حلل إلى عوامل عدد كبير- ليست مهمة سهلة.يواجه معظم الأشخاص صعوبة في معرفة الأرقام المكونة من أربعة أو خمسة أرقام. لتسهيل العملية، اكتب الرقم فوق العمودين.

• دعونا نحلل الرقم 6552.

آلة حاسبة على الانترنت.
تربيع ذات الحدين وتحليلها ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

أولئك. تتلخص المشكلة في العثور على الأعداد \(p, q\) و\(n, m\)

لا يقدم البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية الحل.

قد يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟العمل في المنزل

في الرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الصغار، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد لإدخال كثيرات الحدود من الدرجة الثانية
أي حرف لاتيني يمكن أن يكون بمثابة متغير.

على سبيل المثال: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\)، إلخ.
يمكن إدخال الأرقام كأرقام كاملة أو كسرية.

علاوة على ذلك، يمكن إدخال الأرقام الكسرية ليس فقط في شكل كسر عشري، ولكن أيضًا في شكل كسر عادي.
قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية، يمكن فصل الجزء الكسري عن الجزء بأكمله إما بنقطة أو بفاصلة. على سبيل المثال، يمكنك إدخالالكسور العشرية

مثل هذا: 2.5x - 3.5x^2
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بعلامة العطف: &
الإدخال: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
النتيجة: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

عند إدخال التعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة، عند الحل، يتم تبسيط التعبير المقدم أولاً.
على سبيل المثال: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

مثال حل مفصل

عزل مربع ذات الحدين.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9) )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ إجابة:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ التخصيم.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \يمين) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ إجابة:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

إذا كنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

عزل مربع ذات الحدين من ثلاثي الحدود مربع

إذا كان الفأس الثلاثي المربع 2 +bx+c ممثلاً بالشكل a(x+p) 2 +q، حيث p وq أعداد حقيقية، فإننا نقول ذلك من مربع ثلاثي الحدود، يتم تمييز مربع ذو الحدين.

من ثلاثية الحدود 2x2 +12x+14 نستخرج مربع ذات الحدين.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

للقيام بذلك، تخيل أن 6x حاصل ضرب 2*3*x، ثم قم بإضافة وطرح 3 2. نحصل على:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

الذي - التي. نحن استخرج ذات الحدين المربع من ثلاثي الحدود المربع، وبينت أن:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

إذا تم تمثيل مربع ثلاثي الحدود 2 +bx+c بالشكل a(x+n)(x+m)، حيث n وm أعداد حقيقية، فيقال إن العملية قد تم إجراؤها تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.

دعونا نوضح بمثال كيف يتم هذا التحول.

دعونا نحلل المعادلة التربيعية 2x 2 +4x-6.

دعونا نأخذ المعامل خارج الأقواس، أي. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

دعونا نحول التعبير بين قوسين.
للقيام بذلك، تخيل أن 2x هو الفرق 3x-1x، و-3 مثل -1*3. نحصل على:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(س-1)(س+3) $$

الذي - التي. نحن تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، وبينت أن:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

لاحظ أن تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ممكن فقط عندما: معادلة تربيعية، المقابلة لهذا الثلاثي لها جذور.
أولئك. في حالتنا، من الممكن تحليل ثلاثية الحدود 2x 2 +4x-6 إذا كانت المعادلة التربيعية 2x 2 +4x-6 =0 لها جذور. في عملية التحليل، أثبتنا أن المعادلة 2x 2 + 4x-6 = 0 لها جذرين 1 و -3، لأن وبهذه القيم تتحول المعادلة 2(x-1)(x+3)=0 إلى مساواة حقيقية.

ما هو معنى التخصيم ؟ وهذا يعني العثور على أرقام منتجها يساوي الرقم الأصلي.

لفهم ما يعنيه التحليل، دعونا نلقي نظرة على مثال.

مثال على تحليل عدد

عامل الرقم 8.

يمكن تمثيل الرقم 8 كحاصل ضرب 2 في 4:

تمثيل 8 كمنتج 2 * 4 يعني التحليل.

لاحظ أن هذا ليس العامل الوحيد للرقم 8.

بعد كل شيء، يتم تحليل 4 مثل هذا:

من هنا يمكن تمثيل 8:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

دعونا نتحقق من إجابتنا. لنجد ما يساويه التحليل:

أي أننا حصلنا على الرقم الأصلي، والإجابة صحيحة.

حلل العدد 24 إلى عوامل أولية

كيفية تحليل العدد 24 إلى عوامل أولية؟

يسمى العدد أوليًا إذا كان يقبل القسمة على نفسه وعلى الواحد فقط.

يمكن تمثيل الرقم 8 كحاصل ضرب 3 في 8:

هنا يتم تحليل الرقم 24. لكن المهمة تقول "تحليل العدد 24 إلى عوامل أولية"، أي: هذه هي العوامل الأساسية اللازمة. وفي توسعنا، 3 عامل أولي، و8 ليس عاملًا أوليًا.

تقدم هذه المقالة إجابات على سؤال تحليل رقم على الورقة. دعونا نفكر فكرة عامةحول التحلل مع الأمثلة. دعونا نحلل الشكل الأساسي للتوسع والخوارزمية الخاصة به. سيتم النظر في جميع الطرق البديلة باستخدام علامات القسمة وجداول الضرب.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

ماذا يعني تحليل عدد ما إلى عوامل أولية؟

دعونا نلقي نظرة على مفهوم العوامل الأولية. من المعروف أن كل عامل أولي هو عدد أولي. في حاصل ضرب الصورة 2 · 7 · 7 · 23 لدينا 4 عوامل أولية في الصورة 2، 7، 7، 23.

يتضمن التخصيم تمثيله في شكل منتجات الأعداد الأولية. إذا أردنا تحليل الرقم 30، فسنحصل على 2، 3، 5. سيكون الإدخال على الشكل 30 = 2 · 3 · 5. من الممكن أن تتكرر المضاعفات. رقم مثل 144 به 144 = 2 2 2 2 3 3.

ليست كل الأرقام عرضة للانحلال. يمكن تحليل الأعداد الأكبر من 1 والتي تعتبر أعدادًا صحيحة. الأعداد الأولية، عند تحليلها، لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها، لذلك من المستحيل تمثيل هذه الأعداد كمنتج.

عندما يشير z إلى أعداد صحيحة، يتم تمثيله كمنتج لـ a وb، حيث يتم تقسيم z على a وb. يتم تحليل الأعداد المركبة باستخدام النظرية الأساسية للحساب. إذا كان الرقم أكبر من 1، فسيتم تحليله ص 1، ص 2، ...، ص ن تأخذ الشكل a = p 1 , p 2 , … , p n . من المفترض أن يكون التحلل في متغير واحد.

التحليل القانوني لعدد ما إلى عوامل أولية

أثناء التوسع، يمكن تكرار العوامل. وهي مكتوبة بشكل مضغوط باستخدام الدرجات. إذا، عند تحليل الرقم a، لدينا العامل p 1، الذي يتكرر s 1 مرات، وهكذا p n - s n مرات. وبالتالي فإن التوسع سوف يأخذ الشكل أ=ع 1 ق 1 · أ = ع 1 ق 1 · ع 2 ق 2 · … · ع ن ق ن. يُطلق على هذا الإدخال اسم التحليل القانوني لعدد ما إلى عوامل أولية.

عند توسيع الرقم 609840، نحصل على 609840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11، وسيكون شكله القانوني 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. باستخدام التوسعة الأساسية، يمكنك العثور على كافة قواسم الرقم وعددها.

للتحليل بشكل صحيح، يجب أن يكون لديك فهم للأعداد الأولية والمركبة. النقطة هي الحصول على عدد متسلسل من المقسومات على شكل p 1، p 2، ...، p n أرقام أ، أ 1، أ 2، …، أ ن - 1، وهذا يجعل من الممكن الحصول عليها أ = ص 1 أ 1، حيث أ 1 = أ: ص 1 ، أ = ص 1 · أ 1 = ص 1 · ع 2 · أ 2 ، حيث أ 2 = أ 1: ص 2 ، … ، أ = ص 1 · ع 2 · … · ع ن · ن ، حيث أ ن = أ ن - 1: ص ن. عند الاستلام ن = 1ثم المساواة أ = ع 1 · ص 2 · … · ع ننحصل على التحلل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية. لاحظ أن ص 1 ≥ ص 2 ≥ ص 3 ≥ … ≥ ص ن.

للعثور على العوامل المشتركة الأصغر، عليك استخدام جدول الأعداد الأولية. يتم ذلك باستخدام مثال العثور على أصغر مقسوم أولي للرقم z. عند أخذ الأعداد الأولية 2، 3، 5، 11 وهكذا، وتقسيم العدد z عليها. نظرًا لأن z ليس عددًا أوليًا، فيجب أن يؤخذ في الاعتبار أن أصغر مقسوم أولي لن يكون أكبر من z. يمكن أن نرى أنه لا توجد مقسومات على z، فمن الواضح أن z عدد أولي.

مثال 1

لننظر إلى مثال الرقم 87. عندما يتم قسمته على 2، نحصل على 87: 2 = 43 والباقي 1. ويترتب على ذلك أن 2 لا يمكن أن يكون مقسوما؛ يجب أن يتم القسمة بالكامل. عند القسمة على 3 نحصل على 87: 3 = 29. ومن هنا الاستنتاج هو أن 3 هو أصغر مقسوم أولي على الرقم 87.

عند تحليل العوامل الأولية، يجب عليك استخدام جدول الأعداد الأولية، حيث أ. عند تحليل 95، يجب عليك استخدام حوالي 10 أعداد أولية، وعند تحليل 846653، حوالي 1000.

دعونا نفكر في خوارزمية التحلل إلى عوامل أولية:

• إيجاد أصغر عامل للمقسوم عليه p 1 لعدد ما أبالصيغة a 1 = a: p 1، عندما a 1 = 1، فإن a هو رقم أولي ويتم تضمينه في التحليل، عندما لا يساوي 1، ثم a = p 1 · a 1 وتابع إلى النقطة أدناه؛
• إيجاد المقسوم عليه الأولي p2 للعدد a1 عن طريق تعداد الأعداد الأولية بشكل تسلسلي باستخدام a 2 = a 1: p 2 , عندما 2 = 1 , عندها سوف يأخذ التوسيع الشكل a = p 1 p 2 , عندما يكون a 2 = 1، فإن a = p 1 p 2 a 2 , وننتقل إلى الخطوة التالية؛
• البحث من خلال الأعداد الأولية وإيجاد المقسوم عليه ص 3أرقام 2وفقًا للصيغة أ 3 = أ 2: ص 3 عندما يكون أ 3 = 1 , ثم نحصل على أن أ = ص 1 ص 2 ص 3 , عندما لا يساوي 1، فإن a = p 1 p 2 p 3 a 3 والانتقال إلى الخطوة التالية؛
• تم العثور على المقسوم عليه الأولي ص نأرقام ن - 1من خلال تعداد الأعداد الأولية ع - 1، وأيضا أ ن = أ ن - 1: ص ن، حيث n = 1، تكون الخطوة نهائية، ونتيجة لذلك نحصل على أن a = p 1 · p 2 · … · p n .

تتم كتابة نتيجة الخوارزمية على شكل جدول يحتوي على عوامل متحللة بشريط عمودي بالتتابع في عمود. النظر في الشكل أدناه.

يمكن تطبيق الخوارزمية الناتجة عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

عند تحليل العوامل الأولية، يجب اتباع الخوارزمية الأساسية.

مثال 2

حلل العدد 78 إلى عوامل أولية.

حل

للعثور على أصغر مقسوم أولي، عليك مراجعة جميع الأعداد الأولية في 78. أي 78: 2 = 39. القسمة بدون باقي تعني أن هذا هو المقسوم البسيط الأول، والذي نشير إليه بالرمز p 1. نحصل على أن أ 1 = أ: ص 1 = 78: 2 = 39. وصلنا إلى مساواة بالشكل a = p 1 · a 1 , حيث 78 = 239. ثم 1 = 39، أي أننا يجب أن ننتقل إلى الخطوة التالية.

دعونا نركز على إيجاد المقسوم عليه الأولي ص2أرقام أ 1 = 39. يجب عليك مراجعة الأعداد الأولية، أي 39: 2 = 19 (الواحد المتبقي). بما أن القسمة على باقي فإن 2 ليس مقسومًا عليه. عند اختيار الرقم 3 نحصل على 39: 3 = 13. هذا يعني أن ع 2 = 3 هو أصغر مقسوم أولي على 39 على أ 2 = أ 1: ع 2 = 39: 3 = 13. نحصل على المساواة في النموذج أ = ص 1 ص 2 أ 2في الصيغة 78 = 2 3 13. لدينا أن 2 = 13 لا يساوي 1، إذن علينا المضي قدمًا.

تم العثور على أصغر مقسوم أولي للرقم a 2 = 13 من خلال البحث في الأرقام بدءًا من الرقم 3. نحصل على 13: 3 = 4 (الباقي 1). من هذا يمكننا أن نرى أن 13 لا يقبل القسمة على 5، 7، 11، لأن 13: 5 = 2 (الباقي 3)، 13: 7 = 1 (الباقي 6) و 13: 11 = 1 (الباقي 2) . يمكن أن نرى أن 13 هو عدد أولي. وفقًا للصيغة تبدو كما يلي: أ 3 = أ 2: ص 3 = 13: 13 = 1. وجدنا أن 3=1 مما يعني اكتمال الخوارزمية. الآن تتم كتابة العوامل بالشكل 78 = 2 · 3 · 13 (أ = ع 1 · ع 2 · ع 3) .

إجابة: 78 = 2 3 13.

مثال 3

قم بتحليل الرقم 83006 إلى عوامل أولية.

حل

الخطوة الأولى تنطوي على التخصيم ص 1 = 2و أ 1 = أ: ع 1 = 83,006: 2 = 41,503حيث 83,006 = 2 · 41,503.

تفترض الخطوة الثانية أن 2 و3 و5 ليست قواسم أولية للرقم a 1 = 41503، ولكن 7 هو مقسوم أولي، لأن 41503: 7 = 5929. نحصل على أن ع 2 = 7، أ 2 = أ 1: ع 2 = 41503: 7 = 5929. من الواضح أن 83,006 = 2 7 5 929.

إيجاد أصغر مقسوم أولي لـ p 4 للعدد a 3 = 847 هو 7. يمكن أن نرى أن أ 4 = أ 3: ص 4 = 847: 7 = 121، وبالتالي 83 006 = 2 7 7 7 121.

للعثور على المقسوم الأولي للرقم أ 4 = 121، نستخدم الرقم 11، أي ص 5 = 11. ثم نحصل على تعبير عن النموذج أ 5 = أ 4: ص 5 = 121: 11 = 11و 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

للرقم أ 5 = 11رقم ص 6 = 11هو أصغر المقسوم عليه. وبالتالي أ 6 = أ 5: ص 6 = 11: 11 = 1. ثم 6 = 1. يشير هذا إلى اكتمال الخوارزمية. سيتم كتابة العوامل على النحو التالي: 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

سيكون التدوين القانوني للإجابة بالشكل 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

إجابة: 83006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

مثال 4

عامل الرقم 897,924,289.

حل

للعثور على العامل الأولي الأول، ابحث في الأعداد الأولية بدءًا من الرقم 2. نهاية البحث تكون عند الرقم 937. ثم ص 1 = 937، أ 1 = أ: ع 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 و 897 924 289 = 937 958 297.

الخطوة الثانية من الخوارزمية هي التكرار على الأعداد الأولية الأصغر. أي أننا نبدأ بالرقم 937. يمكن اعتبار الرقم 967 أوليًا لأنه مقسوم أولي على الرقم أ 1 = 958,297. من هنا نحصل على أن ع 2 = 967، ثم أ 2 = أ 1: ع 1 = 958 297: 967 = 991 و 897 924 289 = 937 967 991.

الخطوة الثالثة تقول أن 991 هو عدد أولي، لأنه لا يحتوي على عامل أولي واحد لا يتجاوز 991. القيمة التقريبية للتعبير الجذري هي 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . وهذا يدل على أن ع 3 = 991 و أ 3 = أ 2: ع 3 = 991: 991 = 1. نجد أن تحليل الرقم 897924289 إلى عوامل أولية يتم الحصول عليه على النحو التالي: 897924289 = 937967991.

إجابة: 897924289 = 937967991.

استخدام اختبارات قابلية القسمة للتحليل إلى عوامل أولية

لتحليل عدد إلى عوامل أولية، عليك اتباع خوارزمية. عندما تكون الأعداد صغيرة، يجوز استخدام جدول الضرب وعلامات القسمة. دعونا ننظر إلى هذا مع الأمثلة.

مثال 5

إذا كان من الضروري تحليل 10، فإن الجدول يوضح: 2 · 5 = 10. الأرقام الناتجة 2 و 5 هي أعداد أولية، لذا فهي عوامل أولية للرقم 10.

مثال 6

إذا كان من الضروري تحليل الرقم 48، فإن الجدول يوضح: 48 = 6 8. لكن 6 و 8 ليسا عاملين أوليين، حيث يمكن أيضًا توسيعهما إلى 6 = 2 3 و 8 = 2 4. ثم يتم الحصول على الموسع الكامل من هنا على النحو التالي: 48 = 6 8 = 2 3 2 4. سيكون التدوين الأساسي بالشكل 48 = 2 4 · 3.

مثال 7

عند تحليل الرقم 3400، يمكنك استخدام علامات القسمة. في هذه الحالة، تكون علامات قابلية القسمة على 10 و100 ذات صلة. من هنا نحصل على 3400 = 34 · 100، حيث يمكن قسمة 100 على 10، أي كتابتها بالشكل 100 = 10 · 10، مما يعني أن 3400 = 34 · 10 · 10. بناءً على اختبار قابلية القسمة، نجد أن 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. جميع العوامل أولية. التوسع الكنسي يأخذ الشكل 3400 = 2 3 5 2 17.

عندما نجد العوامل الأولية، نحتاج إلى استخدام اختبارات قابلية القسمة وجداول الضرب. إذا كنت تتخيل الرقم 75 كمنتج للعوامل، فأنت بحاجة إلى مراعاة قاعدة القسمة على 5. نحصل على 75 = 5 15، و15 = 3 5. أي أن التمدد المطلوب هو مثال لشكل المنتج 75 = 5 · 3 · 5.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

ستجد في هذه المقالة كافة المعلومات اللازمة للإجابة على السؤال، كيفية تحليل عدد إلى عوامل أولية. أولا، يتم إعطاء فكرة عامة عن تحلل العدد إلى عوامل أولية، ويتم إعطاء أمثلة على التحلل. يوضح ما يلي الشكل القانوني لتحليل الرقم إلى عوامل أولية. بعد ذلك، يتم تقديم خوارزمية لتحليل الأرقام التعسفية إلى عوامل أولية ويتم تقديم أمثلة لتحليل الأرقام باستخدام هذه الخوارزمية. يتم أيضًا أخذ الطرق البديلة في الاعتبار والتي تسمح لك بتحليل الأعداد الصحيحة الصغيرة بسرعة إلى عوامل أولية باستخدام اختبارات القسمة وجداول الضرب.

التنقل في الصفحة.

ماذا يعني تحليل عدد ما إلى عوامل أولية؟

أولا، دعونا ننظر إلى ما هي العوامل الأولية.

ومن الواضح أنه بما أن كلمة "العوامل" موجودة في هذه العبارة، فإن هناك حاصل ضرب لبعض الأرقام، والكلمة المؤهلة "بسيطة" تعني أن كل عامل هو عدد أولي. على سبيل المثال، في حاصل الضرب بالصيغة 2·7·7·23 هناك أربعة عوامل أولية: 2 و7 و7 و23.

ماذا يعني تحليل عدد ما إلى عوامل أولية؟

وهذا يعني أنه يجب تمثيل هذا العدد كحاصل ضرب العوامل الأولية، ويجب أن تكون قيمة هذا حاصل الضرب مساوية للرقم الأصلي. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية 2 و3 و5، وهو يساوي 30، وبالتالي فإن تحلل الرقم 30 إلى عوامل أولية هو 2·3·5. عادةً ما يتم كتابة تحليل الرقم إلى عوامل أولية على شكل مساواة؛ وفي مثالنا سيكون على النحو التالي: 30=2·3·5. نؤكد بشكل منفصل أن العوامل الأولية في التوسع يمكن تكرارها. ويتضح ذلك بوضوح من خلال المثال التالي: 144=2·2·2·2·3·3. لكن تمثيل الصيغة 45=3·15 ليس تحليلاً إلى عوامل أولية، حيث أن الرقم 15 هو رقم مركب.

ينشأ السؤال التالي: "ما هي الأعداد التي يمكن تحليلها إلى عوامل أولية؟"

وبحثاً عن إجابة لها، نعرض الاستدلال التالي. الأعداد الأولية، حسب التعريف، هي من بين تلك الأكبر من واحد. مع الأخذ في الاعتبار هذه الحقيقة و، يمكن القول أن منتج العديد من العوامل الأولية هو عدد صحيح رقم إيجابي، يتجاوز واحد. لذلك، يتم التحليل فقط للأعداد الصحيحة الموجبة التي تكون أكبر من 1.

لكن هل يمكن تحليل جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد إلى عوامل أولية؟

من الواضح أنه لا يمكن تحليل الأعداد الصحيحة البسيطة إلى عوامل أولية. وذلك لأن الأعداد الأولية لها عاملان موجبان فقط - الواحد ونفسها، لذلك لا يمكن تمثيلها كحاصل ضرب عددين أوليين أو أكثر. إذا كان من الممكن تمثيل العدد الصحيح z كمنتج لعددين أوليين a وb، فإن مفهوم قابلية القسمة سيسمح لنا باستنتاج أن z قابل للقسمة على كل من a وb، وهو أمر مستحيل بسبب بساطة الرقم z. ومع ذلك، فهم يعتقدون أن أي عدد أولي هو في حد ذاته تحلل.

ماذا عن الأعداد المركبة؟ هل الأعداد المركبة متحللة إلى عوامل أولية، وهل جميع الأعداد المركبة تخضع لهذا التحلل؟ تعطي النظرية الأساسية للحساب إجابة إيجابية لعدد من هذه الأسئلة. تنص النظرية الحسابية الأساسية على أن أي عدد صحيح a أكبر من 1 يمكن تحليله إلى حاصل ضرب العوامل الأولية p 1، p 2، ...، p n، ويكون التحليل على الصورة a = p 1 · p 2 · … · p n، وهذا التوسع فريد من نوعه، إذا لم تأخذ في الاعتبار ترتيب العوامل

التحليل القانوني لعدد ما إلى عوامل أولية

في مفكوك عدد ما، يمكن تكرار العوامل الأولية. يمكن كتابة العوامل الأولية المتكررة بشكل أكثر إحكاما باستخدام . لنفترض في تحلل العدد أن العامل الأولي p 1 يحدث s 1 مرات، والعامل الرئيسي p 2 – s 2 مرات، وهكذا، p n – s n مرات. ثم يمكن كتابة التحليل الأولي للرقم a أ=ص 1 ق 1 ·ص 2 ق 2 ·…·ص ن ق ن. هذا النوع من التسجيل هو ما يسمى التحليل القانوني لعدد إلى عوامل أولية.

دعونا نعطي مثالا على التحلل القانوني لعدد إلى عوامل أولية. اسمحوا لنا أن نعرف التحلل 609840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11، تدوينه الأساسي له الشكل 609840=2 4 3 2 5 7 11 2.

يتيح لك التحليل القانوني لعدد ما إلى عوامل أولية العثور على جميع قواسم الرقم وعدد قواسم الرقم.

خوارزمية تحليل العدد إلى عوامل أولية

للتعامل بنجاح مع مهمة تحليل الرقم إلى عوامل أولية، يجب أن تكون لديك معرفة جيدة جدًا بالمعلومات الواردة في مقالة الأعداد الأولية والمركبة.

إن جوهر عملية تحلل عدد صحيح موجب a الذي يتجاوز الواحد واضح من إثبات النظرية الأساسية في الحساب. النقطة المهمة هي العثور على أصغر المقسومات الأولية p 1، p 2، ...، p n للأرقام a، a 1، a 2، ...، a n-1، مما يسمح لنا بالحصول على سلسلة من المعادلات a=p 1 ·a 1, حيث a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , حيث a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n ، حيث a n =a n-1:p n . عندما نحصل على n =1، فإن المساواة a=p 1 ·p 2 ·…·p n سوف تعطينا التحليل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية. كما تجدر الإشارة هنا إلى ذلك ص 1 ≥p 2 ≥p 3 ≥…≥p n.

ويبقى معرفة كيفية العثور على أصغر العوامل الأولية في كل خطوة، وسيكون لدينا خوارزمية لتحليل الرقم إلى عوامل أولية. سيساعدنا جدول الأعداد الأولية في إيجاد العوامل الأولية. دعونا نوضح كيفية استخدامه للحصول على أصغر مقسوم أولي للرقم z.

نحن نأخذ الأعداد الأولية بالتسلسل من جدول الأعداد الأولية (2، 3، 5، 7، 11، وما إلى ذلك) ونقسم الرقم المعطى z عليها. أول رقم أولي يتم تقسيم z عليه بالتساوي هو أصغر مقسوم أولي عليه. إذا كان الرقم z أوليًا، فإن أصغر مقسوم أولي عليه هو الرقم z نفسه. يجب أن نتذكر هنا أنه إذا لم يكن z رقمًا أوليًا، فإن أصغر مقسوم عليه لا يتجاوز الرقم، حيث من z. وبالتالي، إذا لم يكن هناك قاسم واحد بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز الرقم z، فيمكننا أن نستنتج أن z هو رقم أولي (المزيد عن هذا مكتوب في قسم النظرية تحت عنوان هذا الرقم أولي أو مركب ).

على سبيل المثال، سنوضح كيفية العثور على أصغر مقسوم أولي على الرقم 87. لنأخذ الرقم 2 بقسمة 87 على 2، نحصل على 87:2=43 (1 المتبقي) (إذا لزم الأمر، راجع المقالة). أي أنه عند قسمة 87 على 2 يكون الباقي 1، لذا فإن 2 ليس مقسومًا على الرقم 87. نحن نأخذ الرقم الأولي التالي من جدول الأعداد الأولية، وهذا هو الرقم 3. نقسم 87 على 3 نحصل على 87:3=29. وبالتالي فإن 87 يقبل القسمة على 3، وبالتالي فإن الرقم 3 هو أصغر مقسوم أولي على الرقم 87.

لاحظ أنه في الحالة العامة، لتحليل الرقم a إلى عوامل أولية، نحتاج إلى جدول أعداد أولية يصل إلى رقم لا يقل عن . سيتعين علينا الرجوع إلى هذا الجدول في كل خطوة، لذلك يجب أن يكون في متناول اليد. على سبيل المثال، لتحليل الرقم 95 إلى عوامل أولية، سنحتاج فقط إلى جدول الأعداد الأولية حتى 10 (نظرًا لأن 10 أكبر من ). ولتحليل الرقم 846,653، ستحتاج بالفعل إلى جدول الأعداد الأولية حتى 1000 (نظرًا لأن 1000 أكبر من ).

لدينا الآن ما يكفي من المعلومات لتدوينها خوارزمية تحليل العدد إلى عوامل أولية. خوارزمية تحليل الرقم a هي كما يلي:

• بالفرز التسلسلي للأرقام من جدول الأعداد الأولية، نجد أصغر مقسوم أولي p 1 للرقم a، وبعد ذلك نحسب 1 =a:p 1. إذا كان 1 = 1، فإن العدد a هو عدد أولي، وهو في حد ذاته عبارة عن تحلله إلى عوامل أولية. إذا كان 1 لا يساوي 1، فلدينا a=p 1 ·a 1 وننتقل إلى الخطوة التالية.
• نجد أصغر مقسوم أولي p 2 للرقم a 1 ، للقيام بذلك نقوم بفرز الأرقام من جدول الأعداد الأولية تسلسليًا، بدءًا من p 1 ، ثم نحسب a 2 =a 1:p 2 . إذا كان a 2 =1، فإن التحليل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية يكون بالصيغة a=p 1 ·p 2. إذا كان 2 لا يساوي 1، فلدينا a=p 1 ·p 2 ·a 2 وننتقل إلى الخطوة التالية.
• من خلال مراجعة الأرقام من جدول الأعداد الأولية، بدءًا من p 2، نجد أصغر مقسوم أولي p 3 للرقم a 2، وبعد ذلك نحسب a 3 =a 2:p 3. إذا كان a 3 =1، فإن التحلل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية يكون بالصيغة a=p 1 ·p 2 ·p 3. إذا كان 3 لا يساوي 1، فلدينا a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 وننتقل إلى الخطوة التالية.
• نجد أصغر مقسوم أولي p n للرقم a n-1 عن طريق الفرز عبر الأعداد الأولية، بدءًا من p n-1، وكذلك a n =a n-1:p n، و n يساوي 1. هذه الخطوة هي الخطوة الأخيرة في الخوارزمية حيث نحصل على التحليل المطلوب للرقم a إلى عوامل أولية: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

من أجل الوضوح، يتم عرض جميع النتائج التي تم الحصول عليها في كل خطوة من خطوات خوارزمية تحليل الرقم إلى عوامل أولية في شكل الجدول التالي، حيث يتم كتابة الأرقام a، a 1، a 2، ...، n بالتتابع في العمود الموجود على يسار الخط العمودي، وعلى يمين الخط - أصغر المقسومات الأولية المقابلة p 1، p 2، ...، p n.

كل ما تبقى هو النظر في بعض الأمثلة لتطبيق الخوارزمية الناتجة لتحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

أمثلة على التحليل الأولي

الآن سوف ننظر بالتفصيل أمثلة على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. عند التحلل، سوف نستخدم الخوارزمية من الفقرة السابقة. لنبدأ بالحالات البسيطة ونعقدها تدريجيًا حتى نتمكن من مواجهة جميع الفروق الدقيقة المحتملة التي تنشأ عند تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

مثال.

حلل العدد 78 إلى عوامله الأولية.

حل.

نبدأ البحث عن أول أصغر مقسوم أولي p 1 للرقم a=78. للقيام بذلك، نبدأ في فرز الأعداد الأولية بشكل تسلسلي من جدول الأعداد الأولية. نأخذ الرقم 2 ونقسم عليه 78 فنحصل على 78:2=39. الرقم 78 مقسوم على 2 بدون باقي، لذا فإن p 1 = 2 هو أول مقسوم أولي للرقم 78. في هذه الحالة، أ 1 =a:p 1 =78:2=39. لذلك نصل إلى المساواة a=p 1 ·a 1 بالصيغة 78=2·39. من الواضح أن 1 = 39 يختلف عن 1، لذلك ننتقل إلى الخطوة الثانية من الخوارزمية.

الآن نحن نبحث عن أصغر مقسوم أولي p 2 للرقم a 1 = 39. نبدأ بتعداد الأعداد من جدول الأعداد الأولية، بدءاً من p 1 = 2. نقسم 39 على 2، نحصل على 39:2=19 (الباقي 1). بما أن 39 لا يقبل القسمة على 2، فإن 2 ليس هو المقسوم عليه. ثم نأخذ الرقم التالي من جدول الأعداد الأولية (رقم 3) ونقسم عليه 39 فنحصل على 39:3=13. لذلك، p 2 =3 هو أصغر مقسوم أولي للرقم 39، بينما a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. لدينا المساواة a=p 1 ·p 2 ·a 2 على الصورة 78=2·3·13. وبما أن 2=13 يختلف عن 1، فإننا ننتقل إلى الخطوة التالية من الخوارزمية.

نحن هنا بحاجة إلى إيجاد أصغر مقسوم أولي للرقم أ 2 = 13. بحثًا عن أصغر مقسوم أولي p 3 للرقم 13، سنقوم بفرز الأرقام من جدول الأعداد الأولية بالتسلسل، بدءًا من p 2 =3. الرقم 13 لا يقبل القسمة على 3، حيث أن 13:3=4 (باقي 1)، كذلك 13 لا يقبل القسمة على 5 و7 و11، لأن 13:5=2 (باقي 3)، 13:7=1 (الراحة 6) و 13:11=1 (الراحة 2). الرقم الأولي التالي هو 13، و13 يقبل القسمة عليه دون باقي، وبالتالي فإن أصغر مقسوم أولي ص 3 من 13 هو الرقم 13 نفسه، وa 3 =a 2:p 3 =13:13=1. بما أن 3 =1، فإن هذه الخطوة من الخوارزمية هي الأخيرة، والتحليل المطلوب للرقم 78 إلى عوامل أولية له الصيغة 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

إجابة:

78=2·3·13.

مثال.

عبر عن العدد 83,006 كحاصل ضرب العوامل الأولية.

حل.

في الخطوة الأولى من خوارزمية تحليل الرقم إلى عوامل أولية، نجد p 1 = 2 و a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503، ومنها 83,006=2·41,503.

في الخطوة الثانية، نكتشف أن 2 و 3 و 5 ليست قواسم أولية للرقم a 1 = 41,503، ولكن الرقم 7 كذلك، حيث أن 41,503:7 = 5,929. لدينا ص 2 = 7، أ 2 = أ 1: ع 2 = 41,503:7=5,929. وبالتالي، 83,006=2 7 5 929.

أصغر مقسوم أولي للرقم a 2 = 5 929 هو الرقم 7، حيث أن 5 929: 7 = 847. وبالتالي، ف 3 = 7، أ 3 = أ 2: ع 3 = 5 929:7 = 847، منها 83 006 = 2·7·7·847.

بعد ذلك نجد أن أصغر مقسوم أولي ع 4 للعدد أ 3 = 847 يساوي 7. ثم a 4 =a 3:p 4 =847:7=121، إذن 83 006=2·7·7·7·121.

الآن نجد أصغر مقسوم أولي للعدد a 4 = 121، وهو الرقم p 5 = 11 (حيث أن 121 يقبل القسمة على 11 ولا يقبل القسمة على 7). ثم a 5 =a 4:p 5 =121:11=11، و83 006=2·7·7·7·11·11.

وأخيرًا، أصغر مقسوم أولي للرقم a 5 =11 هو الرقم p 6 =11. ثم 6 =أ 5:ص 6 =11:11=1. نظرًا لأن 6 =1، فإن هذه الخطوة من خوارزمية تحليل الرقم إلى عوامل أولية هي الخطوة الأخيرة، والتحليل المطلوب له الصيغة 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

يمكن كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها على أنها التحلل القانوني للرقم إلى عوامل أولية 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

إجابة:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 هو عدد أولي. في الواقع، ليس لديها قاسم أولي واحد لا يتجاوز (يمكن تقديره تقريبًا بـ ، لأنه من الواضح أن 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

إجابة:

897924289 = 937967991 .

استخدام اختبارات قابلية القسمة للتحليل إلى عوامل أولية

في حالات بسيطة، يمكنك تحليل رقم إلى عوامل أولية دون استخدام خوارزمية التحليل من الفقرة الأولى من هذه المقالة. إذا لم تكن الأرقام كبيرة، فغالبًا ما يكون من الكافي معرفة علامات القسمة لتحليلها إلى عوامل أولية. دعونا نعطي أمثلة للتوضيح.

على سبيل المثال، علينا تحليل العدد 10 إلى عوامل أولية. نعلم من جدول الضرب أن 2·5=10، ومن الواضح أن الرقمين 2 و5 أوليان، وبالتالي فإن التحليل الأولي للرقم 10 يبدو مثل 10=2·5.

مثال آخر. باستخدام جدول الضرب، سنقوم بتحليل العدد 48 إلى عوامل أولية. نحن نعلم أن ستة يساوي ثمانية - ثمانية وأربعون، أي 48 = 6·8. ومع ذلك، لا 6 ولا 8 أعداد أولية. لكننا نعلم أن مرتين ثلاثة يساوي ستة، ومرتين أربعة يساوي ثمانية، أي 6=2·3 و8=2·4. ثم 48=6·8=2·3·2·4. ويبقى أن نتذكر أن اثنين في اثنين يساوي أربعة، ومن ثم نحصل على التحليل المطلوب إلى عوامل أولية 48 = 2·3·2·2·2. لنكتب هذا التوسع بالشكل القانوني: 48=2 4 ·3.

ولكن عند تحليل الرقم 3400 إلى عوامل أولية، يمكنك استخدام معايير القسمة. تتيح لنا علامات قابلية القسمة على 10، 100 أن نذكر أن 3400 يقبل القسمة على 100، حيث 3400=34·100، و100 يقبل القسمة على 10، حيث 100=10·10، وبالتالي، 3400=34·10·10. وبناءً على اختبار قابلية القسمة على 2، يمكننا القول أن كل عامل من العوامل 34 و10 و10 يقبل القسمة على 2، فنحصل على 3400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. جميع العوامل في التمدد الناتج بسيطة، لذلك هذا التمدد هو المطلوب. كل ما تبقى هو إعادة ترتيب العوامل بحيث يتم ترتيبها تصاعديًا: 3400 = 2·2·2·5·5·17. دعونا نكتب أيضًا التحلل القانوني لهذا الرقم إلى عوامل أولية: 3400 = 2 3 ·5 2 ·17.

عند تحليل رقم معين إلى عوامل أولية، يمكنك استخدام علامات القسمة وجدول الضرب بالتناوب. لنتخيل العدد 75 كحاصل ضرب العوامل الأولية. يتيح لنا اختبار قابلية القسمة على 5 أن نذكر أن 75 يقبل القسمة على 5، ونحصل على أن 75 = 5·15. ومن جدول الضرب نعلم أن 15=3·5، وبالتالي 75=5·3·5. هذا هو التحليل المطلوب للرقم 75 إلى عوامل أولية.

مراجع.

• فيلينكين ن.يا. والرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.
• فينوغرادوف آي إم. أساسيات نظرية الأعداد.
• ميخيلوفيتش ش. نظرية الأعداد.
• كوليكوف إل. وغيرها مجموعة من المشاكل في الجبر ونظرية الأعداد: كتاب مدرسي لطلاب الفيزياء والرياضيات. تخصصات المعاهد التربوية.