उत्कीर्ण कोण, समस्या सिद्धांत। दोस्त! इस लेख में हम उन कार्यों पर ध्यान देंगे जिनके समाधान के लिए उत्कीर्ण कोण के गुणों को जानना आवश्यक है। यह कार्यों का एक पूरा समूह है, उन्हें परीक्षा में शामिल किया जाता है। उनमें से अधिकांश को बहुत ही सरलता से, एक चरण में हल किया जा सकता है।

अधिक कठिन कार्य हैं, लेकिन वे आपके लिए अधिक कठिनाई पेश नहीं करेंगे, आपको खुदा हुआ कोण के गुणों को जानने की जरूरत है। धीरे-धीरे, हम कार्यों के सभी प्रोटोटाइप का विश्लेषण करेंगे, मैं आपको ब्लॉग पर आमंत्रित करता हूं!

अब आवश्यक सिद्धांत के लिए। आइए याद करें कि केंद्रीय और खुदा हुआ कोण, जीवा, चाप क्या हैं, जिस पर ये कोण टिके हुए हैं:

एक वृत्त में केंद्रीय कोण को के साथ एक समतल कोण कहा जाता हैइसके केंद्र में शीर्ष.

एक समतल कोने के अंदर स्थित वृत्त का वह भागवृत्त का चाप कहते हैं।

एक वृत्त के चाप की डिग्री माप डिग्री माप हैसंबंधित केंद्रीय कोने।

एक कोण को वृत्त में अंकित कोण कहा जाता है यदि कोण का शीर्ष स्थित हैएक वृत्त पर, और कोने की भुजाएँ इस वृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं।

एक वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता हैतार... सबसे बड़ी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और कहलाती हैव्यास।

एक वृत्त में खुदे हुए कोणों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए,आपको निम्नलिखित गुणों को जानना होगा:

1. खुदा हुआ कोण एक ही चाप पर स्थित केंद्रीय कोण के आधे के बराबर है।

2. एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण बराबर होते हैं।

3. एक ही जीवा पर टिके हुए सभी खुदे हुए कोण, जिनके शीर्ष इस जीवा के एक ओर स्थित होते हैं, बराबर होते हैं।

4. एक ही जीवा पर आधारित कोणों का कोई भी युग्म, जिसके शीर्ष जीवा के विपरीत पक्षों पर स्थित हों, 180° तक योग करते हैं।

उपफल: एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है।

5. व्यास के आधार पर सभी खुदे हुए कोण सीधे होते हैं।

सामान्य तौर पर, यह संपत्ति संपत्ति (1) का परिणाम है, यह इसका विशेष मामला है। देखो - केंद्रीय कोण 180 डिग्री के बराबर है (और यह विस्तारित कोण व्यास के अलावा कुछ भी नहीं है), जिसका अर्थ है, पहली संपत्ति के अनुसार, खुदा हुआ कोण सी इसके आधे के बराबर है, यानी 90 डिग्री।

इस संपत्ति का ज्ञान कई समस्याओं को हल करने में मदद करता है और अक्सर अनावश्यक गणनाओं से बचता है। इसे अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप इस प्रकार के आधे से अधिक कार्यों को मौखिक रूप से हल करने में सक्षम होंगे। इसके दो परिणाम हो सकते हैं:

उपफल 1: यदि एक वृत्त में एक त्रिभुज खुदा हुआ है और उसकी एक भुजा इस वृत्त के व्यास के साथ मेल खाती है, तो त्रिभुज आयताकार होता है (समकोण का शीर्ष वृत्त पर स्थित होता है)।

उपफल 2: एक समकोण त्रिभुज के परिगत एक वृत्त का केंद्र उसके कर्ण के मध्य से मेल खाता है।

इस संपत्ति और परिणामों से डेटा का उपयोग करके स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के कई प्रोटोटाइप भी हल किए जाते हैं। तथ्य को स्वयं याद रखें: यदि किसी वृत्त का व्यास एक उत्कीर्ण त्रिभुज की भुजा है, तो यह त्रिभुज आयताकार है (व्यास के विपरीत कोण 90 डिग्री है)। आप अन्य सभी निष्कर्ष और परिणाम स्वयं निकाल सकते हैं, आपको उन्हें सीखने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियम के रूप में, एक उत्कीर्ण कोण के लिए समस्याओं का आधा हिस्सा एक स्केच के साथ दिया जाता है, लेकिन बिना पदनाम के। समस्याओं को हल करते समय तर्क की प्रक्रिया को समझने के लिए (नीचे लेख में), शीर्षों (कोणों) के पदनाम पेश किए गए हैं। आपको परीक्षा में ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।कार्यों पर विचार करें:

वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा पर टिका हुआ एक न्यूनकोण खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए किसी दिए गए खुदा कोण के लिए एक केंद्रीय कोण का निर्माण करें, शीर्षों को निरूपित करें:

वृत्त में अंकित कोण के गुण से:

AOB कोण 60 0 है, क्योंकि AOB त्रिभुज समबाहु है, और एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं। त्रिभुज की भुजाएँ बराबर हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि जीवा त्रिज्या के बराबर है।

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण ACB 30 0 के बराबर है।

उत्तर: 30

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर कोण 30 0 टिकी हुई है, जो त्रिज्या 3 के एक वृत्त में अंकित है।

यह अनिवार्य रूप से विपरीत समस्या है (पिछले एक की)। आइए एक केंद्रीय कोने का निर्माण करें।

यह खुदा हुआ से दोगुना बड़ा है, यानी AOB कोण 60 0 है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AOB त्रिभुज समबाहु है। इस प्रकार, जीवा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात तीन।

उत्तर: 3

वृत्त की त्रिज्या 1 है। दो के मूल के बराबर एक जीवा पर टिके हुए अधिक उत्कीर्ण कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए एक केंद्रीय कोने का निर्माण करें:

त्रिज्या और जीवा को जानकर हम केंद्रीय कोण ACB ज्ञात कर सकते हैं। यह कोसाइन प्रमेय द्वारा किया जा सकता है। केंद्रीय कोण को जानकर, हम आसानी से खुदा हुआ कोण ACB पा सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय: एक त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, इन भुजाओं के बीच के कोण के कोज्या द्वारा दोहरे गुणनफल के बिना।

इसलिए, दूसरा केंद्रीय कोण 360 0 . है – 90 0 = 270 0 .

खुदा हुआ कोण के गुण से कोण ACB इसके आधे के बराबर यानि 135 डिग्री होता है।

उत्तर: 135

वह जीवा ज्ञात कीजिए जिस पर 120 डिग्री का कोण टिका है, त्रिज्या के एक वृत्त में तीन का मूल खुदा हुआ है।

आइए बिंदु A और B को वृत्त के केंद्र से जोड़ते हैं। आइए इसे O के रूप में नामित करें:

हम त्रिज्या और खुदा हुआ कोण ACB जानते हैं। हम केंद्रीय कोण AOB (180 डिग्री से अधिक) ज्ञात कर सकते हैं, फिर त्रिभुज AOB में कोण AOB ज्ञात करें। और फिर, कोज्या प्रमेय द्वारा, AB परिकलित करें।

खुदा हुआ कोण के गुण के अनुसार केंद्रीय कोण AOB (जो 180 डिग्री से अधिक होता है) खुदा हुआ कोण के दोगुने यानी 240 डिग्री के बराबर होगा। इसका अर्थ है कि त्रिभुज AOB में कोण AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 है।

कोसाइन प्रमेय द्वारा:

उत्तर: 3

चाप पर टिका हुआ खुदा हुआ कोना ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर अंशों में दें।

खुदा हुआ कोण के गुण के अनुसार यह एक ही चाप पर टिका हुआ आधा केंद्रीय कोण होता है, इस स्थिति में हम चाप AB की बात कर रहे हैं।

चाप AB को परिधि का 20 प्रतिशत बताया गया है। इसका मतलब है कि एओबी का केंद्र कोण भी 360 0 का 20 प्रतिशत है।* एक वृत्त 360 डिग्री का कोण होता है। माध्यम,

इस प्रकार, खुदा हुआ कोण ACB 36 डिग्री है।

उत्तर: 36

एक वृत्त का चाप एसीएक बिंदु युक्त नहीं बी, 200 डिग्री है। एक वृत्ताकार चाप BC जिसमें कोई बिंदु नहीं है ए, 80 डिग्री है। खुदा हुआ कोने एसीबी खोजें। अपना उत्तर अंशों में दें।

स्पष्टता के लिए, हम उन चापों को निरूपित करते हैं जिनके कोणीय माप दिए गए हैं। 200 डिग्री के अनुरूप चाप नीला है, 80 डिग्री के अनुरूप चाप लाल है, शेष सर्कल पीला है।

इस प्रकार, चाप AB (पीला) और इसलिए केंद्रीय कोण AOB की डिग्री माप है: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

खुदा हुआ कोण ACB, AOB का आधा केंद्रीय कोण है, यानी यह 40 डिग्री के बराबर है।

उत्तर: 40

वृत्त के व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण क्या है? अपना उत्तर अंशों में दें।

कोण ABC एक खुदा हुआ कोण है। यह AC के चाप पर टिकी हुई है, जो इसकी भुजाओं के बीच समाप्त होती है (चित्र 330)।

प्रमेय। खुदा हुआ कोण उस चाप के आधे भाग से मापा जाता है जिस पर वह टिका होता है।

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: उत्कीर्ण कोण में कई कोणीय डिग्री होते हैं, मिनट और सेकंड चाप डिग्री के रूप में होते हैं, मिनट और सेकंड चाप के आधे हिस्से में समाहित होते हैं जिस पर वह रहता है।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, तीन मामलों पर विचार किया जाना चाहिए।

पहला मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोने के किनारे पर स्थित है (अंजीर। 331)।

माना ABC खुदा हुआ कोण है और वृत्त O का केंद्र BC पर स्थित है। यह साबित करना आवश्यक है कि इसे चाप एसी के आधे से मापा जाता है।

बिंदु A को वृत्त के केंद्र से कनेक्ट करें। हमें समद्विबाहु \ (\ Delta \) AOB मिलता है, जिसमें AO = OB, एक ही वृत्त की त्रिज्या के रूप में होता है। इसलिए, A = B।

AOC त्रिभुज AOB के बाहर है, इसलिए ∠AOC = A + B, और चूँकि कोण A और B बराबर हैं, B 1/2 AOC है।

लेकिन AOC को AC चाप से मापा जाता है, इसलिए B को AC चाप के आधे से मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि \ (\ breve (AC) \) में 60°18' है, तो में 30°9' है।

दूसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोण की भुजाओं के बीच स्थित होता है (चित्र 332)।

माना ABD एक खुदा हुआ कोण है। वृत्त O का केंद्र इसकी भुजाओं के बीच स्थित है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ABD को चाप AD के आधे से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए हम व्यास BC खींचते हैं। कोण ABD दो कोणों में विभाजित होता है: 1 और ∠2।

∠1 को AC चाप के आधे से मापा जाता है, और ∠2 को CD चाप के आधे से मापा जाता है, इसलिए, संपूर्ण ∠ABD को 1/2 \ (\ breve (AC) \) + 1/2 \ (\) मापा जाता है। ब्रेव (सीडी) \), यानी एडी चाप का आधा।

उदाहरण के लिए, यदि \ (\ breve (AD) \) में 124 ° है, तो में 62 ° है।

तीसरा मामला। वृत्त का केंद्र खुदे हुए कोने के बाहर स्थित है (अंजीर। 333)।

माना MAD खुदा हुआ कोण है। वृत्त O का केंद्र कोने के बाहर है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ∠MAD को MD चाप के आधे से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए हम व्यास AB खींचते हैं। MAD = MAB - DAB। लेकिन ∠MAB को 1/2 \ (\ breve (MB) \) पर मापा जाता है और ∠DAB को 1/2 \ (\ breve (DB) \) पर मापा जाता है।

इसलिए, ∠MAD को 1/2 (\ (\ breve (MB) - \ breve (DB)) \), यानी 1/2 \ (\ breve (MD) \) द्वारा मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि \ (\ breve (MD) \) में 48 ° 38 "है, तो ∠MAD में 24 ° 19 '8" है।

परिणाम
1. एक ही चाप पर आधारित सभी खुदे हुए कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, क्योंकि उन्हें एक ही चाप के आधे से मापा जाता है (चित्र। 334, ए)।

2. व्यास के आधार पर उत्कीर्ण कोण सम है, क्योंकि यह वृत्त के आधे भाग पर टिका होता है। वृत्त के आधे भाग में 180 चाप अंश होते हैं, जिसका अर्थ है कि व्यास पर आधारित कोण में 90 कोणीय अंश होते हैं (चित्र 334, ख)।

यह दो . से बनने वाला कोण है कॉर्ड्सवृत्त के एक बिंदु से निकलती है। खुदा हुआ कोण कहा जाता है पर निर्भर करता हैइसके किनारों के बीच चाप पर।

खुदा हुआ कोनाचाप के आधे के बराबर जिस पर वह टिकी हुई है।

दूसरे शब्दों में, खुदा हुआ कोणके रूप में कई कोणीय डिग्री, मिनट और सेकंड शामिल हैं चाप डिग्री, मिनट और सेकंड चाप के आधे हिस्से में संलग्न है जिस पर यह टिकी हुई है। प्रमाणित करने के लिए, आइए तीन मामलों का विश्लेषण करें:

पहला मामला:

केंद्र O बगल में स्थित है खुदा हुआ कोणएबीसी. त्रिज्या AO को आलेखित करने पर, हमें ABO प्राप्त होता है, जिसमें OA = OB (त्रिज्या के रूप में) और, तदनुसार, ABO = ZBAO होता है। इस संबंध में त्रिकोण, कोण एओसी - बाहरी। इसका मतलब है कि यह कोणों ABO और BAO के योग के बराबर है, या दोहरे कोण ABO के बराबर है। तो ABO बराबर है आधा केंद्रीय कोनेएओसी. लेकिन इस कोण को AC चाप द्वारा मापा जाता है। यानी खुदा हुआ कोण ABC चाप AC के आधे से मापा जाता है।

दूसरा मामला:

केंद्र O भुजाओं के बीच स्थित है खुदा हुआ कोणएबीसी व्यास बीडी खींचकर, हम कोण एबीसी को दो कोणों में विभाजित करते हैं, जिनमें से पहले मामले में स्थापित के अनुसार, आधे में मापा जाता है आर्क्स AD, और चाप CD का दूसरा आधा भाग। और उसी के अनुसार कोण ABC को मापा जाता है (AD+DC)/2, अर्थात। 1/2 एसी।

तीसरा मामला:

केंद्र O बाहर स्थित है खुदा हुआ कोणएबीसी. व्यास BD निकालने के बाद, हमारे पास होगा: ∠ABС = ABD - ∠CBD . लेकिन कोण ABD और CBD मापा जाता है, जो पहले से उचित हिस्सों के आधार पर मापा जाता है आर्क्सएडी और सीडी। और चूँकि ABC को (AD-CD)/2 से मापा जाता है, अर्थात चाप AC का आधा।

कोरोलरी 1.एक ही चाप पर आधारित कोई भी समान हैं, अर्थात वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूंकि उनमें से प्रत्येक को उसी के आधे से मापा जाता है आर्क्स .

कोरोलरी 2. खुदा हुआ कोनाव्यास के आधार पर- समकोण... चूंकि इस तरह के प्रत्येक कोण को आधे अर्धवृत्त में मापा जाता है और, तदनुसार, इसमें 90 ° होता है।

इस लेख में मैं आपको बताऊंगा कि उन समस्याओं को कैसे हल किया जाए जिनमें उनका उपयोग किया जाता है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, आइए उन परिभाषाओं और प्रमेयों को याद करें जिनके साथ समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आपको जानना आवश्यक है।

1.खुदा हुआ कोनाएक कोण है, जिसका शीर्ष वृत्त पर स्थित है, और इसकी भुजाएँ वृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं:

2.केंद्र का कोनाकोण है, जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र से मेल खाता है:

वृत्त के चाप का घात मानउस पर टिके हुए केंद्रीय कोण के मान से मापा जाता है।

इस स्थिति में, AC चाप का घात मान AOC कोण के मान के बराबर होता है।

3. यदि खुदा हुआ और केंद्रीय कोण एक चाप पर टिका है, तो खुदा हुआ कोण का मान केंद्रीय कोण से दो गुना कम है:

4. एक चाप पर टिके हुए सभी उत्कीर्ण कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं:

5. व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण 90° होता है:

आइए कई समस्याओं का समाधान करें।

एक । टास्क बी7 (# 27887)

आइए केंद्रीय कोण का मान ज्ञात करें, जो एक ही चाप पर टिका होता है:

जाहिर है, कोण एओसी का मान 90 डिग्री के बराबर है, इसलिए कोण एबीसी 45 डिग्री के बराबर है

उत्तर: 45°

2. टास्क बी7 (# 27888)

कोण ABC ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

जाहिर है, कोण AOC 270° है, तो कोण ABC 135° है।

उत्तर : 135°

3. टास्क बी7 (नंबर 27890)

उस वृत्त के चाप AC का घात मान ज्ञात कीजिए जिस पर कोण ABC स्थित है। अपना उत्तर अंशों में दें।

आइए केंद्रीय कोण का मान ज्ञात करें, जो चाप AC पर टिका होता है:

कोण AOC का परिमाण 45° है, इसलिए चाप AC का अंश माप 45° है।

उत्तर: 45°।

4 . टास्क बी7 (# 27885)

कोण ACB ज्ञात कीजिए यदि अंकित कोण ADB और DAE वृत्ताकार चापों पर टिके हैं जिनके डिग्री मान क्रमशः और के बराबर हैं। अपना उत्तर अंशों में दें।

कोण एडीबी चाप एबी पर टिकी हुई है, इसलिए, केंद्रीय कोण एओबी का मान 118 डिग्री है, इसलिए, कोण बीडीए 59 डिग्री है, और आसन्न कोण एडीसी 180 डिग्री -59 डिग्री = 121 डिग्री है

इसी तरह, डीओई 38 डिग्री है और संबंधित डीएई 19 डिग्री है।

त्रिभुज एडीसी पर विचार करें:

एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

एसीबी का कोण 180° - (121 ° + 19 °) = 40 ° . होता है

उत्तर : 40°

5 . टास्क बी7 (नंबर 27872)

चतुर्भुज ABCD AB, BC, CD और AD की भुजाएँ परिबद्ध वृत्त के चापों को संकुचित करती हैं, जिनके अंश मान क्रमशः, और, के बराबर हैं। इस चतुर्भुज का कोना B ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

कोण B चाप ADC पर टिका होता है, जिसका मान चाप AD और CD के मानों के योग के बराबर होता है, अर्थात 71 ° + 145 ° = 216 °

खुदा हुआ कोण B, चाप के आकार के आधे ADC के बराबर है, यानी 108 °

उत्तर: 108°

6. टास्क बी7 (# 27873)

एक वृत्त पर स्थित बिंदु A, B, C, D, इस वृत्त को चार चापों AB, BC, CD और AD में विभाजित करते हैं, जिनके अंश मान क्रमशः 4: 2: 3: 6 से संबंधित हैं। चतुर्भुज ABCD का कोण A ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

(पिछले कार्य की ड्राइंग देखें)

चूँकि हमने चापों के परिमाण का अनुपात दिया है, इसलिए हम इकाई तत्व x का परिचय देते हैं। तब प्रत्येक चाप के मान इस प्रकार व्यक्त किए जाएंगे:

एबी = 4x, बीसी = 2x, सीडी = 3x, एडी = 6x। सभी चाप एक वृत्त बनाते हैं, अर्थात उनका योग 360° होता है।

4x + 2x + 3x + 6x = 360 °, इसलिए x = 24 °।

कोण A चाप BC और CD पर टिका है, जिनका मान 5x = 120 ° है।

अतः कोण A 60° . के बराबर है

उत्तर : 60°

7. टास्क बी7 (# 27874)

अहाता ए बी सी डीएक घेरे में अंकित। इंजेक्शन एबीसीबराबर, कोण पाजी

औसत स्तर

परिधि और खुदा कोण। विजुअल गाइड (2019)

मूल शर्तें।

क्या आपको मंडली से जुड़े सभी नाम अच्छी तरह याद हैं? बस मामले में, हम आपको याद दिलाएंगे - चित्रों को देखें - अपने ज्ञान को ताज़ा करें।

पहले तो - एक वृत्त का केंद्र एक बिंदु है, जिससे वृत्त के सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है।

दूसरा - RADIUS - केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु को जोड़ने वाला एक रेखा खंड।

बहुत सारी त्रिज्याएँ होती हैं (जितनी एक वृत्त पर बिंदु होते हैं), लेकिन सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है।

कभी-कभी संक्षिप्तता के लिए RADIUSठीक कहा जाता है खंड की लंबाई"केंद्र वृत्त पर एक बिंदु है", रेखा ही नहीं।

लेकिन क्या होता है यदि आप दो बिंदुओं को एक वृत्त पर जोड़ते हैं? एक खंड भी?

तो, इस खंड को कहा जाता है "तार".

जैसे कि त्रिज्या के मामले में, व्यास को अक्सर वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने और केंद्र से गुजरने वाले खंड की लंबाई कहा जाता है। वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? नज़दीक से देखें। बेशक, त्रिज्या आधा व्यास है।

रागों के अलावा, वहाँ भी हैं छेदक

सबसे आसान बात याद है?

केंद्र कोण दो त्रिज्याओं के बीच का कोण है।

और अब - खुदा हुआ कोना

उत्कीर्ण कोण - दो जीवाओं के बीच का कोण जो वृत्त पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है.

ऐसा कहा जाता है कि खुदा हुआ कोण एक चाप (या एक जीवा) पर टिका होता है।

तस्वीर पर देखो:

चापों और कोणों का मापन।

परिधि। चाप और कोणों को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है। सबसे पहले, डिग्री के बारे में। कोणों के लिए, कोई समस्या नहीं है - आपको यह सीखना होगा कि चाप को डिग्री में कैसे मापें।

डिग्री माप (चाप आकार) संबंधित केंद्र कोण का मान (डिग्री में) है

यहाँ "उपयुक्त" शब्द का क्या अर्थ है? हम ध्यान से देखते हैं:

क्या आपको दो चाप और दो केंद्रीय कोने दिखाई देते हैं? खैर, एक बड़ा चाप एक बड़े कोण से मेल खाता है (और यह ठीक है कि यह बड़ा है), और एक छोटा चाप एक छोटे कोण से मेल खाता है।

तो, हम सहमत हुए: चाप में संबंधित केंद्रीय कोण के समान ही डिग्री होती है।

और अब भयानक के बारे में - रेडियंस के बारे में!

यह "रेडियन" किस तरह का जानवर है?

इसकी कल्पना करें: रेडियन कोण को मापने का एक तरीका है ... त्रिज्या में!

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

फिर प्रश्न उठता है - अनफोल्डेड एंगल में कितने रेडियन होते हैं?

दूसरे शब्दों में: आधे सर्कल में कितने त्रिज्या "फिट" हैं? या दूसरे तरीके से: आधे वृत्त की लंबाई त्रिज्या से कितनी गुना अधिक है?

यह सवाल प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिकों ने वापस पूछा था।

और इसलिए, एक लंबी खोज के बाद, उन्होंने पाया कि परिधि और त्रिज्या का अनुपात "मानव" संख्याओं जैसे आदि में व्यक्त नहीं करना चाहता था।

और मैं इस रवैये को जड़ों से व्यक्त भी नहीं कर सकता। यही है, यह पता चला है कि कोई यह नहीं कह सकता कि आधा वृत्त त्रिज्या से कई गुना या गुना बड़ा है! क्या आप सोच सकते हैं कि लोगों के लिए इसे पहली बार खोजना कितना आश्चर्यजनक था?! आधे वृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के लिए, "सामान्य" संख्याएँ पर्याप्त नहीं थीं। मुझे एक पत्र दर्ज करना था।

तो, एक अर्धवृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करने वाली एक संख्या है।

अब हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: अनफोल्डेड एंगल में कितने रेडियन होते हैं? इसमें रेडियन होते हैं। ठीक इसलिए क्योंकि वृत्त का आधा भाग त्रिज्या से कई गुना बड़ा है।

सदियों से प्राचीन (और ऐसा नहीं) लोग (!) इस रहस्यमय संख्या की अधिक सटीक गणना करने की कोशिश की, इसे "साधारण" संख्याओं के माध्यम से (कम से कम लगभग) बेहतर ढंग से व्यक्त करने के लिए। और अब हम असंभव रूप से आलसी हैं - एक व्यस्त के बाद दो संकेत हमारे लिए पर्याप्त हैं, हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि

इसके बारे में सोचें, इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, एक के त्रिज्या वाले सर्कल का वाई लगभग लंबाई के बराबर है, लेकिन इस लंबाई को "मानव" संख्या के साथ लिखना असंभव है - आपको एक पत्र की आवश्यकता है। और तब यह परिधि बराबर हो जाएगी। और निश्चित रूप से, त्रिज्या की परिधि है।

आइए रेडियंस पर वापस जाएं।

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि सामने वाले कोण में रेडियन होते हैं।

हमारे पास क्या है:

इसका मतलब है कि मैं खुश हूं यानी मैं खुश हूं। उसी तरह, सबसे लोकप्रिय कोणों वाली प्लेट प्राप्त की जाती है।

खुदा और केंद्रीय कोणों के मूल्यों के बीच का अनुपात।

एक आश्चर्यजनक तथ्य घटित होता है:

खुदा हुआ कोण संबंधित केंद्रीय कोण का आधा है।

तस्वीर में देखें कि यह कथन कैसा दिखता है। "संबंधित" केंद्रीय कोण वह है जहां छोर खुदा हुआ कोण के सिरों के साथ मेल खाते हैं, और शीर्ष केंद्र में है। और साथ ही, "संबंधित" केंद्रीय कोण को उसी तार () पर खुदा हुआ कोण के रूप में "देखना" चाहिए।

ऐसा क्यों है? आइए पहले एक साधारण मामले को देखें। किसी एक जीवा को केंद्र से गुजरने दें। ऐसा कभी-कभी होता है, है ना?

यहाँ क्या हुआ? चलो गौर करते हैं। यह समद्विबाहु है - आखिरकार, और त्रिज्या हैं। इसलिए, (उन्हें नामित)।

अब देखते हैं। यह बाहरी कोने के लिए है! हमें याद है कि बाहरी कोना दो आंतरिक के योग के बराबर है जो इसके निकट नहीं हैं, और हम लिखते हैं:

अर्थात्! एक अप्रत्याशित प्रभाव। लेकिन उत्कीर्णन के लिए एक केंद्रीय कोण भी है।

इसका मतलब है कि इस मामले के लिए यह साबित हो गया था कि केंद्रीय कोण खुदा हुआ कोण का दोगुना है। लेकिन यह एक बहुत ही खास मामला है: क्या यह सच है कि जीवा हमेशा सीधे केंद्र से नहीं जाती है? लेकिन कुछ नहीं, अब यह खास मामला हमारी बहुत मदद करेगा। देखो: दूसरा मामला: केंद्र को अंदर रहने दो।

आइए इसे करें: व्यास ड्रा करें। और फिर ... हम दो तस्वीरें देखते हैं जिनका विश्लेषण पहले मामले में किया जा चुका है। इसलिए, हमारे पास पहले से ही है

इसलिए, (ड्राइंग में, ए)

खैर, आखिरी स्थिति बनी हुई है: केंद्र कोने के बाहर है।

हम वही करते हैं: एक बिंदु के माध्यम से व्यास खींचें। सब कुछ समान है, लेकिन योग के बजाय - अंतर।

बस इतना ही!

आइए अब इस कथन से दो मुख्य और बहुत महत्वपूर्ण परिणाम बनाते हैं कि खुदा हुआ कोण आधा केंद्रीय कोण है।

परिणाम 1

एक चाप पर आधारित सभी उत्कीर्ण कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

आइए बताते हैं:

एक ही चाप पर अनगिनत उत्कीर्ण कोण हैं (हमारे पास यह चाप है), वे पूरी तरह से अलग दिख सकते हैं, लेकिन उन सभी में एक ही केंद्रीय कोण () है, जिसका अर्थ है कि ये सभी खुदे हुए कोण आपस में बराबर हैं।

परिणाम 2

व्यास के आधार पर कोण सीधा होता है।

देखो: केंद्र किस कोने के लिए है?

निश्चित रूप से, । लेकिन यह बराबर है! ठीक है, इसीलिए (साथ ही बहुत सारे खुदे हुए कोणों पर आधारित) और बराबर है।

दो जीवाओं और सेकण्ट के बीच का कोण

लेकिन क्या होगा अगर हम जिस कोण में रुचि रखते हैं वह खुदा नहीं है और केंद्रीय नहीं है, लेकिन, उदाहरण के लिए, इस तरह:

या उस तरह?

क्या किसी तरह इसे कुछ केंद्रीय कोणों के माध्यम से व्यक्त करना संभव है? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। देखो: हम रुचि रखते हैं।

ए) (बाहरी कोने के रूप में)। लेकिन - खुदा, एक चाप पर टिकी हुई -। - खुदा हुआ, एक चाप पर टिका हुआ -।

सुंदरता के लिए वे कहते हैं:

जीवाओं के बीच का कोण इस कोण में संलग्न चापों के कोणीय मानों के आधे योग के बराबर होता है।

यह संक्षिप्तता के लिए लिखा गया है, लेकिन निश्चित रूप से, इस सूत्र का उपयोग करते समय, आपको केंद्रीय कोणों को ध्यान में रखना होगा

बी) और अब - "बाहर"! कैसे बनें? हाँ, लगभग वही! केवल अभी (फिर से इसके लिए बाहरी कोने का गुण लागू करें)। यानी अब।

और इसका मतलब। आइए रिकॉर्ड और फॉर्मूलेशन में सुंदरता और संक्षिप्तता लाएं:

सेकण्ट्स के बीच का कोण इस कोण में संलग्न चापों के कोणीय मानों के आधे अंतर के बराबर होता है।

खैर, अब आप वृत्त से जुड़े कोणों के बारे में सभी बुनियादी ज्ञान से लैस हैं। आगे, कार्यों के हमले के लिए!

वृत्त और लिखित कोण। औसत स्तर

पांच साल का बच्चा जानता है कि वृत्त क्या है, है ना? गणितज्ञ, हमेशा की तरह, इसकी एक गूढ़ परिभाषा रखते हैं, लेकिन हम इसे (देखें) नहीं देंगे, बल्कि एक वृत्त से जुड़े बिंदुओं, रेखाओं और कोणों के नाम याद रखेंगे।

महत्वपूर्ण शर्तें

पहले तो:

दूसरा:

एक और स्वीकृत अभिव्यक्ति है: "कॉर्ड चाप को अनुबंधित करता है।" यहाँ, चित्र में, उदाहरण के लिए, एक जीवा एक चाप को सिकोड़ता है। और अगर कोई जीवा अचानक केंद्र से होकर गुजरती है, तो उसका एक विशेष नाम होता है: "व्यास"।

वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? नज़दीक से देखें। बेशक,

और अब कोनों के नाम।

स्वाभाविक रूप से, है ना? कोने के किनारे केंद्र से बाहर जाते हैं, जिसका अर्थ है कि कोना केंद्रीय है।

यहीं पर कभी-कभी मुश्किलें आती हैं। ध्यान दें - वृत्त के अंदर कोई कोण नहीं - खुदा हुआ,लेकिन केवल वही जिसका शीर्ष वृत्त पर "बैठता है"।

आइए तस्वीरों में देखें अंतर:

वे दूसरे तरीके से भी कहते हैं:

यहाँ एक मुश्किल बिंदु है। "मिलान" या "कस्टम" केंद्र कोण क्या है? वृत्त के केंद्र में शीर्ष के साथ एक कोण और चाप के सिरों पर समाप्त होता है? निश्चित रूप से उस तरह से नहीं। ड्राइंग को देखो।

उनमें से एक, हालांकि, एक कोने की तरह नहीं दिखता - यह बड़ा है। लेकिन एक त्रिभुज में अधिक कोण नहीं हो सकते हैं, लेकिन एक वृत्त में - यह हो सकता है! तो: एक छोटा चाप AB एक छोटे कोण (नारंगी) से मेल खाता है, और एक बड़ा - एक बड़ा। बस कैसे, है ना?

खुदा और केंद्रीय कोणों के मूल्यों के बीच का अनुपात

एक बहुत ही महत्वपूर्ण कथन याद रखें:

पाठ्यपुस्तकों में वे इस तथ्य को इस प्रकार लिखना पसंद करते हैं:

क्या केंद्र के कोने से शब्द बनाना आसान नहीं है?

लेकिन फिर भी, आइए दो फॉर्मूलेशन के बीच एक पत्राचार खोजें, और साथ ही सीखें कि "संबंधित" केंद्रीय कोण और चाप जिस पर खुदा हुआ कोण "आकृतियों में" रहता है।

देखो: यहाँ वृत्त और खुदा हुआ कोण है:

इसका "संगत" केंद्र कोण कहाँ है?

हम फिर से देखते हैं:

नियम क्या है?

लेकिन! इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि खुदा हुआ और केंद्रीय कोण एक तरफ से चाप तक "देखो"। उदाहरण के लिए:

अजीब तरह से, नीला! क्योंकि चाप लंबा है, आधे वृत्त से अधिक लंबा है! तो कभी भी भ्रमित न हों!

खुदा हुआ कोण के "अर्ध-हृदयता" से क्या परिणाम निकाला जा सकता है?

और यहाँ, उदाहरण के लिए:

व्यास आधारित कोण

क्या आपने पहले ही ध्यान दिया है कि गणितज्ञ एक ही चीज़ के बारे में अलग-अलग शब्दों में बात करने के बहुत शौकीन होते हैं? वे क्यों करेंगे? आप देखते हैं, गणित की भाषा, हालांकि औपचारिक है, जीवित है, और इसलिए, सामान्य भाषा की तरह, हर बार आप इसे कहना चाहते हैं क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक है। खैर, हम पहले ही देख चुके हैं कि "एक कोण एक चाप पर टिका होता है" क्या है। और कल्पना कीजिए, उसी तस्वीर को "एक जीवा पर एक कोण टिका हुआ" कहा जाता है। किस पर? हाँ, बिल्कुल, उस पर जो इस चाप को खींचता है!

एक चाप की तुलना में एक जीवा पर भरोसा करना कब अधिक सुविधाजनक होता है?

खैर, खासकर जब यह राग व्यास है।

ऐसी स्थिति के लिए आश्चर्यजनक रूप से सरल, सुंदर और उपयोगी कथन है!

देखो: यहाँ परिधि, व्यास और कोण है जो इस पर टिकी हुई है।

वृत्त और लिखित कोण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

1. बुनियादी अवधारणाएं।

3. चापों और कोणों का मापन।

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

यह एक संख्या है जो अर्धवृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करती है।

त्रिज्या की परिधि है।

4. खुदा हुआ और केंद्रीय कोणों के मूल्यों के बीच का अनुपात।