Pembinaan dan kajian model matematik dipanggil. Kuliah: Permodelan matematik

rumah / bergaduh

Model matematik ialah sistem perhubungan matematik - formula, persamaan, ketaksamaan, dsb., yang mencerminkan sifat penting sesuatu objek atau fenomena.

Setiap fenomena alam adalah tidak terhingga kerumitannya... Mari kita menggambarkan ini menggunakan contoh yang diambil dari buku oleh V.N. Trostnikov "Manusia dan Maklumat" (Publishing House "Sains", 1970).

Orang awam merumuskan masalah matematik seperti berikut: "Berapa lama batu akan jatuh dari ketinggian 200 meter?" Ahli matematik akan mula mencipta versi masalahnya seperti ini: "Mari kita anggap bahawa batu itu jatuh dalam kekosongan dan pecutan graviti ialah 9.8 meter sesaat sesaat. Kemudian ..."

- Biar saya- boleh sebut "pelanggan", - Saya tidak berpuas hati dengan pemudahan ini. Saya ingin tahu dengan tepat berapa lama batu itu akan jatuh dalam keadaan sebenar, dan bukan dalam kekosongan yang tidak wujud.

- Baik,- ahli matematik akan bersetuju. - Mari kita anggap bahawa batu itu mempunyai bentuk sfera dan diameter ... Berapakah lebih kurang diameternya?

- Kira-kira lima sentimeter. Tetapi ia tidak sfera sama sekali, tetapi bujur.

- Kemudian kita akan menganggap bahawa diamempunyai bentuk ellipsoid dengan aci gandar empat, tiga dan tiga sentimeter dan bahawa diajatuh supaya paksi separuh utama kekal menegak sepanjang masa ... Tekanan udara diandaikan760 mm Hg , dari sini kita dapati ketumpatan udara...

Jika orang yang mengemukakan masalah dalam bahasa "manusia" tidak mengganggu lagi dalam perjalanan pemikiran ahli matematik, maka yang terakhir akan memberikan jawapan berangka selepas beberapa ketika. Tetapi "pengguna" boleh membantah seperti sebelumnya: batu itu sebenarnya tidak ellipsoidal sama sekali, tekanan udara di tempat itu dan pada masa itu tidak sama dengan 760 mm merkuri, dsb. Apakah jawapan ahli matematik itu kepadanya?

Dia akan menjawab itu penyelesaian yang tepat kepada masalah sebenar secara amnya adalah mustahil... Bukan itu sahaja bentuk batu yang menjejaskan rintangan udara, tidak boleh diterangkan oleh mana-mana persamaan matematik; putarannya dalam penerbangan juga di luar matematik kerana kerumitannya. Selanjutnya, udara tidak homogen, kerana, akibat tindakan faktor rawak, turun naik turun naik ketumpatan timbul di dalamnya. Jika anda pergi lebih dalam, anda perlu mempertimbangkannya mengikut undang-undang graviti sejagat, setiap jasad bertindak ke atas setiap jasad yang lain... Ia berikutan daripada ini bahawa walaupun bandul jam dinding mengubah trajektori batu dengan pergerakannya.

Pendek kata, jika kita serius ingin menyiasat dengan tepat kelakuan sesuatu objek, maka kita perlu mengetahui lokasi dan kelajuan semua objek lain di Alam Semesta terlebih dahulu. Dan ini, sudah tentu. mustahil .

Model matematik yang paling berkesan boleh dilaksanakan pada komputer dalam bentuk model algoritma - apa yang dipanggil "percubaan pengiraan" (lihat [1], perenggan 26).

Sudah tentu, keputusan eksperimen pengiraan mungkin menjadi tidak benar jika model tidak mengambil kira beberapa aspek penting realiti.

Jadi, mencipta model matematik untuk menyelesaikan masalah, anda perlu:

Apabila membina model matematik, adalah jauh sekali tidak mungkin untuk mencari formula yang menyatakan secara eksplisit kuantiti yang diperlukan dari segi data. Dalam kes sedemikian, kaedah matematik digunakan untuk memberikan jawapan kepada satu darjah atau ketepatan yang lain. Terdapat bukan sahaja pemodelan matematik bagi sebarang fenomena, tetapi juga pemodelan skala penuh visual, yang disediakan dengan memaparkan fenomena ini melalui grafik komputer, i.e. sejenis "kartun komputer" yang dirakam dalam masa nyata ditunjukkan di hadapan penyelidik. Penglihatan sangat tinggi di sini.

Entri lain

10.06.2016. 8.3. Apakah peringkat utama proses pembangunan perisian? 8.4. Bagaimana untuk menyemak teks program sebelum pergi ke komputer?

8.3. Apakah peringkat utama proses pembangunan perisian? Proses membangunkan atur cara boleh dinyatakan dengan formula berikut: Ia adalah perkara biasa untuk mempunyai ralat dalam program yang baru dibangunkan ...

10.06.2016. 8.5. Untuk apa penyahpepijatan dan ujian? 8.6. Apakah penyahpepijatan? 8.7. Apakah kuiz dan ujian? 8.8. Apakah data ujian yang sepatutnya? 8.9. Apakah peringkat proses ujian?

8.5. Untuk apa penyahpepijatan dan ujian? Nyahpepijat atur cara ialah proses mencari dan menghapuskan ralat dalam atur cara berdasarkan hasil menjalankannya pada komputer. Menguji…

10.06.2016. 8.10. Apakah kesilapan pengaturcaraan yang biasa? 8.11. Adakah ketiadaan ralat sintaks menunjukkan bahawa program itu betul? 8.12. Apakah ralat yang tidak dikesan oleh penterjemah? 8.13. Apakah penyelenggaraan program?

8.10. Apakah kesilapan pengaturcaraan yang biasa? Ralat boleh dibuat pada semua peringkat penyelesaian masalah - dari perumusannya hingga pendaftaran. Jenis ralat dan contoh yang sepadan diberikan ...

Model matematik b ialah perwakilan matematik realiti.

Permodelan matematik- proses membina dan mengkaji model matematik.

Semua sains semula jadi dan sains sosial yang menggunakan radas matematik, sebenarnya, terlibat dalam pemodelan matematik: mereka menggantikan objek sebenar dengan model matematiknya dan kemudian mengkaji yang terakhir.

Definisi.

Tiada definisi boleh merangkumi sepenuhnya aktiviti pemodelan matematik kehidupan sebenar. Walaupun begitu, takrifan berguna kerana ia cuba menyerlahkan ciri yang paling penting.

Definisi model menurut A. A. Lyapunov: Pemodelan adalah kajian praktikal atau teori tidak langsung terhadap objek, di mana bukan objek yang menarik minat kita dikaji secara langsung, tetapi beberapa sistem buatan atau semula jadi tambahan:

berada dalam beberapa koresponden objektif dengan objek yang dikenali;

mampu menggantikannya dalam aspek tertentu;

memberikan, dalam penyelidikannya, akhirnya, maklumat tentang objek yang dimodelkan itu sendiri.

Menurut buku teks Sovetov dan Yakovlev: "Model adalah objek pengganti untuk objek asal, yang menyediakan kajian beberapa sifat asal." "Menggantikan satu objek dengan yang lain untuk mendapatkan maklumat tentang sifat terpenting objek asal menggunakan objek model dipanggil pemodelan." "Dengan pemodelan matematik yang kami maksudkan adalah proses mewujudkan surat-menyurat kepada objek sebenar tertentu objek matematik tertentu, dipanggil model matematik, dan kajian model ini, yang memungkinkan untuk mendapatkan ciri-ciri objek sebenar yang sedang dipertimbangkan. Jenis model matematik bergantung pada sifat objek sebenar, dan pada tugas mengkaji objek dan kebolehpercayaan dan ketepatan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini.

Menurut Samarsky dan Mikhailov, model matematik ialah "setara" objek, mencerminkan dalam bentuk matematik sifat-sifatnya yang paling penting: undang-undang yang dipatuhinya, hubungan yang wujud dalam bahagian konstituennya, dll. Ia wujud dalam "model -algoritma-program" triad ... Setelah mencipta triad "model-algoritma-program", penyelidik diberikan alat universal, fleksibel dan murah, yang pertama kali dinyahpepijat dan diuji dalam eksperimen pengiraan percubaan. Selepas kecukupan triad kepada objek asal ditubuhkan, pelbagai dan terperinci "eksperimen" dijalankan dengan model, memberikan semua sifat dan ciri kualitatif dan kuantitatif objek yang diperlukan.

Menurut monograf Myshkis: “Mari kita beralih kepada definisi umum. Katakan kita akan menyiasat beberapa set sifat S bagi objek sebenar a dengan

menggunakan matematik. Untuk melakukan ini, kita memilih "objek matematik" a "- sistem persamaan, atau hubungan aritmetik, atau angka geometri, atau gabungan kedua-duanya, dsb., - kajian yang melalui matematik harus menjawab soalan yang dikemukakan. tentang sifat S. Dalam keadaan ini "dipanggil model matematik objek a berkenaan dengan keseluruhan S sifatnya."

Menurut A. G. Sevostyanov: "Model matematik ialah satu set hubungan matematik, persamaan, ketaksamaan, dsb., yang menerangkan undang-undang asas yang wujud dalam proses, objek atau sistem yang dikaji."

Takrifan yang agak kurang umum bagi model matematik berdasarkan idealisasi "input - output - state" yang dipinjam daripada teori automata diberikan oleh Wiktionary: "Perwakilan matematik abstrak bagi proses, peranti, atau idea teori; ia menggunakan satu set pembolehubah untuk mewakili input, output, dan keadaan dalaman, dan set persamaan dan ketaksamaan untuk menerangkan interaksi mereka."

Akhir sekali, takrifan paling singkat bagi model matematik: "Persamaan yang menyatakan idea."

Klasifikasi formal model.

Pengelasan formal model adalah berdasarkan klasifikasi alat matematik yang digunakan. Selalunya dibina dalam bentuk dikotomi. Sebagai contoh, salah satu set dikotomi yang popular:

Model linear atau bukan linear; Sistem terkumpul atau teragih; Deterministik atau Stochastic; Statik atau dinamik; Diskret atau berterusan.

dan lain-lain. Setiap model yang dibina adalah linear atau bukan linear, deterministik atau stokastik ... Secara semulajadi, jenis campuran juga mungkin: tertumpu dalam satu aspek, model teragih dalam yang lain, dsb.

Pengelasan mengikut cara objek dipersembahkan.

Bersama-sama dengan klasifikasi formal, model berbeza dalam cara objek diwakili:

Model struktur mewakili objek sebagai sistem dengan struktur dan mekanisme fungsinya sendiri. Model fungsional tidak menggunakan perwakilan sedemikian dan hanya mencerminkan tingkah laku yang dilihat secara luaran bagi sesuatu objek. Dalam ungkapan melampau mereka, mereka juga dipanggil model "kotak hitam". Jenis model gabungan juga mungkin, yang kadangkala dipanggil model "kotak kelabu".

Hampir semua pengarang yang menerangkan proses pemodelan matematik menunjukkan bahawa pada mulanya struktur ideal khas, model yang bermakna, sedang dibina. Tiada istilah yang ditetapkan di sini, dan pengarang lain memanggil objek ideal ini sebagai model konseptual, model spekulatif atau pra-model. Dalam kes ini, pembinaan matematik akhir dipanggil model formal atau ringkasnya model matematik yang diperoleh hasil daripada memformalkan model bermakna ini. Pembinaan model yang bermakna boleh dijalankan menggunakan satu set idealisasi siap sedia, seperti dalam mekanik, di mana spring ideal, badan tegar, bandul ideal, media elastik, dll. menyediakan elemen struktur siap sedia untuk pemodelan bermakna. Walau bagaimanapun, dalam bidang pengetahuan yang tidak mempunyai teori rasmi yang lengkap, penciptaan model yang bermakna menjadi lebih sukar.

Dalam karya R. Peierls, klasifikasi model matematik yang digunakan dalam fizik dan, secara lebih meluas, dalam sains semula jadi diberikan. Dalam buku A. N. Gorban dan R. G. Khlebopros, klasifikasi ini dianalisis dan dikembangkan. Klasifikasi ini tertumpu terutamanya pada peringkat membina model yang bermakna.

Model-model ini "mewakili huraian tentatif fenomena itu, dan pengarang sama ada percaya pada kemungkinannya, atau menganggapnya sebagai benar." Menurut R. Peierls, ini adalah, sebagai contoh, model sistem suria Ptolemy dan model Copernicus, model atom Rutherford dan model Big Bang.

Tiada hipotesis dalam sains terbukti sekali dan untuk semua. Richard Feynman meletakkannya dengan sangat jelas:

“Kami sentiasa mempunyai peluang untuk menyangkal sesuatu teori, tetapi, perhatikan, kami tidak boleh membuktikan bahawa ia betul. Katakan anda telah mengemukakan hipotesis yang berjaya, mengira ke mana arahnya, dan mendapati bahawa semua akibatnya disahkan secara eksperimen. Adakah ini bermakna teori anda betul? Tidak, ini bermakna anda telah gagal untuk menyangkalnya."

Jika model jenis pertama dibina, maka ini bermakna ia diiktiraf buat sementara waktu sebagai benar dan anda boleh menumpukan perhatian kepada masalah lain. Walau bagaimanapun, ini tidak boleh menjadi titik dalam penyelidikan, tetapi hanya jeda sementara: status model jenis pertama hanya boleh sementara.

Model fenomenologi mengandungi mekanisme untuk menerangkan fenomena. Walau bagaimanapun, mekanisme ini tidak cukup meyakinkan, tidak dapat disahkan dengan cukup oleh data yang ada, atau tidak bersetuju dengan teori sedia ada dan pengetahuan terkumpul tentang objek. Oleh itu, model fenomenologi mempunyai status penyelesaian sementara. Adalah dipercayai bahawa jawapannya masih tidak diketahui dan perlu meneruskan pencarian untuk "mekanisme sebenar". Peierls merujuk kepada jenis kedua, contohnya, model kalori dan model quark zarah asas.

Peranan model dalam penyelidikan mungkin berubah dari semasa ke semasa, mungkin berlaku data dan teori baharu mengesahkan model fenomenologi dan ia akan dinaik taraf kepada

status hipotesis. Begitu juga, pengetahuan baharu secara beransur-ansur boleh bercanggah dengan model hipotesis jenis pertama, dan itu boleh diterjemahkan ke dalam model kedua. Oleh itu, model quark secara beransur-ansur memasuki kategori hipotesis; atomisme dalam fizik timbul sebagai penyelesaian sementara, tetapi dengan perjalanan sejarah diteruskan ke jenis pertama. Tetapi model eter telah membuat jalan mereka dari jenis 1 hingga jenis 2, dan kini mereka berada di luar sains.

Idea pemudahan sangat popular apabila membina model. Tetapi penyederhanaan adalah berbeza. Peierls mengenal pasti tiga jenis penyederhanaan pemodelan.

Jika boleh membina persamaan yang menerangkan sistem yang sedang dikaji, ini tidak bermakna ia boleh diselesaikan walaupun dengan bantuan komputer. Teknik yang diterima umum dalam kes ini adalah menggunakan anggaran. Antaranya ialah model tindak balas linear. Persamaan digantikan dengan persamaan linear. Contoh piawai ialah hukum Ohm.

Jika kita menggunakan model gas ideal untuk menerangkan gas yang jarang ditemui, maka ini adalah model jenis 3. Pada ketumpatan gas yang lebih tinggi, ia juga berguna untuk membayangkan keadaan gas ideal yang lebih mudah untuk pemahaman dan anggaran kualitatif, tetapi kemudian ia sudah jenis 4. .

Dalam model Jenis 4, butiran dibuang yang boleh ketara dan tidak selalu mempunyai kesan yang boleh dikawal pada hasilnya. Persamaan yang sama boleh berfungsi sebagai model jenis 3 atau jenis 4, bergantung pada fenomena yang model itu digunakan. Jadi, jika model tindak balas linear digunakan tanpa ketiadaan model yang lebih kompleks, maka ini sudah pun model linear fenomenologi, dan ia tergolong dalam jenis 4 berikut.

Contoh: penggunaan model gas ideal kepada gas tidak sempurna, persamaan keadaan van der Waals, kebanyakan model fizik keadaan pepejal, cecair dan fizik nuklear. Laluan daripada penerangan mikro kepada sifat-sifat badan yang terdiri daripada sejumlah besar zarah adalah sangat panjang. Banyak butiran perlu dibuang. Ini menghasilkan model Jenis 4.

Model heuristik hanya mengekalkan persamaan kualitatif realiti dan membuat ramalan hanya "mengikut magnitud." Contoh biasa ialah anggaran laluan bebas min dalam teori kinetik. Ia memberikan formula mudah untuk pekali kelikatan, resapan, kekonduksian terma, selaras dengan realiti mengikut susunan magnitud.

Tetapi apabila membina fizik baru, adalah jauh dari kemungkinan bahawa model diperolehi yang memberikan sekurang-kurangnya penerangan kualitatif objek - model jenis kelima. Dalam kes ini, model sering digunakan secara analogi, mencerminkan realiti sekurang-kurangnya dalam beberapa cara.

R. Peierls memberikan sejarah penggunaan analogi dalam artikel pertama oleh W. Heisenberg mengenai sifat kuasa nuklear. “Ini berlaku selepas penemuan neutron, dan walaupun W. Heisenberg sendiri memahami bahawa adalah mungkin untuk menggambarkan nukleus sebagai terdiri daripada neutron dan proton, dia masih tidak dapat menyingkirkan idea bahawa neutron akhirnya harus terdiri daripada proton dan sebuah elektron. Dalam kes ini, satu analogi timbul antara interaksi dalam sistem neutron-proton dan interaksi atom hidrogen dan proton. Analogi inilah yang membawanya kepada kesimpulan bahawa mesti ada daya pertukaran interaksi antara neutron dan proton, yang serupa dengan daya pertukaran dalam sistem H - H, yang disebabkan oleh peralihan elektron antara dua proton. ... Kemudian, ia bagaimanapun telah terbukti kewujudan daya pertukaran interaksi antara neutron dan proton, walaupun mereka tidak habis sepenuhnya.

interaksi antara dua zarah ... Tetapi, mengikut analogi yang sama, W. Heisenberg membuat kesimpulan tentang ketiadaan daya nuklear interaksi antara dua proton dan postulasi tolakan antara dua neutron. Kedua-dua penemuan terakhir adalah bercanggah dengan data kajian kemudian."

A. Einstein adalah salah seorang pakar eksperimen pemikiran yang hebat. Berikut adalah salah satu eksperimennya. Ia dicipta pada masa mudanya dan, pada akhirnya, membawa kepada pembinaan teori relativiti khas. Katakan dalam fizik klasik kita mengikuti gelombang cahaya pada kelajuan cahaya. Kami akan memerhatikan perubahan secara berkala dalam ruang dan medan elektromagnet yang berterusan dalam masa. Menurut persamaan Maxwell, ini tidak boleh. Oleh itu, Einstein muda membuat kesimpulan: sama ada undang-undang alam berubah apabila kerangka rujukan berubah, atau kelajuan cahaya tidak bergantung pada kerangka rujukan. Dia memilih pilihan kedua yang lebih cantik. Satu lagi eksperimen pemikiran terkenal Einstein ialah Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen.

Dan inilah jenis 8, digunakan secara meluas dalam model matematik sistem biologi.

Ini juga merupakan eksperimen pemikiran dengan entiti khayalan, menunjukkan bahawa fenomena yang didakwa adalah konsisten dengan prinsip asas dan konsisten secara dalaman. Ini adalah perbezaan utama daripada model Jenis 7, yang mendedahkan percanggahan tersembunyi.

Salah satu eksperimen yang paling terkenal ialah geometri Lobachevsky. Contoh lain ialah pengeluaran besar-besaran formal - model kinetik ayunan kimia dan biologi, gelombang auto, dsb. Paradoks Einstein - Podolsky - Rosen difikirkan sebagai model jenis 7 untuk menunjukkan ketidakkonsistenan mekanik kuantum. Dengan cara yang sama sekali tidak dirancang, dari masa ke masa, ia bertukar menjadi model Jenis 8 - demonstrasi kemungkinan teleportasi maklumat kuantum.

Pertimbangkan sistem mekanikal yang terdiri daripada spring yang dipasang pada satu hujung dan berat jisim m yang dilekatkan pada hujung bebas spring. Kami akan menganggap bahawa berat hanya boleh bergerak ke arah paksi spring. Mari kita bina model matematik sistem ini. Kami akan menerangkan keadaan sistem dengan jarak x dari pusat beban ke kedudukan keseimbangannya. Mari kita huraikan interaksi spring dan beban menggunakan hukum Hooke dan kemudian gunakan hukum kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan pembezaan:

di mana bermakna terbitan kali kedua bagi x ..

Persamaan yang terhasil menerangkan model matematik sistem fizikal yang dipertimbangkan. Corak ini dipanggil "pengayun harmonik".

Mengikut klasifikasi formal, model ini adalah linear, deterministik, dinamik, tertumpu, berterusan. Dalam proses membinanya, kami membuat banyak andaian bahawa pada hakikatnya mungkin tidak dapat dipenuhi.

Berhubung dengan realiti, ini selalunya merupakan model penyederhanaan Jenis 4, kerana beberapa ciri universal yang penting diabaikan. Dalam beberapa anggaran, model sedemikian menggambarkan dengan baik sistem mekanikal sebenar, kerana

faktor yang dibuang mempunyai pengaruh yang boleh diabaikan ke atas tingkah lakunya. Walau bagaimanapun, model boleh diperhalusi dengan mengambil kira beberapa faktor ini. Ini akan membawa kepada model baharu dengan bidang kebolehgunaan yang lebih luas.

Walau bagaimanapun, apabila model itu diperhalusi, kerumitan penyelidikan matematiknya boleh meningkat dengan ketara dan menjadikan model itu hampir tidak berguna. Selalunya, model yang lebih mudah membolehkan penyiasatan yang lebih baik dan mendalam tentang sistem sebenar daripada yang lebih kompleks.

Jika kita menggunakan model pengayun harmonik pada objek yang jauh dari fizik, status bermaknanya mungkin berbeza. Sebagai contoh, apabila menggunakan model ini pada populasi biologi, ia berkemungkinan besar diklasifikasikan sebagai analogi jenis 6.

Model keras dan lembut.

Pengayun Harmonik ialah contoh model yang dipanggil "keras". Ia diperoleh hasil daripada idealisasi kuat sistem fizikal sebenar. Untuk menyelesaikan isu kebolehgunaannya, adalah perlu untuk memahami betapa pentingnya faktor-faktor yang telah kita abaikan. Dalam erti kata lain, adalah perlu untuk menyiasat model "lembut", yang diperolehi oleh gangguan kecil yang "keras". Ia boleh diberikan, sebagai contoh, dengan persamaan berikut:

Berikut ialah fungsi yang boleh mengambil kira daya geseran atau pergantungan pekali kekakuan spring pada tahap lanjutannya, ε ialah beberapa parameter kecil. Kami tidak berminat dengan bentuk eksplisit fungsi f pada masa ini. Jika kita membuktikan bahawa tingkah laku model lembut tidak secara asasnya berbeza daripada tingkah laku model keras, masalahnya akan dikurangkan kepada kajian model tegar. Jika tidak, penerapan keputusan yang diperoleh dalam kajian model tegar akan memerlukan penyelidikan tambahan. Sebagai contoh, penyelesaian kepada persamaan pengayun harmonik ialah fungsi bentuk

Iaitu, ayunan dengan amplitud malar. Adakah ia berikutan daripada ini bahawa pengayun sebenar akan berayun untuk masa yang tidak terhingga dengan amplitud malar? Tidak, kerana mengambil kira sistem dengan geseran kecil sewenang-wenangnya, kita mendapat ayunan yang terlembap. Tingkah laku sistem telah berubah secara dramatik.

Jika sistem mengekalkan tingkah laku kualitatifnya di bawah gangguan kecil, ia dikatakan stabil dari segi struktur. Pengayun harmonik ialah contoh sistem yang tidak stabil dari segi struktur. Namun begitu, model ini boleh digunakan untuk mengkaji proses dalam selang masa yang terhad.

Kepelbagaian model.

Model matematik yang paling penting biasanya mempunyai sifat kesejagatan yang penting: fenomena sebenar yang berbeza secara asas boleh diterangkan oleh model matematik yang sama. Sebagai contoh, pengayun harmonik menerangkan bukan sahaja kelakuan beban pada spring, tetapi juga proses berayun lain, selalunya mempunyai sifat yang sama sekali berbeza: ayunan kecil bandul, ayunan paras cecair dalam bekas berbentuk U, atau perubahan kekuatan arus dalam litar berayun. Oleh itu, mengkaji satu model matematik, kita mengkaji sekaligus keseluruhan kelas fenomena yang diterangkan olehnya. Ia adalah tepat isomorfisme undang-undang yang dinyatakan oleh model matematik dalam pelbagai segmen pengetahuan saintifik bahawa pencapaian Ludwig von Bertalanffy untuk mencipta "Teori umum sistem".

Masalah langsung dan songsang pemodelan matematik

badan yang diperbuat daripada bahan yang berbeza, setiap bahan ditentukan sebagai idealisasi mekanikal piawainya, selepas itu persamaan disediakan, sepanjang jalan beberapa butiran dibuang sebagai tidak penting, pengiraan dibuat, berbanding dengan pengukuran, model diperhalusi, dan sebagainya. Walau bagaimanapun, untuk pembangunan teknologi pemodelan matematik, adalah berguna untuk menyahhimpun proses ini ke dalam unsur konstituen utamanya.

Secara tradisinya, terdapat dua kelas utama masalah yang berkaitan dengan model matematik: langsung dan songsang.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utama adalah menjalankan kajian model untuk mengekstrak pengetahuan berguna tentang objek. Apakah beban statik yang akan ditahan oleh jambatan itu? Bagaimana ia akan bertindak balas terhadap pemuatan dinamik, bagaimana kapal terbang akan mengatasi halangan bunyi, sama ada ia akan runtuh akibat berkibar - ini adalah contoh tipikal tugas langsung. Menetapkan masalah langsung yang betul memerlukan kemahiran khas. Jika soalan yang betul tidak ditanya, jambatan itu boleh runtuh, walaupun model yang baik telah dibina untuk kelakuannya. Jadi, pada tahun 1879 di Great Britain sebuah jambatan logam di atas Tay runtuh, pereka bentuk yang membina model jambatan itu, mengiranya untuk faktor keselamatan 20 kali ganda untuk muatan, tetapi terlupa tentang angin yang sentiasa bertiup di tempat tersebut. Dan selepas setahun setengah, ia runtuh.

V Dalam kes yang paling mudah, masalah langsung adalah sangat mudah dan dikurangkan kepada penyelesaian eksplisit persamaan ini.

Masalah songsang: banyak model yang mungkin diketahui, adalah perlu untuk memilih model tertentu berdasarkan data tambahan mengenai objek. Lebih kerap daripada tidak, struktur model diketahui dan beberapa parameter yang tidak diketahui perlu ditentukan. Maklumat tambahan mungkin terdiri daripada data empirikal tambahan, atau dalam keperluan untuk objek. Data tambahan boleh datang secara bebas daripada proses menyelesaikan masalah songsang atau hasil daripada eksperimen yang dirancang khas semasa penyelesaian.

Salah satu contoh pertama penyelesaian virtuoso bagi masalah songsang dengan penggunaan sepenuhnya data yang tersedia adalah kaedah memulihkan daya geseran daripada ayunan lembap yang diperhatikan, yang dibina oleh I. Newton.

V contoh lain ialah statistik matematik. Tugas sains ini adalah untuk membangunkan kaedah pendaftaran, penerangan dan analisis data pemerhatian dan eksperimen dengan tujuan membina model probabilistik fenomena rawak jisim. Itu. set model yang mungkin terhad kepada model kebarangkalian. Dalam tugas tertentu, set model lebih terhad.

Sistem simulasi komputer.

Untuk menyokong pemodelan matematik, sistem matematik komputer telah dibangunkan, contohnya, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, dsb. Mereka membenarkan anda mencipta model formal dan menyekat kedua-dua proses dan peranti yang ringkas dan kompleks serta menukar parameter model dengan mudah semasa pemodelan. Model blok diwakili oleh blok, set dan sambungannya ditentukan oleh gambar rajah model.

Contoh tambahan.

Kadar pertumbuhan adalah berkadar dengan saiz populasi semasa. Ia diterangkan oleh persamaan pembezaan

di mana α ialah beberapa parameter yang ditentukan oleh perbezaan antara kesuburan dan kematian. Penyelesaian kepada persamaan ini ialah fungsi eksponen x = x0 e. Jika kadar kelahiran melebihi kadar kematian, populasi akan berkembang tanpa had dan sangat cepat. Jelas bahawa pada hakikatnya ini tidak boleh berlaku kerana keterbatasan

sumber. Apabila volum kritikal tertentu populasi dicapai, model tidak lagi mencukupi, kerana ia tidak mengambil kira sumber yang terhad. Model logistik, yang diterangkan oleh persamaan pembezaan Verhulst, boleh berfungsi sebagai penyempurnaan model Malthus

dengan xs ialah saiz populasi "keseimbangan" di mana kesuburan betul-betul diimbangi oleh kematian. Saiz populasi dalam model sedemikian cenderung kepada nilai keseimbangan xs, dan tingkah laku ini adalah stabil dari segi struktur.

Katakan dua spesies haiwan tinggal di wilayah tertentu: arnab dan musang. Biarkan bilangan arnab ialah x, bilangan musang y. Menggunakan model Malthus dengan pembetulan yang diperlukan, dengan mengambil kira makan arnab oleh musang, kami datang ke sistem berikut, yang membawa nama model Lotka - Volterra:

Sistem ini mempunyai keadaan keseimbangan apabila bilangan arnab dan musang adalah tetap. Penyimpangan dari keadaan ini membawa kepada turun naik dalam bilangan arnab dan musang, sama dengan turun naik dalam pengayun harmonik. Seperti dalam kes pengayun harmonik, tingkah laku ini tidak stabil dari segi struktur: perubahan kecil dalam model boleh membawa kepada perubahan kualitatif dalam tingkah laku. Sebagai contoh, keadaan keseimbangan boleh menjadi stabil, dan turun naik dalam nombor akan pudar. Keadaan sebaliknya juga mungkin berlaku, apabila sebarang penyelewengan kecil dari kedudukan keseimbangan akan membawa kepada akibat bencana, sehingga kepupusan sepenuhnya salah satu spesies. Model Volterra-Lotka tidak memberikan jawapan kepada persoalan yang mana antara senario ini direalisasikan: penyelidikan tambahan diperlukan di sini.

Tahap pertama

Model matematik untuk OGE dan USE (2019)

Konsep model matematik

Bayangkan sebuah kapal terbang: sayap, fiuslaj, unit ekor, semua ini bersama-sama - sebuah kapal terbang yang sangat besar dan besar. Atau anda boleh membuat model kapal terbang, kecil, tetapi semuanya sebenarnya, sayap yang sama, dll, tetapi padat. Begitu juga dengan model matematik. Ada masalah perkataan, menyusahkan, anda boleh melihatnya, membacanya, tetapi tidak berapa faham, dan lebih-lebih lagi tidak jelas cara menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika kita membuat model kecil masalah lisan yang besar, model matematik? Apakah maksud matematik? Ini bermakna, menggunakan peraturan dan undang-undang tatatanda matematik, untuk membuat semula teks menjadi perwakilan yang betul secara logik menggunakan nombor dan tanda aritmetik. Jadi, model matematik ialah perwakilan situasi sebenar menggunakan bahasa matematik.

Mari kita mulakan dengan yang mudah: Nombor lebih besar daripada nombor mengikut. Kita perlu menulis ini, bukan menggunakan perkataan, tetapi hanya bahasa matematik. Jika lebih dengan, maka ternyata jika kita tolak daripada, maka perbezaan yang sama bagi nombor ini tetap sama. Itu. atau. Faham intipati?

Sekarang ia lebih rumit, kini akan ada teks yang anda patut cuba wakili dalam bentuk model matematik, sehingga anda membaca bagaimana saya akan melakukannya, cuba sendiri! Terdapat empat nombor:, dan. Sekeping lebih besar daripada sekeping dan dua kali ganda.

Apa yang berlaku?

Dalam bentuk model matematik, ia akan kelihatan seperti ini:

Itu. produk berkaitan sebagai dua kepada satu, tetapi ini masih boleh dipermudahkan:

Baiklah, dengan contoh mudah anda faham maksudnya, saya rasa. Mari kita beralih kepada masalah penuh di mana model matematik ini masih perlu diselesaikan! Inilah cabarannya.

Model matematik dalam amalan

Masalah 1

Selepas hujan, paras air dalam perigi mungkin meningkat. Budak itu mengukur masa jatuh batu-batu kecil ke dalam perigi dan mengira jarak ke air menggunakan formula, di mana jarak dalam meter dan masa jatuh dalam beberapa saat. Sebelum hujan, masa untuk batu jatuh ialah s. Berapakah paras air yang sepatutnya meningkat selepas hujan untuk masa yang diukur untuk berubah oleh s? Nyatakan jawapan anda dalam meter.

Oh Tuhan! Apakah formula, jenis perigi apa, apa yang sedang berlaku, apa yang perlu dilakukan? Adakah saya membaca fikiran anda? Bersantai, dalam masalah jenis ini keadaan lebih teruk lagi, perkara utama adalah untuk ingat bahawa dalam masalah ini anda berminat dalam formula dan hubungan antara pembolehubah, dan apa yang semua ini bermakna dalam kebanyakan kes tidak begitu penting. Apa yang anda nampak berguna di sini? Saya sendiri nampak. Prinsip untuk menyelesaikan masalah ini adalah seperti berikut: ambil semua kuantiti yang diketahui dan gantikannya.TETAPI, kadang-kadang anda perlu berfikir!

Mengikuti nasihat pertama saya, dan menggantikan semua yang diketahui ke dalam persamaan, kita dapat:

Sayalah yang menggantikan masa sesaat, dan mendapati ketinggian batu itu terbang sebelum hujan. Dan sekarang kita perlu mengira selepas hujan dan mencari perbezaannya!

Sekarang dengar nasihat kedua dan fikirkan tentangnya, soalan menentukan "berapa paras air harus naik selepas hujan supaya masa yang diukur berubah sebanyak s." Segera adalah perlu untuk menganggarkan, soooo, selepas hujan paras air meningkat, yang bermaksud bahawa masa batu jatuh ke paras air adalah kurang, dan di sini frasa hiasan "supaya perubahan masa yang diukur" mengambil masa tertentu. maksud: masa jatuh tidak bertambah, tetapi berkurangan mengikut saat yang ditentukan. Ini bermakna dalam kes lontaran selepas hujan, kita hanya perlu menolak c daripada masa awal c, dan kita mendapat persamaan untuk ketinggian batu itu akan terbang selepas hujan:

Dan akhirnya, untuk mengetahui berapa banyak paras air harus meningkat selepas hujan, supaya masa yang diukur berubah dengan s., Anda hanya perlu menolak yang kedua dari ketinggian musim gugur pertama!

Kami mendapat jawapan: mengikut meter.

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit, perkara utama ialah, jangan terlalu bersusah payah dari mana persamaan yang tidak dapat difahami dan kadang-kadang kompleks itu berasal dalam keadaan dan maksud segala-galanya di dalamnya, ambil kata saya untuk itu, kebanyakan persamaan ini diambil dari fizik, dan terdapat hutan yang lebih teruk daripada algebra. Kadang-kadang nampaknya saya masalah ini dicipta untuk menakut-nakutkan pelajar pada peperiksaan dengan banyak formula dan istilah yang kompleks, dan dalam kebanyakan kes mereka tidak memerlukan hampir apa-apa pengetahuan. Hanya baca syarat dengan teliti dan masukkan nilai yang diketahui ke dalam formula!

Ini satu lagi masalah, bukan lagi dalam fizik, tetapi dari dunia teori ekonomi, walaupun pengetahuan sains selain matematik tidak diperlukan di sini lagi.

Tugasan 2

Kebergantungan jumlah permintaan (unit sebulan) untuk produk perusahaan monopoli pada harga (ribu rubel) diberikan oleh formula

Pendapatan syarikat sebulan (dalam ribuan rubel) dikira menggunakan formula. Tentukan harga tertinggi di mana hasil bulanan akan sekurang-kurangnya seribu rubel. Berikan jawapan anda dalam ribu rubel.

Cuba teka apa yang saya akan lakukan sekarang? Ya, saya akan mula menggantikan apa yang kita tahu, tetapi, sekali lagi, saya perlu berfikir sedikit. Mari kita pergi dari akhir, kita perlu mencari di mana. Jadi, ada, sama dengan seseorang, kita dapati apa lagi yang sama dengannya, dan begitu juga, dan kita akan menuliskannya. Seperti yang anda lihat, saya tidak terlalu peduli tentang makna semua nilai ini, saya hanya melihat dari syarat-syarat yang sama, jadi anda perlu melakukannya. Mari kita kembali kepada masalah, anda sudah memilikinya, tetapi seperti yang anda ingat dari satu persamaan dengan dua pembolehubah, tiada satu pun daripada mereka boleh ditemui, apa yang perlu dilakukan? Ya, kami masih mempunyai sekeping yang tidak digunakan dalam keadaan itu. Kini, sudah ada dua persamaan dan dua pembolehubah, yang bermakna kini kedua-dua pembolehubah boleh ditemui - hebat!

- bolehkah anda menyelesaikan sistem sedemikian?

Kami menyelesaikan dengan penggantian, kami telah menyatakannya, yang bermaksud kami menggantikannya dalam persamaan pertama dan memudahkan.

Ternyata di sini adalah persamaan kuadratik:, kita selesaikan, puncanya adalah seperti ini,. Dalam tugas itu, ia diperlukan untuk mencari harga tertinggi di mana semua syarat yang kami ambil kira semasa sistem disusun akan dipenuhi. Oh, ternyata itu harganya. Sejuk, jadi kami mendapati harga: dan. Harga tertinggi, anda katakan? Okay, yang terbesar daripada mereka, jelas sekali, adalah jawapannya dan kami menulis. Nah, adakah ia sukar? Saya fikir tidak, dan tidak perlu mendalaminya terlalu banyak!

Dan inilah fizik yang menakutkan, atau lebih tepat lagi, cabaran lain:

Masalah 3

Untuk menentukan suhu berkesan bintang, undang-undang Stefan – Boltzmann digunakan, mengikut mana, di mana kuasa sinaran bintang, adalah malar, adalah luas permukaan bintang, dan suhu. Adalah diketahui bahawa luas permukaan beberapa bintang adalah sama, dan kuasa sinarannya sama dengan W. Cari suhu bintang ini dalam darjah Kelvin.

Dari mana ia datang? Ya, syarat mengatakan apa yang sama. Sebelum ini, saya mengesyorkan menggantikan semua yang tidak diketahui sekaligus, tetapi di sini adalah lebih baik untuk menyatakan terlebih dahulu yang tidak diketahui yang dicari. Lihatlah betapa mudahnya segala-galanya: ada formula dan ia dikenali di dalamnya, dan (ini adalah huruf Yunani "sigma". Secara umum, ahli fizik suka huruf Yunani, biasakan diri dengannya). Dan suhu tidak diketahui. Mari kita nyatakan sebagai formula. Saya harap anda tahu bagaimana untuk melakukan ini? Tugasan sedemikian untuk GIA dalam gred 9 biasanya memberikan:

Kini ia kekal untuk menggantikan nombor dan bukannya huruf di sebelah kanan dan ringkaskan:

Inilah jawapannya: darjah Kelvin! Dan betapa dahsyatnya tugas itu, eh!

Kami terus menyeksa masalah dalam fizik.

Masalah 4

Ketinggian di atas tanah bola yang dibaling ke atas berubah mengikut undang-undang, di mana ketinggian dalam meter, ialah masa dalam saat berlalu sejak lontaran. Berapa saat bola akan kekal sekurang-kurangnya tiga meter tinggi?

Itu adalah semua persamaan, tetapi di sini adalah perlu untuk menentukan berapa banyak bola berada pada ketinggian sekurang-kurangnya tiga meter, itu bermakna pada ketinggian. Apa yang akan kita karang? Ketaksamaan, betul-betul! Kami mempunyai fungsi yang menerangkan bagaimana bola terbang, di mana ketinggian yang sama dalam meter, kami memerlukan ketinggian. Bermakna

Dan sekarang anda hanya menyelesaikan ketidaksamaan, perkara utama ialah, jangan lupa untuk menukar tanda ketidaksamaan daripada lebih besar daripada atau sama dengan kurang atau sama, apabila anda mendarab dengan kedua-dua belah ketidaksamaan untuk menghilangkan tolak terlebih dahulu .

Ini adalah punca, kami membina selang untuk ketidaksamaan:

Kami berminat dengan selang di mana tanda tolak adalah, kerana ketidaksamaan mengambil nilai negatif di sana, ini adalah dari kepada kedua-duanya termasuk. Dan sekarang kita menghidupkan otak dan berfikir dengan teliti: untuk ketidaksamaan kita menggunakan persamaan yang menerangkan penerbangan bola, ia entah bagaimana terbang dalam parabola, i.e. ia berlepas, mencapai puncak dan jatuh, bagaimana untuk memahami berapa lama ia akan berada pada ketinggian sekurang-kurangnya meter? Kami mendapati 2 titik tip, i.e. masa apabila dia melambung di atas meter dan saat dia, jatuh, mencapai tanda yang sama, kedua-dua titik ini dinyatakan oleh kita dalam bentuk masa, i.e. kita tahu pada detik penerbangan mana dia memasuki zon yang menarik kepada kita (di atas meter) dan ke mana dia meninggalkannya (jatuh di bawah tanda meter). Berapa saat dia berada di zon ini? Adalah logik bahawa kita mengambil masa meninggalkan zon dan menolak masa memasuki zon ini daripadanya. Oleh itu: - begitu banyak dia berada di zon di atas meter, ini adalah jawapannya.

Anda sangat bertuah kerana kebanyakan contoh mengenai topik ini boleh diambil dari kategori masalah dalam fizik, jadi tangkap satu lagi, ia adalah yang terakhir, jadi tolak diri anda, hanya tinggal sedikit!

Masalah 5

Untuk elemen pemanasan peranti tertentu, pergantungan suhu pada masa operasi diperoleh secara eksperimen:

Di manakah masa dalam minit,. Adalah diketahui bahawa pada suhu elemen pemanasan di atas peranti mungkin merosot, oleh itu ia mesti dimatikan. Cari masa paling lama selepas memulakan kerja anda perlu mematikan peranti. Nyatakan jawapan anda dalam beberapa minit.

Kami bertindak mengikut skema yang dinyahpepijat, semua yang diberikan, mula-mula kami menulis:

Sekarang kita mengambil formula dan menyamakannya dengan nilai suhu yang mana peranti boleh dipanaskan sebanyak mungkin sehingga ia terbakar, iaitu:

Sekarang kita menggantikan nombor dan bukannya huruf di mana ia dikenali:

Seperti yang anda lihat, suhu semasa operasi peranti diterangkan oleh persamaan kuadratik, yang bermaksud bahawa ia diedarkan di sepanjang parabola, i.e. peranti dipanaskan sehingga suhu tertentu, dan kemudian menjadi sejuk. Kami menerima jawapan dan, oleh itu, dengan dan dengan minit pemanasan, suhu adalah sama dengan yang kritikal, tetapi antara dan minit - ia lebih tinggi daripada yang mengehadkan!

Ini bermakna anda perlu mematikan peranti dalam beberapa minit.

MODEL MATEMATIK. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Selalunya, model matematik digunakan dalam fizik: selepas semua, anda mungkin perlu menghafal berpuluh-puluh formula fizikal. Dan formula adalah perwakilan matematik situasi.

Dalam OGE dan Peperiksaan Negeri Bersepadu terdapat tugas hanya mengenai topik ini. Dalam peperiksaan (profil), ini adalah masalah nombor 11 (dahulu B12). Dalam OGE - tugas nombor 20.

Skim penyelesaian adalah jelas:

1) Ia adalah perlu untuk "mengasingkan" maklumat berguna daripada teks syarat - apa yang kita tulis di bawah perkataan "Diberikan" dalam masalah fizik. Maklumat berguna ini ialah:

Formula
Kuantiti fizik yang diketahui.

Iaitu, setiap huruf daripada formula mesti dikaitkan dengan nombor tertentu.

2) Anda mengambil semua kuantiti yang diketahui dan menggantikannya ke dalam formula. Nilai yang tidak diketahui kekal dalam bentuk huruf. Sekarang semua yang anda perlu lakukan ialah menyelesaikan persamaan (biasanya yang agak mudah), dan jawapannya sudah sedia.

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, maka anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% itu!

Sekarang datang perkara yang paling penting.

Anda telah mengetahui teori mengenai topik ini. Dan, sekali lagi, ini ... ia sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi ...

Untuk apa?

Untuk berjaya lulus peperiksaan, untuk memasuki institut dengan bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang telah mendapat pendidikan yang baik mendapat lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama juga.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana terdapat banyak lagi peluang yang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tak tahu...

Tapi fikirlah sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk menjadi lebih baik daripada orang lain dalam peperiksaan dan akhirnya ... lebih gembira?

DAPATKAN MENYELESAIKAN MASALAH TANGAN MENGENAI TOPIK INI.

Pada peperiksaan, anda tidak akan ditanya teori.

Anda perlu menyelesaikan masalah untuk seketika.

Dan, jika anda tidak menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan pergi ke suatu tempat yang tersilap bodoh atau tidak akan mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berulang kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk mengisi tangan anda dengan bantuan tugasan kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

Kongsi semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 r
Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel tutorial - RUB 999

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami, dan akses untuk semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka sekaligus.

Dalam kes kedua kami akan memberi anda simulator "6000 masalah dengan penyelesaian dan jawapan, untuk setiap topik, untuk semua tahap kesukaran." Ia pasti akan mencukupi untuk menyelesaikan masalah mengenai sebarang topik.

Malah, ini lebih daripada sekadar simulator - keseluruhan program latihan. Jika perlu, anda juga boleh menggunakannya secara PERCUMA.

Akses kepada semua teks dan program disediakan untuk sepanjang hayat tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan terlalu memikirkan teori.

"Difahamkan" dan "Saya tahu bagaimana untuk menyelesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Menurut buku teks Sovetov dan Yakovlev: "model (lat. Modulus - ukuran) adalah objek pengganti untuk objek asal, yang menyediakan kajian beberapa sifat asal." (ms 6) "Menggantikan satu objek dengan yang lain untuk mendapatkan maklumat tentang sifat terpenting objek asal menggunakan objek model dipanggil pemodelan." (ms. 6) “Dengan pemodelan matematik yang kami maksudkan ialah proses mewujudkan korespondensi kepada objek sebenar tertentu bagi beberapa objek matematik, dipanggil model matematik, dan kajian model ini, yang membolehkan seseorang memperoleh ciri-ciri objek sebenar di bawah pertimbangan. Jenis model matematik bergantung pada sifat objek sebenar, dan pada tugas mengkaji objek dan kebolehpercayaan dan ketepatan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini.

Akhir sekali, takrifan model matematik yang paling ringkas: "Persamaan yang menyatakan idea."

Klasifikasi model

Klasifikasi formal model

Pengelasan formal model adalah berdasarkan klasifikasi alat matematik yang digunakan. Selalunya dibina dalam bentuk dikotomi. Sebagai contoh, salah satu set dikotomi yang popular:

dan lain-lain. Setiap model yang dibina adalah linear atau bukan linear, deterministik atau stokastik, ... Sememangnya, jenis campuran juga mungkin: dalam satu aspek, tertumpu (dari segi parameter), dalam yang lain, model teragih, dsb.

Pengelasan mengikut cara objek dipersembahkan

Bersama-sama dengan klasifikasi formal, model berbeza dalam cara objek diwakili:

Model struktur atau berfungsi

Model struktur mewakili objek sebagai sistem dengan struktur dan mekanisme fungsinya sendiri. Model fungsional tidak menggunakan perwakilan sedemikian dan hanya mencerminkan tingkah laku (berfungsi) yang dilihat secara luaran bagi sesuatu objek. Dalam ungkapan melampau mereka, mereka juga dipanggil model "kotak hitam". Jenis model gabungan juga mungkin, yang kadangkala dipanggil model "kotak kelabu".

Kandungan dan model formal

Hampir semua pengarang yang menerangkan proses pemodelan matematik menunjukkan bahawa pertama sekali struktur ideal khas dibina, model yang bermakna... Tiada istilah yang ditetapkan di sini, dan pengarang lain memanggil objek ideal ini model konseptual , model spekulatif atau pramodel... Dalam kes ini, pembinaan matematik akhir dipanggil model formal atau sekadar model matematik yang diperoleh hasil daripada pemformalkan model bermakna (pra-model) yang diberikan. Pembinaan model yang bermakna boleh dijalankan menggunakan satu set idealisasi siap sedia, seperti dalam mekanik, di mana spring ideal, badan tegar, bandul ideal, media elastik, dll. menyediakan elemen struktur siap sedia untuk pemodelan bermakna. Walau bagaimanapun, dalam bidang pengetahuan yang tidak ada teori rasmi yang lengkap sepenuhnya (termaju fizik, biologi, ekonomi, sosiologi, psikologi, dan kebanyakan bidang lain), penciptaan model yang bermakna menjadi lebih sukar.

Klasifikasi model yang besar

Tiada hipotesis dalam sains terbukti sekali dan untuk semua. Richard Feynman meletakkannya dengan sangat jelas:

“Kami sentiasa mempunyai peluang untuk menyangkal sesuatu teori, tetapi, perhatikan, kami tidak boleh membuktikan bahawa ia betul. Katakan anda telah mengemukakan hipotesis yang berjaya, mengira ke mana arahnya, dan mendapati bahawa semua akibatnya disahkan secara eksperimen. Adakah ini bermakna teori anda betul? Tidak, ini bermakna anda telah gagal untuk menyangkalnya."

Jenis 2: Model fenomenologi (berkelakuan seolah-olah…)

Peranan model dalam penyelidikan mungkin berubah dari semasa ke semasa, mungkin berlaku data dan teori baharu mengesahkan model fenomenologi dan ia akan dinaikkan ke status hipotesis. Begitu juga, pengetahuan baharu secara beransur-ansur boleh bercanggah dengan model hipotesis jenis pertama, dan itu boleh diterjemahkan ke dalam model kedua. Oleh itu, model quark secara beransur-ansur memasuki kategori hipotesis; atomisme dalam fizik timbul sebagai penyelesaian sementara, tetapi dengan perjalanan sejarah diteruskan ke jenis pertama. Tetapi model eter telah membuat jalan mereka dari jenis 1 hingga jenis 2, dan kini mereka berada di luar sains.

Idea pemudahan sangat popular apabila membina model. Tetapi penyederhanaan adalah berbeza. Peierls mengenal pasti tiga jenis penyederhanaan pemodelan.

Jenis 3: Pengiraan (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Jika boleh membina persamaan yang menerangkan sistem yang sedang dikaji, ini tidak bermakna ia boleh diselesaikan walaupun dengan bantuan komputer. Teknik yang diterima umum dalam kes ini ialah penggunaan anggaran (model jenis 3). Antaranya model tindak balas linear... Persamaan digantikan dengan persamaan linear. Contoh piawai ialah hukum Ohm.

Dan inilah jenis 8, digunakan secara meluas dalam model matematik sistem biologi.

Jenis 8: Demonstrasi kemungkinan (perkara utama adalah untuk menunjukkan konsistensi dalaman kemungkinan)

Ini juga merupakan eksperimen pemikiran dengan entiti khayalan, yang menunjukkannya fenomena yang didakwa konsisten dengan prinsip asas dan konsisten dalaman. Ini adalah perbezaan utama daripada model Jenis 7, yang mendedahkan percanggahan tersembunyi.

Salah satu eksperimen sedemikian yang paling terkenal ialah geometri Lobachevsky (Lobachevsky memanggilnya "geometri khayalan"). Contoh lain ialah pengeluaran besar-besaran formal - model kinetik ayunan kimia dan biologi, gelombang auto, dsb. Paradoks Einstein - Podolsky - Rosen difikirkan sebagai model jenis 7 untuk menunjukkan ketidakkonsistenan mekanik kuantum. Dengan cara yang sama sekali tidak dirancang, dari masa ke masa, ia bertukar menjadi model Jenis 8 - demonstrasi kemungkinan teleportasi maklumat kuantum.

Contoh

Pertimbangkan sistem mekanikal yang terdiri daripada spring tetap pada satu hujung dan pemberat m dilekatkan pada hujung bebas musim bunga. Kami akan menganggap bahawa beban hanya boleh bergerak ke arah paksi spring (contohnya, pergerakan berlaku di sepanjang rod). Mari kita bina model matematik sistem ini. Kami akan menerangkan keadaan sistem mengikut jarak x dari pusat beban ke kedudukan keseimbangannya. Mari kita terangkan interaksi spring dan beban menggunakan undang-undang Hooke (F = − kx ) dan kemudian gunakan hukum kedua Newton untuk menyatakannya dalam bentuk persamaan pembezaan:

di mana bermaksud terbitan kedua bagi x pada masa:.

Persamaan yang terhasil menerangkan model matematik sistem fizikal yang dipertimbangkan. Corak ini dipanggil "pengayun harmonik".

Mengikut klasifikasi formal, model ini adalah linear, deterministik, dinamik, tertumpu, berterusan. Dalam proses membinanya, kami membuat banyak andaian (tentang ketiadaan daya luaran, ketiadaan geseran, sisihan kecil, dll.), yang pada hakikatnya mungkin tidak dipenuhi.

Berhubung dengan realiti, ini selalunya model jenis 4. penyederhanaan("Kami meninggalkan beberapa butiran untuk kejelasan"), kerana beberapa ciri universal yang penting (contohnya, pelesapan) ditinggalkan. Untuk penghampiran tertentu (katakan, manakala sisihan beban daripada keseimbangan adalah kecil, dengan geseran rendah, untuk masa yang tidak terlalu lama dan dalam keadaan lain tertentu), model sedemikian menggambarkan dengan baik sistem mekanikal sebenar, kerana faktor yang dibuang mempunyai kesan yang boleh diabaikan pada tingkah lakunya... Walau bagaimanapun, model boleh diperhalusi dengan mengambil kira beberapa faktor ini. Ini akan membawa kepada model baharu dengan skop yang lebih luas (walaupun terhad).

Model keras dan lembut

Berikut adalah fungsi tertentu, yang boleh mengambil kira daya geseran atau pergantungan pekali kekakuan spring pada tahap lanjutannya, adalah parameter kecil. Fungsi eksplisit f kami tidak berminat buat masa ini. Jika kita membuktikan bahawa tingkah laku model lembut tidak berbeza secara asasnya daripada tingkah laku yang tegar (tanpa mengira bentuk eksplisit faktor yang mengganggu, jika ia cukup kecil), masalahnya akan dikurangkan kepada kajian yang tegar. model. Jika tidak, penerapan keputusan yang diperoleh dalam kajian model tegar akan memerlukan penyelidikan tambahan. Sebagai contoh, penyelesaian kepada persamaan pengayun harmonik adalah fungsi bentuk, iaitu, ayunan dengan amplitud malar. Adakah ia berikutan daripada ini bahawa pengayun sebenar akan berayun untuk masa yang tidak terhingga dengan amplitud malar? Tidak, kerana mengambil kira sistem dengan geseran kecil secara sewenang-wenangnya (sentiasa hadir dalam sistem sebenar), kita mendapat ayunan yang dilembapkan. Tingkah laku sistem telah berubah secara dramatik.

Jika sistem mengekalkan tingkah laku kualitatifnya di bawah gangguan kecil, ia dikatakan stabil dari segi struktur. Pengayun harmonik ialah contoh sistem yang tidak stabil (bukan kasar) dari segi struktur. Namun begitu, model ini boleh digunakan untuk mengkaji proses dalam selang masa yang terhad.

Kepelbagaian model

Model matematik yang paling penting biasanya mempunyai sifat penting kesejagatan: fenomena sebenar yang berbeza secara asasnya boleh diterangkan oleh model matematik yang sama. Sebagai contoh, pengayun harmonik menerangkan bukan sahaja kelakuan beban pada spring, tetapi juga proses berayun lain, selalunya berbeza sama sekali: ayunan kecil bandul, ayunan paras cecair dalam U-benda berbentuk atau perubahan dalam kekuatan arus dalam litar berayun. Oleh itu, mengkaji satu model matematik, kita mengkaji sekaligus keseluruhan kelas fenomena yang diterangkan olehnya. Isomorfisme undang-undang inilah, yang dinyatakan oleh model matematik dalam pelbagai segmen pengetahuan saintifik, yang Ludwig von Bertalanffy berjaya mencipta "Teori umum sistem".

Masalah langsung dan songsang pemodelan matematik

Terdapat banyak masalah yang berkaitan dengan pemodelan matematik. Pertama, adalah perlu untuk menghasilkan skema asas objek yang dimodelkan, untuk menghasilkan semula dalam kerangka idealisasi sains ini. Jadi, kereta api berubah menjadi sistem plat dan badan yang lebih kompleks yang diperbuat daripada bahan yang berbeza, setiap bahan ditetapkan sebagai idealisasi mekanikal standardnya (ketumpatan, moduli elastik, ciri kekuatan standard), selepas itu persamaan disediakan, di sepanjang jalan. beberapa butiran dibuang sebagai tidak penting , pengiraan dibuat, berbanding dengan ukuran, model diperhalusi, dan sebagainya. Walau bagaimanapun, untuk pembangunan teknologi pemodelan matematik, adalah berguna untuk menyahhimpun proses ini ke dalam unsur konstituen utamanya.

Secara tradisinya, terdapat dua kelas utama masalah yang berkaitan dengan model matematik: langsung dan songsang.

Tugas langsung: struktur model dan semua parameternya dianggap diketahui, tugas utama adalah untuk menjalankan kajian model untuk mengekstrak pengetahuan berguna tentang objek. Apakah beban statik yang akan ditahan oleh jambatan itu? Bagaimana ia akan bertindak balas terhadap beban dinamik (contohnya, kepada perarakan sekumpulan askar, atau kepada laluan kereta api yang tidak mempunyai kelajuan berbeza), bagaimana pesawat itu akan mengatasi halangan bunyi, sama ada ia akan terlepas daripada berkibar - ini adalah contoh tipikal tugas langsung. Menetapkan masalah langsung yang betul (bertanya soalan yang betul) memerlukan kemahiran khas. Jika soalan yang betul tidak ditanya, jambatan itu boleh runtuh, walaupun model yang baik telah dibina untuk kelakuannya. Jadi, pada tahun 1879 di England, sebuah jambatan logam di atas Tay runtuh, pereka bentuk yang membina model jambatan itu, mengiranya untuk faktor keselamatan 20 kali ganda untuk muatan, tetapi terlupa tentang angin yang sentiasa bertiup di tempat-tempat tersebut. Dan selepas setahun setengah, ia runtuh.

Dalam kes yang paling mudah (satu persamaan pengayun, sebagai contoh) masalah langsung adalah sangat mudah dan dikurangkan kepada penyelesaian eksplisit persamaan ini.

Masalah songsang: banyak model yang mungkin diketahui, anda perlu memilih model tertentu berdasarkan data tambahan mengenai objek. Lebih kerap daripada tidak, struktur model diketahui dan beberapa parameter yang tidak diketahui perlu ditentukan. Maklumat tambahan mungkin terdiri dalam data empirikal tambahan, atau dalam keperluan untuk objek ( cabaran reka bentuk). Data tambahan boleh datang secara bebas daripada proses menyelesaikan masalah songsang ( pengawasan pasif) atau menjadi hasil eksperimen yang dirancang khas ( pengawasan aktif).

Contoh tambahan

di mana x s- Saiz populasi "keseimbangan", di mana kesuburan betul-betul diimbangi oleh kematian. Saiz populasi dalam model sedemikian cenderung kepada nilai keseimbangan x s dan tingkah laku ini adalah stabil dari segi struktur.

Sistem ini mempunyai keadaan keseimbangan apabila bilangan arnab dan musang adalah tetap. Penyimpangan dari keadaan ini membawa kepada turun naik dalam bilangan arnab dan musang, sama dengan turun naik dalam pengayun harmonik. Seperti dalam kes pengayun harmonik, tingkah laku ini tidak stabil dari segi struktur: perubahan kecil dalam model (contohnya, mengambil kira sumber terhad yang diperlukan oleh arnab) boleh membawa kepada perubahan kualitatif dalam tingkah laku. Sebagai contoh, keadaan keseimbangan boleh menjadi stabil, dan turun naik dalam nombor akan pudar. Keadaan sebaliknya juga mungkin berlaku, apabila sebarang penyelewengan kecil dari kedudukan keseimbangan akan membawa kepada akibat bencana, sehingga kepupusan sepenuhnya salah satu spesies. Model Volterra-Lotka tidak memberikan jawapan kepada persoalan yang mana antara senario ini direalisasikan: penyelidikan tambahan diperlukan di sini.

Nota (edit)

"Perwakilan matematik realiti" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Mengenai isu falsafah pemodelan sibernetik. M., Pengetahuan, 1964.
B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Permodelan Sistem: Buku Teks. untuk universiti - ed. ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 hlm. ISBN 5-06-003860-2
Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Permodelan matematik. Idea. Kaedah. Contoh. ... - ed. ke-2, Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - ed. ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
Wiktionary: model matematik
CliffsNotes
Pendekatan Pengurangan Model dan Butiran Kasar untuk Fenomena Berbilang Skala, Springer, Siri Kerumitan, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 pp. ISBN 3-540-35885-4
“Sesuatu teori dianggap linear atau bukan linear, bergantung kepada sama ada ia adalah radas matematik linear atau bukan linear, dan jenis model matematik linear atau bukan linear yang digunakannya. … Tanpa menafikan yang terakhir. Seorang ahli fizik moden, seandainya dia mencipta semula takrifan intipati penting seperti ketaklinieran, kemungkinan besar, dia akan bertindak secara berbeza, dan, lebih suka ketaklinieran sebagai yang lebih penting dan meluas daripada kedua-dua yang bertentangan, akan mentakrifkan kelinearan sebagai 'bukan ketaklinieran. '." Danilov Yu.A., Kuliah mengenai dinamik tak linear. Pengenalan asas. Sinergetik: dari masa lalu ke siri masa depan. Edisi 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 p. ISBN 5-484-00183-8
“Sistem dinamik yang dimodelkan oleh bilangan terhingga persamaan pembezaan biasa dipanggil sistem gumpalan atau titik. Ia diterangkan menggunakan ruang fasa dimensi terhingga dan dicirikan oleh bilangan darjah kebebasan terhingga. Satu dan sistem yang sama di bawah keadaan yang berbeza boleh dianggap sama ada sebagai tertumpu atau sebagai diedarkan. Model matematik sistem teragih ialah persamaan pembezaan separa, persamaan kamiran, atau persamaan biasa dengan hujah tertinggal. Bilangan darjah kebebasan sistem teragih adalah tidak terhingga, dan jumlah data yang tidak terhingga diperlukan untuk menentukan keadaannya." Anischenko V.S., Sistem dinamik, jurnal pendidikan Soros, 1997, no 11, hlm. 77-84.
“Bergantung kepada sifat proses yang dikaji dalam sistem S, semua jenis pemodelan boleh dibahagikan kepada deterministik dan stokastik, statik dan dinamik, diskret, berterusan dan diskret-berterusan. Pemodelan deterministik memaparkan proses deterministik, iaitu, proses di mana ketiadaan sebarang pengaruh rawak diandaikan; pemodelan stokastik memaparkan proses dan peristiwa kebarangkalian. ... Pemodelan statik digunakan untuk menerangkan gelagat objek pada bila-bila masa, manakala pemodelan dinamik mencerminkan gelagat objek dalam masa. Pemodelan diskret digunakan untuk menerangkan proses yang diandaikan sebagai diskret, masing-masing, pemodelan berterusan membolehkan anda mencerminkan proses berterusan dalam sistem, dan pemodelan berterusan diskret digunakan untuk kes apabila anda ingin menyerlahkan kehadiran kedua-dua proses diskret dan berterusan. " B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Permodelan Sistem: Buku Teks. untuk universiti - ed. ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 hlm. ISBN 5-06-003860-2
Kebiasaannya, model matematik mencerminkan struktur (peranti) objek simulasi, sifat dan perkaitan komponen objek ini yang penting untuk tujuan penyelidikan; model sedemikian dipanggil struktur. Jika model hanya menggambarkan bagaimana objek berfungsi - contohnya, bagaimana ia bertindak balas terhadap pengaruh luar - maka ia dipanggil berfungsi atau, secara kiasan, kotak hitam. Model gabungan juga boleh dilakukan. Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - ed. ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
"Peringkat awal yang jelas, tetapi yang paling penting dalam membina atau memilih model matematik ialah mendapatkan idea yang sejelas mungkin tentang objek yang dimodelkan dan menjelaskan model yang bermakna berdasarkan perbincangan tidak formal. Seseorang tidak sepatutnya meluangkan masa dan usaha pada peringkat ini, kejayaan keseluruhan kajian bergantung padanya. Ia berlaku lebih daripada sekali bahawa kerja penting yang dibelanjakan untuk menyelesaikan masalah matematik ternyata tidak berkesan atau bahkan sia-sia kerana perhatian yang tidak mencukupi terhadap perkara ini." Myshkis A. D., Elemen teori model matematik. - ed. ke-3, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, hlm. 35.
« Penerangan tentang model konsep sistem. Pada sub-peringkat pembinaan model sistem ini: a) model konsep M diterangkan dalam istilah dan konsep abstrak; b) penerangan tentang model diberikan menggunakan skema matematik standard; c) hipotesis dan andaian akhirnya diterima; d) pilihan prosedur untuk menghampiri proses sebenar dalam pembinaan model adalah dibuktikan. B. Ya. Soviet, S. A. Yakovlev, Permodelan Sistem: Buku Teks. untuk universiti - ed. ke-3, rev. dan tambah. - M .: Lebih tinggi. shk., 2001 .-- 343 hlm. ISBN 5-06-003860-2, hlm. 93.

Model dan konsep pemodelan.

Model dalam erti kata yang luasialah sebarang imej, analog, imej mental atau mantap, perihalan, gambar rajah, lukisan, peta, dsb. apa-apa volum, proses atau fenomena, digunakan sebagai pengganti atau wakilnya. Objek, proses atau fenomena itu sendiri dipanggil asal model ini.

Permodelan - ialah kajian ke atas sebarang objek atau sistem objek dengan membina dan mengkaji modelnya. Ia adalah penggunaan model untuk mentakrifkan atau memperhalusi ciri-ciri dan merasionalkan cara-cara membina objek yang baru dibina.

Mana-mana kaedah penyelidikan saintifik adalah berdasarkan idea pemodelan, manakala dalam kaedah teori pelbagai jenis tanda, model abstrak digunakan, dalam eksperimen - model subjek.

Semasa penyelidikan, fenomena sebenar yang kompleks digantikan dengan beberapa salinan atau gambar rajah yang dipermudahkan, kadangkala salinan sedemikian berfungsi hanya untuk diingati dan pada mesyuarat seterusnya untuk mengenali fenomena yang diperlukan. Kadang-kadang skema yang dibina mencerminkan beberapa ciri penting, memungkinkan untuk memahami mekanisme fenomena, memungkinkan untuk meramalkan perubahannya. Model yang berbeza boleh sepadan dengan fenomena yang sama.

Tugas penyelidik adalah untuk meramalkan sifat fenomena dan perjalanan proses.

Kadang-kadang, ia berlaku bahawa objek tersedia, tetapi eksperimen dengannya mahal atau membawa kepada akibat alam sekitar yang serius. Pengetahuan tentang proses tersebut diperolehi melalui model.

Satu perkara penting ialah sifat sains sebenarnya mengandaikan kajian bukan satu fenomena khusus, tetapi kelas fenomena yang berkaitan yang luas. Mengandaikan keperluan untuk merumuskan beberapa pernyataan kategori umum, yang dipanggil undang-undang. Sememangnya, dengan formulasi sedemikian, banyak butiran diabaikan. Untuk mengenal pasti corak dengan lebih jelas, mereka sengaja menggunakan kaedah kasar, idealisasi, skematik, iaitu, mereka bukan mengkaji fenomena itu sendiri, tetapi salinan atau modelnya yang lebih kurang tepat. Semua undang-undang adalah undang-undang model, dan oleh itu tidak menghairankan bahawa dari semasa ke semasa, beberapa teori saintifik dianggap tidak sesuai. Ini tidak membawa kepada keruntuhan sains, kerana satu model telah digantikan oleh yang lain. lebih moden.

Model matematik memainkan peranan khas dalam sains, bahan binaan dan alatan model ini - konsep matematik. Mereka telah terkumpul dan bertambah baik selama beribu tahun. Matematik moden menyediakan alat penyelidikan yang sangat berkuasa dan serba boleh. Hampir setiap konsep dalam matematik, setiap objek matematik, bermula dari konsep nombor, adalah model matematik. Apabila membina model matematik objek atau fenomena yang dikaji, ciri, ciri dan butiran tersebut dibezakan yang, dalam satu pihak, mengandungi maklumat yang lebih kurang lengkap tentang objek, dan sebaliknya, membenarkan pemformalkan matematik. Formalisasi matematik bermakna ciri dan butiran objek boleh dikaitkan dengan konsep matematik yang sesuai: nombor, fungsi, matriks, dan sebagainya. Kemudian sambungan dan hubungan yang ditemui dan diandaikan dalam objek yang dikaji antara bahagian dan komponen individunya boleh ditulis menggunakan hubungan matematik: kesamaan, ketaksamaan, persamaan. Hasilnya ialah huraian matematik proses atau fenomena yang dikaji, iaitu model matematiknya.

Kajian model matematik sentiasa dikaitkan dengan beberapa peraturan tindakan pada objek yang dikaji. Peraturan ini mencerminkan hubungan antara sebab dan kesan.

Membina model matematik adalah peringkat utama dalam penyelidikan atau reka bentuk mana-mana sistem. Semua analisis objek seterusnya bergantung pada kualiti model. Pembinaan model bukanlah prosedur formal. Ia sangat bergantung kepada penyelidik, pengalaman dan rasa, sentiasa bergantung pada bahan eksperimen tertentu. Model mestilah agak tepat, mencukupi dan selesa untuk digunakan.

Permodelan matematik.

Klasifikasi model matematik.

Model matematik bolehdeterministik dan stokastik .

Deterministik model dan - ini adalah model di mana surat-menyurat satu-dengan-satu diwujudkan antara pembolehubah yang menerangkan objek atau fenomena.

Pendekatan ini berdasarkan pengetahuan tentang mekanisme fungsi objek. Selalunya objek yang dimodelkan adalah kompleks dan mentafsir mekanismenya boleh menjadi sangat susah payah dan memakan masa. Dalam kes ini, mereka meneruskan seperti berikut: eksperimen dijalankan pada asal, hasilnya diproses dan, tanpa menyelidiki mekanisme dan teori objek model menggunakan kaedah statistik matematik dan teori kebarangkalian, sambungan diwujudkan antara pembolehubah yang menerangkan objek. Dalam kes ini, seseorang mendapatstokastik model . V stokastik Dalam model, hubungan antara pembolehubah adalah rawak, kadangkala ia berlaku secara prinsip. Kesan sebilangan besar faktor, gabungannya membawa kepada set pembolehubah rawak yang menerangkan objek atau fenomena. Mengikut sifat mod, modelnya adalahstatistik dan dinamik.

Statistikmodeltermasuk penerangan tentang perhubungan antara pembolehubah utama objek yang dimodelkan dalam keadaan mantap tanpa mengambil kira perubahan dalam parameter dari semasa ke semasa.

V dinamikmodelperhubungan antara pembolehubah utama objek yang dimodelkan semasa peralihan dari satu mod ke mod yang lain diterangkan.

Model adalah diskret dan berterusan, serta bercampur-campur taip. V berterusan pembolehubah mengambil nilai dari selang tertentu, dalamdiskretpembolehubah mengambil nilai terpencil.

Model linear- semua fungsi dan hubungan yang menerangkan model secara linear bergantung pada pembolehubah danbukan linearsebaliknya.

Permodelan matematik.

Keperluan , n diumumkan kepada model.

1. serba boleh- mencirikan kesempurnaan paparan sifat yang dikaji bagi objek sebenar oleh model.

Kecukupan - keupayaan untuk mencerminkan sifat yang diingini objek dengan ralat tidak melebihi yang diberikan.
Ketepatan - dinilai oleh tahap kebetulan antara nilai ciri objek sebenar dan nilai ciri ini yang diperoleh menggunakan model.
Keberuntungan - ditentukan oleh kos sumber memori komputer dan masa untuk pelaksanaan dan operasinya.

Permodelan matematik.

Peringkat utama pemodelan.

1. Pernyataan masalah.

Penentuan matlamat analisis dan cara untuk mencapainya dan membangunkan pendekatan umum kepada masalah yang dikaji. Peringkat ini memerlukan pemahaman yang mendalam tentang intipati tugas yang sedang dijalankan. Kadangkala, menetapkan tugas dengan betul tidak kurang sukar daripada menyelesaikannya. Penetapan bukan proses formal, tiada peraturan am.

2. Mengkaji asas teori dan mengumpul maklumat tentang objek asal.

Pada peringkat ini, satu teori yang sesuai dipilih atau dibangunkan. Jika ia tidak wujud, hubungan sebab-akibat diwujudkan antara pembolehubah yang menerangkan objek. Input dan output ditakrifkan, dan memudahkan andaian dibuat.

3. Formalisasi.

Ia terdiri daripada memilih sistem simbol dan menggunakannya untuk menulis hubungan antara komponen objek dalam bentuk ungkapan matematik. Satu kelas masalah ditubuhkan yang mana model matematik objek yang diperolehi boleh dikaitkan. Nilai beberapa parameter pada peringkat ini mungkin belum ditentukan.

4. Pilihan kaedah penyelesaian.

Pada peringkat ini, parameter akhir model ditubuhkan, dengan mengambil kira keadaan untuk operasi objek. Untuk masalah matematik yang diperoleh, kaedah penyelesaian dipilih atau kaedah khas dibangunkan. Apabila memilih kaedah, pengetahuan pengguna, keutamaannya, serta keutamaan pembangun diambil kira.

5. Pelaksanaan model.

Setelah membangunkan algoritma, program ditulis yang dinyahpepijat, diuji, dan penyelesaian kepada masalah yang dikehendaki diperolehi.

6. Analisis maklumat yang diterima.

Penyelesaian yang diperoleh dan dijangka dibandingkan, dan ralat simulasi dipantau.

7. Menyemak kecukupan objek sebenar.

Keputusan yang diperolehi oleh model dibandingkansama ada dengan maklumat yang tersedia tentang objek, atau percubaan sedang dijalankan dan keputusannya dibandingkan dengan yang dikira.

Proses pemodelan adalah berulang. Sekiranya keputusan langkah-langkah yang tidak memuaskan 6. atau 7. kembali ke salah satu peringkat awal, yang boleh membawa kepada pembangunan model yang tidak berjaya, dijalankan. Peringkat ini dan semua peringkat seterusnya diperhalusi dan penghalusan model sedemikian berlaku sehingga keputusan yang boleh diterima diperolehi.

Model matematik ialah huraian anggaran kelas fenomena atau objek dunia sebenar dalam bahasa matematik. Tujuan utama pemodelan adalah untuk menyiasat objek ini dan meramalkan hasil pemerhatian masa hadapan. Walau bagaimanapun, pemodelan juga merupakan kaedah untuk mengenali dunia sekeliling, yang memungkinkan untuk mengawalnya.

Pemodelan matematik dan eksperimen komputer yang berkaitan adalah amat diperlukan dalam kes di mana percubaan semula jadi adalah mustahil atau sukar untuk satu sebab atau yang lain. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk menyediakan eksperimen semula jadi dalam sejarah untuk menyemak "apa yang akan berlaku jika ..." Tidak mustahil untuk mengesahkan ketepatan satu atau satu lagi teori kosmologi. Pada dasarnya, adalah mungkin, tetapi tidak munasabah, untuk bereksperimen dengan penyebaran penyakit, seperti wabak, atau melakukan letupan nuklear untuk mengkaji akibatnya. Walau bagaimanapun, semua ini boleh dilakukan pada komputer, setelah membina model matematik fenomena yang dikaji sebelum ini.

1.1.2 2. Peringkat utama pemodelan matematik

1) Membina model. Pada peringkat ini, objek "bukan matematik" tertentu ditetapkan - fenomena semula jadi, reka bentuk, rancangan ekonomi, proses pengeluaran, dll. Dalam kes ini, sebagai peraturan, penerangan yang jelas tentang keadaan adalah sukar. Pertama, ciri-ciri utama fenomena dan hubungan antara mereka pada tahap kualitatif dikenal pasti. Kemudian kebergantungan kualitatif yang ditemui dirumuskan dalam bahasa matematik, iaitu model matematik dibina. Ini adalah peringkat pemodelan yang paling sukar.

2) Penyelesaian masalah matematik yang dibawa oleh model... Pada peringkat ini, banyak perhatian diberikan kepada pembangunan algoritma dan kaedah berangka untuk menyelesaikan masalah pada komputer, dengan bantuan yang hasilnya boleh didapati dengan ketepatan yang diperlukan dan dalam masa yang munasabah.

3) Tafsiran akibat yang diperoleh daripada model matematik.Akibat yang diperoleh daripada model dalam bahasa matematik ditafsirkan dalam bahasa yang diterima dalam bidang yang diberikan.

4) Menyemak kecukupan model.Pada peringkat ini, dipastikan sama ada keputusan eksperimen bersetuju dengan akibat teori model dalam ketepatan tertentu.

5) Pengubahsuaian model.Pada peringkat ini, terdapat sama ada kerumitan model supaya ia lebih mencukupi kepada realiti, atau pemudahannya untuk mencapai penyelesaian yang boleh diterima secara praktikal.

1.1.3 3. Klasifikasi model

Model boleh dikelaskan mengikut pelbagai kriteria. Sebagai contoh, mengikut sifat masalah yang sedang diselesaikan, model boleh dibahagikan kepada fungsi dan struktur. Dalam kes pertama, semua kuantiti yang mencirikan fenomena atau objek dinyatakan secara kuantitatif. Dalam kes ini, sesetengah daripada mereka dianggap sebagai pembolehubah bebas, manakala yang lain - sebagai fungsi kuantiti ini. Model matematik biasanya merupakan sistem persamaan pelbagai jenis (pembezaan, algebra, dll.) yang mewujudkan hubungan kuantitatif antara kuantiti yang dipertimbangkan. Dalam kes kedua, model itu mencirikan struktur objek kompleks, yang terdiri daripada bahagian yang berasingan, di antaranya terdapat sambungan tertentu. Biasanya, hubungan ini tidak boleh diukur. Ia adalah mudah untuk menggunakan teori graf untuk membina model sedemikian. Graf ialah objek matematik yang merupakan satu set titik (bucu) pada satah atau dalam ruang, sebahagian daripadanya disambungkan dengan garis (tepi).

Mengikut sifat data awal dan keputusan ramalan, model boleh dibahagikan kepada deterministik dan probabilistik-statistik. Model jenis pertama memberikan ramalan yang pasti dan tidak jelas. Model jenis kedua adalah berdasarkan maklumat statistik, dan ramalan yang diperoleh dengan bantuannya adalah bersifat probabilistik.

MODEL SIMULASI MATEMATIK DAN PENGKOMPUTERIAN ATAU SIMULASI UNIVERSAL

Kini, apabila pengkomputeran hampir universal berlaku di negara ini, kita perlu mendengar kenyataan daripada pakar pelbagai profesion: "Jika kita memperkenalkan komputer, maka semua tugas akan diselesaikan dengan segera." Pandangan ini adalah salah sama sekali, komputer dengan sendirinya tanpa model matematik proses tertentu tidak akan dapat melakukan apa-apa, dan seseorang hanya boleh mengimpikan pengkomputeran umum.

Untuk menyokong perkara di atas, kami akan cuba untuk membuktikan keperluan untuk pemodelan, termasuk pemodelan matematik, kami akan mendedahkan kelebihannya dalam kognisi manusia dan transformasi dunia luar, mengenal pasti kekurangan yang ada dan pergi ... ke simulasi, i.e. simulasi komputer. Tetapi semuanya teratur.

Pertama sekali, mari kita jawab soalan: apakah model?

Model ialah bahan atau objek yang diwakili secara mental yang, dalam proses kognisi (kajian), menggantikan yang asal, mengekalkan beberapa sifat tipikal yang penting untuk kajian ini.

Model yang dibina dengan baik lebih mudah diakses untuk penyelidikan daripada objek sebenar. Sebagai contoh, adalah tidak boleh diterima untuk bereksperimen dengan ekonomi negara untuk tujuan pendidikan; di sini anda tidak boleh melakukannya tanpa model.

Merumuskan apa yang telah dikatakan, kita boleh menjawab soalan: untuk apa model itu? Untuk

untuk memahami bagaimana objek disusun (strukturnya, sifat, undang-undang pembangunan, interaksi dengan dunia luar).
belajar mengurus objek (proses) dan menentukan strategi terbaik
meramalkan akibat kesan ke atas objek.

Apakah yang positif tentang mana-mana model? Ia membolehkan anda memperoleh pengetahuan baru tentang objek, tetapi, malangnya, untuk satu darjah atau yang lain, ia tidak lengkap.

Modeldirumus dalam bahasa matematik menggunakan kaedah matematik dipanggil model matematik.

Titik permulaan untuk pembinaannya biasanya adalah beberapa masalah, sebagai contoh, masalah ekonomi. Meluas, kedua-dua deskriptif dan pengoptimuman matematik, mencirikan pelbagai proses ekonomi dan fenomena, contohnya:

peruntukan sumber
pemotongan rasional
pengangkutan
pembesaran perusahaan
perancangan rangkaian.

Bagaimanakah model matematik dibina?

Pertama, matlamat dan subjek penyelidikan dirumuskan.
Kedua, ciri paling penting yang sepadan dengan matlamat ini diserlahkan.
Ketiga, hubungan antara unsur-unsur model digambarkan secara lisan.
Selanjutnya, hubungan itu dirasmikan.
Dan pengiraan dibuat mengikut model matematik dan analisis penyelesaian yang diperolehi.

Menggunakan algoritma ini, anda boleh menyelesaikan sebarang masalah pengoptimuman, termasuk berbilang kriteria, i.e. satu di mana bukan satu, tetapi beberapa matlamat dikejar, termasuk yang bercanggah.

Mari kita beri contoh. Teori beratur adalah masalah beratur. Adalah perlu untuk mengimbangi dua faktor - kos penyelenggaraan peranti perkhidmatan dan kos kekal dalam talian. Setelah membina penerangan formal model, pengiraan dilakukan menggunakan kaedah analitikal dan pengiraan. Sekiranya model itu baik, maka jawapan yang ditemui dengan bantuannya adalah mencukupi untuk sistem pemodelan, jika ia buruk, maka ia harus diperbaiki dan diganti. Amalan adalah kriteria kecukupan.

Model pengoptimuman, termasuk yang multikriteria, mempunyai sifat yang sama - terdapat matlamat yang diketahui (atau beberapa matlamat) untuk pencapaian yang selalunya diperlukan untuk menangani sistem yang kompleks, di mana ia bukan tentang menyelesaikan masalah pengoptimuman tetapi tentang mengkaji dan meramalkan keadaan bergantung pada strategi pengurusan yang boleh dipilih. Dan di sini kita berhadapan dengan kesukaran untuk melaksanakan rancangan sebelum ini. Mereka adalah seperti berikut:

sistem yang kompleks mengandungi banyak perkaitan antara elemen
sistem sebenar dipengaruhi oleh faktor rawak, adalah mustahil untuk mengambil kira secara analitikal
kemungkinan membandingkan yang asal dengan model hanya wujud pada permulaan dan selepas penggunaan radas matematik, kerana keputusan pertengahan mungkin tidak mempunyai analog dalam sistem sebenar.

Sehubungan dengan kesukaran tersenarai yang timbul dalam kajian sistem yang kompleks, amalan menuntut kaedah yang lebih fleksibel, dan ia muncul - pemodelan simulasi "Pemodelan simulasi".

Biasanya, model simulasi difahami sebagai kompleks program komputer yang menerangkan fungsi blok individu sistem dan peraturan interaksi antara mereka. Penggunaan pembolehubah rawak menjadikannya perlu untuk menjalankan eksperimen berulang dengan sistem simulasi (pada komputer) dan analisis statistik seterusnya bagi keputusan. Contoh yang sangat biasa menggunakan model simulasi ialah penyelesaian masalah beratur dengan kaedah MONTE – CARLO.

Oleh itu, bekerja dengan sistem simulasi adalah eksperimen yang dijalankan pada komputer. Apakah faedahnya?

–Kedekatan yang hebat dengan sistem sebenar daripada model matematik;

- Prinsip blok membolehkan untuk mengesahkan setiap blok sebelum ia dimasukkan ke dalam sistem keseluruhan;

–Menggunakan kebergantungan yang bersifat lebih kompleks, tidak diterangkan oleh hubungan matematik yang mudah.

Kelebihan yang disenaraikan menentukan keburukan

–Membina model simulasi lebih lama, lebih sukar dan lebih mahal;

- untuk bekerja dengan sistem simulasi, perlu mempunyai komputer yang sesuai untuk kelas;

- interaksi antara pengguna dan model simulasi (antara muka) tidak boleh terlalu rumit, mudah dan terkenal;

–Membina model simulasi memerlukan kajian yang lebih mendalam tentang proses sebenar daripada pemodelan matematik.

Timbul persoalan: bolehkah pemodelan tiruan menggantikan kaedah pengoptimuman? Tidak, tetapi melengkapkannya dengan mudah. Model simulasi ialah program yang melaksanakan algoritma tertentu, untuk mengoptimumkan kawalan yang mana masalah pengoptimuman diselesaikan terlebih dahulu.

Jadi, komputer, mahupun model matematik, mahupun algoritma untuk kajiannya, secara berasingan, tidak boleh menyelesaikan masalah yang cukup kompleks. Tetapi bersama-sama mereka mewakili kuasa yang membolehkan anda mengetahui dunia di sekeliling anda, untuk mengurusnya demi kepentingan manusia.

1.2 Klasifikasi model

1.2.1
Pengelasan dengan mengambil kira faktor masa dan kawasan penggunaan (Makarova N.A.)

Model statik - ia seperti sekeping maklumat sekali sahaja pada objek (hasil daripada satu tinjauan)
Dinamik model-membolehkan lihat perubahan pada objek dari semasa ke semasa (Kad di klinik)
Adalah mungkin untuk mengklasifikasikan model mengikut fakta apakah bidang kepakaran mereka(biologi, sejarah, ekologi, dsb.)
Kembali ke atas

1.2.2 Klasifikasi mengikut kawasan penggunaan (Makarova N.A.)

Pendidikan- visual manual, simulator , oh, kamu yang bermasalah program
Berpengalaman model yang diperkecilkan salinan (kereta dalam terowong angin)
Saintifik dan teknikal synchrophasotron, berdiri untuk menguji peralatan elektronik
permainan- ekonomi, sukan, permainan perniagaan
tiruan- bukan Mereka hanya mencerminkan realiti, tetapi menirunya (dadah diuji pada tikus, eksperimen dijalankan di sekolah, dll. Kaedah pemodelan ini dipanggil percubaan dan kesilapan
Kembali ke atas

1.2.3 Klasifikasi dengan cara pembentangan Makarova N.A.)

bahan model- sebaliknya boleh dipanggil subjek. Mereka melihat sifat geometri dan fizikal yang asal dan sentiasa mempunyai penjelmaan sebenar.
Maklumat model-tidak dibenarkan sentuh atau lihat. Ia dibina berdasarkan maklumat sahaja. .Dan bermaklumat Model ialah koleksi maklumat yang mencirikan sifat dan keadaan sesuatu objek, proses, fenomena, serta hubungan dengan dunia luar.
Model lisan - model maklumat dalam bentuk mental atau lisan.
ikonik maklumat model model tanda , iaitu... melalui sebarang bahasa formal.
model komputer - m Model yang dilaksanakan melalui persekitaran perisian.

1.2.4 Klasifikasi model yang diberikan dalam buku "Earth Informatics" (Gein A.G.))

"... berikut adalah tugas mudah pada pandangan pertama: berapa lama masa yang diperlukan untuk menyeberangi Gurun Karakum? Jawapannya, sudah tentu bergantung pada cara perjalanan. Jika perjalanan terus unta, maka ia akan mengambil satu masa, satu lagi - jika anda pergi dengan kereta, yang ketiga - jika anda terbang dengan kapal terbang. Paling penting, model yang berbeza diperlukan untuk perancangan perjalanan. Untuk kes pertama, model yang diperlukan boleh didapati dalam memoir penjelajah padang pasir yang terkenal: lagipun, maklumat tentang oasis dan laluan unta sangat diperlukan di sini. Dalam kes kedua, maklumat yang tidak boleh ditukar yang terkandung dalam atlas lebuh raya. Dalam ketiga, anda boleh menggunakan jadual penerbangan.
Perbezaan antara ketiga-tiga model ini - memoir, atlas dan jadual dan sifat penyampaian maklumat. Dalam kes pertama, model diwakili oleh penerangan lisan maklumat (model deskriptif), dalam yang kedua - seperti gambar dari alam semula jadi (model skala penuh), dalam yang ketiga - jadual yang mengandungi legenda: masa berlepas dan ketibaan, hari dalam minggu, harga tiket (yang dipanggil model ikonik) Walau bagaimanapun, pembahagian ini agak sewenang-wenangnya - dalam memoir, peta dan gambar rajah (elemen model skala penuh) boleh didapati, peta mempunyai simbol (elemen model tanda), jadual mengandungi penyahkodan simbol (elemen deskriptif). model). Jadi klasifikasi model ini ... pada pandangan kami adalah tidak produktif "
Pada pendapat saya, serpihan ini menunjukkan deskriptif (bahasa dan gaya penyampaian yang menarik) yang biasa kepada semua buku Hein dan, seolah-olah, gaya pembelajaran Socratic (Semua orang berpendapat bahawa ini adalah begitu. Saya sangat bersetuju dengan anda, tetapi jika anda melihat dengan teliti, maka ...). Dalam buku sedemikian agak sukar untuk mencari sistem definisi yang jelas (ia tidak diandaikan oleh pengarang). Buku teks yang disunting oleh N.A. Makarova menunjukkan pendekatan yang berbeza - definisi konsep diserlahkan dengan jelas dan agak statik.

1.2.5 Klasifikasi model yang diberikan dalam manual oleh A.I. Bochkin

Terdapat banyak cara yang luar biasa untuk mengklasifikasikan .Marilah kita memberi hanya beberapa, sebab yang paling terkenal dan tanda-tanda: diskret dan kesinambungan, matriks dan model skalar, model statik dan dinamik, model analisis dan maklumat, subjek dan model tanda kiasan, skala dan bukan skala ...
Setiap tanda memberikan yang tertentu pengetahuan tentang sifat kedua-dua model dan realiti simulasi. Penunjuk boleh berfungsi sebagai petunjuk tentang cara simulasi telah dilakukan atau akan datang.
Diskret dan kesinambungan Kebijaksanaan - ciri ciri model komputer .Lagipun komputer boleh berada dalam bilangan keadaan yang terhad, walaupun sangat besar. Oleh itu, walaupun objek itu berterusan (masa), dalam model ia akan berubah dalam lompatan. Ia boleh dipertimbangkan kesinambungan tanda model bukan jenis komputer.
Rawak dan determinisme ... ketidakpastian, kemalangan pada mulanya menentang dunia komputer: Algoritma yang baru dilancarkan mesti berulang dan memberikan hasil yang sama. Tetapi untuk mensimulasikan proses rawak, penderia nombor pseudo-rawak digunakan. Memperkenalkan rawak ke dalam masalah deterministik membawa kepada model yang berkuasa dan menarik (Mengira kawasan dengan kaedah balingan rawak).
Matriks - skalariti... Ketersediaan parameter untuk matriks model bercakap tentang kerumitan yang lebih besar dan, mungkin, ketepatan berbanding dengan skalar... Sebagai contoh, jika kita tidak memilih semua kumpulan umur dalam populasi negara, memandangkan perubahannya secara keseluruhan, kita akan memperoleh model skalar (contohnya, model Malthus), jika kita memilihnya, ia adalah matriks ( umur dan jantina) model. Model matrikslah yang memungkinkan untuk menjelaskan turun naik dalam kesuburan selepas perang.
Dinamik statik... Sifat model ini biasanya ditentukan terlebih dahulu oleh sifat objek sebenar. Tiada kebebasan memilih di sini. cuma statik model boleh menjadi satu langkah ke arah dinamik, atau beberapa pembolehubah model boleh dianggap tidak berubah buat masa ini. Sebagai contoh, satelit bergerak mengelilingi Bumi, pergerakannya dipengaruhi oleh Bulan. Jika kita mengandaikan bahawa Bulan tidak bergerak semasa orbit satelit, kita mendapat model yang lebih mudah.
Model analisis... Penerangan tentang proses secara analitikal, formula dan persamaan. Tetapi apabila cuba membina graf, adalah lebih mudah untuk mempunyai jadual nilai fungsi dan hujah.
Model simulasi. Peniruan model muncul lama dahulu dalam bentuk salinan berskala besar kapal, jambatan, dll muncul lama dahulu, tetapi berkaitan dengan komputer dianggap baru-baru ini. Mengetahui bagaimana berhubung unsur-unsur model secara analitikal dan logik, lebih mudah untuk tidak menyelesaikan sistem hubungan dan persamaan tertentu, tetapi untuk memaparkan sistem sebenar dalam ingatan komputer, dengan mengambil kira hubungan antara elemen memori.
Model maklumat. Maklumat model biasanya bertentangan dengan matematik, lebih tepat algoritma. Nisbah volum data / algoritma adalah penting di sini. Jika terdapat lebih banyak data atau lebih penting, kami mempunyai model maklumat, jika tidak - matematik.
Model objek... Ini terutamanya model kanak-kanak - mainan.
Model kiasan dan ikonik... Ia terutamanya model dalam minda manusia: kiasan jika grafik mendominasi, dan ikonik jika terdapat lebih perkataan dan/atau nombor. Model kiasan-simbolik dibina pada komputer.
Model skala... KEPADA berskala besar model ialah model subjek atau kiasan yang mengulangi bentuk objek (peta).

Entri lain

Model matematik untuk OGE dan USE (2019)

Konsep model matematik

Model matematik dalam amalan

MODEL MATEMATIK. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Klasifikasi model

Klasifikasi formal model

Pengelasan mengikut cara objek dipersembahkan

Kandungan dan model formal

Klasifikasi model yang besar

Jenis 2: Model fenomenologi (berkelakuan seolah-olah…)

Jenis 3: Pengiraan (kita menganggap sesuatu yang sangat besar atau sangat kecil)

Jenis 8: Demonstrasi kemungkinan (perkara utama adalah untuk menunjukkan konsistensi dalaman kemungkinan)

Contoh

Model keras dan lembut

Kepelbagaian model

Masalah langsung dan songsang pemodelan matematik

Contoh tambahan

Nota (edit)

1.1.2 2. Peringkat utama pemodelan matematik

1.1.3 3. Klasifikasi model

1.2 Klasifikasi model

1.2.1 Pengelasan dengan mengambil kira faktor masa dan kawasan penggunaan (Makarova N.A.)

1.2.2 Klasifikasi mengikut kawasan penggunaan (Makarova N.A.)

1.2.3 Klasifikasi dengan cara pembentangan Makarova N.A.)

1.2.4 Klasifikasi model yang diberikan dalam buku "Earth Informatics" (Gein A.G.))

1.2.5 Klasifikasi model yang diberikan dalam manual oleh A.I. Bochkin

Pilihan Editor

1.2.1
Pengelasan dengan mengambil kira faktor masa dan kawasan penggunaan (Makarova N.A.)