Factorize iso luku- ei ole helppo tehtävä. Useimmilla ihmisillä on vaikeuksia selvittää neli- tai viisinumeroisia lukuja. Prosessin helpottamiseksi kirjoita numero kahden sarakkeen yläpuolelle.

• Lasketaan luku 6552.

Online-laskin.
Binomin neliöinti ja kertominen neliöllinen trinomi.

Nuo. ongelmat tiivistyvät numeroiden \(p, q\) ja \(n, m\) löytämiseen

Ohjelma ei ainoastaan ​​anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin.

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukiolaisille keskiasteen koulut valmistellessaan testit ja kokeet, kun tietoja testataan ennen yhtenäistä valtiontutkintoa, vanhemmille monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisemiseksi. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada sen valmiiksi mahdollisimman nopeasti? kotitehtävät matematiikassa vai algebrassa? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisten ratkaisujen kanssa.

Tällä tavalla voit toteuttaa omaa koulutusta ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustaso ongelmien ratkaisemisen alalla nousee.

Jos et tunne toisen asteen trinomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.

Säännöt toisen asteen polynomin syöttämiseksi

Mikä tahansa latinalainen kirjain voi toimia muuttujana.
Esimerkki: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaislukuina tai murtolukuina.
Lisäksi murtolukuja voidaan syöttää ei vain desimaalin, vaan myös tavallisen murtoluvun muodossa.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtoluvuissa murto-osa voidaan erottaa kokonaisesta osasta joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaalit näin: 2,5x - 3,5x^2

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötetään murtolukua, osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Koko osa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Tulo: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Tulos: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Kun syötät lausekkeen voit käyttää sulkeita. Tässä tapauksessa, kun ratkaistaan, esitetty lauseke yksinkertaistetaan ensin.
Esimerkki: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Esimerkki yksityiskohtainen ratkaisu

Binomin neliön eristäminen.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Vastaus:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisointi.$$ ax^2+bx+c \nuoli oikealle a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\vasen(x^2+x-2 \oikea) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \oikea) = $$ $$ 2 \vasen(x -1 \oikea) \vasen(x +2 \oikea) $$ Vastaus:$$2x^2+2x-4 = 2 \vasen(x -1 \oikea) \vasen(x +2 \oikea) $$

Havaittiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseksi tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, ja ohjelma ei ehkä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on asetettu jonoon.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa tästä palautelomakkeella.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Binomin neliön eristäminen neliötrinomista

Jos neliötrinomi ax 2 +bx+c esitetään muodossa a(x+p) 2 +q, missä p ja q ovat reaalilukuja, niin sanotaan, että neliötrinomi, binomiaalin neliö on korostettuna.

Trinomista 2x 2 +12x+14 erotetaan binomiaalin neliö.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Kuvittele tätä varten 6x luvun 2*3*x tulona ja sitten lisää ja vähennä 3 2. Saamme:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Että. Me irrota neliöbinomi neliötrinomista ja osoitti, että:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Neliöllisen trinomin kerroin

Jos neliötrinomi ax 2 +bx+c esitetään muodossa a(x+n)(x+m), missä n ja m ovat reaalilukuja, niin operaatio sanotaan suoritetuksi. neliöllisen trinomin kertoimia.

Näytämme esimerkillä, kuinka tämä muunnos tehdään.

Kerrotaan toisen asteen trinomi 2x 2 +4x-6.

Otetaan kerroin a suluista, ts. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Muunnetaan suluissa oleva lauseke.
Kuvittele tätä varten 2x erotuksena 3x-1x ja -3 -1*3. Saamme:
$$ = 2(x^2+3 \cpiste x -1 \cpiste x -1 \cpiste 3) = 2(x(x+3)-1 \cpiste (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Että. Me otettu huomioon neliöllinen trinomi ja osoitti, että:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Huomaa, että neliöllisen trinomin ottaminen huomioon on mahdollista vain, kun toisen asteen yhtälö, joka vastaa tätä trinomia, on juuret.
Nuo. meidän tapauksessamme on mahdollista kertoa trinomi 2x 2 +4x-6, jos toisen asteen yhtälöllä 2x 2 +4x-6 =0 on juuret. Tekijöintiprosessissa totesimme, että yhtälöllä 2x 2 + 4x-6 = 0 on kaksi juuria 1 ja -3, koska näillä arvoilla yhtälö 2(x-1)(x+3)=0 muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

Mitä factoring tarkoittaa? Tämä tarkoittaa lukujen etsimistä, joiden tulo on yhtä suuri kuin alkuperäinen luku.

Ymmärtääksemme, mitä se tarkoittaa, katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki lukujen laskemisesta

Kerro numero 8.

Numero 8 voidaan esittää tulona 2 x 4:

8:n esittäminen luvun 2 * 4 tulona tarkoittaa tekijöiden jakamista.

Huomaa, että tämä ei ole ainoa 8:n kertoimet.

Loppujen lopuksi 4 on kerrottu näin:

Täältä 8 voidaan edustaa:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Tarkistamme vastauksemme. Selvitetään, mitä faktorointi on yhtä suuri:

Eli saimme alkuperäisen numeron, vastaus on oikein.

Kerro luku 24 alkutekijöiksi

Kuinka laskea luku 24 alkutekijöihin?

Lukua kutsutaan alkuluvuksi, jos se on jaollinen vain ykkösellä ja itsellään.

Numero 8 voidaan esittää luvun 3 ja 8 tulona:

Tässä luku 24 on kerrottu. Mutta tehtävässä sanotaan "kerrota luku 24 alkutekijöiksi", ts. Se on tärkeimmät tekijät, joita tarvitaan. Ja laajennuksessamme 3 on ensisijainen tekijä ja 8 ei ole ensisijainen tekijä.

Tämä artikkeli antaa vastauksia kysymykseen laskea numero arkille. Harkitsemme yleinen idea hajoamisesta esimerkein. Analysoidaan laajennuksen kanonista muotoa ja sen algoritmia. Kaikki vaihtoehtoiset menetelmät otetaan huomioon käyttämällä jakomerkkejä ja kertotauluja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mitä luvun laskeminen alkutekijöihin tarkoittaa?

Katsotaanpa ensisijaisten tekijöiden käsitettä. Tiedetään, että jokainen alkutekijä on alkuluku. Muodon 2 · 7 · 7 · 23 tulossa meillä on 4 alkutekijää muodossa 2, 7, 7, 23.

Faktorisointi sisältää sen esittämisen alkulukujen tulojen muodossa. Jos meidän on hajotettava luku 30, saamme 2, 3, 5. Merkintä on muotoa 30 = 2 · 3 · 5. On mahdollista, että kertoimet toistuvat. Luku, kuten 144, on 144 = 2 2 2 2 3 3.

Kaikki luvut eivät ole taipuvaisia ​​rappeutumaan. Numerot, jotka ovat suurempia kuin 1 ja ovat kokonaislukuja, voidaan ottaa huomioon. Alkuluvut, kun ne otetaan huomioon, ovat vain jaollisia 1:llä ja itsellään, joten on mahdotonta esittää näitä lukuja tulona.

Kun z viittaa kokonaislukuihin, se esitetään a:n ja b:n tulona, ​​jossa z jaetaan a:lla ja b:llä. Yhdistelmäluvut lasketaan aritmeettisen peruslauseen avulla. Jos luku on suurempi kuin 1, niin sen kertoimet p 1, p 2, ..., p n saa muotoa a = p 1 , p 2 , … , p n . Hajoamisen oletetaan olevan yksi muunnelma.

Lukujen kanoninen tekijöiden jakaminen alkutekijöiksi

Laajentumisen aikana tekijät voivat toistua. Ne on kirjoitettu tiiviisti käyttämällä asteita. Jos lukua a hajotettaessa meillä on tekijä p 1, joka esiintyy s 1 kertaa ja niin edelleen p n – s n kertaa. Näin laajennus saa muodon a = p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Tätä merkintää kutsutaan luvun kanoniseksi tekijäksi alkutekijöiksi.

Laajennettaessa lukua 609840 saadaan, että 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sen kanoninen muoto on 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Kanonisen laajennuksen avulla löydät kaikki luvun jakajat ja niiden numerot.

Oikein kertoimella sinun on ymmärrettävä alku- ja yhdistelmäluvut. Tarkoituksena on saada peräkkäinen määrä jakajia, jotka ovat muotoa p 1, p 2, ..., p n numeroita a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, tämä mahdollistaa sen saamisen a = p 1 a 1, jossa a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , missä a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , missä a n = a n - 1: p n. Vastaanotettuaan a n = 1, sitten tasa-arvo a = p 1 · p 2 · … · p n saamme luvun a vaaditun hajotuksen alkutekijöiksi. huomaa, että p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Vähiten yleisten tekijöiden löytämiseksi sinun on käytettävä alkulukutaulukkoa. Tämä tehdään käyttämällä esimerkkiä, jossa etsitään luvun z pienin alkujakaja. Kun otetaan alkuluvut 2, 3, 5, 11 ja niin edelleen ja jaetaan luku z niillä. Koska z ei ole alkuluku, on otettava huomioon, että pienin alkujakaja ei ole suurempi kuin z. Voidaan nähdä, että z:llä ei ole jakajia, jolloin on selvää, että z on alkuluku.

Esimerkki 1

Katsotaanpa esimerkkiä numerosta 87. Kun se jaetaan kahdella, saadaan 87: 2 = 43 ja jäännös 1. Tästä seuraa, että 2 ei voi olla jakaja, vaan jako on tehtävä kokonaan. Kun jaetaan kolmella, saadaan 87: 3 = 29. Tästä syystä johtopäätös on, että 3 on luvun 87 pienin alkujakaja.

Kun otetaan huomioon alkutekijät, on käytettävä alkulukutaulukkoa, jossa a. Faktoroinnissa 95 tulee käyttää noin 10 alkulukua ja 846653:a noin 1000.

Tarkastellaan hajotusalgoritmia alkutekijöihin:

• löytää luvun jakajan p 1 pienin kerroin a kaavalla a 1 = a: p 1, kun a 1 = 1, niin a on alkuluku ja sisältyy tekijöihin, kun se ei ole yhtä suuri kuin 1, niin a = p 1 · a 1 ja seuraa alla olevaan kohtaan;
• löytää luvun a 1 alkujakaja p 2 laskemalla peräkkäin alkuluvut käyttämällä a 2 = a 1: p 2 , kun a 2 = 1 , silloin laajennus saa muotoa a = p 1 p 2 , kun a 2 = 1, niin a = p 1 p 2 a 2 , ja siirrymme seuraavaan vaiheeseen;
• etsimällä alkulukuja ja löytämään alkujakajan p 3 numeroita a 2 kaavan mukaan a 3 = a 2: p 3, kun a 3 = 1 , niin saadaan, että a = p 1 p 2 p 3 , kun ei ole yhtä suuri kuin 1, niin a = p 1 p 2 p 3 a 3 ja siirry seuraavaan vaiheeseen;
• alkujakaja löytyy p n numeroita a n-1 luettelemalla alkuluvut kanssa pn - 1, ja a n = a n - 1: p n, missä a n = 1, askel on lopullinen, tuloksena saadaan, että a = p 1 · p 2 · … · p n .

Algoritmin tulos kirjoitetaan taulukon muotoon, jossa on hajotetut tekijät pystypalkilla peräkkäin sarakkeessa. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Tuloksena olevaa algoritmia voidaan soveltaa jakamalla luvut alkutekijöiksi.

Kun otetaan huomioon alkutekijät, tulee noudattaa perusalgoritmia.

Esimerkki 2

Kerro luku 78 alkutekijöiksi.

Ratkaisu

Pienimmän alkujakajan löytämiseksi sinun täytyy käydä läpi kaikki luvun 78 alkuluvut. Eli 78:2 = 39. Jako ilman jäännöstä tarkoittaa, että tämä on ensimmäinen yksinkertainen jakaja, jota merkitsemme p 1:nä. Saamme, että a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Pääsimme yhtälöön muotoa a = p 1 · a 1 , missä 78 = 2 39. Sitten a 1 = 39, eli meidän pitäisi siirtyä seuraavaan vaiheeseen.

Keskitytään etsimään alkujakajan p2 numeroita a 1 = 39. Sinun tulisi käydä läpi alkuluvut, eli 39: 2 = 19 (jäljellä 1). Koska jako jääjäännöksellä, 2 ei ole jakaja. Kun valitset luvun 3, saamme 39: 3 = 13. Tämä tarkoittaa, että p 2 = 3 on luvun 39 pienin alkujakaja luvulla a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Saamme muodon yhtäläisyyden a = p 1 p 2 a 2 muodossa 78 = 2 3 13. Meillä on, että a 2 = 13 ei ole yhtä kuin 1, niin meidän pitäisi jatkaa.

Luvun a 2 = 13 pienin alkujakaja löytyy etsimällä lukuja alkaen 3:sta. Saamme, että 13: 3 = 4 (jäljellä 1). Tästä voimme nähdä, että 13 ei ole jaollinen luvuilla 5, 7, 11, koska 13: 5 = 2 (lop. 3), 13: 7 = 1 (lop. 6) ja 13: 11 = 1 (lop. 2) . Voidaan nähdä, että 13 on alkuluku. Kaavan mukaan se näyttää tältä: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Havaitsimme, että a 3 = 1, mikä tarkoittaa algoritmin valmistumista. Nyt tekijät kirjoitetaan muodossa 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Vastaus: 78 = 2 3 13.

Esimerkki 3

Kerro luku 83 006 alkutekijöiksi.

Ratkaisu

Ensimmäinen vaihe sisältää factoringin p 1 = 2 Ja a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, jossa 83 006 = 2 · 41 503.

Toisessa vaiheessa oletetaan, että 2, 3 ja 5 eivät ole luvun a 1 = 41 503 alkujakajia, vaan 7 on alkujakaja, koska 41 503: 7 = 5 929. Saamme, että p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Ilmeisesti 83 006 = 2 7 5 929.

P 4:n pienimmän alkujakajan löytäminen luvulle a 3 = 847 on 7. Voidaan nähdä, että a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, joten 83 006 = 2 7 7 7 121.

Luvun a 4 = 121 alkujakajan löytämiseksi käytämme lukua 11, eli p 5 = 11. Sitten saamme muodon ilmaisun a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, ja 83 006 = 2 7 7 7 11 11.

Numerolle a 5 = 11 määrä p 6 = 11 on pienin alkujakaja. Näin ollen a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Sitten 6 = 1. Tämä osoittaa algoritmin valmistumisen. Kertoimet kirjoitetaan muodossa 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Vastauksen kanoninen merkintä on muotoa 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Vastaus: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Esimerkki 4

Kerro luku 897 924 289.

Ratkaisu

Löytääksesi ensimmäisen alkutekijän etsimällä alkulukuja alkaen 2:sta. Haku päättyy numeroon 937. Sitten p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 ja 897 924 289 = 937 958 297.

Algoritmin toinen vaihe on iteroida pienempiä alkulukuja. Eli aloitamme numerosta 937. Lukua 967 voidaan pitää alkulukuna, koska se on luvun a 1 = 958 297 alkujakaja. Tästä saadaan, että p 2 = 967, sitten a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 ja 897 924 289 = 937 967 991.

Kolmas vaihe sanoo, että 991 on alkuluku, koska sillä ei ole yhtä alkutekijää, joka ei ylitä 991:tä. Radikaalilausekkeen likimääräinen arvo on 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Tämä osoittaa, että p 3 = 991 ja a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Havaitsemme, että luvun 897 924 289 jaottelu alkutekijöiksi saadaan muodossa 897 924 289 = 937 967 991.

Vastaus: 897 924 289 = 937 967 991.

Jaotuvuustestien käyttö alkutekijöiden laskentaan

Jos haluat laskea luvun alkutekijöiksi, sinun on noudatettava algoritmia. Kun lukuja on pieniä, on sallittua käyttää kertotaulua ja jakomerkkejä. Katsotaanpa tätä esimerkkien avulla.

Esimerkki 5

Jos on tarpeen kertoa 10, taulukko näyttää: 2 · 5 = 10. Tuloksena olevat luvut 2 ja 5 ovat alkulukuja, joten ne ovat luvun 10 alkutekijöitä.

Esimerkki 6

Jos on tarpeen hajottaa luku 48, taulukko näyttää: 48 = 6 8. Mutta 6 ja 8 eivät ole alkutekijöitä, koska niitä voidaan myös laajentaa muodossa 6 = 2 3 ja 8 = 2 4. Sitten täydellinen laajennus tästä saadaan muodossa 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Kanoninen merkintä on muotoa 48 = 2 4 · 3.

Esimerkki 7

Lukua 3400 hajotettaessa voit käyttää jakomerkkejä. Tässä tapauksessa jaollisuuden merkit 10:llä ja 100:lla ovat merkityksellisiä. Tästä saadaan, että 3400 = 34 · 100, jossa 100 voidaan jakaa 10:llä, eli kirjoitettuna 100 = 10 · 10, mikä tarkoittaa, että 3400 = 34 · 10 · 10. Jakotestin perusteella saadaan, että 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Kaikki tekijät ovat ensisijaisia. Kanoninen laajennus saa muodon 3 400 = 2 3 5 2 17.

Kun löydämme alkutekijät, meidän on käytettävä jako- ja kertolaskuja. Jos kuvittelet luvun 75 tekijöiden tulona, ​​sinun on otettava huomioon jaollisuussääntö 5:llä. Saamme, että 75 = 5 15 ja 15 = 3 5. Toisin sanoen haluttu laajennus on esimerkki tuotteen muodosta 75 = 5 · 3 · 5.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tästä artikkelista löydät kaikki tarvittavat tiedot vastataksesi kysymykseen, kuinka laskea luku alkutekijöiksi. Ensin annetaan yleinen käsitys luvun hajottamisesta alkutekijöiksi ja annetaan esimerkkejä hajotteluista. Seuraavassa esitetään kanoninen muoto luvun hajottamiseksi alkutekijöiksi. Tämän jälkeen annetaan algoritmi mielivaltaisten lukujen hajottamiseksi alkutekijöiksi ja annetaan esimerkkejä lukujen hajottamisesta tällä algoritmilla. Harkitaan myös vaihtoehtoisia menetelmiä, joiden avulla voit laskea pienet kokonaisluvut nopeasti alkutekijöiksi käyttämällä jakotestejä ja kertotauluja.

Sivulla navigointi.

Mitä luvun laskeminen alkutekijöihin tarkoittaa?

Katsotaanpa ensin, mitkä ovat tärkeimmät tekijät.

On selvää, että koska sana "tekijät" esiintyy tässä lauseessa, on olemassa joidenkin lukujen tulo, ja tarkentava sana "yksinkertainen" tarkoittaa, että jokainen tekijä on alkuluku. Esimerkiksi muodon 2·7·7·23 tulossa on neljä alkutekijää: 2, 7, 7 ja 23.

Mitä luvun laskeminen alkutekijöihin tarkoittaa?

Tämä tarkoittaa, että tämä luku on esitettävä alkutekijöiden tulona ja tämän tulon arvon on oltava yhtä suuri kuin alkuperäinen luku. Tarkastellaan esimerkkinä kolmen alkuluvun 2, 3 ja 5 tuloa, se on yhtä kuin 30, jolloin luvun 30 hajoaminen alkutekijöiksi on 2·3·5. Yleensä luvun hajotus alkutekijöiksi kirjoitetaan yhtälöksi, esimerkissämme se on näin: 30=2·3·5. Korostamme erikseen, että laajennuksen päätekijät voivat toistua. Tätä havainnollistaa selkeästi seuraava esimerkki: 144=2·2·2·2·3·3. Mutta esitys muodossa 45=3·15 ei ole hajoaminen alkutekijöihin, koska luku 15 on yhdistelmäluku.

Nousee seuraava kysymys: "Mitä lukuja voidaan laskea alkutekijöiksi?"

Etsiäksemme vastausta siihen esitämme seuraavan päättelyn. Alkuluvut ovat määritelmän mukaan niitä suurempia kuin yksi. Kun otetaan huomioon tämä tosiasia ja , voidaan väittää, että useiden alkutekijöiden tulo on kokonaisluku positiivinen luku, ylittää yhden. Siksi tekijöiden jakaminen alkutekijöiksi tapahtuu vain positiivisille kokonaisluvuille, jotka ovat suurempia kuin 1.

Mutta voidaanko kaikki yhtä suuremmat kokonaisluvut ottaa huomioon alkutekijöissä?

On selvää, että yksinkertaisia ​​kokonaislukuja ei ole mahdollista sisällyttää alkutekijöihin. Tämä johtuu siitä, että alkuluvuilla on vain kaksi positiivista tekijää - yksi ja itse, joten niitä ei voida esittää kahden tai useamman alkuluvun tulona. Jos kokonaisluku z voitaisiin esittää alkulukujen a ja b tulona, ​​niin jaollisuuden käsite antaisi mahdollisuuden päätellä, että z on jaollinen sekä a:lla että b:llä, mikä on mahdotonta luvun z yksinkertaisuuden vuoksi. He uskovat kuitenkin, että mikä tahansa alkuluku on itsessään hajotelma.

Entä yhdistelmäluvut? Jaetaanko yhdistelmäluvut alkutekijöiksi ja ovatko kaikki yhdistelmäluvut tällaisen hajotuksen kohteena? Aritmetiikan peruslause antaa myöntävän vastauksen useisiin näihin kysymyksiin. Aritmeettisen peruslauseen mukaan mikä tahansa kokonaisluku a, joka on suurempi kuin 1, voidaan hajottaa alkutekijöiden p 1, p 2, ..., p n tuloksi ja hajotuksen muoto on a = p 1 · p 2 · … · p n, ja tämä laajennus on ainutlaatuinen, jos ei oteta huomioon tekijöiden järjestystä

Lukujen kanoninen tekijöiden jakaminen alkutekijöiksi

Lukua laajennettaessa alkutekijät voivat toistua. Toistuvat alkutekijät voidaan kirjoittaa tiiviimmin käyttämällä . Olkoon luvun hajotuksessa alkutekijä p 1 s 1 kertaa, alkutekijä p 2 – s 2 kertaa ja niin edelleen, p n – s n kertaa. Sitten luvun a alkulukujako voidaan kirjoittaa muodossa a=p 1 s 1 · p 2 s 2 ·… · p n s n. Tämä tallennusmuoto on ns luvun kanoninen tekijöiden jakaminen alkutekijöiksi.

Otetaan esimerkki luvun kanonisesta jakautumisesta alkutekijöiksi. Kerro meille hajoaminen 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sen kanonisella merkinnällä on muoto 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Lukujen kanoninen tekijöiden jakaminen alkutekijöiksi antaa sinun löytää luvun kaikki jakajat ja luvun jakajien lukumäärät.

Algoritmi luvun laskemiseksi alkutekijöiksi

Jotta voit onnistuneesti hajottaa luvun alkutekijöiksi, sinulla on oltava erittäin hyvä tieto artikkelin alkuluku- ja yhdistelmälukujen tiedoista.

Positiivisen kokonaisluvun a, joka ylittää yhden, hajoamisprosessin ydin käy selväksi aritmeettisen peruslauseen todistuksesta. Tarkoituksena on löytää peräkkäin lukujen a, a 1, a 2, ..., a n-1 pienimmät alkujakajat p 1, p 2, ..., p n, mikä mahdollistaa yhtälöiden sarjan saamiseksi. a=p 1 ·a 1, jossa a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 · p 2 ·a 2, missä a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , missä a n =a n-1:p n . Kun osoittautuu a n =1, yhtälö a=p 1 ·p 2 ·…·p n antaa meille halutun luvun a hajotuksen alkutekijöiksi. Tässä on myös syytä huomata, että p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.

On vielä selvitettävä, kuinka löytää pienimmät alkutekijät kussakin vaiheessa, ja meillä on algoritmi luvun hajottamiseksi alkutekijöiksi. Alkulukutaulukko auttaa meitä löytämään alkutekijät. Osoitetaan, kuinka sitä käytetään luvun z pienimmän alkujakajan saamiseksi.

Otamme peräkkäin alkuluvut alkulukutaulukosta (2, 3, 5, 7, 11 ja niin edelleen) ja jaamme niillä annetun luvun z. Ensimmäinen alkuluku, jolla z on jaettu tasaisesti, on sen pienin alkulukujakaja. Jos luku z on alkuluku, niin sen pienin alkujakaja on itse luku z. Tässä on syytä muistaa, että jos z ei ole alkuluku, niin sen pienin alkuluku ei ylitä lukua , jossa on z:stä. Jos alkulukujen joukossa, jotka eivät ylitä , ei siis ollut yhtäkään jakajaa luvusta z, niin voimme päätellä, että z on alkuluku (lisätietoja tästä on kirjoitettu teoriaosiossa otsikon Tämä luku on alkuluku tai yhdistelmä ).

Esimerkkinä näytämme kuinka löytää luvun 87 pienin alkujakaja. Otetaan numero 2. Jaa 87 kahdella, saamme 87:2=43 (jäljellä 1) (tarvittaessa katso artikkeli). Eli kun 87 jaetaan kahdella, jäännös on 1, joten 2 ei ole luvun 87 jakaja. Otamme seuraavan alkuluvun alkulukutaulukosta, tämä on numero 3. Jaa 87 kolmella, saamme 87:3=29. Näin ollen 87 on jaollinen kolmella, joten luku 3 on luvun 87 pienin alkujakaja.

Huomaa, että yleisessä tapauksessa, jotta voimme laskea luvun a alkutekijöihin, tarvitsemme alkulukutaulukon aina vähintään . Meidän on viitattava tähän taulukkoon joka vaiheessa, joten meidän on oltava käsillämme. Esimerkiksi luvun 95 jakamiseksi alkutekijöiksi tarvitsemme vain alkulukutaulukon 10:een asti (koska 10 on suurempi kuin ). Ja luvun 846 653 hajottamiseksi tarvitset jo alkulukutaulukon 1 000 asti (koska 1 000 on suurempi kuin ).

Meillä on nyt tarpeeksi tietoa kirjoitettavaksi algoritmi luvun laskemiseksi alkutekijöiksi. Algoritmi luvun a hajottamiseksi on seuraava:

• Lajittelemalla peräkkäin alkulukutaulukon luvut, löydämme luvun a pienimmän alkujakajan p 1, jonka jälkeen lasketaan 1 =a:p 1. Jos a 1 =1, niin luku a on alkuluku, ja se itsessään on sen hajoaminen alkutekijöiksi. Jos a 1 ei ole yhtä suuri kuin 1, niin meillä on a=p 1 ·a 1 ja siirrytään seuraavaan vaiheeseen.
• Etsitään luvun a 1 pienin alkujakaja p 2, tätä varten lajitellaan peräkkäin alkulukutaulukon luvut alkaen p 1 :stä ja lasketaan sitten a 2 =a 1:p 2 . Jos a 2 =1, niin luvun a vaadittava hajottaminen alkutekijöiksi on muotoa a=p 1 ·p 2. Jos a 2 ei ole yhtä suuri kuin 1, niin meillä on a=p 1 ·p 2 ·a 2 ja siirrytään seuraavaan vaiheeseen.
• Käymällä läpi alkulukutaulukon luvut p 2:sta alkaen, löydämme luvun a 2 pienimmän alkujakajan p 3, jonka jälkeen lasketaan a 3 =a 2:p 3. Jos a 3 =1, niin luvun a vaadittava hajottaminen alkutekijöiksi on muotoa a=p 1 ·p 2 ·p 3. Jos 3 ei ole yhtä suuri kuin 1, niin meillä on a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 ja siirrytään seuraavaan vaiheeseen.
• Löydämme luvun a n-1 pienimmän alkujakajan p n lajittelemalla alkuluvut alkaen p n-1:stä sekä a n =a n-1:p n ja a n on yhtä kuin 1. Tämä vaihe on algoritmin viimeinen vaihe, josta saadaan luvun a vaadittu jaottelu alkutekijöiksi: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Selvyyden vuoksi kaikki luvun alkutekijöiksi hajottavan algoritmin kussakin vaiheessa saadut tulokset on esitetty seuraavan taulukon muodossa, jossa luvut a, a 1, a 2, ..., a n on kirjoitettu peräkkäin. pystyviivan vasemmalla puolella olevassa sarakkeessa ja rivin oikealla puolella - vastaavat pienimmät alkujakajat p 1, p 2, ..., p n.

Jäljelle jää vain muutama esimerkki tuloksena olevan algoritmin soveltamisesta lukujen hajottamiseen alkutekijöiksi.

Esimerkkejä alkutekijöiden jakamisesta

Nyt tarkastellaan yksityiskohtaisesti esimerkkejä lukujen laskemisesta alkutekijöiksi. Hajotessamme käytämme edellisen kappaleen algoritmia. Aloitetaan yksinkertaisista tapauksista ja monimutkaistaan ​​niitä vähitellen, jotta kohtaamme kaikki mahdolliset vivahteet, joita syntyy, kun lukuja jaetaan alkutekijöiksi.

Esimerkki.

Kerro luku 78 sen alkutekijöiksi.

Ratkaisu.

Aloitamme luvun a=78 ensimmäisen pienimmän alkujakajan p 1 etsimisen. Tätä varten alamme lajitella alkulukutaulukon alkulukuja peräkkäin. Otamme luvun 2 ja jaamme sillä 78, saamme 78:2=39. Luku 78 jaetaan kahdella ilman jäännöstä, joten p 1 =2 on luvun 78 ensimmäinen löydetty alkujakaja. Tässä tapauksessa a 1 =a:p 1 =78:2=39. Joten päästään yhtälöön a=p 1 ·a 1, jonka muoto on 78=2·39. Ilmeisesti 1 =39 on eri kuin 1, joten siirrymme algoritmin toiseen vaiheeseen.

Nyt etsitään luvun a 1 =39 pienintä alkujakajaa p 2. Aloitamme lukujen laskemisen alkulukutaulukosta alkaen p 1 =2:sta. Jaa 39 kahdella, saamme 39:2=19 (jäljellä 1). Koska 39 ei ole tasan jaollinen kahdella, niin 2 ei ole sen jakaja. Sitten otetaan seuraava luku alkulukutaulukosta (luku 3) ja jaetaan sillä 39, saadaan 39:3=13. Siksi p 2 =3 on luvun 39 pienin alkujakaja, kun taas a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Meillä on yhtälö a=p 1 ·p 2 ·a 2 muodossa 78=2·3·13. Koska 2 =13 on eri kuin 1, siirrymme algoritmin seuraavaan vaiheeseen.

Tässä meidän on löydettävä luvun a 2 =13 pienin alkujakaja. Kun etsitään luvun 13 pienintä alkujakajaa p 3, lajitellaan peräkkäin alkulukutaulukon numerot alkaen p 2 =3:sta. Luku 13 ei ole jaollinen 3:lla, koska 13:3=4 (lop. 1), myös 13 ei ole jaollinen luvuilla 5, 7 ja 11, koska 13:5=2 (lop. 3), 13:7=1 (lev. 6) ja 13:11=1 (lev. 2). Seuraava alkuluku on 13, ja 13 on sillä jaollinen ilman jäännöstä, joten luvun 13 pienin alkujakaja p 3 on itse luku 13 ja a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Koska 3 =1, tämä algoritmin vaihe on viimeinen ja vaadittu luvun 78 hajottaminen alkutekijöiksi on muotoa 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Vastaus:

78=2·3·13.

Esimerkki.

Ilmaise luku 83 006 alkutekijöiden tulona.

Ratkaisu.

Lukujen alkutekijöiksi hajottavan algoritmin ensimmäisessä vaiheessa löydämme p 1 =2 ja 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, josta 83,006=2·41,503.

Toisessa vaiheessa selviää, että 2, 3 ja 5 eivät ole luvun a 1 =41 503 alkujakajia, vaan luku 7 on, koska 41 503:7=5 929. Meillä on p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41 503:7 = 5 929. Siten 83 006 = 2 7 5 929.

Luvun a 2 =5 929 pienin alkujakaja on luku 7, koska 5 929:7 = 847. Siten p 3 = 7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, josta 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847.

Seuraavaksi havaitaan, että luvun a 3 =847 pienin alkujakaja p 4 on yhtä suuri kuin 7. Sitten a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, joten 83 006 = 2·7·7·7·121.

Nyt löydetään luvun a 4 =121 pienin alkujakaja, se on luku p 5 =11 (koska 121 on jaollinen 11:llä eikä 7:llä). Sitten a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 ja 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Lopuksi luvun a 5 =11 pienin alkujakaja on luku p 6 =11. Sitten a 6 =a 5:p 6 =11:11 = 1. Koska 6 =1, tämä luvun alkutekijöiksi hajottavan algoritmin vaihe on viimeinen, ja haluttu hajottelu on muotoa 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Saatu tulos voidaan kirjoittaa luvun kanonisena jaotteluna alkutekijöihin 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Vastaus:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 on alkuluku. Sillä ei todellakaan ole yhtä alkujakajaa, joka ei ylitä ( voidaan karkeasti arvioida , koska on selvää, että 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Vastaus:

897 924 289 = 937 967 991 .

Jaotuvuustestien käyttö alkutekijöiden laskentaan

Yksinkertaisissa tapauksissa voit jakaa luvun alkutekijöiksi käyttämättä tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa olevaa hajottelualgoritmia. Jos luvut eivät ole suuria, niin niiden hajottamiseksi alkutekijöiksi riittää usein jakomerkkien tunteminen. Annetaan esimerkkejä selvennykseksi.

Meidän on esimerkiksi otettava luku 10 alkutekijöihin. Kertotaulukosta tiedämme, että 2·5=10, ja luvut 2 ja 5 ovat ilmeisesti alkulukuja, joten luvun 10 alkulukujen jako näyttää 10=2·5.

Toinen esimerkki. Kertotaulukkoa käyttämällä laskemme luvun 48 alkutekijöihin. Tiedämme, että kuusi on kahdeksan - neljäkymmentäkahdeksan, eli 48 = 6,8. 6 ja 8 eivät kuitenkaan ole alkulukuja. Mutta tiedämme, että kaksi kertaa kolme on kuusi ja kahdesti neljä on kahdeksan, eli 6=2·3 ja 8=2·4. Sitten 48=6·8=2·3·2·4. Pitää muistaa, että kaksi kertaa kaksi on neljä, jolloin saadaan haluttu jaottelu alkutekijöiksi 48 = 2·3·2·2·2. Kirjoitetaan tämä laajennus kanoniseen muotoon: 48=2 4 ·3.

Mutta kun lasketaan luku 3 400 alkutekijöiksi, voit käyttää jakoehtoja. 10:llä, 100:lla jaettavissa olevat merkit mahdollistavat sen, että 3400 on jaollinen 100:lla, 3400=34·100 ja 100 10:llä, 100=10·10, joten 3400=34·10·10. Ja kahdella jaollisuustestin perusteella voimme sanoa, että jokainen tekijä 34, 10 ja 10 on jaollinen kahdella, saamme 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Kaikki tekijät tuloksena syntyvässä laajennuksessa ovat yksinkertaisia, joten tämä laajennus on haluttu. Jäljelle jää vain järjestää tekijät uudelleen niin, että ne menevät nousevaan järjestykseen: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Kirjataan myös tämän luvun kanoninen hajoaminen alkutekijöihin: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Jaettaessa annettua lukua alkutekijöiksi, voit käyttää vuorotellen sekä jakomerkkejä että kertotaulukkoa. Kuvitellaan luku 75 alkutekijöiden tulona. Viidellä jaollinen testi mahdollistaa sen, että 75 on jaollinen 5:llä, ja saadaan, että 75 = 5·15. Ja kertotaulukosta tiedämme, että 15=3·5, siis 75=5·3·5. Tämä on luvun 75 vaadittu hajoaminen alkutekijöiksi.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. ja muut Matematiikka. 6. luokka: oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle.
• Vinogradov I.M. Lukuteorian perusteet.
• Mikhelovich Sh.H. Numeroteoria.
• Kulikov L.Ya. ja muut Algebran ja lukuteorian tehtäväkokoelma: Oppikirja fysiikan ja matematiikan opiskelijoille. pedagogisten laitosten erikoisaloja.