BLANDET PRODUKT AF TRE VEKTORER OG DETS EGENSKABER

Blandet arbejde tre vektorer kaldes et tal lig med . Udpeget . Her multipliceres de to første vektorer vektorielt, og derefter multipliceres den resulterende vektor skalært med den tredje vektor. Naturligvis er et sådant produkt et vist antal.

Lad os overveje egenskaberne af et blandet produkt.

1. Geometrisk betydning blandet arbejde. Det blandede produkt af 3 vektorer, op til et fortegn, er lig med volumenet af parallelepipedet bygget på disse vektorer, som på kanter, dvs. .

   Således og .

   

   Bevis. Lad os tilsidesætte vektorerne fra den fælles oprindelse og konstruere et parallelepipedum på dem. Lad os markere og bemærke det. Per definition af det skalære produkt

   Forudsat at og betegner ved h find højden af ​​parallelepipedummet.

   Således hvornår

   Hvis så. Derfor,.

   Ved at kombinere begge disse tilfælde får vi eller .

   Især af beviset for denne egenskab følger det, at hvis trippelen af ​​vektorer er højrehåndet, så er det blandede produkt , og hvis det er venstrehåndet, så .

2. For enhver vektor, , er ligheden sand

   Beviset for denne ejendom følger af ejendom 1. Det er faktisk nemt at vise, at og . Desuden tages tegnene "+" og "–" samtidigt, fordi vinklerne mellem vektorerne og og og er både spidse og stumpe.

3. Når to vilkårlige faktorer omarrangeres, skifter det blandede produkt fortegn.

   Faktisk, hvis vi betragter et blandet produkt, så f.eks

4. Et blandet produkt, hvis og kun hvis en af ​​faktorerne er lig nul, eller vektorerne er koplanære.

   Bevis.

   En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for coplanariteten af ​​3 vektorer er således, at deres blandede produkt er lig nul. Derudover følger det, at tre vektorer danner basis i rummet, hvis .

   Hvis vektorerne er givet i koordinatform, kan det vises, at deres blandede produkt findes ved formlen:

   .

   Således er det blandede produkt lig med tredjeordens determinant, som har koordinaterne for den første vektor i den første linje, koordinaterne for den anden vektor i den anden linje og koordinaterne for den tredje vektor i den tredje linje.

   Eksempler.

ANALYTISK GEOMETRI I RUM

Ligningen F(x, y, z)= 0 definerer i rummet Oxyz noget overflade, dvs. locus af punkter, hvis koordinater x, y, z opfylde denne ligning. Denne ligning kaldes overfladeligningen, og x, y, z– aktuelle koordinater.

Ofte er overfladen dog ikke specificeret ved en ligning, men som et sæt punkter i rummet, der har en eller anden egenskab. I dette tilfælde er det nødvendigt at finde overfladens ligning baseret på dens geometriske egenskaber.

FLY.

NORMAL PLAN VEKTOR.

LIGNING AF ET FLY, DER GÅR GENOM ET GIvet PUNKT

Lad os betragte et vilkårligt plan σ i rummet. Dens position bestemmes ved at angive en vektor vinkelret på dette plan og et fast punkt M0(x 0, y 0, z 0), liggende i σ-planet.

Vektoren vinkelret på planet σ kaldes normal vektor af dette fly. Lad vektoren have koordinater.

Lad os udlede ligningen for planet σ, der passerer gennem dette punkt M0 og har en normal vektor. For at gøre dette skal du tage et vilkårligt punkt på planet σ M(x, y, z) og overvej vektoren.

For ethvert punkt MО σ er en vektor Derfor er deres skalarprodukt lig med nul. Denne lighed er betingelsen for, at pointen MО σ. Den er gyldig for alle punkter i dette fly og overtrædes så snart punktet M vil være uden for σ-planet.

Hvis vi betegner punkterne med radiusvektoren M, – radiusvektor for punktet M0, så kan ligningen skrives i formen

Denne ligning kaldes vektor plan ligning. Lad os skrive det i koordinatform. Siden da

Så vi har fået ligningen for det fly, der passerer gennem dette punkt. For at skabe en ligning for en plan skal du således kende koordinaterne for normalvektoren og koordinaterne for et punkt, der ligger på planet.

Bemærk at planens ligning er en ligning af 1. grad i forhold til de aktuelle koordinater x, y Og z.

Eksempler.

GENEREL LIGNING AF FLYET

Det kan vises, at enhver førstegradsligning med hensyn til kartesiske koordinater x, y, z repræsenterer ligningen for et plan. Denne ligning er skrevet som:

Axe+By+Cz+D=0

og kaldes generel ligning flyet og koordinaterne A, B, C her er koordinaterne for normalvektoren i planet.

Lad os overveje særlige tilfælde af den generelle ligning. Lad os finde ud af, hvordan planet er placeret i forhold til koordinatsystemet, hvis en eller flere koefficienter i ligningen bliver nul.

A er længden af ​​segmentet afskåret af planet på aksen Okse. På samme måde kan det påvises b Og c– Længder af segmenter afskåret af det pågældende plan på akserne Åh Og Oz.

Det er praktisk at bruge ligningen for et plan i segmenter til at konstruere planer.

7.1. Definition af krydsprodukt

Tre ikke-koplanære vektorer a, b og c, taget i den angivne rækkefølge, danner en højrehåndet triplet, hvis der fra slutningen af ​​den tredje vektor c ses den korteste drejning fra den første vektor a til den anden vektor b til være mod uret, og en venstrehåndet triplet, hvis med uret (se fig. 16).

Vektorproduktet af vektor a og vektor b kaldes vektor c, som:

1. Vinkelret på vektorerne a og b, dvs. c ^ a og c ^ b;

2. Har en længde numerisk lig med arealet af et parallelogram konstrueret på vektorerne a ogb som på siderne (se fig. 17), dvs.

3. Vektorerne a, b og c danner en højrehåndet tripel.

Krydsproduktet betegnes a x b eller [a,b]. Følgende relationer mellem enhedsvektorerne i følger direkte af definitionen af ​​vektorproduktet, j Og k(se fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Lad os for eksempel bevise det i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, men | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorerne i, j og k danner en ret tripel (se fig. 16).

7.2. Egenskaber ved et krydsprodukt

1. Ved omarrangering af faktorerne skifter vektorproduktet fortegn, dvs. og xb =(b xa) (se fig. 19).

Vektorerne a xb og b xa er kollineære, har de samme moduler (arealet af parallelogrammet forbliver uændret), men er modsat rettet (tripler a, b, a xb og a, b, b x a med modsat orientering). Det er axb = -(b xa).

2. Vektorproduktet har en kombinerende egenskab med hensyn til skalarfaktoren, dvs. l (a xb) = (la) x b = a x (lb).

Lad l >0. Vektor l (a xb) er vinkelret på vektorerne a og b. Vektor ( løkse b er også vinkelret på vektorerne a og b(vektorer a, l men ligger i samme plan). Det betyder, at vektorerne l(a xb) og ( løkse b collineær. Det er tydeligt, at deres retninger falder sammen. De har samme længde:

Derfor l(a xb)= l en xb. Det er bevist på lignende måde for l<0.

3. To ikke-nul vektorer a og b er kollineære, hvis og kun hvis deres vektorprodukt er lig med nulvektoren, dvs. a ||b<=>og xb = 0.

Især i *i =j *j =k *k =0.

4. Vektorproduktet har fordelingsegenskaben:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Vi vil acceptere uden bevis.

7.3. At udtrykke krydsproduktet i form af koordinater

Vi vil bruge krydsprodukttabellen af ​​vektorer i, j og k:

hvis retningen af ​​den korteste vej fra den første vektor til den anden falder sammen med pilens retning, så er produktet lig med den tredje vektor, hvis den ikke falder sammen, tages den tredje vektor med et minustegn.

Lad to vektorer a =a x i +a y være givet j+a z k og b = b x jeg+b y j+b z k. Lad os finde vektorproduktet af disse vektorer ved at gange dem som polynomier (i henhold til vektorproduktets egenskaber):

Den resulterende formel kan skrives endnu mere kort:

da højre side af lighed (7.1) svarer til udvidelsen af ​​tredjeordens determinant i forhold til elementerne i den første række (7.2) er let at huske.

7.4. Nogle anvendelser af krydsprodukt

Etablering af kollinearitet af vektorer

Find arealet af et parallelogram og en trekant

Ifølge definitionen af ​​vektorproduktet af vektorer EN og b |a xb | =|a | * |b |sin g, dvs. S-par = |a x b |. Og derfor D S =1/2|a x b |.

Bestemmelse af kraftmomentet omkring et punkt

Lad en kraft påføres ved punkt A F =AB Giv slip OM- et eller andet punkt i rummet (se fig. 20).

Det ved man fra fysikken kraftmoment F i forhold til punktet OM kaldet en vektor M, som går gennem punktet OM Og:

1) vinkelret på det plan, der går gennem punkterne O, A, B;

2) numerisk lig med produktet af kraft pr. arm

3) danner en ret tripel med vektorerne OA og A B.

Derfor er M = OA x F.

Finde lineær rotationshastighed

Fart v punkt M af et stift legeme, der roterer med vinkelhastighed w omkring en fast akse, bestemmes af Eulers formel v =w xr, hvor r =OM, hvor O er et eller andet fast punkt på aksen (se fig. 21).

Før vi giver begrebet et vektorprodukt, lad os vende os til spørgsmålet om orienteringen af ​​en ordnet tripel af vektorer a →, b →, c → i tredimensionelt rum.

Til at begynde med, lad os tilsidesætte vektorerne a → , b → , c → fra et punkt. Orienteringen af ​​triplen a → , b → , c → kan være højre eller venstre, afhængigt af retningen af ​​vektoren c → selv. Typen af ​​tripel a → , b → , c → vil blive bestemt ud fra den retning, hvori den korteste drejning foretages fra vektor a → til b → fra enden af ​​vektor c → .

Hvis den korteste drejning udføres mod uret, kaldes trippelen af ​​vektorer a → , b → , c → højre, hvis med uret – venstre.

Tag derefter to ikke-kollineære vektorer a → og b →. Lad os så plotte vektorerne A B → = a → og A C → = b → fra punkt A. Lad os konstruere en vektor A D → = c →, som samtidigt er vinkelret på både A B → og A C →. Når vi konstruerer selve vektoren A D → = c →, kan vi således gøre to ting, hvilket giver den enten én retning eller den modsatte (se illustration).

En ordnet tripel af vektorer a → , b → , c → kan, som vi fandt ud af, være højre eller venstre afhængig af vektorens retning.

Fra ovenstående kan vi introducere definitionen af ​​et vektorprodukt. Denne definition er givet for to vektorer defineret i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum.

Definition 1

Vektorproduktet af to vektorer a → og b → vi vil kalde en sådan vektor defineret i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum, således at:

• hvis vektorerne a → og b → er kollineære, vil den være nul;
• den vil være vinkelret på både vektor a →​​​og vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• dens længde bestemmes af formlen: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• trippelen af ​​vektorer a → , b → , c → har samme orientering som det givne koordinatsystem.

Vektorproduktet af vektorerne a → og b → har følgende notation: a → × b →.

Koordinater for vektorproduktet

Da enhver vektor har bestemte koordinater i koordinatsystemet, kan vi introducere en anden definition af et vektorprodukt, som vil tillade os at finde dens koordinater ved hjælp af de givne koordinater for vektorerne.

Definition 2

I et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum vektorprodukt af to vektorer a → = (a x ; a y ; a z) og b → = (b x ; b y ; b z) kaldes en vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , hvor i → , j → , k → er koordinatvektorer.

Vektorproduktet kan repræsenteres som determinanten af ​​en tredjeordens kvadratisk matrix, hvor den første række indeholder vektorvektorerne i → , j → , k → , den anden række indeholder koordinaterne for vektoren a → , og den tredje række indeholder koordinaterne for vektoren b → i et givet rektangulært koordinatsystem, dette er determinanten af ​​matricen ser sådan ud: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Udvider vi denne determinant til elementerne i den første række, opnår vi ligheden: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = y a y b x b → → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Egenskaber ved et krydsprodukt

Det er kendt, at vektorproduktet i koordinater er repræsenteret som determinanten af ​​matricen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, derefter på basis af egenskaber af matrixdeterminanten følgende vises egenskaber for et vektorprodukt:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b →, hvor λ er et vilkårligt reelt tal.

Disse egenskaber har simple beviser.

Som et eksempel kan vi bevise den antikommutative egenskab af et vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z og b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Og hvis to rækker af matricen byttes om, så bør værdien af ​​matricens determinant ændre sig til det modsatte, derfor a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , hvilket og beviser, at vektorproduktet er antikommutativt.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger

I de fleste tilfælde er der tre typer problemer.

I opgaver af den første type er længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem normalt angivet, og du skal finde længden af ​​vektorproduktet. I dette tilfælde skal du bruge følgende formel c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Eksempel 1

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne a → og b → hvis du kender a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Løsning

Ved at bestemme længden af ​​vektorproduktet af vektorerne a → og b → løser vi dette problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Problemer af den anden type har en forbindelse med vektorernes koordinater, i dem vektorproduktet, dets længde osv. søges gennem de kendte koordinater for givne vektorer a → = (a x; a y; a z) Og b → = (b x ; b y ; b z) .

Til denne type problemer kan du løse en masse opgavemuligheder. For eksempel kan ikke koordinaterne for vektorerne a → og b → specificeres, men deres udvidelser til koordinatvektorer af formen b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → og c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, eller vektorerne a → og b → kan specificeres ved koordinaterne for deres start og slutpunkter.

Overvej følgende eksempler.

Eksempel 2

I et rektangulært koordinatsystem er der givet to vektorer: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Find deres krydsprodukt.

Løsning

Ved den anden definition finder vi vektorproduktet af to vektorer i givne koordinater: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Hvis vi skriver vektorproduktet gennem matricens determinant, så ser løsningen til dette eksempel sådan ud: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Eksempel 3

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne i → - j → og i → + j → + k →, hvor i →, j →, k → er enhedsvektorerne for det rektangulære kartesiske koordinatsystem.

Løsning

Lad os først finde koordinaterne for et givet vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → i et givet rektangulært koordinatsystem.

Det er kendt, at vektorerne i → - j → og i → + j → + k → har henholdsvis koordinater (1; - 1; 0) og (1; 1; 1). Lad os finde længden af ​​vektorproduktet ved hjælp af determinanten af ​​matricen, så har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Derfor har vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det givne koordinatsystem.

Vi finder længden af ​​vektorproduktet ved hjælp af formlen (se afsnittet om at finde længden af ​​en vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Svar: i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

Eksempel 4

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinaterne for tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) givet. Find en vektor vinkelret på A B → og A C → på samme tid.

Løsning

Vektorerne A B → og A C → har følgende koordinater (- 1 ; 2 ; 2) henholdsvis (0 ; 4 ; 1). Efter at have fundet vektorproduktet af vektorerne A B → og A C →, er det indlysende, at det er en vinkelret vektor per definition på både A B → og A C →, det vil sige, at det er en løsning på vores problem. Lad os finde det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . - en af ​​de vinkelrette vektorer.

Problemer af den tredje type er fokuseret på at bruge egenskaberne for vektorproduktet af vektorer. Efter at have ansøgt hvilken, får vi en løsning på det givne problem.

Eksempel 5

Vektorerne a → og b → er vinkelrette og deres længder er henholdsvis 3 og 4. Find længden af ​​vektorproduktet 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Løsning

Ved den fordelende egenskab for et vektorprodukt kan vi skrive 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ved egenskaben associativitet tager vi de numeriske koefficienter ud af tegnet for vektorprodukterne i det sidste udtryk: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorprodukterne a → × a → og b → × b → er lig med 0, da a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 og b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, derefter 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Af vektorproduktets antikommutativitet følger - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Ved hjælp af egenskaberne for vektorproduktet opnår vi ligheden 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Ved betingelse er vektorerne a → og b → vinkelrette, det vil sige, at vinklen mellem dem er lig med π 2. Nu er der kun tilbage at erstatte de fundne værdier i de passende formler: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Svar: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Længden af ​​vektorproduktets vektorprodukt er per definition lig med a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Da det allerede er kendt (fra skoleforløbet), at arealet af en trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af længden af ​​dens to sider ganget med sinus af vinklen mellem disse sider. Følgelig er længden af ​​vektorproduktet lig med arealet af parallelogrammet - en fordoblet trekant, nemlig produktet af siderne i form af vektorerne a → og b →, fastsat fra et punkt, ved sinus af vinklen mellem dem sin ∠ a →, b →.

Dette er den geometriske betydning af vektorproduktet.

Fysisk betydning af vektorproduktet

I mekanik, en af ​​fysikkens grene, kan du takket være vektorproduktet bestemme momentet af en kraft i forhold til et punkt i rummet.

Definition 3

Ved kraftmomentet F → påført punkt B, i forhold til punkt A, vil vi forstå følgende vektorprodukt A B → × F →.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

I denne lektion vil vi se på yderligere to operationer med vektorer: vektorprodukt af vektorer Og blandet produkt af vektorer (øjeblikkeligt link til dem der har brug for det). Det er okay, nogle gange sker det, at for fuldstændig lykke, foruden skalært produkt af vektorer, mere og mere er påkrævet. Dette er vektorafhængighed. Det kan se ud til, at vi er på vej ind i junglen af ​​analytisk geometri. Det er forkert. I dette afsnit af højere matematik er der generelt lidt træ, undtagen måske nok til Pinocchio. Faktisk er materialet meget almindeligt og enkelt – næppe mere kompliceret end det samme skalært produkt, vil der endda være færre typiske opgaver. Det vigtigste i analytisk geometri, som mange vil være overbevist om eller allerede er blevet overbevist om, er IKKE AT LAGE FEJL I BEREGNINGER. Gentag som en besværgelse, og du vil blive glad =)

Hvis vektorer funkler et sted langt væk, som lyn i horisonten, er det lige meget, start med lektionen Vektorer til dummies at genoprette eller generhverve grundlæggende viden om vektorer. Mere forberedte læsere kan selektivt sætte sig ind i informationen. Jeg forsøgte at samle den mest komplette samling af eksempler, som ofte findes i praktisk arbejde

Hvad vil gøre dig glad med det samme? Da jeg var lille, kunne jeg jonglere med to og endda tre bolde. Det lykkedes godt. Nu behøver du slet ikke at jonglere, da vi vil overveje kun rumlige vektorer, og flade vektorer med to koordinater vil blive udeladt. Hvorfor? Sådan blev disse handlinger født - vektoren og det blandede produkt af vektorer er defineret og fungerer i tredimensionelt rum. Det er allerede nemmere!

Denne operation, ligesom det skalære produkt, involverer to vektorer. Lad disse være uforgængelige breve.

Selve handlingen betegnet med på følgende måde:. Der er andre muligheder, men jeg er vant til at betegne vektorproduktet af vektorer på denne måde i firkantede parenteser med et kryds.

Og med det samme spørgsmål: hvis i skalært produkt af vektorer to vektorer er involveret, og her multipliceres også to vektorer, så hvad er forskellen? Den åbenlyse forskel er først og fremmest i RESULTATET:

Resultatet af skalarproduktet af vektorer er ANTAL:

Resultatet af krydsproduktet af vektorer er VEKTOR: , det vil sige, at vi multiplicerer vektorerne og får en vektor igen. Lukket klub. Faktisk er det her navnet på operationen kommer fra. I forskellig undervisningslitteratur kan betegnelser også variere. Jeg vil bruge bogstavet.

Definition af krydsprodukt

Først vil der være en definition med et billede, derefter kommentarer.

Definition: Vektorprodukt ikke-kollineær vektorer, taget i denne rækkefølge, kaldet VECTOR, længde hvilket er numerisk lig med arealet af parallelogrammet, bygget på disse vektorer; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet således, at grundlaget har en rigtig orientering:

Lad os nedbryde definitionen, der er mange interessante ting her!

Så følgende væsentlige punkter kan fremhæves:

1) De oprindelige vektorer, angivet med røde pile, per definition ikke collineær. Det vil være passende at overveje tilfældet med kollineære vektorer lidt senere.

2) Vektorer tages i en nøje defineret rækkefølge: – "a" ganges med "være", ikke "være" med "a". Resultatet af vektormultiplikation er VEKTOR, som er angivet med blåt. Hvis vektorerne ganges i omvendt rækkefølge, får vi en vektor lige lang og modsat i retning (hindbærfarve). Det vil sige, at ligestillingen er sand .

3) Lad os nu stifte bekendtskab med den geometriske betydning af vektorproduktet. Dette er en meget vigtig pointe! LÆNGDEN af den blå vektor (og derfor den crimson vektor) er numerisk lig med OMRÅDET af parallelogrammet bygget på vektorerne. På figuren er dette parallelogram skraveret sort.

Bemærk : tegningen er skematisk, og naturligvis er den nominelle længde af vektorproduktet ikke lig med arealet af parallelogrammet.

Lad os huske en af ​​de geometriske formler: Arealet af et parallelogram er lig med produktet af tilstødende sider og sinus af vinklen mellem dem. Derfor, baseret på ovenstående, er formlen til beregning af LÆNGDEN af et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreger, at formlen handler om vektorens LÆNGDE, og ikke om selve vektoren. Hvad er den praktiske betydning? Og meningen er, at i problemer med analytisk geometri findes arealet af et parallelogram ofte gennem konceptet om et vektorprodukt:

Lad os få den anden vigtige formel. Diagonalen af ​​et parallelogram (rød stiplet linje) deler det i to lige store trekanter. Derfor kan arealet af en trekant bygget på vektorer (rød skygge) findes ved hjælp af formlen:

4) Et lige så vigtigt faktum er, at vektoren er ortogonal på vektorerne, dvs . Selvfølgelig er den modsat rettede vektor (hindbærpil) også ortogonal i forhold til de originale vektorer.

5) Vektoren er rettet således, at basis Det har højre orientering. I lektionen vedr overgang til et nyt grundlag Jeg talte tilstrækkeligt detaljeret om plan orientering, og nu vil vi finde ud af, hvad rumorientering er. Jeg vil forklare på dine fingre højre hånd. Mentalt kombinere pegefinger med vektor og lange finger med vektor. Ringfinger og lillefinger tryk den ind i din håndflade. Som resultat tommelfinger– vektorproduktet vil slå op. Dette er et højreorienteret grundlag (det er denne på figuren). Skift nu vektorerne ( pege- og langfinger) nogle steder vil tommelfingeren som følge heraf dreje rundt, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et højreorienteret grundlag. Du har måske et spørgsmål: hvilket grundlag har forladt orientering? "Tildel" til de samme fingre venstre hånd vektorer, og få venstre basis og venstre orientering af rummet (i dette tilfælde vil tommelfingeren være placeret i retning af den nederste vektor). Billedligt talt "vrider" disse baser eller orienterer rummet i forskellige retninger. Og dette koncept bør ikke betragtes som noget fjernt eller abstrakt - for eksempel ændres rummets orientering af det mest almindelige spejl, og hvis du "trækker det reflekterede objekt ud af skueglasset", så er det i det generelle tilfælde vil ikke være muligt at kombinere det med "originalen". Hold i øvrigt tre fingre op til spejlet og analyser refleksionen ;-)

...hvor godt det er, du nu ved om højre- og venstreorienteret baserer, fordi nogle underviseres udtalelser om en ændring i orientering er skræmmende =)

Krydsprodukt af kollineære vektorer

Definitionen er blevet diskuteret i detaljer, det er tilbage at finde ud af, hvad der sker, når vektorerne er kollineære. Hvis vektorerne er kollineære, så kan de placeres på én lige linje, og vores parallelogram "folder" også til én lige linje. Området for sådanne, som matematikere siger, degenerere parallelogram er lig nul. Det samme følger af formlen - sinus af nul eller 180 grader er lig med nul, hvilket betyder, at arealet er nul

Så hvis, så Og . Vær opmærksom på, at selve vektorproduktet er lig med nulvektoren, men i praksis negligeres dette ofte, og de skrives, at det også er lig nul.

Et specialtilfælde er krydsproduktet af en vektor med sig selv:

Ved hjælp af vektorproduktet kan du tjekke kolineariteten af ​​tredimensionelle vektorer, og vi vil også analysere dette problem bl.a.

For at løse praktiske eksempler kan du have brug for trigonometrisk tabel at finde værdierne af sines fra det.

Nå, lad os tænde bålet:

Eksempel 1

a) Find længden af ​​vektorproduktet af vektorer if

b) Find arealet af et parallelogram bygget på vektorer if

Løsning: Nej, dette er ikke en tastefejl, jeg gjorde bevidst de indledende data i klausulerne til de samme. Fordi designet af løsningerne bliver anderledes!

a) I henhold til tilstanden skal du finde længde vektor (krydsprodukt). Ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Hvis du blev spurgt om længde, så angiver vi i svaret dimensionen - enheder.

b) Ifølge betingelsen, skal du finde firkant parallelogram bygget på vektorer. Arealet af dette parallelogram er numerisk lig med længden af ​​vektorproduktet:

Svar:

Bemærk venligst, at svaret slet ikke taler om vektorproduktet, vi blev spurgt om areal af figuren dimensionen er derfor kvadratiske enheder.

Vi ser altid på HVAD vi skal finde ud fra tilstanden, og ud fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke som bogstavelighed, men der er masser af bogstaver blandt lærerne, og opgaven har en god chance for at blive returneret til revision. Selvom det ikke er en særlig langt ude skænderi - hvis svaret er forkert, så får man det indtryk, at personen ikke forstår simple ting og/eller ikke har forstået essensen af ​​opgaven. Dette punkt skal altid holdes under kontrol, når man løser ethvert problem i højere matematik, og også i andre fag.

Hvor blev det store bogstav "en" af? I princippet kunne det have været supplerende knyttet til løsningen, men for at forkorte indgangen gjorde jeg ikke dette. Jeg håber, at alle forstår det og er en betegnelse for det samme.

Et populært eksempel på en gør-det-selv-løsning:

Eksempel 2

Find arealet af en trekant bygget på vektorer hvis

Formlen til at finde arealet af en trekant gennem vektorproduktet er givet i kommentarerne til definitionen. Løsningen og svaret er i slutningen af ​​lektionen.

I praksis er opgaven virkelig meget almindelig; trekanter kan generelt plage dig.

For at løse andre problemer har vi brug for:

Egenskaber for vektorproduktet af vektorer

Vi har allerede overvejet nogle egenskaber ved vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne liste.

For vilkårlige vektorer og et vilkårligt tal er følgende egenskaber sande:

1) I andre informationskilder er dette punkt normalt ikke fremhævet i egenskaberne, men det er meget vigtigt rent praktisk. Så lad det være.

2) – ejendommen er også omtalt ovenfor, nogle gange kaldes det antikommutativitet. Med andre ord har rækkefølgen af ​​vektorerne betydning.

3) – associativ eller associativ vektor produkt love. Konstanter kan nemt flyttes uden for vektorproduktet. Virkelig, hvad skal de gøre der?

4) – distribution el distributive vektor produkt love. Der er heller ingen problemer med at åbne beslagene.

For at demonstrere, lad os se på et kort eksempel:

Eksempel 3

Find evt

Løsning: Tilstanden kræver igen at finde længden af ​​vektorproduktet. Lad os male vores miniature:

(1) Ifølge associative love tager vi konstanterne uden for vektorproduktets omfang.

(2) Vi flytter konstanten uden for modulet, og modulet "spiser" minustegnet. Længden kan ikke være negativ.

(3) Resten er klart.

Svar:

Det er tid til at tilføje mere træ til bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet af en trekant bygget på vektorer hvis

Løsning: Find arealet af trekanten ved hjælp af formlen . Fangsten er, at vektorerne "tse" og "de" i sig selv præsenteres som summer af vektorer. Algoritmen her er standard og minder en del om eksempel nr. 3 og 4 i lektionen Punktprodukt af vektorer. For klarhedens skyld vil vi opdele løsningen i tre faser:

1) Ved det første trin udtrykker vi vektorproduktet gennem vektorproduktet, faktisk, lad os udtrykke en vektor i form af en vektor. Endnu ikke noget om længder!

(1) Erstat udtryk for vektorer.

(2) Ved hjælp af distributive love åbner vi parenteserne i henhold til reglen om multiplikation af polynomier.

(3) Ved hjælp af associative love flytter vi alle konstanter ud over vektorprodukterne. Med lidt erfaring kan trin 2 og 3 udføres samtidigt.

(4) Det første og sidste led er lig med nul (nul vektor) på grund af den pæne egenskab. I det andet udtryk bruger vi egenskaben af ​​antikommutativitet af et vektorprodukt:

(5) Vi præsenterer lignende udtryk.

Som et resultat viste vektoren sig at blive udtrykt gennem en vektor, hvilket er det, der krævedes for at blive opnået:

2) I andet trin finder vi længden af ​​vektorproduktet, vi skal bruge. Denne handling ligner eksempel 3:

3) Find arealet af den nødvendige trekant:

Trin 2-3 af løsningen kunne have været skrevet på én linje.

Svar:

Det overvejede problem er ret almindeligt i tests, her er et eksempel til at løse det selv:

Eksempel 5

Find evt

En kort løsning og svar i slutningen af ​​lektionen. Lad os se, hvor opmærksom du var, da du studerede de tidligere eksempler ;-)

Krydsprodukt af vektorer i koordinater

Formlen er virkelig enkel: I den øverste linje af determinanten skriver vi koordinatvektorerne, i anden og tredje linje "sætter vi" vektorernes koordinater, og vi sætter i streng rækkefølge– først koordinaterne for "ve"-vektoren, derefter koordinaterne for "double-ve"-vektoren. Hvis vektorerne skal ganges i en anden rækkefølge, skal rækkerne byttes:

Eksempel 10

Tjek om følgende rumvektorer er kollineære:
EN)
b)

Løsning: Kontrollen er baseret på et af udsagn i denne lektion: hvis vektorerne er kollineære, så er deres vektorprodukt lig med nul (nul vektor): .

a) Find vektorproduktet:

Vektorerne er således ikke kollineære.

b) Find vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er måske al den grundlæggende information om vektorproduktet af vektorer.

Dette afsnit vil ikke være særlig stort, da der er få problemer, hvor det blandede produkt af vektorer bruges. Faktisk vil alt afhænge af definitionen, geometrisk betydning og et par arbejdsformler.

Et blandet produkt af vektorer er produktet af tre vektorer:

Så de stillede sig op som et tog og kan ikke vente på at blive identificeret.

Først igen en definition og et billede:

Definition: Blandet arbejde ikke-coplanar vektorer, taget i denne rækkefølge, hedder parallelepipedumsvolumen, bygget på disse vektorer, udstyret med et "+"-tegn, hvis basis er højre, og et "-"-tegn, hvis basis er venstre.

Lad os tegne. Linjer, der er usynlige for os, tegnes med stiplede linjer:

Lad os dykke ned i definitionen:

2) Vektorer tages i en bestemt rækkefølge, det vil sige, at omarrangeringen af ​​vektorer i produktet, som du måske kan gætte, ikke sker uden konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydning, vil jeg bemærke en indlysende kendsgerning: det blandede produkt af vektorer er et TAL: . I undervisningslitteratur kan designet være lidt anderledes. Jeg er vant til at betegne et blandet produkt med , og resultatet af beregninger med bogstavet "pe".

A-priory det blandede produkt er volumenet af parallelepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og sorte streger). Det vil sige, at tallet er lig med volumenet af et givet parallelepipedum.

Bemærk : Tegningen er skematisk.

4) Lad os ikke bekymre os igen om begrebet orientering af grundlaget og rummet. Betydningen af ​​den sidste del er, at der kan tilføjes et minustegn til volumen. Med enkle ord kan et blandet produkt være negativt: .

Direkte fra definitionen følger formlen til beregning af volumen af ​​et parallelepipedum bygget på vektorer.

I denne artikel vil vi se nærmere på begrebet krydsproduktet af to vektorer. Vi vil give de nødvendige definitioner, skrive en formel til at finde koordinaterne for et vektorprodukt, liste og begrunde dets egenskaber. Efter dette vil vi dvæle ved den geometriske betydning af vektorproduktet af to vektorer og overveje løsninger på forskellige typiske eksempler.

Sidenavigation.

Definition af krydsprodukt.

Før vi definerer et vektorprodukt, lad os forstå orienteringen af ​​en ordnet trippel af vektorer i tredimensionelt rum.

Lad os plotte vektorerne fra et punkt. Afhængigt af vektorens retning kan de tre være højre eller venstre. Lad os se fra slutningen af ​​vektoren på, hvordan den korteste drejning fra vektoren til . Hvis den korteste rotation sker mod uret, kaldes trippelen af ​​vektorer højre, Ellers - venstre.

Lad os nu tage to ikke-kollineære vektorer og . Lad os plotte vektorerne og fra punkt A. Lad os konstruere en vektor vinkelret på både og og . Når vi konstruerer en vektor, kan vi naturligvis gøre to ting, og give den enten én retning eller den modsatte (se illustration).

Afhængigt af vektorens retning kan den ordnede triplet af vektorer være højrehåndet eller venstrehåndet.

Dette bringer os tæt på definitionen af ​​et vektorprodukt. Det er givet for to vektorer defineret i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum.

Definition.

Krydsproduktet af to vektorer og , angivet i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum, kaldes en vektor sådan, at

Krydsproduktet af vektorer og er betegnet som .

Koordinater for vektorproduktet.

Nu vil vi give den anden definition af et vektorprodukt, som giver dig mulighed for at finde dets koordinater ud fra koordinaterne for givne vektorer og.

Definition.

I et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum vektorprodukt af to vektorer Og er en vektor , hvor er koordinatvektorerne.

Denne definition giver os krydsproduktet i koordinatform.

Det er praktisk at repræsentere vektorproduktet som determinanten af ​​en tredjeordens kvadratisk matrix, hvor den første række er vektorerne, den anden række indeholder vektorens koordinater, og den tredje indeholder vektorens koordinater i en given rektangulært koordinatsystem:

Hvis vi udvider denne determinant til elementerne i den første række, opnår vi ligheden fra definitionen af ​​vektorproduktet i koordinater (hvis det er nødvendigt, se artiklen):

Det skal bemærkes, at vektorproduktets koordinatform er fuldstændig i overensstemmelse med definitionen givet i første afsnit af denne artikel. Desuden er disse to definitioner af et krydsprodukt ækvivalente. Du kan se beviset for dette faktum i bogen, der er anført i slutningen af ​​artiklen.

Egenskaber for et vektorprodukt.

Da vektorproduktet i koordinater kan repræsenteres som en determinant af matrixen, kan følgende let begrundes ud fra egenskaber ved krydsproduktet:

Lad os som et eksempel bevise den antikommutative egenskab af et vektorprodukt.

A-priory Og . Vi ved, at værdien af ​​determinanten af ​​en matrix er omvendt, hvis to rækker byttes om, derfor, , som beviser den antikommutative egenskab af et vektorprodukt.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger.

Der er hovedsageligt tre typer problemer.

I opgaver af den første type er længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem angivet, og du skal finde længden af ​​vektorproduktet. I dette tilfælde bruges formlen .

Eksempel.

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne og , hvis kendt .

Løsning.

Vi ved fra definitionen, at længden af ​​vektorproduktet af vektorer og er lig med produktet af vektorlængderne og ved sinus af vinklen mellem dem, derfor, .

Svar:

.

Problemer af den anden type er relateret til vektorernes koordinater, hvor vektorproduktet, dets længde eller andet søges gennem koordinaterne for givne vektorer Og .

Der er mange forskellige muligheder her. For eksempel kan ikke vektorernes koordinater og specificeres, men deres udvidelser til koordinatvektorer af formen og , eller vektorer og kan specificeres ved koordinaterne for deres start- og slutpunkter.

Lad os se på typiske eksempler.

Eksempel.

To vektorer er givet i et rektangulært koordinatsystem . Find deres krydsprodukt.

Løsning.

Ifølge den anden definition skrives vektorproduktet af to vektorer i koordinater som:

Vi ville være nået frem til det samme resultat, hvis vektorproduktet var blevet skrevet ud fra determinanten

Svar:

.

Eksempel.

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne og , hvor er enhedsvektorerne for det rektangulære kartesiske koordinatsystem.

Løsning.

Først finder vi vektorproduktets koordinater i et givet rektangulært koordinatsystem.

Da vektorer og henholdsvis har koordinater og (se om nødvendigt artiklens koordinater for en vektor i et rektangulært koordinatsystem), så har vi ved den anden definition af et vektorprodukt

Det vil sige vektorproduktet har koordinater i et givet koordinatsystem.

Vi finder længden af ​​et vektorprodukt som kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dets koordinater (vi fik denne formel for længden af ​​en vektor i afsnittet om at finde længden af ​​en vektor):

Svar:

.

Eksempel.

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinaterne for tre punkter givet. Find en vektor, der er vinkelret og på samme tid.

Løsning.

Vektorer og har henholdsvis koordinater og (se artiklen om at finde koordinaterne for en vektor gennem punkternes koordinater). Hvis vi finder vektorproduktet af vektorerne og , så er det per definition en vektor vinkelret på både til og til , det vil sige, det er en løsning på vores problem. Lad os finde ham

Svar:

- en af ​​de vinkelrette vektorer.

I problemer af den tredje type testes evnen til at bruge egenskaberne af vektorproduktets vektorprodukt. Efter anvendelse af egenskaberne anvendes de tilsvarende formler.

Eksempel.

Vektorerne og er vinkelrette og deres længder er henholdsvis 3 og 4. Find længden på krydsproduktet .

Løsning.

Ved den distributive egenskab af et vektorprodukt kan vi skrive

På grund af kombinationsegenskaben tager vi de numeriske koefficienter ud af tegnet for vektorprodukterne i det sidste udtryk:

Vektoren produkter og er lig med nul, da Og , Derefter .

Da vektorproduktet er antikommutativt, så .

Så ved at bruge egenskaberne for vektorproduktet nåede vi frem til ligheden .

Ved betingelse er vektorerne og vinkelrette, det vil sige, at vinklen mellem dem er lig . Det vil sige, at vi har alle data til at finde den nødvendige længde

Svar:

.

Geometrisk betydning af et vektorprodukt.

Per definition er længden af ​​vektorproduktet af vektorer . Og fra et high school-geometrikursus ved vi, at arealet af en trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af længderne af trekantens to sider og sinus af vinklen mellem dem. Følgelig er længden af ​​vektorproduktet lig med to gange arealet af en trekant, hvis sider er vektorerne og, hvis de er plottet fra et punkt. Med andre ord er længden af ​​vektorproduktet af vektorer lig med arealet af et parallelogram med sider og og vinklen mellem dem lig med . Dette er den geometriske betydning af vektorproduktet.