ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද? ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ පහසු මාතෘකාවක් නොවේ. ඒවා ඉතා විවිධාකාර වේ.) උදාහරණයක් ලෙස, මේවා:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

ආදී...

නමුත් මෙම (සහ අනෙකුත් සියලුම) ත්‍රිකෝණමිතික රාක්ෂයන්ට පොදු සහ අනිවාර්ය ලක්ෂණ දෙකක් ඇත. පළමුව - ඔබ එය විශ්වාස නොකරනු ඇත - සමීකරණවල ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ඇත.) දෙවනුව: x සමඟ ඇති සියලුම ප්‍රකාශන දක්නට ලැබේ මෙම එකම කාර්යයන් තුළ.සහ එහි පමණි! X කොහේ හරි දිස්වන්නේ නම් පිටත,උදාහරණ වශයෙන්, sin2x + 3x = 3,මෙය දැනටමත් සමීකරණයක් වනු ඇත මිශ්ර වර්ගය. එවැනි සමීකරණ සඳහා තනි ප්රවේශයක් අවශ්ය වේ. අපි ඒවා මෙහි සලකා බලන්නේ නැහැ.

අපි මෙම පාඩමේදී ද දුෂ්ට සමීකරණ විසඳන්නේ නැත.) මෙන්න අපි ගනුදෙනු කරන්නෙමු සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ.ඇයි? ඔව් විසඳුම නිසා ඕනෑම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණඅදියර දෙකකින් සමන්විත වේ. පළමු අදියරේදී, විවිධ පරිවර්තන හරහා දුෂ්ට සමීකරණය සරල එකක් දක්වා අඩු වේ. දෙවනුව, මෙම සරලම සමීකරණය විසඳනු ලැබේ. වෙන මගක් නෑ.

එබැවින්, ඔබට දෙවන අදියරේදී ගැටළු තිබේ නම්, පළමු අදියර එතරම් තේරුමක් නැත.)

මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ පෙනෙන්නේ කෙසේද?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

මෙතන ඒ ඕනෑම අංකයක් නියෝජනය කරයි. ඕනෑම.

මාර්ගය වන විට, ශ්‍රිතයක් තුළ පිරිසිදු X එකක් නොතිබිය හැකිය, නමුත් යම් ආකාරයක ප්‍රකාශනයක්, වැනි:

cos(3x+π /3) = 1/2

ආදිය මෙය ජීවිතය සංකීර්ණ කරයි, නමුත් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීමේ ක්‍රමයට බලපාන්නේ නැත.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ක්‍රම දෙකකින් විසඳිය හැක. පළමු ආකාරය: තර්කනය සහ ත්‍රිකෝණමිතික කවය භාවිතා කිරීම. අපි මෙහි මෙම මාර්ගය දෙස බලමු. දෙවන ආකාරය - මතකය සහ සූත්‍ර භාවිතා කිරීම - ඊළඟ පාඩමෙන් සාකච්ඡා කෙරේ.

පළමු මාර්ගය පැහැදිලි, විශ්වාසදායක සහ අමතක කිරීමට අපහසුය.) එය ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ, අසමානතා සහ සියලු ආකාරයේ උපක්‍රමශීලී නොවන සම්මත උදාහරණ විසඳීම සඳහා හොඳය. තර්කය මතකයට වඩා ප්‍රබලයි!)

ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් භාවිතයෙන් සමීකරණ විසඳීම.

අපි මූලික තර්කනය සහ ත්‍රිකෝණමිතික කවය භාවිතා කිරීමේ හැකියාව ඇතුළත් කරමු. කොහොමද දන්නේ නැද්ද? කෙසේ වෙතත් ... ඔබට ත්රිකෝණමිතිය තුළ දුෂ්කර කාලයක් ඇති වනු ඇත ...) නමුත් එය වැදගත් නොවේ. "ත්‍රිකෝණමිතික කවය...... එය කුමක්ද?" යන පාඩම් දෙස බලන්න. සහ "ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් මත කෝණ මැනීම." එහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. පෙළපොත් මෙන් නොව...)

ඔහ්, ඔබ දන්නවාද!? “ත්‍රිකෝණමිතික කවය සමඟ ප්‍රායෝගික වැඩ” පවා ප්‍රගුණ කර ඇත!? සුභ පැතුම්. මෙම මාතෘකාව ඔබට සමීප සහ තේරුම් ගත හැකි වනු ඇත.) විශේෂයෙන් ප්රසන්න වන්නේ ත්රිකෝණමිතික කවය ඔබ විසඳන්නේ කුමන සමීකරණයද යන්න සැලකිල්ලට නොගැනීමයි. Sine, cosine, tangent, cotangent - සියල්ල ඔහුට සමාන වේ. එකම විසඳුමේ මූලධර්මය ඇත.

එබැවින් අපි ඕනෑම මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ගනිමු. අවම වශයෙන් මෙය:

cosx = 0.5

අපි X සොයා ගත යුතුයි. අපි කතා කළොත් මිනිස් භාෂාව, අවශ්යයි කෝසයින් 0.5 වන කෝණය (x) සොයා ගන්න.

අපි කලින් රවුම භාවිතා කළේ කෙසේද? අපි එය මත කෝණයක් ඇන්දෙමු. අංශක හෝ රේඩියන වලින්. සහ වහාම දැක්කා මෙම කෝණයෙහි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත. දැන් අපි විරුද්ධ දේ කරමු. 0.5 ට සමාන සහ වහාම රවුම මත කෝසයිනයක් අඳිමු අපි බලමු කෙළවරේ. ඉතිරිව ඇත්තේ පිළිතුර ලිවීමට පමණි.) ඔව්, ඔව්!

රවුමක් අඳින්න සහ කොසයිනය 0.5 ට සමාන ලෙස සලකුණු කරන්න. කොසයින් අක්ෂය මත, ඇත්ත වශයෙන්ම. මෙවැනි:

දැන් අපි මෙම කෝසයින් අපට ලබා දෙන කෝණය ඇද ගනිමු. ඔබේ මූසිකය පින්තූරය මත තබා ගන්න (හෝ ඔබේ ටැබ්ලටයේ පින්තූරය ස්පර්ශ කරන්න), සහ ඔබ දකිවීමෙම කෙළවරේ X.

කුමන කෝණයක කෝසයිනය 0.5 ද?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

සමහර අය සැකයෙන් සිනාසෙනු ඇත, ඔව් ... හරියට, සියල්ල දැනටමත් පැහැදිලි වූ විට එය රවුමක් සෑදීමට වටිනවාද ... ඔබට, ඇත්තෙන්ම, සිනාසෙන්න ...) නමුත් කාරණය නම් මෙය වැරදි පිළිතුරකි. එසේත් නැතිනම්, ප්රමාණවත් නොවේ. 0.5 ක කෝසයිනයක් ද ලබා දෙන වෙනත් කෝණ සමූහයක් මෙහි ඇති බව කව රසඥයන් තේරුම් ගනී.

ඔබ චලනය වන පැත්ත OA හැරුවහොත් සම්පූර්ණ හැරීම, ලක්ෂ්‍යය A එහි මුල් ස්ථානයට නැවත පැමිණේ. 0.5 ට සමාන එකම කොසයිනය සමඟ. එම. කෝණය වෙනස් වනු ඇත 360° හෝ 2π රේඩියන මගින්, සහ cosine - නැත.නව කෝණය 60° + 360° = 420° ද අපගේ සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත, මන්ද

එවැනි සම්පූර්ණ විප්ලවයන් අනන්ත ගණනක් සිදු කළ හැකිය... තවද මෙම නව කෝණ සියල්ල අපගේ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයට විසඳුම් වනු ඇත. ඒවගේම ඒවා ඔක්කොම කොහොම හරි ලියාගන්න ඕන ප්‍රතිචාරයක් විදියට. සෑම.එසේ නොමැති නම්, තීරණය ගණන් නොගනී, ඔව් ...)

ගණිතයට මෙය සරලව හා අලංකාරව කළ හැකිය. එක් කෙටි පිළිතුරකින් ලියන්න අනන්ත කට්ටලයක්තීරණ. අපගේ සමීකරණය සඳහා එය පෙනෙන්නේ කෙසේද යන්න මෙන්න:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

මම එය විකේතනය කරන්නම්. තවමත් ලියන්න අර්ථවත් ලෙසඑය මෝඩ ලෙස අද්භූත අකුරු අඳිනවාට වඩා ප්‍රසන්නයි නේද?)

π /3 - මෙය අප සිටින එකම කොනයි දැක්කාරවුම මත සහ අධිෂ්ඨාන කර ඇතකොසයින් වගුව අනුව.

2π රේඩියනවල එක් සම්පූර්ණ විප්ලවයකි.

n - මෙය සම්පූර්ණ ගණනකි, i.e. සමස්ත rpm එය පැහැදිලි වේ n 0, ± 1, ± 2, ± 3.... ට සමාන විය හැක. කෙටි ප්‍රවේශයෙන් දැක්වෙන පරිදි:

n ∈ Z

n අයිති ( ∈ ) පූර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටලයක් ( Z ) මාර්ගය වන විට, ලිපිය වෙනුවට n අකුරු හොඳින් භාවිතා කළ හැකිය k, m, t ආදිය

මෙම අංකනය ඔබට ඕනෑම නිඛිලයක් ගත හැක n . අවම වශයෙන් -3, අවම වශයෙන් 0, අවම වශයෙන් +55. ඔයාට ඕන කුමක් වුව ද. ඔබ මෙම අංකය පිළිතුරට ආදේශ කළහොත්, ඔබට නිශ්චිත කෝණයක් ලැබෙනු ඇත, එය නියත වශයෙන්ම අපගේ රළු සමීකරණයට විසඳුම වනු ඇත.)

නැතහොත්, වෙනත් වචන වලින්, x = π /3 අනන්ත කට්ටලයක එකම මූලය වේ. අනෙකුත් සියලුම මූලයන් ලබා ගැනීමට, π /3 වෙත ඕනෑම සම්පූර්ණ විප්ලව ගණනක් එකතු කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ ( n ) රේඩියන වලින්. එම. 2πn රේඩියන්.

සෑම? නැත. මම හිතාමතාම සතුට දිගු කරමි. හොඳින් මතක තබා ගැනීමට.) අපගේ සමීකරණයට පිළිතුරුවලින් කොටසක් පමණක් අපට ලැබුණි. විසඳුමේ පළමු කොටස මම මෙසේ ලියන්නෙමි:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - එක් මූලයක් පමණක් නොව, සම්පූර්ණ මූල මාලාවක්, කෙටි ආකාරයෙන් ලියා ඇත.

නමුත් කෝසයින් 0.5 ක් ලබා දෙන කෝණ ද තිබේ!

අපි පිළිතුර ලියා ඇති අපගේ පින්තූරය වෙත ආපසු යමු. මෙන්න ඇය:

ඔබේ මූසිකය රූපය මත තබා ගන්න අපි දකිනවාතවත් කෝණයක් 0.5 ක කෝසයිනයක් ද ලබා දෙයි.ඔබ සිතන්නේ එය සමාන වන්නේ කුමකටද? ත්‍රිකෝණ එකයි... ඔව්! ඔහු කෝණයට සමාන වේ x , සෘණ දිශාවට පමණක් ප්රමාදයි. මේ කෙළවරයි -X. නමුත් අපි දැනටමත් x ගණනය කර ඇත. π /3 හෝ 60°. එබැවින්, අපට ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය:

x 2 = - π /3

හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සම්පූර්ණ විප්ලවයන් හරහා ලබා ගන්නා සියලුම කෝණ එකතු කරමු:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

දැන් එච්චරයි.) ත්‍රිකෝණමිතික කවයේ අපි දැක්කා(ඇත්ත වශයෙන්ම තේරුම් ගන්නා අය)) සෑම 0.5 ක කෝසයිනයක් ලබා දෙන කෝණ. ඒවගේම මේ කෝණ කෙටියෙන් ලිව්වා ගණිතමය ස්වරූපය. පිළිතුරේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අසීමිත මූල ශ්‍රේණි දෙකක් ඇති විය:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි.

බලාපොරොත්තුව, ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා පොදු මූලධර්මයකවයක් භාවිතා කිරීම පැහැදිලිය. අපි ලබා දී ඇති සමීකරණයෙන් කෝසයින් (සයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට්) රවුමක සලකුණු කර, එයට අනුරූප කෝණ අඳින්න සහ පිළිතුර ලියන්න.ඇත්ත වශයෙන්ම, අප කුමන කොන්ද යන්න සොයා බැලිය යුතුය දැක්කාරවුම මත. සමහර විට එය එතරම් පැහැදිලි නැත. හොඳයි, මම කිව්වා මෙතන තර්කනය අවශ්‍ය බව.)

උදාහරණයක් ලෙස, අපි තවත් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් බලමු:

සමීකරණවල ඇති හැකි එකම සංඛ්‍යාව 0.5 නොවන බව කරුණාවෙන් සලකන්න!) මුල් සහ භාගවලට වඩා එය ලිවීම මට පහසු ය.

අපි පොදු මූලධර්මය අනුව වැඩ කරන්නෙමු. අපි රවුමක් අඳින්න, සලකුණු කරන්න (සයින් අක්ෂය මත, ඇත්ත වශයෙන්ම!) 0.5. මෙම සයින් එකට අනුරූප වන සියලුම කෝණ අපි එකවර අඳින්නෙමු. අපට මෙම පින්තූරය ලැබේ:

අපි මුලින්ම කෝණය සමඟ කටයුතු කරමු x පළමු කාර්තුවේදී. අපි සයිනස් වගුව සිහිපත් කර මෙම කෝණයේ අගය තීරණය කරමු. එය සරල කාරණයක්:

x = π /6

සම්පූර්ණ හැරීම් ගැන අපට මතක ඇති අතර, පැහැදිලි හෘද සාක්ෂියක් ඇතිව, පළමු පිළිතුරු මාලාව ලියන්න:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

වැඩේ බාගයක් ඉවරයි. නමුත් දැන් අපි තීරණය කළ යුතුයි දෙවන කෙළවර ...එය කොසයින භාවිතා කරනවාට වඩා උපක්‍රමශීලීයි, ඔව්... නමුත් තර්කනය අපව ගලවා ගනු ඇත! දෙවන කෝණය තීරණය කරන්නේ කෙසේද? x හරහා? ඔව් පහසුයි! පින්තූරයේ ඇති ත්රිකෝණ සමාන වන අතර රතු කෙළවරේ x කෝණයට සමාන වේ x . එය පමණක් සෘණ දිශාවට π කෝණයෙන් ගණනය කරනු ලැබේ. එය රතු වන්නේ එබැවිනි.) පිළිතුර සඳහා අපට කෝණයක් අවශ්‍ය වේ, නිවැරදිව මනින ලද, ධනාත්මක අර්ධ අක්ෂය OX, i.e. අංශක 0 ක කෝණයකින්.

අපි කර්සරය ඇඳීම මත තබා සියල්ල දකිමු. පින්තූරය සංකීර්ණ නොවන පරිදි මම පළමු කෙළවර ඉවත් කළෙමි. අප උනන්දු වන කෝණය (කොළ පැහැයෙන් අඳින ලද) සමාන වනු ඇත:

π - x

X අපි මේක දන්නවා π /6 . එබැවින්, දෙවන කෝණය වනුයේ:

π - π /6 = 5π /6

සම්පූර්ණ විප්ලව එකතු කිරීම ගැන නැවතත් අපට මතක ඇති අතර දෙවන පිළිතුරු මාලාව ලියන්න:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

එච්චරයි. සම්පූර්ණ පිළිතුරක් මූලයන් දෙකකින් සමන්විත වේ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා එකම පොදු මූලධර්මය භාවිතා කරමින් ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් සමීකරණ පහසුවෙන් විසඳිය හැකිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, ත්‍රිකෝණමිතික කවයක් මත ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අඳින්නේ කෙසේදැයි ඔබ දන්නවා නම්.

ඉහත උදාහරණ වල, මම සයින් සහ කොසයින් වල වගු අගය භාවිතා කළෙමි: 0.5. එම. ශිෂ්‍යයා දන්නා එක් අර්ථයක් යුතුය.දැන් අපි අපේ හැකියාවන් පුළුල් කරමු අනෙකුත් සියලුම අගයන්.තීරණය කරන්න, එබැවින් තීරණය කරන්න!)

එබැවින්, අපි මෙම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳිය යුතු යැයි සිතමු:

එවැනි කොසයින් අගයක් කෙටි වගුනැත. මෙම භයානක සත්‍යය අපි තරයේ නොසලකා හරිමු. රවුමක් අඳින්න, කෝසයින් අක්ෂය මත 2/3 සලකුණු කර අනුරූප කෝණ අඳින්න. අපිට මේ පින්තූරය ලැබෙනවා.

පළමුව, පළමු කාර්තුවේ කෝණය දෙස බලමු. x සමාන වන්නේ කුමක් දැයි අප දැන සිටියේ නම්, අපි වහාම පිළිතුර ලියන්නෙමු! අපි දන්නේ නැහැ... අසාර්ථකයි!? සන්සුන්! ගණිතය තමන්ගේම අයව අමාරුවේ දාන්නේ නැහැ! ඇය මෙම නඩුව සඳහා චාප කෝසයින ඉදිරිපත් කළාය. දන්නේ නැහැ? නිෂ්ඵලයි. සොයා බලන්න, ඔබ සිතනවාට වඩා එය ඉතා පහසුයි. මෙම සබැඳිය මත "ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත" ගැන එකදු උපක්‍රමශීලී අක්ෂර වින්‍යාසයක් නොමැත... මෙම මාතෘකාව තුළ මෙය අතිරික්තය.

ඔබ දන්නේ නම්, ඔබටම කියන්න: "X යනු කෝසයින් 2/3 ට සමාන කෝණයකි." වහාම, සම්පූර්ණයෙන්ම චාප කොසයින් අර්ථ දැක්වීමෙන්, අපට ලිවිය හැකිය:

අමතර විප්ලවයන් ගැන අපි මතක තබා ගන්නා අතර අපගේ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයේ මුල් මුල් මාලාව සන්සුන්ව ලියන්න:

x 1 = ආර්කෝස් 2/3 + 2π n, n ∈ Z

දෙවන කෝණය සඳහා මුල් දෙවන මාලාව ස්වයංක්රීයව පාහේ ලියා ඇත. සෑම දෙයක්ම එක හා සමානයි, X (arccos 2/3) පමණක් අඩුවක් සහිත වනු ඇත:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

හා එච්චරයි! මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි. වගු අගයන්ට වඩා පහසුය. කිසිවක් මතක තබා ගැනීමට අවශ්‍ය නැත.) මාර්ගය වන විට, මෙම පින්තූරය චාප කොසයින් හරහා විසඳුම පෙන්වන බව වඩාත් අවධානයෙන් සිටින අය දකිනු ඇත. සාරය වශයෙන්, cosx = 0.5 සමීකරණය සඳහා පින්තූරයෙන් වෙනස් නොවේ.

හරියටම! පොදු මූලධර්මයඑය පොදු වන්නේ එබැවිනි! මම හිතාමතාම පාහේ සමාන පින්තූර දෙකක් ඇන්දෙමි. රවුම අපට කෝණය පෙන්වයි x එහි කොසයින් මගින්. එය tabular cosine එකක්ද නැද්ද යන්න කවුරුත් නොදනී. මෙය කුමන ආකාරයේ කෝණයක්ද, π /3, හෝ චාප කෝසයින් යනු කුමක්ද - එය තීරණය කිරීම අපට භාරයි.

සයින් සමඟ එකම ගීතය. උදාහරණ වශයෙන්:

නැවත රවුමක් අඳින්න, සයින් 1/3 ට සමාන ලෙස සලකුණු කරන්න, කෝණ අඳින්න. අපට ලැබෙන පින්තූරය මෙයයි:

නැවතත් පින්තූරය සමීකරණයට සමාන වේ sinx = 0.5.නැවතත් අපි පළමු කාර්තුවේ කෙළවරේ සිට ආරම්භ කරමු. එහි සයිනය 1/3 නම් X සමාන වන්නේ කුමක් ද? ප්රශ්නයක් නැහැ!

දැන් මුල් පැකේජය සූදානම්:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

අපි දෙවන කෝණය සමඟ කටයුතු කරමු. 0.5 වගු අගයක් සහිත උදාහරණයේ, එය සමාන විය:

π - x

මෙහි ද එය එසේම වනු ඇත! x පමණක් වෙනස් වේ, arcsin 1/3. ඉතින් කුමක් ද!? ඔබට දෙවන මුල් පැකේජය ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම නිවැරදි පිළිතුරකි. එය එතරම් හුරුපුරුදු නැති බව පෙනේ. නමුත් එය පැහැදිලිය, මම බලාපොරොත්තු වෙමි.)

වෘත්තයක් භාවිතයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ එලෙසයි. මෙම මාර්ගය පැහැදිලි සහ තේරුම්ගත හැකි ය. ත්‍රිකෝණමිතික අසමානතා වලදී, දී ඇති පරතරයක මූලයන් තෝරා ගැනීමත් සමඟ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල ඉතිරි කරන්නේ ඔහුයි - ඒවා සාමාන්‍යයෙන් සෑම විටම පාහේ රවුමක විසඳනු ලැබේ. කෙටියෙන් කිවහොත්, සම්මත ඒවාට වඩා ටිකක් අපහසු ඕනෑම කාර්යයකදී.

දැනුම ප්‍රායෝගිකව යොදමුද?)

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්න:

පළමුව, සරල, මෙම පාඩමෙන්.

දැන් එය වඩාත් සංකීර්ණයි.

ඉඟිය: මෙහිදී ඔබට රවුම ගැන සිතා බැලිය යුතුය. පුද්ගලිකව.)

දැන් ඒවා බාහිරව සරලයි ... ඒවා විශේෂ අවස්ථා ලෙසද හැඳින්වේ.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

ඉඟිය: මෙහිදී ඔබට පිළිතුරු මාලාවක් දෙකක් සහ එකක් ඇත්තේ කොතැනද යන්න රවුමක හඳුනාගත යුතුය... සහ පිළිතුරු මාලාවක් දෙකක් වෙනුවට එකක් ලියන්නේ කෙසේද. ඔව්, අනන්ත සංඛ්‍යාවකින් එක මූලයක්වත් නැති නොවන පරිදි!)

හොඳයි, ඉතා සරලයි):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

ඉඟිය: මෙහිදී ඔබ ආර්ක්සීන් සහ ආර්කෝසීන් යනු කුමක්දැයි දැනගත යුතුද? ආක්ටැන්ජන්ට්, ආර්කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද? වඩාත් සරල අර්ථ දැක්වීම්. නමුත් ඔබට වගු අගයක් මතක තබා ගැනීමට අවශ්‍ය නැත!)

පිළිතුරු, ඇත්ත වශයෙන්ම, අවුල් සහගත ය:

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

සෑම දෙයක්ම සාර්ථක නොවේද? සිදුවේ. පාඩම නැවත කියවන්න. එකම කල්පනාකාරීව(එහෙම තියෙනවා යල්පැන ගිය වචනය...) සහ සබැඳි අනුගමනය කරන්න. ප්‍රධාන සබැඳි රවුම ගැන ය. එහෙම නැතුව ත්‍රිකෝණමිතිය කියන්නේ ඇස් බැඳලා පාර මාරු වෙනවා වගේ වැඩක්. සමහර විට එය ක්රියා කරයි.)

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. අපි ඉගෙන ගනිමු - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.

වඩාත් සංකීර්ණ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ

සමීකරණ

පව් x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ වේ. මෙම ඡේදයේ නිශ්චිත උදාහරණඅපි වඩාත් සංකීර්ණ ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ දෙස බලමු. ඔවුන්ගේ විසඳුම, රීතියක් ලෙස, සරලම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමට පැමිණේ.

උදාහරණයක් 1 . සමීකරණය විසඳන්න

පාපය 2 x=කොස් xපාපය 2 x.

මෙම සමීකරණයේ සියලුම නියමයන් වම් පැත්තට මාරු කිරීම සහ ප්රතිඵලය ප්රකාශනය සාධක කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:

පාපය 2 x(1 - කොස් x) = 0.

ප්‍රකාශන දෙකක ගුණිතය ශුන්‍යයට සමාන වන්නේ අවම වශයෙන් එක් සාධකයක් ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ අනෙකා ඕනෑම දෙයක් ගන්නේ නම් පමණි. සංඛ්යාත්මක අගය, එය අර්ථ දක්වා ඇති තාක් කල්.

නම් පාපය 2 x = 0 , පසුව 2 x= එන් π ; x = π / 2 n.

නම් 1 - වියදම x = 0 , පසුව cos x = 1; x = 2kπ .

ඉතින්, අපට මුල් කණ්ඩායම් දෙකක් තිබේ: x = π / 2 n; x = 2kπ . ප්‍රකාශනය n = 4k සඳහා වන බැවින් දෙවන මූල කාණ්ඩය පැහැදිලිවම පළමුවැන්නෙහි අඩංගු වේ x = π / 2 nබවට පත් වේ
x = 2kπ .

එබැවින්, පිළිතුර එක් සූත්‍රයකින් ලිවිය හැකිය: x = π / 2 n, කොහෙද n- ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්යාවක්.

මෙම සමීකරණය sin 2 මගින් අඩු කිරීමෙන් විසඳිය නොහැකි බව සලකන්න x. ඇත්ත වශයෙන්ම, අඩු කිරීමෙන් පසු අපට 1 - cos x = 0, කොහෙන්ද x= 2k π . එබැවින් අපට සමහර මූලයන් අහිමි වනු ඇත, උදාහරණයක් ලෙස π / 2 , π , 3π / 2 .

උදාහරණ 2.සමීකරණය විසඳන්න

භාගයක් බිංදුවට සමාන වන්නේ එහි සංඛ්‍යාව ශුන්‍යයට සමාන නම් පමණි.
ඒක තමයි පාපය 2 x = 0 , කොහෙන්ද 2 x= එන් π ; x = π / 2 n.

මෙම අගයන් වලින් x ඔබ එම අගයන් බාහිර ලෙස බැහැර කළ යුතුය පව්x ශුන්‍යයට යයි (ශුන්‍ය හරයන් සහිත භාගවලට තේරුමක් නැත: බිංදුවෙන් බෙදීම අර්ථ දක්වා නැත). මෙම අගයන් ගුණාකාර සංඛ්‍යා වේ π . සූත්‍රයේ
x = π / 2 nඒවා ඉරට්ටේ සඳහා ලබා ගනී n. එබැවින්, මෙම සමීකරණයේ මූලයන් සංඛ්යා වනු ඇත

x = π / 2 (2k + 1),

මෙහි k යනු ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වේ.

උදාහරණයක් 3 . සමීකරණය විසඳන්න

2 පව් 2 x+ 7 කොස් x - 5 = 0.

ප්රකාශ කරමු පාපය 2 x ඔස්සේ cosx : පාපය 2 x = 1 - වියදම් 2x . එවිට මෙම සමීකරණය ලෙස නැවත ලිවිය හැක

2 (1 - වියදම් 2 x) + 7 කොස් x - 5 = 0 , හෝ

2කොස් 2 x- 7 කොස් x + 3 = 0.

නම් කිරීම cosx ඔස්සේ හිදී, අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණයට පැමිණෙමු

2у 2 - 7у + 3 = 0,

එහි මූලයන් අංක 1/2 සහ 3 වේ. මෙයින් අදහස් වන්නේ එක්කෝ cos යන්නයි x= 1/2, හෝ cos x= 3. කෙසේ වෙතත්, ඕනෑම කෝණයක කෝසයින් නිරපේක්ෂ අගයෙන් 1 නොඉක්මවන බැවින්, දෙවැන්න කළ නොහැක්කකි.

එය පිළිගැනීමට ඉතිරිව ඇත cos x = 1 / 2 , කොහෙද

x = ± 60° + 360° n.

උදාහරණයක් 4 . සමීකරණය විසඳන්න

2 පව් x+ 3 කොස් x = 6.

පව් ඉදන් xසහ cos xනිරපේක්ෂ අගය 1 නොඉක්මවිය යුතුය, පසුව ප්රකාශනය
2 පව් x+ 3 කොස් x වඩා වැඩි අගයන් ගත නොහැක 5 . එබැවින් මෙම සමීකරණයට මූලයන් නොමැත.

උදාහරණයක් 5 . සමීකරණය විසඳන්න

පව් x+cos x = 1

මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කිරීමෙන්, අපට ලැබෙන්නේ:

පාපය 2 x+ 2 පව් x cos x+ වියදම 2 x = 1,

එහෙත් පාපය 2 x + cos 2 x = 1 . ඒක තමයි 2 පව් x cos x = 0 . නම් පව් x = 0 , එම x = nπ ; නම්
cos x , එම x = π / 2 + කේπ . මෙම විසඳුම් කණ්ඩායම් දෙක එක් සූත්‍රයකින් ලිවිය හැකිය:

x = π / 2 n

අපි මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කළ නිසා, අප ලබාගත් මූලයන් අතර බාහිර මූලයන් තිබිය හැකිය. මෙම උදාහරණයේදී, පෙර පැවති සියලුම ඒවා මෙන් නොව, චෙක්පතක් සිදු කිරීම අවශ්‍ය වන්නේ එබැවිනි. සියලු අර්ථ

x = π / 2 nකණ්ඩායම් 4 කට බෙදිය හැකිය

	1) x = 2kπ .	(n = 4k)
	2) x = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) x = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) x = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

හිදී x = 2kπපව් x+cos x= 0 + 1 = 1. එබැවින්, x = 2kπමෙම සමීකරණයේ මූලයන් වේ.

හිදී x = π / 2 + 2kπ. පව් x+cos x= 1 + 0 = 1 ඉතින් x = π / 2 + 2kπ- මෙම සමීකරණයේ මූලයන් ද වේ.

හිදී x = π + 2kπපව් x+cos x= 0 - 1 = - 1. එබැවින්, අගයන් x = π + 2kπමෙම සමීකරණයේ මූලයන් නොවේ. ඒ හා සමානව එය පෙන්වා ඇත x = 3π / 2 + 2kπ. මූලයන් නොවේ.

මේ අනුව, මෙම සමීකරණයට පහත මූලයන් ඇත: x = 2kπසහ x = π / 2 + 2mπ., කොහෙද කේසහ එම්- ඕනෑම නිඛිල.

බොහෝ දේ විසඳන විට ගණිතමය ගැටළු, විශේෂයෙන් 10 ශ්‍රේණියට පෙර සිදු වන ඒවා, ඉලක්කය කරා ගෙන යන ක්‍රියාවන්හි අනුපිළිවෙල පැහැදිලිව නිර්වචනය කර ඇත. එවැනි ගැටළු වලට උදාහරණයක් ලෙස, රේඛීය සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණ, රේඛීය සහ චතුරස්රාකාර අසමානතා, හතරැස් දක්වා අඩු කරන භාගික සමීකරණ සහ සමීකරණ. සඳහන් කර ඇති එක් එක් ගැටළු සාර්ථකව විසඳීමේ මූලධර්මය පහත පරිදි වේ: ඔබ විසඳන්නේ කුමන ආකාරයේ ගැටලුවක්ද යන්න තහවුරු කර ගත යුතුය, අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය කරා ගෙන යන ක්රියාවන්ගේ අවශ්ය අනුපිළිවෙල මතක තබා ගන්න, i.e. පිළිතුරු දී මෙම පියවර අනුගමනය කරන්න.

කිසියම් ගැටළුවක් විසඳීමේ සාර්ථකත්වය හෝ අසාර්ථකත්වය ප්‍රධාන වශයෙන් රඳා පවතින්නේ විසඳන සමීකරණයේ වර්ගය කෙතරම් නිවැරදිව තීරණය කරන්නේද, එහි විසඳුමේ සියලුම අදියරවල අනුපිළිවෙල කෙතරම් නිවැරදිව ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කරන්නේද යන්න මත බව පැහැදිලිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම නඩුවේදී සමාන පරිවර්තනයන් සහ ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමට කුසලතා තිබිය යුතුය.

සමඟ තත්වය වෙනස් ය ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ.සමීකරණය ත්රිකෝණමිතික බව තහවුරු කිරීම කිසිසේත් අපහසු නැත. නිවැරදි පිළිතුරට තුඩු දෙන ක්‍රියා අනුපිළිවෙල තීරණය කිරීමේදී දුෂ්කරතා පැන නගී.

විසින් පෙනුමසමීකරණය, එහි වර්ගය තීරණය කිරීම සමහර විට අපහසු වේ. සමීකරණයේ වර්ගය නොදැන, ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර දුසිම් කිහිපයකින් නිවැරදි එකක් තෝරා ගැනීම පාහේ කළ නොහැක්කකි.

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසඳීමට, ඔබ උත්සාහ කළ යුතුය:

1. සමීකරණයේ ඇතුළත් සියලුම කාර්යයන් "එකම කෝණ" වෙත ගෙන ඒම;
2. සමීකරණය "සමාන ශ්රිත" වෙත ගෙන ඒම;
3. සමීකරණයේ වම් පැත්ත සාධක කරන්න, ආදිය.

අපි සලකා බලමු ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ක්රම.

I. සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවලට අඩු කිරීම

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.එක්ස්ප්රස් ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයදන්නා සංරචක හරහා.

පියවර 2.සූත්‍ර භාවිතා කර ශ්‍රිත තර්කය සොයන්න:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

ටැන් x = a; x = ආක්ටාන් a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

පියවර 3.නොදන්නා විචල්‍යය සොයන්න.

උදාහරණයක්.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

විසඳුමක්.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ± (π - π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

පිළිතුර: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.එක් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයකට අදාළව සමීකරණය වීජීය ස්වරූපයට අඩු කරන්න.

පියවර 2. t විචල්‍යය මගින් ලැබෙන ශ්‍රිතය දක්වන්න (අවශ්‍ය නම්, t මත සීමා කිරීම් හඳුන්වා දෙන්න).

පියවර 3.ලැබෙන වීජීය සමීකරණය ලියා විසඳන්න.

පියවර 4.ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක් කරන්න.

පියවර 5.සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

විසඳුමක්.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) sin (x/2) = t, එහිදී |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 හෝ e = -3/2, |t| කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකරයි ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

පිළිතුර: x = π + 4πn, n Є Z.

III. සමීකරණ අනුපිළිවෙල අඩු කිරීමේ ක්රමය

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.උපාධිය අඩු කිරීම සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමින් මෙම සමීකරණය රේඛීය එකක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

පියවර 2. I සහ II ක්‍රම භාවිතයෙන් ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

විසඳුමක්.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

පිළිතුර: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. සමජාතීය සමීකරණ

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.මෙම සමීකරණය පෝරමයට අඩු කරන්න

a) a sin x + b cos x = 0 (පළමු උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය)

හෝ දර්ශනයට

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (දෙවන උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණය).

පියවර 2.සමීකරණයේ දෙපැත්තෙන්ම බෙදන්න

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

සහ tan x සඳහා සමීකරණය ලබා ගන්න:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

පියවර 3.දන්නා ක්‍රම භාවිතයෙන් සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

විසඳුමක්.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t ඉඩ දෙන්න

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 හෝ t = -4, එනම්

tg x = 1 හෝ tg x = -4.

පළමු සමීකරණයෙන් x = π/4 + πn, n Є Z; දෙවන සමීකරණයෙන් x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

පිළිතුර: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතයෙන් සමීකරණයක් පරිවර්තනය කිරීමේ ක්‍රමය

විසඳුම් රූප සටහන

පියවර 1.හැකි සියලුම ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, මෙම සමීකරණය I, II, III, IV ක්‍රම මගින් විසඳන ලද සමීකරණයකට අඩු කරන්න.

පියවර 2.දන්නා ක්‍රම භාවිතයෙන් ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්න.

උදාහරණයක්.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

විසඳුමක්.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 හෝ 2cos x + 1 = 0;

පළමු සමීකරණයෙන් 2x = π/2 + πn, n Є Z; දෙවන සමීකරණයෙන් cos x = -1/2.

අපට x = π/4 + πn/2, n Є Z; දෙවන සමීකරණයෙන් x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

පිළිතුර: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමේ හැකියාව සහ කුසලතාව ඉතා ඉහළයි වැදගත්, ඔවුන්ගේ සංවර්ධනය සඳහා ශිෂ්‍යයාගේ සහ ගුරුවරයාගේ පැත්තෙන් සැලකිය යුතු උත්සාහයක් අවශ්‍ය වේ.

ස්ටීරියෝමිතිය, භෞතික විද්‍යාව යනාදී බොහෝ ගැටලු ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම සමඟ සම්බන්ධ වේ.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ගණිතය ඉගෙනීමේ ක්‍රියාවලියේ සහ පොදුවේ පුද්ගලික සංවර්ධනයේ වැදගත් ස්ථානයක් ගනී.

තවමත් ප්‍රශ්න තිබේද? ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේදැයි නොදන්නේද?
උපදේශකයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමට, ලියාපදිංචි වන්න.
පළමු පාඩම නොමිලේ!

වෙබ් අඩවිය, සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් ද්රව්ය පිටපත් කරන විට, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලික සූත්‍ර පිළිබඳ දැනුම අවශ්‍ය වේ - සයින් සහ කෝසයින් වර්ගවල එකතුව, සයින් සහ කෝසයින් හරහා ස්පර්ශක ප්‍රකාශනය සහ වෙනත් ය. ඒවා අමතක වූ හෝ නොදන්නා අය සඳහා, අපි "" ලිපිය කියවීමට නිර්දේශ කරමු.
ඉතින්, අපි මූලික ත්රිකෝණමිතික සූත්ර දන්නවා, එය ප්රායෝගිකව භාවිතා කිරීමට කාලයයි. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීමහිදී නිවැරදි ප්රවේශය- ඇති උද්වේගකර ක්රියාකාරිත්වය, උදාහරණයක් ලෙස, රුබික් ඝනකයක් විසඳීම වැනි.

නම මතම පදනම්ව, ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් යනු නොදන්නා දෙය ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයේ ලකුණ යටතේ ඇති සමීකරණයක් බව පැහැදිලිය.
ඊනියා සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ඇත. මෙන්න ඒවා පෙනෙන්නේ කෙසේද: sinx = a, cos x = a, tan x = a. අපි සලකා බලමු එවැනි ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?, පැහැදිලිකම සඳහා අපි දැනටමත් හුරුපුරුදු ත්‍රිකෝණමිතික කවය භාවිතා කරමු.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

ඕනෑම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් අදියර දෙකකින් විසඳනු ලැබේ: අපි සමීකරණය එහි සරලම ස්වරූපයට අඩු කර එය සරල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් ලෙස විසඳන්නෙමු.
ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳන ප්‍රධාන ක්‍රම 7ක් ඇත.

1. විචල්ය ආදේශන සහ ආදේශන ක්රමය

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 සමීකරණය විසඳන්න

අඩු කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

සාමාන්‍ය චතුරස්‍ර සමීකරණය සරල කිරීමට සහ ලබා ගැනීමට cos(x + /6) y සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න:

2y 2 - 3y + 1 + 0

එහි මූලයන් y 1 = 1, y 2 = 1/2 වේ

දැන් අපි ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලට යමු

අපි y හි සොයාගත් අගයන් ආදේශ කර පිළිතුරු විකල්ප දෙකක් ලබා ගනිමු:

2. සාධකකරණය හරහා ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම

sin x + cos x = 1 සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේද?

0 දකුණේ පවතින පරිදි අපි සියල්ල වමට ගෙන යමු:

sin x + cos x – 1 = 0

සමීකරණය සරල කිරීමට ඉහත සාකච්ඡා කළ අනන්‍යතා භාවිතා කරමු:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

අපි සාධකකරණය කරමු:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

අපට සමීකරණ දෙකක් ලැබේ

3. සමජාතීය සමීකරණයකට අඩු කිරීම

සමීකරණයක් සයින් සහ කෝසයින් සම්බන්ධයෙන් සමජාතීය වන්නේ එහි සියලුම නියමයන් එකම කෝණයක එකම බලයේ සයින් සහ කෝසයිනයට සාපේක්ෂ නම්. සමජාතීය සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, පහත පරිදි ඉදිරියට යන්න:

අ) එහි සියලුම සාමාජිකයින් වම් පැත්තට මාරු කරන්න;

ආ) සියලු පොදු සාධක වරහන් වලින් ඉවතට ගන්න;

ඇ) සියලු සාධක සහ වරහන් 0 ට සමාන කරන්න;

d) අඩු උපාධියක සමජාතීය සමීකරණයක් වරහන් වලින් ලබා ගනී, එය ඉහළ උපාධියක සයින් හෝ කෝසයිනයකට බෙදා ඇත;

e) tg සඳහා ලැබෙන සමීකරණය විසඳන්න.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 සමීකරණය විසඳන්න

අපි sin 2 x + cos 2 x = 1 සූත්‍රය භාවිතා කර දකුණු පස ඇති විවෘත දෙක ඉවත් කරමු:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x මගින් බෙදන්න:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x y සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කර චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලබා ගන්න:

y 2 + 4y +3 = 0, එහි මූලයන් y 1 =1, y 2 = 3

මෙතැන් සිට අපි මුල් සමීකරණයට විසඳුම් දෙකක් සොයා ගනිමු:

x 2 = ආක්ටාන් 3 + කි

4. අර්ධ කෝණයකට මාරුවීම හරහා සමීකරණ විසඳීම

3sin x – 5cos x = 7 සමීකරණය විසඳන්න

අපි x/2 වෙත යමු:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

අපි සියල්ල වමට ගෙන යමු:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) අනුව බෙදන්න:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. සහායක කෝණය හඳුන්වාදීම

සලකා බැලීම සඳහා, අපි පෝරමයේ සමීකරණයක් ගනිමු: a sin x + b cos x = c,

මෙහි a, b, c යනු අත්තනෝමතික සංගුණක වන අතර x යනු නොදන්නා කරුණකි.

අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදමු:



දැන් අනුව සමීකරණයේ සංගුණක ත්රිකෝණමිතික සූත්ර sin සහ cos යන ගුණාංග ඇත, එනම්: ඒවායේ මාපාංකය 1 ට වඩා වැඩි නොවේ සහ වර්ගවල එකතුව = 1. අපි ඒවා පිළිවෙලින් cos සහ sin ලෙස දක්වමු, එහිදී - මෙය ඊනියා සහායක කෝණයයි. එවිට සමීකරණය පෝරමය ගනී:

cos * sin x + sin * cos x = C

හෝ sin(x + ) = C

මෙම සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයට විසඳුම වන්නේ

x = (-1) k * arcsin C - + k, කොහෙද



cos සහ sin යන අංක එකිනෙකට හුවමාරු වන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය.

sin 3x – cos 3x = 1 සමීකරණය විසඳන්න

මෙම සමීකරණයේ සංගුණක වන්නේ:

a = , b = -1, එබැවින් දෙපැත්ත = 2 න් බෙදන්න

ඔබගේ පෞද්ගලිකත්වය පවත්වා ගැනීම අපට වැදගත් වේ. මෙම හේතුව නිසා, අපි ඔබේ තොරතුරු භාවිතා කරන සහ ගබඩා කරන ආකාරය විස්තර කරන රහස්‍යතා ප්‍රතිපත්තියක් සකස් කර ඇත. කරුණාකර අපගේ රහස්‍යතා පරිචයන් සමාලෝචනය කර ඔබට කිසියම් ප්‍රශ්නයක් ඇත්නම් අපට දන්වන්න.

පුද්ගලික තොරතුරු රැස් කිරීම සහ භාවිතය

පුද්ගලික තොරතුරු යනු නිශ්චිත පුද්ගලයෙකු හඳුනා ගැනීමට හෝ සම්බන්ධ කර ගැනීමට භාවිතා කළ හැකි දත්ත වේ.

ඔබ අප හා සම්බන්ධ වන ඕනෑම අවස්ථාවක ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු ලබා දෙන ලෙස ඔබෙන් ඉල්ලා සිටිය හැක.

පහත දැක්වෙන්නේ අප විසින් රැස් කළ හැකි පුද්ගලික තොරතුරු වර්ග සහ අප එම තොරතුරු භාවිතා කළ හැකි ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණ කිහිපයකි.

අපි රැස් කරන පුද්ගලික තොරතුරු මොනවාද:

• ඔබ වෙබ් අඩවියේ අයදුම්පතක් ඉදිරිපත් කරන විට, අපි ඔබේ නම, දුරකථන අංකය, ලිපිනය ඇතුළු විවිධ තොරතුරු රැස් කළ හැක විද්යුත් තැපෑලආදිය

අපි ඔබේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කරන ආකාරය:

• අප විසින් එකතු කරන ලදී පුද්ගලික තොරතුරුඔබව සම්බන්ධ කර ගැනීමට සහ ඒ පිළිබඳව ඔබව දැනුවත් කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි අද්විතීය දීමනා, උසස්වීම් සහ අනෙකුත් සිදුවීම් සහ ඉදිරි සිදුවීම්.
• කලින් කලට, වැදගත් දැනුම්දීම් සහ සන්නිවේදනයන් යැවීමට අපි ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කළ හැක.
• අප සපයන සේවාවන් වැඩිදියුණු කිරීම සහ අපගේ සේවාවන් සම්බන්ධයෙන් ඔබට නිර්දේශ ලබා දීම සඳහා විගණන, දත්ත විශ්ලේෂණය සහ විවිධ පර්යේෂණ පැවැත්වීම වැනි අභ්‍යන්තර අරමුණු සඳහා අපි පුද්ගලික තොරතුරු භාවිතා කළ හැකිය.
• ඔබ ත්‍යාග දිනුම් ඇදීමට, තරඟයකට හෝ ඒ හා සමාන ප්‍රවර්ධනයකට සහභාගී වන්නේ නම්, එවැනි වැඩසටහන් පරිපාලනය කිරීම සඳහා ඔබ සපයන තොරතුරු අපට භාවිතා කළ හැක.

තෙවන පාර්ශවයන්ට තොරතුරු අනාවරණය කිරීම

අපි ඔබෙන් ලැබෙන තොරතුරු තෙවන පාර්ශවයකට හෙළි නොකරමු.

ව්යතිරේක:

• අවශ්ය නම්, නීතියට අනුකූලව, අධිකරණ ක්රියා පටිපාටිය, නීතිමය කටයුතුවලදී, සහ/හෝ රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ රාජ්ය ආයතනවලින් මහජන ඉල්ලීම් හෝ ඉල්ලීම් මත - ඔබේ පුද්ගලික තොරතුරු හෙළි කිරීමට. ආරක්ෂාව, නීතිය ක්‍රියාත්මක කිරීම හෝ වෙනත් පොදු වැදගත්කම සඳහා එවැනි හෙළිදරව් කිරීම අවශ්‍ය හෝ සුදුසු බව අප තීරණය කරන්නේ නම් අපි ඔබ පිළිබඳ තොරතුරු හෙළිදරව් කළ හැකිය.
• ප්‍රතිසංවිධානය කිරීම, ඒකාබද්ධ කිරීම හෝ විකිණීමකදී, අපි එකතු කරන පුද්ගලික තොරතුරු අදාළ අනුප්‍රාප්තික තෙවන පාර්ශවයට මාරු කළ හැකිය.

පුද්ගලික තොරතුරු ආරක්ෂා කිරීම

ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු අලාභ, සොරකම් සහ අනිසි භාවිතය මෙන්ම අනවසරයෙන් ප්‍රවේශ වීම, හෙළිදරව් කිරීම, වෙනස් කිරීම් සහ විනාශ කිරීම් වලින් ආරක්ෂා කිරීමට - පරිපාලන, තාක්ෂණික සහ භෞතික ඇතුළු - අපි පූර්වාරක්ෂාවන් ගන්නෙමු.

සමාගම් මට්ටමින් ඔබේ පෞද්ගලිකත්වයට ගරු කිරීම

ඔබගේ පුද්ගලික තොරතුරු සුරක්ෂිත බව සහතික කිරීම සඳහා, අපි අපගේ සේවකයින්ට පුද්ගලිකත්වය සහ ආරක්ෂක ප්‍රමිතීන් සන්නිවේදනය කරන අතර පුද්ගලිකත්ව භාවිතයන් දැඩි ලෙස බලාත්මක කරන්නෙමු.