pekali a, b, c boleh menjadi sebarang nombor ($a≠0$). Mari perkenalkan satu lagi peraturan penting: Contoh. Mari kita lukiskan persamaan kuadratik. Paksi-x bersilang pada titik 4 dan -2. 2. Selesaikan ketaksamaan: $5x-6 Penyelesaian: Mari kita bina graf bagi persamaan kuadratik, paksi-x bersilang pada titik 2 dan 3. 3. Selesaikan ketaksamaan: $2^2+2x+1≥0$. Penyelesaian: 4. Selesaikan ketaksamaan: $x^2+x-2 Tahap purata Untuk mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadratik, kita perlu memahami apa itu fungsi kuadratik dan apakah sifat yang dimilikinya. Anda mungkin tertanya-tanya mengapa fungsi kuadratik diperlukan sama sekali? Di manakah grafnya (parabola) boleh digunakan? Ya, anda hanya perlu melihat sekeliling dan anda akan perasan bahawa anda menemuinya setiap hari dalam kehidupan seharian. Adakah anda perasan bagaimana bola yang dibaling terbang dalam pendidikan jasmani? "Dalam arka"? Jawapan yang paling tepat ialah "parabola"! Dan sepanjang trajektori apakah jet itu bergerak di dalam air pancut? Ya, juga dalam parabola! Bagaimanakah peluru atau peluru terbang? Betul, juga dalam parabola! Oleh itu, mengetahui sifat-sifat fungsi kuadratik, adalah mungkin untuk menyelesaikan banyak masalah praktikal. Sebagai contoh, pada sudut apakah bola harus dibaling untuk memastikan jarak yang paling jauh? Atau, di manakah peluru itu akan berakhir jika anda melancarkannya pada sudut tertentu? dan lain-lain. Jadi, mari kita fikirkan. Cth, . Apakah persamaan di sini, dan? Sudah tentu! Bagaimana jika, i.e. kurang daripada sifar? Sudah tentu, kita "sedih", yang bermaksud cawangan akan diarahkan ke bawah! Mari lihat graf. Rajah ini menunjukkan graf bagi suatu fungsi. Sejak, i.e. kurang daripada sifar, cabang parabola diarahkan ke bawah. Di samping itu, anda mungkin sudah perasan bahawa cabang parabola ini bersilang dengan paksi, yang bermaksud bahawa persamaan mempunyai 2 punca, dan fungsi itu mengambil nilai positif dan negatif! Pada mulanya, apabila kita memberikan definisi fungsi kuadratik, ia dikatakan bahawa dan ialah beberapa nombor. Bolehkah mereka sama dengan sifar? Sudah tentu mereka boleh! Saya juga akan mendedahkan rahsia yang lebih besar (yang bukan rahsia sama sekali, tetapi patut disebut): tiada sekatan yang dikenakan ke atas nombor ini (dan) sama sekali! Baiklah, mari kita lihat apa yang berlaku kepada graf jika dan sama dengan sifar. Seperti yang anda lihat, graf bagi fungsi (dan) yang sedang dipertimbangkan telah beralih supaya bucunya kini berada pada titik dengan koordinat, iaitu, di persimpangan paksi dan, ini tidak mempunyai kesan ke atas arah cawangan. . Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa mereka bertanggungjawab untuk "pergerakan" graf parabola di sepanjang sistem koordinat. Graf fungsi menyentuh paksi pada satu titik. Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca. Oleh itu, fungsi mengambil nilai lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Kami mengikuti logik yang sama dengan graf fungsi. Ia menyentuh paksi-x pada satu titik. Ini bermakna persamaan mempunyai satu punca. Oleh itu, fungsi mengambil nilai kurang daripada atau sama dengan sifar, iaitu. Oleh itu, untuk menentukan tanda ungkapan, perkara pertama yang perlu anda lakukan ialah mencari punca persamaan. Ini akan sangat berguna kepada kami. Apabila menyelesaikan ketaksamaan tersebut, kita memerlukan keupayaan untuk menentukan di mana fungsi kuadratik lebih besar, kurang atau sama dengan sifar. Itu dia: Jika ketaksamaan tidak ketat, maka akar (koordinat persilangan parabola dengan paksi) dimasukkan ke dalam selang berangka yang dikehendaki dalam kes ketidaksamaan yang ketat, ia dikecualikan. Ini semua agak formal, tetapi jangan putus asa atau takut! Sekarang mari kita lihat contoh, dan semuanya akan jatuh ke tempatnya. Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, kami akan mematuhi algoritma yang diberikan, dan kejayaan yang tidak dapat dielakkan menanti kami! faham? Kemudian teruskan dan sematkannya! Contoh: Nah, adakah ia berjaya? Jika anda mempunyai sebarang kesulitan, cari penyelesaian. Penyelesaian: Mari tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Ketaksamaan tidak ketat, jadi akar dimasukkan dalam selang: Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan: Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini: Mari kita tandakan secara skematik akar yang diperoleh pada paksi dan susun tanda-tanda: Mari kita tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Ketaksamaan adalah ketat, jadi akar tidak termasuk dalam selang: Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan: Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini: persamaan ini mempunyai satu punca Mari kita tandakan secara skematik akar yang diperoleh pada paksi dan susun tanda-tanda: Mari tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Untuk mana-mana, fungsi mengambil nilai bukan negatif. Oleh kerana ketidaksamaan itu tidak ketat, jawapannya adalah. Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan: Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik ini: Mari kita lukiskan graf parabola secara skematik dan susun tandanya: Mari tuliskan selang yang sepadan dengan tanda " ", kerana tanda ketaksamaan ialah " ". Untuk mana-mana, fungsi mengambil nilai positif, oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan ialah selang: Sebelum bercakap tentang topik "ketaksamaan kuadratik", mari kita ingat apa itu fungsi kuadratik dan apakah grafnya. Dengan kata lain, ini polinomial darjah kedua. Graf fungsi kuadratik ialah parabola (ingat apa itu?). Cawangannya diarahkan ke atas jika "a) fungsi hanya mengambil nilai positif untuk semua, dan di kedua () - hanya yang negatif: Dalam kes apabila persamaan () mempunyai tepat satu punca (contohnya, jika diskriminasi ialah sifar), ini bermakna graf menyentuh paksi: Kemudian, serupa dengan kes sebelumnya, untuk " . Jadi, baru-baru ini kami belajar cara untuk menentukan di mana fungsi kuadratik adalah lebih besar daripada sifar dan di mana ia adalah kurang: Jika ketaksamaan kuadratik tidak ketat, maka akar-akarnya termasuk dalam selang berangka jika ia ketat, mereka tidak. Jika hanya ada satu akar, tidak mengapa, tanda yang sama akan ada di mana-mana. Jika tiada punca, semuanya bergantung hanya pada pekali: jika "25((x)^(2))-30x+9 Jawapan: 2) 25((x)^(2))-30x+9> Tiada akar, jadi keseluruhan ungkapan di sebelah kiri mengambil tanda pekali sebelum: Fungsi kuadratik ialah fungsi bentuk: , Graf bagi fungsi kuadratik ialah parabola. Cawangannya diarahkan ke atas jika, dan ke bawah jika: Jenis ketaksamaan kuadratik: Semua ketaksamaan kuadratik dikurangkan kepada empat jenis berikut: Algoritma penyelesaian:
KETIDAKSAMAAN KUASA. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Algoritma
Contoh:
1) Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan dengan ketaksamaan (cukup tukar tanda ketaksamaan kepada tanda sama " ").
2) Mari kita cari punca-punca persamaan ini.
3) Tandakan akar pada paksi dan tunjukkan secara skematik orientasi cabang parabola (“atas” atau “bawah”)
4) Mari letakkan tanda pada paksi yang sepadan dengan tanda fungsi kuadratik: di mana parabola berada di atas paksi, kami meletakkan " ", dan di mana di bawah - " ".
5) Tuliskan selang yang sepadan dengan “ ” atau “ ”, bergantung pada tanda ketaksamaan. Jika ketaksamaan tidak ketat, akarnya termasuk dalam selang jika ia ketat, mereka tidak.
Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik
Kaedah grafik
Kaedah selang waktu
Mengasingkan kuasa dua binomial
Ketaksamaan yang berkurangan kepada kuadratik
Algoritma untuk menggunakan kaedah selang
Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Ketaksamaan kuadratik, contoh penyelesaian"
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda! Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.
Buku teks elektronik "Geometri Boleh Difahami" untuk gred 7-9
Kompleks pendidikan 1C: "Geometri, gred 9"
Ketaksamaan kuadratik Jenis ketidaksamaan ini dipanggil:
Semua peraturan yang kami takrifkan untuk ketaksamaan linear juga berfungsi di sini. Ulangi peraturan ini sendiri!
Jika trinomial $ax^2+bx+c$ mempunyai diskriminasi negatif, maka jika anda menggantikan sebarang nilai x, tanda trinomial akan sama dengan tanda pekali a.Contoh penyelesaian ketaksamaan kuadratik
boleh diselesaikan dengan memplot graf atau memplot selang. Mari kita lihat contoh penyelesaian kepada ketidaksamaan.
1. Selesaikan ketaksamaan: $x^2-2x-8
Penyelesaian:
Mari kita cari punca-punca persamaan $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ dan $x_2=-2$.
Trinomial kuadratik kami mengambil nilai kurang daripada sifar di mana graf fungsi terletak di bawah paksi-x.
Melihat graf fungsi, kita mendapat jawapan: $x^2-2x-8 Jawapan: $-2
Mari kita ubah ketaksamaan: $-x^2+5x-6 Mari bahagikan ketaksamaan dengan tolak satu. Jangan lupa untuk menukar tanda: $x^2-5x+6>0$.
Mari cari punca trinomial: $x_1=2$ dan $x_2=3$.
Trinomial kuadratik kami mengambil nilai lebih besar daripada sifar di mana graf fungsi terletak di atas paksi-x. Melihat graf fungsi, kita mendapat jawapan: $5x-6
Mari kita cari punca trinomial kita, untuk ini kita mengira diskriminasi: $D=2^2-4*2=-4 Diskriminasi adalah kurang daripada sifar. Mari gunakan peraturan yang kami perkenalkan pada mulanya. Tanda ketaksamaan akan sama dengan tanda pekali kuasa dua. Dalam kes kami, pekali adalah positif, yang bermaksud persamaan kami akan menjadi positif untuk sebarang nilai x.
Jawapan: Untuk semua x, ketaksamaan adalah lebih besar daripada sifar.
Penyelesaian:
Mari cari punca trinomial dan letakkannya pada garis koordinat: $x_1=-2$ dan $x_2=1$. 
Jika $x>1$ dan $x Jika $x>-2$ dan $x Jawapan: $x>-2$ dan $xMasalah untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik
Selesaikan ketaksamaan:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Ketaksamaan kuadratik. The Ultimate Guide (2019)
Fungsi kuadratik
Ketaksamaan kuadratik
Algoritma
Contoh:
1) Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan dengan ketaksamaan (cukup tukar tanda ketaksamaan kepada tanda sama “=”).
2) Mari kita cari punca-punca persamaan ini.
3) Tandakan akar pada paksi dan tunjukkan secara skematik orientasi cabang parabola (“atas” atau “bawah”)
4) Mari letakkan tanda pada paksi yang sepadan dengan tanda fungsi kuadratik: di mana parabola berada di atas paksi, kami meletakkan " ", dan di mana di bawah - " ".
5) Tuliskan selang yang sepadan dengan “ ” atau “ ”, bergantung pada tanda ketaksamaan. Jika ketaksamaan tidak ketat, akarnya termasuk dalam selang jika ia ketat, mereka tidak.
KETIDAKSAMAAN KUASA. TAHAP PURATA
Fungsi kuadratik.
Fungsi kuadratik ialah fungsi bentuk,
KETIDAKSAMAAN KUASA. SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA
Algoritma
Contoh:
1) Mari kita tulis persamaan kuadratik yang sepadan dengan ketaksamaan (cukup tukar tanda ketaksamaan kepada tanda sama " ").
2) Mari kita cari punca-punca persamaan ini.
3) Tandakan akar pada paksi dan tunjukkan secara skematik orientasi cabang parabola (“atas” atau “bawah”)
4) Mari letakkan tanda pada paksi yang sepadan dengan tanda fungsi kuadratik: di mana parabola berada di atas paksi, kami meletakkan " ", dan di mana di bawah - " ".
5) Tuliskan selang yang sepadan dengan “ ” atau “ ”, bergantung pada tanda ketaksamaan. Jika ketaksamaan tidak ketat, akarnya termasuk dalam selang jika ia ketat, mereka tidak.
