Վեկտորների կետային արտադրյալ

Մենք շարունակում ենք գործ ունենալ վեկտորների հետ: Առաջին դասին Վեկտորներ կեղծամների համարմենք ուսումնասիրեցինք վեկտոր հասկացությունը, վեկտորներով գործողություններ, վեկտորի կոորդինատներ և վեկտորներով ամենապարզ առաջադրանքները: Եթե ​​որոնողական համակարգից առաջին անգամ եք եկել այս էջ, խորհուրդ եմ տալիս կարդալ վերը նշված ներածական հոդվածը, քանի որ նյութին տիրապետելու համար անհրաժեշտ է նավարկեք իմ օգտագործած տերմիններով և նշումներով, ունենաք տարրական գիտելիքներ վեկտորների մասին և լինեք: կարողանում է լուծել տարրական խնդիրներ. Այս դասը թեմայի տրամաբանական շարունակությունն է, և դրանում ես մանրամասն կվերլուծեմ բնորոշ առաջադրանքները, որոնցում օգտագործվում է վեկտորների կետային արտադրյալը։ Սա ՇԱՏ ԿԱՐԵՎՈՐ գործունեություն է։... Փորձեք բաց չթողնել օրինակները, դրանք ուղեկցվում են օգտակար բոնուսով. պրակտիկան կօգնի ձեզ համախմբել ձեր լուսաբանած նյութը և ձեռք բերել վերլուծական երկրաչափության ընդհանուր խնդիրների լուծումը:

Վեկտորների գումարում, վեկտորի բազմապատկում թվով…. Միամտություն կլինի կարծել, թե մաթեմատիկոսներն այլ բան չեն մտածել։ Բացի արդեն դիտարկված գործողություններից, կան մի շարք այլ գործողություններ վեկտորներով, մասնավորապես. վեկտորների կետային արտադրյալ, վեկտորների վեկտորային արտադրյալև վեկտորների խառը արտադրյալ... Վեկտորների սկալյար արտադրյալը մեզ ծանոթ է դպրոցից, մյուս երկու արտադրյալներն ավանդաբար կապված են բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացի հետ։ Թեմաները պարզ են, բազմաթիվ խնդիրների լուծման ալգորիթմը՝ կարծրատիպային ու հասկանալի։ Միակ բանը. Տեղեկատվության արժանապատիվ քանակ կա, ուստի անցանկալի է փորձել յուրացնել, ԱՄԵՆ ԻՆՉ ՄԻԱՆԳԱՄԲ լուծել։ Սա հատկապես վերաբերում է թեյնիկներին, հավատացեք, որ հեղինակը մաթեմատիկայից ընդհանրապես չի ցանկանում իրեն Չիկատիլո զգալ։ Դե, և ոչ թե մաթեմատիկայից, իհարկե, նույնպես =) Ավելի պատրաստված ուսանողները կարող են ընտրողաբար օգտագործել նյութերը, ինչ-որ իմաստով «ստանալ» բացակայող գիտելիքները, ձեզ համար ես կլինեմ անվնաս կոմս Դրակուլա =)

Վերջապես, եկեք մի փոքր բացենք դուռը և տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ երկու վեկտորներ հանդիպում են միմյանց…

Վեկտորների կետային արտադրյալի որոշում.
Dot արտադրանքի հատկությունները. Տիպիկ առաջադրանքներ

Dot արտադրանքի հայեցակարգը

Նախ՝ մասին անկյունը վեկտորների միջև... Կարծում եմ՝ բոլորը ինտուիտիվ հասկանում են, թե որն է վեկտորների միջև եղած անկյունը, բայց ամեն դեպքում՝ մի փոքր ավելի մանրամասն։ Դիտարկենք ազատ ոչ զրոյական վեկտորներ և. Եթե ​​դուք հետաձգեք այս վեկտորները կամայական կետից, դուք կստանաք մի պատկեր, որը շատերն արդեն պատկերացրել են իրենց մտքում.

Խոստովանում եմ, որ այստեղ իրավիճակը ուրվագծել եմ միայն ըմբռնման մակարդակով։ Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է վեկտորների միջև անկյան խիստ սահմանում, խնդրում ենք ծանոթանալ դասագրքին, բայց գործնական խնդիրների դեպքում դա մեզ սկզբունքորեն պետք չէ: Նաև ԱՅՍՏԵՂ ԵՎ ԱՎԵԼԻ, ես տեղ-տեղ անտեսելու եմ զրոյական վեկտորները՝ նրանց ցածր գործնական նշանակության պատճառով: Ես վերապահում եմ արել հատուկ կայքի առաջադեմ այցելուների համար, ովքեր կարող են կշտամբել ինձ հետևյալ հայտարարություններից մի քանիսի տեսական անավարտության համար:

Գրականության մեջ անկյունի պատկերակը հաճախ անտեսվում և գրվում է պարզ:

Սահմանում:Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը ԹԻՎն է, որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների արտադրյալին նրանց միջև անկյան կոսինուսով.

Սա արդեն բավականին խիստ սահմանում է։

Մենք կենտրոնանում ենք էական տեղեկատվության վրա.

Նշանակում:կետային արտադրանքը նշվում է կամ պարզապես:

Վիրահատության արդյունքը ԹԻՎ էՎեկտորը բազմապատկվում է վեկտորով, և ստացվում է մի թիվ: Իսկապես, եթե վեկտորների երկարությունները թվեր են, ապա անկյան կոսինուսը թիվ է, ապա դրանց արտադրյալը. կլինի նաև թիվ.

Ընդամենը տաքացման մի քանի օրինակ.

Օրինակ 1

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք բանաձևը ... Այս դեպքում:

Պատասխան.

Կոսինուսի արժեքները կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ... Ես խորհուրդ եմ տալիս տպել այն. այն կպահանջվի աշտարակի գրեթե բոլոր հատվածներում և կպահանջվի բազմիցս:

Զուտ մաթեմատիկական տեսանկյունից կետային արտադրյալն անչափ է, այսինքն՝ արդյունքը տվյալ դեպքում ընդամենը թիվ է և վերջ։ Ֆիզիկայի խնդիրների տեսանկյունից սկալյար արտադրյալը միշտ ունի որոշակի ֆիզիկական նշանակություն, այսինքն՝ արդյունքից հետո պետք է նշվի այս կամ այն ​​ֆիզիկական միավորը։ Ուժի աշխատանքի հաշվարկման կանոնական օրինակ կարելի է գտնել ցանկացած դասագրքում (բանաձևը հենց կետային արտադրյալն է): Ուժի աշխատանքը չափվում է Ջուլերով, հետևաբար, և պատասխանը գրվելու է բավականին կոնկրետ, օրինակ.

Օրինակ 2

Գտեք, եթե , իսկ վեկտորների միջև եղած անկյունը.

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է, պատասխանը դասընթացի վերջում է:

Անկյուն վեկտորների և կետային արտադրանքի արժեքի միջև

Օրինակ 1-ում կետային արտադրյալը ստացվել է դրական, իսկ օրինակ 2-ում՝ բացասական: Եկեք պարզենք, թե ինչից է կախված կետային արտադրանքի նշանը: Մենք նայում ենք մեր բանաձևին. ... Ոչ զրոյական վեկտորների երկարությունները միշտ դրական են, ուստի նշանը կարող է կախված լինել միայն կոսինուսի արժեքից:

Նշում: Ստորև ներկայացված տեղեկատվությունը ավելի լավ հասկանալու համար ավելի լավ է ուսումնասիրել ձեռնարկի կոսինուսի գրաֆիկը Ֆունկցիայի գծապատկերներ և հատկություններ... Տեսեք, թե ինչպես է կոսինուսն իրեն պահում հատվածի վրա:

Ինչպես արդեն նշվեց, վեկտորների միջև անկյունը կարող է տարբեր լինել ներսում , և հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

1) Եթե ներարկումվեկտորների միջև կծու: (0-ից 90 աստիճան), ապա , և կետային արտադրանքը դրական կլինի համահեղինակ, ապա նրանց միջև անկյունը համարվում է զրո, և կետային արդյունքը նույնպես դրական կլինի։ Քանի որ բանաձևը պարզեցված է.

2) Եթե ներարկումվեկտորների միջև բութ: (90-ից 180 աստիճան), ապա և համապատասխանաբար, կետային արտադրանքը բացասական է:. Հատուկ դեպք՝ եթե վեկտորներ հակառակ ուղղությամբ, ապա դիտարկվում է նրանց միջև եղած անկյունը տեղակայվել է(180 աստիճան): Կետային արտադրանքը նույնպես բացասական է, քանի որ

Ճիշտ են նաև հակառակ պնդումները.

1) Եթե, ապա այս վեկտորների միջև անկյունը սուր է: Որպես այլընտրանք, վեկտորները համակողմանի են:

2) Եթե, ապա տրված վեկտորների միջև անկյունը բութ է: Որպես այլընտրանք, վեկտորները հակառակ ուղղությամբ են:

Բայց երրորդ դեպքը առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում.

3) Եթե ներարկումվեկտորների միջև ուղիղ(90 աստիճան), ապա կետային արտադրանքը զրո է:. Ճիշտ է նաև հակառակը՝ եթե, ուրեմն։ Հայտարարությունը կոմպակտ ձևակերպված է հետևյալ կերպ. Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այդ վեկտորները ուղղանկյուն են... Կարճ մաթեմատիկական նշում.

! Նշում : կրկնել մաթեմատիկական տրամաբանության հիմքերըԵրկկողմանի տրամաբանական հետևանքի պատկերակը սովորաբար կարդացվում է «այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ», «եթե և միայն եթե»: Ինչպես տեսնում եք, սլաքներն ուղղված են երկու ուղղությամբ՝ «սրանից հետևում է սրան, և հակառակը՝ դրանից բխող»: Ի դեպ, ո՞րն է տարբերությունը միակողմանի հետևելու պատկերակից: Սրբապատկերը պնդում է միայն դաոր «սա բխում է սրանից», և փաստ չէ, որ հակառակն է։ Օրինակ՝ բայց ամեն կենդանի չէ, որ պանտերա է, ուստի պատկերակը չի կարող օգտագործվել այս դեպքում: Միևնույն ժամանակ, պատկերակի փոխարեն կարող էօգտագործել միակողմանի պատկերակը: Օրինակ՝ լուծելով խնդիրը՝ պարզեցինք, որ եզրակացրինք, որ վեկտորները ուղղանկյուն են. - նման գրառումը կլինի ճիշտ, և նույնիսկ ավելի տեղին, քան .

Երրորդ դեպքը մեծ գործնական նշանակություն ունի.քանի որ այն թույլ է տալիս ստուգել՝ արդյոք վեկտորները ուղղանկյուն են, թե ոչ: Այս խնդիրը կլուծենք դասի երկրորդ բաժնում։

Dot արտադրանքի հատկությունները

Վերադառնանք այն իրավիճակին, երբ երկու վեկտոր համահեղինակ... Այս դեպքում նրանց միջև անկյունը հավասար է զրոյի, և կետային արտադրանքի բանաձևը ստանում է ձև.

Ի՞նչ կլինի, եթե վեկտորը բազմապատկվի ինքն իրենով: Հասկանալի է, որ վեկտորն ինքնին ուղղորդված է, ուստի մենք օգտագործում ենք վերը նշված պարզեցված բանաձևը.

Համարը կոչվում է սկալյար քառակուսիվեկտոր, և նշվում է որպես.

Այս կերպ, վեկտորի սկալյար քառակուսին հավասար է տվյալ վեկտորի երկարության քառակուսուն.

Այս հավասարությունից կարող եք ստանալ վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու բանաձև.

Թեև դա անհասկանալի է թվում, բայց դասի առաջադրանքները ամեն ինչ իրենց տեղը կդնեն: Խնդիրները լուծելու համար մեզ նաև անհրաժեշտ է կետային արտադրանքի հատկությունները.

Կամայական վեկտորների և ցանկացած թվի համար վավեր են հետևյալ հատկությունները.

1) - տեղաշարժվող կամ կոմուտատիվսկալյար արտադրանքի օրենքը.

2) - բաշխում կամ բաշխիչսկալյար արտադրանքի օրենքը. Պարզապես, դուք կարող եք ընդլայնել փակագծերը:

3) - համակցություն կամ ասոցիատիվսկալյար արտադրանքի օրենքը. Հաստատունը կարող է հանվել կետային արտադրանքից:

Հաճախ բոլոր տեսակի հատկությունները (որոնք նույնպես պետք է ապացուցվեն!) ուսանողների կողմից ընկալվում են որպես ավելորդ աղբ, որը պարզապես պետք է անգիր անել և ապահով կերպով մոռանալ քննությունից անմիջապես հետո: Թվում է, թե ինչն այստեղ կարևոր է, բոլորը գիտեն առաջին դասարանից, որ ապրանքը չի փոխվում գործոնների վերադասավորումից. Պետք է զգուշացնեմ, որ բարձրագույն մաթեմատիկայում այս մոտեցմամբ փայտ կոտրելը հեշտ է։ Այսպիսով, օրինակ, տեղահանման հատկությունը վավեր չէ հանրահաշվական մատրիցներ... Դա նույնպես ճիշտ չէ վեկտորների վեկտորային արտադրյալ... Հետևաբար, գոնե ավելի լավ է խորամուխ լինել բարձրագույն մաթեմատիկայի ընթացքում հանդիպած ցանկացած հատկության մեջ, որպեսզի հասկանաք, թե ինչ կարելի է անել և ինչ չի կարելի անել:

Օրինակ 3

.

Լուծում:Նախ, եկեք պարզենք իրավիճակը վեկտորի հետ կապված: Ինչ է սա ամեն դեպքում: Վեկտորների գումարը և լավ սահմանված վեկտոր է, որը նշվում է. Վեկտորների հետ գործողությունների երկրաչափական մեկնաբանությունը կարելի է գտնել հոդվածում Վեկտորներ կեղծամների համար... Նույն մաղադանոսը վեկտորով վեկտորների գումարն է և.

Այսպիսով, պայմանով պահանջվում է գտնել կետային արտադրանքը։ Տեսականորեն անհրաժեշտ է կիրառել աշխատանքային բանաձեւը , բայց դժվարությունն այն է, որ մենք չգիտենք վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը։ Բայց պայմանը վեկտորների համար տալիս է նմանատիպ պարամետրեր, ուստի մենք կգնանք այլ ճանապարհով.

(1) Փոխարինել վեկտորային արտահայտությունները:

(2) Մենք ընդլայնում ենք փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի, հոդվածում կարելի է գտնել գռեհիկ լեզվապտույտ։ Կոմպլեքս թվերկամ Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում... Չեմ կրկնվի =) Ի դեպ, սկալյար արտադրյալի բաշխման հատկությունը թույլ է տալիս ընդլայնել փակագծերը։ Մենք իրավունք ունենք.

(3) Առաջին և վերջին անդամներում մենք կոմպակտ կերպով գրում ենք վեկտորների սկալյար քառակուսիներ. ... Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք սկալյար արտադրանքի փոփոխականությունը.

(4) Մենք տալիս ենք նմանատիպ պայմաններ.

(5) Առաջին տերմինում մենք օգտագործում ենք սկալյար քառակուսի բանաձևը, որը նշվել է ոչ վաղ անցյալում: Վերջին ժամկետում, համապատասխանաբար, նույն բանն է գործում. Մենք ընդլայնում ենք երկրորդ տերմինը ըստ ստանդարտ բանաձևի .

(6) Մենք փոխարինում ենք այս պայմանները , և ՈՒՇԱԴԻՐ կատարեք վերջնական հաշվարկները։

Պատասխան.

Կետային արտադրյալի բացասական արժեքը ցույց է տալիս այն փաստը, որ վեկտորների միջև անկյունը բութ է:

Առաջադրանքը բնորոշ է, ահա անկախ լուծման օրինակ.

Օրինակ 4

Գտե՛ք վեկտորների կետային արտադրյալը և, եթե հայտնի է, որ .

Այժմ ևս մեկ ընդհանուր առաջադրանք, պարզապես վեկտորի երկարության նոր բանաձևի համար: Նշումները այստեղ մի փոքր կհամընկնեն, ուստի պարզության համար ես այն կվերագրեմ այլ տառով.

Օրինակ 5

Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը, եթե .

Լուծումկլինի հետևյալը.

(1) Տրամադրել վեկտորային արտահայտություն:

(2) Մենք օգտագործում ենք երկարության բանաձևը, մինչդեռ ամբողջ արտահայտությունը գործում է որպես «ve» վեկտոր:

(3) Մենք օգտագործում ենք դպրոցական բանաձևը գումարի քառակուսու համար: Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է այն աշխատում հետաքրքիր կերպով. - իրականում դա տարբերության քառակուսին է, և, ըստ էության, այդպես է: Ցանկացողները կարող են տեղ-տեղ վերադասավորել վեկտորները. - այդպես է ստացվել մինչև տերմինների վերադասավորումը։

(4) Մնացածն արդեն ծանոթ է երկու նախորդ խնդիրներից։

Պատասխան.

Քանի որ մենք խոսում ենք երկարության մասին, մի մոռացեք նշել չափը `« միավորներ »:

Օրինակ 6

Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը, եթե .

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում:

Մենք շարունակում ենք օգտակար բաներ քամել կետային արտադրանքից: Եկեք նորից նայենք մեր բանաձեւին ... Համաձայն համամասնության կանոնի՝ վեկտորների երկարությունները վերակայենք ձախ կողմի հայտարարին.

Եվ մենք կփոխանակենք մասերը.

Ո՞րն է այս բանաձևի իմաստը: Եթե ​​գիտեք երկու վեկտորների երկարությունները և դրանց կետային արտադրյալը, ապա կարող եք հաշվարկել այս վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը և, հետևաբար, հենց անկյունը:

Արդյո՞ք կետային արտադրյալը թիվ է: Թիվ. Արդյո՞ք վեկտորների երկարությունները թվեր են: Թվեր. Այսպիսով, կոտորակը նույնպես որոշակի թիվ է։ Իսկ եթե հայտնի է անկյան կոսինուսը. , ապա օգտագործելով հակադարձ ֆունկցիան՝ հեշտ է գտնել ինքնին անկյունը. .

Օրինակ 7

Գտե՛ք վեկտորների միջև եղած անկյունը և, եթե հայտնի է, որ.

Լուծում:Մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Հաշվարկների վերջնական փուլում կիրառվել է տեխնիկա՝ հայտարարի մեջ իռացիոնալության վերացում։ Իռացիոնալությունը վերացնելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեցի։

Այսպիսով, եթե , ապա՝

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները կարելի է գտնել ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակ... Չնայած դա հազվադեպ է պատահում: Անալիտիկ երկրաչափության խնդիրներում ինչ-որ անշնորհք արջ շատ ավելի հաճախ է հայտնվում, և անկյան արժեքը մոտավորապես պետք է գտնել հաշվիչի միջոցով: Իրականում նման պատկեր կտեսնենք մեկից ավելի անգամ։

Պատասխան.

Կրկին մի մոռացեք նշել չափը՝ ռադիաններ և աստիճաններ: Անձամբ ես գիտակցաբար «բոլոր հարցերը մաքրելու» համար նախընտրում եմ նշել և՛ դա, և՛ այն (եթե, իհարկե, պայմանով, չի պահանջվում պատասխանը ներկայացնել միայն ռադիաններով կամ միայն աստիճաններով)։

Այժմ դուք կկարողանաք ինքնուրույն հաղթահարել ավելի բարդ խնդիր.

Օրինակ 7 *

Տրված են վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը: Գտեք վեկտորների միջև եղած անկյունը.

Խնդիրն այնքան էլ բարդ չէ, որքան բազմաքայլը։
Եկեք վերլուծենք լուծման ալգորիթմը.

1) Ըստ պայմանի, պահանջվում է գտնել վեկտորների միջև անկյունը և, հետևաբար, անհրաժեշտ է օգտագործել բանաձևը. .

2) Գտեք կետային արտադրյալը (տե՛ս օրինակներ թիվ 3, 4):

3) Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը և վեկտորի երկարությունը (տե՛ս օրինակներ թիվ 5, 6):

4) Լուծման վերջը համընկնում է թիվ 7 օրինակի հետ - մենք գիտենք թիվը, ինչը նշանակում է, որ հեշտ է գտնել անկյունն ինքնին.

Հակիրճ լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:

Դասի երկրորդ բաժինը կենտրոնանում է նույն կետային արտադրանքի վրա: Կոորդինատներ. Նույնիսկ ավելի հեշտ կլինի, քան առաջին մասում։

Վեկտորների կետային արտադրյալ,
տրված է կոորդինատներով օրթոնորմալ հիմունքներով

Պատասխան.

Ավելորդ է ասել, որ կոորդինատների հետ գործ ունենալը շատ ավելի հաճելի է։

Օրինակ 14

Գտե՛ք վեկտորների կետային արտադրյալը և, եթե

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Այստեղ կարելի է օգտագործել գործողության ասոցիատիվությունը, այսինքն՝ չհաշվել, այլ անմիջապես եռապատիկը դուրս հանել սկալյար արտադրյալից և վերջին անգամ բազմապատկել դրանով։ Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։

Պարբերության վերջում վեկտորի երկարությունը հաշվարկելու սադրիչ օրինակ.

Օրինակ 15

Գտեք վեկտորների երկարությունները , եթե

Լուծում:կրկին նախորդ բաժնի ուղին ինքն իրեն հուշում է., բայց կա ևս մեկ ճանապարհ.

Գտեք վեկտորը.

Եվ դրա երկարությունը՝ ըստ չնչին բանաձևի :

Կետային արտադրանքն այստեղ ընդհանրապես բացառվում է:

Որպես գործից դուրս, վեկտորի երկարությունը հաշվարկելիս.
Դադարեցրեք. Ինչու՞ չօգտվել վեկտորի երկարության ակնհայտ հատկությունից: Ինչ վերաբերում է վեկտորի երկարությանը: Այս վեկտորը 5 անգամ ավելի երկար է, քան վեկտորը։ Ուղղությունը հակառակ է, բայց դա նշանակություն չունի, քանի որ խոսակցությունը երկարության մասին է։ Ակնհայտ է, որ վեկտորի երկարությունը հավասար է արտադրյալին մոդուլթվեր մեկ վեկտորի երկարությամբ.
- մոդուլի նշանը «ուտում է» թվի հնարավոր մինուսը:

Այս կերպ:

Պատասխան.

Վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը, որոնք տրված են կոորդինատներով

Այժմ մենք ունենք ամբողջական տեղեկատվություն՝ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի նախկինում ստացված բանաձևը վեկտորների կոորդինատներով արտահայտելու համար.

Հարթության վեկտորների միջև անկյան կոսինուսըև տրված է օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտված բանաձևով:
.

Տիեզերական վեկտորների միջև անկյան կոսինուստրված է օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտված բանաձևով:

Օրինակ 16

Տրված են եռանկյան երեք գագաթներ։ Գտեք (գագաթի անկյուն):

Լուծում:Ըստ պայմանի՝ գծագրությունը չի պահանջվում կատարել, բայց դեռ.

Պահանջվող անկյունը նշվում է կանաչ աղեղով: Մենք անմիջապես հիշում ենք անկյունի դպրոցական նշանակումը. - հատուկ ուշադրություն միջիննամակը - սա մեզ անհրաժեշտ անկյունի գագաթն է: Համառոտության համար կարելի էր նաև պարզ գրել.

Գծագրից միանգամայն ակնհայտ է, որ եռանկյան անկյունը համընկնում է վեկտորների միջև անկյան հետ և, այլ կերպ ասած. .

Ցանկալի է սովորել, թե ինչպես իրականացնել մտավոր կատարվող վերլուծությունը։

Գտեք վեկտորներ.

Եկեք հաշվարկենք կետային արտադրյալը.

Եվ վեկտորների երկարությունները.

Անկյան կոսինուս.

Այս առաջադրանքը կատարելու կարգն է, որը ես խորհուրդ եմ տալիս թեյնիկներին։ Ավելի առաջադեմ ընթերցողները կարող են հաշվարկներ գրել «մեկ տողով».

Ահա «վատ» կոսինուսի արժեքի օրինակ: Ստացված արժեքը վերջնական չէ, ուստի իմաստ չունի ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից:

Եկեք գտնենք ինքնին անկյունը.

Եթե ​​նայեք գծագրին, ապա արդյունքը բավականին հավանական է: Ստուգման համար անկյունը կարելի է չափել նաև անկյունաչափով։ Մի վնասեք մոնիտորի կափարիչը =)

Պատասխան.

Պատասխանում մի մոռացեք դա հարցրեց եռանկյան անկյան մասին(և ոչ վեկտորների միջև անկյան մասին), մի մոռացեք նշել ճշգրիտ պատասխանը և անկյան մոտավոր արժեքը. հայտնաբերվել է հաշվիչի միջոցով:

Նրանք, ովքեր հաճույք են ստացել գործընթացից, կարող են հաշվարկել անկյունները և համոզվել, որ կանոնական հավասարությունը ճշմարիտ է

Օրինակ 17

Եռանկյունը տարածության մեջ սահմանվում է իր գագաթների կոորդինատներով: Գտե՛ք կողմերի միջև եղած անկյունը և

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում

Վերջնական կարճ հատվածը նվիրված կլինի կանխատեսումներին, որոնցում «խառնված» է նաև սկալյար արտադրյալը.

Վեկտորից վեկտոր պրոյեկցիա. Վեկտորի պրոյեկցիան դեպի կոորդինատային առանցքները:
Վեկտորի ուղղության կոսինուսներ

Դիտարկենք վեկտորները և.

Մենք վեկտորը նախագծում ենք վեկտորի վրա, դրա համար բաց ենք թողնում վեկտորի սկզբից և վերջից ուղղահայացներմեկ վեկտորի համար (կանաչ կետավոր գծեր): Պատկերացրեք լույսի ճառագայթները, որոնք ընկնում են վեկտորին ուղղահայաց: Այնուհետև հատվածը (կարմիր գիծը) կլինի վեկտորի «ստվերը»: Այս դեպքում վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի վրա հատվածի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆ է: Այսինքն՝ ՊՐՈԵԿՑԻԱՆ ԹԻՎ Է։

Այս ԹԻՎԸ նշվում է հետևյալ կերպ. «մեծ վեկտորը» նշանակում է վեկտոր ՈՐԸնախագիծ, «small subscript vector» նշանակում է վեկտոր ՎՐԱորը նախագծվում է։

Գրառումն ինքնին կարդում է այսպես. «վեկտորի պրոյեկցիան» a «վեկտորի վրա» bh «»:

Ի՞նչ է պատահում, եթե «bs» վեկտորը «չափազանց կարճ» է: Մենք գծում ենք «be» վեկտորը պարունակող ուղիղ գիծ։ Իսկ «ա» վեկտորն արդեն պրոյեկտվելու է «bh» վեկտորի ուղղությամբ, պարզապես - «be» վեկտորը պարունակող ուղիղ գծի վրա։ Նույնը տեղի կունենա, եթե «a» վեկտորը հետաձգվի երեսուներորդ թագավորությունում, այն դեռ հեշտությամբ կպրոյեկտվի «bh» վեկտորը պարունակող ուղիղ գծի վրա:

Եթե ​​անկյունըվեկտորների միջև կծու(ինչպես նկարում), ապա

Եթե ​​վեկտորները ուղղանկյուն, ապա (պրոյեկցիան այն կետն է, որի չափերը ենթադրվում են զրո):

Եթե ​​անկյունըվեկտորների միջև բութ(նկարում մտովի վերադասավորեք վեկտորի սլաքը), այնուհետև (նույն երկարությունը, բայց վերցված մինուս նշանով):

Հետաձգենք այս վեկտորները մեկ կետից.

Ակնհայտ է, որ երբ վեկտորը շարժվում է, նրա պրոյեկցիան չի փոխվում։

Վեկտորային և կետային արտադրյալը հեշտացնում է վեկտորների միջև անկյունը հաշվարկելը: Թող տրվի երկու վեկտոր $ \ overline (a) $ և $ \ overline (b) $, որոնց միջև կողմնորոշված ​​անկյունը $ \ varphi $ է: Հաշվեք $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ և $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $ արժեքները: Այնուհետև $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, որտեղ $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, իսկ $ \ varphi $-ը պահանջվող անկյուն, այսինքն՝ $ (x, y) $ կետն ունի բևեռային անկյուն, որը հավասար է $ \ varphi $-ին, և հետևաբար $ \ varphi $-ը կարելի է գտնել որպես atan2 (y, x):

Եռանկյունի մակերեսը

Քանի որ խաչաձև արտադրյալը պարունակում է երկու վեկտորի երկարությունների արտադրյալը նրանց միջև անկյան կոսինուսով, խաչաձև արտադրյալը կարող է օգտագործվել ABC եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար.

$ S_ (ABC) = \ ֆրակ (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Ուղիղ գծին պատկանող կետ

Թող տրվեն $ P $ կետ և ուղիղ $ AB $ (տրված $ A $ և $ B $ երկու կետերով): Պետք է ստուգել՝ արդյոք կետը պատկանում է $ AB $ տողին։

Կետը պատկանում է $ AB $ ուղիղ գծին, եթե և միայն այն դեպքում, եթե $ AP $ և $ AB $ վեկտորները համագիծ են, այսինքն, եթե $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $:

Կետի պատկանելությունը ճառագայթին

Թող տրվեն $ P $ կետ և $ AB $ ճառագայթ (տրված է երկու կետով. $ A $ ճառագայթի սկիզբը և $ B $ ճառագայթի կետը): Պետք է ստուգել՝ արդյոք կետը պատկանում է $ AB $ ճառագայթին։

Այն պայմանին, որ $ P $ կետը պատկանում է $ AB $ տողին, անհրաժեշտ է ավելացնել լրացուցիչ պայման. ոչ բացասական է, այսինքն՝ $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $։

Կետը պատկանում է գծային հատվածին

Թող տրվի $ P $ կետ և $ AB $ հատված: Պետք է ստուգել՝ արդյոք կետը պատկանում է $ AB $ հատվածին։

Այս դեպքում կետը պետք է պատկանի և՛ $ AB $, և՛ ray $ BA $, ուստի պետք է ստուգվեն հետևյալ պայմանները.

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $:

Հեռավորությունը կետից տող

Թող տրվեն $ P $ կետ և ուղիղ $ AB $ (տրված $ A $ և $ B $ երկու կետերով): Անհրաժեշտ է գտնել հեռավորությունը $ AB $ ուղիղ գծի կետից:

Դիտարկենք ABP եռանկյունը: Մի կողմից, նրա տարածքը $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $:

Մյուս կողմից, նրա տարածքը $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $ է, որտեղ $ h $-ը $ P $ կետից իջած բարձրությունն է, այսինքն՝ հեռավորությունը $-ից: P $-ից $ AB $: Որտեղից $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Կետից դեպի ճառագայթ հեռավորությունը

Թող տրվեն $ P $ կետ և $ AB $ ճառագայթ (տրված է երկու կետով. $ A $ ճառագայթի սկիզբը և $ B $ ճառագայթի կետը): Անհրաժեշտ է գտնել կետից մինչև ճառագայթ հեռավորությունը, այսինքն՝ $ P $ կետից մինչև ճառագայթի ցանկացած կետ ամենակարճ հատվածի երկարությունը։

Այս հեռավորությունը հավասար է կամ $ AP $ երկարությանը, կամ $ P $ կետից մինչև $ AB $ տող հեռավորությանը: Դեպքերից որն է տեղի ունենում, հեշտ է որոշել ճառագայթի և կետի հարաբերական դիրքով: Եթե ​​PAB անկյունը սուր է, այսինքն՝ $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, ապա պատասխանը կլինի հեռավորությունը $ P $ կետից մինչև $ AB $ ուղիղ գիծը, հակառակ դեպքում. պատասխանը կլինի $ AB $ հատվածի երկարությունը:

Հեռավորությունը կետից տող

Թող տրվի $ P $ կետ և $ AB $ հատված: Անհրաժեշտ է գտնել $ P $-ից մինչև $ AB $ հատվածի հեռավորությունը:

Եթե ​​$ P $-ից $ AB $ տողի վրա իջել է ուղղանկյունի հիմքը, ընկնում է $ AB $ հատվածի վրա, որը կարելի է ստուգել պայմաններով։

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

ապա պատասխանը $ P $ կետից $ AB $ տողն է: Հակառակ դեպքում հեռավորությունը հավասար կլինի $ \ min (AP, BP) $:

Սահմանում 1

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը մի թիվ է, որը հավասար է այս վեկտորների դինի արտադրյալին և նրանց միջև անկյան կոսինուսին։

a → և b → վեկտորների արտադրյալի նշումն ունի a →, b → ձև: Եկեք վերածենք բանաձևի.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → և b → նշանակում են վեկտորների երկարությունները, a →, b → ^ նշանակում են տրված վեկտորների միջև եղած անկյունը: Եթե ​​առնվազն մեկ վեկտորը զրո է, այսինքն՝ ունի 0 արժեք, ապա արդյունքը նույնպես կլինի զրո՝ a →, b → = 0։

Վեկտորն ինքն իրենով բազմապատկելիս ստանում ենք նրա երկարության քառակուսին.

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Սահմանում 2

Վեկտորի սկալային բազմապատկումն ինքնին կոչվում է սկալյար քառակուսի:

Հաշվարկվում է բանաձևով.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → նշումը ցույց է տալիս, որ npb → a → a → թվային պրոյեկցիան է b →, npa → a → b →-ի պրոյեկցիան է a →-ի վրա, համապատասխանաբար:

Եկեք ձևակերպենք արտադրյալի սահմանումը երկու վեկտորի համար.

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը a → ըստ b → կոչվում է a → վեկտորի երկարության արտադրյալ b → պրոյեկցիայի միջոցով a → կամ b → երկարության արտադրյալը a → պրոյեկցիայի միջոցով։

Կետային արտադրանքը կոորդինատներում

Կետային արտադրյալի հաշվարկը կարող է իրականացվել տվյալ հարթության կամ տարածության վեկտորների կոորդինատների միջոցով:

Հարթության վրա երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եռաչափ տարածության մեջ, կոչվում է a → և b → տրված վեկտորների կոորդինատների գումար։

Դեկարտյան համակարգում տրված վեկտորների սկալյար արտադրյալը հաշվարկելիս a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) օգտագործեք.

a →, b → = a x b x + a y b y,

եռաչափ տարածության համար կիրառվում է հետևյալ արտահայտությունը.

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Փաստորեն, սա կետային արտադրանքի երրորդ սահմանումն է:

Եկեք ապացուցենք դա։

Ապացույց 1

Ապացույցի համար մենք օգտագործում ենք a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by վեկտորների համար a → = (ax, ay), b → = (bx, by) դեկարտյան վրա: համակարգ.

Վեկտորները պետք է հետաձգվեն

O A → = a → = a x, a y և O B → = b → = b x, b y:

Այնուհետև A B → վեկտորի երկարությունը հավասար կլինի A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y):

Դիտարկենք O A B եռանկյունը:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ճիշտ է կոսինուսների թեորեմի հիման վրա:

Պայմանով կարելի է տեսնել, որ O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, հետևաբար, մենք տարբեր կերպ ենք գրում վեկտորների միջև անկյունը գտնելու բանաձևը.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^):

Այնուհետև առաջին սահմանումից բխում է, որ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), հետևաբար (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - բ → - ա → 2):

Կիրառելով վեկտորների երկարությունը հաշվարկելու բանաձևը, մենք ստանում ենք.
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay ըստ

Եկեք ապացուցենք հավասարությունները.

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- համապատասխանաբար եռաչափ տարածության վեկտորների համար:

Կոորդինատներով վեկտորների սկալյար արտադրյալն ասում է, որ վեկտորի սկալյար քառակուսին հավասար է տարածության և հարթության վրա նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարին համապատասխանաբար։ a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) և (a →, a →) = a x 2 + a y 2:

Dot արտադրանքը և դրա հատկությունները

Կան կետային արտադրանքի հատկություններ, որոնք կիրառելի են a →, b → և c → համար.

1. commutativity (a →, b →) = (b →, a →);
2. բաշխվածություն (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , գ →);
3. համակցման հատկությունը (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ ցանկացած թիվ է.
4. սկալյար քառակուսին միշտ մեծ է զրոյից (a →, a →) ≥ 0, որտեղ (a →, a →) = 0 այն դեպքում, երբ a →-ը զրո է։

Հատկությունները բացատրելի են հարթության վրա կետային արտադրյալի սահմանման և իրական թվեր գումարելիս և բազմապատկելիս հատկությունների շնորհիվ:

Ապացուցե՛ք փոխադարձության հատկությունը (a →, b →) = (b →, a →). Սահմանումից ունենք, որ (a →, b →) = a y b y + a y b y և (b →, a →) = b x a x + b y a y:

Փոխադրելիության հատկությամբ a x b x = b x a x և a y b y = b y a y հավասարությունները ճշմարիտ են, ուստի a x b x + a y b y = b x a x + b y a y:

Հետևում է, որ (a →, b →) = (b →, a →): Ք.Ե.Դ.

Բաշխումը վավեր է ցանկացած թվի համար.

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

and (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

ուստի մենք ունենք

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a (1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Կետային արտադրանք օրինակներով և լուծումներով

Նման պլանի ցանկացած խնդիր լուծվում է կետային արտադրանքի վերաբերյալ հատկությունների և բանաձևերի միջոցով.

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y կամ (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Դիտարկենք լուծման որոշ օրինակներ:

Օրինակ 2

a →-ի երկարությունը 3 է, b → երկարությունը՝ 7։ Գտե՛ք կետային արտադրյալը, եթե անկյունը 60 աստիճան է։

Լուծում

Ըստ պայմանի, մենք ունենք բոլոր տվյալները, ուստի մենք հաշվարկում ենք բանաձևով.

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Պատասխան՝ (a →, b →) = 21 2:

Օրինակ 3

Տրված վեկտորները a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3): Ինչ է կետային արտադրանքը:

Լուծում

Այս օրինակում դիտարկվում է կոորդինատներով հաշվարկելու բանաձևը, քանի որ դրանք նշված են խնդրի հայտարարության մեջ.

(a →, b →) = կացին bx + այ ըստ + ազ բզ = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Պատասխան՝ (a →, b →) = - 9

Օրինակ 4

Գտեք A B → և A C → կետային արտադրյալը: Կոորդինատային հարթության վրա տրված են A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) կետերը:

Լուծում

Սկզբից հաշվարկվում են վեկտորների կոորդինատները, քանի որ կետերի կոորդինատները տրվում են պայմանով.

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Կոորդինատների օգտագործմամբ բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28:

Պատասխան՝ (A B →, A C →) = 28:

Օրինակ 5

Տրված a → = 7 m → + 3 n → և b → = 5 m → + 8 n → վեկտորները, գտե՛ք դրանց արտադրյալը: m → հավասար է 3-ի և n → հավասար է 2 միավորի, դրանք ուղղահայաց են։

Լուծում

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →): Կիրառելով բաշխիչ հատկությունը՝ մենք ստանում ենք.

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Արտադրանքի նշանի գործակիցը հանում ենք և ստանում.

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Փոխադարձության հատկությամբ մենք փոխակերպում ենք.

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →):

Այժմ կիրառենք կետային արտադրանքի բանաձևը կանխորոշված ​​անկյունով.

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 մ → 2 + 71 մ → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411։

Պատասխան՝ (a →, b →) = 411

Եթե ​​կա թվային պրոյեկցիա.

Օրինակ 6

Գտեք a → և b → կետային արտադրյալը: Վեկտոր a → ունի կոորդինատներ a → = (9, 3, - 3), պրոյեկցիա b → կոորդինատներով (- 3, - 1, 1):

Լուծում

Վարկածով a → վեկտորները և b → պրոյեկցիան հակառակ ուղղված են, քանի որ a → = - 1 3 · npa → b → →, ուստի b → պրոյեկցիան համապատասխանում է npa → b → → երկարությանը և նշանով « -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Փոխարինելով բանաձևին, մենք ստանում ենք արտահայտությունը.

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33:

Պատասխան՝ (a →, b →) = - 33։

Խնդիրներ հայտնի կետային արտադրյալի հետ, որտեղ անհրաժեշտ է գտնել վեկտորի կամ թվային պրոյեկցիայի երկարությունը:

Օրինակ 7

Ի՞նչ արժեք պետք է վերցնի λ-ն տրված սկալյար արտադրյալի համար a → = (1, 0, λ + 1) և b → = (λ, 1, λ) հավասար կլինի -1-ի:

Լուծում

Բանաձևը ցույց է տալիս, որ անհրաժեշտ է գտնել կոորդինատների արտադրյալների գումարը.

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Հաշվի առնելով ունենք (a →, b →) = - 1:

λ-ն գտնելու համար մենք հաշվում ենք հավասարումը.

λ 2 + 2 λ = - 1, հետևաբար λ = - 1:

Պատասխան՝ λ = - 1:

Կետային արտադրանքի ֆիզիկական նշանակությունը

Մեխանիկը զբաղվում է կետային արտադրանքի կիրառմամբ:

A-ն F → հաստատուն ուժով աշխատելիս մարմինը M կետից N կետ տեղափոխելիս կարող եք գտնել F → և MN → վեկտորների երկարությունների արտադրյալը նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսով, ինչը նշանակում է, որ աշխատանքը հավասար է. ուժի և տեղաշարժի վեկտորների արտադրյալին.

A = (F →, M N →):

Օրինակ 8

Նյութական կետի շարժումը 3 մետրով 5 նտոննան հավասար ուժի ազդեցությամբ ուղղված է առանցքի նկատմամբ 45 աստիճան անկյան տակ։ Գտեք Ա.

Լուծում

Քանի որ աշխատանքը ուժի վեկտորի և տեղաշարժի արտադրյալն է, դա նշանակում է, որ ելնելով F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° պայմանից, մենք ստանում ենք A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Պատասխան՝ A = 15 2 2:

Օրինակ 9

F → = (3, 1, 2) ուժի ներքո M (2, - 1, - 3) M-ից N (5, 3 λ - 2, 4) շարժվող նյութական կետ, որը կատարել է 13 J-ի հավասար աշխատանք. Հաշվել. շարժման երկարությունը.

Լուծում

M N → վեկտորի տրված կոորդինատների համար ունենք M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7):

Օգտագործելով F → = (3, 1, 2) և MN → = (3, 3 λ - 1, 7) վեկտորների հետ աշխատանք գտնելու բանաձևը, մենք ստանում ենք A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Հիպոթեզով տրված է, որ A = 13 J, ինչը նշանակում է 22 + 3 λ = 13։ Հետեւաբար λ = - 3, հետեւաբար M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7):

M N → տեղաշարժի երկարությունը գտնելու համար կիրառեք բանաձևը և փոխարինեք արժեքները.

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158:

Պատասխան՝ 158։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter

Կլինեն նաև ինքնուրույն լուծման առաջադրանքներ, որոնց պատասխանները կարող եք տեսնել։

Եթե ​​խնդրի մեջ և՛ վեկտորների երկարությունները, և՛ նրանց միջև եղած անկյունը ներկայացված են «արծաթե սկուտեղի վրա», ապա խնդրի վիճակը և դրա լուծումն այսպիսի տեսք ունեն.

Օրինակ 1.Տրված վեկտորներ. Գտե՛ք վեկտորների կետային արտադրյալը, եթե դրանց երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը ներկայացված են հետևյալ արժեքներով.

Վավերական է նաև մեկ այլ սահմանում, որը լիովին համարժեք է 1-ին սահմանմանը։

Սահմանում 2... Վեկտորների սկալյար արտադրյալը մի թիվ է (սկալար), որը հավասար է նշված վեկտորներից մեկի երկարության արտադրյալին մյուս վեկտորի պրոյեկցիայի միջոցով նշված վեկտորներից առաջինով որոշված ​​առանցքի վրա: Բանաձև՝ ըստ սահմանման 2-ի.

Այս բանաձևով խնդիրը կլուծենք հաջորդ կարևոր տեսական կետից հետո։

Վեկտորների կետային արտադրյալի որոշում կոորդինատներով

Նույն թիվը կարելի է ստանալ, եթե բազմապատկվող վեկտորները տրվեն իրենց կոորդինատներով։

Սահմանում 3.Վեկտորների կետային արտադրյալը մի թիվ է, որը հավասար է դրանց համապատասխան կոորդինատների զույգ արտադրյալների գումարին:

Մակերեւույթի վրա

Եթե ​​երկու վեկտորներ և հարթության վրա սահմանվում են իրենց երկուսով Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատներ

ապա այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է դրանց համապատասխան կոորդինատների զույգ արտադրյալների գումարին.

.

Օրինակ 2.Գտե՛ք վեկտորի պրոյեկցիայի թվային արժեքը վեկտորին զուգահեռ առանցքի վրա:

Լուծում. Մենք գտնում ենք վեկտորների կետային արտադրյալը՝ ավելացնելով նրանց կոորդինատների զույգ արտադրյալները.

Այժմ մենք պետք է հավասարեցնենք ստացված սկալյար արտադրյալը վեկտորի երկարության և վեկտորի պրոյեկցիայի արտադրյալին վեկտորին զուգահեռ առանցքի վրա (համաձայն բանաձևի):

Մենք վեկտորի երկարությունը գտնում ենք որպես նրա կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատ.

.

Մենք կազմում ենք հավասարում և լուծում այն.

Պատասխանել. Ցանկալի թվային արժեքը մինուս 8 է:

Տիեզերքում

Եթե ​​երկու վեկտոր և տարածության մեջ սահմանվում են իրենց երեք դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատներով

,

ապա այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը նույնպես հավասար է դրանց համապատասխան կոորդինատների զույգ արտադրյալների գումարին, միայն թե արդեն երեք կոորդինատ կա.

.

Դիտարկվող մեթոդով կետային արդյունքը գտնելու խնդիրը կետային արդյունքի հատկությունների վերլուծությունից հետո է։ Քանի որ առաջադրանքում անհրաժեշտ կլինի որոշել, թե ինչ անկյուն են կազմում բազմապատկված վեկտորները։

Վեկտորային կետային արտադրանքի հատկությունները

Հանրահաշվական հատկություններ

1. (տեղաշարժման գույքնրանց կետային արտադրյալի մեծությունը չի փոխվում բազմապատկվող վեկտորների փոխանակումից):

2. (բազմապատկիչ կոմբինատիվ հատկությունՎեկտորի կետային արտադրյալը բազմապատկած ինչ-որ գործակցով և մեկ այլ վեկտոր հավասար է այս վեկտորների կետային արտադրյալին՝ բազմապատկած նույն գործակցով):

3. (բաշխման հատկությունը վեկտորների գումարի նկատմամբԵրրորդ վեկտորի կողմից երկու վեկտորի գումարի կետային արտադրյալը հավասար է երրորդ վեկտորի առաջին վեկտորի կետային արտադրյալների գումարին և երրորդ վեկտորի երկրորդ վեկտորի գումարին):

4. (վեկտորի սկալյար քառակուսին մեծ է զրոյից), եթե ոչ զրոյական վեկտոր է, իսկ եթե՝ զրոյական վեկտոր։

Երկրաչափական հատկություններ

Ուսումնասիրվող գործողության սահմանումների մեջ մենք արդեն անդրադարձել ենք երկու վեկտորների միջև անկյան հասկացությանը։ Ժամանակն է հստակեցնել այս հայեցակարգը:

Վերևի նկարում տեսանելի են երկու վեկտորներ, որոնք բերված են ընդհանուր ծագման։ Եվ առաջին բանը, որին պետք է ուշադրություն դարձնել. այս վեկտորների միջև կա երկու անկյուն. φ 1 և φ 2 ... Այս անկյուններից ո՞րն է հայտնվում վեկտորների կետային արտադրյալի սահմանումներում և հատկություններում: Դիտարկված անկյունների գումարը 2 է π և հետևաբար այս անկյունների կոսինուսները հավասար են։ Կետային արտադրյալի սահմանումը ներառում է միայն անկյան կոսինուսը, այլ ոչ թե դրա արտահայտման արժեքը: Բայց սեփականության մեջ միայն մեկ անկյուն է համարվում. Եվ սա այն երկու անկյուններից մեկն է, որը չի գերազանցում π , այսինքն՝ 180 աստիճան։ Նկարում այս անկյունը նշանակված է որպես φ 1 .

1. Երկու վեկտոր են կոչվում ուղղանկյուն և այս վեկտորների միջև անկյունը ուղիղ գիծ է (90 աստիճան կամ π / 2) եթե Այս վեկտորների կետային արտադրյալը զրո է :

.

Վեկտորային հանրահաշիվում ուղղանկյունությունը երկու վեկտորների ուղղահայացությունն է:

2. Կազմում են երկու ոչ զրոյական վեկտորներ սուր անկյուն (0-ից մինչև 90 աստիճան, կամ, որը նույնն է, ավելի քիչ π կետային արտադրանքը դրական է .

3. Կազմում են երկու ոչ զրոյական վեկտորներ բութ անկյուն (90-ից 180 աստիճան, կամ, որը նույնն է, ավելի π / 2) եթե և միայն եթե նրանց կետային արտադրանքը բացասական է .

Օրինակ 3.Վեկտորները տրված են կոորդինատներով.

.

Հաշվի՛ր տրված վեկտորների բոլոր զույգերի կետային արտադրյալները: Ի՞նչ անկյուն (սուր, ուղիղ, բութ) են կազմում այս զույգ վեկտորները:

Լուծում. Կհաշվարկենք՝ գումարելով համապատասխան կոորդինատների արտադրյալները։

Ստացել է բացասական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են բութ անկյուն:

Ստացանք դրական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են սուր անկյուն։

Մենք ստացել ենք զրո, ուստի վեկտորները կազմում են ուղիղ անկյուն։

Ստացանք դրական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են սուր անկյուն։

.

Ստացանք դրական թիվ, ուստի վեկտորները կազմում են սուր անկյուն։

Ինքնաթեստի համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչ Վեկտորների կետային արտադրյալը և նրանց միջև անկյան կոսինուսը .

Օրինակ 4.Տրված են երկու վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը.

.

Որոշե՛ք, թե թվի որ արժեքով են վեկտորները և ուղղանկյուն (ուղղահայաց):

Լուծում. Վեկտորները բազմապատկում ենք ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի.

Հիմա եկեք հաշվարկենք յուրաքանչյուր անդամ.

.

Կազմենք հավասարում (արտադրյալի հավասարությունը զրոյի), բերենք նմանատիպ անդամներ և լուծենք հավասարումը.

Պատասխան՝ հասկացանք իմաստը λ = 1.8, որի համար վեկտորները ուղղանկյուն են:

Օրինակ 5.Ապացուցեք, որ վեկտորը ուղղանկյուն (ուղղահայաց) վեկտորին

Լուծում. Ուղղանկյունությունը ստուգելու համար մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և որպես բազմանդամներ՝ փոխարինելով խնդրի դրույթում տրված արտահայտությունը.

.

Դա անելու համար անհրաժեշտ է առաջին բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ (տերմին) բազմապատկել երկրորդի յուրաքանչյուր անդամով և ավելացնել ստացված արտադրյալները.

.

Արդյունքում կոտորակը կրճատվում է հաշվին։ Արդյունքը հետևյալն է.

Եզրակացություն՝ բազմապատկման արդյունքում ստացանք զրո, հետևաբար՝ ապացուցված է վեկտորների ուղղահայացությունը։

Ինքներդ լուծեք խնդիրը, իսկ հետո տեսեք լուծումը

Օրինակ 6.Հաշվի առնելով վեկտորների երկարությունները և, և այս վեկտորների միջև անկյունը π /4. Որոշեք, թե ինչ արժեքով μ վեկտորներ և փոխադարձաբար ուղղահայաց են:

Ինքնաթեստի համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչ Վեկտորների կետային արտադրյալը և նրանց միջև անկյան կոսինուսը .

Վեկտորների կետային արտադրյալի և n-չափ վեկտորների արտադրյալի մատրիցային ներկայացում

Երբեմն պարզության համար ձեռնտու է ներկայացնել երկու վեկտորները, որոնք բազմապատկվում են մատրիցների տեսքով: Այնուհետև առաջին վեկտորը ներկայացված է որպես տողերի մատրիցա, իսկ երկրորդը՝ որպես սյունակային մատրիցա.

Այնուհետև վեկտորների սկալյար արտադրյալը կլինի այս մատրիցների արտադրյալը :

Արդյունքը նույնն է, ինչ ստացվել է այն մեթոդով, որը մենք արդեն քննարկել ենք: Ստացվում է մեկ միասնական թիվ, և սյունակային մատրիցով տողերի մատրիցայի արտադրյալը նույնպես մեկ առանձին թիվ է:

Հարմար է վերացական n-չափ վեկտորների արտադրյալը ներկայացնել մատրիցային տեսքով։ Այսպիսով, երկու քառաչափ վեկտորների արտադրյալը կլինի չորս տարրերով տողերի մատրիցայի արտադրյալը և չորս տարրերով նաև սյունակային մատրիցի արտադրյալը, երկու հնգչափ վեկտորների արտադրյալը կլինի հինգ տարրերով տողի մատրիցի արտադրյալը և սյունակային մատրիցա՝ նաև հինգ տարրերով և այլն։

Օրինակ 7.Գտեք վեկտորների զույգերի կետային արտադրյալները

,

օգտագործելով մատրիցային ներկայացում:

Լուծում. Վեկտորների առաջին զույգը. Մենք ներկայացնում ենք առաջին վեկտորը որպես տողերի մատրիցա, իսկ երկրորդը՝ որպես սյունակային մատրիցա։ Այս վեկտորների կետային արտադրյալը մենք գտնում ենք որպես տողի մատրիցի արտադրյալ սյունակային մատրիցով.

Նմանապես, մենք ներկայացնում ենք երկրորդ զույգը և գտնում ենք.

Ինչպես տեսնում եք, արդյունքները նույնն են, ինչ նույն զույգերի արդյունքները օրինակ 2-ից:

Անկյուն երկու վեկտորների միջև

Երկու վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևի ստացումը շատ գեղեցիկ է և հակիրճ:

Արտահայտել վեկտորների կետային արտադրյալը

(1)

կոորդինատային ձևով մենք նախ գտնում ենք միավոր վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Վեկտորի կետային արտադրյալն ինքնին ըստ սահմանման.

Այն, ինչ գրված է վերը նշված բանաձևում, նշանակում է. վեկտորի կետային արտադրյալն ինքնին հավասար է նրա երկարության քառակուսուն... Զրոյի կոսինուսը հավասար է մեկի, ուստի յուրաքանչյուր օրտի քառակուսին հավասար կլինի մեկի.

Քանի որ վեկտորները

զույգերով ուղղահայաց են, ապա միավոր վեկտորների զույգ-զույգ արտադրյալները հավասար կլինեն զրոյի.

Այժմ կատարենք վեկտորային բազմանդամների բազմապատկումը.

Մենք հավասարության աջ կողմում փոխարինում ենք միավոր վեկտորների համապատասխան սկալյար արտադրյալների արժեքները.

Մենք ստանում ենք երկու վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևը.

Օրինակ 8.Հաշվի առնելով երեք միավոր Ա(1;1;1), Բ(2;2;1), Գ(2;1;2).

Գտեք անկյունը:

Լուծում. Գտեք վեկտորների կոորդինատները.

,

.

Ըստ անկյան կոսինուսի բանաձևի՝ ստանում ենք.

Հետևաբար, .

Ինքնաթեստի համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչ Վեկտորների կետային արտադրյալը և նրանց միջև անկյան կոսինուսը .

Օրինակ 9.Տրված է երկու վեկտոր

Գտե՛ք դրանց միջև եղած գումարը, տարբերությունը, երկարությունը, կետային արտադրյալը և անկյունը:

2. Տարբերություն

Դասախոսություն: Վեկտորային կոորդինատներ; վեկտորների կետային արտադրյալ; անկյունը վեկտորների միջև

Վեկտորային կոորդինատներ

Այսպիսով, ինչպես արդեն նշվեց, վեկտորները ուղղորդված հատված են, որն ունի իր սկիզբն ու վերջը: Եթե ​​սկիզբն ու վերջը ներկայացված են որոշ կետերով, ապա հարթության վրա կամ տարածության մեջ նրանք ունեն իրենց կոորդինատները։

Եթե ​​յուրաքանչյուր կետ ունի իր կոորդինատները, ապա մենք կարող ենք ստանալ ամբողջ վեկտորի կոորդինատները:

Ենթադրենք, մենք ունենք վեկտոր, որի սկիզբն ու վերջը ունեն հետևյալ նշանակումներն ու կոորդինատները՝ A (A x; Ay) և B (B x; By)

Այս վեկտորի կոորդինատները ստանալու համար անհրաժեշտ է վեկտորի վերջի կոորդինատներից հանել սկզբի համապատասխան կոորդինատները.

Տիեզերքում վեկտորի կոորդինատները որոշելու համար օգտագործեք հետևյալ բանաձևը.

Վեկտորների կետային արտադրյալ

Կետային արտադրանքը սահմանելու երկու եղանակ կա.

• Երկրաչափական ճանապարհ. Նրա խոսքով, կետային արտադրյալը հավասար է այս մոդուլների արժեքների արտադրյալին նրանց միջև անկյան կոսինուսով:

• Հանրահաշվական իմաստ. Հանրահաշվի տեսակետից երկու վեկտորների կետային արտադրյալը որոշակի մեծություն է, որը ստացվում է համապատասխան վեկտորների արտադրյալների գումարի արդյունքում։

Եթե ​​վեկտորները տրված են տարածության մեջ, ապա դուք պետք է օգտագործեք նմանատիպ բանաձև.

Հատկություններ:

• Եթե ​​երկու միանման վեկտորները չափավոր կերպով բազմապատկեք, ապա դրանց կետային արտադրյալը բացասական չի լինի.

• Եթե ​​երկու միանման վեկտորների սկալյար արտադրյալը պարզվում է, որ հավասար է զրոյի, ապա այս վեկտորները համարվում են զրո.

• Եթե ​​վեկտորը բազմապատկվում է ինքն իրենով, ապա սկալյար արտադրյալը հավասար կլինի նրա մոդուլի քառակուսուն.

• Սկալյար արտադրյալն ունի հաղորդակցական հատկություն, այսինքն՝ սկալյար արտադրյալը չի ​​փոխվի վեկտորների փոխարկումից.

• Ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը կարող է զրո լինել միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները միմյանց ուղղահայաց են.

• Վեկտորների սկալյար արտադրյալի համար տեղաշարժման օրենքը վավեր է վեկտորներից մեկը թվով բազմապատկելու դեպքում.

• Կետային արտադրյալի միջոցով կարող եք նաև օգտագործել բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը.

Անկյուն վեկտորների միջև