Sådan finder du roden af ​​et stort tal. Hvordan finder man kvadratroden? Egenskaber, Rooting Eksempler

Udtrække en rod fra et stort tal. Kære venner!I denne artikel vil vi vise dig, hvordan du tager roden af ​​et stort tal uden en lommeregner. Dette er nødvendigt ikke kun for at løse visse typer BRUG-problemer (der er sådanne problemer med bevægelse), men det er også ønskeligt at kende denne analytiske teknik til generel matematisk udvikling.

Det ser ud til, at alt er enkelt: faktoriser og udtræk. Der er ikke noget problem. For eksempel vil tallet 291600, når det udvides, give produktet:

Vi beregner:

Der er et MEN! Metoden er god, hvis divisor 2, 3, 4 og så videre let kan bestemmes. Men hvad nu hvis tallet, som vi uddrager roden fra, er et produkt af primtal? For eksempel er 152881 produktet af tallene 17, 17, 23, 23. Prøv at finde disse divisorer med det samme.

Essensen af ​​den metode, vi overvejer- dette er ren analyse. Roden med den akkumulerede færdighed findes hurtigt. Hvis færdigheden ikke er bearbejdet, men tilgangen simpelthen forstås, så er den lidt langsommere, men stadig bestemt.

Lad os tage roden til 190969.

Lad os først bestemme mellem hvilke tal (multipler af hundrede) vores resultat ligger.

Det er klart, at resultatet af roden af ​​et givet tal ligger i området fra 400 til 500, fordi

4002 =160000 og 5002 =250000

Virkelig:

i midten, tættere på 160.000 eller 250.000?

Tallet 190969 er et sted i midten, men stadig tættere på 160000. Vi kan konkludere, at resultatet af vores rod vil være mindre end 450. Lad os tjekke:

Faktisk er det mindre end 450, siden 190.969< 202 500.

Lad os nu tjekke tallet 440:

Så vores resultat er mindre end 440, siden 190 969 < 193 600.

Tjek nummeret 430:

Vi har fastslået, at resultatet af denne rod ligger i området fra 430 til 440.

Produktet af tal, der ender på 1 eller 9, giver et tal, der ender på 1. For eksempel er 21 gange 21 lig med 441.

Produktet af tal, der ender på 2 eller 8, giver et tal, der ender på 4. For eksempel er 18 gange 18 lig med 324.

Produktet af tal, der ender på 5, giver et tal, der ender på 5. For eksempel er 25 gange 25 lig med 625.

Produktet af tal, der ender på 4 eller 6, giver et tal, der ender på 6. For eksempel er 26 gange 26 lig med 676.

Produktet af tal, der ender på 3 eller 7, giver et tal, der ender på 9. For eksempel er 17 gange 17 lig med 289.

Da tallet 190969 slutter med tallet 9, er dette produkt enten 433 eller 437.

*Kun de, i kvadrat, kan give 9 til sidst.

Vi tjekker:

Så resultatet af roden vil være 437.

Det vil sige, at vi lidt "følte" det rigtige svar.

Som du kan se, er det maksimale, der kræves, at udføre 5 handlinger i en kolonne. Måske vil du straks komme til sagen, eller du vil kun udføre tre handlinger. Det hele afhænger af, hvor præcist du laver det første skøn over antallet.

Udpak din egen rod fra 148996

En sådan diskriminant opnås i problemet:

Motorskibet passerer langs floden til destinationen 336 km og vender efter parkering tilbage til udgangspunktet. Find skibets hastighed i stille vand, hvis strømmens hastighed er 5 km/t, varer parkeringen 10 timer, og skibet vender tilbage til udgangspunktet 48 timer efter at have forladt det. Giv dit svar i km/t.

Se løsning

Resultatet af roden er mellem tallene 300 og 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Faktisk 90000<148996<160000.

Essensen af ​​yderligere ræsonnement er at bestemme, hvordan nummeret 148996 er placeret (distanceret) i forhold til disse tal.

Beregn forskellene 148996 - 90000=58996 og 160000 - 148996=11004.

Det viser sig, at 148996 er tæt på (meget tættere) på 160000. Derfor vil resultatet af roden helt sikkert være større end 350 og endda 360.

Vi kan konkludere, at vores resultat er større end 370. Yderligere er det klart: Da 148996 slutter med tallet 6, betyder det, at du skal kvadrere tallet, der ender på enten 4 eller 6. *Kun disse tal, når de er i anden, giver efter slutning 6.

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller om siden i sociale netværk.

I forordet til sin første udgave, In the Realm of Opfindsomheden (1908), skriver E. I. Ignatiev: Resultaterne er kun pålidelige, når introduktionen til feltet matematisk viden er lavet på en let og behagelig måde, på genstande og eksempler på hverdags- og hverdagssituationer, udvalgt med passende vid og morskab.

I forordet til 1911-udgaven af ​​"Hukommelsens rolle i matematikken" siger E.I. Ignatiev skriver "... i matematik skal man huske ikke formler, men tænkeprocessen."

For at udtrække kvadratroden er der tabeller med kvadrater for tocifrede tal, du kan dekomponere tallet i primfaktorer og udtrække kvadratroden fra produktet. Tabellen med kvadrater er ikke nok, at udtrække roden ved factoring er en tidskrævende opgave, som heller ikke altid fører til det ønskede resultat. Prøv at udtrække kvadratroden af ​​tallet 209764? Nedbrydning i primfaktorer giver produktet 2 * 2 * 52441. Ved forsøg og fejl, udvælgelse - dette kan selvfølgelig gøres, hvis du er sikker på, at dette er et heltal. Den måde, jeg vil foreslå, giver dig mulighed for at tage kvadratroden under alle omstændigheder.

En gang på instituttet (Perm Statens Pædagogiske Institut) blev vi introduceret til denne metode, som jeg nu vil tale om. Jeg har aldrig tænkt over, om denne metode har et bevis, så nu måtte jeg selv udlede nogle beviser.

Grundlaget for denne metode er sammensætningen af ​​tallet =.

=&, dvs. &2=596334.

1. Opdel nummeret (5963364) i par fra højre mod venstre (5`96`33`64)

2. Vi udtrækker kvadratroden af ​​den første gruppe til venstre ( - nummer 2). Så vi får det første ciffer i tallet &.

3. Find kvadratet af det første ciffer (2 2 \u003d 4).

4. Find forskellen mellem den første gruppe og kvadratet på det første ciffer (5-4=1).

5. Vi river de næste to cifre ned (vi fik tallet 196).

6. Vi fordobler det første tal, vi fandt, skriver det ned til venstre bag stregen (2*2=4).

7. Nu skal du finde det andet ciffer i tallet &: det fordoblede første ciffer, som vi fandt, bliver cifferet af tallets tiere, når ganget med antallet af enheder, skal du få et tal mindre end 196 ( dette er tallet 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 er det andet ciffer i &.

8. Find forskellen (196-176=20).

9. Vi river den næste gruppe ned (vi får tallet 2033).

10. Fordoble tallet 24, vi får 48.

11,48 tiere i et tal, når ganget med antallet af enheder, skulle vi få et tal mindre end 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Cifferet for enheder fundet af os (4) er det tredje ciffer i tallet &.

Beviset er givet af mig for sagerne:

1. Udtræk af kvadratroden af ​​et trecifret tal;

2. Udtræk kvadratroden af ​​et firecifret tal.

Tilnærmede metoder til at udtrække kvadratroden (uden at bruge en lommeregner).

1. De gamle babyloniere brugte følgende metode til at finde den omtrentlige værdi af kvadratroden af ​​deres x-tal. De repræsenterede tallet x som en sum a 2 + b, hvor a 2 er tættest på x det nøjagtige kvadrat af det naturlige tal a (a 2 ? x), og brugte formlen . (1)

Ved hjælp af formel (1) udtrækker vi kvadratroden, for eksempel fra tallet 28:

Resultatet af at udtrække roden af ​​28 ved hjælp af MK 5.2915026.

Som du kan se, giver den babylonske metode en god tilnærmelse til den nøjagtige værdi af roden.

2. Isaac Newton udviklede en kvadratrodsmetode, der går tilbage til Heron af Alexandria (ca. 100 e.Kr.). Denne metode (kendt som Newtons metode) er som følger.

Lad ske en 1- den første tilnærmelse af et tal (som et 1 kan du tage værdierne af kvadratroden af ​​et naturligt tal - et nøjagtigt kvadrat, der ikke overstiger X) .

Den næste, mere nøjagtige tilnærmelse en 2 tal fundet af formlen .

Fakta 1.
\(\bullet\) Tag et ikke-negativt tal \(a\) (dvs. \(a\geqslant 0\) ). Derefter (aritmetik) kvadrat rod fra tallet \(a\) kaldes et sådant ikke-negativt tal \(b\), når vi kvadrerer det får vi tallet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samme som )\quad a=b^2\] Det følger af definitionen, at \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Disse restriktioner er en vigtig betingelse for eksistensen af ​​en kvadratrod og bør huskes!
Husk på, at ethvert tal, når det kvadreres, giver et ikke-negativt resultat. Det vil sige \(100^2=10000\geqslant 0\) og \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Hvad er \(\sqrt(25)\)? Vi ved, at \(5^2=25\) og \((-5)^2=25\) . Da vi per definition skal finde et ikke-negativt tal, er \(-5\) ikke egnet, derfor \(\sqrt(25)=5\) (da \(25=5^2\) ).
At finde værdien \(\sqrt a\) kaldes at tage kvadratroden af ​​tallet \(a\) , og tallet \(a\) kaldes rodudtrykket.
\(\bullet\) Ud fra definitionen vil udtrykkene \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) osv. giver ikke mening.

Fakta 2.
For hurtige beregninger vil det være nyttigt at lære tabellen med kvadrater af naturlige tal fra \(1\) til \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Hvad kan man gøre med kvadratrødder?
\(\kugle\) Summen eller forskellen af ​​kvadratrødder er IKKE lig med kvadratroden af ​​summen eller forskellen, dvs. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Skal du således beregne f.eks. \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , så skal du i første omgang finde værdierne \(\sqrt(25)\) og \(\sqrt (49)\ ) og læg dem derefter sammen. Følgelig, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Hvis værdierne\(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) ikke kan findes ved tilføjelse af \(\sqrt a+\sqrt b\), så konverteres et sådant udtryk ikke yderligere og forbliver som det er. For eksempel kan vi i summen \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) finde \(\sqrt(49)\) - dette er \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan ikke være konverteret på nogen måde, det er derfor \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Yderligere kan dette udtryk desværre ikke forenkles på nogen måde.\(\bullet\) Produktet/kvotienten af ​​kvadratrødder er lig med kvadratroden af ​​produktet/kvotienten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (forudsat at begge dele af ligestillingen giver mening)
Eksempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Ved at bruge disse egenskaber er det praktisk at finde kvadratrødderne af store tal ved at faktorisere dem.
Overvej et eksempel. Find \(\sqrt(44100)\) . Siden \(44100:100=441\) , derefter \(44100=100\cdot 441\) . Ifølge kriteriet for delelighed er tallet \(441\) deleligt med \(9\) (da summen af ​​dets cifre er 9 og er deleligt med 9), derfor \(441:9=49\) , det vil sige \(441=9\ cdot 49\) .
Således fik vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Lad os se på et andet eksempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Lad os vise, hvordan man indtaster tal under kvadratrodstegnet ved at bruge eksemplet med udtrykket \(5\sqrt2\) (forkortelse for udtrykket \(5\cdot \sqrt2\) ). Siden \(5=\sqrt(25)\) , så \ Bemærk også, at f.eks.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Hvorfor det? Lad os forklare med eksempel 1). Som du allerede har forstået, kan vi på en eller anden måde ikke konvertere tallet \(\sqrt2\) . Forestil dig, at \(\sqrt2\) er et tal \(a\) . Derfor er udtrykket \(\sqrt2+3\sqrt2\) intet andet end \(a+3a\) (et tal \(a\) plus tre mere af de samme tal \(a\) ). Og vi ved, at dette er lig med fire sådanne tal \(a\) , det vil sige \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Det siges ofte "kan ikke udtrække roden", når det ikke er muligt at slippe af med tegnet \(\sqrt () \ \) for roden (radikal), når man finder værdien af ​​et tal. For eksempel kan du rode tallet \(16\) fordi \(16=4^2\) , så \(\sqrt(16)=4\) . Men at udtrække roden fra tallet \(3\) , det vil sige at finde \(\sqrt3\) , er det umuligt, fordi der ikke er et sådant tal, som kvadreret vil give \(3\) .
Sådanne tal (eller udtryk med sådanne tal) er irrationelle. For eksempel tal \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. er irrationelle.
Også irrationelle er tallene \(\pi\) (tallet "pi", omtrent lig med \(3,14\) ), \(e\) (dette tal kaldes Euler-tallet, omtrent lig med \(2) ,7\) ) osv.
\(\bullet\) Bemærk venligst, at ethvert tal vil være enten rationelt eller irrationelt. Og sammen danner alle rationelle og alle irrationelle tal en mængde kaldet sæt af reelle (reelle) tal. Dette sæt er angivet med bogstavet \(\mathbb(R)\) .
Det betyder, at alle de tal, vi kender i øjeblikket, kaldes reelle tal.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus af et reelt tal \(a\) er et ikke-negativt tal \(|a|\) lig med afstanden fra punktet \(a\) til \(0\) på det reelle tal linje. For eksempel er \(|3|\) og \(|-3|\) lig med 3, da afstandene fra punkterne \(3\) og \(-3\) til \(0\) er samme og lig med \(3 \) .
\(\bullet\) Hvis \(a\) er et ikke-negativt tal, så \(|a|=a\) .
Eksempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Hvis \(a\) er et negativt tal, så \(|a|=-a\) .
Eksempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De siger, at for negative tal "spiser" modulet minus, og positive tal, såvel som tallet \(0\) , forlader modulet uændret.
MEN denne regel gælder kun for tal. Hvis du har en ukendt \(x\) (eller en anden ukendt) under modultegnet, f.eks. \(|x|\) , som vi ikke ved, om den er positiv, lig med nul eller negativ, så slippe af med modulet vi ikke kan. I dette tilfælde forbliver dette udtryk således: \(|x|\) . \(\bullet\) Følgende formler holder: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \tekst(medfølger) a\geqslant 0\] Følgende fejl begås ofte: de siger, at \(\sqrt(a^2)\) og \((\sqrt a)^2\) er det samme. Dette er kun sandt, når \(a\) er et positivt tal eller nul. Men hvis \(a\) er et negativt tal, så er dette ikke sandt. Det er tilstrækkeligt at overveje et sådant eksempel. Lad os tage tallet \(-1\) i stedet for \(a\). Så eksisterer \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men udtrykket \((\sqrt (-1))^2\) slet ikke (fordi det er umuligt under rodtegnet sæt negative tal ind!).
Derfor gør vi opmærksom på, at \(\sqrt(a^2)\) ikke er lig med \((\sqrt a)^2\) ! Eksempel: 1) \(\sqrt(\venstre(-\sqrt2\højre)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), fordi \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Siden \(\sqrt(a^2)=|a|\) , derefter \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (udtrykket \(2n\) angiver et lige tal)
Det vil sige, at når man trækker roden ud af et tal, der er i en eller anden grad, halveres denne grad.
Eksempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (bemærk, at hvis modulet ikke er indstillet, så viser det sig, at roden af ​​tallet er lig med \(-25 \) ; men vi husker , hvilket, pr. definition af roden, dette ikke kan være: når vi uddrager roden, skal vi altid få et positivt tal eller nul)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (da ethvert tal i lige potens er ikke-negativt)

Fakta 6.
Hvordan sammenligner man to kvadratrødder?
\(\bullet\) Sand for kvadratrødder: hvis \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aEksempel:
1) sammenlign \(\sqrt(50)\) og \(6\sqrt2\) . Først transformerer vi det andet udtryk til \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Således, siden \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellem hvilke heltal er \(\sqrt(50)\) ?
Siden \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) og \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Sammenlign \(\sqrt 2-1\) og \(0,5\) . Antag \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((tilføj én til begge sider))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((firkantet begge dele))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser, at vi har opnået en forkert ulighed. Derfor var vores antagelse forkert og \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Bemærk, at tilføjelse af et bestemt tal til begge sider af uligheden ikke påvirker dets fortegn. At gange/dividere begge dele af uligheden med et positivt tal påvirker heller ikke dets fortegn, men multiplikation/dividering med et negativt tal vender ulighedens fortegn!
Begge sider af en ligning/ulighed kan KUN kvadreres, HVIS begge sider er ikke-negative. For eksempel, i uligheden fra det forrige eksempel, kan du firkante begge sider, i uligheden \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Bemærk at \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\] At kende den omtrentlige betydning af disse tal vil hjælpe dig, når du sammenligner tal! \(\bullet\) For at udtrække roden (hvis den er udtrukket) fra et eller andet stort tal, der ikke er i kvadrattabellen, skal du først bestemme mellem hvilke "hundrede" den er, derefter mellem hvilke "tiere", og bestem derefter det sidste ciffer i dette nummer. Lad os vise, hvordan det fungerer med et eksempel.
Tag \(\sqrt(28224)\) . Vi ved, at \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) og så videre. Bemærk, at \(28224\) er mellem \(10\,000\) og \(40\,000\) . Derfor er \(\sqrt(28224)\) mellem \(100\) og \(200\) .
Lad os nu bestemme, mellem hvilke "tiere" vores tal er (det vil sige for eksempel mellem \(120\) og \(130\) ). Vi ved også fra tabellen med kvadrater, at \(11^2=121\) , \(12^2=144\) osv., derefter \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \) ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Så vi ser, at \(28224\) er mellem \(160^2\) og \(170^2\) . Derfor er tallet \(\sqrt(28224)\) mellem \(160\) og \(170\) .
Lad os prøve at bestemme det sidste ciffer. Lad os huske, hvilke encifrede tal, når vi kvadrerer, giver i slutningen \ (4 \) ? Disse er \(2^2\) og \(8^2\) . Derfor vil \(\sqrt(28224)\) ende på enten 2 eller 8. Lad os tjekke dette. Find \(162^2\) og \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Derfor \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

For tilstrækkeligt at løse eksamen i matematik er det først og fremmest nødvendigt at studere det teoretiske materiale, som introducerer adskillige sætninger, formler, algoritmer osv. Ved første øjekast kan det se ud til, at dette er ret simpelt. Men at finde en kilde, hvor teorien til Unified State Examination i matematik er præsenteret på en let og forståelig måde for elever på et hvilket som helst niveau af forberedelse, er faktisk en ret vanskelig opgave. Skolebøger kan ikke altid holdes ved hånden. Og at finde de grundlæggende formler til eksamen i matematik kan være svært selv på internettet.

Hvorfor er det så vigtigt at læse teori i matematik, ikke kun for dem, der går til eksamen?

1. Fordi det udvider din horisont. Studiet af teoretisk materiale i matematik er nyttigt for alle, der ønsker at få svar på en lang række spørgsmål relateret til viden om verden. Alt i naturen er ordnet og har en klar logik. Det er netop det, der afspejles i videnskaben, hvorigennem det er muligt at forstå verden.
2. Fordi det udvikler intellektet. Ved at studere referencematerialer til eksamen i matematik, såvel som at løse forskellige problemer, lærer en person at tænke og ræsonnere logisk, at formulere tanker korrekt og klart. Han udvikler evnen til at analysere, generalisere, drage konklusioner.

Vi inviterer dig til personligt at vurdere alle fordelene ved vores tilgang til systematisering og præsentation af undervisningsmateriale.

Instruktion

Vælg et radikalt tal en sådan faktor, hvis fjernelse fra under rod gyldigt udtryk - ellers vil operationen miste . For eksempel hvis under skiltet rod med en eksponent lig med tre (kuberod) er værd nummer 128, så kan der under skiltet tages ud f.eks. nummer 5. Samtidig roden nummer 128 skal divideres med 5 terninger: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Hvis tilstedeværelsen af ​​et brøktal under tegnet rod ikke modsiger betingelserne for problemet, er det muligt i denne form. Hvis du har brug for en enklere mulighed, så bryd først det radikale udtryk op i sådanne heltalsfaktorer, hvoraf den ene kubus rod vil være et heltal nummer m. For eksempel: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Brug til at vælge faktorerne for rodtallet, hvis det ikke er muligt at beregne graden af ​​tallet i dit sind. Dette gælder især for rod m med en eksponent større end to. Hvis du har adgang til internettet, så kan du lave beregninger ved hjælp af lommeregnere indbygget i Google og Nigma søgemaskiner. For eksempel hvis du skal finde den største heltalsfaktor, der kan tages ud af kubikkens fortegn rod for nummeret 250, gå derefter til Google-webstedet og indtast forespørgslen "6 ^ 3" for at kontrollere, om det er muligt at tage ud under skiltet rod seks. Søgemaskinen vil vise et resultat svarende til 216. Desværre, 250 kan ikke divideres uden en rest med dette nummer. Indtast derefter forespørgslen 5^3. Resultatet bliver 125, og dette giver dig mulighed for at opdele 250 i faktorer på 125 og 2, hvilket betyder at tage det ud af tegnet rod nummer 5 går derfra nummer 2.

Kilder:

• hvordan man tager det ud under roden
• Kvadratroden af ​​produktet

Tag ud fra undersiden rod en af ​​faktorerne er nødvendig i situationer, hvor du skal simplificere et matematisk udtryk. Der er tilfælde, hvor det er umuligt at udføre de nødvendige beregninger ved hjælp af en lommeregner. For eksempel hvis bogstaver i variabler bruges i stedet for tal.

Instruktion

Nedbryd det radikale udtryk i simple faktorer. Se hvilken af ​​faktorerne, der gentages det samme antal gange, angivet i indikatorerne rod, eller mere. For eksempel skal du tage roden af ​​tallet a til fjerde potens. I dette tilfælde kan tallet repræsenteres som a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikator rod i dette tilfælde vil svare til faktor a3. Det skal tages ud af skiltet.

Udtræk roden af ​​de resulterende radikaler separat, hvor det er muligt. udvinding rod er den algebraiske operation invers til eksponentiering. udvinding rod en vilkårlig potens fra et tal, find et tal, der, når det hæves til denne vilkårlige potens, vil resultere i et givet tal. Hvis udvinding rod ikke kan fremstilles, lad det radikale udtryk stå under tegnet rod sådan som det er. Som et resultat af ovenstående handlinger, vil du foretage en fjernelse fra under skilt rod.

Lignende videoer

Bemærk

Vær forsigtig, når du skriver det radikale udtryk som faktorer - en fejl på dette stadium vil føre til forkerte resultater.

Nyttige råd

Når du udvinder rødder, er det praktisk at bruge specielle tabeller eller tabeller med logaritmiske rødder - dette vil betydeligt reducere tiden til at finde den rigtige løsning.

Kilder:

• rodudvindingsskilt i 2019

Forenkling af algebraiske udtryk er påkrævet i mange områder af matematik, herunder løsning af ligninger af højere grader, differentiering og integration. Dette bruger flere metoder, herunder faktorisering. For at anvende denne metode skal du finde og udtage en fælles faktor bag parenteser.

Instruktion

At tage ud af den fælles faktor for parenteser- en af ​​de mest almindelige nedbrydningsmetoder. Denne teknik bruges til at forenkle strukturen af ​​lange algebraiske udtryk, dvs. polynomier. Det generelle kan være et tal, monomial eller binomial, og for at finde det bruges den fordelende egenskab multiplikation.

Tal. Se nøje på koefficienterne for hvert polynomium for at se, om de kan divideres med det samme tal. For eksempel i udtrykket 12 z³ + 16 z² - 4 er det åbenlyse faktor 4. Efter konverteringen får du 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Med andre ord er dette tal den mindste fælles heltalsdivisor af alle koefficienter.

Mononom. Bestem, om den samme variabel er i hver af termerne i polynomiet. Lad os antage, at dette er tilfældet, se nu på koefficienterne, som i det foregående tilfælde. Eksempel: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Hvert element i dette polynomium indeholder variablen z. Derudover er alle koefficienter multipla af 3. Derfor vil den fælles faktor være den monomiale 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomial.For parenteser generel faktor af to , en variabel og et tal, som er et generelt polynomium. Derfor, hvis faktor-binomial er ikke indlysende, så skal du finde mindst én rod. Fremhæv polynomiets frie led, dette er koefficienten uden en variabel. Anvend nu substitutionsmetoden på det fælles udtryk for alle heltalsdelere i det frie led.

Overvej: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Tjek om nogen af ​​heltalsdivisorerne på 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Find z1 ved simpel substitution = 1 og z2 = 2, altså parenteser binomialerne (z - 1) og (z - 2) kan tages ud. For at finde det resterende udtryk, brug sekventiel opdeling i en kolonne.