மத்தியில் பல்வேறு வெளிப்பாடுகள், இயற்கணிதத்தில் கருதப்படும், மோனோமியல்களின் தொகைகள் ஒரு முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளன. அத்தகைய வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும். பல்லுறுப்புக்கோவையில் உள்ள சொற்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் சொற்கள் எனப்படும். மோனோமியல்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன, இது ஒரு உறுப்பினரைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கருதுகிறது.

உதாரணமாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
எளிமைப்படுத்த முடியும்.

அனைத்து சொற்களையும் மோனோமியல் வடிவில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம் நிலையான பார்வை:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

விளைந்த பல்லுறுப்புக்கோவையில் இதே போன்ற சொற்களை முன்வைப்போம்:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
இதன் விளைவாக ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது, அவற்றின் அனைத்து சொற்களும் நிலையான வடிவத்தின் மோனோமியல்கள், அவற்றில் ஒத்தவை எதுவும் இல்லை. இத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

பின்னால் பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டம்ஒரு நிலையான வடிவம் அதன் உறுப்பினர்களின் மிக உயர்ந்த அதிகாரங்களை எடுத்துக்கொள்கிறது. எனவே, இருசொல் \(12a^2b - 7b\) மூன்றாம் பட்டத்தையும், திரினோமியலானது \(2b^2 -7b + 6\) இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

பொதுவாக, ஒரு மாறியைக் கொண்ட நிலையான வடிவ பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விதிமுறைகள் அடுக்குகளின் இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும். உதாரணத்திற்கு:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

பல பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டுத்தொகை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றப்படலாம் (எளிமைப்படுத்தப்பட்டது).

சில நேரங்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதிமுறைகளை குழுக்களாக பிரிக்க வேண்டும், ஒவ்வொரு குழுவையும் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்க வேண்டும். அடைப்புக்குறி என்பது திறப்பு அடைப்புக்குறிகளின் தலைகீழ் மாற்றம் என்பதால், அதை உருவாக்குவது எளிது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதற்கான விதிகள்:

அடைப்புக்குறிக்குள் "+" அடையாளம் வைக்கப்பட்டால், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்கள் அதே அடையாளங்களுடன் எழுதப்படும்.

அடைப்புக்குறிக்குள் "-" அடையாளம் வைக்கப்பட்டால், அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்ட சொற்கள் எதிர் குறிகளுடன் எழுதப்படும்.

ஒரு மோனோமியல் மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் உற்பத்தியின் உருமாற்றம் (எளிமைப்படுத்துதல்).

பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் ஒரு மோனோமியல் மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெருக்கத்தை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றலாம் (எளிமைப்படுத்தலாம்). உதாரணத்திற்கு:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ஒரு மோனோமியல் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பெருக்கல் இந்த மோனோமியலின் தயாரிப்புகள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கும் சமமாக இருக்கும்.

இந்த முடிவு பொதுவாக ஒரு விதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு மோனோமியலை பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, அந்த மோனோமியலைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொற்களாலும் பெருக்க வேண்டும்.

ஒரு தொகையால் பெருக்க இந்த விதியை ஏற்கனவே பலமுறை பயன்படுத்தியுள்ளோம்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தயாரிப்பு. இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தின் உருமாற்றம் (எளிமைப்படுத்துதல்).

பொதுவாக, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கமானது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தின் பெருக்கத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மற்றொன்றின் ஒவ்வொரு காலத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

பொதுவாக பின்வரும் விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் மற்றொன்றின் ஒவ்வொரு சொல்லால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள். சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடுகள் மற்றும் வேறுபாடுகள்

மற்றவற்றை விட இயற்கணித மாற்றங்களில் சில வெளிப்பாடுகளை நீங்கள் அடிக்கடி கையாள வேண்டும். ஒருவேளை மிகவும் பொதுவான வெளிப்பாடுகள் \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) மற்றும் \(a^2 - b^2 \), அதாவது தொகையின் வர்க்கம், வர்க்கம் சதுரங்களின் வேறுபாடு மற்றும் வேறுபாடு. இந்த வெளிப்பாடுகளின் பெயர்கள் முழுமையடையாமல் இருப்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்கள், எடுத்துக்காட்டாக, \((a + b)^2 \) என்பது கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம் மட்டுமல்ல, a மற்றும் b ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமாகும். . எவ்வாறாயினும், a மற்றும் b இன் கூட்டுத்தொகை அடிக்கடி நிகழாது, a மற்றும் b எழுத்துக்களுக்கு பதிலாக, இது பல்வேறு, சில நேரங்களில் மிகவும் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

\((a + b)^2, \; (a - b) ^ 2 \) சொற்களை எளிதாக (எளிமையாக்க) நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக மாற்றலாம், உண்மையில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்கும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அத்தகைய பணியைச் சந்தித்திருக்கிறீர்கள் :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

இதன் விளைவாக வரும் அடையாளங்களை நினைவில் வைத்து, இடைநிலை கணக்கீடுகள் இல்லாமல் அவற்றைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளது. சுருக்கமான வாய்மொழி சூத்திரங்கள் இதற்கு உதவுகின்றன.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - தொகையின் சதுரம் தொகைக்கு சமம்சதுரங்கள் மற்றும் தயாரிப்பு இரட்டிப்பாகும்.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - வேறுபாட்டின் வர்க்கமானது இரட்டைப் பெருக்கம் இல்லாத சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - சதுரங்களின் வேறுபாடு வேறுபாடு மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

இந்த மூன்று அடையாளங்களும் மாற்றங்களில் அவற்றின் இடது பகுதிகளை வலது மற்றும் நேர்மாறாக - வலது பகுதிகளை இடது பகுதிகளுடன் மாற்ற அனுமதிக்கின்றன. மிகவும் கடினமான விஷயம் என்னவென்றால், தொடர்புடைய வெளிப்பாடுகளைப் பார்ப்பது மற்றும் அவற்றில் a மற்றும் b மாறிகள் எவ்வாறு மாற்றப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைகளை கணக்கிடும் போது, ​​கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த, பயன்படுத்தவும் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் . மொத்தம் ஏழு அத்தகைய சூத்திரங்கள் உள்ளன. அவை அனைத்தையும் நீங்கள் இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

சூத்திரங்களில் a மற்றும் b க்கு பதிலாக எண்கள் அல்லது வேறு ஏதேனும் இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இருக்கலாம் என்பதையும் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

சதுரங்களின் வேறுபாடு

இரண்டு எண்களின் சதுரங்களின் வேறுபாடு இந்த எண்களின் வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கும் சமம்.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

தொகையின் சதுரம்

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கமானது முதல் எண்ணின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் முதல் எண்ணின் இரு மடங்கு பெருக்கமும், இரண்டாவது கூட்டல் இரண்டாவது எண்ணின் வர்க்கமும் ஆகும்.

(அ + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

இந்த சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்துடன் இது எளிதானது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் சதுரங்களைக் கண்டுபிடி பெரிய எண்கள் கால்குலேட்டர் அல்லது நீண்ட பெருக்கலைப் பயன்படுத்தாமல். ஒரு உதாரணத்துடன் விளக்குவோம்:

கண்டுபிடி 112 2.

112ஐ, எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகச் சிதைப்போம்
112 = 100 + 1

எண்களின் கூட்டுத்தொகையை அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதி அடைப்புக்குறிக்கு மேல் ஒரு சதுரத்தை வைப்போம்.
112 2 = (100 + 12) 2

கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

எந்த இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் சதுரத் தொகை சூத்திரம் செல்லுபடியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

எச்சரிக்கை!!!

(a + b) 2 2 + b 2 க்கு சமமாக இல்லை

சதுர வேறுபாடு

இரண்டு எண்களின் வேறுபாட்டின் வர்க்கமானது முதல் எண்ணின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், இது முதல் எண்ணின் வர்க்கத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.

(அ - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

மிகவும் பயனுள்ள மாற்றத்தை நினைவில் கொள்வதும் மதிப்பு:

(a - b) 2 = (b - a) 2
மேலே உள்ள சூத்திரத்தை வெறுமனே அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதன் மூலம் நிரூபிக்க முடியும்:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

தொகையின் கனசதுரம்

இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் கனசதுரமானது முதல் எண்ணின் கனசதுரத்திற்குச் சமம் மற்றும் முதல் எண்ணின் வர்க்கத்தின் மும்மடங்காகும் .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

இந்த "பயங்கரமான" தோற்றம் கொண்ட சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.

தொடக்கத்தில் 3 வரும் என்பதை அறிக.

நடுவில் உள்ள இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் 3 இன் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளன.

INபூஜ்ஜிய சக்திக்கு எந்த எண்ணும் 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். சூத்திரத்தில் டிகிரி a இல் குறைவு மற்றும் பட்டம் b அதிகரிப்பு இருப்பதைக் கவனிக்க எளிதானது. இதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

எச்சரிக்கை!!!

(a + b) 3 ஒரு 3 + b 3 க்கு சமமாக இல்லை

வேறுபாடு கன சதுரம்

இரண்டு எண்களின் வேறுபாட்டின் கனசதுரமானது முதல் எண்ணின் கனசதுரத்தின் கனசதுரத்திற்குச் சமம், முதல் எண்ணின் வர்க்கத்தின் பெருக்கத்தை மூன்று மடங்கு கழித்தல் மற்றும் இரண்டாவது கூட்டல் முதல் எண்ணின் பெருக்கத்தின் மூன்று மடங்கு மற்றும் இரண்டாவது கனசதுரத்தின் வர்க்கத்தைக் கழித்தல் இரண்டாவது.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

இந்த சூத்திரம் முந்தையதைப் போலவே நினைவில் உள்ளது, ஆனால் "+" மற்றும் "-" அறிகுறிகளின் மாற்றத்தை மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது. முதல் சொல் a 3 க்கு முன்னால் "+" உள்ளது (கணித விதிகளின்படி, நாங்கள் அதை எழுதவில்லை). இதன் பொருள் அடுத்த சொல் "-", பின்னர் மீண்டும் "+" போன்றவற்றால் முன்வைக்கப்படும்.

(a - b) 3 = + ஒரு 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ( சம் க்யூப் உடன் குழப்பிக் கொள்ள வேண்டாம்!)

கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் பகுதி வர்க்கத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு அடைப்புக்குறிகளின் பெருக்கமாகும்.

முதல் அடைப்புக்குறி இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

இரண்டாவது அடைப்புக்குறி எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் முழுமையற்ற சதுரமாகும். வேறுபாட்டின் முழுமையற்ற சதுரம் வெளிப்பாடு ஆகும்:

A 2 - ab + b 2
இந்த சதுரம் முழுமையடையாதது, ஏனெனில் நடுவில், இரட்டை தயாரிப்புக்கு பதிலாக, எண்களின் வழக்கமான தயாரிப்பு உள்ளது.

கனசதுரங்களின் வேறுபாடு (வேறுபாடு கனசதுரத்துடன் குழப்பமடைய வேண்டாம்!!!)

கனசதுரங்களின் வேறுபாடு இரண்டு எண்களின் வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கும் கூட்டுத்தொகையின் பகுதி சதுரத்திற்கும் சமம்.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

அடையாளங்களை எழுதும் போது கவனமாக இருங்கள்.மேலே கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து சூத்திரங்களும் வலமிருந்து இடமாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் அல்லது... பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள எளிதான வழி.

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களை நினைவில் கொள்வதில் சிக்கல் உள்ளதா? காரணம் உதவுவது எளிது. இது எவ்வாறு சித்தரிக்கப்பட்டது என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் எளிய விஷயம், பாஸ்கலின் முக்கோணம் போன்றது. இந்த சூத்திரங்களை நீங்கள் எப்போதும் மற்றும் எல்லா இடங்களிலும் நினைவில் வைத்திருப்பீர்கள், அல்லது மாறாக, நினைவில் வைத்துக் கொள்ளாமல், மீட்டெடுக்கவும்.

பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்றால் என்ன? இந்த முக்கோணமானது, வடிவத்தின் இருபக்கத்தின் எந்த அளவையும் பல்லுறுப்புக்கோவையாக விரிவுபடுத்தும் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது.

விரிவாக்குவோம், எடுத்துக்காட்டாக:

இந்த பதிவில், முதல் எண்ணின் கன சதுரம் தொடக்கத்திலும், இரண்டாவது எண்ணின் கனசதுரமானது முடிவில் இருப்பதையும் நினைவில் கொள்வது எளிது. ஆனால் நடுவில் உள்ளதை நினைவில் கொள்வது கடினம். ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலத்திலும் ஒரு காரணியின் அளவு எல்லா நேரத்திலும் குறைகிறது, இரண்டாவது அதிகரிக்கிறது - குணகங்கள் மற்றும் அறிகுறிகளை நினைவில் கொள்வது கடினம் அல்ல (அது கூட்டல் அல்லது கழித்தல்; ?).

எனவே முதலில், முரண்பாடுகள். அவற்றை மனப்பாடம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை! நோட்புக்கின் விளிம்புகளில் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை விரைவாக வரைகிறோம், இங்கே அவை - குணகங்கள், ஏற்கனவே நமக்கு முன்னால் உள்ளன. நாங்கள் மூன்று அலகுகளுடன் வரையத் தொடங்குகிறோம், ஒன்று மேலே, இரண்டு கீழே, வலது மற்றும் இடதுபுறம் - ஆம், இது ஏற்கனவே ஒரு முக்கோணம்:

ஒன்று 1 உடன் முதல் வரி பூஜ்ஜியமாகும். பின்னர் முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் பல வரும். இரண்டாவது வரியைப் பெற, நீங்கள் மீண்டும் விளிம்புகளுக்கு ஒன்றை ஒதுக்க வேண்டும், மேலும் அதன் மேலே உள்ள இரண்டு எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட எண்ணை மையத்தில் எழுதவும்:

நாங்கள் மூன்றாவது வரியை எழுதுகிறோம்: மீண்டும் அலகு விளிம்புகளில், மீண்டும், புதிய வரியில் அடுத்த எண்ணைப் பெற, அதற்கு மேலே உள்ள எண்களை முந்தையதில் சேர்க்கிறோம்:

நீங்கள் யூகித்துள்ளபடி, ஒவ்வொரு வரியிலும் ஒரு பைனோமியலைப் பல்லுறுப்புக்கோவையாக விரிவுபடுத்தும் குணகங்களைப் பெறுகிறோம்:

சரி, அறிகுறிகளை நினைவில் கொள்வது இன்னும் எளிதானது: முதலாவது விரிவாக்கப்பட்ட பைனோமியலில் உள்ளதைப் போன்றது (தொகையை விரிவுபடுத்துகிறோம் - அதாவது கூட்டல், வேறுபாடு - அதாவது கழித்தல்), பின்னர் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன!

இது மிகவும் பயனுள்ள விஷயம் - பாஸ்கலின் முக்கோணம். இதை பயன்படுத்து!

இயற்கணித பாடத்தில் படித்த முதல் தலைப்புகளில் ஒன்று சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் ஆகும். தரம் 7 இல், அவை எளிமையான சூழ்நிலைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அங்கு நீங்கள் ஒரு வெளிப்பாடு மற்றும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணி அல்லது, மாறாக, விரைவாக சதுரம் அல்லது கனசதுரம் ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டில் உள்ள சூத்திரங்களில் ஒன்றை அடையாளம் காண வேண்டும். எதிர்காலத்தில், ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளை விரைவாக தீர்க்கவும் மற்றும் கால்குலேட்டர் இல்லாமல் சில எண் வெளிப்பாடுகளைக் கணக்கிடவும் FSU பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சூத்திரங்களின் பட்டியல் எப்படி இருக்கும்?

அடைப்புக்குறிக்குள் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விரைவாகப் பெருக்க உங்களை அனுமதிக்கும் 7 அடிப்படை சூத்திரங்கள் உள்ளன.

சில நேரங்களில் இந்த பட்டியலில் நான்காவது பட்டத்திற்கான விரிவாக்கமும் அடங்கும், இது வழங்கப்பட்ட அடையாளங்களிலிருந்து பின்பற்றப்பட்டு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

சதுரங்களின் வேறுபாட்டைத் தவிர, அனைத்து சமத்துவங்களுக்கும் ஒரு ஜோடி (தொகை - வேறுபாடு) உள்ளது. சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் கொடுக்கப்படவில்லை.

மீதமுள்ள சமத்துவங்களை நினைவில் கொள்வது எளிது:

FSU கள் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் எந்த மதிப்புகளிலும் செயல்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் அமற்றும் பி: இவை தன்னிச்சையான எண்கள் அல்லது முழு எண் வெளிப்பாடுகளாக இருக்கலாம்.

சூத்திரத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட சொல்லுக்கு முன்னால் எந்த அடையாளம் உள்ளது என்பதை நீங்கள் திடீரென்று நினைவில் கொள்ள முடியாத சூழ்நிலையில், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு அதே முடிவைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, FSU என்ற வித்தியாச கனசதுரத்தைப் பயன்படுத்துவதில் சிக்கல் ஏற்பட்டால், நீங்கள் அசல் வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும் மற்றும் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக பெருக்கல் செய்யவும்:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

இதன் விளைவாக, அனைத்து ஒத்த சொற்களையும் கொண்டு வந்த பிறகு, அட்டவணையில் உள்ள அதே பல்லுறுப்புக்கோவை பெறப்பட்டது. மற்ற எல்லா FSU களிலும் இதே கையாளுதல்களை மேற்கொள்ளலாம்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க FSU இன் பயன்பாடு

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும் பட்டம் 3 இன் பல்லுறுப்புக்கோவை:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

IN பள்ளி பாடத்திட்டம்கன சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உலகளாவிய நுட்பங்கள் கருதப்படுவதில்லை, மேலும் இதுபோன்ற பணிகள் பெரும்பாலும் தீர்க்கப்படுகின்றன எளிய முறைகள்(உதாரணமாக, காரணியாக்கம் மூலம்). அடையாளத்தின் இடது பக்கம் ஒரு தொகையின் கனசதுரத்தை ஒத்திருப்பதை நாம் கவனித்தால், சமன்பாட்டை எளிமையான வடிவத்தில் எழுதலாம்:

(x + 1)³ = 0.

அத்தகைய சமன்பாட்டின் வேர் வாய்வழியாக கணக்கிடப்படுகிறது: x = -1.

ஏற்றத்தாழ்வுகள் இதே வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, நீங்கள் சமத்துவமின்மையை தீர்க்க முடியும் x³ – 6x² + 9x > 0.

முதலில், நீங்கள் வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும். முதலில் நீங்கள் அடைப்புக்குறி செய்ய வேண்டும் எக்ஸ். இதற்குப் பிறகு, அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டை வேறுபாட்டின் சதுரமாக மாற்றலாம்.

வெளிப்பாடு பூஜ்ஜிய மதிப்புகளை எடுக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடித்து அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்க வேண்டும். IN குறிப்பிட்ட வழக்குஇவை 0 மற்றும் 3 ஆக இருக்கும். பின்னர், இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவமின்மை நிலையை x எந்த இடைவெளியில் பூர்த்தி செய்யும் என்பதை தீர்மானிக்கவும்.

செயல்படும் போது FSUகள் பயனுள்ளதாக இருக்கும் கால்குலேட்டரின் உதவியின்றி சில கணக்கீடுகள்:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

கூடுதலாக, வெளிப்பாடுகளை காரணியாக்குவதன் மூலம், நீங்கள் பின்னங்களை எளிதாகக் குறைக்கலாம் மற்றும் பல்வேறு இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம்.

7-8 வகுப்புகளுக்கான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

முடிவில், இயற்கணிதத்தில் சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது குறித்த இரண்டு பணிகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்து தீர்ப்போம்.

பணி 1. வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

தீர்வு. பணியின் நிபந்தனைக்கு வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்குவது, அதாவது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பது, பெருக்கல் மற்றும் விரிவுபடுத்தல் செயல்பாடுகளைச் செய்வது, மேலும் அனைத்து ஒத்த சொற்களையும் கொண்டு வருவது அவசியம். நிபந்தனையுடன் வெளிப்பாட்டை மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிப்போம் (சொற்களின் எண்ணிக்கையின்படி) மற்றும் முடிந்தவரை FSU ஐப் பயன்படுத்தி அடைப்புக்குறிகளை ஒவ்வொன்றாகத் திறப்போம்.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(தொகை சதுரம்);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(சதுரங்களின் வேறுபாடு);
• கடைசி காலத்தில் நீங்கள் பெருக்க வேண்டும்: 2 மீ (5 மீ + 3) = 10 மீ² + 6 மீ.

பெறப்பட்ட முடிவுகளை அசல் வெளிப்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

அறிகுறிகளைக் கருத்தில் கொண்டு, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, இதே போன்ற விதிமுறைகளை வழங்குவோம்:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

சிக்கல் 2. அறியப்படாத k முதல் 5வது சக்தி வரை உள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

தீர்வு. இந்த வழக்கில், FSU மற்றும் குழுவாக்கும் முறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். அடையாளத்தின் வலது பக்கத்திற்கு கடைசி மற்றும் இறுதி விதிமுறைகளை நகர்த்துவது அவசியம்.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

பொதுவான காரணி வலது மற்றும் இடது பக்கங்களில் இருந்து பெறப்படுகிறது (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

எல்லாம் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படும், இதனால் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

மீண்டும் பொதுவான காரணியை எடுக்க வேண்டியது அவசியம்:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

பெறப்பட்ட முதல் காரணியிலிருந்து நாம் பெறலாம் கே. குறுகிய பெருக்கல் சூத்திரத்தின்படி, இரண்டாவது காரணி ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

சதுரங்களின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

ஒரு பொருளின் காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் 0 க்கு சமம் என்பதால், சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல:

1. கே = 0;
2. k - 1 = 0; கே = 1;
3. k + 1 = 0; கே = -1;
4. (k + 2)² = 0; கே = -2.

விளக்க எடுத்துக்காட்டுகளின் அடிப்படையில், சூத்திரங்கள், அவற்றின் வேறுபாடுகள் மற்றும் FSU ஐப் பயன்படுத்தி பல நடைமுறை சிக்கல்களை எவ்வாறு நினைவில் கொள்வது என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம். பணிகள் எளிமையானவை, அவற்றை முடிப்பதில் சிரமங்கள் இருக்கக்கூடாது.

>>கணிதம்: சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்

சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்குவது ஒரு சிறிய, எளிதில் நினைவில் கொள்ளக்கூடிய முடிவை உருவாக்கும் பல நிகழ்வுகள் உள்ளன. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், ஒவ்வொரு முறையும் ஒன்றைப் பெருக்காமல் இருப்பது நல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைமறுபுறம், மற்றும் முடிக்கப்பட்ட முடிவைப் பயன்படுத்தவும். இந்த வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம்.

1. வர்க்கத் தொகை மற்றும் வர்க்க வேறுபாடு:

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்கவும்:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

அ) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (1), a இன் பங்கு 3x என்றும், b இன் பங்கு எண் 2 என்றும் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (2), பாத்திரத்தில் என்று கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது ஏநிற்கிறது 5a 2, மற்றும் பாத்திரத்தில் பிநிற்கிறது 4b 3. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

வர்க்கத் தொகை அல்லது வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​அதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

இது (- a) 2 = a 2 என்பதிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) சில கணித தந்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அவை மனக் கணக்கீடுகளைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 1 மற்றும் 9 இல் முடிவடையும் கிட்டத்தட்ட வாய்மொழியாக சதுர எண்கள் முடியும்

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

சில நேரங்களில் நீங்கள் 2 அல்லது 8 இல் முடிவடையும் எண்ணை விரைவாக வர்க்கப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

ஆனால் மிக நேர்த்தியான தந்திரம் 5ல் முடிவடையும் எண்களை சதுரப்படுத்துவது.
85 2 க்கு தொடர்புடைய காரணத்தை செயல்படுத்துவோம்.

எங்களிடம் உள்ளது:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

85 2 ஐக் கணக்கிட, 8 ஐ 9 ஆல் பெருக்கி, 25 ஐ வலப்புறமாகச் சேர்த்தால் போதும், மற்ற நிகழ்வுகளிலும் இதைச் செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 மற்றும் 25 வலதுபுறத்தில் விளைந்த எண்ணில் சேர்க்கப்பட்டது);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 மற்றும் 25 வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணுடன் சேர்க்கப்பட்டது).

சலிப்பான (முதல் பார்வையில்) சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) தொடர்பான பல்வேறு ஆர்வமுள்ள சூழ்நிலைகளைப் பற்றி நாங்கள் பேசுவதால், இந்த உரையாடலை பின்வரும் வடிவியல் பகுத்தறிவுடன் கூடுதலாக வழங்குவோம். a மற்றும் b இருக்கட்டும் நேர்மறை எண்கள். a + b பக்கத்தைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, அதன் இரண்டு மூலைகளிலும் சதுரங்களை முறையே a மற்றும் b க்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்டு வெட்டுங்கள் (படம் 4).

a + b பக்கமுள்ள ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு (a + b) 2 க்கு சமம். ஆனால் நாம் இந்த சதுரத்தை நான்கு பகுதிகளாக வெட்டுகிறோம்: பக்க a (அதன் பரப்பளவு a 2 க்கு சமம்), பக்க b கொண்ட ஒரு சதுரம் (அதன் பகுதி b 2 க்கு சமம்), a மற்றும் b பக்கங்களைக் கொண்ட இரண்டு செவ்வகங்கள் (பரப்பு அத்தகைய ஒவ்வொரு செவ்வகமும் ab க்கு சமம்). இதன் பொருள் (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, அதாவது சூத்திரம் (1) கிடைக்கும்.

a + b என்ற இருசொற்களை a - b என்ற இருசொற்களால் பெருக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
அதனால்

கணிதத்தில் எந்த சமத்துவமும் இடமிருந்து வலமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது (அதாவது சமத்துவத்தின் இடது பக்கம் அதன் மூலம் மாற்றப்படுகிறது வலது பக்கம்), மற்றும் வலமிருந்து இடமாக (அதாவது சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் அதன் இடது பக்கத்தால் மாற்றப்படுகிறது). சூத்திரம் C) இடமிருந்து வலமாகப் பயன்படுத்தப்பட்டால், அது தயாரிப்பு (a + b) (a - b) ஐ 2 - b 2 உடன் மாற்ற அனுமதிக்கிறது. அதே சூத்திரத்தை வலமிருந்து இடமாகப் பயன்படுத்தலாம், பின்னர் அது 2 - b 2 சதுரங்களின் வித்தியாசத்தை தயாரிப்பு (a + b) (a - b) உடன் மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கிறது. கணிதத்தில் ஃபார்முலா (3) ஒரு சிறப்பு பெயர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது - சதுரங்களின் வேறுபாடு.

கருத்து. "சதுரங்களின் வேறுபாடு" என்ற சொற்களை "வேறுபாடு ஸ்கொயர்" உடன் குழப்ப வேண்டாம். சதுரங்களின் வேறுபாடு 2 - b 2 ஆகும், அதாவது பற்றி பேசுகிறோம்சூத்திரம் பற்றி (3); வித்தியாசத்தின் சதுரம் (a-b) 2, அதாவது நாம் சூத்திரம் (2) பற்றி பேசுகிறோம். சாதாரண மொழியில், சூத்திரம் (3) "வலமிருந்து இடமாக" இப்படி வாசிக்கப்படுகிறது:

இரண்டு எண்களின் சதுரங்களின் வேறுபாடு (வெளிப்பாடுகள்) இந்த எண்களின் (வெளிப்பாடுகள்) கூட்டுத்தொகையின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றின் வேறுபாட்டிற்கும் சமம்,

எடுத்துக்காட்டு 2.பெருக்கல் செய்யவும்

(3x- 2y)(3x+ 2y)
தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

எடுத்துக்காட்டு 3. 16x 4 - 9 பைனோமியலை இருசொற்களின் விளைபொருளாக வெளிப்படுத்தவும்.

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட இருசொற்கள் சதுரங்களின் வித்தியாசம், அதாவது. சூத்திரம் (3) அதற்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், வலமிருந்து இடமாகப் படிக்கவும். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

சூத்திரங்கள் (1) மற்றும் (2) போன்ற சூத்திரம் (3), கணித தந்திரங்களுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. பார்க்க:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பற்றிய உரையாடலை ஒரு சுவாரஸ்யமான வடிவியல் காரணத்துடன் முடிப்போம். a மற்றும் b நேர்மறை எண்களாகவும், a > b ஆகவும் இருக்கட்டும். a + b மற்றும் a - b பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தைக் கவனியுங்கள் (படம் 5). அதன் பரப்பளவு (a + b) (a - b). b மற்றும் a - b பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தை வெட்டி, படம் 6 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி மீதமுள்ள பகுதிக்கு ஒட்டுவோம். இதன் விளைவாக வரும் உருவம் அதே பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது (a + b) (a - b). ஆனால் இந்த எண்ணிக்கை இருக்கலாம்
இப்படி உருவாக்கவும்: a பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்திலிருந்து, பக்க b உடன் ஒரு சதுரத்தை வெட்டுங்கள் (இது படம் 6 இல் தெளிவாகத் தெரியும்). எனவே பகுதி புதிய உருவம் a 2 - b 2 க்கு சமம். எனவே, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, அதாவது சூத்திரம் (3) கிடைத்தது.

3. கனசதுரங்களின் வேறுபாடு மற்றும் கனசதுரங்களின் தொகை

a - b என்ற இருபக்கத்தை a 2 + ab + b 2 ஆல் பெருக்கவும்.
நாங்கள் பெறுகிறோம்:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

அதேபோல்

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(அதை நீங்களே பாருங்கள்). அதனால்,

ஃபார்முலா (4) பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறது க்யூப்ஸ் வேறுபாடு, சூத்திரம் (5) - கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை. (4) மற்றும் (5) சூத்திரங்களை சாதாரண மொழியில் மொழிபெயர்க்க முயற்சிப்போம். இதைச் செய்வதற்கு முன், a 2 + ab + b 2 என்ற வெளிப்பாடு a 2 + 2ab + b 2 என்ற வெளிப்பாட்டைப் போன்றது என்பதைக் கவனியுங்கள், இது சூத்திரத்தில் (1) தோன்றி (a + b) 2; a 2 - ab + b 2 என்ற வெளிப்பாடு a 2 - 2ab + b 2 என்ற வெளிப்பாட்டைப் போன்றது, இது சூத்திரம் (2) இல் தோன்றி (a - b) 2 ஐக் கொடுத்தது.

இந்த ஜோடி வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுத்த (மொழியில்), ஒவ்வொரு வெளிப்பாடுகளும் a 2 + 2ab + b 2 மற்றும் 2 - 2ab + b 2 ஒரு சரியான சதுரம் (தொகை அல்லது வேறுபாடு) என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு வெளிப்பாடுகளும் a 2 + ab + b 2 மற்றும் a 2 - ab + b 2 ஆகியவை முழுமையற்ற சதுரம் (தொகை அல்லது வேறுபாடு) எனப்படும். பின்னர் (4) மற்றும் (5) ("வலமிருந்து இடமாக" படிக்கவும்) சூத்திரங்களின் பின்வரும் மொழிபெயர்ப்பை சாதாரண மொழியில் பெறுகிறோம்:

இரண்டு எண்களின் கனசதுரங்களின் வேறுபாடு (வெளிப்பாடுகள்) அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் முழுமையற்ற சதுரத்தால் இந்த எண்களின் (வெளிப்பாடுகள்) வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கு சமம்; இரண்டு எண்களின் கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை (வெளிப்பாடுகள்) இந்த எண்களின் (வெளிப்பாடுகள்) கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் வேறுபாட்டின் முழுமையற்ற வர்க்கத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

கருத்து. இந்த பத்தியில் பெறப்பட்ட அனைத்து சூத்திரங்களும் (1)-(5) இடமிருந்து வலமாகவும், வலமிருந்து இடமாகவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, முதல் வழக்கில் (இடமிருந்து வலமாக) மட்டுமே (1)-(5) சுருக்கமான பெருக்கல் என்று கூறுகிறார்கள். சூத்திரங்கள், மற்றும் இரண்டாவது வழக்கில் (வலமிருந்து இடமாக) அவர்கள் (1)-(5) காரணிப்படுத்தல் சூத்திரங்கள் என்று கூறுகிறார்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 4.பெருக்கல் (2x - 1)(4x 2 + 2x +1) செய்யவும்.

தீர்வு. முதல் காரணி மோனோமியல்கள் 2x மற்றும் 1 க்கு இடையிலான வேறுபாடு மற்றும் இரண்டாவது காரணி அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் முழுமையற்ற சதுரம் என்பதால், நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் (4). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

எடுத்துக்காட்டு 5.பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விளைபொருளாக 27a 6 + 8b 3 ஐக் குறிக்கவும்.

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது: 27a 6 = (2 க்கு) 3, 8b 3 = (2b) 3. அதாவது கொடுக்கப்பட்ட பைனோமியல் என்பது கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது சூத்திரம் 95ஐ அதற்குப் பயன்படுத்தலாம், வலமிருந்து இடமாகப் படிக்கலாம். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

27a 6 + 8b 3 = (2 க்கு) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b க்கு) ((2 க்கு) 2 - 2 2b + (2b) 2) = (2 + 2b க்கு) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

பள்ளி மாணவர்களுக்கான ஆன்லைன் உதவி, 7 ஆம் வகுப்பு பதிவிறக்கத்திற்கான கணிதம், காலண்டர் மற்றும் கருப்பொருள் திட்டமிடல்

A. V. Pogorelov, 7-11 தரங்களுக்கான வடிவியல், பாடப்புத்தகம் கல்வி நிறுவனங்கள்

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் கோரிக்கையை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள்.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவலை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால், சட்டத்தின்படி, நீதி நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பில் உள்ள அரசு நிறுவனங்களின் கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.