Among iba't ibang ekspresyon, na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng mga monomial ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga ekspresyon:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga termino ng polynomial. Ang mga monomial ay inuri rin bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial na isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.

Halimbawa, isang polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.

Katawanin natin ang lahat ng termino sa anyo ng mga monomial karaniwang view:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Ipakita natin ang mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga termino ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.

Sa likod antas ng polynomial ng isang karaniwang anyo ang pinakamataas sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial na \(12a^2b - 7b\) ay may ikatlong antas, at ang trinomial na \(2b^2 -7b + 6\) ay may pangalawa.

Karaniwan, ang mga tuntunin ng mga karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring mabago (pinasimple) sa isang polynomial ng karaniwang anyo.

Minsan ang mga termino ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga pangkat, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang kalakip na mga panaklong ay ang kabaligtaran na pagbabago ng pambungad na mga panaklong, madali itong bumalangkas Mga panuntunan para sa pagbubukas ng mga bracket:

Kung ang isang “+” sign ay inilagay sa harap ng mga bracket, ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.

Kung ang isang tanda na "-" ay inilagay sa harap ng mga bracket, kung gayon ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial

Gamit ang distributive property ng multiplication, maaari mong baguhin (pasimplehin) ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.

Ang resulta na ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.

Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat mong i-multiply ang monomial na iyon sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.

Nagamit na namin ang panuntunang ito nang ilang beses upang i-multiply sa isang kabuuan.

Produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial

Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa pa.

Karaniwan ang sumusunod na tuntunin ay ginagamit.

Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Pagsusuma ng mga parisukat, pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat

Kailangan mong harapin ang ilang mga expression sa algebraic transformations nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), ibig sabihin, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng ang pagkakaiba at pagkakaiba ng mga parisukat. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b . Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi nangyayari nang madalas; bilang isang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikado, mga expression.

Ang mga expression na \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling ma-convert (pinasimple) sa mga polynomial ng karaniwang anyo; sa katunayan, naranasan mo na ang gawaing ito kapag nagpaparami ng mga polynomial:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Kapaki-pakinabang na tandaan ang mga nagresultang pagkakakilanlan at ilapat ang mga ito nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - parisukat ng kabuuan katumbas ng kabuuan parisukat at doblehin ang produkto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na walang nadobleng produkto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.

Ang tatlong pagkakakilanlang ito ay nagpapahintulot sa isa na palitan ang kaliwang bahagi nito ng mga kanang kamay sa mga pagbabagong-anyo at vice versa - kanang bahagi na may kaliwang kamay. Ang pinakamahirap na bagay ay ang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung paano pinapalitan ang mga variable na a at b sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Kapag kinakalkula ang mga algebraic polynomial, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, gamitin pinaikling mga pormula ng pagpaparami . Mayroong pitong gayong mga formula sa kabuuan. Kailangan mong malaman ang lahat sa pamamagitan ng puso.

Dapat ding tandaan na sa halip na a at b sa mga formula ay maaaring mayroong alinman sa mga numero o anumang iba pang algebraic polynomial.

Pagkakaiba ng mga parisukat

Ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga numerong ito at ng kanilang kabuuan.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Square ng kabuuan

Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero kasama ang dalawang beses sa produkto ng unang numero at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang numero.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Pakitandaan na sa pinaikling formula ng multiplikasyon na ito ay madali maghanap ng mga parisukat malalaking numero nang hindi gumagamit ng calculator o mahabang multiplikasyon. Ipaliwanag natin sa isang halimbawa:

Hanapin ang 112 2.

I-decompose natin ang 112 sa kabuuan ng mga numero na ang mga parisukat ay naaalala nating mabuti.2
112 = 100 + 1

Isulat ang kabuuan ng mga numero sa mga bracket at ilagay ang isang parisukat sa itaas ng mga bracket.
112 2 = (100 + 12) 2

Gamitin natin ang formula para sa parisukat ng kabuuan:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

Tandaan na ang square sum formula ay valid din para sa anumang algebraic polynomial.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Babala!!!

(a + b) 2 hindi katumbas ng a 2 + b 2

Squared na pagkakaiba

Ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng una at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang numero.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alala sa isang napaka-kapaki-pakinabang na pagbabago:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Ang formula sa itaas ay maaaring patunayan sa pamamagitan lamang ng pagbubukas ng mga panaklong:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Kubo ng kabuuan

Ang kubo ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng kubo ng unang numero at triple ang produkto ng parisukat ng unang numero at ang pangalawa at triple ang produkto ng una sa pamamagitan ng parisukat ng pangalawa at ang kubo ng pangalawa .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Napakadaling tandaan ang "nakakatakot" na formula na ito.

Alamin na ang 3 ay dumarating sa simula.

Ang dalawang polynomial sa gitna ay may mga coefficient na 3.

SAtandaan na ang anumang numero sa zeroth power ay 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Madaling mapansin na sa formula ay may pagbaba sa degree a at pagtaas sa degree b. Maaari mong i-verify ito:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Babala!!!

(a + b) 3 hindi katumbas ng a 3 + b 3

Kubo ng pagkakaiba

Ang kubo ng pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kubo ng unang numero na binawasan ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang numero at ang pangalawa plus tatlong beses ang produkto ng unang numero at ang parisukat ng pangalawa minus ang cube ng pangalawa.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ang pormula na ito ay naaalala tulad ng nauna, ngunit isinasaalang-alang lamang ang paghahalili ng mga palatandaan na "+" at "-". Ang unang termino na a 3 ay pinangungunahan ng isang "+" (ayon sa mga tuntunin ng matematika, hindi namin ito isinusulat). Nangangahulugan ito na ang susunod na termino ay mauunahan ng "-", pagkatapos ay muli ng "+", atbp.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

kabuuan ng mga cube ( Hindi dapat malito sa sum cube!)

Ang kabuuan ng mga cube ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng dalawang numero at ang bahagyang parisukat ng pagkakaiba.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Ang kabuuan ng mga cube ay produkto ng dalawang bracket.

Ang unang bracket ay ang kabuuan ng dalawang numero.

Ang pangalawang bracket ay ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numero. Ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ay ang expression:

A 2 - ab + b 2
Ang parisukat na ito ay hindi kumpleto, dahil sa gitna, sa halip na dobleng produkto, mayroong karaniwang produkto ng mga numero.

Pagkakaiba ng mga cube (Hindi dapat malito sa pagkakaiba ng cube!!!)

Ang pagkakaiba ng mga cube ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero at ang bahagyang parisukat ng kabuuan.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Mag-ingat sa pagsusulat ng mga palatandaan.Dapat tandaan na ang lahat ng mga formula na ibinigay sa itaas ay ginagamit din mula kanan hanggang kaliwa.

Isang madaling paraan upang matandaan ang mga pinaikling formula ng pagpaparami, o... ang tatsulok ni Pascal.

Nagkakaproblema sa pag-alala ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon? Ang dahilan ay madaling matulungan. Kailangan mo lang tandaan kung paano ito inilalarawan simpleng bagay, parang tatsulok ni Pascal. Pagkatapos ay maaalala mo ang mga formula na ito palagi at saanman, o sa halip, hindi matandaan, ngunit ibalik.

Ano ang tatsulok ni Pascal? Ang tatsulok na ito ay binubuo ng mga coefficient na pumapasok sa pagpapalawak ng anumang antas ng isang binomial ng anyo sa isang polynomial.

Palawakin natin, halimbawa:

Sa entry na ito ay madaling tandaan na ang cube ng unang numero ay nasa simula, at ang cube ng pangalawang numero ay nasa dulo. Ngunit kung ano ang nasa gitna ay mahirap tandaan. At kahit na ang katotohanan na sa bawat kasunod na termino ang antas ng isang kadahilanan ay bumababa sa lahat ng oras, at ang pangalawang pagtaas - hindi mahirap mapansin at tandaan ang sitwasyon ay mas mahirap sa pag-alala sa mga coefficient at mga palatandaan (ito ba ay plus o minus ?).

Kaya una, ang mga logro. Hindi na kailangang kabisaduhin ang mga ito! Mabilis naming iginuhit ang tatsulok ni Pascal sa mga gilid ng kuwaderno, at narito sila - ang mga coefficient, nasa harap na namin. Nagsisimula kaming gumuhit ng tatlong unit, isa sa itaas, dalawa sa ibaba, sa kanan at sa kaliwa - oo, ito ay isang tatsulok:

Ang unang linya, na may isang 1, ay zero. Pagkatapos ay darating ang una, pangalawa, pangatlo at iba pa. Upang makuha ang pangalawang linya, kailangan mong muling italaga ang mga ito sa mga gilid, at sa gitna isulat ang numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang numero sa itaas nito:

Isinulat namin ang ikatlong linya: muli sa mga gilid ng yunit, at muli, upang makuha ang susunod na numero sa bagong linya, idinagdag namin ang mga numero sa itaas nito sa nauna:

Tulad ng maaaring nahulaan mo, nakukuha namin sa bawat linya ang mga koepisyent mula sa pagpapalawak ng isang binomial sa isang polynomial:

Kaya, mas madaling matandaan ang mga palatandaan: ang una ay kapareho ng sa pinalawak na binomial (pinalawak namin ang kabuuan - nangangahulugan iyon ng plus, ang pagkakaiba - nangangahulugan iyon ng minus), at pagkatapos ay ang mga palatandaan ay kahalili!

Ito ay isang kapaki-pakinabang na bagay - tatsulok ni Pascal. Gamitin ito!

Ang isa sa mga unang paksang pinag-aralan sa kursong algebra ay pinaikling mga multiplication formula. Sa grade 7, ginagamit ang mga ito sa pinakasimpleng sitwasyon, kung saan kailangan mong kilalanin ang isa sa mga formula sa isang expression at i-factor ang isang polynomial o, sa kabaligtaran, mabilis na parisukat o kubo ang isang kabuuan o pagkakaiba. Sa hinaharap, ang FSU ay ginagamit upang mabilis na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay at mga equation at maging upang kalkulahin ang ilang mga numerical na expression nang walang calculator.

Ano ang hitsura ng isang listahan ng mga formula?

Mayroong 7 pangunahing formula na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na magparami ng mga polynomial sa mga bracket.

Minsan kasama rin sa listahang ito ang pagpapalawak para sa ika-apat na antas, na sumusunod sa mga ipinakitang pagkakakilanlan at may anyo:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Ang lahat ng pagkakapantay-pantay ay may isang pares (sum - difference), maliban sa pagkakaiba ng mga parisukat. Ang formula para sa kabuuan ng mga parisukat ay hindi ibinigay.

Ang natitirang pagkakapantay-pantay ay madaling matandaan:

Dapat tandaan na ang mga FSU ay gumagana sa anumang kaso at para sa anumang mga halaga a At b: ang mga ito ay maaaring alinman sa mga arbitrary na numero o integer na expression.

Sa isang sitwasyon kung saan bigla mong hindi maalala kung aling sign ang nasa harap ng isang partikular na termino sa formula, maaari mong buksan ang mga bracket at makuha ang parehong resulta tulad ng pagkatapos gamitin ang formula. Halimbawa, kung lumitaw ang isang problema kapag inilalapat ang pagkakaiba sa cube FSU, kailangan mong isulat ang orihinal na expression at magsagawa ng multiplikasyon nang paisa-isa:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Bilang isang resulta, pagkatapos dalhin ang lahat ng mga katulad na termino, ang parehong polynomial tulad ng sa talahanayan ay nakuha. Ang parehong mga manipulasyon ay maaaring isagawa sa lahat ng iba pang mga FSU.

Application ng FSU upang malutas ang mga equation

Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang equation na naglalaman ng polynomial ng degree 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

SA kurikulum ng paaralan Ang mga unibersal na pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation ay hindi isinasaalang-alang, at ang mga naturang gawain ay madalas na nalutas sa higit pa mga simpleng pamamaraan(halimbawa, sa pamamagitan ng factorization). Kung mapapansin natin na ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan ay kahawig ng kubo ng isang kabuuan, kung gayon ang equation ay maaaring isulat sa isang mas simpleng anyo:

(x + 1)³ = 0.

Ang ugat ng naturang equation ay kinakalkula nang pasalita: x = -1.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa katulad na paraan. Halimbawa, maaari mong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x³ – 6x² + 9x > 0.

Una sa lahat, kailangan mong i-factor ang expression. Una kailangan mong i-bracket x. Pagkatapos nito, tandaan na ang expression sa panaklong ay maaaring ma-convert sa parisukat ng pagkakaiba.

Pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang mga punto kung saan ang expression ay tumatagal ng mga zero na halaga at markahan ang mga ito sa linya ng numero. SA tiyak na kaso ang mga ito ay magiging 0 at 3. Pagkatapos, gamit ang paraan ng agwat, tukuyin kung aling mga agwat ng x ang makakatugon sa kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang mga FSU kapag gumaganap ilang mga kalkulasyon nang walang tulong ng isang calculator:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Bukod pa rito, sa pamamagitan ng factoring expression, madali mong mababawasan ang mga fraction at gawing simple ang iba't ibang algebraic expression.

Mga halimbawa ng problema para sa grade 7-8

Sa konklusyon, susuriin at lulutasin natin ang dalawang gawain sa paggamit ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa algebra.

Gawain 1. Pasimplehin ang expression:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Solusyon. Ang kondisyon ng gawain ay nangangailangan ng pagpapasimple ng expression, i.e. pagbubukas ng mga panaklong, pagsasagawa ng mga pagpapatakbo ng multiplikasyon at pagpaparami, at pagdadala din ng lahat ng magkatulad na termino. Ipaalam sa kondisyon na hatiin natin ang expression sa tatlong bahagi (ayon sa bilang ng mga termino) at buksan ang mga bracket nang paisa-isa, gamit ang FSU kung posible.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(sum square);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(pagkakaiba ng mga parisukat);
• Sa huling termino kailangan mong i-multiply: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Palitan natin ang mga resultang nakuha sa orihinal na expression:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Isinasaalang-alang ang mga palatandaan, bubuksan namin ang mga bracket at magpapakita ng mga katulad na termino:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Problema 2. Lutasin ang isang equation na naglalaman ng hindi kilalang k hanggang sa ika-5 kapangyarihan:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Solusyon. Sa kasong ito, kinakailangang gamitin ang FSU at ang paraan ng pagpapangkat. Kinakailangang ilipat ang huli at penultimate terms sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ang karaniwang kadahilanan ay nagmula sa kanan at kaliwang bahagi (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Ang lahat ay inilipat sa kaliwang bahagi ng equation upang ang 0 ay mananatili sa kanan:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Muli, kinakailangan na alisin ang karaniwang kadahilanan:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Mula sa unang salik na nakuha ay maaari nating makuha k. Ayon sa maikling pormula ng pagpaparami, ang pangalawang salik ay magiging magkapareho sa (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Dahil ang isang produkto ay katumbas ng 0 kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan nito ay zero, ang paghahanap ng lahat ng mga ugat ng equation ay hindi mahirap:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Batay sa mga mapaglarawang halimbawa, mauunawaan mo kung paano matandaan ang mga formula, ang kanilang mga pagkakaiba, at malulutas din ang ilang praktikal na problema gamit ang FSU. Ang mga gawain ay simple at hindi dapat maging mahirap sa pagkumpleto ng mga ito.

>>Math: Mga pinaikling formula ng multiplikasyon

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

Mayroong ilang mga kaso kung saan ang pagpaparami ng isang polynomial sa isa pa ay gumagawa ng isang compact, madaling tandaan na resulta. Sa mga kasong ito, mas mainam na huwag dumami ng isa sa bawat pagkakataon polinomyal sa kabilang banda, at gamitin ang natapos na resulta. Isaalang-alang natin ang mga kasong ito.

1. Squared sum at squared difference:

Halimbawa 1. Palawakin ang mga panaklong sa expression:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Gamitin natin ang formula (1), isinasaalang-alang na ang papel ng a ay 3x, at ang papel ng b ay ang bilang 2.
Nakukuha namin:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Gamitin natin ang formula (2), isinasaalang-alang na sa papel A nakatayo 5a 2, at sa papel b nakatayo 4b 3. Nakukuha namin:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Kapag ginagamit ang squared sum o squared difference formula, tandaan iyon
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na (- a) 2 = a 2.

Tandaan na ang mga formula (1) at (2) ay nakabatay sa ilang mathematical tricks na nagbibigay-daan sa iyong magsagawa ng mga mental na kalkulasyon.

Halimbawa, maaari mong halos pasalitang parisukat ang mga numero na nagtatapos sa 1 at 9. Sa katunayan

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Minsan maaari mong mabilis na i-square ang isang numero na nagtatapos sa 2 o 8. Halimbawa,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Ngunit ang pinaka-eleganteng trick ay kinabibilangan ng pag-squaring ng mga numero na nagtatapos sa 5.
Isagawa natin ang kaukulang pangangatwiran para sa 85 2 .

Meron kami:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Tandaan namin na upang makalkula ang 85 2 sapat na upang i-multiply ang 8 sa 9 at magdagdag ng 25 sa kanan sa resultang resulta. Halimbawa, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 at 25 ay idinagdag sa resultang numero sa kanan);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 at 25 ang idinagdag sa resultang numero sa kanan).

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa iba't ibang mga kakaibang pangyayari na may kaugnayan sa boring (sa unang tingin) na mga formula (1) at (2), dagdagan natin ang pag-uusap na ito ng sumusunod na geometric na pangangatwiran. Hayaan ang a at b mga positibong numero. Isaalang-alang ang isang parisukat na may gilid a + b at gupitin sa dalawang sulok nito ang mga parisukat na may mga gilid na katumbas ng a at b, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 4).

Ang lugar ng isang parisukat na may gilid na a + b ay katumbas ng (a + b) 2. Ngunit pinutol namin ang parisukat na ito sa apat na bahagi: isang parisukat na may gilid a (ang lugar nito ay katumbas ng isang 2), isang parisukat na may gilid b (ang lugar nito ay katumbas ng b 2), dalawang parihaba na may mga gilid a at b (ang lugar ng Ang bawat parihaba ay katumbas ng ab). Ang ibig sabihin nito ay (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, ibig sabihin, nakukuha natin ang formula (1).

I-multiply ang binomial na a + b ng binomial na a - b. Nakukuha namin:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Kaya

Ang anumang pagkakapantay-pantay sa matematika ay ginagamit mula kaliwa hanggang kanan (ibig sabihin, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay pinapalitan ng kanang bahagi), at mula kanan pakaliwa (i.e. ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay pinapalitan ng kaliwang bahagi nito). Kung ang formula C) ay ginamit mula kaliwa hanggang kanan, pagkatapos ay pinapayagan ka nitong palitan ang produkto (a + b) (a - b) ng natapos na resulta a 2 - b 2. Ang parehong formula ay maaaring gamitin mula kanan hanggang kaliwa, pagkatapos ay pinapayagan kang palitan ang pagkakaiba ng mga parisukat a 2 - b 2 sa produkto (a + b) (a - b). Ang formula (3) sa matematika ay binibigyan ng espesyal na pangalan - pagkakaiba ng mga parisukat.

Magkomento. Huwag lituhin ang mga terminong "pagkakaiba ng mga parisukat" sa "pagkakaibang parisukat". Ang pagkakaiba ng mga parisukat ay isang 2 - b 2, na nangangahulugang pinag-uusapan natin tungkol sa formula (3); ang parisukat ng pagkakaiba ay (a- b) 2, na nangangahulugang pinag-uusapan natin ang formula (2). Sa ordinaryong wika, ang formula (3) ay binabasa "mula kanan pakaliwa" tulad nito:

ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang numero (mga expression) ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga numerong ito (mga expression) at ang kanilang pagkakaiba,

Halimbawa 2. Magsagawa ng multiplikasyon

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Solusyon. Meron kami:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

Halimbawa 3. Ipahayag ang binomial na 16x 4 - 9 bilang produkto ng binomial.

Solusyon. Mayroon kaming: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, na nangangahulugan na ang binigay na binomial ay ang pagkakaiba ng mga parisukat, i.e. maaaring ilapat dito ang formula (3), basahin mula kanan pakaliwa. Pagkatapos makuha namin:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Ang formula (3), tulad ng mga formula (1) at (2), ay ginagamit para sa mathematical tricks. Tingnan:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Tapusin natin ang pag-uusap tungkol sa formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat na may kawili-wiling geometric na pangangatwiran. Hayaang ang a at b ay mga positibong numero, at ang a > b. Isaalang-alang ang isang parihaba na may mga gilid a + b at a - b (Larawan 5). Ang lawak nito ay (a + b) (a - b). Gupitin natin ang isang parihaba na may mga gilid b at a - b at idikit ito sa natitirang bahagi tulad ng ipinapakita sa Figure 6. Ito ay malinaw na ang resultang figure ay may parehong lugar, i.e. (a + b) (a - b). Ngunit ang figure na ito ay maaaring
bumuo ng ganito: mula sa isang parisukat na may gilid a, gupitin ang isang parisukat na may gilid b (ito ay malinaw na nakikita sa Fig. 6). Kaya ang lugar bagong pigura katumbas ng a 2 - b 2. Kaya, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, ibig sabihin, nakuha namin ang formula (3).

3. Pagkakaiba ng mga cube at kabuuan ng mga cube

I-multiply ang binomial a - b ng trinomial a 2 + ab + b 2 .
Nakukuha namin:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

Ganun din

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(suriin ito para sa iyong sarili). Kaya,

Ang formula (4) ay karaniwang tinatawag pagkakaiba ng mga cube, formula (5) - ang kabuuan ng mga cube. Subukan nating isalin ang mga formula (4) at (5) sa ordinaryong wika. Bago gawin ito, tandaan na ang expression na a 2 + ab + b 2 ay katulad ng expression na a 2 + 2ab + b 2, na lumabas sa formula (1) at nagbigay ng (a + b) 2; ang expression a 2 - ab + b 2 ay katulad ng expression a 2 - 2ab + b 2, na lumitaw sa formula (2) at nagbigay ng (a - b) 2.

Upang makilala (sa wika) ang mga pares ng expression na ito mula sa isa't isa, ang bawat isa sa mga expression na a 2 + 2ab + b 2 at a 2 - 2ab + b 2 ay tinatawag na perpektong parisukat (sum o pagkakaiba), at ang bawat isa sa mga expression ay a 2 + ab + b 2 at a 2 - ab + b 2 ay tinatawag na hindi kumpletong parisukat (kabuuan o pagkakaiba). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na pagsasalin ng mga formula (4) at (5) (basahin ang "mula kanan pakaliwa") sa ordinaryong wika:

ang pagkakaiba ng mga cube ng dalawang numero (mga expression) ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga numerong ito (mga expression) sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng kanilang kabuuan; ang kabuuan ng mga cube ng dalawang numero (mga expression) ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga numerong ito (mga expression) at ang hindi kumpletong parisukat ng kanilang pagkakaiba.

Magkomento. Ang lahat ng mga formula (1)-(5) na nakuha sa talatang ito ay ginagamit pareho mula kaliwa pakanan at mula kanan pakaliwa, tanging sa unang kaso (mula kaliwa pakanan) sinasabi nila na ang (1)-(5) ay pinaikling multiplikasyon mga formula, at sa pangalawang kaso (mula kanan pakaliwa) sinasabi nila na ang (1)-(5) ay mga formula ng factorization.

Halimbawa 4. Magsagawa ng multiplikasyon (2x - 1)(4x 2 + 2x +1).

Solusyon. Dahil ang unang salik ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga monomial na 2x at 1, at ang pangalawang salik ay ang hindi kumpletong parisukat ng kanilang kabuuan, maaari nating gamitin ang formula (4). Nakukuha namin:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Halimbawa 5. Kinakatawan ang binomial 27a 6 + 8b 3 bilang isang produkto ng polynomials.

Solusyon. Mayroon kaming: 27a 6 = (Para sa 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. Nangangahulugan ito na ang binigay na binomial ay ang kabuuan ng mga cube, iyon ay, ang formula 95 ay maaaring ilapat dito, basahin mula kanan pakaliwa. Pagkatapos makuha namin:

27a 6 + 8b 3 = (Para sa 2) 3 + (2b) 3 = (Para sa 2 + 2b) ((Para sa 2) 2 - Para sa 2 2b + (2b) 2) = (Para sa 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Tulong para sa mga mag-aaral online, Mathematics para sa ika-7 baitang download, kalendaryo at pampakay na pagpaplano

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa institusyong pang-edukasyon

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Kinokolekta namin Personal na impormasyon nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan, alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.