Hanapin ang kabuuan ng mga katabing anggulo. Katabi at patayong mga anggulo

1. Mga katabing anggulo.

Kung palawigin natin ang gilid ng anumang anggulo na lampas sa tuktok nito, makakakuha tayo ng dalawang anggulo (Larawan 72): ∠ABC at ∠CBD, kung saan ang isang panig na BC ay karaniwan, at ang dalawa pa, AB at BD, ay bumubuo ng isang tuwid na linya.

Dalawang anggulo kung saan ang isang panig ay karaniwan at ang dalawa pa ay bumubuo ng isang tuwid na linya ay tinatawag na magkatabing mga anggulo.

Ang mga katabing anggulo ay maaari ding makuha sa ganitong paraan: kung gumuhit tayo ng sinag mula sa isang punto sa isang linya (hindi nakahiga sa isang linya), makakakuha tayo ng mga katabing anggulo.

Halimbawa, ang ∠ADF at ∠FDB ay magkatabing mga anggulo (Larawan 73).

Ang mga katabing anggulo ay maaaring magkaroon ng malawak na pagkakaiba-iba ng mga posisyon (Larawan 74).

Ang mga katabing anggulo ay nagdaragdag sa isang tuwid na anggulo, kaya kabuuan ng dalawa mga katabing sulok katumbas ng 180°

Samakatuwid, ang tamang anggulo ay maaaring tukuyin bilang isang anggulo na katumbas ng katabing anggulo nito.

Alam ang laki ng isa sa mga katabing anggulo, mahahanap natin ang laki ng iba pang anggulo na katabi nito.

Halimbawa, kung ang isa sa mga katabing anggulo ay 54°, ang pangalawang anggulo ay magiging katumbas ng:

180° - 54° = l26°.

2. Mga patayong anggulo.

Kung palawigin natin ang mga gilid ng anggulo na lampas sa tuktok nito, makukuha natin patayong mga anggulo. Sa Figure 75, ang mga anggulo ng EOF at AOC ay patayo; patayo din ang mga anggulong AOE at COF.

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay mga pagpapatuloy ng mga gilid ng kabilang anggulo.

Hayaan ang ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). Ang ∠2 na katabi nito ay magiging katumbas ng 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, i.e. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Sa parehong paraan, maaari mong kalkulahin kung ano ang katumbas ng ∠3 at ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

Nakikita natin na ∠1 = ∠3 at ∠2 = ∠4.

Maaari mong lutasin ang ilang higit pa sa parehong mga problema, at sa bawat oras na makakakuha ka ng parehong resulta: ang mga patayong anggulo ay katumbas ng bawat isa.

Gayunpaman, upang matiyak na ang mga patayong anggulo ay palaging pantay sa isa't isa, hindi sapat na isaalang-alang ang mga indibidwal na halimbawa ng numero, dahil ang mga konklusyon na nakuha mula sa mga partikular na halimbawa ay maaaring minsan ay mali.

Kinakailangang i-verify ang bisa ng mga katangian ng mga patayong anggulo sa pamamagitan ng patunay.

Ang patunay ay maaaring isagawa tulad ng sumusunod (Larawan 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(dahil ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng 180°, at ang kanang bahagi nito ay katumbas din ng 180°).

Kasama sa pagkakapantay-pantay na ito ang parehong anggulo Sa.

Kung ibawas natin ang pantay na halaga mula sa pantay na dami, mananatili ang pantay na halaga. Ang magiging resulta ay: ∠a = ∠b, ibig sabihin, ang mga patayong anggulo ay katumbas ng bawat isa.

3. Ang kabuuan ng mga anggulo na may karaniwang vertex.

Sa drawing 79, ∠1, ∠2, ∠3 at ∠4 ay matatagpuan sa isang gilid ng isang linya at may karaniwang vertex sa linyang ito. Sa kabuuan, ang mga anggulong ito ay bumubuo ng isang tuwid na anggulo, i.e.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Sa Figure 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 at ∠5 ay may isang karaniwang vertex. Ang mga anggulong ito ay nagdaragdag ng hanggang sa isang buong anggulo, i.e. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Ang geometry ay isang napaka-multifaceted na agham. Ito ay bubuo ng lohika, imahinasyon at katalinuhan. Siyempre, dahil sa pagiging kumplikado nito at ang malaking bilang ng mga theorems at axioms, hindi palaging gusto ito ng mga mag-aaral. Bilang karagdagan, mayroong pangangailangan na patuloy na patunayan ang iyong mga konklusyon gamit ang karaniwang tinatanggap na mga pamantayan at panuntunan.

Ang magkatabi at patayong mga anggulo ay isang mahalagang bahagi ng geometry. Tiyak na maraming mga mag-aaral ang sumasamba sa kanila sa kadahilanang ang kanilang mga ari-arian ay malinaw at madaling patunayan.

Pagbuo ng mga sulok

Ang anumang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng intersecting ng dalawang tuwid na linya o pagguhit ng dalawang sinag mula sa isang punto. Maaari silang tawaging alinman sa isang titik o tatlo, na sunud-sunod na itinalaga ang mga punto kung saan ang anggulo ay itinayo.

Ang mga anggulo ay sinusukat sa mga degree at maaaring (depende sa kanilang halaga) ay tinatawag na iba. Kaya, mayroong isang tamang anggulo, acute, obtuse at unfolded. Ang bawat isa sa mga pangalan ay tumutugma sa isang tiyak na sukat ng antas o pagitan nito.

Ang talamak na anggulo ay isang anggulo na ang sukat ay hindi lalampas sa 90 degrees.

Ang obtuse angle ay isang anggulo na higit sa 90 degrees.

Ang isang anggulo ay tinatawag na tama kapag ang sukat ng antas nito ay 90.

Sa kaso kapag ito ay nabuo ng isang tuluy-tuloy na tuwid na linya at ang sukat ng antas nito ay 180, ito ay tinatawag na pinalawak.

Ang mga anggulo na may isang karaniwang panig, na ang pangalawang panig ay nagpapatuloy sa isa't isa, ay tinatawag na katabi. Maaari silang maging matalim o mapurol. Ang intersection ng linya ay bumubuo ng mga katabing anggulo. Ang kanilang mga ari-arian ay ang mga sumusunod:

1. Ang kabuuan ng naturang mga anggulo ay magiging katumbas ng 180 degrees (mayroong theorem na nagpapatunay nito). Samakatuwid, ang isa ay madaling kalkulahin ang isa sa kanila kung ang isa ay kilala.
2. Mula sa unang punto ay sumusunod na ang magkatabing mga anggulo ay hindi maaaring mabuo ng dalawang malabo o dalawang talamak na anggulo.

Salamat sa mga katangiang ito, maaari mong palaging kalkulahin ang sukat ng antas ng isang anggulo, na ibinigay ang halaga ng isa pang anggulo o, sa pamamagitan ng kahit na, ang relasyon nila.

Mga patayong anggulo

Ang mga anggulo na ang mga panig ay pagpapatuloy ng bawat isa ay tinatawag na patayo. Anuman sa kanilang mga varieties ay maaaring kumilos bilang isang pares. Ang mga patayong anggulo ay palaging katumbas ng bawat isa.

Nabubuo ang mga ito kapag nagsalubong ang mga tuwid na linya. Kasama nila, ang mga katabing anggulo ay laging naroroon. Ang isang anggulo ay maaaring magkasabay na magkatabi para sa isa at patayo para sa isa pa.

Kapag tumatawid sa isang arbitrary na linya, ang ilang iba pang mga uri ng mga anggulo ay isinasaalang-alang din. Ang nasabing linya ay tinatawag na secant line, at ito ay bumubuo ng katumbas, isang panig at cross-lying na mga anggulo. Pantay-pantay sila sa isa't isa. Maaari silang tingnan sa liwanag ng mga katangian na mayroon ang mga patayo at katabing anggulo.

Kaya, ang paksa ng mga anggulo ay tila medyo simple at naiintindihan. Ang lahat ng kanilang mga pag-aari ay madaling tandaan at patunayan. Ang paglutas ng mga problema ay hindi mukhang mahirap hangga't ang mga anggulo ay tumutugma numerong halaga. Sa ibang pagkakataon, kapag nagsimula ang pag-aaral ng kasalanan at cos, kailangan mong isaulo ang maraming kumplikadong mga formula, ang kanilang mga konklusyon at mga kahihinatnan. Hanggang sa panahong iyon, masisiyahan ka lang sa mga madaling puzzle kung saan kailangan mong maghanap ng mga katabing anggulo.

Ano ang isang katabing anggulo

Sulok- Ito geometric na pigura(Larawan 1), na nabuo sa pamamagitan ng dalawang ray OA at OB (mga gilid ng anggulo), na nagmumula sa isang punto O (vertex ng anggulo).

MGA KATAPIT NA SULOK- dalawang anggulo na ang kabuuan ay 180°. Ang bawat isa sa mga anggulong ito ay umaakma sa isa sa buong anggulo.

Mga katabing anggulo- (Agles adjacets) ang mga may isang karaniwang tuktok at isang karaniwang bahagi. Kadalasan, ang pangalang ito ay tumutukoy sa mga anggulo kung saan ang natitirang dalawang panig ay nasa magkasalungat na direksyon ng isang tuwid na linya na iginuhit.

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang mga panig ng mga anggulong ito ay mga pantulong na kalahating linya.

kanin. 2

Sa Figure 2, ang mga anggulo a1b at a2b ay magkatabi. Mayroon silang karaniwang side b, at sides a1, a2 ay karagdagang kalahating linya.

kanin. 3

Ipinapakita ng Figure 3 ang tuwid na linya AB, ang punto C ay matatagpuan sa pagitan ng mga punto A at B. Ang punto D ay isang puntong hindi nakahiga sa tuwid na AB. Ang mga anggulong BCD at ACD ay magkatabi. Mayroon silang karaniwang side CD, at ang mga gilid ng CA at CB ay karagdagang kalahating linya ng tuwid na linya AB, dahil ang mga punto A, B ay pinaghihiwalay ng panimulang punto C.

Katabing teorama ng anggulo

Teorama: ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°

Patunay:
Ang mga anggulo a1b at a2b ay magkatabi (tingnan ang Fig. 2) Ang Ray b ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid a1 at a2 ng nakabukang anggulo. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo a1b at a2b ay katumbas ng nabuong anggulo, iyon ay, 180°. Ang teorama ay napatunayan.

Ang isang anggulo na katumbas ng 90° ay tinatawag na tamang anggulo. Mula sa theorem sa kabuuan ng magkatabing mga anggulo ay sumusunod na ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo din. Ang anggulo na mas mababa sa 90° ay tinatawag na acute, at ang anggulo na mas malaki sa 90° ay tinatawag na obtuse. Dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°, kung gayon ang anggulo na katabi ng matinding anggulo- mahinang anggulo. Ang isang anggulo na katabi ng isang obtuse angle ay isang acute angle.

Mga katabing anggulo- dalawang anggulo na may karaniwang vertex, ang isa sa mga gilid ay karaniwan, at ang natitirang mga gilid ay nasa parehong tuwid na linya (hindi nagtutugma). Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.

Kahulugan 1. Ang anggulo ay isang bahagi ng isang eroplanong napapaligiran ng dalawang sinag na may iisang pinagmulan.

Kahulugan 1.1. Ang anggulo ay isang figure na binubuo ng isang punto - ang vertex ng anggulo - at dalawang magkaibang kalahating linya na nagmumula sa puntong ito - ang mga gilid ng anggulo.
Halimbawa, ang anggulo ng BOC sa Fig.1 Isaalang-alang muna natin ang dalawang intersecting na linya. Kapag nagsalubong ang mga tuwid na linya, bumubuo sila ng mga anggulo. Mayroong mga espesyal na kaso:

Kahulugan 2. Kung ang mga gilid ng isang anggulo ay karagdagang kalahating linya ng isang tuwid na linya, kung gayon ang anggulo ay tinatawag na binuo.

Kahulugan 3. Ang tamang anggulo ay isang anggulo na may sukat na 90 degrees.

Kahulugan 4. Ang anggulong mas mababa sa 90 degrees ay tinatawag na acute angle.

Kahulugan 5. Ang anggulong mas malaki sa 90 degrees at mas mababa sa 180 degrees ay tinatawag na obtuse angle.
mga linyang interseksyon.

Kahulugan 6. Dalawang anggulo, ang isang gilid ay karaniwan at ang iba pang mga panig ay nasa parehong tuwid na linya, ay tinatawag na magkatabi.

Kahulugan 7. Ang mga anggulo na ang mga panig ay nagpapatuloy sa isa't isa ay tinatawag na mga vertical na anggulo.
Sa Figure 1:
katabi: 1 at 2; 2 at 3; 3 at 4; 4 at 1
patayo: 1 at 3; 2 at 4
Teorama 1. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180 degrees.
Para sa patunay, isaalang-alang sa Fig. 4 na magkatabing anggulo AOB at BOC. Ang kanilang kabuuan ay ang nabuong anggulo na AOC. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga katabing anggulo na ito ay 180 degrees.

kanin. 4

Ang koneksyon sa pagitan ng matematika at musika

"Sa pag-iisip tungkol sa sining at agham, tungkol sa kanilang magkakaugnay na koneksyon at kontradiksyon, ako ay dumating sa konklusyon na ang matematika at musika ay nasa matinding pole. espiritu ng tao"na ang dalawang antipode na ito ay limitado at tinutukoy ng lahat ng malikhaing espirituwal na aktibidad ng tao at sa pagitan nila ay namamalagi ang lahat ng nilikha ng sangkatauhan sa larangan ng agham at sining."
G. Neuhaus
Tila ang sining ay isang napaka-abstract na lugar mula sa matematika. Gayunpaman, ang koneksyon sa pagitan ng matematika at musika ay tinutukoy kapwa sa kasaysayan at panloob, sa kabila ng katotohanan na ang matematika ay ang pinaka-abstract ng mga agham, at ang musika ay ang pinaka-abstract na anyo ng sining.
Tinutukoy ng consonance ang kaaya-ayang tunog ng isang string
Ang sistemang pangmusika na ito ay batay sa dalawang batas na nagtataglay ng mga pangalan ng dalawang dakilang siyentipiko - sina Pythagoras at Archytas. Ito ang mga batas:
1. Tinutukoy ng dalawang tunog na string ang katinig kung ang mga haba ng mga ito ay magkakaugnay bilang mga integer na bumubuo ng tatsulok na numero 10=1+2+3+4, i.e. tulad ng 1:2, 2:3, 3:4. Bukod dito, mas maliit ang bilang n sa ratio n:(n+1) (n=1,2,3), mas katinig ang resultang pagitan.
2. Ang vibration frequency w ng tumutunog na string ay inversely proportional sa haba nito l.
w = a:l,
kung saan ang a ay isang coefficient characterizing pisikal na katangian mga string.

Mag-aalok din ako sa iyo ng isang nakakatawang parody tungkol sa isang pagtatalo sa pagitan ng dalawang mathematician =)

Geometry sa paligid natin

Ang geometry sa ating buhay ay walang maliit na kahalagahan. Dahil sa katotohanan na kapag tumingin ka sa paligid, hindi ito magiging mahirap na mapansin na napapaligiran tayo ng iba't ibang mga geometric na hugis. Nakatagpo natin sila kahit saan: sa kalye, sa silid-aralan, sa bahay, sa parke, sa loob gym, sa cafeteria ng paaralan, kung saan man ikaw at ako ay naroroon. Ngunit ang paksa ng aralin ngayon ay mga katabing uling. Kaya't tumingin tayo sa paligid at subukang maghanap ng mga anggulo sa kapaligirang ito. Kung titingnan mo nang mabuti ang bintana, makikita mo na ang ilang mga sanga ng puno ay bumubuo ng mga katabing sulok, at sa mga partisyon sa gate makikita mo ang maraming mga patayong anggulo. Magbigay ng iyong sariling mga halimbawa ng mga katabing anggulo na iyong naobserbahan sa iyong kapaligiran.

Ehersisyo 1.

1. May isang libro sa mesa sa isang book stand. Anong anggulo ang nabuo nito?
2. Ngunit ang mag-aaral ay nagtatrabaho sa isang laptop. Anong anggulo ang nakikita mo dito?
3. Anong anggulo ang nabuo ng photo frame sa stand?
4. Sa tingin mo, posible bang magkapantay ang dalawang magkatabing anggulo?

Gawain 2.

Sa harap mo ay isang geometric na pigura. Anong uri ng pigura ito, pangalanan ito? Ngayon pangalanan ang lahat ng mga katabing anggulo na makikita mo sa geometric figure na ito.

Gawain 3.

Narito ang isang imahe ng isang pagguhit at pagpipinta. Tingnan mo silang mabuti at sabihin sa akin kung anong mga uri ng isda ang nakikita mo sa larawan, at kung anong mga anggulo ang nakikita mo sa larawan.

Pagtugon sa suliranin

Matematika na pagdidikta upang suriin ang dati nang natutunang materyal

Lutasin ang mga problema:

1. Maaari bang katumbas ng 100° ang kabuuan ng 3 anggulo na nabuo ng intersection ng 2 tuwid na linya? 370°?
2. Sa figure, hanapin ang lahat ng pares ng magkatabing mga anggulo. At ngayon ang mga patayong anggulo. Pangalanan ang mga anggulong ito.

3. Kailangan mong maghanap ng anggulo kapag ito ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa katabi nito.
4. Dalawang tuwid na linya ang nagsalubong sa isa't isa. Bilang resulta ng intersection na ito, nabuo ang apat na sulok. Tukuyin ang halaga ng alinman sa mga ito, sa kondisyon na:

a) ang kabuuan ng 2 anggulo sa apat ay 84°;
b) ang pagkakaiba sa pagitan ng 2 anggulo ay 45°;
c) ang isang anggulo ay 4 na beses na mas maliit kaysa sa pangalawa;
d) ang kabuuan ng tatlo sa mga anggulong ito ay 290°.

Buod ng aralin

1. pangalanan ang mga anggulo na nabubuo kapag nagsalubong ang 2 tuwid na linya?
2. Pangalanan ang lahat ng posibleng pares ng mga anggulo sa figure at tukuyin ang kanilang uri.

Takdang aralin:

1. Hanapin ang ratio ng mga sukat ng antas ng mga katabing anggulo kapag ang isa sa mga ito ay 54° na mas malaki kaysa sa pangalawa.
2. Hanapin ang mga anggulo na nabuo kapag ang 2 tuwid na linya ay nagsalubong, sa kondisyon na ang isa sa mga anggulo ay katumbas ng kabuuan ng 2 iba pang mga anggulo na katabi nito.
3. Kinakailangang maghanap ng mga katabing anggulo kapag ang bisector ng isa sa mga ito ay bumubuo ng isang anggulo sa gilid ng pangalawa na 60° na mas malaki kaysa sa pangalawang anggulo.
4. Ang pagkakaiba sa pagitan ng 2 magkatabing anggulo ay katumbas ng ikatlong bahagi ng kabuuan ng dalawang anggulong ito. Tukuyin ang mga halaga ng 2 katabing anggulo.
5. Ang pagkakaiba at kabuuan ng 2 magkatabing anggulo ay nasa ratio na 1:5 ayon sa pagkakabanggit. Maghanap ng mga katabing anggulo.
6. Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabi ay 25% ng kanilang kabuuan. Paano nauugnay ang mga halaga ng 2 magkatabing anggulo? Tukuyin ang mga halaga ng 2 katabing anggulo.

Mga Tanong:

1. Ano ang isang anggulo?
2. Anong mga uri ng anggulo ang mayroon?
3. Ano ang katangian ng mga katabing anggulo?

Tanong 1. Anong mga anggulo ang tinatawag na magkatabi?
Sagot. Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang mga panig ng mga anggulong ito ay mga pantulong na kalahating linya.
Sa Figure 31, ang mga anggulo (a 1 b) at (a 2 b) ay magkatabi. Ang mga ito ay may magkatulad na gilid b, at ang mga gilid a 1 at 2 ay karagdagang kalahating linya.

Tanong 2. Patunayan na ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.
Sagot. Teorama 2.1. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.
Patunay. Hayaang ang anggulo (a 1 b) at anggulo (a 2 b) ay bigyan ng magkatabing mga anggulo (tingnan ang Fig. 31). Ang Ray b ay dumadaan sa pagitan ng mga panig a 1 at a 2 ng isang tuwid na anggulo. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo (a 1 b) at (a 2 b) ay katumbas ng nakabukang anggulo, ibig sabihin, 180°. Q.E.D.

Tanong 3. Patunayan na kung magkapantay ang dalawang anggulo, magkapantay din ang magkatabing mga anggulo.
Sagot.

Mula sa teorama 2.1 Ito ay sumusunod na kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon ang kanilang mga katabing anggulo ay pantay.
Sabihin nating ang mga anggulo (a 1 b) at (c 1 d) ay pantay. Kailangan nating patunayan na ang mga anggulo (a 2 b) at (c 2 d) ay pantay din.
Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°. Ito ay sumusunod mula dito na ang a 1 b + a 2 b = 180° at c 1 d + c 2 d = 180°. Kaya naman, a 2 b = 180° - a 1 b at c 2 d = 180° - c 1 d. Dahil ang mga anggulo (a 1 b) at (c 1 d) ay pantay, nakukuha natin na a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity ng equal sign ito ay sumusunod na a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Tanong 4. Anong anggulo ang tinatawag na right (acute, obtuse)?
Sagot. Ang isang anggulo na katumbas ng 90° ay tinatawag na tamang anggulo.
Ang anggulong mas mababa sa 90° ay tinatawag na acute angle.
Ang anggulo na mas malaki sa 90° at mas mababa sa 180° ay tinatawag na obtuse.

Tanong 5. Patunayan na ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo.
Sagot. Mula sa theorem sa kabuuan ng mga katabing anggulo ay sumusunod na ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Tanong 6. Anong mga anggulo ang tinatawag na patayo?
Sagot. Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay komplementaryong kalahating linya ng mga gilid ng isa pa.

Tanong 7. Patunayan na ang mga patayong anggulo ay pantay.
Sagot. Teorama 2.2. Ang mga patayong anggulo ay pantay.
Patunay. Hayaang (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ang ibinigay na mga patayong anggulo (Larawan 34). Ang anggulo (a 1 b 2) ay katabi ng anggulo (a 1 b 1) at sa anggulo (a 2 b 2). Mula dito, gamit ang theorem sa kabuuan ng mga katabing anggulo, napagpasyahan namin na ang bawat isa sa mga anggulo (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ay umaakma sa anggulo (a 1 b 2) hanggang 180°, i.e. ang mga anggulo (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ay pantay. Q.E.D.

Tanong 8. Patunayan na kung, kapag nagsalubong ang dalawang linya, tama ang isa sa mga anggulo, tama rin ang tatlo pang anggulo.
Sagot. Ipagpalagay na ang mga linyang AB at CD ay nagsalubong sa isa't isa sa puntong O. Ipagpalagay na ang anggulo ng AOD ay 90°. Dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°, nakukuha natin na AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Ang anggulo ng COB ay patayo sa anggulong AOD, kaya pantay ang mga ito. Ibig sabihin, anggulo COB = 90°. Ang anggulo ng COA ay patayo sa anggulo ng BOD, kaya sila ay pantay. Ibig sabihin, anggulo BOD = 90°. Kaya, ang lahat ng mga anggulo ay katumbas ng 90°, iyon ay, lahat sila ay mga tamang anggulo. Q.E.D.

Tanong 9. Aling mga linya ang tinatawag na patayo? Anong tanda ang ginagamit upang ipahiwatig ang perpendicularity ng mga linya?
Sagot. Dalawang linya ay tinatawag na patayo kung sila ay magsalubong sa tamang mga anggulo.
Ang perpendicularity ng mga linya ay ipinahiwatig ng sign \(\perp\). Ang entry na \(a\perp b\) ay mababasa: "Ang linya a ay patayo sa linya b."

Tanong 10. Patunayan na sa anumang punto sa isang linya maaari kang gumuhit ng isang linya na patayo dito, at isa lamang.
Sagot. Teorama 2.3. Sa bawat linya maaari kang gumuhit ng isang linya na patayo dito, at isa lamang.
Patunay. Hayaan ang isang ibinigay na linya at A ang isang ibinigay na punto dito. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng isang 1 ang isa sa kalahating linya ng tuwid na linya a na may panimulang punto A (Larawan 38). Ibawas natin ang isang anggulo (a 1 b 1) na katumbas ng 90° mula sa kalahating linyang a 1. Pagkatapos ang tuwid na linya na naglalaman ng ray b 1 ay magiging patayo sa tuwid na linya a.

Ipagpalagay natin na may isa pang linya, na dumadaan din sa punto A at patayo sa linya a. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng c 1 ang kalahating linya ng linyang ito na nasa parehong kalahating eroplano na may ray b 1 .
Ang mga anggulo (a 1 b 1) at (a 1 c 1), ang bawat isa ay katumbas ng 90°, ay inilatag sa isang kalahating eroplano mula sa kalahating linya a 1. Ngunit mula sa kalahating linya, isang 1 lamang ang anggulo na katumbas ng 90° ang maaaring ilagay sa isang ibinigay na kalahating eroplano. Samakatuwid, hindi maaaring magkaroon ng isa pang linya na dumadaan sa punto A at patayo sa linya a. Ang teorama ay napatunayan.

Tanong 11. Ano ang patayo sa isang linya?
Sagot. Ang patayo sa isang partikular na linya ay isang segment ng isang linya na patayo sa isang partikular na linya, na may isa sa mga dulo nito sa kanilang intersection point. Ang dulo ng segment na ito ay tinatawag na batayan patayo.

Tanong 12. Ipaliwanag kung ano ang binubuo ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon.
Sagot. Ang paraan ng patunay na ginamit namin sa Theorem 2.3 ay tinatawag na patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ang pamamaraang ito ng patunay ay gumawa muna tayo ng pagpapalagay kabaligtaran niyan, na isinasaad ng theorem. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pangangatwiran, pag-asa sa mga axiom at napatunayang teorema, nakarating tayo sa isang konklusyon na sumasalungat sa alinman sa mga kondisyon ng theorem, o isa sa mga axiom, o isang dating napatunayang teorem. Sa batayan na ito, napagpasyahan namin na ang aming palagay ay hindi tama, at samakatuwid ang pahayag ng teorama ay totoo.

Tanong 13. Ano ang bisector ng isang anggulo?
Sagot. Ang bisector ng isang anggulo ay ang sinag na nagmumula sa tuktok ng anggulo, dumadaan sa pagitan ng mga gilid nito at hinahati ang anggulo sa kalahati.

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang mga panig ng mga anggulong ito ay mga pantulong na sinag. Sa Figure 20, ang mga anggulong AOB at BOC ay magkatabi.

Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°

Theorem 1. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.

Patunay. Ang Beam OB (tingnan ang Fig. 1) ay dumadaan sa pagitan ng mga gilid ng nakabukas na anggulo. kaya lang ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Mula sa Theorem 1 sumusunod na kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon ang kanilang mga katabing anggulo ay pantay.

Ang mga patayong anggulo ay pantay

Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay mga pantulong na sinag ng mga gilid ng isa. Ang mga anggulong AOB at COD, BOD at AOC, na nabuo sa intersection ng dalawang tuwid na linya, ay patayo (Larawan 2).

Theorem 2. Ang mga patayong anggulo ay pantay.

Patunay. Isaalang-alang natin ang mga patayong anggulo na AOB at COD (tingnan ang Fig. 2). Ang anggulo ng BOD ay katabi ng bawat anggulong AOB at COD. Sa pamamagitan ng Theorem 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Mula dito napagpasyahan namin na ∠ AOB = ∠ COD.

Corollary 1. Ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo.

Isaalang-alang ang dalawang intersecting na tuwid na linya AC at BD (Larawan 3). Sila ay bumubuo ng apat na sulok. Kung ang isa sa kanila ay tuwid (anggulo 1 sa Fig. 3), kung gayon ang natitirang mga anggulo ay tama din (anggulo 1 at 2, 1 at 4 ay magkatabi, ang mga anggulo 1 at 3 ay patayo). Sa kasong ito, sinasabi nila na ang mga linyang ito ay nagsalubong sa tamang mga anggulo at tinatawag na patayo (o mutually perpendicular). Ang perpendicularity ng mga linyang AC at BD ay tinutukoy bilang mga sumusunod: AC ⊥ BD.

Ang perpendicular bisector sa isang segment ay isang linyang patayo sa segment na ito at dumadaan sa midpoint nito.

AN - patayo sa isang linya

Isaalang-alang ang isang tuwid na linya a at isang punto A na hindi nakahiga dito (Larawan 4). Ikonekta natin ang point A na may segment sa point H na may tuwid na linya a. Ang segment na AN ay tinatawag na patayo na iginuhit mula sa punto A hanggang linya a kung ang mga linyang AN at a ay patayo. Point H ay tinatawag na base ng patayo.

Pagguhit ng parisukat

Ang sumusunod na teorama ay totoo.

Theorem 3. Mula sa anumang punto na hindi nakahiga sa isang linya, posible na gumuhit ng isang patayo sa linyang ito, at, bukod dito, isa lamang.

Upang gumuhit ng isang patayo mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya sa isang guhit, gumamit ng isang parisukat sa pagguhit (Larawan 5).

Magkomento. Ang pagbabalangkas ng theorem ay karaniwang binubuo ng dalawang bahagi. Ang isang bahagi ay nagsasalita tungkol sa kung ano ang ibinigay. Ang bahaging ito ay tinatawag na kondisyon ng teorama. Ang kabilang bahagi ay nagsasalita tungkol sa kung ano ang kailangang patunayan. Ang bahaging ito ay tinatawag na konklusyon ng teorama. Halimbawa, ang kondisyon ng Theorem 2 ay ang mga anggulo ay patayo; konklusyon - ang mga anggulong ito ay pantay.

Ang anumang teorama ay maaaring ipahayag nang detalyado sa mga salita upang ang kondisyon nito ay magsimula sa salitang "kung" at ang konklusyon nito sa salitang "pagkatapos". Halimbawa, ang Theorem 2 ay maaaring sabihin nang detalyado tulad ng sumusunod: "Kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay."

Halimbawa 1. Ang isa sa mga katabing anggulo ay 44°. Ano ang katumbas ng iba?

Solusyon. Tukuyin natin ang sukat ng antas ng isa pang anggulo sa pamamagitan ng x, pagkatapos ay ayon sa Theorem 1.
44° + x = 180°.
Ang paglutas ng resultang equation, nakita namin na x = 136°. Samakatuwid, ang kabilang anggulo ay 136°.

Halimbawa 2. Hayaang maging 45° ang anggulong COD sa Figure 21. Ano ang mga anggulo ng AOB at AOC?

Solusyon. Ang mga anggulong COD at AOB ay patayo, samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1.2 sila ay pantay, ibig sabihin, ∠ AOB = 45°. Ang anggulo ng AOC ay katabi ng anggulo ng COD, na nangangahulugang ayon sa Theorem 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Halimbawa 3. Maghanap ng mga katabing anggulo kung ang isa sa kanila ay 3 beses na mas malaki kaysa sa isa.

Solusyon. Tukuyin natin ang sukat ng antas ng mas maliit na anggulo sa pamamagitan ng x. Pagkatapos ang sukat ng antas ng mas malaking anggulo ay magiging 3x. Dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay katumbas ng 180° (Theorem 1), kung gayon ang x + 3x = 180°, kung saan ang x = 45°.
Nangangahulugan ito na ang mga katabing anggulo ay 45° at 135°.

Halimbawa 4. Ang kabuuan ng dalawang patayong anggulo ay 100°. Hanapin ang laki ng bawat isa sa apat na anggulo.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 2 ang mga kondisyon ng problema Ang mga patayong anggulo na COD sa AOB ay pantay (Theorem 2), na nangangahulugan na ang kanilang mga sukat sa antas ay pantay din. Samakatuwid, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ang kanilang kabuuan ayon sa kondisyon ay 100°). Ang anggulo BOD (din ang anggulo AOC) ay katabi ng anggulo COD, at, samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.