Do-it-yourself Escher waterfall drawings. Maurits Escher - master ng optical illusions

bahay / Sikolohiya

Si Maurits Escher ay isang natatanging Dutch graphic artist na kilala sa buong mundo para sa kanyang trabaho. Sa gitna, sa museo, binuksan noong 2002, at pinangalanang "Escher in het Paleis", isang permanenteng eksibisyon ng 130 gawa ng master ay bukas. Sinasabi mo bang nakakainip ang graphics? Siguro... maaaring masabi iyon tungkol sa gawain ng mga graphic artist, ngunit hindi tungkol kay Escher. Ang artista ay kilala sa kanyang hindi pangkaraniwang pangitain sa mundo at paglalaro sa lohika ng espasyo.

Ang kamangha-manghang mga ukit ni Escher, literal, ay maaaring perceived bilang graphic na larawan teorya ng relativity. Mga akdang naglalarawan imposibleng mga numero at ang mga reincarnation ay literal na nakabibighani, hindi sila katulad ng iba.

Si Maurits Escher ay isang tunay na master ng mga puzzle at ang kanyang mga optical illusions ay nagpapakita ng mga bagay na hindi talaga umiiral. Sa kanyang mga pagpipinta, lahat ay nagbabago, maayos na dumadaloy mula sa isang anyo patungo sa isa pa, ang mga hagdan ay walang simula at wakas, at ang tubig ay umaagos paitaas. May magbubulalas - hindi ito maaaring mangyari! Tingnan mo ang iyong sarili.
Ang sikat na pagpipinta na "Araw at Gabi"

"Pag-akyat at pagbaba", kung saan ang mga tao ay umaakyat sa hagdanan sa lahat ng oras... o pababa?

"Reptiles" - dito ang mga alligator ay lumiliko mula sa iginuhit sa tatlong-dimensional...

"Pagguhit ng mga kamay" - kung saan ang dalawang kamay ay gumuhit sa isa't isa.

"Pagpupulong"

"Kamay na may reflective ball"

Ang pangunahing perlas ng museo ay ang 7-metro na gawain ng Escher - "Metamorphoses". Ang ukit na ito ay nagbibigay-daan sa iyo na maranasan ang koneksyon sa pagitan ng kawalang-hanggan at kawalang-hanggan, kung saan ang oras at espasyo ay magkakasama bilang isa.

Museo na matatagpuan sa dating palasyo ng taglamig Si Queen Emma ay ang lola sa tuhod ng kasalukuyang Reyna Beatrix. Binili ni Emma ang palasyo noong 1896 at nanirahan doon hanggang sa kanyang kamatayan noong Mayo 1934. Sa dalawang bulwagan ng museo, na tinatawag na "Royal Room", ang mga muwebles at litrato ni Queen Emma ay napanatili, at sa mga kurtina ay mayroong impormasyon tungkol sa loob ng palasyo noong mga panahong iyon.

Sa itaas na palapag ng museo mayroong isang interactive na eksibisyon na "Look Like Escher". Ito ay totoo Magic mundo mga ilusyon. Lumilitaw at nawawala ang mga mundo sa magic ball, gumagalaw at nagbabago ang mga pader, at mukhang mas matangkad ang mga bata kaysa sa kanilang mga magulang. Sa isang maliit na karagdagang mayroong isang hindi pangkaraniwang sahig, na optically nahuhulog sa ilalim ng bawat hakbang, at sa isang pilak na bola makikita mo ang iyong sarili sa pamamagitan ng mga mata ni Escher.

Mga hubog na puting linya, intersecting, hatiin ang bawat isa sa mga seksyon; bawat isa ay katumbas ng haba ng isda - mula sa infinitesimal hanggang sa pinakamalaki, at muli - mula sa pinakamalaki hanggang sa infinitesimal. Ang bawat hilera ay monochrome. Dapat gamitin ng kahit na apat na kulay upang makamit ang tonal contrasts ng mga row na ito. Mula sa isang teknolohikal na pananaw, limang board ang kinakailangan: isa para sa mga itim na elemento at apat para sa mga kulay. Upang punan ang bilog, ang bawat tabla sa hugis ng isang hugis-parihaba na bilog ay dapat hilahin ng apat na beses. kaya ang tapos na pag-print ay mangangailangan ng 4x5=20 na mga kopya. Narito ang isa sa dalawang uri ng espasyong "non-Euclidean" na inilarawan ng Pranses na mathematician na si Poincaré. Upang maunawaan ang mga tampok ng espasyong ito, isipin na ikaw ay nasa loob mismo ng larawan. Habang lumilipat ka mula sa gitna ng bilog patungo sa hangganan nito, bababa ang iyong taas sa parehong paraan tulad ng pagbaba ng isda sa larawang ito. Kaya, ang landas na kakailanganin mong pumunta sa hangganan ng bilog ay tila walang katapusan sa iyo. Sa katunayan, kapag nasa ganoong espasyo, sa unang tingin, wala kang mapapansing kakaiba dito kumpara sa ordinaryong Euclidean space. Halimbawa, upang maabot ang mga hangganan ng Euclidean space, kailangan mo ring dumaan sa isang walang katapusang landas. Gayunpaman, kung titingnan mong mabuti, mapapansin mo ang ilang mga pagkakaiba, halimbawa, ang lahat ng mga katulad na tatsulok ay mayroon sa puwang na ito parehong laki, at hindi ka makakapagdrawing ng mga figure doon na may apat na tamang anggulo na konektado ng mga tuwid na linya.

Maurits Cornelis Escher, Dutch graphic artist

Escher Maurits Cornelis(Maurits Cornelis Escher) (Hunyo 17, 1898, Leeuwarden, The Netherlands - Marso 27, 1972, Hilversum, The Netherlands) Dutch graphic artist, gumawa ng mga ilustrasyon para sa mga aklat, mga selyo at mga fresco, nag-imbento ng mga tapiserya. Kilala lalo na sa kanyang mga conceptual na lithograph, woodcuts at metal engraving, kung saan mahusay niyang ginalugad ang mga plastik na aspeto ng mga konsepto ng infinity at symmetry, pati na rin ang mga tampok ng psychological perception ng mga kumplikadong three-dimensional na bagay, karamihan maliwanag na kinatawan imp sining. Si Escher ay lubos na sinasadya na pumili ng isang karera bilang isang engraver, at hindi bilang isang pintor (sa langis). Ayon sa mananaliksik ng kanyang trabaho, si Hans Locher, si Escher ay naakit ng posibilidad na makakuha ng maraming mga kopya, na ibinigay ng mga graphic na pamamaraan, dahil siya ay nasa maagang edad interesado sa posibilidad ng pag-uulit ng mga imahe. Isa sa mga pinakanamumukod-tanging aspeto ng akda ni Escher ay ang paglalarawan ng mga "metamorphoses", na lumilitaw sa iba't ibang anyo sa iba't ibang mga gawa. Ang artist explores sa detalye ang unti-unting paglipat mula sa isa geometric na pigura sa isa pa, sa pamamagitan ng maliliit na pagbabago sa balangkas. Bilang karagdagan, si Escher ay paulit-ulit na nagpinta ng mga metamorphoses na nangyayari sa mga nabubuhay na nilalang (ang mga ibon ay nagiging isda, atbp.) at kahit na "animate" ang mga walang buhay na bagay sa panahon ng metamorphosis, na ginagawa itong mga buhay na nilalang. Gumawa si Escher ng 448 lithographs, prints at woodcuts at mahigit 2,000 drawing at sketch. Ang kanyang trabaho ay patuloy na humahanga at humanga sa milyun-milyong tao sa buong mundo. V mga nakaraang taon Nabigo ang kalusugan ni Escher at halos hindi siya gumana. Siya ay sumailalim sa maraming operasyon at kalaunan ay namatay sa ospital dahil sa kanser sa bituka. Iniwan ni Escher ang kanyang magagandang lithographs, paintings, drawings at tatlong anak na lalaki.

Mga pangunahing petsa

1898 - Ipinanganak si Moritz Cornelis Escher noong Hunyo 17 sa Liverden (Netherlands), nakababatang anak sa pamilya ng hydraulic engineer na sina G. A. Escher at Sarah Glichman.
1903 - Lumipat ang pamilya sa Arnhem.
1912-18 - Pumasok sa gymnasium at bumagsak sa huling pagsusulit.
1919 - Sa kahilingan ng kanyang ama, si Escher ay nagsimulang mag-aral ng arkitektura sa Haarlem, ngunit pagkaraan ng ilang buwan ay lumipat siya sa klase ng graphic design sa ilalim ng Jeseran de Mesquite.
1921 - Unang paglalakbay sa Italya. Ang unang publikasyon sa magasin ng gawaing "Easter Flowers" (woodcut)
1922 - Nagtapos mula sa paaralan ng sining at naglalakbay sa gitnang Italya; gumagawa ng maraming sketch. Noong Setyembre, binisita niya ang Alhambra sa Espanya, na isinasaalang-alang ito ang pinaka-kawili-wili, lalo na ang napakalaking mosaic nito ng "malaking kumplikado at mathematical at artistikong kahulugan."
1923 - Paglalakbay sa Italya; nakakatugon sa kanya magiging asawa Jetta (Jetta Umiker). Gumuhit mula sa buhay. Ang kanyang unang eksibisyon sa Siena.
1924 - Unang eksibisyon sa The Hague, Netherlands Hunyo 12 ay ikinasal kay Yetta sa Viareggio; lumipat sa Roma.
1926 - Napaka matagumpay na eksibisyon sa Roma noong Mayo. Nang maglaon, may permanenteng eksibisyon si Escher sa Holland at higit sa lahat mga positibong pagsusuri. Sa Hunyo 23, isisilang ang kanilang panganay na anak na si Georg sa pamilya Escher. Sa mga sumunod na taon, patuloy na naglalakbay si Moritz Escher (halimbawa, sa Tunisia), kasama ang paglalakad papuntang Arbuzi; gumagawa ng maraming landscape at architectural sketch.
1928 - Disyembre 8, ipinanganak ang anak na si Arthur.
1929 - Unang lithograph "View of Goriano Sicoli", Arbuzzi
1931 - Ang unang wood engraving, ngunit sa esensya ito ay isang wooden matrix para sa pag-print ng mga imbitasyon sa isang eksibisyon sa The Hague. Si Escher ay naging miyembro ng samahan ng mga graphic artist, ilang sandali pa - isang miyembro ng Pulchi studio. Siya ay lubos na iginagalang bilang isang "pasyente, mahinahon, malamig na draftsman" at ang kanyang trabaho ay pinupuna dahil sa pagiging "masyadong intelektwal".
1932 - Sa almanac na "XXIV Emblemata dat zijns zinnebeelden" nakalimbag ang kanyang mga woodcut.
1933 - Ang aklat na "The Terrible Adventures of Scholasticism" ay lumabas sa print na may mga woodcuts ni Escher.
1934 - Ang kanyang trabaho sa eksibisyon ng mga modernong print (pag-imprenta) na "Century of Progress" sa Chicago ay tumatanggap lamang ng mga positibong pagsusuri.
1935 - Mapaniil na patakaran Pasistang Italya pinilit si Escher na lumipat sa Switzerland.
1936 - Isang paglalakbay sa Espanya, kung saan muli siyang aktibong nakikibahagi sa mga palamuting Moorish tile (Alhambra). Ang muling pagguhit ng mga ito ay nagbibigay inspirasyon kay Escher na lumikha ng mga pagpipinta kung saan ginagamit niya ang tamang pana-panahong paghahati ng mga eroplano.
1938 - Noong Marso 6, ipinanganak ang isa pang anak na lalaki, si Jan. At si Escher ay tumutuon sa "inner painting" at halos ganap na umalis sa pagguhit ng kalikasan.
1939 - Ang pagkamatay ng kanyang ama sa edad na 96.
1940 - Inilathala ang "M.C. Escher en zijn experimenten". Namatay ang kanyang ina.
1941 - Bumalik ang pamilya Escher sa kanilang tinubuang-bayan sa Holland, sa Baarn (B╠rn)
1948 Si Escher ay nagsimulang mag-lecture sa kanyang trabaho kasama ng mga demonstrasyon.
1954 - Ang mahusay na eksibisyon ni Escher sa okasyon ng dakilang Kongreso ng Matematika. Kasunod niya - isang eksibisyon sa Washington.
1955 - Abril 30 ay nakatanggap ng isang malaking parangal ng hari.
1958 - Inilathala ang "Regelmatige vlakverdeling" (Tamang dibisyon ng mga eroplano).
1959 - Inilathala ang "Grafik en Tekeningen" (Mga graphic na gawa).
1960 - Exhibition at lecture sa Crystallographic Congress sa Cambridge, Massachusetts
1962 - Emergency na operasyon, at mahabang pananatili sa ospital.
1964 - Umalis papuntang Canada para sa isa pang operasyon.
1965 - Hilversum Art Prize. Ang "Symmetry Aspect" ay naka-print (Mga simetriko na aspeto ng pana-panahong mga guhit ni Escher).
1967 - Gantimpala ng Pangalawang Reyna.
1968 - Isang malaking retrospective bilang parangal sa ika-70 anibersaryo sa The Hague. Sa pagtatapos ng taon, bumalik si Yetta sa Switzerland.
1969 - Noong Hulyo, nilikha ni Escher ang kanyang huling woodcut na "Snakes".
1970 - Operasyon at muli isang mahabang ospital. Lumipat si Escher sa Rosa-Spier-Foundation Laaren sa isang retirement home para sa mga artista.
1971 - Inilathala ang De werelden van M.C. Escher (Escher's World).
1972 - Namatay si MS Escher sa Hilversum Lutheran Hospital.

Talon. Lithography. 38×30 cm K: Lithographs 1961

Ang gawaing ito ni Escher ay naglalarawan ng isang kabalintunaan - ang bumabagsak na tubig ng isang talon ay kumokontrol sa isang gulong na nagdidirekta sa tubig sa tuktok ng talon. Ang talon ay may istraktura ng "imposible" na Penrose triangle: ang lithograph ay nilikha batay sa isang artikulo sa British Journal of Psychology.

Ang disenyo ay binubuo ng tatlong crossbars na inilatag sa ibabaw ng bawat isa sa tamang mga anggulo. Ang talon sa lithograph ay gumagana tulad ng isang walang hanggang motion machine. Depende sa galaw ng mata, salit-salit na tila ang parehong tore ay pareho at ang tore na matatagpuan sa kanan ay isang palapag na mas mababa kaysa sa kaliwang tore.

Sumulat ng isang pagsusuri sa artikulong "Waterfall (lithography)"

Mga Tala

Mga link

Opisyal na site: (Ingles)

Isang sipi na nagpapakilala sa Talon (lithograph)

- Wala; ginawa ang mga utos para sa labanan.
Pumunta si Prinsipe Andrei sa pintuan, kung saan narinig ang mga tinig. Ngunit nang bubuksan na niya ang pinto, ang mga tinig sa silid ay tumahimik, ang pinto ay bumukas sa sarili nitong pagsang-ayon, at si Kutuzov, kasama ang kanyang matangos na ilong sa kanyang matambok na mukha, ay lumitaw sa threshold.
Tumayo si Prinsipe Andrei sa tapat ng Kutuzov; ngunit sa ekspresyon ng tanging nakikitang mata ng commander-in-chief, malinaw na ang pag-iisip at pag-aalaga ay sumasakop sa kanya nang labis na tila natatakpan ang kanyang paningin. Tumingin siya ng diretso sa mukha ng kanyang adjutant at hindi siya nakilala.
- Well, tapos ka na ba? lumingon siya kay Kozlovsky.
“Sandali lang, Your Excellency.
Bagration, mababa, may uri ng oriental matigas at hindi natitinag ang mukha, tuyo, hindi pa isang matandang lalaki, lumabas para sa commander-in-chief.
"Mayroon akong karangalan na lumitaw," paulit-ulit na sinabi ni Prinsipe Andrei, na iniabot ang sobre.
"Ah, galing sa Vienna?" Sige. Pagkatapos, pagkatapos!
Lumabas si Kutuzov kasama si Bagration sa beranda.
"Buweno, paalam, prinsipe," sabi niya kay Bagration. “Si Kristo ay kasama mo. Pinagpapala kita para sa isang mahusay na tagumpay.
Ang mukha ni Kutuzov ay biglang lumambot, at ang mga luha ay lumitaw sa kanyang mga mata. Hinila niya si Bagration sa kanyang sarili gamit ang kanyang kaliwang kamay, at gamit ang kanyang kanang kamay, kung saan may singsing, tila tinawid niya ito sa isang nakagawiang kilos at inalok siya ng isang matambok na pisngi, sa halip na hinalikan siya ni Bagration sa leeg.

Ang Sining ng Matematika ni Moritz Escher noong ika-28 ng Pebrero, 2014

Orihinal na kinuha mula sa imit_omsu sa The Mathematical Art of Moritz Escher

"Binuksan ng mga mathematician ang pinto patungo sa ibang mundo, ngunit hindi sila nangahas na pasukin ang mundong ito. Mas interesado sila sa landas kung saan nakatayo ang pinto kaysa sa hardin sa kabila nito.
(M.C. Escher)

Lithograph "Kamay sa globo ng salamin", self-portrait.

Si Maurits Cornelius Escher ay isang Dutch graphic artist na kilala sa bawat mathematician.
Ang mga plot ng mga gawa ni Escher ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang matalinong pag-unawa sa mga lohikal at plastik na kabalintunaan.
Siya ay kilala, una sa lahat, para sa kanyang mga gawa kung saan ginamit niya ang iba't ibang mga konsepto sa matematika - mula sa limitasyon at ang strip ng Möbius hanggang Lobachevsky geometry.

Woodcut "Mga pulang langgam".

Ang Maurits Escher ay hindi nakatanggap ng espesyal na edukasyon sa matematika. Ngunit sa simula pa lang malikhaing karera ay interesado sa mga katangian ng espasyo, pinag-aralan ang mga hindi inaasahang panig nito.

"The Bonds of Unity".

Kadalasan ay nakikisali si Escher sa mga kumbinasyon ng 2D at 3D na mundo.

Lithograph "Pagguhit ng mga Kamay".

Lithograph "Reptiles".

Mga Tessellation.

Ang tiling ay isang dibisyon ng isang eroplano sa magkatulad na mga figure. Upang pag-aralan ang ganitong uri ng mga partisyon, tradisyonal na ginagamit ang paniwala ng isang pangkat ng simetrya. Isipin ang isang eroplano kung saan iginuhit ang ilang tile. Ang eroplano ay maaaring paikutin sa isang arbitrary axis at ilipat. Ang shift ay tinukoy ng shift vector, habang ang pag-ikot ay tinukoy ng gitna at anggulo. Ang ganitong mga pagbabago ay tinatawag na mga paggalaw. Sinasabi na ang paggalaw na ito o iyon ay isang simetrya kung pagkatapos nito ay pumasa ang tile sa sarili nito.

Isaalang-alang, halimbawa, ang isang eroplano na nahahati sa magkatulad na mga parisukat - isang walang katapusang sa lahat ng direksyon na sheet ng isang notebook sa isang hawla. Kung ang naturang eroplano ay paikutin ng 90 degrees (180, 270 o 360 degrees) sa paligid ng gitna ng anumang parisukat, ang tile ay magiging mismo. Pumapasok din ito sa sarili nito kapag inilipat ng isang vector na kahanay sa isa sa mga gilid ng mga parisukat. Ang haba ng vector ay dapat na isang multiple ng gilid ng parisukat.

Noong 1924, ang geometer na si George Polia (bago lumipat sa USA, Gyorgy Poya) ay naglathala ng isang gawain sa mga pangkat ng simetrya ng mga tile, kung saan napatunayan niya ang isang kapansin-pansin na katotohanan (bagaman natuklasan na noong 1891 ng Russian mathematician na si Evgraf Fedorov, at kalaunan ay ligtas na nakalimutan. ): mayroon lamang 17 mga symmetry ng grupo na kinabibilangan ng mga pagbabago sa hindi bababa sa dalawa iba't ibang direksyon. Noong 1936, si Escher, na naging interesado sa mga palamuting Moorish (na may geometric na punto view, tiling variant), basahin ang gawa ni Polia. Sa kabila ng katotohanan na, sa pamamagitan ng kanyang sariling pag-amin, hindi niya naiintindihan ang lahat ng matematika sa likod ng gawain, nakuha ni Escher ang geometric na kakanyahan nito. Bilang resulta, batay sa lahat ng 17 grupo, si Escher ay lumikha ng higit sa 40 mga gawa.

Mosaic.

Woodcut "Araw at Gabi".

"Regular na pag-tile ng eroplano IV".

Woodcut "Kalangitan at Tubig".

Mga Tessellation. Ang grupo ay simple, generative: sliding symmetry at parallel translation. Ngunit ang tiling tile ay kahanga-hanga. At sa kumbinasyon ng Möbius strip, iyon lang.

Woodcut "Mga Kabayo".

Isa pang pagkakaiba-iba sa tema ng isang patag at 3D na mundo at mga tile.

Lithograph "Magic Mirror".

Kaibigan ni Escher ang physicist na si Roger Penrose. Sa kanyang libreng oras mula sa pisika, si Penrose ay nakikibahagi sa paglutas ng mga palaisipan sa matematika. Isang araw ay naisip niya ang sumusunod na ideya: kung maiisip mo ang isang tessellation na binubuo ng higit sa isang figure, mag-iiba ba ang pangkat ng simetrya nito sa mga inilarawan ni Polia? Tulad ng nangyari, ang sagot sa tanong na ito ay nasa affirmative - ito ay kung paano ipinanganak ang Penrose mosaic. Noong 1980s, naging malinaw na nauugnay ito sa mga quasicrystals ( Nobel Prize sa Chemistry 2011).

Gayunpaman, si Escher ay walang oras (o, marahil, ay hindi nais) gamitin ang mosaic na ito sa kanyang trabaho. (Ngunit mayroong isang ganap na kamangha-manghang Penrose mosaic na "Penrose Hens", hindi sila pininturahan ni Escher.)

Lobachevsky na eroplano.

Ang ikalima sa listahan ng mga axiom sa "Mga Elemento" ni Euclid sa muling pagtatayo ni Heiberg ay ang sumusunod na pahayag: kung ang isang linya na nagsasalubong sa dalawang linya ay bumubuo ng panloob na isang panig na mga anggulo na mas mababa sa dalawang linya, kung gayon, pinalawig nang walang katiyakan, ang dalawang linyang ito ay magtatagpo sa ang gilid kung saan ang mga anggulo ay mas mababa sa dalawang linya. V kontemporaryong panitikan mas gusto ang isang katumbas at mas matikas na pagbabalangkas: sa pamamagitan ng isang punto na hindi namamalagi sa isang linya, may pumasa sa isang linya parallel sa ibinigay na isa, at higit pa rito, isa lamang. Ngunit kahit na sa pormulasyon na ito, ang axiom, hindi tulad ng iba pang postulate ni Euclid, ay mukhang masalimuot at nakalilito - kaya naman sinisikap ng mga siyentipiko na kunin ang pahayag na ito mula sa iba pang mga axiom sa loob ng dalawang libong taon. Iyon ay, sa katunayan, upang gawing isang teorem ang isang postulate.

Noong ika-19 na siglo, sinubukan ng mathematician na si Nikolai Lobachevsky na gawin ito sa pamamagitan ng kontradiksyon: ipinapalagay niya na mali ang postulate at sinubukang makahanap ng kontradiksyon. Ngunit hindi ito natagpuan - at bilang isang resulta, nagtayo si Lobachevsky ng isang bagong geometry. Sa loob nito, sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang linya, may pumasa sa isang walang katapusang bilang ng iba't ibang mga linya na hindi sumasalubong sa ibinigay na isa. Hindi si Lobachevsky ang unang nakatuklas ng bagong geometry na ito. Ngunit siya ang unang nangahas na ipahayag ito sa publiko - kung saan, siyempre, siya ay kinutya.

Ang posthumous na pagkilala sa gawa ni Lobachevsky ay naganap, bukod sa iba pang mga bagay, dahil sa paglitaw ng mga modelo ng kanyang geometry - mga sistema ng mga bagay sa karaniwang Euclidean plane, na nasiyahan sa lahat ng axioms ni Euclid, maliban sa ikalimang postulate. Ang isa sa mga modelong ito ay iminungkahi ng mathematician at physicist na si Henri Poincaré noong 1882 para sa mga pangangailangan ng functional at kumplikadong pagsusuri.

Magkaroon ng isang bilog na ang hangganan ay tinatawag nating ganap. Ang "mga puntos" sa aming modelo ay ang mga panloob na punto ng bilog. Ang papel ng "mga tuwid na linya" ay ginagampanan ng mga bilog o tuwid na linya na patayo sa ganap (mas tiyak, ang kanilang mga arko na nahuhulog sa loob ng bilog). Ang katotohanan na ang ikalimang postulate ay hindi natupad para sa gayong "mga tuwid na linya" ay halos halata. Ang katotohanan na ang natitirang mga postulates ay natupad para sa mga bagay na ito ay medyo hindi gaanong halata, gayunpaman, ito ay totoo.

Ito ay lumalabas na sa modelo ng Poincaré posible upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga punto. Upang kalkulahin ang haba, kinakailangan ang konsepto ng isang Riemannian metric. Ang mga katangian nito ay ang mga sumusunod: mas malapit ang isang pares ng mga puntos na "tuwid" sa ganap, mas malaki ang distansya sa pagitan nila. Sa pagitan din ng "mga tuwid na linya" ang mga anggulo ay tinukoy - ito ang mga anggulo sa pagitan ng mga tangent sa punto ng intersection ng "mga tuwid na linya".

Ngayon bumalik tayo sa tilings. Ano ang magiging hitsura nila kung nahahati sila sa magkaparehong mga regular na polygon (iyon ay, mga polygon sa lahat pantay na partido at mga sulok) na ang Poincaré model? Halimbawa, ang mga polygon ay dapat na mas maliit kapag mas malapit sila sa ganap. Ang ideyang ito ay natanto ni Escher sa serye ng mga gawa na "Circle Limit". Gayunpaman, hindi ginamit ng Dutchman ang tamang mga partisyon, ngunit ang kanilang mas simetriko na mga bersyon. Ang kaso kung saan ang kagandahan ay mas mahalaga kaysa sa katumpakan sa matematika.

Woodcut "Limit - bilog II".

Woodcut "Limit - Circle III".

Woodcut "Langit at Impiyerno".

Imposibleng figure.

Nakaugalian na tawagan ang mga imposibleng figure na mga espesyal na optical illusions - tila sila ay isang imahe ng ilang three-dimensional na bagay sa isang eroplano. Ngunit sa mas malapit na pagsusuri, ang mga geometric na kontradiksyon ay matatagpuan sa kanilang istraktura. Ang mga imposibleng figure ay kawili-wili hindi lamang para sa mga mathematician - pinag-aaralan din sila ng mga psychologist at mga espesyalista sa disenyo.

Ang lolo sa tuhod ng mga imposibleng figure ay ang tinatawag na Necker cube, ang pamilyar na representasyon ng isang cube sa isang eroplano. Ito ay iminungkahi ng Swedish crystallographer na si Louis Necker noong 1832. Ang kakaiba ng imaheng ito ay maaari itong bigyang-kahulugan sa iba't ibang paraan. Halimbawa, ang sulok na ipinahiwatig sa figure na ito ng isang pulang bilog ay maaaring parehong pinakamalapit sa amin mula sa lahat ng sulok ng kubo, at, sa kabaligtaran, ang pinakamalayo.

Ang unang tunay na imposibleng mga numero tulad nito ay nilikha ng isa pang Swedish scientist, si Oskar Ruthersvärd, noong 1930s. Sa partikular, nagkaroon siya ng ideya ng pag-assemble ng isang tatsulok mula sa mga cube, na hindi maaaring umiiral sa kalikasan. Independyente kay Ruthersward, ang nabanggit na si Roger Penrose, kasama ang kanyang ama na si Lionel Penrose, ay naglathala ng isang papel sa British Journal of Psychology na tinatawag na " Mga bagay na imposible: Espesyal na uri optical illusions» (1956). Sa loob nito, iminungkahi ng Penroses ang dalawang ganoong bagay - ang Penrose triangle (isang solidong bersyon ng pagtatayo ng mga cube ni Ruthersward) at ang Penrose na hagdanan. Pinangalanan nila ang Maurits Escher bilang inspirasyon para sa kanilang trabaho.

Ang parehong mga bagay - parehong tatsulok at hagdanan - ay lumitaw nang maglaon sa mga pintura ni Escher.

Lithograph "Relativity".