Arahan

10, 30, 90, 270...

Diperlukan untuk mencari penyebut bagi kemajuan geometri.
Keputusan:

Pilihan 1. Mari ambil istilah kemajuan yang sewenang-wenangnya (misalnya, 90) dan bahagikannya dengan yang sebelumnya (30): 90/30 \u003d 3.

Sekiranya anda mengetahui jumlah beberapa anggota kemajuan geometri atau jumlah semua anggota perkembangan geometri yang menurun, maka untuk mencari penyebut perkembangan, gunakan formula yang sesuai:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), di mana Sn adalah jumlah dari n istilah pertama dari kemajuan geometri dan
S \u003d b1 / (1-q), di mana S adalah jumlah kemajuan geometri yang semakin menurun (jumlah semua anggota perkembangan dengan penyebut kurang dari satu).
Contohnya.

Istilah pertama penurunan geometri sama dengan satu, dan jumlah semua anggotanya sama dengan dua.

Diperlukan untuk menentukan penyebut perkembangan ini.
Keputusan:

Pasangkan data dari masalah ke dalam formula. Kesudahannya:
2 \u003d 1 / (1-q), dari mana - q \u003d 1/2.

Perkembangan adalah urutan nombor. Dalam kemajuan geometri, setiap istilah berikutnya diperoleh dengan mengalikan yang sebelumnya dengan beberapa nombor q, yang disebut penyebut kemajuan.

Arahan

Sekiranya dua istilah bersebelahan dengan geometri b (n + 1) dan b (n) diketahui, untuk mendapatkan penyebutnya, nombor dengan yang lebih besar mesti dibahagi dengan yang mendahului: q \u003d b (n + 1) / b (n). Ini berikut dari definisi perkembangan dan penyebutnya. Syarat penting ialah ketaksamaan istilah pertama dan penyebut perkembangan menjadi sifar, jika tidak, ia dianggap tidak ditentukan.

Oleh itu, hubungan berikut dijalin antara anggota perkembangan: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. Dengan formula b (n) \u003d b1 q ^ (n-1), setiap istilah kemajuan geometri dapat dihitung, di mana penyebut q dan istilah b1 diketahui. Juga, setiap kemajuan dalam modulus adalah sama dengan rata-rata anggota jirannya: | b (n) | \u003d √, oleh itu perkembangannya tersendiri.

Analog dari kemajuan geometri adalah fungsi eksponensial termudah y \u003d a ^ x, di mana x berada dalam eksponen dan a adalah beberapa nombor. Dalam kes ini, penyebut kemajuan bertepatan dengan istilah pertama dan sama dengan nombor a. Nilai fungsi y dapat difahami sebagai sebutan n-th dari kemajuan jika argumen x diambil sebagai nombor semula jadi n (pembilang).

Terdapat untuk jumlah n istilah pertama kemajuan geometri: S (n) \u003d b1 (1-q ^ n) / (1-q). Formula ini sah untuk q ≠ 1. Sekiranya q \u003d 1, maka jumlah sebutan n pertama dikira dengan formula S (n) \u003d n b1. By the way, kemajuan akan dipanggil meningkat apabila q lebih besar dari satu dan b1 positif. Sekiranya penyebut kemajuan tidak melebihi satu dalam nilai mutlak, kemajuan akan disebut menurun.

Kes khas perkembangan geometri adalah kemajuan geometri yang jauh menurun (bd.p.). Kenyataannya adalah bahawa syarat-syarat kemajuan geometri yang menurun akan menurun berulang kali, tetapi tidak akan pernah mencapai sifar. Walaupun begitu, anda dapat menjumpai jumlah semua kemajuan yang berlaku. Ia ditentukan oleh formula S \u003d b1 / (1-q). Jumlah ahli n tidak terhingga.

Untuk menggambarkan bagaimana anda dapat menambahkan bilangan nombor yang tidak terbatas dan tidak mendapat infiniti, bakar kek. Potong separuh dari ini. Kemudian potong 1/2 dari separuh, dan seterusnya. Potongan yang akan anda perolehi tidak lebih daripada anggota kemajuan geometri yang semakin menurun dengan penyebut 1/2. Sekiranya anda menambah semua kepingan ini, anda akan mendapat kek yang asli.

Masalah geometri adalah jenis latihan khas yang memerlukan pemikiran spatial. Sekiranya anda tidak dapat menyelesaikan geometri tugascuba ikuti peraturan di bawah.

Arahan

Baca pernyataan masalah dengan teliti, jika anda tidak mengingati atau memahami sesuatu, baca semula.

Cuba tentukan jenis masalah geometri, seperti: masalah komputasi, apabila anda perlu mengetahui beberapa nilai, masalah yang memerlukan rantai penaakulan logik, masalah pembinaan menggunakan kompas dan pembaris. Masalah yang lebih bercampur. Setelah anda mengetahui jenis masalah, cubalah berfikir secara logik.

Terapkan teorema yang diperlukan untuk masalah ini, tetapi jika ada keraguan atau tidak ada pilihan sama sekali, maka cubalah mengingat teori yang anda sampaikan pada topik yang berkaitan.

Buat penyelesaian untuk masalah ini juga pada draf. Cuba gunakan kaedah yang diketahui untuk menguji keputusan anda.

Isi penyelesaian masalah dengan kemas dalam buku nota, tanpa bintik-bintik dan dicoret, dan yang paling penting -. Mungkin memerlukan masa dan usaha untuk menyelesaikan masalah geometri pertama. Namun, sebaik sahaja anda menguasai proses ini, anda akan mula mengklik tugas, seperti gila, bersenang-senang!

Perkembangan geometri ialah urutan nombor b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) sehingga b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n ) \u003d b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Dengan kata lain, setiap istilah perkembangan diperoleh daripada yang sebelumnya dengan mengalikannya dengan sebilangan penyebut bukan nol bagi kemajuan q.

Arahan

Masalah perkembangan paling kerap diselesaikan dengan membina dan mengikuti sistem yang berkaitan dengan istilah pertama perkembangan b1 dan penyebut perkembangan q. Adalah berguna untuk mengingat beberapa formula untuk menulis persamaan.

Cara menyatakan sebutan n-th kemajuan melalui istilah pertama perkembangan dan penyebut perkembangan: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).

Pertimbangkan secara berasingan kes | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Pelajaran dan pembentangan mengenai topik: "Urutan nombor. Kemajuan geometri"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, ulasan, keinginan anda! Semua bahan telah diperiksa oleh program antivirus.

Bahan bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 9
Darjah dan akar Fungsi dan graf

Teman-teman, hari ini kita akan berkenalan dengan jenis perkembangan lain.
Tajuk pelajaran hari ini adalah kemajuan geometri.

Kemajuan geometri

Contohnya. 1,2,4,8,16 ... Perkembangan geometri di mana istilah pertama adalah sama dengan satu, dan $ q \u003d 2 $.

Contohnya. 8,8,8,8 ... Perkembangan geometri di mana istilah pertama adalah lapan,
dan $ q \u003d 1 $.

Contohnya. 3, -3.3, -3.3 ... Perkembangan geometri, di mana istilah pertama sama dengan tiga,
dan $ q \u003d -1 $.

Perkembangan geometri mempunyai sifat monotoni.
Sekiranya $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e 1 $,
maka urutannya menaik.
Sekiranya $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Urutan biasanya dilambangkan sebagai: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Seperti dalam perkembangan aritmetik, jika bilangan elemennya terbatas dalam suatu kemajuan geometri, maka kemajuan tersebut disebut sebagai kemajuan geometri terhingga.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Perhatikan, jika urutan adalah kemajuan geometri, maka urutan kuasa dua anggota juga merupakan kemajuan geometri. Untuk urutan kedua, sebutan pertama ialah $ b_ (1) ^ 2 $, dan penyebutnya ialah $ q ^ 2 $.

Rumus istilah ke-n dari kemajuan geometri

Mari kembali kepada contoh kami.

Contohnya. 1,2,4,8,16 ... Perkembangan geometri, di mana istilah pertama sama dengan satu,
dan $ q \u003d 2 $.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n-1) $.

Contohnya. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Perkembangan geometri di mana sebutan pertama adalah enam belas dan $ q \u003d \\ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Contohnya. 8,8,8,8 ... Perkembangan geometri di mana istilah pertama ialah lapan dan $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n-1) \u003d 8 $.

Contohnya. 3, -3.3, -3.3 ... Perkembangan geometri di mana istilah pertama adalah tiga dan $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Contohnya. Anda diberi kemajuan geometri $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $.
a) Telah diketahui bahawa $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 3 $. Cari $ b_ (5) $.
b) Telah diketahui bahawa $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d 768 $. Cari n.
c) Telah diketahui bahawa $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d 96 $. Cari $ b_ (1) $.
d) Telah diketahui bahawa $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d 4096 $. Cari q.

Keputusan.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 $.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n-1) \u003d 6 * 2 ^ (n-1) \u003d 768 $.
$ 2 ^ (n-1) \u003d \\ frac (768) (6) \u003d 128 $ sejak $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e n-1 \u003d 7; n \u003d 8 $.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - 3 $.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.

Contohnya. Perbezaan antara istilah ketujuh dan kelima dari kemajuan geometri adalah 192, jumlah sebutan kelima dan keenam dari kemajuan adalah 192. Cari istilah kesepuluh dari perkembangan ini.

Keputusan.
Kami tahu bahawa: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ dan $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Kami juga tahu: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Kemudian:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Kami mendapat sistem persamaan:
$ \\ begin (case) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 \\\\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 \\ akhir (kes) $.
Menyamakan, persamaan kami mendapat:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 \u003d 0 $.
Kami mendapat dua penyelesaian q: $ q_ (1) \u003d 2, q_ (2) \u003d - 1 $.
Ganti secara berurutan ke dalam persamaan kedua:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ tiada penyelesaian.
Kami mendapat: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d 2 $.
Cari istilah kesepuluh: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d 2048 $.

Jumlah kemajuan geometri terhingga

Biarkan kemajuan geometri terhingga diberikan: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Mari kita memperkenalkan notasi untuk jumlah anggotanya: $ S_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Sekiranya berlaku $ q \u003d 1 $. Semua anggota kemajuan geometri sama dengan istilah pertama, maka jelas bahawa $ S_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Pertimbangkan sekarang kes $ q ≠ 1 $.
Gandakan jumlah di atas dengan q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Catatan:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Kami mendapat formula untuk jumlah kemajuan geometri terhingga.

Keputusan.
$ S_ (7) \u003d \\ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d 4372 $.

Contohnya.
Cari istilah kelima perkembangan geometri, yang diketahui: $ b_ (1) \u003d - 3 $; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - 4095 $.

Keputusan.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n-1) \u003d - 3072 $.
$ q ^ (n-1) \u003d 1024 $.
$ q ^ (n) \u003d 1024q $.

$ S_ (n) \u003d \\ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - 4095 $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) \u003d - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 \u003d 1024q-1 $.
$ 341q \u003d $ 1364.
$ q \u003d 4 $.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.

Ciri ciri kemajuan geometri

Urutan berangka adalah kemajuan geometri hanya apabila segiempat sama setiap anggotanya sama dengan produk dua anggota kemajuan yang bersebelahan. Jangan lupa bahawa untuk kemajuan yang terhad syarat ini tidak dipenuhi untuk ahli pertama dan terakhir.

Modul mana-mana anggota kemajuan geometri sama dengan min geometri dua anggota yang berdekatan dengannya.

Keputusan.
Mari gunakan sifat ciri:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ dan $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Mengganti secara berurutan menjadi ungkapan asli, penyelesaian kami:
Dengan $ x \u003d 2 $, kami mendapat urutan: 4; 6; 9 - kemajuan geometri, di mana $ q \u003d 1.5 $.
Dengan $ x \u003d -1 $, kami mendapat urutan: 1; 0; 0.
Jawapan: $ x \u003d 2. $

Tugas untuk penyelesaian bebas

Perkembangan geometri, bersama dengan aritmetik, adalah siri nombor penting, yang dipelajari dalam kursus aljabar sekolah di kelas 9. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan penyebut kemajuan geometri, dan bagaimana nilainya mempengaruhi sifatnya.

Definisi kemajuan geometri

Pertama, mari kita berikan definisi bagi siri nombor ini. Perkembangan geometri adalah rangkaian nombor rasional yang terbentuk dengan mengalikan unsur pertama secara berurutan dengan nombor tetap yang disebut penyebut.

Sebagai contoh, nombor di baris 3, 6, 12, 24, ... adalah kemajuan geometri, kerana jika anda mengalikan 3 (elemen pertama) dengan 2, anda akan mendapat 6. Sekiranya anda mengalikan 6 dengan 2, anda akan mendapat 12, dan seterusnya.

Anggota urutan yang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i adalah bilangan bulat yang menunjukkan bilangan elemen dalam baris.

Definisi kemajuan di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an \u003d bn-1 * a1, di mana b adalah penyebutnya. Sangat mudah untuk memeriksa formula ini: jika n \u003d 1, maka b1-1 \u003d 1, dan kita mendapat a1 \u003d a1. Sekiranya n \u003d 2, maka an \u003d b * a1, dan kita sekali lagi sampai pada definisi rangkaian nombor yang dipertimbangkan. Penalaran yang serupa dapat diteruskan untuk nilai n yang besar.

Penyebut kemajuan geometri

Nombor b sepenuhnya menentukan watak yang akan dimiliki oleh keseluruhan siri nombor. Penyebut b boleh positif, negatif, atau lebih besar daripada satu atau kurang. Semua pilihan ini membawa kepada urutan yang berbeza:

• b\u003e 1. Terdapat rangkaian nombor rasional yang semakin meningkat. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 8, ... Jika elemen a1 negatif, maka keseluruhan urutan akan meningkat hanya dalam nilai mutlak, tetapi menurun dengan mengambil kira tanda nombor.
• b \u003d 1. Kes seperti itu sering tidak disebut kemajuan, kerana terdapat rangkaian nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlahnya

Sebelum meneruskan pertimbangan masalah tertentu dengan menggunakan penyebut dari jenis perkembangan yang dipertimbangkan, formula penting harus diberikan untuk jumlah elemen n pertamanya. Rumusnya ialah: Sn \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri sekiranya anda mempertimbangkan urutan anggota perkembangan yang berulang. Juga perhatikan bahawa dalam formula di atas, cukup untuk mengetahui unsur pertama dan penyebutnya untuk mencari jumlah sebilangan istilah yang sewenang-wenangnya.

Urutan yang jauh berkurang

Di atas diberikan penjelasan mengenai apa itu. Sekarang, setelah mengetahui formula untuk Sn, terapkan pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulus tidak melebihi 1 cenderung menjadi sifar ketika dinaikkan secara besar-besaran, iaitu, b∞ \u003d\u003e 0, jika -1

Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan selalu positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda jumlah kemajuan penurunan geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda elemen pertamanya a1.

Sekarang kita akan mempertimbangkan beberapa tugas, di mana kita akan menunjukkan bagaimana menerapkan pengetahuan yang diperoleh pada nombor tertentu.

Nombor masalah 1. Pengiraan unsur-unsur perkembangan dan jumlah yang tidak diketahui

Anda diberi kemajuan geometri, penyebut kemajuan adalah 2, dan elemen pertamanya adalah 3. Apakah istilah ke-7 dan ke-10, dan berapakah jumlah tujuh elemen awalnya?

Keadaan masalah disusun secara sederhana dan mengandaikan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira unsur dengan nombor n, kita menggunakan ungkapan an \u003d bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 \u003d b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita mendapat: a7 \u003d 26 * 3 \u003d 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk penggal ke-10: a10 \u003d 29 * 3 \u003d 1536.

Mari gunakan formula yang terkenal untuk jumlahnya dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri ini. Kami mempunyai: S7 \u003d (27 - 1) * 3 / (2 - 1) \u003d 381.

Nombor masalah 2. Penentuan jumlah unsur sewenang-wenang perkembangan

Biarkan -2 menjadi penyebut bagi perkembangan eksponensial bn-1 * 4, di mana n adalah bilangan bulat. Adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.

Masalah yang diajukan tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan formula yang diketahui. Ia dapat diselesaikan dengan 2 kaedah yang berbeza. Demi kesempurnaan, kami mempersembahkan kedua-duanya.

Kaedah 1. Ideanya sederhana: adalah perlu untuk mengira dua jumlah yang sesuai dari istilah pertama, dan kemudian tolak yang lain dari satu. Kami mengira jumlah yang lebih kecil: S10 \u003d ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -1364. Sekarang kita mengira jumlah besar: S4 \u003d ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) \u003d -20. Perhatikan bahawa hanya 4 istilah yang dijumlahkan dalam ungkapan terakhir, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut pernyataan masalah. Akhirnya, ambil perbezaannya: S510 \u003d S10 - S4 \u003d -1364 - (-20) \u003d -1344.

Kaedah 2. Sebelum mengganti nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula jumlah antara anggota m dan n dari siri yang dimaksudkan. Kami melakukan perkara yang sama seperti pada kaedah 1, hanya pertama kali kami bekerja dengan representasi simbolik dari jumlah itu. Kami mempunyai: Snm \u003d (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) \u003d a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda boleh mengganti nombor yang diketahui menjadi ungkapan yang dihasilkan dan mengira hasil akhir: S105 \u003d 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) \u003d -1344.

Nombor masalah 3. Apakah penyebutnya?

Biarkan a1 \u003d 2, cari penyebut bagi kemajuan geometri, dengan syarat jumlah tak terbatasnya adalah 3, dan diketahui bahawa ini adalah rangkaian nombor yang semakin berkurang.

Dengan keadaan masalah, mudah untuk meneka formula mana yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah kemajuan semakin berkurang. Kami mempunyai: S∞ \u003d a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebutnya: b \u003d 1 - a1 / S∞. Masih menggantikan nilai yang diketahui dan mendapatkan nombor yang diperlukan: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1 / 3 atau -0.333 (3). Hasil ini dapat diperiksa secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk urutan jenis ini, modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang anda lihat, | -1 / 3 |

Nombor masalah 4. Memulihkan siri nombor

Biarkan 2 elemen dari siri angka diberikan, misalnya, 5 adalah sama dengan 30 dan 10 adalah sama dengan 60. Adalah perlu untuk menyusun semula keseluruhan siri dari data ini, dengan mengetahui bahawa ia memenuhi sifat kemajuan geometri.

Untuk menyelesaikan masalah itu, pertama anda perlu menuliskan ungkapan yang sesuai untuk setiap istilah yang diketahui. Kami mempunyai: a5 \u003d b4 * a1 dan a10 \u003d b9 * a1. Sekarang kita membahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita mendapat: a10 / a5 \u003d b9 * a1 / (b4 * a1) \u003d b5. Dari sini, kami menentukan penyebutnya dengan mengambil akar kelima nisbah istilah yang diketahui dari pernyataan masalah, b \u003d 1.148698. Kami menggantikan nombor yang dihasilkan dalam salah satu ungkapan untuk elemen yang diketahui, kita mendapat: a1 \u003d a5 / b4 \u003d 30 / (1.148698) 4 \u003d 17.2304966.

Oleh itu, kami telah menemui apa penyebut progresi bn, dan perkembangan geometri bn-1 * 17.2304966 \u003d an, di mana b \u003d 1.148698.

Di manakah kemajuan geometri digunakan?

Sekiranya tidak ada penerapan rangkaian nombor ini dalam praktiknya, maka kajiannya akan diturunkan menjadi minat teori semata-mata. Tetapi aplikasi seperti itu ada.

Berikut adalah 3 contoh yang paling terkenal:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang pintar tidak dapat mengejar kura-kura lambat, diselesaikan dengan menggunakan konsep urutan nombor yang jauh berkurang.
• Sekiranya anda meletakkan biji-bijian gandum di setiap petak papan catur sehingga 1 butir diletakkan di petak 1, 2 - pada 2, 3 - pada 3, dan seterusnya, maka butiran 18446744073709551615 diperlukan untuk mengisi semua petak papan!
• Dalam permainan Tower of Hanoi, untuk menyusun semula cakera dari satu batang ke batang yang lain, anda perlu melakukan operasi 2n - 1, iaitu jumlah mereka bertambah dengan jumlah cakera yang digunakan.

Tahap pertama

Kemajuan geometri. Panduan lengkap dengan contoh (2019)

Urutan nombor

Oleh itu mari kita duduk dan mula menulis beberapa nombor. Contohnya:

Anda boleh menulis nombor apa pun, dan ada seberapa banyak yang anda suka (dalam kes kami, mereka). Tidak kira berapa banyak nombor yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan mana dari mereka yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, iaitu, kita dapat menghitungnya. Ini adalah contoh urutan nombor:

Urutan nombor adalah satu set nombor, yang masing-masing dapat diberi nombor unik.

Sebagai contoh, untuk urutan kami:

Nombor yang diberikan khusus untuk satu nombor urutan sahaja. Dengan kata lain, tidak ada tiga nombor kedua dalam urutan. Nombor kedua (seperti nombor -th) selalu satu.

Nombor dengan nombor disebut anggota urutan ke-5.

Kami biasanya memanggil keseluruhan urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota urutan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini:.

Dalam kes kami:

Jenis perkembangan yang paling biasa adalah aritmetik dan geometri. Dalam topik ini, kita akan bercakap mengenai jenis kedua - kemajuan geometri.

Mengapa kita memerlukan kemajuan geometri dan sejarah asalnya.

Bahkan pada zaman kuno, ahli matematik Itali Leonardo dari Pisa (lebih dikenali sebagai Fibonacci) terlibat dalam menyelesaikan keperluan praktikal perdagangan. Bhikkhu itu berhadapan dengan tugas untuk menentukan dengan seberapa banyak bobot yang mungkin untuk menimbang barang? Dalam tulisannya, Fibonacci membuktikan bahawa sistem pemberat seperti itu adalah optimum: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang terpaksa menghadapi perkembangan geometri, yang mungkin sudah anda dengar dan sekurang-kurangnya mempunyai idea umum. Setelah anda memahami topik ini sepenuhnya, fikirkan mengapa sistem sedemikian optimum?

Pada masa ini, dalam praktik hidup, kemajuan geometri menampakkan dirinya ketika melaburkan wang di bank, apabila jumlah faedah dikenakan pada jumlah yang terkumpul di dalam akaun untuk tempoh sebelumnya. Dengan kata lain, jika anda meletakkan wang pada deposit berjangka di bank simpanan, maka dalam setahun deposit akan meningkat lebih dari jumlah awal, iaitu. jumlah baru akan sama dengan deposit dikalikan dengan. Dalam satu tahun lagi, jumlah ini akan meningkat sebanyak, iaitu jumlah yang diperoleh pada masa itu akan berlipat kali ganda dan seterusnya. Situasi serupa dijelaskan dalam masalah mengira apa yang disebut faedah kompaun - peratusan diambil setiap kali dari jumlah pada akaun, dengan mengambil kira faedah sebelumnya. Kami akan membincangkan tugas-tugas ini sebentar lagi.

Terdapat banyak kes yang lebih mudah di mana kemajuan geometri digunakan. Contohnya, penyebaran influenza: satu orang menjangkiti seseorang, mereka pada gilirannya menjangkiti orang lain, dan dengan demikian gelombang kedua jangkitan adalah seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menjangkiti yang lain ... dan seterusnya .. .

By the way, piramid kewangan, MMM yang sama, adalah pengiraan sederhana dan kering berdasarkan sifat kemajuan geometri. Menarik? Mari kita fikirkan.

Kemajuan geometri.

Katakan kita mempunyai urutan angka:

Anda akan segera menjawab bahawa ini mudah dan nama urutan seperti itu adalah kemajuan aritmetik dengan perbezaan anggotanya. Bagaimana pula ini:

Sekiranya anda mengurangkan yang sebelumnya dari nombor berikutnya, maka anda akan melihat bahawa setiap kali perbezaan baru diperoleh (dll), tetapi urutannya pasti ada dan senang diperhatikan - setiap nombor berikutnya adalah kali lebih besar daripada yang sebelumnya !

Urutan nombor seperti ini dipanggil kemajuan geometri dan ditunjukkan oleh.

Perkembangan geometri () adalah urutan berangka, istilah pertama yang bukan nol, dan setiap istilah, bermula dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, didarabkan dengan nombor yang sama. Nombor ini disebut penyebut bagi kemajuan geometri.

Sekatan bahawa istilah pertama () tidak sama dan tidak rawak. Katakan bahawa mereka tidak hadir, dan istilah pertama masih sama, dan q sama, hmm .. biarkan, maka ternyata:

Setuju bahawa ini bukan lagi kemajuan.

Seperti yang anda bayangkan, kami akan mendapat hasil yang sama jika ada nombor selain sifar, dan. Dalam kes ini, tidak akan ada kemajuan, kerana keseluruhan siri nombor akan menjadi semua angka nol, atau satu nombor, dan semua angka nol yang lain.

Sekarang mari kita bincangkan dengan lebih terperinci mengenai penyebut kemajuan geometri, iaitu, Fr.

Mari kita ulangi: adalah nombor, berapa kali setiap istilah berikutnya berubah kemajuan geometri.

Apa yang anda fikir boleh? Betul, positif dan negatif, tetapi tidak sifar (kami membincangkannya sedikit lebih tinggi).

Katakan kita mempunyai positif. Biarkan juga dalam kes kita. Apakah penggal kedua dan? Anda boleh menjawabnya dengan mudah:

Semuanya betul. Oleh itu, jika, maka semua anggota perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif.

Bagaimana jika negatif? Contohnya, a. Apakah penggal kedua dan?

Ini adalah kisah yang sama sekali berbeza.

Cuba hitung jangka masa perkembangan ini. Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada. Oleh itu, jika, maka tanda-tanda anggota kemajuan geometri bergantian. Maksudnya, jika anda melihat perkembangan dengan tanda bergantian pada anggotanya, maka penyebutnya adalah negatif. Pengetahuan ini dapat membantu anda menguji diri anda ketika menyelesaikan masalah mengenai topik ini.

Sekarang mari kita praktikkan sedikit: cuba tentukan urutan berangka mana yang merupakan kemajuan geometri, dan mana yang berhitung:

Faham? Mari bandingkan jawapan kami:

• Kemajuan geometri - 3, 6.
• Perkembangan aritmetik - 2, 4.
• Ini bukan kemajuan aritmetik dan geometri - 1, 5, 7.

Mari kembali ke kemajuan terakhir kami, dan cuba cari istilahnya dengan cara yang sama seperti dalam aritmetik. Seperti yang anda sangka, terdapat dua cara untuk mencarinya.

Kami secara berurutan menggandakan setiap istilah dengan.

Oleh itu, anggota kemajuan geometri yang dijelaskan adalah sama dengan.

Seperti yang anda sangka, sekarang anda sendiri akan memperoleh formula yang akan membantu anda mencari ahli perkembangan geometri. Atau adakah anda sudah membawanya sendiri, menerangkan bagaimana mencari ahli ke-langkah itu? Sekiranya ada, maka periksa kebenaran alasan anda.

Mari kita gambarkan ini dengan contoh mencari anggota kemajuan yang diberikan:

Dalam kata lain:

Cari sendiri nilai ahli perkembangan geometri yang diberikan.

Berlaku? Mari bandingkan jawapan kami:

Harap perhatikan bahawa anda mendapat nombor yang sama persis dengan kaedah sebelumnya, ketika kami berturut-turut dikalikan dengan setiap istilah kemajuan geometri sebelumnya.
Mari cuba "depersonalisasi" formula ini - kami akan membawanya ke dalam bentuk umum dan mendapatkan:

Rumus yang diperoleh betul untuk semua nilai, baik positif dan negatif. Periksa sendiri dengan mengira anggota kemajuan geometri dengan keadaan berikut:, a.

Adakah anda sudah mengira? Mari bandingkan hasil yang diperoleh:

Setuju bahawa mungkin untuk mencari ahli kemajuan dengan cara yang sama dengan ahli, namun ada kemungkinan pengiraan yang salah. Dan jika kita sudah menemui istilah kemajuan geometri, maka apa yang lebih mudah daripada menggunakan bahagian rumus "potong".

Perkembangan geometri yang jauh lebih rendah.

Baru-baru ini, kita bercakap mengenai fakta bahawa ia boleh menjadi lebih besar atau kurang dari sifar, namun, ada nilai khas di mana perkembangan geometri disebut semakin berkurang.

Mengapa anda fikir nama sedemikian?
Pertama, mari tuliskan beberapa perkembangan geometri yang terdiri daripada ahli.
Katakan, a, kemudian:

Kami melihat bahawa setiap istilah berikutnya kurang daripada yang sebelumnya satu demi satu faktor, tetapi adakah bilangannya? Anda akan segera menjawab tidak. Itulah sebabnya ia semakin berkurang - menurun, menurun, dan tidak pernah menjadi sifar.

Untuk memahami dengan jelas bagaimana penampilannya secara visual, mari cuba lukiskan grafik perkembangan kita. Oleh itu, untuk kes kami, formula tersebut adalah seperti berikut:

Sudah menjadi kebiasaan bagi kita untuk membina pergantungan pada carta, oleh itu:

Inti ungkapan tidak berubah: pada entri pertama, kami menunjukkan pergantungan nilai anggota kemajuan geometri pada nombor ordinalnya, dan pada entri kedua, kami hanya mengambil nilai istilah kemajuan geometri sebagai, dan nombor ordinal ditetapkan bukan bagaimana, tetapi bagaimana. Yang tinggal hanyalah membina graf.
Mari lihat apa yang anda buat. Inilah grafik yang saya dapat:

Lihat? Fungsinya menurun, cenderung menjadi sifar, tetapi tidak pernah melintasinya, sehingga semakin berkurang. Mari tandakan titik kami pada grafik, dan pada masa yang sama apa koordinat dan maksudnya:

Cuba gambarkan secara grafik grafik perkembangan geometri pada, jika istilah pertamanya juga sama. Analisis, apa bezanya dengan carta sebelumnya?

Adakah anda berjaya? Inilah grafik yang saya dapat:

Sekarang setelah anda memahami asas-asas tema kemajuan geometri: anda tahu apa itu, anda tahu bagaimana mencari istilahnya, dan anda juga tahu apa itu perkembangan geometri yang jauh menurun, mari kita beralih ke harta utamanya.

Sifat kemajuan geometri.

Ingat harta ahli perkembangan aritmetik? Ya, ya, bagaimana mencari nilai sebilangan kemajuan apabila terdapat nilai-nilai sebelumnya dan berikutnya dari anggota kemajuan tertentu. Teringat? Ini:

Sekarang kita berhadapan dengan soalan yang sama untuk anggota perkembangan geometri. Untuk mendapatkan formula yang serupa, mari mulakan gambar dan pertimbangan. Anda akan melihat, ini sangat mudah, dan jika anda terlupa, anda boleh membawanya sendiri.

Mari ambil satu lagi perkembangan geometri sederhana yang kita ketahui dan. Bagaimana untuk mencari? Dengan kemajuan aritmetik, ini mudah dan sederhana, tetapi bagaimana dengan di sini? Sebenarnya, tidak ada yang rumit dalam geometri - anda hanya perlu menuliskan setiap nilai yang diberikan kepada kami menggunakan formula.

Anda bertanya, apa yang harus kita lakukan dengan ini sekarang? Ia sangat mudah. Sebagai permulaan, kami akan menggambarkan formula ini dalam gambar, dan cuba melakukan pelbagai manipulasi dengan mereka untuk mencapai nilai.

Kami abstrak dari nombor yang diberikan, kami hanya akan memfokuskannya untuk menyatakannya melalui formula. Kita perlu mencari nilai yang diserlahkan dengan warna jingga, mengetahui anggota yang berdekatan dengannya. Mari cuba lakukan pelbagai tindakan dengan mereka, akibatnya kita dapat menerima.

Penambahan.
Mari cuba tambahkan dua ungkapan dan, kami mendapat:

Dari ungkapan ini, seperti yang anda lihat, kami tidak dapat menyatakan dengan cara apa pun, oleh itu, kami akan mencuba pilihan lain - pengurangan.

Penolakan.

Seperti yang anda lihat, kami juga tidak dapat menyatakan dari ini, oleh itu, kami akan berusaha memperbanyakkan ungkapan ini satu sama lain.

Pendaraban.

Sekarang perhatikan dengan teliti apa yang kita ada, gandakan anggota kemajuan geometri yang diberikan kepada kita berbanding dengan apa yang perlu dijumpai:

Teka apa yang saya bicarakan? Dengan betul, untuk mencari, kita perlu mengambil punca kuasa dua nombor geometri yang bersebelahan dengan nombor yang dikehendaki dikalikan satu sama lain:

Ini dia. Anda sendiri menyimpulkan sifat kemajuan geometri. Cuba tuliskan formula ini secara umum. Berlaku?

Lupa syarat untuk? Fikirkan mengapa penting, contohnya, cuba menghitungnya sendiri, jika. Apa yang berlaku dalam kes ini? Betul, omong kosong kerana formula seperti ini:

Oleh itu, jangan lupa had ini.

Sekarang mari kita kira apa yang sama dengan

Jawapan yang betul - ! Sekiranya anda tidak melupakan kemungkinan nilai kedua ketika membuat pengiraan, maka anda adalah rakan yang hebat dan anda boleh terus berlatih, dan jika anda terlupa, baca apa yang dibincangkan di bawah ini dan perhatikan mengapa kedua-dua akar mesti dituliskan di jawapan.

Mari kita lukiskan kedua-dua kemajuan geometri kita - satu dengan makna, dan yang lain dengan makna dan periksa sama ada kedua-duanya mempunyai hak untuk wujud:

Untuk memeriksa sama ada kemajuan geometri seperti itu wujud atau tidak, adalah perlu untuk melihat apakah ia sama antara semua anggotanya? Hitungkan q untuk kes pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita mesti menulis dua jawapan? Kerana tanda istilah yang diperlukan bergantung pada apakah itu positif atau negatif! Dan kerana kita tidak tahu siapa dia, kita perlu menulis kedua jawapan dengan nilai tambah dan tolak.

Sekarang setelah anda menguasai poin utama dan memperoleh formula untuk sifat perkembangan geometri, cari, ketahui dan

Bandingkan jawapan yang diterima dengan jawapan yang betul:

Apa pendapat anda, bagaimana jika kita diberi bukan nilai-nilai anggota kemajuan geometri yang berdekatan dengan nombor yang diinginkan, tetapi sama dengan darinya. Sebagai contoh, kita perlu mencari, dan diberi dan. Bolehkah kita dalam kes ini menggunakan formula yang kita hasilkan? Cubalah untuk mengesahkan atau menolak kemungkinan ini dengan cara yang sama, tuliskan setiap nilai terdiri dari, seperti yang anda lakukan ketika mula-mula memperoleh formula, untuk.
Apa yang awak buat?

Sekarang perhatikan lagi.
dan sesuai:

Dari ini kita dapat menyimpulkan bahawa formula berfungsi bukan hanya dengan jiran dengan syarat-syarat kemajuan geometri yang diperlukan, tetapi juga dengan sama jarak dari anggota yang dikehendaki.

Oleh itu, formula awal kami berbentuk:

Maksudnya, jika dalam kes pertama kita mengatakannya, sekarang kita mengatakan bahawa ia boleh sama dengan bilangan semula jadi yang kurang. Perkara utama adalah sama untuk kedua-dua nombor yang diberikan.

Berlatih dengan contoh tertentu, berhati-hatilah!

1. ,. Untuk mencari.
2. ,. Untuk mencari.
3. ,. Untuk mencari.

Saya memutuskan? Saya harap anda sangat berhati-hati dan melihat tangkapan kecil.

Kami membandingkan hasilnya.

Dalam dua kes pertama, kami menggunakan formula di atas dengan tenang dan mendapat nilai berikut:

Dalam kes ketiga, setelah mempertimbangkan dengan teliti nombor ordinal dari nombor yang diberikan kepada kami, kami memahami bahawa mereka tidak jauh dari angka yang kami cari: ini adalah nombor sebelumnya, tetapi dikeluarkan dalam kedudukan, jadi tidak mungkin untuk menggunakan formula.

Bagaimana menyelesaikannya? Sebenarnya tidak sesukar yang didengar! Mari tulis dengan anda apa nombor yang diberikan kepada kami dan nombor yang diperlukan terdiri.

Oleh itu, kita mempunyai dan. Mari lihat apa yang anda boleh lakukan dengan mereka? Saya mencadangkan untuk membahagi dengan. Kita mendapatkan:

Kami mengganti data kami dengan formula:

Langkah seterusnya yang dapat kita temukan - untuk ini kita perlu mengambil punca kiub bagi nombor yang dihasilkan.

Dan sekarang kita melihat kembali apa yang kita ada. Kami memilikinya, tetapi kami perlu mencarinya, dan pada gilirannya, sama dengan:

Kami menemui semua data yang diperlukan untuk pengiraan. Kami menggantikan dengan formula:

Jawapan kami: .

Cuba selesaikan sendiri masalah lain yang serupa:
Diberi:
Untuk mencari:

Berapa banyak yang anda dapat? Saya ada - .

Seperti yang anda lihat, sebenarnya, anda memerlukan ingat satu formula sahaja -. Selebihnya anda boleh menarik diri tanpa kesulitan pada bila-bila masa. Untuk melakukan ini, tulis sahaja perkembangan geometri termudah pada sehelai kertas dan tuliskan apa, mengikut formula di atas, setiap nombornya sama.

Jumlah anggota kemajuan geometri.

Sekarang pertimbangkan formula yang membolehkan kita dengan cepat mengira jumlah anggota kemajuan geometri dalam selang waktu yang ditentukan:

Untuk mendapatkan formula bagi jumlah anggota perkembangan geometri terhingga, kita mengalikan semua bahagian persamaan yang lebih tinggi dengan. Kita mendapatkan:

Perhatikan dengan teliti: apakah persamaan dua formula terakhir? Betul, anggota biasa, misalnya, dan sebagainya, kecuali ahli pertama dan terakhir. Mari cuba tolak yang pertama dari persamaan ke-2. Apa yang awak buat?

Sekarang nyatakan istilah kemajuan geometri melalui formula dan gantikan ungkapan yang dihasilkan dalam formula terakhir kami:

Kumpulkan ungkapan. Anda harus mendapat:

Yang tinggal hanyalah menyatakan:

Sehubungan itu, dalam kes ini.

Bagaimana jika? Formula apa yang berfungsi pada masa itu? Bayangkan kemajuan geometri di. Apa yang dia suka? Dengan betul, sebilangan nombor yang sama, formula akan kelihatan seperti ini:

Terdapat banyak legenda dalam aritmetik dan perkembangan geometri. Salah satunya ialah legenda Seth, pencipta catur.

Ramai orang tahu bahawa permainan catur dicipta di India. Ketika raja Hindu bertemu dengannya, dia sangat senang dengan kepandaiannya dan berbagai kemungkinan posisi dalam dirinya. Setelah mengetahui bahawa itu diciptakan oleh salah satu rakyatnya, raja memutuskan untuk memberi hadiah kepadanya secara peribadi. Dia memanggil penemu kepadanya dan memerintahkannya untuk memintanya untuk apa sahaja yang dia mahukan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling mahir.

Seta meminta waktu untuk berpikir, dan ketika keesokan harinya Seth menghadap raja, dia mengejutkan raja dengan kesederhanaan permintaannya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk sel pertama papan catur, biji gandum untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk yang keempat, dll.

Raja itu marah dan mengusir Seth, mengatakan bahawa permintaan hamba itu tidak setimpal dengan kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahawa hamba itu akan menerima biji-bijiannya untuk semua sel dewan.

Dan sekarang persoalannya: menggunakan formula untuk jumlah anggota kemajuan geometri, hitung berapa biji yang harus diterima oleh Seta?

Mari mulakan akal. Oleh kerana, menurut keadaan, Seth meminta sebutir gandum untuk petak pertama papan catur, untuk yang kedua, untuk yang ketiga, untuk keempat, dll., Kita melihat bahawa masalahnya adalah mengenai perkembangan geometri. Apa yang sama dalam kes ini?
Dengan betul.

Jumlah sel papan catur. Sehubungan itu,. Kami mempunyai semua data, hanya tinggal menggantikannya dengan formula dan mengira.

Untuk mewakili sekurang-kurangnya kira-kira "skala" nombor tertentu, kami mengubah menggunakan sifat darjah:

Sudah tentu, jika anda mahu, anda boleh mengambil kalkulator dan mengira jenis nombor yang akan anda perolehi pada akhirnya, dan jika tidak, anda harus mengambil perkataan saya: nilai akhir ungkapan itu adalah.
Iaitu:

quintillion quadrillion trillion billion juta ribu.

Fuh) Sekiranya anda ingin membayangkan besarnya jumlah ini, maka anggarkan berapa besar bangsal yang diperlukan untuk memuatkan jumlah keseluruhan biji-bijian.
Dengan ketinggian lumbung m dan lebar m, panjangnya harus memanjang untuk km, iaitu dua kali lebih jauh dari Bumi ke Matahari.

Sekiranya tsar kuat dalam matematik, dia dapat menunjukkan bahawa saintis itu sendiri menghitung biji-bijian, kerana untuk menghitung sejuta butir, dia akan memerlukan sekurang-kurangnya satu hari penghitungan tanpa lelah, dan memandangkan perlu untuk menghitung kuintilion, biji-bijian akan harus dihitung sepanjang hidupnya.

Sekarang mari kita selesaikan masalah sederhana untuk jumlah anggota perkembangan geometri.
Vasya, seorang murid kelas 5 A, mengalami selesema, tetapi terus bersekolah. Setiap hari Vasya menjangkiti dua orang, yang pada gilirannya menjangkiti dua orang lagi, dan seterusnya. Terdapat orang di dalam kelas. Berapa hari seluruh kelas akan jatuh sakit dengan selesema?

Jadi, anggota pertama perkembangan geometri adalah Vasya, iaitu seseorang. anggota perkembangan geometri, ini adalah dua orang yang dijangkiti pada hari pertama kedatangannya. Jumlah ahli dalam kemajuan adalah sama dengan bilangan pelajar 5A. Oleh itu, kita bercakap mengenai perkembangan di mana:

Mari ganti data kami ke dalam formula untuk jumlah anggota perkembangan geometri:

Seluruh kelas akan jatuh sakit dalam beberapa hari. Tidakkah anda mempercayai formula dan nombor? Cuba gambarkan sendiri "jangkitan" pelajar. Berlaku? Lihat bagaimana rupa saya:

Hitung sendiri berapa hari pelajar perlu mendapat selesema jika masing-masing menjangkiti seseorang dan ada seseorang di kelas itu.

Nilai apa yang anda dapat? Ternyata semua orang mula sakit setelah seharian.

Seperti yang anda lihat, tugas seperti itu dan menyerupainya menyerupai piramid, di mana setiap yang berikutnya "membawa" orang baru. Namun, cepat atau lambat tiba saat yang terakhir tidak dapat menarik perhatian siapa pun. Dalam kes kami, jika kami membayangkan bahawa kelas itu diasingkan, orang dari akan menutup rantai (). Oleh itu, jika seseorang terlibat dalam piramid kewangan, di mana wang diberikan sekiranya anda membawa dua peserta lain, maka orang tersebut (atau dalam kes umum) masing-masing tidak akan membawa sesiapa, mereka akan kehilangan semua yang mereka melabur dalam penipuan kewangan ini.

Semua yang telah disebutkan di atas merujuk kepada kemajuan geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang anda ingat, kami mempunyai jenis khas - perkembangan geometri yang jauh lebih rendah. Bagaimana mengira jumlah anggotanya? Dan mengapa jenis perkembangan ini mempunyai ciri-ciri tertentu? Mari kita selesaikan bersama.

Jadi, sebagai permulaan, mari kita lihat lagi angka perkembangan geometri yang jauh dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat formula untuk jumlah kemajuan geometri, yang diturunkan sedikit lebih awal:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, grafik menunjukkan bahawa ia cenderung ke sifar. Artinya, bila, akan hampir sama, ketika menghitung ungkapan, kita hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahawa ketika menghitung jumlah kemajuan geometri yang semakin menurun, tanda kurung ini dapat diabaikan, kerana akan sama.

- rumusnya adalah jumlah istilah dari kemajuan geometri yang jauh berkurang.

PENTING! Kami menggunakan formula untuk jumlah istilah dari kemajuan geometri yang jauh lebih rendah hanya jika keadaan menyatakan secara jelas bahawa kita perlu mencari jumlahnya tidak berkesudahan bilangan ahli.

Sekiranya nombor tertentu n ditunjukkan, maka kami menggunakan formula untuk jumlah sebutan n, walaupun jika atau.

Sekarang mari kita berlatih.

1. Cari jumlah istilah pertama perkembangan geometri dengan dan.
2. Cari jumlah istilah bagi kemajuan geometri yang semakin menurun dengan dan.

Saya harap anda sangat prihatin. Mari bandingkan jawapan kami:

Sekarang anda sudah mengetahui semua perkara mengenai perkembangan geometri, dan sudah tiba masanya untuk beralih dari teori ke praktik. Masalah perkembangan geometri yang paling biasa yang dihadapi dalam peperiksaan adalah masalah minat kompaun. Ini mengenai mereka yang akan kita bincangkan.

Tugas untuk mengira faedah kompaun.

Anda mungkin pernah mendengar formula faedah kompaun yang disebut. Adakah anda faham maksudnya? Sekiranya tidak, mari kita mengetahuinya, kerana setelah menyedari prosesnya sendiri, anda akan segera memahami, dan berikut adalah perkembangan geometri.

Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahawa terdapat syarat berbeza untuk deposit: ini adalah istilah, dan perkhidmatan tambahan, dan faedah dengan dua cara pengiraannya yang berbeza - sederhana dan kompleks.

DARI minat sederhana semuanya lebih kurang jelas: faedah dikenakan sekali pada akhir tempoh deposit. Iaitu, jika kita mengatakan bahawa kita meletakkan 100 rubel untuk satu tahun ke bawah, maka ia akan dikreditkan hanya pada akhir tahun. Oleh itu, pada akhir deposit, kami akan menerima rubel.

Faedah kompaun - ini adalah pilihan yang ada permodalan faedah, iaitu penambahan mereka kepada jumlah deposit dan pengiraan pendapatan seterusnya bukan dari awal, tetapi dari jumlah deposit yang terkumpul. Huruf besar tidak berlaku secara berterusan, tetapi dengan kekerapan. Biasanya, tempoh ini sama dan selalunya bank menggunakan sebulan, suku atau tahun.

Katakan bahawa kita meletakkan semua rubel yang sama pada kadar tahunan, tetapi dengan kapitalisasi bulanan deposit. Apa yang kita dapat?

Adakah anda faham semua perkara di sini? Sekiranya tidak, mari kita fahami secara berperingkat.

Kami membawa rubel ke bank. Menjelang akhir bulan, jumlah yang terdiri daripada rubel kami dan faedahnya akan muncul di akaun kami, iaitu:

Saya setuju?

Kita boleh meletakkannya di luar kurungan dan kemudian kita dapat:

Setuju, formula ini sudah lebih serupa dengan yang kita tulis pada awalnya. Tinggal untuk menangani minat

Dalam pernyataan masalah, kami diberitahu tentang tahunan. Seperti yang anda ketahui, kita tidak membiak dengan - kita menukar peratusan menjadi perpuluhan, iaitu:

Betul? Sekarang anda bertanya, dari mana nombor itu berasal? Sangat ringkas!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan mengenai TAHUNAN faedah terakru BULANAN... Seperti yang anda ketahui, masing-masing dalam satu bulan bulan, bank akan mengenakan sebahagian daripada faedah tahunan setiap bulan kepada kami:

Disedari? Sekarang cuba tulis bagaimana bentuk formula ini jika saya mengatakan bahawa faedah dikira setiap hari.
Adakah anda berjaya? Mari bandingkan hasilnya:

Bagus! Mari kembali ke tugas kami: tuliskan berapa banyak yang akan dikreditkan ke akaun kami untuk bulan kedua, dengan mengambil kira bahawa faedah dikenakan pada jumlah deposit yang terkumpul.
Inilah yang saya dapat:

Atau, dengan kata lain:

Saya berpendapat bahawa anda telah melihat corak dan melihat kemajuan geometri dalam semua ini. Tuliskan apa yang akan dianggotai anggotanya, atau, dengan kata lain, berapa banyak wang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Dibuat? Memeriksa!

Seperti yang anda lihat, jika anda memasukkan wang di bank selama setahun dengan faedah yang sederhana, maka anda akan menerima rubel, dan jika dengan harga yang kompleks - rubel. Manfaatnya kecil, tetapi ini berlaku hanya pada tahun ke-3, tetapi untuk jangka masa yang lebih lama, permodalan jauh lebih menguntungkan:

Mari kita pertimbangkan jenis masalah lain dengan minat kompaun. Selepas apa yang anda fikirkan, ini akan menjadi asas bagi anda. Jadi tugasnya:

Syarikat Zvezda mula melabur dalam industri ini pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2001, dia memperoleh keuntungan, yang berasal dari ibukota tahun sebelumnya. Berapakah keuntungan yang akan diterima syarikat Zvezda pada akhir tahun 2003 sekiranya keuntungan tersebut belum dikeluarkan dari edaran?

Modal syarikat "Zvezda" pada tahun 2000.
- ibu kota syarikat "Zvezda" pada tahun 2001.
- ibu kota syarikat "Zvezda" pada tahun 2002.
- ibu negara syarikat "Zvezda" pada tahun 2003.

Atau kita boleh menulis secara ringkas:

Untuk kes kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Setiap satu:
rubel
Perhatikan bahawa dalam masalah ini kita tidak mempunyai pembahagian baik oleh atau oleh, kerana peratusan diberikan TAHUNAN dan ia dikira TAHUNAN. Maksudnya, ketika membaca masalah untuk bunga majemuk, perhatikan berapa peratusan yang diberikan, dan dalam jangka masa berapa ia dikenakan, dan kemudian teruskan pengiraan.
Sekarang anda sudah mengetahui segalanya mengenai perkembangan geometri.

Bersenam.

1. Cari istilah eksponensial jika diketahui bahawa, dan
2. Cari jumlah istilah pertama perkembangan geometri, jika diketahui bahawa, dan
3. MDM Capital mula melabur dalam industri ini pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak 2004, dia memperoleh keuntungan, yang berasal dari ibukota tahun sebelumnya. Syarikat "MSK Cash Flows" mula melabur dalam industri ini pada tahun 2005 berjumlah $ 10,000, mulai memperoleh keuntungan pada tahun 2006 dalam jumlah sebanyak. Berapa dolar adalah modal satu syarikat lebih banyak daripada yang lain pada akhir tahun 2007, jika keuntungan belum dikeluarkan dari edaran?

Jawapan:

1. Oleh kerana pernyataan masalah tidak mengatakan bahawa perkembangannya tidak terbatas dan diperlukan untuk mencari jumlah bilangan anggotanya yang spesifik, pengiraan dilakukan mengikut formula
2. 
   Modal MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - meningkat sebanyak 100%, iaitu 2 kali ganda.
   Setiap satu:
   rubel
   Aliran Tunai MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - meningkat sebanyak, kali.
   Setiap satu:
   rubel
   rubel

Mari kita ringkaskan.

1) Perkembangan geometri () adalah urutan berangka, istilah pertama yang bukan nol, dan setiap istilah, bermula dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, didarabkan dengan nombor yang sama. Nombor ini disebut penyebut bagi kemajuan geometri.

2) Persamaan anggota kemajuan geometri -.

3) boleh mengambil nilai kecuali dan.

• jika, maka semua anggota perkembangan seterusnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua anggota perkembangan seterusnya tanda ganti;
• di - perkembangan disebut semakin berkurang.

4), kerana adalah sifat kemajuan geometri (istilah bersebelahan)

atau
, pada (istilah sama jarak)

Semasa menjumpai, jangan lupa itu mesti ada dua jawapan.

Contohnya,

5) Jumlah anggota kemajuan geometri dikira dengan formula:
atau

Sekiranya perkembangannya semakin menurun, maka:
atau

PENTING! Kami menggunakan rumus untuk jumlah istilah dari kemajuan geometri yang semakin menurun hanya jika keadaan menyatakan secara jelas bahawa perlu untuk mencari jumlah sebilangan istilah yang tidak terhingga.

6) Masalah untuk faedah kompaun juga dihitung mengikut formula jangka masa kemajuan geometri, dengan syarat dana tidak dikeluarkan dari edaran:

PROGRESI GEOMETRI. RINGKAS TENTANG UTAMA

Kemajuan geometri () adalah urutan berangka, anggota pertama yang bukan nol, dan setiap istilah, bermula dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, didarabkan dengan nombor yang sama. Nombor ini dipanggil penyebut kemajuan geometri.

Penyebut geometri boleh mengambil nilai kecuali dan.

• Sekiranya, maka semua anggota perkembangan seterusnya mempunyai tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua anggota perkembangan seterusnya menjadi tanda ganti;
• di - perkembangan disebut semakin berkurang.

Persamaan anggota kemajuan geometri - .

Jumlah anggota kemajuan geometri dikira dengan formula:
atau

\u003e\u003e Matematik: Kemajuan Geometri

Untuk kemudahan pembaca, bahagian ini mengikuti rancangan yang sama seperti yang kita ikuti di bahagian sebelumnya.

1. Konsep asas.

Definisi. Urutan berangka, semua anggota yang berbeza dari 0 dan setiap istilahnya, bermula dari yang kedua, diperoleh dari istilah sebelumnya dengan mengalikannya dengan nombor yang sama disebut kemajuan geometri. Dalam kes ini, nombor 5 disebut penyebut bagi kemajuan geometri.

Oleh itu, kemajuan geometri adalah urutan berangka (b n) yang didefinisikan secara berulang oleh hubungan

Adakah mungkin, dengan melihat urutan nombor, untuk menentukan sama ada kemajuan geometri? Boleh. Sekiranya anda yakin bahawa nisbah mana-mana anggota urutan ke anggota sebelumnya adalah tetap, maka anda mempunyai kemajuan geometri.
Contoh 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Contoh 2.

Ini adalah kemajuan geometri di mana
Contoh 3.

Ini adalah kemajuan geometri di mana
Contoh 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ini adalah kemajuan geometri dengan b 1 - 8, q \u003d 1.

Perhatikan bahawa urutan ini juga merupakan kemajuan aritmetik (lihat Contoh 3 dalam § 15).

Contoh 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ini adalah kemajuan geometri di mana b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Jelas, kemajuan geometri adalah urutan yang semakin meningkat jika b 1\u003e 0, q\u003e 1 (lihat contoh 1), dan menurun jika b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Untuk menunjukkan bahawa urutan (b n) adalah kemajuan geometri, notasi berikut kadang-kadang mudah:

Ikon menggantikan frasa "kemajuan geometri".
Mari kita perhatikan satu sifat pelik geometri yang ingin tahu dan pada masa yang sama:
Sekiranya urutan adalah kemajuan geometri, maka urutan petak, iaitu adalah perkembangan eksponensial.
Dalam perkembangan geometri kedua, istilah pertama sama dengan a sama dengan q 2.
Sekiranya kita membuang secara eksponensial semua syarat berikut b n, maka kita akan memperoleh kemajuan geometri yang terbatas
Dalam perenggan seterusnya bahagian ini, kita akan mempertimbangkan sifat terpenting dari perkembangan geometri.

2. Rumus istilah ke-n dari kemajuan geometri.

Pertimbangkan kemajuan geometri penyebut q. Kami mempunyai:

Adalah mudah untuk meneka bahawa untuk sebarang nombor dan persamaan

Ini adalah formula untuk istilah ke-9 kemajuan geometri.

Komen.

Sekiranya anda telah membaca pernyataan penting dari perenggan sebelumnya dan memahaminya, maka cubalah membuktikan formula (1) dengan kaedah induksi matematik, sama seperti yang dilakukan untuk formula bagi penggal ke-9 dari aritmetik.

Mari tulis semula formula untuk istilah ke-9 perkembangan geometri

dan memperkenalkan notasi: Kami mendapat y \u003d mq 2, atau, dengan lebih terperinci,
Argumen x terkandung dalam eksponen, jadi ini disebut fungsi eksponen. Ini bermaksud bahawa kemajuan geometri dapat dilihat sebagai fungsi eksponensial yang ditentukan pada set N nombor semula jadi. Dalam rajah. 96a menunjukkan graf fungsi Rajah. 966 - graf fungsi Dalam kedua kes tersebut, kami mempunyai titik terpencil (dengan abses x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, dan lain-lain) yang terletak pada lekukan tertentu (kedua-dua angka menunjukkan lengkung yang sama, hanya terletak berbeza dan digambarkan dalam skala yang berbeza). Lengkung ini disebut eksponensial. Lebih banyak maklumat mengenai fungsi eksponensial dan grafnya akan dibincangkan dalam kursus algebra kelas 11.

Mari kembali kepada contoh 1-5 dari perenggan sebelumnya.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Ini adalah kemajuan geometri, di mana b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Mari kita buat formula untuk istilah ke-9
2) Ini adalah kemajuan geometri, di mana Mari kita menyusun formula istilah ke-9

Ini adalah kemajuan geometri di mana Mari kita susun formula untuk penggal ke-9
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Ini adalah kemajuan geometri, di mana b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Mari kita buat formula untuk istilah ke-9
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Ini adalah kemajuan geometri di mana b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Mari kita susun formula untuk penggal ke-9

Contoh 6.

Perkembangan geometri diberikan

Dalam semua kes, penyelesaiannya berdasarkan formula untuk istilah ke-9 perkembangan geometri

a) Dengan meletakkan formula sebutan n dari kemajuan geometri n \u003d 6, kita dapat

b) Kita ada

Oleh kerana 512 \u003d 2 9, kita mendapat n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Kita ada

Contoh 7.

Perbezaan antara istilah ketujuh dan kelima dari kemajuan geometri adalah 48, jumlah sebutan kelima dan keenam dari kemajuan juga 48. Cari istilah kedua belas perkembangan ini.

Langkah pertama. Merangka model matematik.

Keadaan masalah dapat ditulis secara ringkas seperti berikut:

Dengan menggunakan formula untuk istilah ke-9 perkembangan geometri, kita mendapat:
Maka keadaan kedua masalah (b 7 - b 5 \u003d 48) boleh ditulis dalam bentuk

Keadaan ketiga masalah (b 5 + b 6 \u003d 48) boleh ditulis sebagai

Hasilnya, kita mendapat sistem dua persamaan dengan dua pemboleh ubah b 1 dan q:

yang, dalam kombinasi dengan syarat di atas 1), adalah model masalah matematik.

Fasa kedua.

Bekerja dengan model yang disusun. Menyamakan sisi kiri kedua persamaan sistem, kami mendapat:

(kami telah membahagikan kedua-dua sisi persamaan itu menjadi ungkapan bukan sifar b 1 q 4).

Dari persamaan q 2 - q - 2 \u003d 0 kita dapati q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Menggantikan nilai q \u003d 2 ke dalam persamaan kedua sistem, kita perolehi
Menggantikan nilai q \u003d -1 dalam persamaan kedua sistem, kita mendapat b 1 1 0 \u003d 48; persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - pasangan ini adalah penyelesaian sistem persamaan yang tersusun.

Sekarang kita dapat menuliskan perkembangan geometri yang disebut dalam masalah: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Tahap tiga.

Jawapan untuk soalan masalah. Ia dikehendaki mengira b 12. Kami ada

Jawapan: b 12 \u003d 2048.

3. Rumus untuk jumlah anggota perkembangan geometri terhingga.

Biarkan kemajuan geometri yang terbatas diberikan

Mari S n menunjukkan jumlah istilahnya, iaitu

Mari dapatkan formula untuk mencari jumlah ini.

Mari kita mulakan dengan kes yang paling mudah, apabila q \u003d 1. Kemudian perkembangan geometri b 1, b 2, b 3, ..., bn terdiri daripada n nombor sama dengan b 1, iaitu, kemajuan mempunyai bentuk b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Jumlah nombor ini ialah nb 1.

Sekarang mari q \u003d 1 Untuk mencari S n, kami menggunakan kaedah buatan: lakukan beberapa transformasi ungkapan S n q. Kami mempunyai:

Melakukan transformasi, pertama-tama, kami menggunakan definisi kemajuan geometri, yang menurutnya (lihat garis penaakulan ketiga); kedua, mereka menambah dan mengurangkan mengapa makna ungkapan, tentu saja, tidak berubah (lihat baris keempat penaakulan); ketiga, kami menggunakan formula untuk istilah ke-9 perkembangan geometri:

Dari formula (1) kita dapati:

Ini adalah formula untuk jumlah n istilah bagi kemajuan geometri (untuk keadaan ketika q \u003d 1).

Contoh 8.

Perkembangan geometri terhingga diberikan

a) jumlah anggota kemajuan; b) jumlah kuasa dua ahlinya.

b) Di atas (lihat hlm. 132) kita telah memperhatikan bahawa jika semua istilah kemajuan geometri adalah kuasa dua, maka kita mendapat kemajuan geometri dengan sebutan pertama b 2 dan penyebutnya q 2. Maka jumlah enam anggota kemajuan baru akan dikira oleh

Contoh 9.

Cari istilah ke-8 perkembangan geometri dengan

Sebenarnya, kami telah membuktikan teorem berikut.

Urutan berangka adalah kemajuan geometri jika dan hanya jika segiempat sama setiap anggotanya, kecuali untuk teorema pertama (dan yang terakhir, dalam kes urutan terhingga), sama dengan produk dari istilah sebelumnya dan seterusnya ( sifat ciri kemajuan geometri).