Hasil darab titik bagi vektor

Kami terus berurusan dengan vektor. Dalam pelajaran pertama Vektor untuk boneka kami meneliti konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor dan tugas paling mudah dengan vektor. Jika anda datang ke halaman ini buat kali pertama dari enjin carian, saya sangat mengesyorkan membaca artikel pengenalan di atas, kerana untuk menguasai bahan, anda perlu menavigasi dalam istilah dan notasi yang saya gunakan, mempunyai pengetahuan asas tentang vektor dan menjadi mampu menyelesaikan masalah asas. Pelajaran ini adalah kesinambungan logik topik, dan di dalamnya saya akan menganalisis secara terperinci tugas tipikal di mana hasil darab titik vektor digunakan. Ini adalah aktiviti yang SANGAT PENTING.... Cuba untuk tidak melangkau contoh, ia disertai dengan bonus yang berguna - latihan akan membantu anda menyatukan bahan yang telah anda bincangkan dan mendapatkan penyelesaian kepada masalah biasa dalam geometri analisis.

Penambahan vektor, pendaraban vektor dengan nombor…. Adalah naif untuk berfikir bahawa ahli matematik tidak menghasilkan apa-apa lagi. Sebagai tambahan kepada tindakan yang telah dipertimbangkan, terdapat beberapa operasi lain dengan vektor, iaitu: hasil darab titik bagi vektor, produk vektor bagi vektor dan hasil campuran vektor... Hasil darab skalar bagi vektor sudah biasa kepada kita dari sekolah, dua produk lain secara tradisinya berkaitan dengan kursus matematik yang lebih tinggi. Topiknya mudah, algoritma untuk menyelesaikan banyak masalah adalah stereotaip dan boleh difahami. Satu-satu nya. Terdapat jumlah maklumat yang baik, jadi adalah tidak diingini untuk cuba menguasai, menyelesaikan SEGALANYA SEKALI. Ini adalah benar terutamanya untuk teko, percayalah, penulis tidak mahu merasa seperti Chikatilo dari matematik sama sekali. Nah, dan bukan dari matematik, sudah tentu, juga =) Pelajar yang lebih bersedia boleh menggunakan bahan secara selektif, dalam erti kata, "mendapatkan" pengetahuan yang hilang, untuk anda saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Akhirnya, marilah kita membuka sedikit pintu dan melihat dengan penuh semangat apa yang berlaku apabila dua vektor bertemu antara satu sama lain….

Penentuan hasil darab titik bagi vektor.
Sifat produk titik. Tugas biasa

Konsep produk dot

Pertama tentang sudut antara vektor... Saya rasa semua orang secara intuitif memahami sudut antara vektor, tetapi untuk berjaga-jaga, sedikit lebih terperinci. Pertimbangkan vektor bukan sifar percuma dan. Jika anda menangguhkan vektor ini dari titik sewenang-wenangnya, anda akan mendapat gambaran yang ramai sudah bayangkan dalam fikiran mereka:

Saya mengaku di sini saya telah menggariskan situasi itu hanya pada tahap pemahaman. Jika anda memerlukan definisi sudut yang ketat antara vektor, sila rujuk buku teks, tetapi untuk masalah praktikal kami, pada dasarnya, tidak memerlukannya. Di SINI DAN SELANJUTNYA, saya akan mengabaikan vektor sifar kerana kepentingan praktikalnya yang rendah. Saya membuat tempahan khusus untuk pelawat tapak lanjutan yang boleh mencela saya kerana ketidaklengkapan teori beberapa kenyataan berikut.

Dalam kesusasteraan, ikon sudut sering diabaikan dan ditulis secara ringkas.

Definisi: Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah NUMBER sama dengan hasil darab panjang vektor-vektor ini dengan kosinus sudut di antara keduanya:

Ini sudah menjadi definisi yang agak ketat.

Kami memberi tumpuan kepada maklumat penting:

Jawatan: produk titik dilambangkan dengan atau hanya.

Hasil operasi ialah NUMBER: Vektor didarab dengan vektor, dan hasilnya ialah nombor. Sesungguhnya, jika panjang vektor ialah nombor, kosinus sudut ialah nombor, maka hasil darabnya juga akan menjadi nombor.

Hanya beberapa contoh pemanasan badan:

Contoh 1

Penyelesaian: Kami menggunakan formula ... Dalam kes ini:

Jawapan:

Nilai kosinus boleh didapati di jadual trigonometri... Saya mengesyorkan mencetaknya - ia akan diperlukan di hampir semua bahagian menara dan akan diperlukan berkali-kali.

Dari sudut pandangan matematik semata-mata, hasil darab titik adalah tidak berdimensi, iaitu, hasilnya, dalam kes ini, hanyalah nombor dan itu sahaja. Dari sudut pandangan masalah fizik, hasil skalar sentiasa mempunyai makna fizikal tertentu, iaitu, selepas hasilnya, satu atau satu unit fizikal mesti ditunjukkan. Contoh kanonik mengira kerja daya boleh didapati dalam mana-mana buku teks (rumusnya betul-betul hasil darab titik). Kerja daya diukur dalam Joule, oleh itu, dan jawapannya akan ditulis dengan agak khusus, sebagai contoh,.

Contoh 2

Cari jika , dan sudut antara vektor ialah.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian buat sendiri, jawapannya ada di penghujung tutorial.

Sudut antara vektor dan nilai produk titik

Dalam Contoh 1, produk dot ternyata positif, dan dalam Contoh 2, ia ternyata negatif. Mari kita ketahui apa yang bergantung pada tanda produk titik. Kami melihat formula kami: ... Panjang vektor bukan sifar sentiasa positif:, jadi tanda hanya boleh bergantung pada nilai kosinus.

Nota: Untuk pemahaman yang lebih baik tentang maklumat di bawah, adalah lebih baik untuk mengkaji graf kosinus dalam manual Graf fungsi dan sifat... Lihat cara kosinus bertindak pada segmen.

Seperti yang telah dinyatakan, sudut antara vektor boleh berbeza-beza dalam , dan kes berikut adalah mungkin:

1) Jika suntikan antara vektor pedas: (dari 0 hingga 90 darjah), kemudian , dan produk dot akan menjadi positif diarahkan bersama, maka sudut di antara mereka dianggap sifar, dan hasil darab titik juga akan menjadi positif. Oleh kerana, formula dipermudahkan:.

2) Jika suntikan antara vektor tumpul: (dari 90 hingga 180 darjah), kemudian , dan selaras dengan itu, produk titik adalah negatif:. Kes khas: jika vektor arah bertentangan, maka sudut di antara mereka dianggap dikerahkan: (180 darjah). Produk titik juga negatif, kerana

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika, maka sudut antara vektor ini adalah akut. Sebagai alternatif, vektor adalah kodirectional.

2) Jika, maka sudut antara vektor yang diberikan adalah tumpul. Sebagai alternatif, vektor diarahkan secara bertentangan.

Tetapi kes ketiga sangat menarik:

3) Jika suntikan antara vektor lurus: (90 darjah), kemudian hasil darab titik adalah sifar:. Sebaliknya juga benar: jika, maka. Pernyataan tersebut dirumuskan secara ringkas seperti berikut: Hasil darab skalar bagi dua vektor adalah sifar jika dan hanya jika vektor ini adalah ortogon... Notasi matematik pendek:

! Nota : ulang asas logik matematik: ikon akibat logik dua sisi biasanya dibaca "kemudian dan hanya kemudian", "jika dan hanya jika". Seperti yang anda lihat, anak panah diarahkan ke kedua-dua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari apa yang mengikuti dari ini." By the way, apakah perbezaan daripada ikon ikut sehala? Tuntutan ikon itu sahaja bahawa "ini mengikuti daripada ini", dan ia bukanlah fakta bahawa sebaliknya adalah benar. Contohnya: tetapi bukan setiap haiwan adalah harimau kumbang, jadi ikon tidak boleh digunakan dalam kes ini. Pada masa yang sama, bukannya ikon boleh gunakan ikon sehala. Sebagai contoh, menyelesaikan masalah, kami mendapati bahawa kami membuat kesimpulan bahawa vektor adalah ortogon: - entri sedemikian akan betul, dan lebih sesuai daripada .

Kes ketiga mempunyai kepentingan praktikal yang besar. kerana ia membolehkan anda menyemak sama ada vektor adalah ortogon atau tidak. Kami akan menyelesaikan masalah ini dalam bahagian kedua pelajaran.

Sifat produk titik

Mari kita kembali kepada situasi apabila dua vektor diarahkan bersama... Dalam kes ini, sudut di antara mereka adalah sama dengan sifar, dan formula produk titik mengambil bentuk:.

Apakah yang berlaku jika vektor didarab dengan sendiri? Adalah jelas bahawa vektor adalah kodirectional dengan dirinya sendiri, jadi kami menggunakan formula mudah di atas:

Nombor dipanggil segi empat sama skalar vektor, dan dilambangkan sebagai.

Dengan cara ini, kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan kuasa dua panjang vektor yang diberikan:

Daripada kesamaan ini, anda boleh mendapatkan formula untuk mengira panjang vektor:

Walaupun ia kelihatan kabur, tetapi tugas-tugas pelajaran akan meletakkan segala-galanya pada tempatnya. Untuk menyelesaikan masalah, kita juga perlu sifat produk titik.

Untuk vektor arbitrari dan sebarang nombor, sifat berikut adalah sah:

1) - boleh sesar atau komutatif undang-undang produk skalar.

2) - pengedaran atau pengedaran undang-undang produk skalar. Secara mudah, anda boleh mengembangkan kurungan.

3) - gabungan atau berpersatuan undang-undang produk skalar. Pemalar boleh dikeluarkan daripada produk titik.

Selalunya, semua jenis harta benda (yang juga perlu dibuktikan!) Ditanggapi oleh pelajar sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu dihafal dan selamat dilupakan sejurus selepas peperiksaan. Nampaknya apa yang penting di sini, semua orang tahu dari gred pertama bahawa produk itu tidak berubah daripada penyusunan semula faktor:. Saya mesti memberi amaran kepada anda, dalam matematik yang lebih tinggi dengan pendekatan ini, ia adalah mudah untuk memecahkan kayu. Jadi, sebagai contoh, harta anjakan tidak sah untuk matriks algebra... Ia juga tidak benar untuk produk vektor bagi vektor... Oleh itu, sekurang-kurangnya adalah lebih baik untuk menyelidiki mana-mana sifat yang anda temui dalam kursus matematik yang lebih tinggi untuk memahami apa yang boleh dan tidak boleh dilakukan.

Contoh 3

.

Penyelesaian: Pertama, mari kita jelaskan keadaan dengan vektor. Apakah ini pula? Jumlah vektor dan merupakan vektor yang jelas, yang dilambangkan dengan. Tafsiran geometri tindakan dengan vektor boleh didapati dalam artikel Vektor untuk boneka... Pasli yang sama dengan vektor ialah jumlah vektor dan.

Jadi, dengan syarat ia diperlukan untuk mencari produk titik. Secara teori, anda perlu menggunakan formula kerja , tetapi masalahnya ialah kita tidak tahu panjang vektor dan sudut di antara mereka. Tetapi syarat memberikan parameter yang sama untuk vektor, jadi kita akan pergi ke arah lain:

(1) Gantikan ungkapan vektor.

(2) Kami mengembangkan kurungan mengikut peraturan pendaraban polinomial, pemintal lidah kesat boleh didapati dalam artikel Nombor kompleks atau Penyepaduan fungsi rasional pecahan... Saya tidak akan mengulangi diri saya sendiri =) Dengan cara ini, sifat pengedaran produk skalar membolehkan kita mengembangkan kurungan. Kita ada hak.

(3) Dalam sebutan pertama dan terakhir, kita padat menulis petak skalar vektor: ... Dalam istilah kedua, kami menggunakan kebolehubahsuaian hasil skalar:.

(4) Kami memberikan terma yang serupa:.

(5) Dalam istilah pertama, kami menggunakan formula kuasa dua skalar, yang telah disebutkan tidak lama dahulu. Dalam penggal terakhir, masing-masing, perkara yang sama berfungsi:. Kami mengembangkan istilah kedua mengikut formula standard .

(6) Kami menggantikan syarat ini , dan BERHATI-HATI buat pengiraan akhir.

Jawapan:

Nilai negatif hasil darab titik menyatakan hakikat bahawa sudut antara vektor adalah tumpul.

Tugasnya adalah tipikal, berikut adalah contoh untuk penyelesaian bebas:

Contoh 4

Cari hasil darab titik bagi vektor dan, jika diketahui bahawa .

Kini satu lagi tugas biasa, hanya untuk formula baharu untuk panjang vektor. Penamaan di sini akan bertindih sedikit, jadi untuk kejelasan, saya akan menulis semula dengan huruf yang berbeza:

Contoh 5

Cari panjang vektor jika .

Penyelesaian akan menjadi seperti berikut:

(1) Bekalkan ungkapan vektor.

(2) Kami menggunakan formula panjang:, manakala keseluruhan ungkapan bertindak sebagai vektor "ve".

(3) Kami menggunakan formula sekolah untuk kuasa dua jumlah. Perhatikan cara ia berfungsi secara ingin tahu di sini: - sebenarnya, ia adalah kuasa dua perbezaan, dan, sebenarnya, ia adalah. Mereka yang berminat boleh menyusun semula vektor di tempat: - ternyata sama sehingga penyusunan semula terma.

(4) Selebihnya sudah biasa daripada dua masalah sebelum ini.

Jawapan:

Oleh kerana kita bercakap tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - "unit".

Contoh 6

Cari panjang vektor jika .

Ini adalah contoh untuk penyelesaian buat sendiri. Selesaikan penyelesaian dan jawapan pada akhir tutorial.

Kami terus memerah perkara yang berguna daripada produk titik. Mari lihat semula formula kami ... Mengikut peraturan perkadaran, mari kita tetapkan semula panjang vektor kepada penyebut di sebelah kiri:

Dan kami akan menukar bahagian:

Apakah maksud formula ini? Jika anda mengetahui panjang dua vektor dan hasil darab titiknya, maka anda boleh mengira kosinus sudut antara vektor ini, dan, oleh itu, sudut itu sendiri.

Adakah produk titik itu nombor? Nombor. Adakah panjang bagi vektor nombor? Nombor. Oleh itu, pecahan itu juga merupakan nombor tertentu. Dan jika kosinus sudut itu diketahui: , kemudian menggunakan fungsi songsang adalah mudah untuk mencari sudut itu sendiri: .

Contoh 7

Cari sudut antara vektor dan, jika diketahui bahawa.

Penyelesaian: Kami menggunakan formula:

Pada peringkat akhir pengiraan, teknik digunakan - penghapusan ketidakrasionalan dalam penyebut. Untuk menghapuskan ketidakrasionalan, saya mendarabkan pengangka dan penyebut dengan.

Jadi kalau , maka:

Nilai fungsi trigonometri songsang boleh didapati dengan jadual trigonometri... Walaupun ini jarang berlaku. Dalam masalah geometri analitik, beberapa jenis beruang kekok muncul lebih kerap, dan nilai sudut perlu dicari lebih kurang menggunakan kalkulator. Sebenarnya, kita akan melihat gambar sedemikian lebih daripada sekali.

Jawapan:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - radian dan darjah. Secara peribadi, untuk "mengosongkan semua soalan" secara sedar, saya lebih suka untuk menunjukkan kedua-dua itu dan itu (melainkan, tentu saja, dengan syarat, ia diperlukan untuk membentangkan jawapan hanya dalam radian atau hanya dalam darjah).

Kini anda akan dapat mengatasi tugas yang lebih sukar sendiri:

Contoh 7 *

Diberi adalah panjang vektor, dan sudut di antara mereka. Cari sudut antara vektor,.

Tugas itu tidak sesukar berbilang langkah.
Mari analisa algoritma penyelesaian:

1) Mengikut syarat, ia diperlukan untuk mencari sudut antara vektor dan, oleh itu, anda perlu menggunakan formula .

2) Cari produk titik (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Cari panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Penghujung penyelesaian bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita tahu nombornya, yang bermaksud mudah untuk mencari sudut itu sendiri:

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir tutorial.

Bahagian kedua pelajaran memfokuskan pada produk titik yang sama. Koordinat. Ia akan menjadi lebih mudah daripada bahagian pertama.

Hasil darab titik bagi vektor,
diberikan oleh koordinat dalam asas ortonormal

Jawapan:

Tidak perlu dikatakan, berurusan dengan koordinat adalah lebih menyenangkan.

Contoh 14

Cari hasil darab titik bagi vektor dan, jika

Ini adalah contoh untuk penyelesaian buat sendiri. Di sini anda boleh menggunakan persekutuan operasi, iaitu, jangan dikira, tetapi segera alihkan tiga kali ganda keluar daripada hasil skalar dan darab dengannya yang terakhir. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Pada penghujung perenggan, contoh provokatif untuk mengira panjang vektor:

Contoh 15

Cari panjang vektor , jika

Penyelesaian: sekali lagi cara bahagian sebelumnya mencadangkan dirinya sendiri:, tetapi ada cara lain:

Cari vektor:

Dan panjangnya mengikut formula remeh :

Produk dot tidak menjadi persoalan di sini sama sekali!

Di luar perniagaan, ia adalah apabila mengira panjang vektor:
Berhenti. Mengapa tidak mengambil kesempatan daripada sifat jelas panjang vektor? Bagaimana dengan panjang vektor? Vektor ini adalah 5 kali lebih panjang daripada vektor. Hala tuju berlawanan, tapi tidak mengapa, kerana bicara panjang lebar. Jelas sekali, panjang vektor adalah sama dengan produk modul nombor setiap panjang vektor:
- tanda modul "makan" kemungkinan tolak nombor.

Dengan cara ini:

Jawapan:

Formula untuk kosinus sudut antara vektor, yang diberikan oleh koordinat

Sekarang kita mempunyai maklumat lengkap untuk menyatakan formula yang diperoleh sebelum ini untuk kosinus sudut antara vektor dari segi koordinat vektor:

Kosinus sudut antara vektor satah dan diberikan secara ortonormal, dinyatakan oleh formula:
.

Kosinus sudut antara vektor ruang diberikan secara ortonormal, dinyatakan oleh formula:

Contoh 16

Tiga bucu segitiga diberikan. Cari (sudut bucu).

Penyelesaian: Mengikut syarat, lukisan tidak perlu dilakukan, tetapi masih:

Sudut yang diperlukan ditandakan dengan arka hijau. Kami segera mengingati penetapan sekolah sudut: - perhatian khusus kepada purata huruf - ini adalah puncak sudut yang kita perlukan. Untuk ringkasnya, ia juga boleh ditulis secara ringkas.

Daripada lukisan itu agak jelas bahawa sudut segi tiga bertepatan dengan sudut antara vektor dan, dengan kata lain: .

Adalah wajar untuk belajar bagaimana menjalankan analisis yang dilakukan secara mental.

Cari vektor:

Mari kita mengira produk titik:

Dan panjang vektor:

Kosinus sudut:

Ini adalah urutan menyelesaikan tugas yang saya cadangkan kepada teko. Pembaca yang lebih maju boleh menulis pengiraan "dalam satu baris":

Berikut ialah contoh nilai kosinus "buruk". Nilai yang terhasil tidak muktamad, jadi tidak ada gunanya untuk menyingkirkan ketidakrasionalan dalam penyebut.

Mari cari sudut itu sendiri:

Jika anda melihat lukisan itu, hasilnya agak munasabah. Untuk semakan, sudut juga boleh diukur dengan protraktor. Jangan rosakkan penutup monitor =)

Jawapan:

Dalam jawapannya, jangan lupa itu ditanya tentang sudut segi tiga itu(dan bukan tentang sudut antara vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawapan yang tepat: dan nilai anggaran sudut: ditemui dengan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati proses itu boleh mengira sudut dan memastikan bahawa kesamaan kanonik adalah benar

Contoh 17

Segitiga ditakrifkan dalam ruang dengan koordinat bucunya. Cari sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh untuk penyelesaian buat sendiri. Selesaikan penyelesaian dan jawapan pada akhir tutorial

Bahagian akhir pendek akan ditumpukan kepada unjuran, di mana hasil skalar juga "bercampur":

Unjuran vektor-ke-vektor. Unjuran vektor kepada paksi koordinat.
Kosinus arah bagi vektor

Pertimbangkan vektor dan:

Kami menayangkan vektor pada vektor, untuk ini kami tinggalkan dari awal dan akhir vektor serenjang setiap vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan sinar cahaya jatuh berserenjang dengan vektor. Kemudian segmen (garis merah) akan menjadi "bayangan" vektor. Dalam kes ini, unjuran vektor pada vektor ialah PANJANG segmen. Iaitu, Unjuran ADALAH NOMBOR.

NUMBER ini dilambangkan seperti berikut:, "vektor besar" menandakan vektor YANG projek, "vektor subskrip kecil" menandakan vektor PADA yang sedang diunjurkan.

Rekod itu sendiri berbunyi seperti ini: "unjuran vektor" a "kepada vektor" bh "".

Apakah yang berlaku jika vektor "bs" adalah "terlalu pendek"? Kami melukis garis lurus yang mengandungi vektor "be". Dan vektor "a" akan diunjurkan sudah pada arah vektor "bh", hanya - pada garis lurus yang mengandungi vektor "be". Perkara yang sama akan berlaku jika vektor "a" ditangguhkan dalam kerajaan ketiga puluh - ia masih akan mudah diunjurkan ke garis lurus yang mengandungi vektor "bh".

Jika sudut antara vektor pedas(seperti dalam gambar), kemudian

Jika vektor ortogon, maka (unjuran ialah titik yang dimensinya diandaikan sifar).

Jika sudut antara vektor tumpul(dalam rajah, susun semula anak panah vektor secara mental), kemudian (panjang yang sama, tetapi diambil dengan tanda tolak).

Mari kita tangguhkan vektor ini dari satu titik:

Jelas sekali, apabila vektor bergerak, unjurannya tidak berubah.

Produk vektor dan titik memudahkan pengiraan sudut antara vektor. Biarkan diberikan dua vektor $ \ garis atas (a) $ dan $ \ garis atas (b) $, sudut berorientasikan antaranya ialah $ \ varphi $. Hitung nilai $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ dan $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Kemudian $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, dengan $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, dan $ \ varphi $ ialah sudut yang diperlukan, iaitu titik $ (x, y) $ mempunyai sudut kutub sama dengan $ \ varphi $, dan oleh itu $ \ varphi $ boleh didapati sebagai atan2 (y, x).

Luas segi tiga

Oleh kerana hasil silang mengandungi hasil darab dua panjang vektor dengan kosinus sudut di antaranya, hasil silang boleh digunakan untuk mengira luas segi tiga ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Titik kepunyaan garis lurus

Biarkan satu titik $ P $ dan garis lurus $ AB $ (diberi dua mata $ A $ dan $ B $) diberikan. Adalah perlu untuk menyemak sama ada titik itu tergolong dalam garis $ AB $.

Satu titik tergolong dalam garis lurus $ AB $ jika dan hanya jika vektor $ AP $ dan $ AB $ adalah kolinear, iaitu, jika $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Kepunyaan titik kepada sinar

Biarkan satu titik $ P $ dan sinar $ AB $ (diberi oleh dua titik - permulaan sinar $ A $ dan satu titik pada sinar $ B $) diberikan. Adalah perlu untuk menyemak sama ada titik itu tergolong dalam sinar $ AB $.

Dengan syarat titik $ P $ tergolong dalam garis $ AB $, adalah perlu untuk menambah syarat tambahan - vektor $ AP $ dan $ AB $ adalah berarah bersama, iaitu, ia adalah kolinear dan hasil skalarnya adalah bukan negatif, iaitu, $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Titik tergolong dalam segmen garis

Biarkan satu titik $ P $ dan segmen $ AB $ diberikan. Ia adalah perlu untuk menyemak sama ada titik itu tergolong dalam segmen $ AB $.

Dalam kes ini, titik mestilah milik kedua-dua sinar $ AB $ dan sinar $ BA $, jadi syarat berikut mesti diperiksa:

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Jarak dari titik ke garisan

Biarkan satu titik $ P $ dan garis lurus $ AB $ (diberi dua mata $ A $ dan $ B $) diberikan. Ia adalah perlu untuk mencari jarak dari titik garis lurus $ AB $.

Pertimbangkan segi tiga ABP. Di satu pihak, luasnya ialah $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Sebaliknya, luasnya ialah $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, di mana $ h $ ialah ketinggian yang dijatuhkan dari titik $ P $, iaitu jarak dari $ P $ hingga $ AB $. Dari mana $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Titik ke jarak rasuk

Biarkan satu titik $ P $ dan sinar $ AB $ (diberi oleh dua titik - permulaan sinar $ A $ dan satu titik pada sinar $ B $) diberikan. Adalah perlu untuk mencari jarak dari titik ke sinar, iaitu panjang segmen terpendek dari titik $ P $ ke mana-mana titik pada sinar.

Jarak ini sama dengan panjang $ AP $, atau jarak dari titik $ P $ ke garis $ AB $. Mana antara kes yang berlaku adalah mudah untuk ditentukan oleh kedudukan relatif rasuk dan titik. Jika sudut PAB adalah akut, iaitu $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, maka jawapannya ialah jarak dari titik $ P $ ke garis lurus $ AB $, jika tidak. jawapannya ialah panjang segmen $ AB $.

Jarak dari titik ke garisan

Biarkan satu titik $ P $ dan segmen $ AB $ diberikan. Ia adalah perlu untuk mencari jarak dari $ P $ ke segmen $ AB $.

Jika tapak serenjang jatuh dari $ P $ ke garisan $ AB $ jatuh pada segmen $ AB $, yang boleh disahkan oleh syarat

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

maka jawapannya ialah jarak dari titik $ P $ ke garisan $ AB $. Jika tidak, jarak akan sama dengan $ \ min (AP, BP) $.

Definisi 1

Hasil darab skalar bagi vektor ialah nombor yang sama dengan hasil darab dyn vektor ini dan kosinus sudut di antaranya.

Tatatanda hasil darab vektor a → dan b → mempunyai bentuk a →, b →. Mari tukar kepada formula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → dan b → menandakan panjang vektor, a →, b → ^ menandakan sudut antara vektor yang diberi. Jika sekurang-kurangnya satu vektor adalah sifar, iaitu, ia mempunyai nilai 0, maka hasilnya juga akan menjadi sifar, a →, b → = 0

Apabila mendarabkan vektor dengan sendirinya, kita mendapat kuasa dua panjangnya:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definisi 2

Pendaraban skalar bagi vektor dengan sendirinya dipanggil kuasa dua skalar.

Dikira dengan formula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Notasi a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → menunjukkan bahawa npb → a → ialah unjuran berangka a → ke b →, npa → a → ialah unjuran b → pada a →, masing-masing.

Mari kita rumuskan definisi produk untuk dua vektor:

Hasil darab skalar bagi dua vektor a → dengan b → dipanggil hasil darab panjang vektor a → oleh unjuran b → dengan arah a → atau hasil darab panjang b → oleh unjuran a → masing-masing.

Hasil titik dalam koordinat

Pengiraan hasil darab titik boleh dilakukan melalui koordinat vektor dalam satah tertentu atau dalam ruang.

Hasil darab skalar bagi dua vektor pada satah, dalam ruang tiga dimensi, dipanggil jumlah koordinat bagi vektor yang diberi a → dan b →.

Apabila mengira hasil skalar bagi vektor yang diberi a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) dalam sistem Cartesan, gunakan:

a →, b → = a x b x + a y b y,

untuk ruang tiga dimensi, ungkapan berikut digunakan:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Sebenarnya, ini adalah definisi ketiga produk titik.

Mari kita buktikan.

Bukti 1

Untuk bukti, kami menggunakan a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by untuk vektor a → = (ax, ay), b → = (bx, by) pada Cartesian sistem.

Vektor harus ditangguhkan

O A → = a → = a x, a y dan O B → = b → = b x, b y.

Kemudian panjang vektor A B → akan sama dengan A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Pertimbangkan segi tiga O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) adalah benar berdasarkan teorem kosinus.

Dengan keadaan, dapat dilihat bahawa O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, oleh itu, kita menulis formula untuk mencari sudut antara vektor secara berbeza

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Kemudian ia mengikuti dari definisi pertama bahawa b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), maka (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Menggunakan formula untuk mengira panjang vektor, kita dapat:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay oleh

Mari kita buktikan persamaan:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- masing-masing untuk vektor ruang tiga dimensi.

Hasil darab skalar vektor dengan koordinat mengatakan bahawa kuasa dua skalar vektor adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua koordinatnya dalam ruang dan pada satah, masing-masing. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) dan (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Produk dot dan sifatnya

Terdapat sifat produk titik yang boleh digunakan untuk a →, b → dan c →:

1. komutatif (a →, b →) = (b →, a →);
2. pengagihan (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. sifat gabungan (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ ialah sebarang nombor;
4. kuasa dua skalar sentiasa lebih besar daripada sifar (a →, a →) ≥ 0, di mana (a →, a →) = 0 dalam kes apabila a → adalah sifar.

Sifat boleh diterangkan terima kasih kepada takrifan hasil darab titik pada satah dan sifat apabila menambah dan mendarab nombor nyata.

Buktikan sifat komutatif (a →, b →) = (b →, a →). Daripada takrifan kita mempunyai bahawa (a →, b →) = a y b y + a y b y dan (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Dengan sifat komutatif, kesamaan a x b x = b x a x dan a y b y = b y a y adalah benar, jadi a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Ia berikutan bahawa (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Pengagihan sah untuk sebarang nombor:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

dan (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

oleh itu kita ada

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Produk titik dengan contoh dan penyelesaian

Sebarang masalah pelan sedemikian diselesaikan menggunakan sifat dan formula berkenaan produk titik:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y atau (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Mari lihat beberapa contoh penyelesaian.

Contoh 2

Panjang a → ialah 3, panjang b → ialah 7. Cari hasil darab titik jika sudutnya ialah 60 darjah.

Penyelesaian

Dengan syarat, kami mempunyai semua data, jadi kami mengira dengan formula:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Jawapan: (a →, b →) = 21 2.

Contoh 3

Diberi vektor a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Apakah produk dot.

Penyelesaian

Dalam contoh ini, formula untuk mengira dengan koordinat dipertimbangkan, kerana ia dinyatakan dalam pernyataan masalah:

(a →, b →) = ax bx + ay oleh + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Jawapan: (a →, b →) = - 9

Contoh 4

Cari hasil darab titik A B → dan A C →. Titik A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) diberi pada satah koordinat.

Penyelesaian

Sebagai permulaan, koordinat vektor dikira, kerana koordinat titik diberikan oleh syarat:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Menggantikan ke dalam formula menggunakan koordinat, kita dapat:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Jawapan: (A B →, A C →) = 28.

Contoh 5

Diberi vektor a → = 7 m → + 3 n → dan b → = 5 m → + 8 n →, cari hasil darabnya. m → adalah sama dengan 3 dan n → adalah sama dengan 2 unit, ia adalah berserenjang.

Penyelesaian

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Menggunakan sifat pengedaran, kami mendapat:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Kami mengeluarkan pekali untuk tanda produk dan dapatkan:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Dengan sifat komutatif yang kita ubah:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Akibatnya, kami mendapat:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Sekarang mari kita gunakan formula untuk produk titik dengan sudut yang telah ditetapkan:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Jawapan: (a →, b →) = 411

Sekiranya terdapat unjuran berangka.

Contoh 6

Cari hasil darab titik a → dan b →. Vektor a → mempunyai koordinat a → = (9, 3, - 3), unjuran b → dengan koordinat (- 3, - 1, 1).

Penyelesaian

Mengikut hipotesis, vektor a → dan unjuran b → diarahkan secara bertentangan, kerana a → = - 1 3 · npa → b → →, jadi unjuran b → sepadan dengan panjang npa → b → →, dan dengan tanda " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Menggantikan ke dalam formula, kita mendapat ungkapan:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Jawapan: (a →, b →) = - 33.

Masalah dengan produk titik yang diketahui, di mana perlu mencari panjang vektor atau unjuran berangka.

Contoh 7

Apakah nilai yang perlu diambil oleh λ untuk produk skalar tertentu a → = (1, 0, λ + 1) dan b → = (λ, 1, λ) akan sama dengan -1.

Penyelesaian

Formula menunjukkan bahawa adalah perlu untuk mencari jumlah hasil darab koordinat:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Memandangkan kita ada (a →, b →) = - 1.

Untuk mencari λ, kami mengira persamaan:

λ 2 + 2 λ = - 1, maka λ = - 1.

Jawapan: λ = - 1.

Maksud fizikal produk titik

Mekanik berurusan dengan aplikasi produk titik.

Apabila bekerja A dengan daya malar F → badan bergerak dari titik M ke N, anda boleh mencari hasil darab panjang vektor F → dan MN → dengan kosinus sudut di antara mereka, yang bermaksud kerja itu sama. kepada hasil darab vektor daya dan sesaran:

A = (F →, M N →).

Contoh 8

Pergerakan titik material sejauh 3 meter di bawah tindakan daya yang sama dengan 5 tan diarahkan pada sudut 45 darjah berbanding paksi. Mencari.

Penyelesaian

Oleh kerana kerja ialah hasil darab vektor daya dan anjakan, ia bermakna, berdasarkan keadaan F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, kita mendapat A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Jawapan: A = 15 2 2.

Contoh 9

Satu titik bahan, bergerak dari M (2, - 1, - 3) ke N (5, 3 λ - 2, 4) di bawah daya F → = (3, 1, 2), melakukan kerja sama dengan 13 J. Kira panjang pergerakan.

Penyelesaian

Untuk koordinat vektor yang diberikan M N → kita mempunyai M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Menggunakan formula untuk mencari kerja dengan vektor F → = (3, 1, 2) dan MN → = (3, 3 λ - 1, 7), kita memperoleh A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Dengan hipotesis, diberikan bahawa A = 13 J, yang bermaksud 22 + 3 λ = 13. Oleh itu λ = - 3, maka M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Untuk mencari panjang sesaran M N →, gunakan formula dan gantikan nilai:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Jawapan: 158.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + Enter

Terdapat juga tugas untuk penyelesaian bebas, yang mana anda boleh melihat jawapannya.

Jika dalam masalah kedua-dua panjang vektor dan sudut di antara mereka dibentangkan "di atas pinggan perak", maka keadaan masalah dan penyelesaiannya kelihatan seperti ini:

Contoh 1. Diberikan vektor. Cari hasil darab titik bagi vektor jika panjangnya dan sudut di antaranya diwakili oleh nilai berikut:

Takrifan lain juga sah, yang setara sepenuhnya dengan Takrif 1.

Definisi 2... Hasil darab skalar bagi vektor ialah nombor (skalar) yang sama dengan hasil darab panjang salah satu vektor ini dengan unjuran vektor lain ke paksi yang ditentukan oleh vektor pertama yang ditunjukkan. Formula mengikut Definisi 2:

Kami akan menyelesaikan masalah menggunakan formula ini selepas titik teori penting seterusnya.

Menentukan hasil darab titik bagi vektor dari segi koordinat

Nombor yang sama boleh diperolehi jika vektor yang didarab diberikan oleh koordinatnya.

Definisi 3. Hasil darab titik bagi vektor ialah nombor yang sama dengan hasil tambah hasil berpasangan bagi koordinat masing-masing.

Di permukaan

Jika dua vektor dan pada satah ditakrifkan oleh dua vektor itu Koordinat segi empat tepat Cartesian

maka hasil darab skalar bagi vektor-vektor ini adalah sama dengan hasil tambah hasil berpasangan bagi koordinat masing-masing:

.

Contoh 2. Cari nilai berangka unjuran vektor pada paksi yang selari dengan vektor.

Penyelesaian. Kami mencari hasil darab titik bagi vektor dengan menambahkan hasil darab berpasangan bagi koordinatnya:

Sekarang kita perlu menyamakan hasil skalar yang terhasil dengan hasil darab panjang vektor dan unjuran vektor pada paksi selari dengan vektor (mengikut formula).

Kami mencari panjang vektor sebagai punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua koordinatnya:

.

Kami merangka persamaan dan menyelesaikannya:

Jawab. Nilai berangka yang dikehendaki ialah tolak 8.

Di angkasa lepas

Jika dua vektor dan dalam ruang ditakrifkan oleh tiga koordinat segi empat tepat Cartesan mereka

,

maka hasil darab skalar bagi vektor-vektor ini juga sama dengan jumlah hasil darab berpasangan koordinat sepadannya, cuma sudah ada tiga koordinat:

.

Masalah mencari produk titik dengan kaedah yang dipertimbangkan adalah selepas menghuraikan sifat produk titik. Kerana dalam tugas itu adalah perlu untuk menentukan sudut mana bentuk vektor berganda.

Sifat produk titik vektor

Sifat algebra

1. (harta anjakan: magnitud hasil darab titik mereka tidak berubah daripada pertukaran vektor yang didarab).

2. (harta gabungan pengganda: hasil darab titik bagi vektor yang didarab dengan beberapa faktor dan vektor lain adalah sama dengan hasil darab titik bagi vektor ini didarab dengan faktor yang sama).

3. (harta pengagihan berkenaan dengan jumlah vektor: hasil darab titik bagi hasil tambah dua vektor oleh vektor ketiga adalah sama dengan hasil darab titik vektor pertama dengan vektor ketiga dan vektor kedua oleh vektor ketiga).

4. (kuasa dua skalar vektor lebih besar daripada sifar), if ialah vektor bukan sifar, dan, jika, ialah vektor sifar.

Sifat geometri

Dalam takrifan operasi yang dikaji, kita telah pun menyentuh konsep sudut antara dua vektor. Sudah tiba masanya untuk menjelaskan konsep ini.

Dalam gambar di atas, dua vektor kelihatan, yang dibawa ke asal yang sama. Dan perkara pertama yang perlu diberi perhatian: terdapat dua sudut antara vektor ini - φ 1 dan φ 2 ... Manakah antara sudut ini muncul dalam takrifan dan sifat hasil darab titik bagi vektor? Jumlah sudut yang dipertimbangkan ialah 2 π dan oleh itu kosinus bagi sudut ini adalah sama. Takrif hasil darab titik merangkumi hanya kosinus sudut, bukan nilai ungkapannya. Tetapi dalam hartanah hanya satu sudut dipertimbangkan. Dan ini adalah salah satu daripada dua sudut yang tidak melebihi π , iaitu 180 darjah. Dalam rajah, sudut ini ditetapkan sebagai φ 1 .

1. Dua vektor dipanggil ortogon dan sudut antara vektor ini ialah garis lurus (90 darjah atau π / 2) jika hasil darab titik bagi vektor ini ialah sifar :

.

Keortogonan dalam algebra vektor ialah keserenjangan dua vektor.

2. Dua vektor bukan sifar membentuk sudut tajam (dari 0 hingga 90 darjah, atau, yang sama - kurang π produk dot adalah positif .

3. Dua vektor bukan sifar membentuk sudut cakah (dari 90 hingga 180 darjah, atau, yang sama - lebih π / 2) jika dan hanya jika mereka produk titik adalah negatif .

Contoh 3. Vektor diberikan dalam koordinat:

.

Kira hasil darab titik semua pasangan vektor yang diberi. Apakah sudut (akut, lurus, tumpul) yang membentuk pasangan vektor ini?

Penyelesaian. Kami akan mengira dengan menambah produk koordinat yang sepadan.

Menerima nombor negatif, jadi vektor membentuk sudut tumpul.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

Kami mendapat sifar, jadi vektor membentuk sudut tepat.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

.

Kami mendapat nombor positif, jadi vektor membentuk sudut akut.

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antaranya .

Contoh 4. Panjang dua vektor dan sudut di antara mereka diberikan:

.

Tentukan pada nilai nombor berapakah vektor dan adalah ortogon (berserenjang).

Penyelesaian. Kami mendarabkan vektor mengikut peraturan mendarab polinomial:

Sekarang mari kita hitung setiap istilah:

.

Mari kita susun persamaan (kesamaan hasil darab kepada sifar), berikan sebutan yang serupa dan selesaikan persamaan:

Jawapan: kami mendapat maksudnya λ = 1.8, yang mana vektornya adalah ortogon.

Contoh 5. Buktikan bahawa vektor ortogon (berserenjang) dengan vektor

Penyelesaian. Untuk memeriksa keortogonan, kami mendarabkan vektor dan sebagai polinomial, menggantikan ungkapan yang diberikan dalam pernyataan masalah:

.

Untuk melakukan ini, anda perlu mendarab setiap sebutan (istilah) polinomial pertama dengan setiap sebutan kedua dan tambahkan hasil yang terhasil:

.

Akibatnya, pecahan dikurangkan pada perbelanjaan. Hasilnya adalah seperti berikut:

Kesimpulan: sebagai hasil pendaraban, kami mendapat sifar, oleh itu, keortogonan (persenjang) vektor terbukti.

Selesaikan masalah itu sendiri, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 6. Diberi panjang vektor dan, dan sudut antara vektor ini ialah π /4 . Tentukan pada nilai apa μ vektor dan saling berserenjang.

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antaranya .

Perwakilan matriks hasil darab titik bagi vektor dan hasil darab vektor n-dimensi

Kadangkala adalah berfaedah untuk kejelasan untuk mewakili dua vektor yang didarab dalam bentuk matriks. Kemudian vektor pertama diwakili sebagai matriks baris, dan yang kedua - sebagai matriks lajur:

Maka hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab matriks ini :

Hasilnya adalah sama seperti yang diperolehi dengan kaedah yang telah kita pertimbangkan. Satu nombor tunggal diperoleh, dan hasil darab matriks baris dengan matriks lajur juga adalah satu nombor tunggal.

Adalah mudah untuk mewakili hasil darab vektor dimensi n abstrak dalam bentuk matriks. Jadi, hasil darab dua vektor empat dimensi akan menjadi hasil darab matriks baris dengan empat unsur dan matriks lajur juga dengan empat unsur, hasil darab dua vektor lima dimensi akan menjadi hasil darab matriks baris dengan lima unsur dan matriks lajur juga dengan lima elemen, dan seterusnya.

Contoh 7. Cari hasil darab titik pasangan vektor

,

menggunakan perwakilan matriks.

Penyelesaian. Sepasang vektor pertama. Kami mewakili vektor pertama sebagai matriks baris, dan yang kedua sebagai matriks lajur. Kami mendapati hasil darab titik bagi vektor ini sebagai hasil darab matriks baris dengan matriks lajur:

Begitu juga, kami mewakili pasangan kedua dan mencari:

Seperti yang anda lihat, keputusan adalah sama dengan pasangan yang sama dari contoh 2.

Sudut antara dua vektor

Terbitan formula untuk kosinus sudut antara dua vektor adalah sangat cantik dan ringkas.

Untuk menyatakan hasil darab titik bagi vektor

(1)

dalam bentuk koordinat, kita mula-mula mencari hasil kali skalar bagi vektor unit. Hasil darab titik bagi vektor dengan sendirinya mengikut takrifan:

Apa yang tertulis dalam formula di atas bermaksud: hasil darab titik bagi vektor dengan sendirinya adalah sama dengan kuasa dua panjangnya... Kosinus sifar adalah sama dengan satu, jadi kuasa dua setiap ort akan sama dengan satu:

Sejak vektor

adalah serenjang berpasangan, maka hasil berpasangan vektor unit akan sama dengan sifar:

Sekarang mari kita lakukan pendaraban polinomial vektor:

Kami menggantikan di sebelah kanan kesamaan nilai hasil skalar yang sepadan bagi vektor unit:

Kami mendapat formula untuk kosinus sudut antara dua vektor:

Contoh 8. Diberi tiga mata A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Cari sudut.

Penyelesaian. Cari koordinat bagi vektor:

,

.

Menurut formula untuk kosinus sudut, kita dapat:

Oleh itu, .

Untuk ujian kendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian Darab titik bagi vektor dan kosinus sudut di antaranya .

Contoh 9. Dua vektor diberikan

Cari jumlah, beza, panjang, hasil darab titik dan sudut di antaranya.

2. Perbezaan

Syarahan: Koordinat vektor; hasil darab titik bagi vektor; sudut antara vektor

Koordinat vektor

Jadi, seperti yang dinyatakan sebelum ini, vektor adalah segmen terarah, yang mempunyai permulaan dan penghujungnya sendiri. Jika permulaan dan akhir diwakili oleh beberapa titik, maka pada satah atau di angkasa mereka mempunyai koordinat mereka sendiri.

Jika setiap titik mempunyai koordinatnya sendiri, maka kita boleh mendapatkan koordinat bagi keseluruhan vektor.

Katakan kita mempunyai beberapa vektor yang permulaan dan penghujung vektornya mempunyai sebutan dan koordinat berikut: A (A x; Ay) dan B (B x; Oleh)

Untuk mendapatkan koordinat vektor ini, adalah perlu untuk menolak koordinat permulaan yang sepadan daripada koordinat penghujung vektor:

Untuk menentukan koordinat vektor dalam ruang, gunakan formula berikut:

Hasil darab titik bagi vektor

Terdapat dua cara untuk menentukan produk titik:

• Cara geometri. Menurutnya, produk titik adalah sama dengan hasil darab nilai modul ini dengan kosinus sudut di antara mereka.

• Makna algebra. Dari sudut pandangan algebra, hasil darab titik dua vektor ialah kuantiti tertentu yang diperoleh hasil daripada hasil tambah hasil darab vektor yang sepadan.

Jika vektor diberikan dalam ruang, maka anda harus menggunakan formula yang sama:

sifat:

• Jika anda mendarab dua vektor yang sama secara skalar, maka hasil darab titiknya tidak akan menjadi negatif:

• Jika hasil darab skalar dua vektor yang sama ternyata sama dengan sifar, maka vektor ini dianggap sebagai sifar:

• Jika vektor didarab dengan dirinya sendiri, maka hasil kali skalar akan sama dengan kuasa dua modulusnya:

• Hasil kali skalar mempunyai sifat komunikatif, iaitu, hasil kali skalar tidak akan berubah daripada pilih atur vektor:

• Hasil darab skalar bagi vektor bukan sifar boleh menjadi sifar hanya jika vektor itu berserenjang antara satu sama lain:

• Untuk hasil darab skalar bagi vektor, hukum anjakan adalah sah dalam hal mendarab salah satu vektor dengan nombor:

• Dengan produk titik, anda juga boleh menggunakan sifat taburan pendaraban:

Sudut antara vektor