Kiwango cha juu cha usawa wa logarithmic ni mifano ya ufumbuzi. Yote kuhusu usawa wa logarithmic

Malengo ya Somo:

Didactic:

• Kiwango cha 1 - kufundisha jinsi ya kutatua usawa rahisi zaidi wa logarithmic, kwa kutumia ufafanuzi wa logarithm, mali ya logarithms;
• Kiwango cha 2 - kutatua kutofautiana kwa logarithmic, kuchagua njia yako ya ufumbuzi;
• Kiwango cha 3 - kuwa na uwezo wa kutumia ujuzi na ujuzi katika hali zisizo za kawaida.

Kukuza: kukuza kumbukumbu, umakini, fikra za kimantiki, ustadi wa kulinganisha, kuwa na uwezo wa kujumlisha na kufikia hitimisho

Kielimu: kukuza usahihi, jukumu la kazi iliyofanywa, kusaidiana.

Mbinu za kufundisha: kwa maneno , kuona , vitendo , utafutaji wa sehemu , kujitawala , kudhibiti.

Aina za shirika la shughuli za utambuzi za wanafunzi: mbele , mtu binafsi , kazi katika jozi.

Vifaa: seti ya kazi za mtihani, noti ya kumbukumbu, karatasi tupu za suluhisho.

Aina ya somo: kujifunza nyenzo mpya.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika. Mandhari na malengo ya somo yanatangazwa, mpango wa somo: kila mwanafunzi anapewa karatasi ya tathmini, ambayo mwanafunzi anajaza wakati wa somo; kwa kila jozi ya wanafunzi - nyenzo zilizochapishwa na kazi, unahitaji kukamilisha kazi kwa jozi; karatasi tupu kwa maamuzi; karatasi za kumbukumbu: ufafanuzi wa logarithm; grafu ya kazi ya logarithmic, mali yake; mali ya logarithms; algorithm ya kutatua usawa wa logarithmic.

Maamuzi yote baada ya kujitathmini yanawasilishwa kwa mwalimu.

Karatasi ya alama za wanafunzi

2. Utekelezaji wa maarifa.

Maagizo ya mwalimu. Kumbuka ufafanuzi wa logarithm, grafu ya kazi ya logarithmic na sifa zake. Ili kufanya hivyo, soma maandishi kwenye ukurasa wa 88-90, 98-101 wa kitabu cha maandishi "Algebra na mwanzo wa uchambuzi 10-11" iliyohaririwa na Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin na wengine.

Wanafunzi hupewa karatasi ambazo zimeandikwa: ufafanuzi wa logarithm; inaonyesha grafu ya kazi ya logarithmic, mali zake; mali ya logarithms; algorithm ya kutatua usawa wa logarithmic, mfano wa kutatua usawa wa logarithmic ambao unapunguza hadi mraba.

3. Kujifunza nyenzo mpya.

Suluhisho la usawa wa logarithmic linatokana na monotonicity ya kazi ya logarithmic.

Algorithm ya kutatua usawa wa logarithmic:

A) Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa ukosefu wa usawa (maneno ya sublogarithmic ni kubwa kuliko sifuri).
B) Wasilisha (ikiwezekana) sehemu za kushoto na kulia za ukosefu wa usawa kama logariti katika msingi sawa.
C) Amua ikiwa utendaji wa logarithmic unaongezeka au unapungua: ikiwa t>1, basi inaongezeka; ikiwa 0 1, kisha kupungua.
D) Nenda kwa usawa rahisi zaidi (maneno ya sublogarithmic), ukizingatia kuwa ishara ya usawa itabaki ikiwa kazi inaongezeka, na itabadilika ikiwa inapungua.

Kipengele cha kujifunza #1.

Kusudi: kurekebisha suluhisho la usawa rahisi zaidi wa logarithmic

Fomu ya shirika la shughuli za utambuzi wa wanafunzi: kazi ya mtu binafsi.

Kazi za kazi ya kujitegemea kwa dakika 10. Kwa kila usawa, kuna majibu kadhaa, unahitaji kuchagua moja sahihi na uangalie kwa ufunguo.

MUHIMU: 13321, pointi za juu - 6 p.

Kipengele cha kujifunza #2.

Kusudi: kurekebisha ufumbuzi wa kutofautiana kwa logarithmic kwa kutumia mali ya logarithms.

Maagizo ya mwalimu. Kumbuka mali ya msingi ya logarithms. Ili kufanya hivyo, soma maandishi ya kitabu kwenye uk.92, 103–104.

Kazi za kazi ya kujitegemea kwa dakika 10.

MUHIMU: 2113, idadi ya juu ya pointi ni 8 b.

Kipengele #3 cha kujifunza.

Kusudi: kujifunza ufumbuzi wa kutofautiana kwa logarithmic kwa njia ya kupunguzwa kwa mraba.

Maagizo ya Mwalimu: njia ya kupunguza usawa kwa mraba ni kwamba unahitaji kubadilisha usawa kwa fomu hiyo kwamba kazi fulani ya logarithmic inaonyeshwa na kutofautiana mpya, huku kupata usawa wa mraba kwa heshima na variable hii.

Wacha tutumie njia ya muda.

Umepita kiwango cha kwanza cha uigaji wa nyenzo. Sasa itabidi uchague kwa uhuru njia ya kutatua hesabu za logarithmic, kwa kutumia maarifa na uwezo wako wote.

Kipengele cha kujifunza nambari 4.

Kusudi: kuunganisha suluhisho la usawa wa logarithmic kwa kuchagua njia ya busara ya kutatua mwenyewe.

Kazi za kazi ya kujitegemea kwa dakika 10

Kipengele cha kujifunza nambari 5.

Maagizo ya mwalimu. Umefanya vizuri! Umefahamu suluhisho la milinganyo ya kiwango cha pili cha utata. Madhumuni ya kazi yako zaidi ni kutumia maarifa na ujuzi wako katika hali ngumu zaidi na zisizo za kawaida.

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Maagizo ya mwalimu. Ni vizuri ikiwa umefanya kazi yote. Umefanya vizuri!

Daraja la somo zima inategemea idadi ya alama zilizopigwa kwa vitu vyote vya kielimu:

• ikiwa N ≥ 20, basi unapata alama "5",
• kwa 16 ≤ N ≤ 19 - alama "4",
• kwa 8 ≤ N ≤ 15 - alama "3",
• katika N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Mbweha waliokadiriwa kukabidhi kwa mwalimu.

5. Kazi ya nyumbani: ikiwa haukupata zaidi ya 15 b - fanya kazi kwa makosa (suluhisho linaweza kuchukuliwa kutoka kwa mwalimu), ikiwa ulifunga zaidi ya 15 b - fanya kazi ya ubunifu kwenye mada "Usawa wa Logarithmic".

KUTOKUWA NA USAWA WA LOGARITHMIC KATIKA MATUMIZI

Sechin Mikhail Alexandrovich

Chuo Kidogo cha Sayansi kwa Wanafunzi wa Jamhuri ya Kazakhstan "Mtafutaji"

MBOU "Shule ya sekondari ya Soviet No. 1", daraja la 11, mji. Wilaya ya Sovietsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, mwalimu wa MBOU "shule ya sekondari ya Soviet No. 1"

Wilaya ya Sovietsky

Lengo: utafiti wa utaratibu wa kutatua kutofautiana kwa logarithmic ya C3 kwa kutumia mbinu zisizo za kawaida, kufichua ukweli wa kuvutia kuhusu logarithm.

Mada ya masomo:

3) Jifunze kutatua tofauti maalum za logarithmic C3 kwa kutumia njia zisizo za kawaida.

Matokeo:

Maudhui

Utangulizi ………………………………………………………………………….4.

Sura ya 1. Usuli…………………………………………………………….5

Sura ya 2. Mkusanyiko wa kutofautiana kwa logarithmic …………………………………………… 7

2.1. Mabadiliko sawa na mbinu ya jumla ya vipindi ……………… 7

2.2. Mbinu ya upatanishi ………………………………………………… 15

2.3. Ubadilishaji usio wa kawaida ……………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Kazi zilizo na mitego ………………………………………………………… 27

Hitimisho ……………………………………………………………………… 30

Fasihi………………………………………………………………………. 31

Utangulizi

Niko katika darasa la 11 na ninapanga kuingia chuo kikuu ambapo hisabati ni somo la msingi. Na ndiyo sababu ninafanya kazi nyingi na kazi za sehemu C. Katika kazi C3, unahitaji kutatua usawa usio wa kawaida au mfumo wa kutofautiana, kwa kawaida huhusishwa na logarithms. Nilipokuwa nikijiandaa kwa ajili ya mtihani, nilikumbana na tatizo la ukosefu wa mbinu na mbinu za kutatua usawa wa logarithmic wa mtihani unaotolewa katika C3. Njia ambazo zinasomwa katika mtaala wa shule juu ya mada hii haitoi msingi wa kutatua kazi C3. Mwalimu wa hesabu alipendekeza nifanye kazi na kazi za C3 peke yangu chini ya uongozi wake. Kwa kuongeza, nilipendezwa na swali: kuna logarithms katika maisha yetu?

Kwa kuzingatia hili, mada ilichaguliwa:

"Ukosefu wa usawa wa logarithmic katika mtihani"

Lengo: utafiti wa utaratibu wa kutatua matatizo ya C3 kwa kutumia mbinu zisizo za kawaida, kufunua ukweli wa kuvutia kuhusu logarithm.

Mada ya masomo:

1) Pata maelezo muhimu kuhusu mbinu zisizo za kawaida za kutatua usawa wa logarithmic.

2) Pata maelezo ya ziada kuhusu logarithms.

3) Jifunze kutatua matatizo maalum ya C3 kwa kutumia njia zisizo za kawaida.

Matokeo:

Umuhimu wa vitendo upo katika upanuzi wa vifaa vya kutatua matatizo C3. Nyenzo hii inaweza kutumika katika baadhi ya masomo, kwa kufanya miduara, madarasa ya hiari katika hisabati.

Bidhaa ya mradi itakuwa mkusanyiko "kukosekana kwa usawa kwa Logarithmic C3 na suluhisho".

Sura ya 1. Usuli

Katika karne ya 16, idadi ya makadirio ya hesabu iliongezeka kwa haraka, haswa katika unajimu. Uboreshaji wa vyombo, uchunguzi wa harakati za sayari, na kazi zingine zilihitaji mahesabu makubwa, wakati mwingine miaka mingi. Unajimu ulikuwa katika hatari halisi ya kuzama katika hesabu ambazo hazijatimizwa. Ugumu pia uliibuka katika maeneo mengine, kwa mfano, katika biashara ya bima, meza za riba za kiwanja zilihitajika kwa maadili ya asilimia tofauti. Ugumu kuu ulikuwa kuzidisha, mgawanyiko wa nambari za tarakimu nyingi, hasa kiasi cha trigonometric.

Ugunduzi wa logarithm ulitegemea sifa zinazojulikana za maendeleo hadi mwisho wa karne ya 16. Archimedes alizungumza kuhusu uhusiano kati ya wanachama wa maendeleo ya kijiometri q, q2, q3, ... na maendeleo ya hesabu ya viashiria vyao 1, 2, 3, ... katika Zaburi. Sharti lingine lilikuwa upanuzi wa dhana ya digrii hadi vipanuzi hasi na sehemu. Waandishi wengi wameeleza kuwa kuzidisha, mgawanyiko, kuinua hadi mamlaka, na kuchimba mzizi hulingana kikamilifu katika hesabu - kwa utaratibu sawa - kujumlisha, kutoa, kuzidisha na kugawanya.

Hapa kulikuwa na wazo la logarithm kama kielelezo.

Katika historia ya maendeleo ya mafundisho ya logarithms, hatua kadhaa zimepita.

Hatua ya 1

Logarithms zilivumbuliwa sio baada ya 1594 kwa kujitegemea na baron wa Uskoti Napier (1550-1617) na miaka kumi baadaye na fundi wa Uswizi Burgi (1552-1632). Wote wawili walitaka kutoa njia mpya rahisi za hesabu za hesabu, ingawa walishughulikia shida hii kwa njia tofauti. Napier alionyesha kinematiki kazi ya logarithmic na hivyo akaingia katika uwanja mpya wa nadharia ya utendakazi. Bürgi alibaki kwenye msingi wa kuzingatia maendeleo tofauti. Walakini, ufafanuzi wa logarithm kwa zote mbili sio sawa na ile ya kisasa. Neno "logarithm" (logarithmus) ni la Napier. Ilitoka kwa mchanganyiko wa maneno ya Kigiriki: logos - "uhusiano" na ariqmo - "idadi", ambayo ilimaanisha "idadi ya mahusiano". Hapo awali, Napier alitumia neno tofauti: bandia za nambari - "nambari za bandia", kinyume na asili ya nambari - "nambari za asili".

Mnamo 1615, katika mazungumzo na Henry Briggs (1561-1631), profesa wa hisabati katika Chuo cha Gresh huko London, Napier alipendekeza kuchukua sifuri kwa logarithm ya moja, na 100 kwa logarithm ya kumi, au, ni kiasi gani sawa. , 1 tu. Hivi ndivyo logarithmu za desimali na jedwali za kwanza za logarithmic zilichapishwa. Baadaye, meza za Briggs ziliongezewa na muuzaji wa vitabu wa Uholanzi na mwanahisabati Andrian Flakk (1600-1667). Napier na Briggs, ingawa walikuja kwa logarithms kabla ya mtu mwingine yeyote, walichapisha meza zao baadaye kuliko wengine - mnamo 1620. Ishara za logi na Ingia zilianzishwa mwaka wa 1624 na I. Kepler. Neno "logarithm ya asili" ilianzishwa na Mengoli mwaka wa 1659, ikifuatiwa na N. Mercator mwaka wa 1668, na mwalimu wa London John Spadel alichapisha meza za logarithms za asili za nambari kutoka 1 hadi 1000 chini ya jina "New Logarithms".

Kwa Kirusi, meza za kwanza za logarithmic zilichapishwa mnamo 1703. Lakini katika jedwali zote za logarithmic, makosa yalifanywa katika hesabu. Jedwali za kwanza zisizo na makosa zilichapishwa mnamo 1857 huko Berlin katika usindikaji wa mwanahisabati wa Ujerumani K. Bremiker (1804-1877).

Hatua ya 2

Ukuzaji zaidi wa nadharia ya logarithmu unahusishwa na matumizi mapana ya jiometri ya uchanganuzi na kalkulasi isiyo na kikomo. Kufikia wakati huo, uhusiano kati ya quadrature ya hyperbola equilateral na logarithm asili ilianzishwa. Nadharia ya logarithms ya kipindi hiki inahusishwa na majina ya idadi ya wanahisabati.

Mwanahisabati wa Ujerumani, mwanaastronomia na mhandisi Nikolaus Mercator katika insha yake

"Logarithmotechnics" (1668) inatoa safu ambayo inatoa upanuzi wa ln (x + 1) katika suala la

nguvu x:

Usemi huu unalingana kabisa na mwendo wa mawazo yake, ingawa, kwa kweli, hakutumia ishara d, ..., lakini alama ngumu zaidi. Pamoja na ugunduzi wa mfululizo wa logarithmic, mbinu ya kuhesabu logarithms ilibadilika: walianza kuamua kwa kutumia mfululizo usio na kipimo. Katika mihadhara yake "Hisabati ya msingi kutoka kwa mtazamo wa juu", iliyosomwa mnamo 1907-1908, F. Klein alipendekeza kutumia fomula kama sehemu ya kuanzia ya kuunda nadharia ya logarithmu.

Hatua ya 3

Ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa la logarithmic kama utendaji wa kinyume

kielelezo, logariti kama kipeo cha msingi fulani

haikuundwa mara moja. Kazi ya Leonhard Euler (1707-1783)

"Utangulizi wa uchambuzi wa infinitesimals" (1748) ulitumika kama zaidi

maendeleo ya nadharia ya kazi ya logarithmic. Kwa njia hii,

Miaka 134 imepita tangu logarithmu zilipoanzishwa

(kuhesabu kutoka 1614) kabla ya wanahisabati kuja na ufafanuzi

dhana ya logariti, ambayo sasa ni msingi wa kozi ya shule.

Sura ya 2. Mkusanyiko wa kutofautiana kwa logarithmic

2.1. Mpito sawa na mbinu ya jumla ya vipindi.

Mabadiliko sawa

ikiwa > 1

ikiwa 0 < а < 1

Mbinu ya muda wa jumla

Njia hii ni ya ulimwengu wote katika kutatua usawa wa karibu aina yoyote. Mpango wa suluhisho unaonekana kama hii:

1. Kuleta usawa kwa fomu hiyo, ambapo kazi iko upande wa kushoto
, na 0 upande wa kulia.

2. Pata upeo wa kazi
.

3. Tafuta zero za kitendakazi
, yaani, kutatua equation
(na kutatua equation kawaida ni rahisi kuliko kutatua usawa).

4. Chora kikoa cha ufafanuzi na zero za kazi kwenye mstari halisi.

5. Kuamua ishara za kazi
kwa vipindi vilivyopokelewa.

6. Chagua vipindi ambapo kazi inachukua maadili muhimu, na uandike jibu.

Mfano 1

Suluhisho:

Tumia njia ya muda

wapi

Kwa maadili haya, misemo yote chini ya ishara za logariti ni chanya.

Jibu:

Mfano 2

Suluhisho:

1 njia . ODZ imedhamiriwa na ukosefu wa usawa x> 3. Kuchukua logariti kwa vile x katika msingi 10, tunapata

Ukosefu wa usawa wa mwisho unaweza kutatuliwa kwa kutumia sheria za mtengano, i.e. kulinganisha mambo na sifuri. Walakini, katika kesi hii ni rahisi kuamua vipindi vya uthabiti wa kazi

kwa hivyo njia ya muda inaweza kutumika.

Kazi f(x) = 2x(x- 3.5) lgǀ x- 3ǀ ni endelevu kwa x> 3 na kutoweka kwa pointi x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kwa hivyo, tunaamua vipindi vya kudumu kwa kazi f(x):

Jibu:

Njia ya 2 . Hebu tutumie mawazo ya njia ya vipindi moja kwa moja kwa usawa wa awali.

Kwa hili, tunakumbuka kwamba maneno a b- a c na ( a - 1)(b- 1) kuwa na ishara moja. Kisha usawa wetu kwa x> 3 ni sawa na ukosefu wa usawa

au

Ukosefu wa usawa wa mwisho hutatuliwa na njia ya muda

Jibu:

Mfano 3

Suluhisho:

Tumia njia ya muda

Jibu:

Mfano 4

Suluhisho:

Tangu 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 kwa wote halisi x, basi

Ili kutatua usawa wa pili, tunatumia njia ya muda

Katika ukosefu wa usawa wa kwanza, tunafanya mabadiliko

basi tunafika kwenye ukosefu wa usawa 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, ambayo inakidhi usawa -0.5< y < 1.

Kutoka wapi, kwa sababu

tunapata usawa

ambayo inafanywa na x, ambayo 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sasa, kwa kuzingatia ufumbuzi wa usawa wa pili wa mfumo, hatimaye tunapata

Jibu:

Mfano 5

Suluhisho:

Kutokuwepo kwa usawa ni sawa na seti ya mifumo

au

Tumia njia ya muda au

Jibu:

Mfano 6

Suluhisho:

Ukosefu wa usawa ni sawa na mfumo

Hebu

basi y > 0,

na ukosefu wa usawa wa kwanza

mfumo unachukua fomu

au, kupanua

mraba trinomial kwa sababu,

Kutumia njia ya muda kwa usawa wa mwisho,

tunaona kwamba masuluhisho yake yanakidhi hali y> 0 itakuwa yote y > 4.

Kwa hivyo, usawa wa asili ni sawa na mfumo:

Kwa hivyo, masuluhisho ya ukosefu wa usawa ni yote

2.2. njia ya upatanishi.

Hapo awali, njia ya usawazishaji wa usawa haikutatuliwa, haikujulikana. Hii ni "njia mpya ya kisasa yenye ufanisi ya kutatua usawa wa kielelezo na wa logarithmic" (nukuu kutoka kwa kitabu cha Kolesnikova S.I.)
Na hata kama mwalimu alimjua, kulikuwa na hofu - lakini je, mtaalam wa USE anamfahamu, na kwa nini hawampi shuleni? Kulikuwa na hali wakati mwalimu alimwambia mwanafunzi: "Ulipata wapi? Kaa chini - 2."
Sasa mbinu hiyo inakuzwa kila mahali. Na kwa wataalam, kuna miongozo inayohusishwa na njia hii, na katika "Matoleo kamili zaidi ya chaguzi za kawaida ..." katika suluhisho C3, njia hii hutumiwa.
MBINU NI KUBWA!

"Jedwali la Uchawi"

Katika vyanzo vingine

kama a >1 na b >1, kisha andika b >0 na (a -1)(b -1)>0;

kama a > 1 na 0

ikiwa 0<a<1 и b >1, kisha andika b<0 и (a -1)(b -1)<0;