Funktion y sin x kuvaaja. Funktiokaaviot

>>Matematiikka: Funktiot y = sin x, y = cos x, niiden ominaisuudet ja graafit

Funktiot y = sin x, y = cos x, niiden ominaisuudet ja graafit

Tässä osiossa käsittelemme joitain funktioiden y = sin x, y = cos x ominaisuuksia ja muodostamme niiden graafit.

1. Funktio y = sin X.

Yllä, § 20, muotoilimme säännön, jonka mukaan jokainen luku t voidaan liittää cos t -numeroon, ts. karakterisoitu funktio y = sin t. Huomioikaa joitakin sen ominaisuuksia.

Funktion u = sin t ominaisuudet.

Määritelmäalue on reaalilukujen joukko K.
Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että mikä tahansa luku 2 vastaa numeroympyrän pistettä M(1), jolla on hyvin määritelty ordinaatta; tämä ordinaatta on cos t.

u = sin t on pariton funktio.

Tämä johtuu siitä, että kuten 19 §:ssä on todistettu, kaikille tasa-arvo
Tämä tarkoittaa, että funktion u = sin t kuvaaja, kuten minkä tahansa parittoman funktion kuvaaja, on symmetrinen origon suhteen suorakulmaisessa koordinaatistossa tOi.

Funktio u = sin t kasvaa välissä
Tämä johtuu siitä, että kun piste liikkuu numeroympyrän ensimmäistä neljännestä pitkin, ordinaatta kasvaa vähitellen (0:sta 1:een - katso kuva 115), ja kun piste liikkuu numeroympyrän toista neljännestä pitkin, ordinaatta pienenee asteittain (1:stä 0:aan - katso kuva 116).

Funktio u = sint on rajoitettu sekä ala- että yläpuolelle. Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että kuten 19 §:ssä näimme, eriarvoisuus pätee mihin tahansa t

(funktio saavuttaa tämän arvon missä tahansa lomakkeen kohdassa (funktio saavuttaa tämän arvon missä tahansa lomakkeen kohdassa
Saatujen ominaisuuksien avulla rakennamme kuvaajan meitä kiinnostavasta funktiosta. Mutta (huo Tämä tarkoittaa, että rakennamme graafin tavallisessa xOy-koordinaatistossa (eikä tOy).

Tehdään taulukko funktion y - sin x arvoista:

Kommentti.

Annetaan yksi versio termin "sini" alkuperästä. Latinaksi sinus tarkoittaa taivutusta (jousimerkkiä).

Muodostettu graafi oikeuttaa jossain määrin tämän terminologian.

Suoraa, joka toimii funktion y = sin x kuvaajana, kutsutaan siniaalloksi. Se osa sinusoidista, joka on esitetty kuvassa. 118 tai 119 kutsutaan siniaaltoksi, ja sitä siniaallon osaa, joka on esitetty kuvassa. 117, kutsutaan puoliaaltoksi tai siniaallon kaareksi.

2. Funktio y = cos x.

Funktion y = cos x tutkimus voitaisiin suorittaa suunnilleen saman kaavan mukaan, jota käytettiin edellä funktiolle y = sin x. Mutta valitsemme polun, joka johtaa tavoitteeseen nopeammin. Ensin todistamme kaksi kaavaa, jotka ovat sinänsä tärkeitä (näet tämän lukiossa), mutta joilla on toistaiseksi vain apumerkitys tarkoituksiinmme.

Seuraavat yhtäläisyydet ovat voimassa mille tahansa t:n arvolle:

Todiste. Vastaa luku t numeerisen ympyrän n pistettä M ja luku * + - pistettä P (kuva 124; yksinkertaisuuden vuoksi otimme pisteen M ensimmäisellä neljänneksellä). Kaaret AM ja BP ovat yhtä suuret ja suorakulmaiset kolmiot OKM ja OLBP ovat vastaavasti yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että O K = Ob, MK = Pb. Näistä yhtälöistä ja kolmioiden OCM ja OBP sijainnista koordinaattijärjestelmässä teemme kaksi johtopäätöstä:

1) pisteen P ordinaatin absoluuttinen arvo ja etumerkki ovat samat pisteen M abskissan kanssa; se tarkoittaa sitä

2) pisteen P abskissa on absoluuttisesti sama kuin pisteen M ordinaatta, mutta eroaa siitä etumerkillä; se tarkoittaa sitä

Suunnilleen sama päättely tehdään tapauksissa, joissa piste M ei kuulu ensimmäiseen neljännekseen.
Käytetään kaavaa (tämä on yllä todistettu kaava, mutta muuttujan t sijasta käytämme muuttujaa x). Mitä tämä kaava antaa meille? Sen avulla voimme väittää, että toiminnot

ovat identtisiä, mikä tarkoittaa, että niiden kaaviot ovat samat.
Piirretään funktio Tätä varten siirrytään apukoordinaatistoon, jonka origo on pisteessä (katkoviiva on piirretty kuvassa 125). Sidotaan funktio y = sin x uuteen koordinaattijärjestelmään - tämä on funktion kaavio (Kuva 125), so. funktion y - cos x kuvaaja. Sitä, kuten funktion y = sin x kuvaajaa, kutsutaan siniaaltoksi (mikä on melko luonnollista).

Funktion y = cos x ominaisuudet.

y = cos x on parillinen funktio.

Rakennusvaiheet on esitetty kuvassa. 126:

1) rakentaa kuvaaja funktiosta y = cos x (tarkemmin yksi puoliaalto);
2) venyttämällä konstruoitua kuvaajaa x-akselilta kertoimella 0,5, saadaan yksi puoliaalto tarvittavasta graafista;
3) muodostamme tuloksena olevan puoliaallon avulla funktion y = 0,5 cos x koko graafin.

Toimintoy = syntix

Funktion kuvaaja on sinimuotoinen.

Siniaallon täydellistä ei-toistuvaa osaa kutsutaan siniaaltoksi.

Puolisiniaaltoa kutsutaan puolisiniaalloksi (tai kaareksi).

Toiminnan ominaisuudety = syntix:

Funktion kuvaaja y= synti x On kätevää käyttää seuraavia vaakoja:

Paperiarkilla, jossa on neliö, otamme kahden neliön pituuden segmentin yksikkönä.

akselilla x Mittaataan pituus π. Samaan aikaan mukavuuden vuoksi esittelemme 3.14:n muodossa 3 - eli ilman murto-osaa. Sitten paperiarkilla solussa π on 6 solua (kolme kertaa 2 solua). Ja jokainen solu saa oman luonnollisen nimensä (ensimmäisestä kuudenteen): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Nämä ovat merkityksiä x.

Y-akselilla merkitään 1, joka sisältää kaksi solua.

Luodaan funktioarvojen taulukko arvojemme avulla x:

Seuraavaksi teemme aikataulun. Tuloksena on puoliaalto, jonka korkein piste on (π/2; 1). Tämä on funktion kaavio y= synti x segmentillä. Lisätään muodostettuun graafiin symmetrinen puoliaalto (symmetrinen origon suhteen eli segmentillä -π). Tämän puoliaallon harja on x-akselin alla koordinaattein (-1; -1). Tuloksena on aalto. Tämä on funktion kaavio y= synti x segmentillä [-π; π].

Voit jatkaa aaltoa rakentamalla sen segmentille [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] jne. Kaikissa näissä segmenteissä funktion kaavio näyttää samalta kuin segmentillä [-π; π]. Saat jatkuvan aaltoviivan identtisillä aalloilla.

Toimintoy = cosx.

Funktion kuvaaja on siniaalto (kutsutaan joskus kosiniaaltoksi).

Toiminnan ominaisuudety = cosx:

Toimintoy = mf(x).

Otetaan edellinen funktio y=cos x. Kuten jo tiedät, sen kaavio on siniaalto. Jos kerromme tämän funktion kosinin tietyllä luvulla m, niin aalto laajenee akselilta x(tai kutistuu m:n arvosta riippuen).
Tämä uusi aalto on funktion y = mf(x) kuvaaja, missä m on mikä tahansa reaaliluku.

Siten funktio y = mf(x) on tuttu funktio y = f(x) kerrottuna m:llä.

Josm< 1, то синусоида сжимается к оси x kertoimen mukaanm. Josm > 1, silloin sinimuotoa venytetään akseliltax kertoimen mukaanm.

Kun suoritat venytystä tai puristamista, voit ensin piirtää vain yhden siniaallon puoliaallon ja täydentää sitten koko kaavion.

Toimintoy = f(kx).

Jos toiminto y =mf(x) johtaa sinusoidin venymiseen akselilta x tai puristus akselia kohti x, niin funktio y = f(kx) johtaa venytykseen akselilta y tai puristus akselia kohti y.

Lisäksi k on mikä tahansa reaaliluku.

Klo 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y kertoimen mukaank. Josk > 1, silloin sinusoidi puristuu akselia kohtiy kertoimen mukaank.

Kun piirrät tämän funktion kuvaajaa, voit ensin rakentaa yhden siniaallon puoliaallon ja käyttää sitä sitten koko kaavion täydentämiseen.

Toimintoy = tgx.

Funktiokaavio y= tg x on tangentti.

Riittää, että rakennat osan graafista välillä 0 - π/2, jonka jälkeen sitä voidaan jatkaa symmetrisesti välillä 0 - 3π/2.

Toiminnan ominaisuudety = tgx:

Toimintoy = ctgx

Funktiokaavio y=ctg x on myös tangentoidi (sitä kutsutaan joskus kotangentoidiksi).

Toiminnan ominaisuudety = ctgx:

Takaisin eteenpäin

Huomio! Diojen esikatselut ovat vain tiedoksi, eivätkä ne välttämättä edusta kaikkia esityksen ominaisuuksia. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Rauta ruostuu löytämättä käyttöä,
seisova vesi mätänee tai jäätyy kylmässä,
ja ihmismieli, joka ei löydä itselleen käyttöä, kuivuu.
Leonardo da Vinci

Käytetyt tekniikat: ongelmalähtöinen oppiminen, kriittinen ajattelu, viestintä.

Tavoitteet:

• Kognitiivisen kiinnostuksen kehittyminen oppimista kohtaan.
• Funktion y = sin x ominaisuuksien tutkiminen.
• Käytännön taitojen muodostaminen funktion y = sin x graafin muodostamisessa tutkitun teoreettisen aineiston perusteella.

Tehtävät:

1. Käytä olemassa olevaa tiedon potentiaalia funktion y = sin x ominaisuuksista tietyissä tilanteissa.

2. Käytä tietoista yhteyksien muodostamista funktion y = sin x analyyttisten ja geometristen mallien välillä.

Kehitä aloitteellisuutta, tiettyä halukkuutta ja kiinnostusta ratkaisun löytämiseen; kyky tehdä päätöksiä, olla pysähtymättä tähän ja puolustaa näkemystäsi.

Edistää opiskelijoiden kognitiivista toimintaa, vastuuntuntoa, toistensa kunnioittamista, keskinäistä ymmärrystä, keskinäistä tukea ja itseluottamusta; viestintäkulttuuria.

Tuntien aikana

Vaihe 1. Perustietojen päivittäminen, uuden materiaalin motivointi

"Oppitunnille siirtyminen."

Taululle on kirjoitettu 3 lausuntoa:

1. Trigonometrisellä yhtälöllä sin t = a on aina ratkaisuja.
2. Parittoman funktion kuvaaja voidaan muodostaa Oy-akselin ympäri tapahtuvalla symmetriamuunnolla.
3. Trigonometrinen funktio voidaan piirtää käyttämällä yhtä pääpuoliaaltoa.

Oppilaat keskustelevat pareittain: pitävätkö väitteet paikkansa? (1 minuutti). Alkukeskustelun tulokset (kyllä, ei) syötetään sitten "Ennen" -sarakkeen taulukkoon.

Opettaja asettaa oppitunnin tavoitteet ja tavoitteet.

2. Tietojen päivittäminen (edestä trigonometrisen ympyrän mallilla).

Olemme jo tutustuneet funktioon s = sin t.

1) Mitä arvoja muuttuja t voi saada. Mikä on tämän toiminnon laajuus?

2) Millä välillä lausekkeen sin t arvot ovat? Etsi funktion s = sin t suurin ja pienin arvo.

3) Ratkaise yhtälö sin t = 0.

4) Mitä tapahtuu pisteen ordinaatalle, kun se liikkuu ensimmäisellä neljänneksellä? (ordinaatta kasvaa). Mitä tapahtuu pisteen ordinaatalle, kun se liikkuu toisella neljänneksellä? (ordinaatta pienenee vähitellen). Miten tämä liittyy funktion monotonisuuteen? (funktio s = sin t kasvaa segmentissä ja pienenee segmentissä ).

5) Kirjoitetaan funktio s = sin t meille tutussa muodossa y = sin x (rakennamme sen tavalliseen xOy-koordinaatistoon) ja laaditaan taulukko tämän funktion arvoista.

Vaihe 2. Havainto, ymmärtäminen, ensisijainen lujittaminen, tahaton muistaminen

Vaihe 4. Tiedon ja toimintatapojen ensisijainen systematisointi, niiden siirtäminen ja soveltaminen uusissa tilanteissa

6. Nro 10.18 (b,c)

Vaihe 5. Lopputarkastus, korjaus, arviointi ja itsearviointi

7. Palataan väitteisiin (oppitunnin alku), keskustellaan trigonometrisen funktion y = sin x ominaisuuksien käytöstä ja täytetään taulukon sarake "Jälkeen".

8. D/z: lauseke 10, 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu sisään siihen: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

Funktiot y = sin x ja y = cos x ja niiden graafit (liite esitys oppitunnille) KORPUSOVA TATYANA SERGEEVNA matematiikan opettaja MBOU LSOSH nro 2 nimetty. N.F.Struchenkova Brjanskin alue.

MÄÄRITELMÄ Kaavoilla y = sin x ja y = cos x määriteltyjä numeerisia funktioita kutsutaan siniksi ja kosiniksi. 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Funktio y=sin x, kuvaaja ja ominaisuudet. 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Siniaalto 1 - π/2 π 2 π 3 π x -3 π/2 - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin(x+a) ESIMERKKI y 1 -1 π 2 π - π 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = sin x + a 1) y = sin x + 1; y 1 x - π 0 π 2 π x -1 x 2) y = sin x - 1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Piirtokaaviot y=sin(x+m)+l y 1 - π 0 π 2 π 3 π x -1 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Funktio y = cos x, sen ominaisuudet ja graafi. 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

y = cos x y 1 - π/2 π 2 π 3 π x - π 0 π/2 3 π/2 5 π/2 -1 Funktion y= cos x kuvaaja saatiin siirtämällä sinimuotoa vasemmalle π/2 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Piirustuskaaviot y = cos (x+m)+l 1)y =- cos x; y 2 y x 0 x -1 2)y= cos (x- π/4)+2 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Piirtokaaviot y=k · sin x y 2,5 1 x -1 -2,5 10.11.2013 KORPUSOVA T.S.

Trigonometristen funktioiden jakson löytäminen Jos y=f(x) on jaksollinen ja sillä on pienin positiivinen jakso T₁, niin funktio y=A· f(kx+b), jossa A, k ja b ovat vakioita ja k ≠ 0 , on myös jaksollinen jaksolla Esimerkkejä: 11/10/2013 KORPUSOVA T.S. 1) y = sin 6 x +2, Т₁ = 2 π T₁ = 2 π

Jaksollisten funktioiden piirtokaaviot 10.11.2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 1 y x 1 1 1)T= 4 2)T= 4 Kun funktio y= f(x) . Muodosta sen kaavio, jos jakso tunnetaan. y x 1 1 3) T= 3

Piirrä funktion kaavio: y=2cos(2x- π/3)-0.5 ja etsi funktion määritelmäalue ja arvoalue 10.11.2013 KORPUSOVA T.S. y x 1 -1 π - π 2 π -2 π T= π

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Funktion y=sin(x). Määritelmät ja ominaisuudet"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi! Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Manuaalit ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa luokalle 10 alkaen 1C
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiiviset rakennustehtävät luokille 7-10
Ohjelmistoympäristö "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mitä opiskelemme:

• Funktion Y=sin(X) ominaisuudet.
• Funktiokaavio.
• Kuinka rakentaa kaavio ja sen mittakaava.
• Esimerkkejä.

Sinin ominaisuudet. Y=sin(X)

Kaverit, olemme jo tutustuneet numeerisen argumentin trigonometrisiin funktioihin. Muistatko ne?

Katsotaanpa tarkemmin funktiota Y=sin(X)

Kirjataan ylös joitain tämän funktion ominaisuuksia:
1) Määritelmäalue on reaalilukujen joukko.
2) Funktio on pariton. Muistakaamme parittoman funktion määritelmä. Funktiota kutsutaan parittomaksi, jos yhtälö pätee: y(-x)=-y(x). Kuten muistamme haamukaavoista: sin(-x)=-sin(x). Määritelmä täyttyy, mikä tarkoittaa, että Y=sin(X) on pariton funktio.
3) Funktio Y=sin(X) kasvaa janalla ja pienenee segmentillä [π/2; π]. Kun siirrymme ensimmäisellä neljänneksellä (vastapäivään), ordinaatta kasvaa, ja kun siirrymme toisen neljänneksen läpi, se pienenee.

4) Funktiota Y=sin(X) rajoitetaan alhaalta ja ylhäältä. Tämä ominaisuus seuraa siitä tosiasiasta, että
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funktion pienin arvo on -1 (pisteessä x = - π/2+ πk). Funktion suurin arvo on 1 (pisteessä x = π/2+ πk).

Ominaisuuksilla 1-5 piirretään funktio Y=sin(X). Rakennamme kaaviomme peräkkäin ominaisuuksiemme perusteella. Aloitetaan kaavion rakentaminen segmentistä.

Erityistä huomiota tulee kiinnittää mittakaavaan. Ordinaatta-akselilla on kätevämpää ottaa yksikkösegmentti, joka on yhtä suuri kuin 2 solua, ja abskissa-akselilla on kätevämpi ottaa yksikkösegmentti (kaksi solua), joka on yhtä suuri kuin π/3 (katso kuva).

Sinifunktion x piirtäminen, y=sin(x)

Lasketaan funktion arvot segmentillemme:

Rakennetaan kaavio käyttämällä pisteitämme ottaen huomioon kolmas ominaisuus.

Muunnostaulukko haamukaavoille

Käytetään toista ominaisuutta, joka sanoo, että funktiomme on pariton, mikä tarkoittaa, että se voidaan heijastaa symmetrisesti origon suhteen:

Tiedämme, että sin(x+ 2π) = sin(x). Tämä tarkoittaa, että aikavälillä [- π; π] kuvaaja näyttää samalta kuin segmentillä [π; 3π] tai tai [-3π; - π] ja niin edelleen. Meidän tarvitsee vain piirtää edellisen kuvan kaavio huolellisesti koko x-akselia pitkin.

Funktion Y=sin(X) kuvaajaa kutsutaan sinimuotoiseksi.

Kirjoitetaan vielä muutama ominaisuus muodostetun kaavion mukaan:
6) Funktio Y=sin(X) kasvaa missä tahansa segmentissä muodossa: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k on kokonaisluku ja pienenee missä tahansa muodon segmentissä: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – kokonaisluku.
7) Funktio Y=sin(X) on jatkuva funktio. Katsotaan funktion kuvaajaa ja varmistetaan, että funktiossamme ei ole katkoksia, tämä tarkoittaa jatkuvuutta.
8) Arvoalue: segmentti [- 1; 1]. Tämä näkyy selvästi myös funktion kaaviosta.
9) Funktio Y=sin(X) - jaksollinen funktio. Katsotaanpa kuvaajaa uudelleen ja nähdään, että funktio ottaa samat arvot tietyin väliajoin.

Esimerkkejä sinin ongelmista

1. Ratkaise yhtälö sin(x)= x-π

Ratkaisu: Tehdään funktiosta 2 kuvaajaa: y=sin(x) ja y=x-π (katso kuva).
Kaaviomme leikkaavat yhdessä pisteessä A(π;0), tämä on vastaus: x = π

2. Piirrä funktio y=sin(π/6+x)-1

Ratkaisu: Haluttu kuvaaja saadaan siirtämällä funktion y=sin(x) kuvaajaa π/6 yksikköä vasemmalle ja 1 yksikkö alaspäin.

Ratkaisu: Piirretään funktio ja tarkastellaan segmenttiämme [π/2; 5π/4].
Funktion kaavio osoittaa, että suurimmat ja pienimmät arvot saavutetaan segmentin päissä, pisteissä π/2 ja 5π/4, vastaavasti.
Vastaus: sin(π/2) = 1 – suurin arvo, sin(5π/4) = pienin arvo.

Siniongelmat itsenäiseen ratkaisuun

• Ratkaise yhtälö: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Piirrä funktio y=sin(π/3+x)-2
• Piirrä funktio y=sin(-2π/3+x)+1
• Etsi janan funktion y=sin(x) suurin ja pienin arvo
• Etsi funktion y=sin(x) suurin ja pienin arvo väliltä [- π/3; 5π/6]