Logaritmisten yhtälöiden määrittely. Logaritmisten yhtälöiden ratkaisu - viimeinen oppitunti

Olemme kaikki perehtyneet yhtälöihin perusasteikoista. Siellä opimme myös ratkaisemaan yksinkertaisimmat esimerkit, ja meidän on myönnettävä, että ne löytävät sovelluksensa myös korkeammassa matematiikassa. Yhtälöiden avulla kaikki on yksinkertaista, myös neliön muotoiset. Jos sinulla on ongelmia tämän teeman kanssa, suosittelemme, että toistat sen uudelleen.

Olet todennäköisesti jo läpäissyt logaritmit. Pidämme kuitenkin tärkeänä kertoa, mitä se on niille, jotka eivät vielä tiedä. Logaritmi rinnastetaan määrään, johon pohja on nostettava, jotta luku saadaan logaritmimerkin oikealle puolelle. Annetaan esimerkki, jonka perusteella kaikki tulee sinulle selväksi.

Jos korotat 3 neljänteen asteeseen, saat 81. Korvaa nyt numerot analogisesti, ja ymmärrät vihdoin, miten logaritmit ratkaistaan. Nyt on vain yhdistettävä kaksi käsiteltyä käsitettä. Aluksi tilanne tuntuu erittäin vaikealta, mutta tarkemmin tarkasteltuna paino laskeutuu paikoilleen. Olemme varmoja, että tämän lyhyen artikkelin jälkeen sinulla ei ole ongelmia tässä kokeen osassa.

Nykyään on olemassa monia tapoja ratkaista tällaisia ​​rakenteita. Kerromme sinulle yksinkertaisimmista, tehokkaimmista ja soveltuvimmista USE-tehtävistä. Logaritmisten yhtälöiden ratkaisu on aloitettava yksinkertaisimmalla esimerkillä. Yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt koostuvat funktiosta ja siinä olevasta yhdestä muuttujasta.

On tärkeää huomata, että x on argumentin sisällä. A: n ja b: n on oltava numeroita. Tässä tapauksessa voit yksinkertaisesti ilmaista funktion luvuina tehoksi. Se näyttää tältä.

Tietenkin logaritmisen yhtälön ratkaiseminen tällä tavalla johtaa sinut oikeaan vastaukseen. Suurimman osan opiskelijoiden ongelmana tässä tapauksessa on, että he eivät ymmärrä mitä ja mistä se tulee. Tämän seurauksena sinun täytyy sietää virheitä eikä saada toivottuja pisteitä. Loukkaavin virhe on, jos sekoitat kirjaimet paikoin. Yhtälön ratkaisemiseksi tällä tavoin sinun on muistettava tämä tavallinen koulukaava, koska sitä on vaikea ymmärtää.

Helpottamiseksi voit turvautua toiseen menetelmään - kanoniseen muotoon. Idea on hyvin yksinkertainen. Kiinnitä huomiota ongelmaan uudelleen. Muista, että a-kirjain on numero, ei funktio tai muuttuja. A ei ole yhtä suuri tai suurempi kuin nolla. B: lle ei ole rajoituksia. Nyt muistan yhden kaikista kaavoista. B voidaan ilmaista seuraavasti.

Tästä seuraa, että kaikki alkuperäiset logaritmiset yhtälöt voidaan esittää seuraavasti:

Voimme nyt pudottaa logaritmit. Tuloksena on yksinkertainen rakenne, jonka näimme aiemmin.

Tämän kaavan mukavuus on siinä, että sitä voidaan käyttää monissa tapauksissa, eikä vain yksinkertaisimpiin malleihin.

Älä huoli OOF: sta!

Monet kokeneet matemaatikot huomaavat, ettemme ole kiinnittäneet huomiota määritelmäalueeseen. Sääntö supistuu siihen tosiasiaan, että F (x) on välttämättä suurempi kuin 0. Ei, emme jättäneet väliin tätä hetkeä. Nyt puhumme kanonisen muodon toisesta vakavasta edusta.

Tarpeettomia juuria ei synny täällä. Jos muuttuja näkyy vain yhdessä paikassa, laajuutta ei tarvita. Se toimii automaattisesti. Harkitse tämän väitteen vahvistamista muutaman yksinkertaisen esimerkin avulla.

Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt eri perusteilla

Nämä ovat jo monimutkaisia ​​logaritmisia yhtälöitä, ja lähestymistavan niiden ratkaisuun tulisi olla erityinen. Se osoittautuu harvoin rajoittuvan pahamaineiseen kanoniseen muotoon. Aloitetaan yksityiskohtainen tarinamme. Meillä on seuraava muotoilu.

Kiinnitä huomiota murto-osaan. Se sisältää logaritmin. Jos näet tämän tehtävässä, kannattaa muistaa yksi mielenkiintoinen temppu.

Mitä se tarkoittaa? Jokainen logaritmi voidaan esittää kahden logaritmin osamääränä kätevällä pohjalla. Ja tällä kaavalla on erityistapaus, joka soveltuu tähän esimerkkiin (eli jos c = b).

Tämä on täsmälleen murto-osa, jonka näemme esimerkissämme. Tällä tavalla.

Itse asiassa he käänsivät osan yli ja saivat helpomman ilmaisun. Muista tämä algoritmi!

Nyt on välttämätöntä, että logaritminen yhtälö ei sisältänyt erilaisia ​​emäksiä. Kuvitellaan pohja murtolukuna.

Matematiikassa on sääntö, jonka perusteella voit ottaa tutkinnon perusta. Seuraava rakenne osoittautuu.

Näyttää siltä, ​​mikä estää nyt muuttamasta ilmaisumme kanoniseksi muodoksi ja ratkaisemaan sen alkeellisella tavalla? Ei niin yksinkertaista. Logaritmin edessä ei saa olla murto-osia. Korjaamme tämän tilanteen! Jae annetaan suorittaa asteina.

Vastaavasti.

Jos emäkset ovat samat, voimme poistaa logaritmit ja yhtälöidä lausekkeet itse. Joten tilanteesta tulee paljon helpompaa kuin se oli. Siellä on perusyhtälö, jonka jokainen meistä pystyi ratkaisemaan 8. tai jopa 7. luokassa. Voit tehdä laskelmat itse.

Saimme tämän logaritmisen yhtälön ainoan todellisen juuren. Esimerkkejä logaritmisen yhtälön ratkaisemisesta ovat melko yksinkertaisia, eikö olekin? Nyt pystyt itsenäisesti selvittämään vaikeimmatkin tentin valmistelun ja läpäisemisen tehtävät.

Mikä on rivi?

Kaikkien logaritmisten yhtälöiden tapauksessa lähdemme yhdestä erittäin tärkeästä säännöstä. On tarpeen toimia siten, että ilmaisu saadaan mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Tässä tapauksessa sinulla on enemmän mahdollisuuksia paitsi ratkaista tehtävä oikein, myös tehdä siitä mahdollisimman yksinkertainen ja looginen. Näin matemaatikot tekevät aina.

Suosittelemme vahvasti etsimään vaikeita polkuja, etenkin tässä tapauksessa. Muista muutama yksinkertainen sääntö, jonka avulla voit muuttaa minkä tahansa lausekkeen. Tuo esimerkiksi kaksi tai kolme logaritmia yhteen tukikohtaan tai johda aste asteikosta ja voita sillä.

On myös syytä muistaa, että sinun on jatkuvasti harjoiteltava logaritmisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Vähitellen siirryt yhä monimutkaisempiin malleihin, ja tämä johtaa sinut ratkaisemaan itsenäisesti kaikki ongelman vaihtoehdot tentissä. Valmistaudu tentteihisi hyvissä ajoin, ja onnea!

Tänään opitaan ratkaisemaan yksinkertaisimmat logaritmiset yhtälöt, joissa alustavia muunnoksia ja juurien valintaa ei tarvita. Mutta jos opit ratkaisemaan tällaiset yhtälöt, se on paljon helpompaa.

Yksinkertaisin logaritminen yhtälö on muodon log yhtälö a f (x) = b, jossa a, b ovat lukuja (a> 0, a ≠ 1), f (x) on jokin funktio.

Kaikkien logaritmisten yhtälöiden erottava piirre on muuttujan x läsnäolo logaritmin merkin alla. Jos tällainen yhtälö annetaan tehtävässä alun perin, sitä kutsutaan yksinkertaisimmaksi. Kaikki muut logaritmiset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpaan tapaan erikoistransformaatioita (katso "Logaritmien perusominaisuudet"). On kuitenkin otettava huomioon lukuisat hienovaraisuudet: tarpeettomia juuria voi syntyä, joten monimutkaisia ​​logaritmisia yhtälöitä tarkastellaan erikseen.

Kuinka ratkaista tällaiset yhtälöt? Riittää, että korvataan yhtäläisyysmerkin oikealla puolella oleva numero logaritmilla samalla pohjalla kuin vasemmalla. Sitten voit päästä eroon logaritmin merkistä. Saamme:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = kirjaa a a b ⇒ f (x) = a b

Saimme tavallisen yhtälön. Sen juuret ovat alkuperäisen yhtälön juuret.

Asteiden ottaminen

Usein logaritmiset yhtälöt, jotka näyttävät ulospäin monimutkaisilta ja uhkaavilta, ratkaistaan ​​vain parilla rivillä ilman monimutkaisia ​​kaavoja. Tänään tarkastelemme juuri sellaisia ​​ongelmia, joissa sinulta vaaditaan vain supistamaan kaava huolellisesti kanoniseen muotoon äläkä sekaannu, kun etsit logaritmien määrittelyaluetta.

Tänään, kuten olet luultavasti jo arvannut nimestä, ratkaistaan ​​logaritmiset yhtälöt kaavan avulla siirtymiseen kaavoilla. Tämän videotunnin tärkein "temppu" on tutkintojen käyttö tai pikemminkin tutkinnon johtaminen perustasta ja argumentista. Katsotaanpa sääntöä:

Vastaavasti voit ottaa tutkinnon pohjasta:

Kuten näette, jos poistamme asteen logaritmin argumentista, meillä on yksinkertaisesti ylimääräinen kerroin edessä, niin kun poistamme astetta alustasta, se ei ole vain kerroin, vaan käänteinen kerroin. Tämä on muistettava.

Lopuksi hauska osa. Nämä kaavat voidaan yhdistää, niin saamme:

Tietysti näitä siirtymiä suoritettaessa on tiettyjä karhoja, jotka liittyvät määritelmäalueen mahdolliseen laajentamiseen tai päinvastoin määritelmäalueen kapenemiseen. Tuomari itse:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Jos ensimmäisessä tapauksessa x voi olla mikä tahansa muu numero kuin 0, toisin sanoen vaatimus x ≠ 0, niin toisessa tapauksessa tyydytämme vain x: llä, jotka eivät ole vain yhtä suuria, mutta ovat ehdottomasti suurempia kuin 0, koska logaritmin määrittelyalue on se, että argumentti on ehdottomasti suurempi kuin 0. Sallikaa minun siis muistuttaa sinua upeasta kaavasta algebran kurssilta luokissa 8-9:

Eli meidän on kirjoitettava kaava seuraavasti:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 | x |

Tällöin määritelmäalueen kapenemista ei tapahdu.

Tämän päivän opetusohjelmassa ei kuitenkaan ole neliöitä. Jos tarkastelet tehtäviämme, näet vain juuret. Siksi emme sovella tätä sääntöä, mutta se on silti pidettävä mielessä, jotta oikeaan aikaan, kun logaritmin argumentissa tai perustassa näkyy neliöfunktio, muistat tämän säännön ja suoritat kaikki muunnokset oikein.

Joten ensimmäinen yhtälö:

Tämän ongelman ratkaisemiseksi ehdotan, että tarkastellaan kaikkia kaavassa esiintyviä termejä huolellisesti.

Kirjoitetaan ensimmäinen termi voimaksi järkevällä eksponentilla:

Tarkastellaan toista termiä: log 3 (1 - x). Sinun ei tarvitse tehdä mitään täällä, kaikki on jo muutosta.

Lopuksi 0, 5. Kuten sanoin edellisissä oppitunneissa, logaritmisia yhtälöitä ja kaavoja ratkaistessani suosittelen lämpimästi vaihtamista desimaaliosista tavallisiin. Tehdään tämä:

0,5 = 5/10 = 1/2

Kirjoitetaan uudestaan ​​alkuperäinen kaava ottaen huomioon saadut ehdot:

log 3 (1 - x) = 1

Siirrytään nyt kanoniseen muotoon:

log 3 (1 - x) = log 3 3

Pääset eroon logaritmin merkistä tasaamalla argumentit:

1 - x = 3

−x = 2

x = −2

Siinä se, olemme ratkaisseet yhtälön. Toistetaan kuitenkin silti turvallisesti ja löydetään määritelmäalue. Voit tehdä tämän palaamalla alkuperäiseen kaavaan ja katso:

1 - x> 0

−x> −1

x< 1

Juuremme x = −2 täyttää tämän vaatimuksen; siksi x = −2 on ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön. Nyt olemme saaneet tiukan selkeän perustelun. Siinä se, ongelma on ratkaistu.

Siirrytään toiseen tehtävään:

Käsittelemme kutakin termiä erikseen.

Kirjoitamme ensimmäisen:

Olemme muuttaneet ensimmäisen termin. Työskentelemme toisen termin kanssa:

Lopuksi viimeinen tasa -merkin oikealla puolella oleva termi:

Korvataan saadut lausekkeet termien sijaan tuloksena olevassa kaavassa:

log 3 x = 1

Siirrytään kanoniseen muotoon:

log 3 x = log 3 3

Pääset eroon logaritmin merkistä, tasaamalla argumentit, ja saamme:

x = 3

Toistetaan jälleen kerran turvallisesti, palataan alkuperäiseen yhtälöön ja katsotaan. Alkuperäisessä kaavassa muuttuja x esiintyy vain argumentissa, joten

x> 0

Toisessa logaritmissa x on juuren alla, mutta taas argumentissa juuren on siis oltava suurempi kuin 0, ts. Radikaalin lausekkeen on oltava suurempi kuin 0. Katso juuremme x = 3. Ilmeisesti se täyttää tämän vaatimuksen. Siksi x = 3 on ratkaisu alkuperäiseen logaritmiseen yhtälöön. Siinä se, ongelma on ratkaistu.

Tämän päivän opetusohjelmassa on kaksi avainkohtaa:

1) älä pelkää muuttaa logaritmeja ja erityisesti, älä pelkää ottaa asteita pois logaritmin merkistä, samalla kun muistat peruskaavamme: kun poistat asteen argumentista, se yksinkertaisesti otetaan pois muuttumattomana tekijänä, ja kun aste poistetaan pohjasta, tämä aste muuttuu päinvastaiseksi.

2) toinen kohta liittyy itse kanoniseen muotoon. Suoritimme siirtymisen kanoniseen muotoon logaritmisen yhtälön kaavan muutoksen aivan lopussa. Haluan muistuttaa seuraavaa kaavaa:

a = log b b a

Tietysti ilmaisulla "mikä tahansa numero b" tarkoitan sellaisia ​​lukuja, jotka täyttävät logaritmin perusteella asetetut vaatimukset, ts.

1 ≠ b> 0

Tällaiselle b: lle ja koska tiedämme jo perustan, tämä vaatimus täyttyy automaattisesti. Mutta tällaiselle b: lle - kaikille, jotka täyttävät tämän vaatimuksen - tämä siirtymä voidaan suorittaa, ja saamme kanonisen muodon, jossa voimme päästä eroon logaritmin merkistä.

Laajentaminen ja tarpeettomat juuret

Logaritmisten yhtälöiden muuntamisprosessissa määritelmän alueen implisiittinen laajentuminen voi tapahtua. Usein opiskelijat eivät edes huomaa tätä, mikä johtaa virheisiin ja vääriin vastauksiin.

Aloitetaan yksinkertaisimmista malleista. Yksinkertaisin logaritminen yhtälö on seuraava:

log a f (x) = b

Huomaa, että x on vain yhden logaritmin yhdessä argumentissa. Kuinka voimme ratkaista tällaiset yhtälöt? Käytämme kanonista muotoa. Tätä varten edustamme lukua b = log a a b, ja yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

log a f (x) = kirjaa a a b

Tätä merkintää kutsutaan kanoniseksi muodoksi. Hänen on vähennettävä logaritmista yhtälöä, jonka löydät paitsi tämän päivän oppitunnista myös itsenäisestä ja kontrollityöstä.

Kuinka päästä kanoniseen muotoon, mitä tekniikoita käyttää, on jo käytännön asia. Tärkeintä on ymmärtää, että heti kun saat tällaisen tietueen, voit olettaa, että ongelma on ratkaistu. Koska seuraava vaihe on kirjoittaa:

f (x) = a b

Toisin sanoen pääsemme eroon logaritmin merkistä ja vain yhtälöimme argumentit.

Miksi kaikki tämä keskustelu? Tosiasia on, että kanoninen muoto soveltuu paitsi yksinkertaisimpiin ongelmiin myös muihin. Erityisesti niille, jotka ratkaisemme tänään. Katsotaan.

Ensimmäinen tehtävä:

Mikä on tämän yhtälön ongelma? Se, että funktio on kahdessa logaritmissa kerralla. Ongelma voidaan vähentää yksinkertaisimmaksi yksinkertaisesti vähentämällä yksi logaritmi toisesta. Mutta määritelmän laajuudessa on ongelmia: ylimääräisiä juuria voi ilmetä. Joten siirretään vain yksi logaritmeista oikealle:

Tällainen ennätys on jo paljon enemmän kuin kanoninen muoto. Mutta on vielä yksi vivahde: ​​kanonisessa muodossa argumenttien on oltava samat. Ja meillä on perus 3 logaritmi vasemmalla ja pohja 1/3 oikealla. Tietää, sinun on saatettava nämä syyt samaan numeroon. Muistetaan esimerkiksi, mitkä negatiiviset voimat ovat:

Ja sitten käytämme kertoimen "-1" siirtoa lokin ulkopuolelle tekijänä:

Huomaa: pohjassa seisova aste kääntyy ja muuttuu murto-osaksi. Saimme melkein kanonisen merkinnän, eroon eri perusteista, mutta vastineeksi saimme tekijän "-1" oikealla. Lisätään tämä tekijä argumenttiin muuttamalla se voimaksi:

Tietysti, saatuaan kanonisen muodon, ylitämme rohkeasti logaritmin merkin ja tasaamme argumentit. Samalla haluan muistuttaa teitä siitä, että kun se nostetaan tehoon “−1”, murto yksinkertaisesti käännetään - suhde saadaan.

Käytetään suhteiden pääominaisuutta ja kerrotaan se ristiin:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

Annettu asteen yhtälö on edessämme, joten ratkaisemme sen Vietan kaavojen avulla:

(x - 8) (x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Siinä kaikki. Luuletko yhtälön olevan ratkaistu? Ei! Tällaisesta ratkaisusta saamme 0 pistettä, koska alkuperäinen yhtälö sisältää kaksi logaritmia muuttujan x kanssa kerralla. Siksi on otettava huomioon soveltamisala.

Ja tässä hauskuus alkaa. Useimmat opiskelijat ovat hämmentyneitä: mikä on logaritmin toimialue? Tietysti kaikkien argumenttien (meillä on kaksi) on oltava suurempia kuin nolla:

(x - 4) / (3x - 4)> 0

(x - 5) / (2x - 1)> 0

Jokainen näistä eriarvoisuuksista on ratkaistava, merkittävä suoralla viivalla, ylitettävä - ja vasta sitten katsottava, mitkä juuret ovat risteyksessä.

Ollakseni rehellinen: tällä tekniikalla on oikeus olemassaoloon, se on luotettava ja saat oikean vastauksen, mutta siinä on liikaa tarpeettomia toimia. Joten käydään läpi ratkaisumme uudelleen ja katsotaan: missä haluat tarkalleen soveltaa laajuutta? Toisin sanoen, sinun on ymmärrettävä selvästi, milloin ylimääräiset juuret syntyvät.

1. Aluksi meillä oli kaksi logaritmia. Sitten siirrimme yhden heistä oikealle, mutta tämä ei vaikuttanut määritelmäalueeseen.
2. Sitten poistamme asteen pohjasta, mutta logaritmeja on edelleen kaksi, ja kukin niistä sisältää muuttujan x.
3. Lopuksi ylitämme log-merkit ja saamme klassisen murto-rationaalisen yhtälön.

Määritelmän toimialue laajenee viimeisessä vaiheessa! Heti kun olemme siirtyneet murtolukuiseen rationaaliseen yhtälöön, päästäkseen eroon lokimerkkeistä, muuttujan x vaatimukset muuttuvat dramaattisesti!

Siksi määritelmäaluetta ei voida pitää ratkaisun alussa, vaan vain mainitussa vaiheessa - ennen kuin argumentit rinnastetaan suoraan.

Tässä on mahdollisuus optimointiin. Toisaalta vaaditaan, että molemmat argumentit ovat suurempia kuin nolla. Toisaalta yhdistämme nämä argumentit edelleen. Siksi, jos ainakin yksi heistä on positiivinen, niin myös toinen on positiivinen!

Joten käy ilmi, että vaatia kahden eriarvoisuuden täyttämistä kerralla on ylimielisyyttä. Riittää, että tarkastellaan vain yhtä näistä murto-osista. Kumpi? Se, joka on helpompaa. Käsittelemme esimerkiksi oikeaa murto-osaa:

(x - 5) / (2x - 1)> 0

Tämä on tyypillinen murto-rationaalinen epätasa-arvo, ratkaisemme sen intervallien menetelmällä:

Kuinka sijoittaa merkkejä? Otetaan luku, joka on selvästi suurempi kuin kaikki juuremme. Esimerkiksi miljardi. Ja korvaa sen murto-osa. Saamme positiivisen luvun, ts. Juuren x = 5 oikealla puolella on plus-merkki.

Sitten merkit vuorottelevat, koska tasaisen moninaisuuden juuria ei ole missään. Olemme kiinnostuneita väleistä, joissa toiminto on positiivinen. Siksi x ∈ (−∞; −1/2) ∪ (5; + ∞).

Muistetaan nyt vastaukset: x = 8 ja x = 2. Tarkkaan ottaen nämä eivät ole vielä vastauksia, vaan vain ehdokkaita vastauksille. Mikä kuuluu määritettyyn joukkoon? Tietysti x = 8. Mutta x = 2 ei sovi meille määritelmän alueella.

Ensimmäisen logaritmisen yhtälön kokonaisvastaus on x = 8. Nyt olemme saaneet pätevän, hyvin perustellun ratkaisun, jossa otetaan huomioon määrittelyalue.

Siirrytään toiseen yhtälöön:

log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3

Haluan muistuttaa, että jos yhtälössä on desimaalimurtoluku, sinun pitäisi päästä eroon siitä. Toisin sanoen kirjoitetaan 0,5 uudelleen säännöllisenä murto-osana. Huomaamme heti, että tämän perustan sisältävä logaritmi on helposti laskettavissa:

Tämä on erittäin tärkeä hetki! Kun meillä on astetta pohjassa ja argumentissa, voimme tuoda esiin näiden asteiden indikaattorit kaavalla:

Palaa alkuperäiseen logaritmiseen yhtälöön ja kirjoita se uudelleen:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Saimme rakenteen, joka on melko lähellä kanonista muotoa. Olemme kuitenkin hämmentyneitä termeistä ja miinusmerkistä tasa-arvon oikealla puolella. Ajatelkaamme yhtä perus 5-logaritmina:

log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)

Vähennä logaritmit oikealta (kun niiden argumentit ovat jaettavissa):

log 5 (x - 9) = log 5 5 / (x - 5)

Täydellisesti. Joten saimme kanonisen muodon! Poista lokimerkit ja tasaa argumentit:

(x - 9) / 1 = 5 / (x - 5)

Tämä on suhde, joka voidaan helposti ratkaista kertomalla poikittain:

(x - 9) (x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

Ilmeisesti meillä on edessämme annettu asteen yhtälö. Se voidaan ratkaista helposti Vietan kaavoilla:

(x - 10) (x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Meillä on kaksi juurta. Mutta nämä eivät ole lopullisia vastauksia, vaan vain ehdokkaita, koska logaritminen yhtälö vaatii myös määritelmän alueen tarkistamista.

Muistutan teitä: ei tarvitse etsiä milloin kaikki argumenttien arvo on suurempi kuin nolla. Riittää, kun vaaditaan, että yksi argumentti - joko x - 9 tai 5 / (x - 5) - on suurempi kuin nolla. Harkitse ensimmäistä väitettä:

x - 9> 0

x> 9

Ilmeisesti vain x = 10 täyttää tämän vaatimuksen. Tämä on lopullinen vastaus. Koko ongelma on ratkaistu.

Jälleen kerran tämän päivän oppitunnin avainkohdat ovat:

1. Heti kun muuttuja x näkyy useissa logaritmeissa, yhtälö lakkaa olemasta alkeellinen, ja sitä varten sinun on laskettava toimialue. Muuten voit helposti kirjoittaa ylimääräiset juuret vastauksena.
2. Itse verkkotunnuksen kanssa työskentelyä voi yksinkertaistaa huomattavasti, jos kirjoitamme eriarvoisuuden pois heti, vaan juuri sillä hetkellä, kun pääsemme eroon lokimerkkeistä. Loppujen lopuksi kun argumentit rinnastetaan toisiinsa, riittää, että vaaditaan, että vain yksi niistä on suurempi kuin nolla.

Tietysti me itse valitsemme, mistä argumentista muodostamme eriarvoisuuden, joten on loogista valita yksinkertaisin. Esimerkiksi toisessa yhtälössä valitsimme argumentin (x - 9) - lineaarisen funktion, toisin kuin murto-rationaalinen toinen argumentti. Olen samaa mieltä, eriarvoisuuden x - 9> 0 ratkaiseminen on paljon helpompaa kuin 5 / (x - 5)> 0. Vaikka tulos on sama.

Tämä huomautus yksinkertaistaa huomattavasti LDV: n hakua, mutta ole varovainen: voit käyttää yhtä epätasa-arvoa kahden sijasta vain, kun argumentit ovat tarkalleen yhtä suuret keskenään!

Tietenkin joku kysyy nyt: mitä tapahtuu toisin? Kyllä joskus. Esimerkiksi itse vaiheessa, kun kerrotaan kaksi muuttujaa sisältävää argumenttia, on vaarana tarpeettomat juuret.

Tuomari itse: Aluksi kaikkien argumenttien on oltava suurempia kuin nolla, mutta kertolaskujen jälkeen riittää, että heidän tulonsa on suurempi kuin nolla. Tämän seurauksena tapaus jää väliin, kun jokainen näistä murto-osista on negatiivinen.

Siksi, jos olet vasta aloittamassa monimutkaisten logaritmisten yhtälöiden käsittelyä, älä missään tapauksessa kerro muuttujaa x sisältäviä logaritmeja - se johtaa liian usein tarpeettomiin juuriin. Parempi ottaa yksi ylimääräinen askel, siirrä yksi termi toiselle puolelle, muodosta kanoninen muoto.

No, mitä tehdä, jos et voi tehdä kertomatta tällaisia ​​logaritmeja, keskustelemme seuraavassa video-opetusohjelmassa. :)

Jälleen kerran yhtälön asteista

Tänään analysoimme melko liukkaan aiheen, joka liittyy logaritmisiin yhtälöihin, tai pikemminkin voimien poistamiseen logaritmien argumenteista ja perustoista.

Sanoisin jopa, että puhumme parillisten tutkintojen tekemisestä, koska parillisilla asteilla eniten vaikeuksia syntyy todellisten logaritmisten yhtälöiden ratkaisemisessa.

Aloitetaan kanonisesta muodosta. Oletetaan, että meillä on kaavan log a f (x) = b yhtälö. Tässä tapauksessa kirjoitamme luvun b uudelleen kaavan b = log a a b mukaisesti. Osoittautuu seuraavaksi:

log a f (x) = kirjaa a a b

Sitten verrataan argumentit:

f (x) = a b

Viimeistä viimeistä kaavaa kutsutaan kanoniseksi muodoksi. Hänelle he yrittävät vähentää kaikkia logaritmisia yhtälöitä riippumatta siitä, kuinka monimutkainen ja kauhea se saattaa tuntua ensi silmäyksellä.

Joten yritetään. Aloitetaan ensimmäisestä tehtävästä:

Alustava huomautus: kuten sanoin, kaikki logaritmisen yhtälön desimaalimurtoluvut muunnetaan parhaiten tavallisiksi:

0,5 = 5/10 = 1/2

Kirjoita uudestaan ​​yhtälömme tämä tosiasia mielessä. Huomaa, että sekä 1/1000 että 100 ovat kymmenen voimaa, ja sitten otamme voiman pois mistä tahansa: argumenteista ja jopa logaritmien pohjalta:

Ja täällä monilla opiskelijoilla on kysymys: "Mistä moduuli tuli oikealta?" Todellakin, miksi ei vain kirjoittaa (x - 1)? Tietysti nyt kirjoitamme (x - 1), mutta oikeus tällaiseen tietueeseen antaa meille selvityksen määritelmäalueesta. Todellakin, toisessa logaritmissa on jo (x - 1), ja tämän lausekkeen on oltava suurempi kuin nolla.

Mutta kun otamme neliön pois logaritmin pohjalta, meidän on jätettävä moduuli pohjaan. Anna minun selittää miksi.

Tosiasia on, että matematiikan kannalta tutkinnon siirtäminen vastaa juuren purkamista. Erityisesti kun neliö otetaan pois lausekkeesta (x - 1) 2, me olennaisesti erotamme toisen asteen juuren. Mutta neliön juuri ei ole muuta kuin moduuli. Tarkalleen moduuli, koska vaikka lauseke x - 1 on negatiivinen, neliössä "miinus" palaa silti. Juuren jatkuva uuttaminen antaa meille positiivisen luvun - jo ilman mitään haittoja.

Yleensä, jotta vältetään loukkaavat virheet, muista lopullisesti:

Kaikkien samaan tehoon nostettujen toimintojen tasainen juuri ei ole sama kuin itse funktio, mutta sen moduuli:

Takaisin logaritmiseen yhtälöön. Puhuessani moduulista väitin, että voimme poistaa sen kivuttomasti. Se on totta. Anna minun selittää miksi. Tarkkaan ottaen meidän oli harkittava kahta vaihtoehtoa:

1. x - 1> 0 ⇒ | x - 1 | = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Jokaiseen näistä vaihtoehdoista olisi puututtava. Mutta on yksi saalis: alkuperäinen kaava sisältää jo funktion (x - 1) ilman moduulia. Ja seuraamalla logaritmien määrittelyaluetta meillä on oikeus kirjoittaa heti, että x - 1> 0.

Tämä vaatimus on täytettävä riippumatta moduuleista ja muunnoksista, jotka suoritamme ratkaisuprosessissa. Näin ollen ei ole järkevää harkita toista vaihtoehtoa - sitä ei koskaan tule esiin. Vaikka saisimme eriarvoisuuden haaraa ratkaistessamme joitain lukuja, niitä ei silti sisälly lopulliseen vastaukseen.

Nyt olemme kirjaimellisesti yhden askeleen päässä logaritmisen yhtälön kanonisesta muodosta. Edustetaan yksikköä seuraavasti:

1 = log x - 1 (x - 1) 1

Lisäksi lisätään argumentti oikealla oleva tekijä −4:

log x - 1 10 −4 = log x - 1 (x - 1)

Edessämme on logaritmisen yhtälön kanoninen muoto. Päästä eroon logaritmin merkistä:

10 −4 = x - 1

Mutta koska perusta oli funktio (eikä alkuluku), vaadimme lisäksi, että tämä funktio on suurempi kuin nolla eikä yhtä suuri. Järjestelmä osoittautuu:

Koska vaatimus x - 1> 0 täyttyy automaattisesti (loppujen lopuksi x - 1 = 10 −4), voidaan eräs eriarvoisuus poistaa järjestelmästämme. Toinen ehto voidaan myös ylittää, koska x - 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Tämä on ainoa juuri, joka automaattisesti täyttää kaikki logaritmin määrittelyalueen vaatimukset (kaikki vaatimukset kuitenkin eliminoitiin tietoisesti täytetyiksi ongelmamme olosuhteissa).

Joten toinen yhtälö:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Kuinka tämä yhtälö eroaa pohjimmiltaan edellisestä? Jo ainakin siitä, että logaritmien perustelut - 3x ja 9x - eivät ole toistensa luonnollisia asteita. Siksi siirtyminen, jota käytimme edellisessä ratkaisussa, ei ole mahdollista.

Päästetään ainakin eroon asteista. Meidän tapauksessamme ainoa tutkinto on toisessa argumentissa:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x | x |

Moduulimerkki voidaan kuitenkin poistaa, koska muuttuja x on myös pohjassa, ts. x> 0 ⇒ | x | = x. Kirjoitetaan uudelleen logaritminen yhtälömme:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Saimme logaritmit samoilla argumenteilla, mutta eri perusteilla. Mitä minun pitäisi tehdä seuraavaksi? Täällä on monia vaihtoehtoja, mutta tarkastelemme vain kahta niistä, jotka ovat loogisimpia, ja mikä tärkeintä, nämä ovat nopeita ja ymmärrettäviä tekniikoita useimmille opiskelijoille.

Olemme jo harkinneet ensimmäistä vaihtoehtoa: käännä missä tahansa käsittämättömässä tilanteessa muuttuvalla pohjalla olevat logaritmit vakioperustaksi. Esimerkiksi deuce. Siirtymäkaava on yksinkertainen:

Normaaliluvulla tulisi tietysti olla muuttujan c rooli: 1 ≠ c> 0. Olkoon tapauksessamme c = 2. Nyt meillä on tavallinen murtolukuinen rationaalinen yhtälö. Keräämme kaikki elementit vasemmalla:

Kerroin log 2 x on selvästikin parempi ottaa pois, koska sitä on sekä ensimmäisessä että toisessa osassa.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Jaamme jokaisen lokin kahteen termiin:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Kirjoitetaan uudestaan ​​tasa-arvon molemmat puolet ottaen huomioon nämä tosiasiat:

3 (2 log 2 3 + log 2 x) = 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Nyt on vielä lisättävä kaksi logaritmin merkin alle (se muuttuu voimaksi: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Ennen kuin olemme klassinen kanoninen muoto, pääsemme eroon logaritmin merkistä ja saamme:

Kuten odotettiin, tämä juuri osoittautui suuremmaksi kuin nolla. On vielä tarkistettava verkkotunnus. Katsotaanpa syyt:

Mutta juuri x = 9 täyttää nämä vaatimukset. Siksi se on lopullinen päätös.

Ratkaisun johtopäätös on yksinkertainen: älä pelkää pitkiä laskelmia! Se on vain, että alussa valitsimme uuden perustan sattumanvaraisesti - ja tämä monimutkaisti prosessia huomattavasti.

Mutta sitten herää kysymys: millainen perusta on optimaalinen? Puhun tästä toisessa menetelmässä.

Palataan takaisin alkuperäiseen yhtälöön:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x | x |

x> 0 ⇒ | x | = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Ajattelemme nyt vähän: mikä luku tai funktio on optimaalinen radix? Paras vaihtoehto olisi tietysti c = x - mikä tahansa on jo argumenteissa. Tällöin kaava log a b = log c b / log c a on muodossa:

Toisin sanoen ilmaisu yksinkertaisesti käännetään. Tässä tapauksessa argumentti ja perusta ovat päinvastaiset.

Tämä kaava on erittäin hyödyllinen ja sitä käytetään hyvin usein monimutkaisten logaritmisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Tämän kaavan käytössä on kuitenkin yksi erittäin vakava kuoppa. Jos korvataan muuttuja x emäksen sijasta, sille asetetaan rajoituksia, joita ei aiemmin ole noudatettu:

Alkuperäisessä yhtälössä ei ollut tällaista rajoitusta. Siksi on tarpeen tarkistaa tapaus erikseen, kun x = 1. Korvaa tämä arvo yhtälömme:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Saamme oikean numeerisen yhtälön. Siksi x = 1 on juuri. Löysimme täsmälleen saman juuren edellisestä menetelmästä ratkaisun alusta.

Mutta nyt, kun tarkastelemme erikseen tätä erityistapausta, oletamme turvallisesti, että x ≠ 1. Sitten logaritminen yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Laajenna molempia logaritmeja samalla kaavalla kuin aiemmin. Huomaa, että loki x x = 1:

3 (loki x 9 + loki x x) = 4 (loki x 3 + loki x x)

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2-4 log log 3 = 4-3

2 log x 3 = 1

Joten pääsimme kanoniseen muotoon:

loki x 9 = loki x x 1

x = 9

Saimme toisen juuren. Se täyttää vaatimuksen x ≠ 1. Siksi x = 9 ja x = 1 ovat lopullinen vastaus.

Kuten näette, laskelmien määrä on vähentynyt hieman. Mutta kun ratkaistaan ​​todellinen logaritminen yhtälö, toimintojen määrää on paljon vähemmän myös siksi, että sinun ei tarvitse kuvata kutakin vaihetta niin yksityiskohtaisesti.

Tämän päivän oppitunnin pääsääntö on seuraava: jos ongelmassa on tasainen aste, josta saman asteen juuri erotetaan, niin tuloksena saadaan moduuli. Tämä moduuli voidaan kuitenkin poistaa, jos kiinnitämme huomiota logaritmien määrittelyalueeseen.

Mutta ole varovainen: suurin osa oppilaista tämän tunnin jälkeen luulee ymmärtävänsä kaiken. Mutta ratkaistessaan todellisia ongelmia he eivät voi toistaa koko loogista ketjua. Tämän seurauksena yhtälö kasvaa tarpeettomilla juurilla, ja vastaus osoittautuu vääräksi.

Ohjeet

Kirjoita määritetty logaritminen lauseke muistiin. Jos lauseke käyttää logaritmia 10, sen merkintä katkaistaan ​​ja näyttää tältä: lg b on desimaalilogaritmi. Jos logaritmin perustana on luku e, kirjoita sitten lauseke: ln b - luonnollinen logaritmi. On selvää, että minkä tahansa lopputulos on teho, johon perusnumero on nostettava luvun b saamiseksi.

Kun etsit kahden funktion summasta, sinun tarvitsee vain erottaa ne peräkkäin ja lisätä tulokset: (u + v) "= u" + v ";

Kun löydetään kahden funktion tuloksen johdannainen, on kerrottava ensimmäisen funktion derivaatti toisella ja lisättävä toisen funktion derivaatti kerrottuna ensimmäisellä funktiolla: (u * v) "= u" * v + v "* u;

Kahden funktion osamäärän derivaatan löytämiseksi osinkojohdannaisen tulosta kerrottuna jakajafunktiolla on vähennettävä jakajan johdannaisen tulo kerrottuna osingon funktiolla. ja jaa kaikki tämä jakamistoiminnolla, joka on neliö. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Jos annetaan monimutkainen funktio, on tarpeen kertoa sisäisen funktion derivaatti ja ulkoisen derivaatti. Olkoon y = u (v (x)), sitten y "(x) = y" (u) * v "(x).

Yllä saatujen avulla voit erottaa melkein kaikki toiminnot. Katsotaan siis muutama esimerkki:

y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2) * x));
Johdannaisen laskemisessa on myös ongelmia. Anna funktio y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), sinun on löydettävä funktion arvo pisteestä x = 1.
1) Etsi funktion derivaatti: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Laske funktion arvo annetussa pisteessä y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

Liittyvät videot

Hyödyllisiä neuvoja

Opi alkeisjohdannaisten taulukko. Tämä säästää huomattavasti aikaa.

Lähteet:

• vakion johdannainen

Joten, mikä on ero irrationaalisen yhtälön ja rationaalisen yhtälön välillä? Jos tuntematon muuttuja on neliöjuurimerkin alla, yhtälöä pidetään irrationaalisena.

Ohjeet

Tärkein menetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on menetelmä molempien osien rakentamiseksi yhtälöt neliöllä. Kuitenkin. tämä on luonnollista, ensimmäinen askel on päästä eroon merkistä. Tämä menetelmä ei ole teknisesti vaikea, mutta joskus se voi saada sinut pulaan. Esimerkiksi yhtälö v (2x-5) = v (4x-7). Neliöimällä sen molemmat puolet saat 2x-5 = 4x-7. Tätä yhtälöä ei ole vaikea ratkaista; x = 1. Mutta numero 1 ei ole annettu yhtälöt... Miksi? Korvaa 1 x: n yhtälössä, ja sekä oikea että vasen puoli sisältävät lausekkeita, joilla ei ole mitään järkeä. Tämä arvo ei kelpaa neliöjuurelle. Siksi 1 on ulkopuolinen juuri, ja siksi annetulla yhtälöllä ei ole juuria.

Joten irrationaalinen yhtälö ratkaistaan ​​menetelmällä, joka neliöi sen molemmat puolet. Ja kun yhtälö on ratkaistu, on välttämätöntä leikata vieraat juuret. Voit tehdä tämän korvaamalla löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön.

Harkitse toista.
2x + vx-3 = 0
Tietenkin tämä yhtälö voidaan ratkaista samalla tavalla kuin edellinen. Siirrä komposiitti yhtälöt joilla ei ole neliöjuuria, oikealle puolelle ja käytä sitten neliömetodia. ratkaista tuloksena oleva järkevä yhtälö ja juuret. Mutta myös toinen, siro. Syötä uusi muuttuja; vx = y. Näin saat yhtälön muodossa 2y2 + y-3 = 0. Eli tavallinen neliöllinen yhtälö. Löydä sen juuret; y1 = 1 ja y2 = -3 / 2. Päätä seuraavaksi kaksi yhtälöt vx = 1; vx = -3 / 2. Toisella yhtälöllä ei ole juuria, ensimmäisestä löydämme, että x = 1. Älä unohda tarkistaa juuria.

Identiteettien ratkaiseminen on tarpeeksi helppoa. Tämä edellyttää samanlaisten muunnosten tekemistä, kunnes tavoite saavutetaan. Siten tehtävä ratkaistaan ​​yksinkertaisimpien aritmeettisten operaatioiden avulla.

Tarvitset

• - paperi;
• - kynä.

Ohjeet

Yksinkertaisin tällaisista muunnoksista on algebrallinen lyhennetty kertolasku (kuten summan neliö (ero), neliöiden ero, summa (ero), summan kuutio (ero)). Lisäksi on olemassa monia trigonometrisiä kaavoja, jotka ovat olennaisesti samoja identiteettejä.

Kahden termin summan neliö on todellakin yhtä suuri kuin ensimmäisen plus neliö, joka on kaksinkertainen ensimmäisen tulon toisen kanssa ja plus toisen neliö, eli (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Yksinkertaista molempia

Ratkaisun yleiset periaatteet

Vaihteleva korvausmenetelmä

Toisenlaisten integraalien ratkaisu

Integraation rajojen korvaaminen

Matematiikan viimeisen kokeen valmistelu sisältää tärkeän osan - "Logaritmit". Tämän aiheen tehtävät sisältyvät välttämättä tenttiin. Viime vuosien kokemus osoittaa, että logaritmiset yhtälöt ovat aiheuttaneet vaikeuksia monille koululaisille. Siksi opiskelijoiden, joilla on erilainen koulutustaso, tulisi ymmärtää, kuinka löytää oikea vastaus, ja selviytyä niistä nopeasti.

Suorita sertifiointitesti onnistuneesti "Shkolkovo" -opetusportaalin avulla!

Valmistellessaan yhtenäistä valtion tenttiä lukion valmistuneet tarvitsevat luotettavan lähteen, joka antaa kattavimmat ja tarkimmat tiedot testiongelmien onnistuneeseen ratkaisuun. Oppikirja ei kuitenkaan aina ole käsillä, ja tarvittavien sääntöjen ja kaavojen löytäminen Internetistä vie usein aikaa.

"Shkolkovo" -portaalin avulla voit valmistautua yhtenäistettyyn valtion kokeeseen missä ja milloin tahansa. Sivustollamme on kätevin tapa toistaa ja yhdistää suuri määrä tietoa logaritmeista sekä yhdestä ja useammasta tuntemattomasta. Aloita helpoilla yhtälöillä. Jos käsittelet niitä helposti, siirry monimutkaisempiin. Jos sinulla on ongelmia tietyn eriarvoisuuden ratkaisemisessa, voit lisätä sen suosikkeihisi palataksesi siihen myöhemmin.

Löydät tarvittavat kaavat tehtävän suorittamiseksi, toista erikoistapaukset ja menetelmät vakiologaritmisen yhtälön juuren laskemiseksi katsomalla "Teoreettinen viite" -osaa. Shkolkovon opettajat ovat keränneet, järjestelmällistäneet ja esittäneet kaikki onnistuneen toimituksen edellyttämät materiaalit yksinkertaisimmalla ja ymmärrettävimmällä tavalla.

Jotta selviytyisit helposti monimutkaisista tehtävistä, portaalissamme voit tutustua eräiden tyypillisten logaritmisten yhtälöiden ratkaisuun. Voit tehdä tämän siirtymällä Hakemistot-osioon. Olemme esittäneet suuren määrän esimerkkejä, mukaan lukien matematiikan kokeen profiilitason yhtälöt.

Opiskelijat kouluista ympäri Venäjää voivat käyttää portaalia. Aloita vain rekisteröitymällä järjestelmään ja aloittamalla yhtälöiden ratkaiseminen. Tulosten vahvistamiseksi suosittelemme palaamaan Shkolkovon verkkosivustolle joka päivä.

Logaritmisten yhtälöiden ratkaiseminen. Osa 1.

Logaritminen yhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on logaritmin merkin alla (erityisesti logaritmin pohjassa).

Yksinkertaisin logaritminen yhtälö näyttää:

Ratkaisu mihin tahansa logaritmiseen yhtälöön sisältää siirtymisen logaritmeista lausekkeisiin logaritmien merkin alla. Tämä toiminta kuitenkin laajentaa yhtälön sallittujen arvojen aluetta ja voi johtaa vieraiden juurien esiintymiseen. Välttää vieraiden juurien esiintyminen, voit tehdä yhden kolmesta tavasta:

1. Tee vastaava siirtymä alkuperäisestä yhtälöstä järjestelmään, mukaan lukien

riippuen siitä, mikä epätasa-arvo on tai on yksinkertaisempaa.

Jos yhtälö sisältää tuntemattoman arvon logaritmin pohjassa:

sitten siirrymme järjestelmään:

2. Etsi erikseen yhtälön sallittujen arvojen alue, ratkaise sitten yhtälö ja tarkista, täyttävätkö löydetyt ratkaisut yhtälön.

3. Ratkaise yhtälö ja sitten tarkista: korvaa löydetyt ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön ja tarkista, saammeko oikean tasa-arvon.

Minkä tahansa monimutkaisuuden tason logaritminen yhtälö pienenee lopulta aina yksinkertaisimpaan logaritmiseen yhtälöön.

Kaikki logaritmiset yhtälöt voidaan jakaa karkeasti neljään tyyppiin:

1 ... Yhtälöt, jotka sisältävät vain ensimmäisen asteen logaritmeja. Muunnosten ja käytön avulla ne pienennetään muotoon

Esimerkki... Ratkaistaan ​​yhtälö:

Yhdistetään lausekkeet logaritmimerkin alle:

Tarkistetaan, täyttääkö juuremme yhtälön:

Kyllä.

Vastaus: x = 5

2 ... Yhtälöt, jotka sisältävät logaritmeja muussa määrin kuin 1 (erityisesti murtoluvun nimittäjässä). Tällaiset yhtälöt ratkaistaan ​​käyttämällä muuttuvan muutoksen käyttöönotto.

Esimerkki. Ratkaistaan ​​yhtälö:

Etsitään yhtälön ODZ:

Yhtälö sisältää logaritmit neliössä, joten se ratkaistaan ​​muuttamalla muuttujaa.

Tärkeä! Ennen korvaamisen käyttöönottoa on välttämätöntä "vetää erilleen" yhtälöön sisältyvät logaritmit "tiileiksi" käyttäen logaritmien ominaisuuksia.

"Vedettäessä" logaritmeja on tärkeää soveltaa logaritmien ominaisuuksia erittäin huolellisesti:

Lisäksi tässä on toinen hienovarainen piste, ja yleisen virheen välttämiseksi käytämme välitasoa: kirjoitamme logaritmin asteen tässä muodossa:

Samoin,

Korvaa saadut lausekkeet alkuperäiseen yhtälöön. Saamme:

Nyt näemme, että tuntematon sisältyy koostumuksen yhtälöön. Esittelemme korvaavan tuotteen:. Koska se voi ottaa minkä tahansa todellisen arvon, emme aseta rajoituksia muuttujalle.