Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri

Persamaan trigonometri bukanlah topik yang mudah. Mereka terlalu pelbagai.) Contohnya, ini:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = katil(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Dan lain-lain...

Tetapi raksasa trigonometri ini (dan semua yang lain) mempunyai dua ciri biasa dan wajib. Pertama - anda tidak akan percaya - terdapat fungsi trigonometri dalam persamaan.) Kedua: semua ungkapan dengan x ditemui dalam fungsi yang sama ini. Dan hanya di sana! Jika X muncul di suatu tempat di luar, Sebagai contoh, sin2x + 3x = 3, ini sudah menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian memerlukan pendekatan individu. Kami tidak akan menganggap mereka di sini.

Kami tidak akan menyelesaikan persamaan jahat dalam pelajaran ini sama ada.) Di sini kita akan berurusan dengan persamaan trigonometri termudah. kenapa? Ya kerana penyelesaiannya mana-mana persamaan trigonometri terdiri daripada dua peringkat. Pada peringkat pertama, persamaan jahat dikurangkan kepada yang mudah melalui pelbagai transformasi. Pada yang kedua, persamaan termudah ini diselesaikan. Tiada jalan lain.

Jadi, jika anda mempunyai masalah pada peringkat kedua, peringkat pertama tidak masuk akal.)

Apakah rupa persamaan trigonometri asas?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Di sini A bermaksud sebarang nombor. mana-mana.

Ngomong-ngomong, di dalam fungsi mungkin tidak ada X tulen, tetapi beberapa jenis ungkapan, seperti:

cos(3x+π /3) = 1/2

dan lain-lain. Ini merumitkan kehidupan, tetapi tidak menjejaskan kaedah menyelesaikan persamaan trigonometri.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?

Persamaan trigonometri boleh diselesaikan dengan dua cara. Cara pertama: menggunakan logik dan bulatan trigonometri. Kami akan melihat laluan ini di sini. Cara kedua - menggunakan ingatan dan formula - akan dibincangkan dalam pelajaran seterusnya.

Cara pertama adalah jelas, boleh dipercayai dan sukar untuk dilupakan.) Ia bagus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ketaksamaan dan semua jenis contoh rumit bukan piawai. Logik lebih kuat daripada ingatan!)

Menyelesaikan persamaan menggunakan bulatan trigonometri.

Kami memasukkan logik asas dan keupayaan untuk menggunakan bulatan trigonometri. Tidakkah anda tahu bagaimana? Walau bagaimanapun... Anda akan mengalami kesukaran dalam trigonometri...) Tetapi tidak mengapa. Lihatlah pelajaran "Bulatan trigonometri...... Apakah itu?" dan "Mengukur sudut pada bulatan trigonometri." Semuanya mudah di sana. Tidak seperti buku teks...)

Oh, anda tahu!? Dan juga menguasai "Kerja amali dengan bulatan trigonometri"!? tahniah. Topik ini akan menjadi dekat dan boleh difahami oleh anda.) Apa yang menggembirakan adalah bahawa bulatan trigonometri tidak mengambil kira persamaan yang anda selesaikan. Sinus, kosinus, tangen, kotangen - semuanya sama untuknya. Hanya ada satu prinsip penyelesaian.

Jadi kita ambil sebarang persamaan trigonometri asas. Sekurang-kurangnya ini:

cosx = 0.5

Kita perlu mencari X. Jika kita bercakap bahasa manusia, perlu cari sudut (x) yang kosinusnya ialah 0.5.

Bagaimanakah kita menggunakan bulatan sebelum ini? Kami melukis sudut di atasnya. Dalam darjah atau radian. Dan segera melihat fungsi trigonometri sudut ini. Sekarang mari kita lakukan sebaliknya. Mari kita lukis kosinus pada bulatan bersamaan dengan 0.5 dan serta-merta kita akan lihat sudut. Yang tinggal hanyalah menulis jawapannya.) Ya, ya!

Lukis bulatan dan tandakan kosinus sama dengan 0.5. Pada paksi kosinus, sudah tentu. seperti ini:

Sekarang mari kita lukiskan sudut yang diberikan oleh kosinus ini kepada kita. Tuding tetikus anda pada gambar (atau sentuh gambar pada tablet anda), dan anda akan melihat sudut ini X.

Kosinus bagi sudut yang manakah ialah 0.5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Sesetengah orang akan ketawa skeptikal, ya... Seperti, adakah patut membuat bulatan apabila semuanya sudah jelas... Anda boleh, tentu saja, ketawa...) Tetapi hakikatnya ini adalah jawapan yang salah. Atau sebaliknya, tidak mencukupi. Ahli kalangan faham bahawa terdapat sekumpulan sudut lain di sini yang juga memberikan kosinus 0.5.

Jika anda pusingkan bahagian bergerak OA giliran penuh, titik A akan kembali ke kedudukan asalnya. Dengan kosinus yang sama bersamaan dengan 0.5. Itu. sudut akan berubah dengan 360° atau 2π radian, dan kosinus - tidak. Sudut baharu 60° + 360° = 420° juga akan menjadi penyelesaian kepada persamaan kita, kerana

Bilangan tak terhingga revolusi lengkap sedemikian boleh dibuat... Dan semua sudut baharu ini akan menjadi penyelesaian kepada persamaan trigonometri kita. Dan mereka semua perlu ditulis entah bagaimana sebagai tindak balas. Semua. Jika tidak, keputusan tidak dikira, ya...)

Matematik boleh melakukan ini dengan mudah dan elegan. Tulis dalam satu jawapan ringkas set tak terhingga keputusan. Inilah yang kelihatan seperti persamaan kami:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Saya akan menguraikannya. Masih menulis secara bermakna Ia lebih menyenangkan daripada melukis beberapa huruf misteri secara bodoh, bukan?)

π /3 - ini adalah sudut yang sama yang kita melihat pada bulatan dan ditentukan mengikut jadual kosinus.

2π adalah satu revolusi lengkap dalam radian.

n - ini ialah bilangan yang lengkap, i.e. keseluruhan rpm Ia adalah jelas bahawa n boleh sama dengan 0, ±1, ±2, ±3.... dan seterusnya. Seperti yang ditunjukkan oleh entri pendek:

n ∈ Z

n milik ( ∈ ) set integer ( Z ). By the way, bukannya surat n surat boleh digunakan dengan baik k, m, t dan lain-lain.

Notasi ini bermakna anda boleh mengambil sebarang integer n . Sekurang-kurangnya -3, sekurang-kurangnya 0, sekurang-kurangnya +55. Apa sahaja yang anda mahu. Jika anda menggantikan nombor ini ke dalam jawapan, anda akan mendapat sudut tertentu, yang pastinya akan menjadi penyelesaian kepada persamaan kasar kami.)

Atau, dengan kata lain, x = π /3 ialah satu-satunya punca bagi himpunan tak terhingga. Untuk mendapatkan semua punca lain, cukup untuk menambah sebarang bilangan pusingan penuh kepada π /3 ( n ) dalam radian. Itu. 2π n radian.

Semua? Tidak. Saya sengaja memanjangkan kenikmatan. Untuk mengingati dengan lebih baik.) Kami menerima hanya sebahagian daripada jawapan kepada persamaan kami. Saya akan menulis bahagian pertama penyelesaian seperti ini:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - bukan hanya satu punca, tetapi keseluruhan siri akar, ditulis dalam bentuk pendek.

Tetapi terdapat juga sudut yang turut memberikan kosinus 0.5!

Mari kita kembali ke gambar kita dari mana kita menulis jawapannya. Inilah dia:

Tuding tetikus anda pada imej dan kita lihat sudut lain itu juga memberikan kosinus 0.5. Pada pendapat anda, ia sama dengan apa? Segi tiga adalah sama... Ya! Dia sama dengan sudut X , hanya tertunda ke arah negatif. Ini adalah sudut -X. Tetapi kami telah mengira x. π /3 atau 60°. Oleh itu, kita boleh menulis dengan selamat:

x 2 = - π /3

Sudah tentu, kami menambah semua sudut yang diperoleh melalui revolusi penuh:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Itu sahaja sekarang.) Pada bulatan trigonometri kita melihat(yang faham, sudah tentu)) Semua sudut yang memberikan kosinus 0.5. Dan menulis sudut-sudut ini secara ringkas bentuk matematik. Jawapannya menghasilkan dua siri akar yang tidak terhingga:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ini adalah jawapan yang betul.

Harapan, prinsip am untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan bulatan adalah jelas. Kami menandakan kosinus (sinus, tangen, kotangen) daripada persamaan yang diberikan pada bulatan, lukis sudut yang sepadan dengannya dan tuliskan jawapannya. Sudah tentu, kita perlu memikirkan sudut mana kita berada melihat pada bulatan. Kadang-kadang ia tidak begitu jelas. Nah, saya katakan bahawa logik diperlukan di sini.)

Sebagai contoh, mari kita lihat persamaan trigonometri yang lain:

Sila ambil kira bahawa nombor 0.5 bukanlah satu-satunya nombor yang mungkin dalam persamaan!) Ia hanya lebih mudah bagi saya untuk menulisnya daripada punca dan pecahan.

Kami bekerja mengikut prinsip umum. Kami melukis bulatan, tandakan (pada paksi sinus, sudah tentu!) 0.5. Kami melukis semua sudut yang sepadan dengan sinus ini sekaligus. Kami mendapat gambar ini:

Mari kita berurusan dengan sudut dahulu X pada suku pertama. Kami mengingat semula jadual sinus dan menentukan nilai sudut ini. Ia adalah perkara yang mudah:

x = π /6

Kami ingat tentang pusingan penuh dan, dengan hati nurani yang bersih, tuliskan siri jawapan pertama:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Separuh kerja sudah selesai. Tetapi sekarang kita perlu tentukan sudut kedua... Ia lebih rumit daripada menggunakan kosinus, ya... Tetapi logik akan menyelamatkan kita! Bagaimana untuk menentukan sudut kedua melalui x? Ya Mudah! Segitiga dalam gambar adalah sama, dan sudut merah X sama dengan sudut X . Hanya ia dikira dari sudut π dalam arah negatif. Itulah sebabnya ia merah.) Dan untuk jawapannya kita memerlukan sudut, diukur dengan betul, dari OX separuh paksi positif, i.e. dari sudut 0 darjah.

Kami mengarahkan kursor ke atas lukisan dan melihat segala-galanya. Saya mengeluarkan sudut pertama supaya tidak merumitkan gambar. Sudut yang kita minati (dilukis dengan warna hijau) akan sama dengan:

π - x

X kita tahu ni π /6 . Oleh itu, sudut kedua ialah:

π - π /6 = 5π /6

Sekali lagi kita ingat tentang menambah revolusi penuh dan tuliskan siri kedua jawapan:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Itu sahaja. Jawapan lengkap terdiri daripada dua siri akar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Persamaan tangen dan kotangen boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan prinsip umum yang sama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Jika, sudah tentu, anda tahu cara melukis tangen dan kotangen pada bulatan trigonometri.

Dalam contoh di atas, saya menggunakan nilai jadual sinus dan kosinus: 0.5. Itu. salah satu makna yang diketahui oleh pelajar mesti. Sekarang mari kita kembangkan keupayaan kita untuk semua nilai lain. Tentukan, jadi putuskan!)

Jadi, katakan kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri ini:

Nilai kosinus sedemikian dalam jadual ringkas Tidak. Kami dengan dingin mengabaikan fakta yang mengerikan ini. Lukis bulatan, tandakan 2/3 pada paksi kosinus dan lukis sudut yang sepadan. Kami mendapat gambar ini.

Mari kita lihat, pertama, pada sudut pada suku pertama. Sekiranya kita tahu apa yang sama dengan x, kita akan segera menulis jawapannya! Kami tidak tahu... Kegagalan!? Tenang! Matematik tidak meninggalkan rakyatnya sendiri dalam kesusahan! Dia menghasilkan kosinus arka untuk kes ini. Tak tahu? Sia-sia. Ketahui, Ia jauh lebih mudah daripada yang anda fikirkan. Tidak ada satu mantera rumit tentang "fungsi trigonometri songsang" pada pautan ini... Ini tidak diperlukan dalam topik ini.

Jika anda tahu, cuma katakan pada diri sendiri: "X ialah sudut yang kosinusnya bersamaan dengan 2/3." Dan dengan serta-merta, semata-mata dengan takrifan kosinus arka, kita boleh menulis:

Kami masih ingat tentang revolusi tambahan dan dengan tenang menulis siri pertama punca persamaan trigonometri kami:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Siri kedua akar untuk sudut kedua hampir secara automatik ditulis. Semuanya adalah sama, hanya X (arccos 2/3) akan mempunyai tolak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Dan itu sahaja! Ini adalah jawapan yang betul. Malah lebih mudah daripada dengan nilai jadual. Tidak perlu mengingati apa-apa.) Ngomong-ngomong, yang paling penuh perhatian akan melihat bahawa gambar ini menunjukkan penyelesaian melalui kosinus arka pada dasarnya, tidak berbeza dengan gambar untuk persamaan cosx = 0.5.

Tepat sekali! Prinsip umum Sebab itu perkara biasa! Saya sengaja melukis dua gambar yang hampir serupa. Bulatan menunjukkan kepada kita sudut X oleh kosinusnya. Sama ada ia kosinus jadual atau tidak tidak diketahui oleh semua orang. Apakah jenis sudut ini, π /3, atau apakah kosinus lengkok - itu terpulang kepada kita untuk membuat keputusan.

Lagu yang sama dengan sinus. Sebagai contoh:

Lukis bulatan sekali lagi, tandakan sinus sama dengan 1/3, lukis sudut. Ini gambar yang kami dapat:

Dan sekali lagi gambarnya hampir sama dengan persamaan sinx = 0.5. Sekali lagi kita bermula dari sudut pada suku pertama. Apakah X sama dengan jika sinusnya ialah 1/3? Tiada masalah!

Sekarang pek pertama akar sudah siap:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Mari kita berurusan dengan sudut kedua. Dalam contoh dengan nilai jadual 0.5, ia adalah sama dengan:

π - x

Ia akan menjadi sama di sini juga! Hanya x berbeza, arcsin 1/3. Jadi apa!? Anda boleh menulis pek kedua akar dengan selamat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ini adalah jawapan yang betul sepenuhnya. Walaupun nampak tak familiar sangat. Tetapi ia jelas, saya harap.)

Beginilah cara persamaan trigonometri diselesaikan menggunakan bulatan. Jalan ini jelas dan boleh difahami. Dialah yang menyimpan dalam persamaan trigonometri dengan pemilihan akar pada selang tertentu, dalam ketaksamaan trigonometri - mereka biasanya diselesaikan hampir selalu dalam bulatan. Pendek kata, dalam mana-mana tugas yang lebih sukar sedikit daripada yang standard.

Jom amalkan ilmu dalam amalan?)

Selesaikan persamaan trigonometri:

Pertama, lebih mudah, terus dari pelajaran ini.

Sekarang ia lebih rumit.

Petunjuk: di sini anda perlu memikirkan tentang bulatan. Secara peribadi.)

Dan sekarang mereka secara luarannya mudah... Mereka juga dipanggil kes khas.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Petunjuk: di sini anda perlu memikirkan dalam bulatan di mana terdapat dua siri jawapan dan di mana terdapat satu... Dan cara menulis satu dan bukannya dua siri jawapan. Ya, supaya tiada satu pun punca daripada nombor tak terhingga hilang!)

Nah, sangat mudah):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Petunjuk: di sini anda perlu tahu apa itu arcsine dan arccosine? Apakah arctangent, arccotangent? Paling banyak takrifan mudah. Tetapi anda tidak perlu mengingati sebarang nilai jadual!)

Jawapannya, sudah tentu, kucar-kacir):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Tidak semuanya berjaya? berlaku. Baca pelajaran sekali lagi. Sahaja termenung(ada begitu perkataan usang...) Dan ikuti pautan. Pautan utama adalah mengenai bulatan. Tanpanya, trigonometri ibarat melintas jalan dengan mata tertutup. Kadang-kadang ia berfungsi.)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Persamaan trigonometri yang lebih kompleks

Persamaan

dosa x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ialah persamaan trigonometri termudah. Dalam perenggan ini pada contoh khusus Kita akan melihat persamaan trigonometri yang lebih kompleks. Penyelesaian mereka, sebagai peraturan, datang kepada menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah.

Contoh 1 . Selesaikan persamaan

dosa 2 X=cos X dosa 2 x.

Memindahkan semua sebutan persamaan ini ke sebelah kiri dan memfaktorkan ungkapan yang terhasil, kita memperoleh:

dosa 2 X(1 - cos X) = 0.

Hasil darab dua ungkapan adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar, dan satu lagi mengambil sebarang nilai angka, selagi ia ditakrifkan.

Jika dosa 2 X = 0 , kemudian 2 X= n π ; X = π / 2n.

Jika 1 - cos X = 0 , kemudian cos X = 1; X = 2kπ .

Jadi, kami mendapat dua kumpulan akar: X = π / 2n; X = 2kπ . Kumpulan kedua akar jelas terkandung dalam yang pertama, kerana untuk n = 4k ungkapan X = π / 2n menjadi
X = 2kπ .

Oleh itu, jawapan boleh ditulis dalam satu formula: X = π / 2n, Di mana n- sebarang integer.

Perhatikan bahawa persamaan ini tidak dapat diselesaikan dengan mengurangkan dengan sin 2 x. Sesungguhnya, selepas pengurangan kita akan mendapat 1 - cos x = 0, dari mana X= 2k π . Jadi kita akan kehilangan beberapa akar, sebagai contoh π / 2 , π , 3π / 2 .

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Pecahan sama dengan sifar hanya jika pengangkanya sama dengan sifar.
sebab tu dosa 2 X = 0 , dari mana 2 X= n π ; X = π / 2n.

Daripada nilai-nilai ini X anda perlu membuang nilai-nilai tersebut sebagai luar biasa dosaX pergi ke sifar (pecahan dengan penyebut sifar tidak mempunyai makna: pembahagian dengan sifar tidak ditentukan). Nilai ini ialah nombor yang merupakan gandaan π . Dalam formula
X = π / 2n mereka diperolehi untuk genap n. Oleh itu, punca persamaan ini ialah nombor

X = π / 2 (2k + 1),

di mana k ialah sebarang integer.

Contoh 3 . Selesaikan persamaan

2 dosa 2 X+ 7 kos x - 5 = 0.

Jom luahkan dosa 2 X melalui cosx : dosa 2 X = 1 - cos 2x . Kemudian persamaan ini boleh ditulis semula sebagai

2 (1 - cos 2 x) + 7kos x - 5 = 0 , atau

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Menentukan cosx melalui di, kita sampai pada persamaan kuadratik

2у 2 - 7у + 3 = 0,

yang puncanya ialah nombor 1/2 dan 3. Ini bermakna sama ada cos x= 1 / 2, atau kos X= 3. Walau bagaimanapun, yang terakhir adalah mustahil, kerana kosinus mana-mana sudut tidak melebihi 1 dalam nilai mutlak.

Ia tetap untuk mengakui itu cos x = 1 / 2 , di mana

x = ± 60° + 360° n.

Contoh 4 . Selesaikan persamaan

2 dosa X+ 3kos x = 6.

Sejak dosa x dan cos x dalam nilai mutlak tidak melebihi 1, maka ungkapan
2 dosa X+ 3kos x tidak boleh mengambil nilai yang lebih besar daripada 5 . Oleh itu, persamaan ini tidak mempunyai punca.

Contoh 5 . Selesaikan persamaan

dosa X+kos x = 1

Dengan mengkuadratkan kedua-dua belah persamaan ini, kita dapat:

dosa 2 X+ 2 dosa x cos x+ cos 2 x = 1,

Tetapi dosa 2 X + cos 2 x = 1 . sebab tu 2 dosa x cos x = 0 . Jika dosa x = 0 , Itu X = nπ ; jika
cos x , Itu X = π / 2 + kπ . Kedua-dua kumpulan penyelesaian ini boleh ditulis dalam satu formula:

X = π / 2n

Oleh kerana kita kuasa duakan kedua-dua belah persamaan ini, ada kemungkinan terdapat punca luar antara punca yang kita perolehi. Itulah sebabnya dalam contoh ini, tidak seperti semua yang sebelumnya, perlu melakukan pemeriksaan. Semua makna

X = π / 2n boleh dibahagikan kepada 4 kumpulan

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

Pada X = 2kπ dosa x+kos x= 0 + 1 = 1. Oleh itu, X = 2kπ adalah punca-punca persamaan ini.

Pada X = π / 2 + 2kπ. dosa x+kos x= 1 + 0 = 1 Jadi X = π / 2 + 2kπ- juga punca-punca persamaan ini.

Pada X = π + 2kπ dosa x+kos x= 0 - 1 = - 1. Oleh itu, nilai X = π + 2kπ bukan punca persamaan ini. Begitu juga ditunjukkan bahawa X = 3π / 2 + 2kπ. bukan akar.

Oleh itu, persamaan ini mempunyai punca-punca berikut: X = 2kπ Dan X = π / 2 + 2mπ., Di mana k Dan m- sebarang integer.

Apabila menyelesaikan banyak masalah matematik, terutamanya yang berlaku sebelum darjah 10, susunan tindakan yang dilakukan yang akan membawa kepada matlamat ditakrifkan dengan jelas. Masalah tersebut termasuk, sebagai contoh, linear dan persamaan kuadratik, linear dan ketaksamaan kuadratik, persamaan pecahan dan persamaan yang berkurang kepada kuadratik. Prinsip berjaya menyelesaikan setiap masalah yang disebutkan adalah seperti berikut: anda perlu menentukan jenis masalah yang anda selesaikan, ingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan membawa kepada hasil yang diinginkan, i.e. jawab dan ikuti langkah-langkah ini.

Adalah jelas bahawa kejayaan atau kegagalan dalam menyelesaikan masalah tertentu bergantung terutamanya pada bagaimana betul jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa betul urutan semua peringkat penyelesaiannya dihasilkan semula. Sudah tentu, dalam kes ini adalah perlu untuk mempunyai kemahiran untuk melakukan transformasi dan pengiraan yang sama.

Keadaannya berbeza dengan persamaan trigonometri. Ia sama sekali tidak sukar untuk menetapkan fakta bahawa persamaan adalah trigonometri. Kesukaran timbul apabila menentukan urutan tindakan yang akan membawa kepada jawapan yang betul.

Oleh penampilan persamaan kadangkala sukar untuk menentukan jenisnya. Dan tanpa mengetahui jenis persamaan, hampir mustahil untuk memilih yang betul daripada beberapa dozen formula trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, anda perlu mencuba:

1. bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan kepada "sudut yang sama";
2. bawa persamaan kepada "fungsi yang serupa";
3. faktorkan bahagian kiri persamaan, dsb.

Mari kita pertimbangkan kaedah asas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Pengurangan kepada persamaan trigonometri termudah

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Ekspres fungsi trigonometri melalui komponen yang diketahui.

Langkah 2. Cari hujah fungsi menggunakan formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dosa x = a; x = (-1) n lengkok a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Langkah 3. Cari pembolehubah yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Penyelesaian.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jawapan: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Penggantian boleh ubah

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Kurangkan persamaan kepada bentuk algebra berkenaan dengan salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2. Nyatakan fungsi yang terhasil oleh pembolehubah t (jika perlu, masukkan sekatan pada t).

Langkah 3. Tulis dan selesaikan persamaan algebra yang terhasil.

Langkah 4. Buat penggantian terbalik.

Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri termudah.

Contoh.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Penyelesaian.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Biarkan sin (x/2) = t, dengan |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jawapan: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Kaedah pengurangan susunan persamaan

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linear, menggunakan formula untuk mengurangkan darjah:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang terhasil menggunakan kaedah I dan II.

Contoh.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Penyelesaian.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jawapan: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Persamaan homogen

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Kurangkan persamaan ini kepada bentuk

a) sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen darjah pertama)

atau ke pandangan

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen darjah kedua).

Langkah 2. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dan dapatkan persamaan untuk tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Penyelesaian.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Biarkan tg x = t, kemudian

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 atau t = -4, yang bermaksud

tg x = 1 atau tg x = -4.

Daripada persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; daripada persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jawapan: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Kaedah untuk mengubah persamaan menggunakan formula trigonometri

Gambar rajah penyelesaian

Langkah 1. Dengan menggunakan semua formula trigonometri yang mungkin, kurangkan persamaan ini kepada persamaan yang diselesaikan dengan kaedah I, II, III, IV.

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang terhasil menggunakan kaedah yang diketahui.

Contoh.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Penyelesaian.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Daripada persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; daripada persamaan kedua cos x = -1/2.

Kami mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; daripada persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Akibatnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jawapan: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Keupayaan dan kemahiran menyelesaikan persamaan trigonometri adalah sangat yang penting, perkembangan mereka memerlukan usaha yang ketara, baik dari pihak murid mahupun dari pihak guru.

Banyak masalah stereometri, fizik, dan lain-lain dikaitkan dengan penyelesaian persamaan trigonometri Proses penyelesaian masalah tersebut merangkumi banyak pengetahuan dan kemahiran yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Persamaan trigonometri menduduki tempat penting dalam proses pembelajaran matematik dan pembangunan peribadi secara umum.

Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Memerlukan pengetahuan tentang formula asas trigonometri - jumlah kuasa dua sinus dan kosinus, ungkapan tangen melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi mereka yang telah melupakannya atau tidak mengenali mereka, kami mengesyorkan membaca artikel "".
Jadi, kita tahu formula trigonometri asas, sudah tiba masanya untuk menggunakannya dalam amalan. Menyelesaikan persamaan trigonometri di pendekatan yang betul- cukup aktiviti yang menarik, seperti, sebagai contoh, menyelesaikan kubus Rubik.

Berdasarkan nama itu sendiri, jelas bahawa persamaan trigonometri ialah persamaan di mana yang tidak diketahui berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Terdapat apa yang dipanggil persamaan trigonometri termudah. Inilah rupanya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk kejelasan kita akan menggunakan bulatan trigonometri yang sudah biasa.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

katil bayi x = a

Mana-mana persamaan trigonometri diselesaikan dalam dua peringkat: kita mengurangkan persamaan kepada bentuk termudah dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri mudah.
Terdapat 7 kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

1. Kaedah penggantian dan penggantian boleh ubah

Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Menggunakan formula pengurangan yang kita dapat:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Gantikan cos(x + /6) dengan y untuk memudahkan dan mendapatkan persamaan kuadratik biasa:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Punca-puncanya ialah y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sekarang mari kita pergi dalam urutan terbalik

Kami menggantikan nilai y yang ditemui dan mendapat dua pilihan jawapan:

2. Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui pemfaktoran

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?

Mari kita gerakkan semuanya ke kiri supaya 0 kekal di sebelah kanan:

sin x + cos x – 1 = 0

Mari kita gunakan identiti yang dibincangkan di atas untuk memudahkan persamaan:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Mari kita faktorkan:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kami mendapat dua persamaan

3. Pengurangan kepada persamaan homogen

Persamaan adalah homogen berkenaan dengan sinus dan kosinus jika semua sebutannya adalah relatif kepada sinus dan kosinus darjah yang sama bagi sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, teruskan seperti berikut:

a) memindahkan semua ahlinya ke sebelah kiri;

b) keluarkan semua faktor sepunya daripada kurungan;

c) samakan semua faktor dan kurungan kepada 0;

d) persamaan homogen darjah yang lebih rendah diperolehi dalam kurungan, yang seterusnya dibahagikan kepada sinus atau kosinus darjah yang lebih tinggi;

e) selesaikan persamaan yang terhasil untuk tg.

Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Mari kita gunakan formula sin 2 x + cos 2 x = 1 dan buang dua terbuka di sebelah kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Bahagikan dengan cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadratik:

y 2 + 4y +3 = 0, yang puncanya ialah y 1 =1, y 2 = 3

Dari sini kita dapati dua penyelesaian kepada persamaan asal:

x 2 = arctan 3 + k

4. Menyelesaikan persamaan melalui peralihan kepada separuh sudut

Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7

Mari kita beralih kepada x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mari kita gerakkan semuanya ke kiri:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Bahagikan dengan cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Pengenalan sudut bantu

Sebagai pertimbangan, kita mengambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,

di mana a, b, c ialah beberapa pekali arbitrari, dan x adalah tidak diketahui.

Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan:



Sekarang pekali persamaan mengikut rumus trigonometri mempunyai sifat sin dan cos, iaitu: modulus mereka tidak lebih daripada 1 dan hasil tambah kuasa dua = 1. Mari kita nyatakan mereka masing-masing sebagai cos dan sin, di mana - ini adalah sudut tambahan yang dipanggil. Kemudian persamaan akan mengambil bentuk:

cos * sin x + sin * cos x = C

atau sin(x + ) = C

Penyelesaian kepada persamaan trigonometri termudah ini ialah

x = (-1) k * arcsin C - + k, di mana



Perlu diingatkan bahawa notasi cos dan sin boleh ditukar ganti.

Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1

Pekali dalam persamaan ini ialah:

a = , b = -1, jadi bahagikan kedua-dua belah dengan = 2

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan berkenaan perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.