Paano mahanap ang mga zero ng isang function sa isang fraction. Paano makahanap ng mga zero ng isang function

Mga function na zero ay ang mga halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng zero.

Upang mahanap ang mga zero ng function na ibinigay ng formula y=f(x), kailangan mong lutasin ang equation f(x)=0.

Kung ang equation ay walang mga ugat, ang function ay walang mga zero.

Mga halimbawa.

1) Hanapin ang mga zero ng linear function na y=3x+15.

Upang mahanap ang mga zero ng function, lutasin ang equation na 3x+15=0.

Kaya, ang zero ng function na y=3x+15 ay x= -5.

Sagot: x= -5.

2) Hanapin ang mga zero ng quadratic function f(x)=x²-7x+12.

Upang mahanap ang mga zero ng function, lutasin ang quadratic equation

Ang mga ugat nito na x1=3 at x2=4 ay mga zero ng function na ito.

Sagot: x=3; x=4.

Mga tagubilin

1. Ang zero ng isang function ay ang halaga ng argument x kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero. Gayunpaman, tanging ang mga argumento na nasa saklaw ng kahulugan ng function na pinag-aaralan ay maaaring maging mga zero. Iyon ay, mayroong maraming mga halaga kung saan ang function na f(x) ay kapaki-pakinabang. 2. Isulat ang ibinigay na function at i-equate ito sa zero, sabihin ang f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Lutasin ang resultang equation at hanapin ang mga tunay na ugat nito. Ang mga ugat ng isang quadratic equation ay kinakalkula na may suporta para sa paghahanap ng discriminant. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. Kaya, sa kasong ito, dalawang ugat ng quadratic equation ang nakuha, na tumutugma sa mga argumento ng paunang function f(x). 3. Suriin ang lahat ng natukoy na halaga ng x para sa pag-aari sa domain ng kahulugan ng ibinigay na function. Alamin ang OOF, para magawa ito, suriin ang inisyal na expression para sa pagkakaroon ng kahit na mga ugat ng form?f (x), para sa pagkakaroon ng mga fraction sa function na may argumento sa denominator, para sa pagkakaroon ng logarithmic o trigonometric mga ekspresyon. 4. Kapag isinasaalang-alang ang isang function na may isang expression sa ilalim ng ugat ng isang pantay na antas, kunin bilang domain ng kahulugan ang lahat ng mga argumento x, ang mga halaga na kung saan ay hindi gawing negatibong numero ang radikal na expression (sa kabaligtaran, ang function ay walang saysay). Suriin kung ang mga natukoy na zero ng function ay nasa loob ng isang tiyak na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng x. 5. Ang denominator ng fraction ay hindi maaaring pumunta sa zero; samakatuwid, ibukod ang mga argumentong x na humahantong sa isang resulta. Para sa mga logarithmic na dami, ang mga halaga lamang ng argumento ang dapat isaalang-alang kung saan ang expression mismo ay mas malaki kaysa sa zero. Ang mga zero ng function na nagiging zero o negatibong numero ang sublogarithmic expression ay dapat na itapon mula sa huling resulta. Tandaan! Kapag hinahanap ang mga ugat ng isang equation, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat. Madaling suriin ito: palitan lang ang resultang halaga ng argument sa function at tiyaking magiging zero ang function. Nakatutulong na payo Paminsan-minsan ang isang function ay hindi ipinahayag sa isang malinaw na paraan sa pamamagitan ng argumento nito, at pagkatapos ay madaling malaman kung ano ang function na ito. Ang isang halimbawa nito ay ang equation ng isang bilog.

Mga function na zero Ang halaga ng abscissa kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero ay tinatawag.

Kung ang isang function ay ibinigay sa pamamagitan ng equation nito, kung gayon ang mga zero ng function ay magiging mga solusyon sa equation. Kung ang isang graph ng isang function ay ibinigay, kung gayon ang mga zero ng function ay ang mga halaga kung saan ang graph ay nag-intersect sa x-axis.

Function ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng matematika. Function - variable dependency sa mula sa variable x, kung ang bawat halaga X tumutugma sa iisang halaga sa. Variable X tinatawag na independent variable o argumento. Variable sa tinatawag na dependent variable. Lahat ng mga halaga ng independiyenteng variable (variable x) bumuo ng domain ng kahulugan ng function. Lahat ng mga halaga na kinukuha ng dependent variable (variable y), bumuo ng hanay ng mga halaga ng function.

Function graph tawagan ang hanay ng lahat ng mga punto ng coordinate plane, ang abscissas kung saan ay katumbas ng mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function, iyon ay, ang mga halaga ng variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis x, at ang mga halaga ng variable ay naka-plot kasama ang ordinate axis y. Upang i-graph ang isang function, kailangan mong malaman ang mga katangian ng function. Ang mga pangunahing katangian ng function ay tatalakayin sa ibaba!

Upang bumuo ng isang graph ng isang function, inirerekumenda namin ang paggamit ng aming program - Graphing function online. Kung mayroon kang anumang mga katanungan habang pinag-aaralan ang materyal sa pahinang ito, maaari mong palaging tanungin ang mga ito sa aming forum. Gayundin sa forum ay tutulungan ka nilang malutas ang mga problema sa matematika, kimika, geometry, teorya ng posibilidad at marami pang ibang mga paksa!

Mga pangunahing katangian ng mga pag-andar.

1) Function domain at function range.

Ang domain ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong valid na halaga ng argumento x(variable x), kung saan ang function y = f(x) determinado.
Ang hanay ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y, na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang function na zero ay ang halaga ng argumento kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function.

Ang mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function ay mga hanay ng mga halaga ng argumento kung saan ang mga halaga ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Ang pagtaas ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Ang pagpapababa ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argumento mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Kahit (kakaibang) function.

Ang kahit na function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x). Ang graph ng kahit na function ay simetriko tungkol sa ordinate.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay ay totoo f(-x) = - f(x). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x. Kung walang ganoong numero, walang limitasyon ang function.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong isang nonzero na numerong T na para sa alinmang x f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. (Mga formula ng trigonometriko).

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga katangian ng isang function, madali mong ma-explore ang function at, gamit ang mga katangian ng function, maaari kang bumuo ng isang graph ng function. Tingnan din ang materyal tungkol sa talahanayan ng katotohanan, talahanayan ng multiplikasyon, talahanayan ng periodic, talahanayan ng mga derivatives at talahanayan ng mga integral.

Mga function na zero

Ano ang mga function zero? Paano matukoy ang mga zero ng isang function nang analytically at graphically?

Mga function na zero- ito ang mga halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng zero.

Upang mahanap ang mga zero ng function na ibinigay ng formula y=f(x), kailangan mong lutasin ang equation f(x)=0.

Kung ang equation ay walang mga ugat, ang function ay walang mga zero.

1) Hanapin ang mga zero ng linear function na y=3x+15.

Upang mahanap ang mga zero ng function, lutasin ang equation na 3x+15 =0.

Kaya, ang zero ng function ay y=3x+15 - x= -5.

2) Hanapin ang mga zero ng quadratic function f(x)=x²-7x+12.

Upang mahanap ang mga zero ng function, lutasin ang quadratic equation

Ang mga ugat nito na x1=3 at x2=4 ay mga zero ng function na ito.

3) Hanapin ang mga zero ng function

Ang isang fraction ay may katuturan kung ang denominator ay hindi zero. Samakatuwid, x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1. Iyon ay, ang domain ng kahulugan ng isang ibinigay na function (DO)

Sa mga ugat ng equation na x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4, x=-4 lang ang kasama sa domain ng kahulugan.

Upang mahanap ang mga zero ng isang function na ibinigay graphically, kailangan mong hanapin ang mga punto ng intersection ng function graph na may abscissa axis.

Kung ang graph ay hindi bumalandra sa Ox-axis, ang function ay walang mga zero.

ang function na ang graph ay ipinapakita sa figure ay may apat na zero -

Sa algebra, ang problema sa paghahanap ng mga zero ng isang function ay nangyayari kapwa bilang isang independiyenteng gawain at kapag nilulutas ang iba pang mga problema, halimbawa, kapag nag-aaral ng isang function, paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, atbp.

www.algebraclass.ru

Panuntunan ng mga function na zero

Mga pangunahing konsepto at katangian ng mga function

Panuntunan (batas ng) pagsusulatan. Monotonic function .

Limitado at walang limitasyong mga pag-andar. Tuloy-tuloy at

hindi tuloy-tuloy na mga function . Kahit at kakaibang mga function.

Pana-panahong pag-andar. Panahon ng pag-andar.

Mga function na zero . Asymptote .

Ang domain ng kahulugan at ang hanay ng mga halaga ng isang function. Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero R . Nangangahulugan ito na ang argument ng function ay maaari lamang kunin ang mga tunay na halaga kung saan tinukoy ang function, i.e. tumatanggap din ito ng mga tunay na halaga. Isang grupo ng X lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x, kung saan ang function y = f (x) ay tinukoy, tinatawag domain ng function. Isang grupo ng Y lahat ng tunay na halaga y, na tinatanggap ng function, ay tinatawag saklaw ng pag-andar. Ngayon ay maaari tayong magbigay ng mas tumpak na kahulugan ng function: tuntunin (batas) ng pagsusulatan sa pagitan ng mga hanay X At Y , ayon sa kung saan para sa bawat elemento mula sa set X makakahanap ka ng isa at isang elemento lamang mula sa set Y, ay tinatawag na function .

Mula sa kahulugang ito ay sumusunod na ang isang function ay itinuturing na tinukoy kung:

— ang domain ng kahulugan ng function ay tinukoy X ;

— ang hanay ng pag-andar ay tinukoy Y ;

— ang tuntunin (batas) ng pagsusulatan ay kilala, at tulad na para sa bawat isa

argument value, isang function value lang ang mahahanap.

Ang pangangailangang ito ng pagiging natatangi ng function ay sapilitan.

Monotonic function. Kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumento x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 > x 1 ang sumusunod f (x 2) > f (x 1), pagkatapos ay ang pag-andar f (x) ay tinatawag na dumarami; kung para sa alinman x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 > x 1 ang sumusunod f (x 2)

Ang function na ipinapakita sa Fig. 3 ay limitado, ngunit hindi monotoniko. Ang function sa Fig. 4 ay kabaligtaran lamang, monotonic, ngunit walang limitasyon. (Ipaliwanag mo ito!).

Tuloy-tuloy at hindi tuloy-tuloy na pag-andar. Function y = f (x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa punto x = a, Kung:

1) ang function ay tinukoy kapag x = a, ibig sabihin. f (a) umiiral;

2) umiiral may hangganan limitahan lim f (x) ;

Kung hindi bababa sa isa sa mga kundisyong ito ay hindi natutugunan, kung gayon ang function ay tinatawag pampasabog sa punto x = a .

Kung tuluy-tuloy ang function habang lahat mga punto ng domain ng kahulugan nito, pagkatapos ito ay tinatawag na tuluy-tuloy na pag-andar.

Kahit at kakaibang mga function. Kung para sa anuman x mula sa domain ng kahulugan ng function ang mga sumusunod ay hawak: f (— x) = f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kahit; kung mangyari ito: f (— x) = — f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kakaiba. Graph ng pantay na function simetriko tungkol sa Y axis(Larawan 5), isang graph ng isang kakaibang function Sim panukat na may kinalaman sa pinagmulan(Larawan 6).

Pana-panahong pag-andar. Function f (x) — pana-panahon, kung may ganoong bagay hindi zero numero T para saan anuman x mula sa domain ng kahulugan ng function ang mga sumusunod ay hawak: f (x + T) = f (x). Ito hindi bababa sa ang numero ay tinatawag panahon ng pag-andar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang.

Halimbawa 1. Patunayan na kasalanan x ay may panahon na 2.

Solusyon: Alam natin na kasalanan ( x+ 2 n) = kasalanan x, Saan n= 0, ± 1, ± 2, …

Samakatuwid, ang karagdagan 2 n hindi sa argumentong sine

nagbabago ang halaga nito e. May ibang number pa ba nito

Magpanggap na tayo P– tulad ng isang numero, i.e. pagkakapantay-pantay:

wasto para sa anumang halaga x. Ngunit pagkatapos ay mayroon

lugar at sa x= / 2, ibig sabihin.

kasalanan(/2 + P) = kasalanan / 2 = 1.

Ngunit ayon sa formula ng pagbabawas sin (/ 2 + P) = cos P. Pagkatapos

mula sa huling dalawang pagkakapantay-pantay ito ay sumusunod na cos P= 1, ngunit kami

alam natin na ito ay totoo lamang kapag P = 2 n. Mula sa pinakamaliit

hindi zero na numero mula sa 2 n ay 2, pagkatapos ang numerong ito

at may period sin x. Maaari itong mapatunayan sa katulad na paraan na 2

ay isang panahon din para sa cos x .

Patunayan na ang mga function ng tan x at higaan x magkaroon ng period.

Halimbawa 2. Anong numero ang panahon ng function na sin 2 x ?

Solusyon: Isaalang-alang ang kasalanan 2 x= kasalanan (2 x+ 2 n) = kasalanan [ 2 ( x + n) ] .

Nakikita natin ang pagdaragdag n sa argumento x, hindi nagbabago

halaga ng function. Pinakamaliit na hindi-zero na numero

mula sa n ay , kaya ito ang period sin 2 x .

Mga function na zero. Ang halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng 0 ay tinatawag zero ( ugat) function. Ang isang function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga zero. Halimbawa, ang function y = x (x + 1) (x- 3) ay may tatlong mga zero: x = 0, x = — 1, x= 3. Geometrically null function – ito ang abscissa ng punto ng intersection ng function graph na may axis X .

Ipinapakita ng Figure 7 ang isang graph ng isang function na may mga zero: x = a , x = b At x = c .

Asymptote. Kung ang graph ng isang function ay lumalapit sa isang tiyak na linya habang lumalayo ito sa pinanggalingan, ang linyang ito ay tinatawag na asymptote.

Paksa 6. "Pamamaraan ng pagitan."

Kung f (x) f (x 0) para sa x x 0, kung gayon ang function na f (x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x 0.

Kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng ilang interval I, kung gayon ito ay tinatawag tuloy-tuloy sa pagitan Ako (ang pagitan na tinatawag na ako continuity interval ng function). Ang graph ng isang function sa interval na ito ay isang tuluy-tuloy na linya, na sinasabi nilang maaaring "iguguhit nang hindi inaalis ang lapis mula sa papel."

Pag-aari ng tuluy-tuloy na pag-andar.

Kung sa pagitan (a ; b) ang function na f ay tuloy-tuloy at hindi naglalaho, kung gayon nananatili itong isang palaging tanda sa pagitan na ito.

Ang isang paraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable, ang paraan ng agwat, ay batay sa katangiang ito. Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa interval I at maglaho sa isang may hangganang bilang ng mga puntos sa interval na ito. Sa pamamagitan ng pag-aari ng tuluy-tuloy na pag-andar, ang mga puntong ito ay naghahati sa I sa mga pagitan, sa bawat isa kung saan ang tuluy-tuloy na pag-andar f(x) c ay nagpapanatili ng isang pare-parehong tanda. Upang matukoy ang sign na ito, sapat na upang kalkulahin ang halaga ng function na f(x) sa anumang isang punto mula sa bawat ganoong pagitan. Batay dito, nakuha namin ang sumusunod na algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat.

Paraan ng pagitan para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

Paraan ng pagitan. Average na antas.

Gusto mo bang subukan ang iyong lakas at malaman ang resulta kung gaano ka kahanda para sa Unified State Exam o Unified State Exam?

Linear function

Ang isang function ng form ay tinatawag na linear. Kunin natin ang isang function bilang isang halimbawa. Ito ay positibo sa 3″> at negatibo sa. Ang tuldok ay ang zero ng function (). Ipakita natin ang mga palatandaan ng function na ito sa number axis:

Sinasabi namin na "ang function ay nagbabago ng sign kapag dumadaan sa punto".

Makikita na ang mga palatandaan ng function ay tumutugma sa posisyon ng function graph: kung ang graph ay nasa itaas ng axis, ang sign ay " ", kung sa ibaba nito ay " ".

Kung i-generalize natin ang resultang panuntunan sa isang arbitrary linear function, makukuha natin ang sumusunod na algorithm:

Quadratic function

Sana naaalala mo kung paano lutasin ang mga quadratic inequalities? Kung hindi, basahin ang paksang “Quadratic Inequalities.” Hayaan akong ipaalala sa iyo ang pangkalahatang anyo ng isang quadratic function: .

Ngayon, tandaan natin kung anong mga palatandaan ang kinukuha ng quadratic function. Ang graph nito ay isang parabola, at ang function ay tumatagal ng sign na " " para sa mga kung saan ang parabola ay nasa itaas ng axis, at " " - kung ang parabola ay nasa ibaba ng axis:

Kung ang isang function ay may mga zero (mga halaga kung saan), ang parabola ay nag-intersect sa axis sa dalawang punto - ang mga ugat ng kaukulang quadratic equation. Kaya, ang axis ay nahahati sa tatlong pagitan, at ang mga palatandaan ng pag-andar ay halili na nagbabago kapag dumadaan sa bawat ugat.

Posible bang matukoy ang mga palatandaan nang walang pagguhit ng parabola sa bawat oras?

Alalahanin na ang isang parisukat na trinomial ay maaaring i-factorize:

Markahan natin ang mga ugat sa axis:

Naaalala namin na ang tanda ng isang function ay maaari lamang magbago kapag dumadaan sa ugat. Gamitin natin ang katotohanang ito: para sa bawat isa sa tatlong mga agwat kung saan ang axis ay nahahati sa mga ugat, sapat na upang matukoy ang tanda ng pag-andar sa isang arbitraryong napiling punto lamang: sa natitirang mga punto ng agwat ang tanda ay magiging pareho. .

Sa aming halimbawa: sa 3″> parehong mga expression sa mga bracket ay positibo (kapalit, halimbawa: 0″>). Naglalagay kami ng "" sign sa axis:

Well, kapag (kapalit, halimbawa), ang parehong mga bracket ay negatibo, na nangangahulugang ang produkto ay positibo:

Iyon na iyon paraan ng pagitan: alam ang mga palatandaan ng mga kadahilanan sa bawat pagitan, tinutukoy namin ang tanda ng buong produkto.

Isaalang-alang din natin ang mga kaso kapag ang function ay walang mga zero, o isa lamang.

Kung wala sila doon, kung gayon walang mga ugat. Nangangahulugan ito na walang "pagdaraan sa ugat". Nangangahulugan ito na ang function ay tumatagal lamang ng isang sign sa buong linya ng numero. Madali itong matukoy sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa isang function.

Kung mayroon lamang isang ugat, ang parabola ay humipo sa axis, kaya ang tanda ng pag-andar ay hindi nagbabago kapag dumadaan sa ugat. Anong panuntunan ang maaari nating gawin para sa mga ganitong sitwasyon?

Kung isasaalang-alang mo ang gayong function, makakakuha ka ng dalawang magkaparehong salik:

At ang anumang parisukat na expression ay hindi negatibo! Samakatuwid, ang tanda ng pag-andar ay hindi nagbabago. Sa ganitong mga kaso, i-highlight namin ang ugat, kapag dumadaan kung saan ang tanda ay hindi nagbabago, sa pamamagitan ng pag-ikot nito ng isang parisukat:

Tatawagin natin ang gayong ugat maramihan.

Pamamaraan ng pagitan sa hindi pagkakapantay-pantay

Ngayon ang anumang quadratic inequality ay malulutas nang hindi gumuhit ng parabola. Ito ay sapat lamang upang ilagay ang mga palatandaan ng quadratic function sa axis at pumili ng mga agwat depende sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa:

Sukatin natin ang mga ugat sa axis at ilagay ang mga palatandaan:

Kailangan natin ang bahagi ng axis na may " " sign; dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, ang mga ugat mismo ay kasama rin sa solusyon:

Ngayon isaalang-alang ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay - isang hindi pagkakapantay-pantay, ang magkabilang panig nito ay mga makatwirang expression (tingnan ang "Rational Equation").

Halimbawa:

Ang lahat ng mga kadahilanan maliban sa isa ay "linear" dito, iyon ay, naglalaman ang mga ito ng variable lamang sa unang kapangyarihan. Kailangan namin ang mga linear na kadahilanan upang mailapat ang paraan ng agwat - nagbabago ang tanda kapag dumadaan sa kanilang mga ugat. Ngunit ang multiplier ay walang mga ugat sa lahat. Nangangahulugan ito na ito ay palaging positibo (suriin ito para sa iyong sarili), at samakatuwid ay hindi nakakaapekto sa tanda ng buong hindi pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na maaari nating hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan nito, at sa gayon ay mapupuksa ito:

Ngayon ang lahat ay pareho sa mga quadratic inequalities: tinutukoy namin kung anong mga punto ang bawat isa sa mga kadahilanan ay nagiging zero, markahan ang mga puntong ito sa axis at ayusin ang mga palatandaan. Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang napakahalagang katotohanan:

Sa kaso ng kahit na numero, ginagawa namin ang parehong tulad ng dati: bilugan namin ang punto na may isang parisukat at hindi binabago ang tanda kapag dumadaan sa ugat. Ngunit sa kaso ng isang kakaibang numero, ang panuntunang ito ay hindi nalalapat: ang tanda ay magbabago pa rin kapag dumaan sa ugat. Samakatuwid, hindi kami gumagawa ng anumang karagdagang gamit ang gayong ugat, na parang hindi ito isang maramihan. Ang mga tuntunin sa itaas ay nalalapat sa lahat ng pantay at kakaibang kapangyarihan.

Ano ang dapat nating isulat sa sagot?

Kung ang paghahalili ng mga palatandaan ay nilabag, kailangan mong maging maingat, dahil kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, ang sagot ay dapat isama lahat ng may kulay na mga punto. Ngunit ang ilan sa kanila ay madalas na magkahiwalay, iyon ay, hindi sila kasama sa lilim na lugar. Sa kasong ito, idinaragdag namin sila sa sagot bilang mga nakahiwalay na puntos (sa mga kulot na braces):

Mga halimbawa (magpasya para sa iyong sarili):

Mga sagot:

1. Kung kabilang sa mga kadahilanan ito ay simple, ito ay isang ugat, dahil ito ay maaaring kinakatawan bilang.
   .

2. Hanapin natin ang mga zero ng function.

f(x) sa x .

Sagutin ang f(x) sa x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Hayaan ang f(x)=x 2 +4x +5 pagkatapos ay hanapin natin ang naturang x kung saan ang f(x)>0,

D=-4 Walang mga zero.

4. Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Mga hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable

1) Ang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama dito.

2) Ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na f(x;y)>0 ay maaaring graphical na ilarawan sa coordinate plane. Karaniwan, ang linya na tinukoy ng equation na f(x;y) = 0 ay naghahati sa eroplano sa 2 bahagi, ang isa ay ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Upang matukoy kung aling bahagi, kailangan mong palitan ang mga coordinate ng isang di-makatwirang punto M(x0;y0) na hindi nasa linyang f(x;y)=0 sa hindi pagkakapantay-pantay. Kung f(x0;y0) > 0, kung gayon ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang bahagi ng eroplano na naglalaman ng puntong M0. kung f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Ang hanay ng mga solusyon sa isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na kasama dito. Hayaan, halimbawa, bigyan ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

.

Para sa unang hindi pagkakapantay-pantay, ang hanay ng mga solusyon ay isang bilog na radius 2 at nakasentro sa pinanggalingan, at para sa pangalawa, ito ay isang kalahating eroplano na matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya 2x+3y=0. Ang hanay ng mga solusyon ng sistemang ito ay ang intersection ng mga set na ito, i.e. kalahating bilog.

4) Halimbawa. Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Ang solusyon sa 1st inequality ay ang set , ang 2nd ay ang set (2;7) at ang pangatlo ay ang set .

Ang intersection ng mga set na ito ay ang interval (2;3], na siyang hanay ng mga solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

5. Paglutas ng mga rational inequalities gamit ang interval method

Ang paraan ng mga pagitan ay batay sa sumusunod na katangian ng binomial (x-a): ang punto x = α ay naghahati sa numero ng axis sa dalawang bahagi - sa kanan ng puntong α ang binomial (x-α)>0, at sa kaliwa ng puntong α (x-α)<0.

Hayaang kailangang lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, kung saan ang α 1, α 2 ...α n-1, α n ay naayos mga numero, kung saan walang mga katumbas, at tulad ng α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 gamit ang interval method ay nagpapatuloy sa mga sumusunod: ang mga numerong α 1, α 2 ...α n-1, α n ay naka-plot sa numerical axis; sa pagitan sa kanan ng pinakamalaki sa kanila, i.e. mga numero α n, maglagay ng plus sign, sa pagitan na sumusunod dito mula kanan papuntang kaliwa ay maglagay ng minus sign, pagkatapos ay plus sign, pagkatapos ay minus sign, atbp. Pagkatapos ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 ay magiging unyon ng lahat ng mga pagitan kung saan inilalagay ang plus sign, at ang set ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Paglutas ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay (ibig sabihin, hindi pagkakapantay-pantay ng anyo Ang P(x) Q(x) kung saan ang mga polynomial) ay nakabatay sa sumusunod na katangian ng isang tuluy-tuloy na function: kung ang isang tuluy-tuloy na function ay naglaho sa mga puntong x1 at x2 (x1; x2) at walang ibang mga ugat sa pagitan ng mga puntong ito, pagkatapos ay sa pagitan (x1; x2) pinapanatili ng function ang sign nito.

Samakatuwid, upang mahanap ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function na y=f(x) sa linya ng numero, markahan ang lahat ng mga punto kung saan ang function na f(x) ay naglalaho o nagdurusa ng discontinuity. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa ilang mga pagitan, sa loob ng bawat isa kung saan ang function na f(x) ay tuloy-tuloy at hindi naglalaho, i.e. nagse-save ng sign. Upang matukoy ang sign na ito, sapat na upang mahanap ang sign ng function sa anumang punto ng itinuturing na pagitan ng linya ng numero.

2) Upang matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang rational function, i.e. Upang malutas ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, minarkahan namin sa linya ng numero ang mga ugat ng numerator at ang mga ugat ng denominator, na siya ring mga ugat at breakpoint ng rational function.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng pagitan

3. < 20.

Solusyon. Ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

Para sa function na f(x) = – 20. Hanapin ang f(x):

kung saan ang x = 29 at x = 13.

f(30) = – 20 = 0.3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Sagot: . Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga rational equation. 1) Ang pinakasimpleng: nalutas sa pamamagitan ng karaniwang mga pagpapasimple - pagbawas sa isang karaniwang denominator, pagbabawas ng mga katulad na termino, at iba pa. Ang mga parisukat na equation na ax2 + bx + c = 0 ay nalulutas ng...

Ang X ay nagbabago sa pagitan (0,1], at bumababa sa pagitan = ½ [
-(1/3)
], na may | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), sa 1< |z| < 3.

kasama) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, na may |2 - z| < 1

Ito ay isang bilog ng radius 1 na nakasentro sa z = 2 .

Sa ilang mga kaso, ang serye ng kapangyarihan ay maaaring mabawasan sa isang hanay ng mga geometric na pag-unlad, at pagkatapos nito ay madaling matukoy ang rehiyon ng kanilang tagpo.

atbp. Siyasatin ang convergence ng serye

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Solusyon. Ito ang kabuuan ng dalawang geometric na progression na may q 1 = , q 2 = () . Mula sa mga kondisyon ng kanilang convergence ito ay sumusunod < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .