විශ්ව ත්රිකෝණමිතික ආදේශනය, සූත්ර ව්‍යුත්පන්න, උදාහරණ.
මූලික ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත - සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අතර සම්බන්ධතා ලබා දී ඇත. ත්රිකෝණමිතික සූත්ර. ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අතර බොහෝ සම්බන්ධතා ඇති බැවින්, මෙය ත්රිකෝණමිතික සූත්‍රවල බහුලත්වය පැහැදිලි කරයි. සමහර සූත්ර සම්බන්ධ වේ ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතඑකම කෝණය, අනෙක් ඒවා - බහු කෝණයක ශ්‍රිත, අනෙක් ඒවා - උපාධිය අඩු කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, හතරවන - අර්ධ කෝණයක ස්පර්ශක හරහා සියලුම කාර්යයන් ප්‍රකාශ කරන්න, ආදිය.
මෙම ලිපියෙන් අපි ත්රිකෝණමිතික ගැටලු අතිමහත් බහුතරයක් විසඳීමට ප්‍රමාණවත් වන සියලුම මූලික ත්රිකෝණමිතික සූත්ර පිළිවෙලට ලැයිස්තුගත කරමු. කටපාඩම් කිරීමේ සහ භාවිතයේ පහසුව සඳහා, අපි ඒවා අරමුණ අනුව කාණ්ඩ කර වගු වලට ඇතුල් කරන්නෙමු.
පිටු සංචලනය.
මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා
මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාඑක් කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අතර සම්බන්ධය නිර්වචනය කරන්න. ඒවා සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් යන අර්ථ දැක්වීමෙන් මෙන්ම ඒකක කවයේ සංකල්පයෙන් ද අනුගමනය කරයි. එක් ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක් වෙනත් ඕනෑම ආකාරයකට ප්‍රකාශ කිරීමට ඒවා ඔබට ඉඩ සලසයි.
මෙම ත්රිකෝණමිතික සූත්ර, ඒවායේ ව්‍යුත්පන්න සහ යෙදුම් උදාහරණ පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක විස්තරයක් සඳහා, ලිපිය බලන්න.
අඩු කිරීමේ සූත්ර
අඩු කිරීමේ සූත්රසයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් යන ගුණාංග වලින් අනුගමනය කරන්න, එනම්, ඒවා ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ආවර්තිතා ගුණය, සමමිතියේ ගුණය මෙන්ම මාරු වීමේ ගුණය පිළිබිඹු කරයි. දී ඇති කෝණය. මෙම ත්රිකෝණමිතික සූත්ර ඔබට අත්තනෝමතික කෝණ සමඟ වැඩ කිරීමේ සිට ශුන්‍යයේ සිට අංශක 90 දක්වා කෝණ සමඟ වැඩ කිරීමට ඉඩ සලසයි.
මෙම සූත්ර සඳහා තාර්කිකත්වය, ඒවා කටපාඩම් කිරීම සඳහා සිහිවටන රීතියක් සහ ඒවායේ යෙදුමේ උදාහරණ ලිපියෙන් අධ්‍යයනය කළ හැකිය.
එකතු කිරීමේ සූත්ර
ත්රිකෝණමිතික එකතු කිරීමේ සූත්‍රකෝණ දෙකක එකතුවක හෝ වෙනසෙහි ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත එම කෝණවල ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අනුව ප්‍රකාශ වන ආකාරය පෙන්වන්න. මෙම සූත්ර පහත ත්රිකෝණමිතික සූත්ර ව්‍යුත්පන්න කිරීම සඳහා පදනම ලෙස ක්‍රියා කරයි.
ද්විත්ව, ත්රිත්ව, ආදිය සඳහා සූත්ර. කෝණය
ද්විත්ව, ත්රිත්ව, ආදිය සඳහා සූත්ර. කෝණය (ඒවා බහු කෝණ සූත්ර ලෙසද හැඳින්වේ) ද්විත්ව, ත්රිත්ව යනාදී ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ක්‍රියා කරන ආකාරය පෙන්වයි. කෝණ () තනි කෝණයක ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයන් අනුව ප්රකාශිත වේ. ඒවායේ ව්යුත්පන්නය එකතු කිරීමේ සූත්ර මත පදනම් වේ.
තව විස්තරාත්මක තොරතුරුද්විත්ව, ත්රිත්ව, ආදිය සඳහා ලිපි සූත්‍රවල එකතු කර ඇත. කෝණය
අර්ධ කෝණ සූත්ර
අර්ධ කෝණ සූත්රඅර්ධ කෝණයක ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත සම්පූර්ණ කෝණයක කෝසයිනය අනුව ප්‍රකාශ වන ආකාරය පෙන්වන්න. මෙම ත්රිකෝණමිතික සූත්ර ද්විත්ව කෝණ සූත්‍රවලින් අනුගමනය කරයි.
ඔවුන්ගේ නිගමනය සහ යෙදුමේ උදාහරණ ලිපියෙන් සොයාගත හැකිය.
උපාධි අඩු කිරීමේ සූත්ර
අංශක අඩු කිරීම සඳහා ත්රිකෝණමිතික සූත්රත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ස්වභාවික බලවල සිට සයින් සහ කොසයින දක්වා පළමු උපාධියේ, නමුත් බහු කෝණවලට මාරුවීමට පහසුකම් සැලසීමට සැලසුම් කර ඇත. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල බලතල පළමු එකට අඩු කිරීමට ඒවා ඔබට ඉඩ සලසයි.
ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සූත්ර
ප්රධාන අරමුණ ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සූත්රත්රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීමේදී ඉතා ප්රයෝජනවත් වන ශ්‍රිතවල ගුණිතය වෙත යාමයි. මෙම සූත්ර විසඳීමේදී ද බහුලව භාවිතා වේ ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ, ඔවුන් ඔබට සයින සහ කෝසයිනවල එකතුව සහ වෙනස සාධක කිරීමට ඉඩ සලසන බැවින්.
සයින්, කෝසයින් සහ සයින් බයි කොසයින් නිෂ්පාදනය සඳහා සූත්ර
ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ගුණිතයේ සිට එකතුවකට හෝ වෙනසකට සංක්‍රමණය කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ සයින්, කෝසයින් සහ සයින් බයි කෝසයින් යන සූත්ර භාවිතා කරමිනි.
දක්ෂ සිසුන් විසින් ප්‍රකාශන හිමිකම
සියලු හිමිකම් ඇවිරිණි.
හිමිකම් නීතිය මගින් ආරක්ෂා කර ඇත. අභ්‍යන්තර ද්‍රව්‍ය සහ පෙනුම ඇතුළුව www.site හි කිසිදු කොටසක් කිසිදු ආකාරයකින් ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කිරීම හෝ ප්‍රකාශන හිමිකරුගේ පූර්ව ලිඛිත අවසරයකින් තොරව භාවිතා කළ නොහැක.
නිතර අසන ප්රශ්න
ලබා දී ඇති නියැදිය අනුව ලේඛනයක මුද්දරයක් සෑදිය හැකිද? පිළිතුර ඔව්, එය හැකි ය. අපගේ වෙත එවන්න ඊතැපැල් ලිපිනයස්කෑන් කළ පිටපතක් හෝ ඡායාරූපයක් හොඳ තත්ත්වයේ, සහ අපි අවශ්‍ය අනුපිටපත සාදන්නෙමු.
ඔබ පිළිගන්නේ කුමන ආකාරයේ ගෙවීම්ද?
පිළිතුර ඩිප්ලෝමාව සම්පූර්ණ කිරීමේ නිරවද්‍යතාවය සහ ක්‍රියාත්මක කිරීමේ ගුණාත්මකභාවය පරීක්ෂා කිරීමෙන් පසු කුරියර් විසින් ලැබීමෙන් පසු ඔබට ලේඛනය සඳහා ගෙවිය හැකිය. මුදල් මත බෙදා හැරීමේ සේවාවන් සපයන තැපැල් සමාගම්වල කාර්යාලයේදීද මෙය කළ හැකිය.
ලේඛන සඳහා බෙදාහැරීමේ සහ ගෙවීමේ සියලුම නියමයන් "ගෙවීම් සහ භාරදීම" කොටසේ විස්තර කර ඇත. ලේඛනය භාරදීමේ සහ ගෙවීමේ නියමයන් සම්බන්ධයෙන් ඔබගේ යෝජනාවලට සවන් දීමට ද අපි සූදානම්.
ඇණවුමක් කිරීමෙන් පසු ඔබ මගේ මුදල් සමඟ අතුරුදහන් නොවන බව මට සහතික විය හැකිද? පිළිතුර ඩිප්ලෝමා නිෂ්පාදන ක්ෂේත්රයේ අපට සෑහෙන දිගු අත්දැකීම් තිබේ. නිරන්තරයෙන් යාවත්කාලීන වන වෙබ් අඩවි කිහිපයක් අප සතුව ඇත. අපගේ විශේෂඥයින් වැඩ කරන්නේ විවිධ කොන්රටවල්, දිනකට ලේඛන 10 කට වඩා නිෂ්පාදනය කරයි. වසර ගණනාවක් පුරා, අපගේ ලේඛන බොහෝ දෙනෙකුට රැකියා ගැටළු විසඳීමට හෝ ඉහළ වැටුප් සහිත රැකියා වෙත යාමට උපකාර කර ඇත. අපි ගනුදෙනුකරුවන් අතර විශ්වාසය සහ පිළිගැනීම උපයාගෙන ඇත, එබැවින් අපට එසේ කිරීමට කිසිදු හේතුවක් නැත. ඒ හා සමාන ආකාරයකින්. එපමණක් නොව, මෙය හුදෙක් භෞතිකව කළ නොහැකි ය: ඔබ ඔබේ ඇණවුම ඔබේ අතට ලැබුණු මොහොතේම ගෙවනු ලැබේ, පෙර ගෙවීමක් නොමැත.
මට ඕනෑම විශ්ව විද්‍යාලයකින් ඩිප්ලෝමාවක් ඇණවුම් කළ හැකිද? පිළිතුර පොදුවේ, ඔව්. අපි අවුරුදු 12කට ආසන්න කාලයක් මේ ක්ෂේත්රයේ වැඩ කරනවා. මෙම කාලය තුළ, රටේ සහ ඉන් ඔබ්බෙහි සියලුම විශ්ව විද්‍යාල පාහේ නිකුත් කරන ලද ලේඛනවල සම්පූර්ණ දත්ත සමුදායක් පිහිටුවන ලදී. විවිධ වසරනිකුත් කිරීම. ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ විශ්ව විද්‍යාලයක්, විශේෂත්වයක්, ලේඛනයක් තෝරා ගැනීම සහ ඇණවුම් පෝරමය පිරවීමයි.
ඔබ ලේඛනයක ටයිප් සහ දෝෂ සොයා ගන්නේ නම් කුමක් කළ යුතුද?
පිළිතුර අපගේ කුරියර් හෝ තැපැල් සමාගමෙන් ලේඛනයක් ලැබුණු විට, ඔබ සියලු විස්තර ප්රවේශමෙන් පරීක්ෂා කරන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු. මුද්‍රණ දෝෂයක්, දෝෂයක් හෝ සාවද්‍යතාවයක් හමු වුවහොත්, ඩිප්ලෝමාව ලබා නොගැනීමට ඔබට අයිතියක් ඇත, නමුත් ඔබ හඳුනාගත් අඩුපාඩු පුද්ගලිකව කුරියර් වෙත හෝ ලිඛිතව ලිපියක් යැවීමෙන් සඳහන් කළ යුතුය. විද්යුත් තැපෑල.
තුල හැකි විගසඅපි ලේඛනය නිවැරදි කර නිශ්චිත ලිපිනයට යවන්නෙමු. ඇත්ත වශයෙන්ම, නැව්ගත කිරීම අපගේ සමාගම විසින් ගෙවනු ලැබේ.
එවැනි වරදවා වටහාගැනීම් වලක්වා ගැනීම සඳහා, මුල් පෝරමය පිරවීමට පෙර, අවසාන අනුවාදය පරීක්ෂා කිරීම සහ අනුමත කිරීම සඳහා අනාගත ලේඛනයේ අනුකෘතියක් අපි පාරිභෝගිකයාට විද්යුත් තැපැල් කරන්නෙමු. කුරියර් හෝ තැපෑලෙන් ලේඛනය යැවීමට පෙර, අපි අමතර ඡායාරූප සහ වීඩියෝ (පාරජම්බුල කිරණ ඇතුළුව) ද ගන්නෙමු, එවිට ඔබට අවසානයේ ලැබෙන්නේ කුමක්ද යන්න පිළිබඳ පැහැදිලි අදහසක් ඇත.
ඔබේ සමාගමෙන් ඩිප්ලෝමාවක් ඇණවුම් කිරීමට මා කළ යුත්තේ කුමක්ද?
පිළිතුර ලේඛනයක් ඇණවුම් කිරීම සඳහා (සහතිකය, ඩිප්ලෝමාව, අධ්‍යයන සහතිකය, ආදිය), ඔබ අපගේ වෙබ් අඩවියේ මාර්ගගත ඇණවුම් පෝරමය පුරවා හෝ ඔබේ විද්යුත් තැපෑල ලබා දිය යුතුය, එවිට අපට ඔබට අයදුම්පතක් එවිය හැකි අතර, එය ඔබට පුරවා ආපසු එවිය යුතුය. අපට.
ඇණවුම් පෝරමයේ/ප්‍රශ්නාවලියෙහි කිසියම් ක්ෂේත්‍රයක සඳහන් කළ යුතු දේ ඔබ නොදන්නේ නම්, ඒවා හිස්ව තබන්න. එබැවින්, අපි දුරකථනයෙන් අතුරුදහන් වූ සියලු තොරතුරු පැහැදිලි කරන්නෙමු.
නවතම සමාලෝචන
ඇලෙක්සි:
කළමනාකරුවෙකු ලෙස රැකියාවක් ලබා ගැනීමට මට ඩිප්ලෝමාවක් ලබා ගැනීමට අවශ්‍ය විය. වැදගත්ම දෙය නම් මට අත්දැකීම් සහ කුසලතා යන දෙකම ඇත, නමුත් මට ලේඛනයක් නොමැතිව රැකියාවක් ලබා ගත නොහැක. මම ඔබේ වෙබ් අඩවියට පැමිණි පසු, මම අවසානයේ ඩිප්ලෝමාවක් මිලදී ගැනීමට තීරණය කළෙමි. ඩිප්ලෝමාව දින 2 කින් අවසන් !! මම හීනෙකින්වත් නොහිතපු රස්සාවක් දැන් මට ලැබිලා තියෙනවා!! ඔයාට ස්තූතියි!
අපි ත්‍රිකෝණමිතිය පිළිබඳ අධ්‍යයනය ආරම්භ කරන්නේ සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණයෙන්. සයින් සහ කෝසයින් යනු කුමක්ද යන්න මෙන්ම ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් මොනවාද යන්න නිර්වචනය කරමු උග්ර කෝණය. ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලික කරුණු මෙයයි.
අපි එය ඔබට මතක් කරමු සෘජු කෝණයඅංශක 90 ට සමාන කෝණයකි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, හරවන කෝණයෙන් අඩක්.
තියුණු කෙළවර- අංශක 90 ට අඩු.
Obtuse කෝණය- අංශක 90 ට වඩා වැඩි. එවැනි කෝණයක් සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, "අමුතු" යනු අපහාසයක් නොව, ගණිතමය යෙදුමකි :-)
අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් අඳින්නෙමු. සෘජු කෝණයක් සාමාන්‍යයෙන් දක්වන්නේ . කෙළවරට විරුද්ධ පැත්ත එකම අකුරකින් දක්වා ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න, කුඩා පමණි. මේ අනුව, පැත්තේ ප්රතිවිරුද්ධ කෝණය A නම් කර ඇත.
කෝණය අනුරූප ලෙස දැක්වේ ග්රීක අකුර.
හයිපොටෙනස්සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණයක සෘජු කෝණයට විරුද්ධ පැත්ත වේ.
කකුල්- ප්රතිවිරුද්ධ තියුණු කෝණවල පැති.
කෝණයට විරුද්ධ කකුලක් ලෙස හැඳින්වේ ප්රතිවිරුද්ධ(කෝණයට සාපේක්ෂව). කෝණයෙහි එක් පැත්තක පිහිටා ඇති අනෙක් කකුල හැඳින්වේ යාබද.
සයිනස්සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණය යනු ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තේ කර්ණයට අනුපාතයයි:
කොසයින්සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණය - යාබද පාදයේ කර්ණයට අනුපාතය:
ස්පර්ශකසෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණය - ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තේ අනුපාතය යාබදව:
තවත් (සමාන) නිර්වචනයක්: උග්ර කෝණයක ස්පර්ශකය යනු කෝණයේ සයින් එහි කෝසයිනයට අනුපාතයයි:
කෝටැන්ජන්ට්සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණය - යාබද පැත්තේ ප්රතිවිරුද්ධ අනුපාතය (හෝ, එය සමාන වේ, කොසයින් සහ සයින් අනුපාතය):
පහත සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සඳහා මූලික සම්බන්ධතා සටහන් කරන්න. ගැටළු විසඳීමේදී ඒවා අපට ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.
අපි ඒවායින් සමහරක් ඔප්පු කරමු.
හරි, අපි නිර්වචන දීලා සූත්ර ලියා ගත්තා. නමුත් අපට තවමත් සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අවශ්‍ය වන්නේ ඇයි?
බව අපි දන්නා ඕනෑම ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව සමාන වේ.
අතර සම්බන්ධය අපි දන්නවා පාර්ශවයන්සෘජු ත්රිකෝණය. මෙය පයිතගරස් ප්‍රමේය:.
ත්රිකෝණයක කෝණ දෙකක් දැන ගැනීමෙන් ඔබට තුන්වැන්න සොයාගත හැකි බව පෙනේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක පැති දෙක දැන ගැනීමෙන් ඔබට තුන්වැන්න සොයාගත හැකිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ කෝණ වලට තමන්ගේම අනුපාතයක් ඇති බවත්, පැතිවලට තමන්ගේම බවත්ය. නමුත් සෘජුකෝණාස්‍රයක ඔබ එක් කෝණයක් (හරි කෝණය හැර) සහ එක් පැත්තක් දන්නා නමුත් අනෙක් පැති සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය නම් ඔබ කුමක් කළ යුතුද?
ප්‍රදේශයේ සහ තරු පිරුණු අහසේ සිතියම් සකස් කිරීමේදී අතීතයේ සිටි මිනිසුන්ට මෙය හමු විය. සියල්ලට පසු, ත්රිකෝණයක සියලු පැති සෘජුවම මැනීම සැමවිටම කළ නොහැකිය.
සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක - ඒවා ද හැඳින්වේ ත්රිකෝණමිතික කෝණ ශ්‍රිත- අතර සබඳතා දෙන්න පාර්ශවයන්සහ කොන්ත්රිකෝණය. කෝණය දැන ගැනීමෙන්, ඔබට විශේෂ වගු භාවිතයෙන් එහි සියලුම ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයන් සොයාගත හැකිය. ත්රිකෝණයක සහ එහි එක් පැත්තක කෝණවල සයින, කෝසයින සහ ස්පර්ශක දැන ගැනීමෙන් ඔබට ඉතිරිය සොයාගත හැකිය.
සිට "හොඳ" කෝණ සඳහා අපි සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල අගයන් වගුවක් ද අඳින්නෙමු.
කරුණාකර වගුවේ ඇති රතු ඉරි දෙක සටහන් කරන්න. සුදුසු කෝණ අගයන්හිදී, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් නොපවතී.
FIPI Task Bank වෙතින් ත්රිකෝණමිතික ගැටළු කිහිපයක් බලමු.
1. ත්රිකෝණයක කෝණය , . සොයන්න .
තත්පර හතරකින් ගැටලුව විසඳනු ලැබේ.
මන්ද , .
2. ත්රිකෝණයක කෝණය , , . සොයන්න .
අපි එය පයිතගරස් ප්‍රමේයය භාවිතා කර සොයා ගනිමු.
ගැටලුව විසඳී ඇත.
බොහෝ විට ගැටළු වලදී කෝණ සහිත ත්රිකෝණ සහ හෝ කෝණ සහිත සහ. හදවතින් ඔවුන් සඳහා මූලික අනුපාත මතක තබා ගන්න!
කෝණ සහිත ත්රිකෝණයක් සඳහා සහ කෝණයට විරුද්ධ පාදය සමාන වේ උපකල්පිතයෙන් අඩක්.
කෝණ සහිත ත්රිකෝණයක් වන අතර එය සමද්වීපක වේ. එහි කර්ණය කකුලට වඩා ගුණයකින් විශාල වේ.
අපි ප්රශ්න විසඳන්න බැලුවා සෘජු ත්රිකෝණ- එනම්, නොදන්නා පැති හෝ කෝණ සොයා ගැනීමට. නමුත් එය පමණක් නොවේ! තුල ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග විකල්පගණිතයේ දී ත්රිකෝණයක බාහිර කෝණයේ සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක හෝ කෝටැන්ජන්ට් දිස්වන ගැටළු රාශියක් ඇත. මේ ගැන වැඩි විස්තර ඊළඟ ලිපියෙන්.
මෙම ලිපියෙන් අපි සවිස්තරාත්මකව සලකා බලමු. මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා යනු එක් කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අතර සම්බන්ධයක් ඇති කරන සමානතා වන අතර, දන්නා අනෙකක් හරහා මෙම ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවලින් ඕනෑම එකක් සොයා ගැනීමට කෙනෙකුට ඉඩ සලසයි.
අපි මෙම ලිපියෙන් විශ්ලේෂණය කරන ප්රධාන ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා වහාම ලැයිස්තුගත කරමු. අපි ඒවා වගුවක ලියා තබමු, පහත අපි මෙම සූත්‍රවල ප්‍රතිදානය ලබා දී අවශ්‍ය පැහැදිලි කිරීම් ලබා දෙන්නෙමු.
පිටු සංචලනය.
එක් කෝණයක සයින් සහ කෝසයින් අතර සම්බන්ධතාවය
සමහර විට ඔවුන් ඉහත වගුවේ ලැයිස්තුගත කර ඇති ප්රධාන ත්රිකෝණමිතික අනන්යතා ගැන කතා නොකරයි, නමුත් එක් තනි එකක් ගැන මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයවර්ගය 
. මෙම කරුණ සඳහා පැහැදිලි කිරීම ඉතා සරල ය: සමානතා ප්රධාන ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයෙන් ලබා ගන්නේ එහි කොටස් දෙකම පිළිවෙලින් සහ සමානාත්මතාවයෙන් බෙදීමෙන් පසුවය. 
සහ 
sine, cosine, tangent සහ cotangent යන අර්ථ දැක්වීම් අනුගමනය කරන්න. අපි මේ ගැන වඩාත් විස්තරාත්මකව පහත ඡේදවල කතා කරමු.
එනම්, ප්රධාන ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයේ නම ලබා දුන් විශේෂ උනන්දුවක් ඇති සමානාත්මතාවයයි.
ප්රධාන ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය ඔප්පු කිරීමට පෙර, අපි එහි සූත්‍රගත කිරීම ලබා දෙමු: එක් කෝණයක සයින් සහ කෝසයිනයේ වර්ගවල එකතුව එකකට සමාන වේ. දැන් අපි එය ඔප්පු කරමු.
මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය බොහෝ විට භාවිතා වේ ත්රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම. එය එක් කෝණයක සයින් සහ කෝසයිනයේ වර්ගවල එකතුව එකකින් ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට ඉඩ සලසයි. බොහෝ විට, මූලික ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලෙහි භාවිතා වේ: ඒකකය ඕනෑම කෝණයක සයින් සහ කෝසයිනයේ වර්ගවල එකතුවෙන් ප්රතිස්ථාපනය වේ.
සයින් සහ කොසයින් හරහා ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට්
එක් දෘෂ්ටි කෝණයක සයින් සහ කෝසයින් සමඟ ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සම්බන්ධ කරන අනන්යතා සහ 
sine, cosine, tangent සහ cotangent යන අර්ථ දැක්වීම් වලින් වහාම අනුගමනය කරන්න. ඇත්ත වශයෙන්ම, නිර්වචනය අනුව, සයින් යනු y හි ඕඩිනේට් වේ, කොසයින් යනු x හි අබ්සිසාවයි, ස්පර්ශය යනු අබ්සිසාවට ඕඩිනේටයේ අනුපාතයයි, එනම්, 
, සහ cotangent යනු abscissa සහ ordinate අනුපාතයයි, එනම්, 
.
අනන්යතාවයන් සහ එවැනි පැහැදිලිකමට ස්තූතියි ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් බොහෝ විට නිර්වචනය කරනු ලබන්නේ abscissa සහ ordinate අනුපාතය හරහා නොව, සයින් සහ කොසයින් අනුපාතය මගිනි. එබැවින් කෝණයක ස්පර්ශකය යනු මෙම කෝණයේ කෝසයිනයට සයින් අනුපාතය වන අතර කෝටැන්ජන්ට් යනු කෝසයින් සයින් අතර අනුපාතයයි.
මෙම ඡේදය අවසානයේ දී, අනන්යතා සහ ඒවායේ ඇතුළත් ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අර්ථවත් වන සියලුම කෝණ සඳහා සිදු වේ. එබැවින් සූත්රය වලංගු වේ , හැර (එසේ නොමැති නම් හරයට ශුන්‍ය වනු ඇත, සහ අපි ශුන්‍යයෙන් බෙදීම නිර්වචනය නොකළෙමු) සහ සූත්රය - සියල්ලටම වෙනස්, z යනු ඕනෑම තැනකි.
ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අතර සම්බන්ධතාවය
පෙර දෙකට වඩා පැහැදිලි ත්රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයක් වන්නේ පෝරමයේ එක් කෝණයක ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සම්බන්ධ කරන අනන්‍යතාවයයි. . එය හැර වෙනත් ඕනෑම කෝණ සඳහා පවතින බව පැහැදිලිය, එසේ නොමැතිනම් ස්පර්ශක හෝ කෝටැන්ජන්ට් අර්ථ දක්වා නැත.
සූත්‍රයේ සාධනය හරිම සරලයි. නිර්වචනය අනුව සහ කොහෙන්ද 
. සාක්ෂිය ටිකක් වෙනස් ආකාරයකින් සිදු කළ හැකිව තිබුණි. පටන් , එම 
.
එබැවින්, ඒවා අර්ථවත් කරන එකම කෝණයේ ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වේ.
කෝණ දෙකක එකතුවේ සහ වෙනසෙහි කෝසයින්
මෙම කොටසේ පහත සූත්ර දෙක ඔප්පු කරනු ඇත:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
කෝණ දෙකක එකතුවේ (වෙනස) කෝසයින් මෙම කෝණවල කෝසයිනවල ගුණිතය (ප්ලස්) මෙම කෝණවල සයිනවල ගුණිතයට සමාන වේ.
සූත්රය (2) සාධනය සමඟ ආරම්භ කිරීම අපට වඩාත් පහසු වනු ඇත. ඉදිරිපත් කිරීමේ සරල බව සඳහා, අපි පළමුව කෝණ යැයි උපකල්පනය කරමු α සහ β පහත කොන්දේසි සපුරාලීම:
1) මෙම එක් එක් කෝණ ඍණ නොවන අතර අඩුය 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
0x අක්ෂයේ ධනාත්මක කොටස කෝණවල පොදු ආරම්භක පැත්ත වීමට ඉඩ දෙන්න α සහ β .
අපි මෙම කෝණවල අවසාන පැති පිළිවෙලින් 0A සහ 0B මගින් දක්වන්නෙමු. පැහැදිලිවම කෝණය α - β 0B කදම්භයේ දිශාව 0A කදම්භයේ දිශාව සමග සමපාත වන පරිදි වාමාවර්තව 0 ලක්ෂය වටා කරකැවිය යුතු කෝණය ලෙස සැලකිය හැක.
කිරණ 0A සහ 0B මත අපි ඛණ්ඩාංක 0 හි මූලාරම්භයේ සිට 1 ක් දුරින් පිහිටා ඇති M සහ N ලකුණු සලකුණු කරමු, එවිට 0M = 0N = 1.
x0y ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ, ලක්ෂ්‍ය M හි ඛණ්ඩාංක ඇත ( cos α, sin α), සහ ලක්ෂ්‍යය N යනු ඛණ්ඩාංක ( cos β, sin β) එබැවින්, ඒවා අතර දුර වර්ග:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
අපගේ ගණනය කිරීම් වලදී අපි අනන්‍යතාවය භාවිතා කළෙමු
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
දැන් තවත් B0C ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සලකා බලන්න, එය 0x සහ 0y අක්ෂ 0 ලක්ෂය වටා වාමාවර්තව කෝණයකින් කරකැවීමෙන් ලබා ගනී. β .
මෙම ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ ලක්ෂ්‍ය M හි ඛණ්ඩාංක ඇත (cos ( α - β ), පව් ( α - β )), සහ ලක්ෂ්‍යය N ඛණ්ඩාංක (1,0) වේ. එබැවින්, ඒවා අතර දුර වර්ග:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
නමුත් M සහ N ලක්ෂ්‍ය අතර දුර රඳා පවතින්නේ අප මෙම කරුණු සම්බන්ධයෙන් සලකා බලනුයේ කුමන ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මතද යන්න නොවේ. ඒක තමයි
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
මෙහි සූත්රය (2) පහත දැක්වේ.
දැන් අපි කෝණ මත ඉදිරිපත් කිරීමේ සරල බව සඳහා පනවා ඇති එම සීමා දෙක මතක තබා ගත යුතුය α සහ β .
එක් එක් කෙළවරේ ඇති අවශ්යතාව α සහ β ඍණාත්මක නොවන, ඇත්ත වශයෙන්ම සැලකිය යුතු නොවේ. සියල්ලට පසු, මෙම ඕනෑම කෝණයකට ඔබට 2 හි ගුණාකාර කෝණයක් එක් කළ හැකිය, එය සූත්‍රයේ (2) වලංගු භාවයට බලපාන්නේ නැත. එලෙසම, මෙම එක් එක් කෝණයෙන් ඔබට ගුණාකාර කෝණයක් අඩු කළ හැකිය 2π. එබැවින් අපට එය උපකල්පනය කළ හැකිය 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
තත්ත්වය ද නොවැදගත් බව හැරෙනවා α > β . ඇත්ත වශයෙන්ම, නම් α < β , එම β >α ; එබැවින්, ශ්රිතයේ සමානාත්මතාවය ලබා දී ඇත cos x , අපට ලැබෙන්නේ:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
එය අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම සූත්රය (2) සමඟ සමපාත වේ. ඉතින් සූත්රය
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
සියලුම කෝණ සඳහා සත්‍ය වේ α සහ β . විශේෂයෙන්, එය තුළ ප්රතිස්ථාපනය කිරීම β මත - β සහ එම කාර්යය ලබා දී ඇත cosx ඉරට්ටේ, සහ කාර්යය පව්x අමුතුයි, අපට ලැබෙන්නේ:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
(1) සූත්රය සනාථ කරයි.
එබැවින්, සූත්ර (1) සහ (2) ඔප්පු කර ඇත.
උදාහරණ.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
අභ්යාස
1 . ත්රිකෝණමිතික වගු භාවිතා නොකර ගණනය කරන්න:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
ඈ) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.ප්‍රකාශන සරල කරන්න:
ඒ). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
බී). cos (36° + α ) වියදම (24° - α ) + පව් (36° + α ) පව් ( α - 24°).
V). පාපය (π/4 - α ) පව් (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
ඈ) වියදම 2 α + tg α පාපය 2 α .
3 . ගණනය කරන්න :
ඒ) cos(α - β), නම්
cos α = - 2 / 5 , පාපය β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), cos නම් α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . සොයන්න cos(α + β)සහ cos (α - β) ,පව් කියල දන්නවනම් α = 7/25, පිරිවැය β = - 5/13 සහ කෝණ දෙකම ( α සහ β ) එම කාර්තුවේදී අවසන් වේ.
5 .ගණනය කරන්න:
ඒ). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
බී). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]
