Eksempler på faktorisering af polynomier. Sådan faktoriseres et kvadratisk trinomium: formel

hjem / Snydende mand

Et kvadratisk trinomium er et polynomium af formen ax^2 + bx + c, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og a ≠ 0.

For at faktorisere et trinomium skal du kende rødderne til det trinomium. (yderligere et eksempel på trinomialet 5x^2 + 3x- 2)

Bemærk: Værdien af det kvadratiske trinomium 5x^2 + 3x - 2 afhænger af værdien af x. For eksempel: Hvis x = 0, så er 5x^2 + 3x - 2 = -2

Hvis x = 2, så er 5x^2 + 3x - 2 = 24

Hvis x = -1, så er 5x^2 + 3x - 2 = 0

Ved x = -1 forsvinder det kvadratiske trinomium 5x^2 + 3x - 2, i dette tilfælde kaldes tallet -1 roden af et kvadratisk trinomium.

Sådan får du roden til en ligning

Lad os forklare, hvordan vi fik roden til denne ligning. Først skal du klart kende sætningen og formlen, som vi vil arbejde efter:

"Hvis x1 og x2 er rødderne af den kvadratiske trinomiale ax^2 + bx + c, så er ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

Denne formel til at finde rødderne til et polynomium er den mest primitive formel, som du aldrig vil blive forvirret med.

Udtrykket er 5x^2 + 3x – 2.

1. Lige til nul: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. Find rødderne af andengradsligningen, for at gøre dette erstatter vi værdierne i formlen (a er koefficienten for X^2, b er koefficienten for X, det frie led, det vil sige tallet uden X ):

Vi finder den første rod med et plustegn foran kvadratroden:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Den anden rod med et minustegn foran kvadratroden:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Så vi har fundet rødderne til det kvadratiske trinomium. For at sikre dig, at de er korrekte, kan du kontrollere: først erstatter vi den første rod i ligningen, derefter den anden:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Hvis ligningen efter at have erstattet alle rødderne bliver nul, så er ligningen løst korrekt.

3. Lad os nu bruge formlen fra sætningen: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), husk at X1 og X2 er rødderne til andengradsligningen. Altså: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. For at sikre dig, at nedbrydningen er korrekt, kan du blot gange parenteserne:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 + 3 – 2. Hvilket bekræfter rigtigheden af afgørelsen.

Den anden mulighed for at finde rødderne til et kvadratisk trinomium

En anden mulighed for at finde rødderne af et kvadratisk trinomium er den omvendte sætning til Viettes sætning. Her findes rødderne til andengradsligningen ved hjælp af formlerne: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Men det er vigtigt at forstå, at denne sætning kun kan bruges, hvis koefficienten a = 1, det vil sige tallet foran x^2 = 1.

For eksempel: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Vi løser: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Nu er det vigtigt at tænke over, hvilke tal i produktet, der giver en? Naturligvis dette 1 * 1 Og -1 * (-1) . Fra disse tal udvælger vi dem, der svarer til udtrykket x1 + x2 = 2, selvfølgelig - det er 1 + 1. Så vi fandt rødderne til ligningen: x1 = 1, x2 = 1. Dette er let at kontrollere, hvis vi erstatte x^2 i udtrykket - 2x + 1 = 0.

I denne lektion vil vi lære, hvordan man faktoriserer kvadratiske trinomier til lineære faktorer. For at gøre dette skal vi huske Vietas sætning og dens modsætning. Denne færdighed vil hjælpe os med hurtigt og bekvemt at udvide kvadratiske trinomialer til lineære faktorer og vil også forenkle reduktionen af brøker bestående af udtryk.

Så lad os gå tilbage til andengradsligningen, hvor .

Det, vi har på venstre side, kaldes et kvadratisk trinomium.

Sætningen er sand: Hvis er rødderne til et kvadratisk trinomium, så gælder identiteten

Hvor er den førende koefficient, er ligningens rødder.

Så vi har en andengradsligning - et kvadratisk trinomium, hvor andengradsligningens rødder også kaldes rødderne af andengradstrinomiet. Derfor, hvis vi har rødderne af et kvadratisk trinomium, så kan dette trinomium dekomponeres i lineære faktorer.

Bevis:

Bevis dette faktum udføres ved hjælp af Vietas sætning, som vi diskuterede i tidligere lektioner.

Lad os huske, hvad Vietas sætning fortæller os:

Hvis er rødderne af et kvadratisk trinomium for hvilket , så .

Følgende udsagn følger af denne sætning:

Vi ser, at vi ifølge Vietas sætning, dvs. ved at substituere disse værdier i formlen ovenfor, opnår følgende udtryk

Q.E.D.

Husk på, at vi beviste sætningen om, at hvis er rødderne af et kvadratisk trinomium, så er udvidelsen gyldig.

Lad os nu huske et eksempel på en andengradsligning, hvortil vi valgte rødder ved hjælp af Vietas sætning. Fra denne kendsgerning kan vi opnå følgende lighed takket være den beviste sætning:

Lad os nu tjekke rigtigheden af denne kendsgerning ved blot at åbne parenteserne:

Vi ser, at vi har faktoriseret korrekt, og ethvert trinomium, hvis det har rødder, kan faktoriseres i henhold til denne sætning til lineære faktorer i henhold til formlen

Lad os dog kontrollere, om en sådan faktorisering er mulig for en ligning:

Tag for eksempel ligningen. Lad os først tjekke diskriminanttegnet

Og vi husker, at for at opfylde den sætning, vi lærte, skal D være større end 0, så i dette tilfælde er faktorisering ifølge den sætning, vi lærte, umulig.

Lad os derfor formulere ny sætning: Hvis et kvadratisk trinomium ikke har nogen rødder, så kan det ikke faktoriseres til lineære faktorer.

Så vi har set på Vietas sætning, muligheden for at dekomponere et kvadratisk trinomium i lineære faktorer, og nu vil vi løse flere problemer.

Opgave nr. 1

I denne gruppe vil vi faktisk løse problemet omvendt til det stillede. Vi havde en ligning, og vi fandt dens rødder ved at faktorisere den. Her vil vi gøre det modsatte. Lad os sige, at vi har rødderne til en andengradsligning

Det omvendte problem er dette: skriv en andengradsligning ved hjælp af dens rødder.

Der er 2 måder at løse dette problem på.

Da er ligningens rødder, altså er en andengradsligning, hvis rødder er givne tal. Lad os nu åbne parenteserne og kontrollere:

Dette var den første måde, hvorpå vi lavede en andengradsligning med givne rødder, som ikke har andre rødder, da enhver andengradsligning højst har to rødder.

Denne metode involverer brugen af den omvendte Vieta-sætning.

Hvis er ligningens rødder, så opfylder de betingelsen om, at .

For den reducerede andengradsligning , , dvs. i dette tilfælde, og .

Således har vi lavet en andengradsligning, der har de givne rødder.

Opgave nr. 2

Det er nødvendigt at reducere fraktionen.

Vi har et trinomium i tælleren og et trinomium i nævneren, og trinomialerne kan eller kan ikke være faktoriseret. Hvis både tælleren og nævneren er faktoriseret, så kan der blandt dem være lige store faktorer, der kan reduceres.

Først og fremmest skal du faktorisere tælleren.

Først skal du kontrollere, om denne ligning kan faktoriseres, lad os finde diskriminanten. Da , afhænger tegnet af produktet (skal være mindre end 0), i i dette eksempel, dvs. den givne ligning har rødder.

For at løse bruger vi Vietas sætning:

I dette tilfælde, da vi har at gøre med rødder, vil det være ret svært blot at vælge rødderne. Men vi ser, at koefficienterne er afbalancerede, det vil sige, hvis vi antager, og erstatter denne værdi i ligningen, får vi følgende system: , dvs. 5-5=0. Således har vi valgt en af rødderne til denne andengradsligning.

Vi vil lede efter den anden rod ved at erstatte det, der allerede er kendt i ligningssystemet, for eksempel, dvs. .

Således har vi fundet begge rødder af andengradsligningen og kan erstatte deres værdier i den oprindelige ligning for at faktorisere den:

Lad os huske det oprindelige problem, vi var nødt til at reducere fraktionen.

Lad os prøve at løse problemet ved at erstatte .

Det er nødvendigt ikke at glemme, at i dette tilfælde kan nævneren ikke være lig med 0, dvs.

Hvis disse betingelser er opfyldt, har vi reduceret den oprindelige brøk til formen .

Opgave nr. 3 (opgave med en parameter)

Ved hvilke værdier af parameteren er summen af rødderne af andengradsligningen

Hvis rødderne til denne ligning eksisterer, så , spørgsmål: hvornår.

Så lad os gå tilbage til andengradsligningen, hvor .

Det, vi har på venstre side, kaldes et kvadratisk trinomium.

Sætningen er sand: Hvis er rødderne til et kvadratisk trinomium, så gælder identiteten

Hvor er den førende koefficient, er ligningens rødder.

Bevis:

Beviset for dette faktum udføres ved hjælp af Vietas teorem, som vi diskuterede i tidligere lektioner.

Lad os huske, hvad Vietas sætning fortæller os:

Hvis er rødderne af et kvadratisk trinomium for hvilket , så .

Følgende udsagn følger af denne sætning:

Vi ser, at vi ifølge Vietas sætning, dvs. ved at substituere disse værdier i formlen ovenfor, opnår følgende udtryk

Q.E.D.

Husk på, at vi beviste sætningen om, at hvis er rødderne af et kvadratisk trinomium, så er udvidelsen gyldig.

Lad os nu huske et eksempel på en andengradsligning, hvortil vi valgte rødder ved hjælp af Vietas sætning. Fra denne kendsgerning kan vi opnå følgende lighed takket være den beviste sætning:

Lad os nu tjekke rigtigheden af denne kendsgerning ved blot at åbne parenteserne:

Vi ser, at vi har faktoriseret korrekt, og ethvert trinomium, hvis det har rødder, kan faktoriseres i henhold til denne sætning til lineære faktorer i henhold til formlen

Lad os dog kontrollere, om en sådan faktorisering er mulig for en ligning:

Tag for eksempel ligningen. Lad os først tjekke diskriminanttegnet

Og vi husker, at for at opfylde den sætning, vi lærte, skal D være større end 0, så i dette tilfælde er faktorisering ifølge den sætning, vi lærte, umulig.

Derfor formulerer vi en ny sætning: Hvis et kvadratisk trinomium ikke har nogen rødder, kan det ikke dekomponeres i lineære faktorer.

Så vi har set på Vietas sætning, muligheden for at dekomponere et kvadratisk trinomium i lineære faktorer, og nu vil vi løse flere problemer.

Opgave nr. 1

Det omvendte problem er dette: skriv en andengradsligning ved hjælp af dens rødder.

Der er 2 måder at løse dette problem på.

Da er ligningens rødder, altså er en andengradsligning, hvis rødder er givet tal. Lad os nu åbne parenteserne og kontrollere:

Dette var den første måde, hvorpå vi lavede en andengradsligning med givne rødder, som ikke har andre rødder, da enhver andengradsligning højst har to rødder.

Denne metode involverer brugen af den omvendte Vieta-sætning.

Hvis er ligningens rødder, så opfylder de betingelsen om, at .

For den reducerede andengradsligning , , dvs. i dette tilfælde, og .

Således har vi lavet en andengradsligning, der har de givne rødder.

Opgave nr. 2

Det er nødvendigt at reducere fraktionen.

Først og fremmest skal du faktorisere tælleren.

Først skal du kontrollere, om denne ligning kan faktoriseres, lad os finde diskriminanten. Da tegnet afhænger af produktet (skal være mindre end 0), i dette eksempel, dvs. den givne ligning har rødder.

For at løse bruger vi Vietas sætning:

Vi vil lede efter den anden rod ved at erstatte det, der allerede er kendt i ligningssystemet, for eksempel, dvs. .

Således har vi fundet begge rødder af andengradsligningen og kan erstatte deres værdier i den oprindelige ligning for at faktorisere den:

Lad os huske det oprindelige problem, vi var nødt til at reducere fraktionen.

Lad os prøve at løse problemet ved at erstatte .

Det er nødvendigt ikke at glemme, at i dette tilfælde kan nævneren ikke være lig med 0, dvs.

Hvis disse betingelser er opfyldt, har vi reduceret den oprindelige brøk til formen .

Opgave nr. 3 (opgave med en parameter)

Ved hvilke værdier af parameteren er summen af rødderne af andengradsligningen

Hvis rødderne til denne ligning eksisterer, så , spørgsmål: hvornår.

At udvide polynomier for at opnå et produkt kan nogle gange virke forvirrende. Men det er ikke så svært, hvis du forstår processen trin for trin. Artiklen beskriver i detaljer, hvordan man faktoriserer et kvadratisk trinomium.

Mange mennesker forstår ikke, hvordan man faktoriserer et firkantet trinomium, og hvorfor dette gøres. Umiddelbart kan det virke som en forgæves øvelse. Men i matematik gøres intet for ingenting. Transformationen er nødvendig for at forenkle udtrykket og lette beregningen.

Et polynomium af formen – ax²+bx+c, kaldes et kvadratisk trinomium. Udtrykket "a" skal være negativt eller positivt. I praksis kaldes dette udtryk en andengradsligning. Derfor siger de nogle gange det anderledes: hvordan man udvider en andengradsligning.

Interessant! Et polynomium kaldes et kvadrat på grund af dets største grad, kvadratet. Og et trinomium - på grund af de 3 komponenter.

Nogle andre typer polynomier:

lineær binomial (6x+8);
kubisk quadrinomial (x³+4x²-2x+9).

Faktorering af et kvadratisk trinomium

Først er udtrykket lig med nul, så skal du finde værdierne af rødderne x1 og x2. Der er måske ingen rødder, der kan være en eller to rødder. Tilstedeværelsen af rødder bestemmes af diskriminanten. Du skal kende dens formel udenad: D=b²-4ac.

Hvis resultatet D er negativt, er der ingen rødder. Hvis det er positivt, er der to rødder. Hvis resultatet er nul, er roden én. Rødderne beregnes også ved hjælp af formlen.

Hvis resultatet er nul, når du beregner diskriminanten, kan du bruge enhver af formlerne. I praksis forkortes formlen blot: -b / 2a.

Formler til forskellige betydninger diskriminanterne er forskellige.

Hvis D er positiv:

Hvis D er nul:

Online regnemaskiner

På internettet er der online lommeregner. Det kan bruges til at udføre faktorisering. Nogle ressourcer giver mulighed for at se løsningen trin for trin. Sådanne tjenester hjælper med at forstå emnet bedre, men du skal prøve at forstå det godt.

Nyttig video: Faktorering af et kvadratisk trinomium

Eksempler

Vi inviterer dig til at se simple eksempler, hvordan man faktoriserer en andengradsligning.

Eksempel 1

Dette viser tydeligt, at resultatet er to x'er, fordi D er positivt. De skal erstattes i formlen. Hvis rødderne viser sig at være negative, ændres tegnet i formlen til det modsatte.

Vi kender formlen for faktorisering af et kvadratisk trinomium: a(x-x1)(x-x2). Vi sætter værdierne i parentes: (x+3)(x+2/3). Der er intet tal før et led i en potens. Det betyder, at der er en der, den går ned.

Eksempel 2

Dette eksempel viser tydeligt, hvordan man løser en ligning, der har én rod.

Vi erstatter den resulterende værdi:

Eksempel 3

Givet: 5x²+3x+7

Lad os først beregne diskriminanten, som i tidligere tilfælde.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminanten er negativ, hvilket betyder, at der ikke er nogen rødder.

Efter at have modtaget resultatet, skal du åbne beslagene og kontrollere resultatet. Det originale trinomium skal vises.

Alternativ løsning

Nogle mennesker var aldrig i stand til at blive venner med diskriminatoren. Der er en anden måde at faktorisere et kvadratisk trinomium på. For nemheds skyld er metoden vist med et eksempel.

Givet: x²+3x-10

Vi ved, at vi skal have 2 parenteser: (_)(_). Når udtrykket ser sådan ud: x²+bx+c, sætter vi i begyndelsen af hver parentes x: (x_)(x_). De resterende to tal er produktet, der giver "c", altså i dette tilfælde -10. Den eneste måde at finde ud af, hvilke tal disse er, er ved at vælge. De erstattede tal skal svare til det resterende led.

For eksempel, gange følgende tal giver -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ingen.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ingen.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ingen.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passer.

Det betyder, at transformationen af udtrykket x2+3x-10 ser således ud: (x-2)(x+5).

Vigtig! Du skal passe på ikke at forveksle tegnene.

Udvidelse af et komplekst trinomium

Hvis "a" er større end én, begynder vanskelighederne. Men alt er ikke så svært, som det ser ud til.

For at faktorisere skal du først se, om noget kan udregnes.

For eksempel givet udtrykket: 3x²+9x-30. Her er tallet 3 taget ud af parentes:

3(x²+3x-10). Resultatet er det allerede velkendte trinomium. Svaret ser sådan ud: 3(x-2)(x+5)

Hvordan dekomponerer man, hvis termen, der er i firkanten, er negativ? I dette tilfælde er tallet -1 taget ud af parentes. For eksempel: -x²-10x-8. Udtrykket vil så se således ud:

Ordningen adskiller sig lidt fra den tidligere. Der er bare et par nye ting. Lad os sige, at udtrykket er givet: 2x²+7x+3. Svaret er også skrevet i 2 parenteser, der skal udfyldes (_)(_). I 2. parentes er skrevet x, og i 1. hvad der er tilbage. Det ser sådan ud: (2x_)(x_). Ellers gentages den tidligere ordning.

Tallet 3 er givet ved tallene:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Vi løser ligninger ved at erstatte disse tal. Den sidste mulighed er passende. Det betyder, at transformationen af udtrykket 2x²+7x+3 ser således ud: (2x+1)(x+3).

Andre sager

Det er ikke altid muligt at konvertere et udtryk. Med den anden metode er det ikke nødvendigt at løse ligningen. Men muligheden for at omdanne vilkår til et produkt kontrolleres kun gennem diskriminanten.

Det er værd at øve sig på at bestemme andengradsligninger så der ikke er vanskeligheder ved brug af formler.

Nyttig video: faktorisering af et trinomium

Konklusion

Du kan bruge det på enhver måde. Men det er bedre at øve begge dele, indtil de bliver automatiske. Det er også nødvendigt at lære at løse andengradsligninger og faktorpolynomier for dem, der planlægger at forbinde deres liv med matematik. Alle de følgende matematiske emner er bygget på dette.

Faktorering af et kvadratisk trinomium kan være nyttig ved løsning af uligheder fra opgave C3 eller problem med parameter C5. Også mange B13-ordproblemer vil blive løst meget hurtigere, hvis du kender Vietas sætning.

Denne teorem kan selvfølgelig betragtes ud fra 8. klasses perspektiv, hvor den undervises for første gang. Men vores opgave er at forberede os godt til Unified State Exam og lære at løse eksamensopgaver så effektivt som muligt. Derfor overvejer denne lektion en tilgang lidt anderledes end skolens.

Formel for ligningens rødder ved hjælp af Vietas sætning Mange mennesker ved (eller i det mindste har set):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

hvor `a, b` og `c` er koefficienterne for det kvadratiske trinomium `ax^2+bx+c`.

For at lære, hvordan du nemt kan bruge sætningen, lad os forstå, hvor det kommer fra (dette vil faktisk gøre det nemmere at huske).

Lad os få ligningen `ax^2+ bx+ c = 0`. For yderligere bekvemmelighed skal du dividere det med `a` og få `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Sådan en ligning kaldes en reduceret andengradsligning.

Vigtig lektionside: ethvert kvadratisk polynomium, der har rødder, kan udvides i parentes. Lad os antage, at vores kan repræsenteres som `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, hvor `k` og ` l` - nogle konstanter.

Lad os se, hvordan parenteserne åbner sig:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Således er `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Dette er lidt anderledes end den klassiske fortolkning Vietas sætning- i den leder vi efter ligningens rødder. Jeg foreslår at lede efter vilkår for konsolnedbrydning- på denne måde behøver du ikke huske minus fra formlen (hvilket betyder `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Det er nok at vælge to sådanne tal, hvis sum er lig med den gennemsnitlige koefficient, og produktet er lig med det frie udtryk.

Hvis vi har brug for en løsning på ligningen, så er det indlysende: rødderne `x=-k` eller `x=-l` (da i disse tilfælde vil en af parenteserne være nul, hvilket betyder at hele udtrykket vil være nul ).

Jeg vil vise dig algoritmen som et eksempel: Sådan udvides et kvadratisk polynomium i parentes.

Eksempel et. Algoritme til faktorisering af et kvadratisk trinomium

Stien, vi har, er en kvadrant trinomial `x^2+5x+4`.

Den reduceres (koefficienten for `x^2` er lig med én). Han har rødder. (For at være sikker kan du estimere diskriminanten og sikre dig, at den er større end nul.)

Yderligere trin (du skal lære dem ved at fuldføre alle træningsopgaver):

Udfyld følgende indtastning: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ I stedet for prikker, lad ledig plads, vi tilføjer der passende tal og skilte.
Se alt mulige muligheder, hvordan kan du dekomponere tallet '4' til produktet af to tal. Vi får par af "kandidater" til rødderne af ligningen: `2, 2` og `1, 4`.
Find ud af hvilket par du kan få gennemsnitskoefficienten fra. Det er åbenbart `1, 4`.
Skriv $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Næste trin er at placere skilte foran de indsatte tal.
Hvordan kan man forstå og for altid huske, hvilke tegn der skal vises før tallene i parentes? Prøv at åbne dem (parenteser). Koefficienten før `x` til den første potens vil være `(± 4 ± 1)` (vi kender ikke tegnene endnu - vi skal vælge), og den skal være lig med `5`. Der vil naturligvis være to plusser $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Udfør denne operation flere gange (hej, træningsopgaver!) og flere problemer dette vil aldrig ske.

Hvis du skal løse ligningen `x^2+5x+4`, så bliver det ikke svært at løse den nu. Dens rødder er `-4, -1`.

Eksempel to. Faktorisering af et kvadratisk trinomium med koefficienter af forskellige fortegn

Lad os løse ligningen `x^2-x-2=0`. Umiddelbart er diskriminanten positiv.

Vi følger algoritmen.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Der er kun én faktorisering af to til heltalsfaktorer: `2 · 1`.
Vi springer pointen over – der er ikke noget at vælge imellem.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Produktet af vores tal er negativt (`-2` er det frie led), hvilket betyder, at et af dem vil være negativt, og det andet vil være positivt.
Da deres sum er lig med `-1` (koefficienten for `x`), så vil `2` være negativ (den intuitive forklaring er, at to er det største af de to tal, det vil "trække" stærkere ind i negativ side). Vi får $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Tredje eksempel. Faktorering af et kvadratisk trinomium

Ligningen er `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Dekomponering af 84 til heltalsfaktorer: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Da vi skal have forskellen (eller summen) af tallene til at være 5, vi et par vil gøre `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Håber, udvidelse af dette kvadratiske trinomium i parentes Det er klart.

Hvis du har brug for en løsning til en ligning, er den her: `12, -7`.

Træningsopgaver

Jeg gør dig opmærksom på et par eksempler, som er nemme at lave løses ved hjælp af Vietas sætning.(Eksempler taget fra magasinet "Mathematics", 2002.)

"x^2+x-2=0".
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Et par år efter at artiklen blev skrevet, dukkede en samling på 150 opgaver til udvidelse af et kvadratisk polynomium ved hjælp af Vietas sætning.

Like og stil spørgsmål i kommentarerne!