ನಡುವೆ ವಿವಿಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ಏಕಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದದ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕಪದಗಳನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳೆಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಏಕಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು.

ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಏಕಪದಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನೋಟ:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಹುಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ಫಲಿತಾಂಶವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಏಕಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳು.

ಹಿಂದೆ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವು ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ದ್ವಿಪದವು \(12a^2b - 7b\) ಮೂರನೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ \(2b^2 -7b + 6\) ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳ ಪದಗಳು ಘಾತಾಂಕಗಳ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ಹಲವಾರು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು).

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಹುಪದದ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಗುಂಪನ್ನು ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಆವರಣಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು ತೆರೆಯುವ ಆವರಣಗಳ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ನಿಯಮಗಳು:

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ “+” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮುಂದೆ “-” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪದಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪಾಂತರ (ಸರಳೀಕರಣ).

ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ಏಕಪದ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಏಕಪದದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಯಮದಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಏಕಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಆ ಏಕಪದವನ್ನು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಮೊತ್ತದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪಾಂತರ (ಸರಳೀಕರಣ).

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು ಒಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಒಂದು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಒಟ್ಟು ಚೌಕಗಳು, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀವು ಇತರರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ಮತ್ತು \(a^2 - b^2 \), ಅಂದರೆ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ, ವರ್ಗ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಹೆಸರುಗಳು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, \((a + b)^2 \) ಎಂಬುದು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವಲ್ಲ, ಆದರೆ a ಮತ್ತು b ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ . ಆದಾಗ್ಯೂ, a ಮತ್ತು b ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ನಿಯಮದಂತೆ, a ಮತ್ತು b ಅಕ್ಷರಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಇದು ವಿವಿಧ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು); ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೀರಿ:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡ ಉತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲದೆ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಮೂರು ಗುರುತುಗಳು ಅದರ ಎಡಭಾಗದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬಲಗೈಯ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ಬಲಭಾಗದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಎಡಗೈಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಅನುಗುಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ಬಳಸಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು . ಒಟ್ಟು ಏಳು ಇಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ನೀವು ಅವರೆಲ್ಲರನ್ನೂ ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಬದಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಬೀಜಗಣಿತ ಬಹುಪದಗಳು ಇರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

ಮೊತ್ತದ ಚೌಕ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ.

(ಎ + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

ಈ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಇದು ಸುಲಭ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅಥವಾ ದೀರ್ಘ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ:

ಹುಡುಕಿ 112 2.

112 ಅನ್ನು ನಾವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸೋಣ.2
112 = 100 + 1

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಚೌಕವನ್ನು ಇರಿಸಿ.
112 2 = (100 + 12) 2

ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

ಎಚ್ಚರಿಕೆ!!!

(a + b) 2 2 + ಬಿ 2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ

ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

(ಎ - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:

(ಎ - ಬಿ) 2 = (ಬಿ - ಎ) 2
ಆವರಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

ಮೊತ್ತದ ಘನ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಘನವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಟ್ರಿಪಲ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ಲಸ್ ಎರಡನೇಯ ವರ್ಗದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಟ್ರಿಪಲ್ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

ಈ "ಭಯಾನಕ"-ಕಾಣುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 3 ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಿರಿ.

ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು 3 ರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

INಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಎ ಡಿಗ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಬಿ ಡಿಗ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ನೀವು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

ಎಚ್ಚರಿಕೆ!!!

(a + b) 3 3 + ಬಿ 3 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘನವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೂರು ಬಾರಿ ಮೈನಸ್ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ಲಸ್ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಎರಡನೇಯ ವರ್ಗವು ಘನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹಿಂದಿನಂತೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "+" ಮತ್ತು "-" ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪದವು a 3 ಮೊದಲು "+" (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ). ಇದರರ್ಥ ಮುಂದಿನ ಪದವು "-" ನಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮತ್ತೆ "+", ಇತ್ಯಾದಿ.

(ಎ - ಬಿ) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ( ಮೊತ್ತದ ಘನದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು!)

ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಭಾಗಶಃ ವರ್ಗದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ:

A 2 - ab + b 2
ಈ ಚೌಕವು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಡಬಲ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬದಲಿಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಿದೆ.

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಘನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು!!!)

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಭಾಗಶಃ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ.ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗ, ಅಥವಾ... ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆ ಇದೆಯೇ? ಕಾರಣ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಸರಳ ವಿಷಯ, ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನದಂತೆ. ನಂತರ ನೀವು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೆಡೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ, ಅಥವಾ ಬದಲಿಗೆ, ನೆನಪಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಿ.

ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದರೇನು? ಈ ತ್ರಿಕೋನವು ರೂಪದ ದ್ವಿಪದದ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಈ ನಮೂದುನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಏನಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶದ ಮಟ್ಟವು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ - ಗಮನಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ; ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ (ಇದು ಪ್ಲಸ್ ಅಥವಾ ಮೈನಸ್ ?).

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲು, ಆಡ್ಸ್. ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ! ನೋಟ್ಬುಕ್ನ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಅವು - ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಈಗಾಗಲೇ ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಇವೆ. ನಾವು ಮೂರು ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ಒಂದು ಮೇಲೆ, ಎರಡು ಕೆಳಗೆ, ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ - ಹೌದು, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ:

ಮೊದಲ ಸಾಲು, ಒಂದು 1, ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಮತ್ತೆ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತೆ ಘಟಕದ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, ಹೊಸ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿನದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದವನ್ನು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಳ್ಳೆಯದು, ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭ: ಮೊದಲನೆಯದು ವಿಸ್ತರಿತ ದ್ವಿಪದದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ (ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ - ಅಂದರೆ ಪ್ಲಸ್, ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಅಂದರೆ ಮೈನಸ್), ಮತ್ತು ನಂತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ!

ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ವಿಷಯ - ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನ. ಅದನ್ನು ಬಳಸಿ!

ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೊದಲ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು. ಗ್ರೇಡ್ 7 ರಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಂಶವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಚದರ ಅಥವಾ ಘನ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು FSU ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ?

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಗುಣಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ 7 ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಪಟ್ಟಿಯು ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನತೆಗಳು ಒಂದು ಜೋಡಿ (ಮೊತ್ತ - ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಉಳಿದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ:

FSU ಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು ಎಮತ್ತು ಬಿ: ಇವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದದ ಮುಂದೆ ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ನೆನಪಿಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ ನಂತರ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನ FSU ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಂಟಾದರೆ, ನೀವು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಿ:

(a - b)³ = (a - b)(a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಬಹುಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಇತರ FSU ಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು FSU ನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

IN ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳ ವಿಧಾನಗಳು(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಿಂದ). ಗುರುತಿನ ಎಡಭಾಗವು ಮೊತ್ತದ ಘನವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

(x + 1)³ = 0.

ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ: x = -1.

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು x³ – 6x² + 9x > 0.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಬೇಕು. ಮೊದಲು ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ X. ಇದರ ನಂತರ, ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ನಂತರ ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕು. IN ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಇವುಗಳು 0 ಮತ್ತು 3 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ x ಅಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ FSUಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಪವರ್ತನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು.

7-8 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯ ಕುರಿತು ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ 1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು. ನಾವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ (ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ) ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ತೆರೆಯೋಣ, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ FSU ಬಳಸಿ.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(ಮೊತ್ತ ಚೌಕ);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ);
• ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

ಸಮಸ್ಯೆ 2. 5 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅಜ್ಞಾತ k ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಫ್ಎಸ್ಯು ಮತ್ತು ಗ್ರೂಪಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಕೊನೆಯ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಪದಗಳನ್ನು ಗುರುತಿನ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ 0 ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

ಮತ್ತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

ಪಡೆದ ಮೊದಲ ಅಂಶದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು ಕೆ. ಸಣ್ಣ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವು ಒಂದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

ಉತ್ಪನ್ನವು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ:

1. ಕೆ = 0;
2. k - 1 = 0; ಕೆ = 1;
3. k + 1 = 0; ಕೆ = -1;
4. (k + 2)² = 0; ಕೆ = -2.

ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು FSU ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳು ಇರಬಾರದು.

>>ಗಣಿತ: ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು

ಒಂದು ಬಹುಪದವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಒಂದರಿಂದ ಗುಣಿಸದಿರುವುದು ಉತ್ತಮ ಬಹುಪದೀಯಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ವರ್ಗ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

ಎ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ (1), a ನ ಪಾತ್ರವು 3x ಮತ್ತು b ನ ಪಾತ್ರವು ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

ಬಿ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ (2), ಪಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಎನಿಂತಿದೆ 5a 2, ಮತ್ತು ಪಾತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಿನಿಂತಿದೆ 4b 3. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

ವರ್ಗ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಅದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

ಇದು (- a) 2 = a 2 ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

(1) ಮತ್ತು (2) ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನಸಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಕೆಲವು ಗಣಿತದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು 1 ಮತ್ತು 9 ರಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು 2 ಅಥವಾ 8 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ವರ್ಗ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

ಆದರೆ ಅತ್ಯಂತ ಸೊಗಸಾದ ಟ್ರಿಕ್ 5 ರಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು 85 2 ಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

85 2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು 8 ಅನ್ನು 9 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ 25 ಅನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲು ಸಾಕು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೀವು ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 ಮತ್ತು 25 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 ಮತ್ತು 25 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ).

ನೀರಸ (ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ) ಸೂತ್ರಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವಿಧ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. a ಮತ್ತು b ಆಗಿರಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಬದಿಯ a + b ಇರುವ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 4).

ಬದಿಯ a + b ಇರುವ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವು (a + b) 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಈ ಚೌಕವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ: ಬದಿಯ a (ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಬದಿಯಿರುವ ಒಂದು ಚೌಕವು b (ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು b 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), a ಮತ್ತು b ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಆಯತಗಳು (ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯತವು ab ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಇದರರ್ಥ (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, ಅಂದರೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ದ್ವಿಪದ a + b ಅನ್ನು a - b ದ್ವಿಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
ಆದ್ದರಿಂದ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲಭಾಗದ), ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ (ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಿ) ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಬಳಸಿದರೆ, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ಎ + ಬಿ) (ಎ - ಬಿ) ಅನ್ನು 2 - ಬಿ 2 ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಬಳಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದು 2 - b 2 ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ (a + b) (a - b) ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮುಲಾ (3) ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ - ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. "ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ಪದಗಳನ್ನು "ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವರ್ಗ" ದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 2 - ಬಿ 2 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಸೂತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ (3); ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವು (a-b) 2 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಸೂತ್ರ (2) ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು (3) "ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ" ಈ ರೀತಿ ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ,

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ

(3x- 2y)(3x+ 2y)
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ದ್ವಿಪದ 16x 4 - 9 ಅನ್ನು ದ್ವಿಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, ಅಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ದ್ವಿಪದವು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು (3) ಅದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಓದಿ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

ಸೂತ್ರಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ನಂತಹ ಫಾರ್ಮುಲಾ (3), ಗಣಿತದ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೋಡಿ:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರದ ಕುರಿತು ಸಂಭಾಷಣೆಯನ್ನು ಮುಗಿಸೋಣ. a ಮತ್ತು b ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a > b ಆಗಿರಲಿ. a + b ಮತ್ತು a - b (Fig. 5) ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದರ ಪ್ರದೇಶ (a + b) (a - b). b ಮತ್ತು a - b ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಚಿತ್ರ 6 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅದನ್ನು ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಸೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ (a + b) (a - b) ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಅಂಕಿ ಇರಬಹುದು
ಈ ರೀತಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ: a ಸೈಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದಿಂದ, b ಸೈಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ (ಇದು ಚಿತ್ರ 6 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರದೇಶ ಹೊಸ ವ್ಯಕ್ತಿ a 2 - b 2 ಗೆ ಸಮ. ಆದ್ದರಿಂದ, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, ಅಂದರೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (3) ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

3. ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ

ದ್ವಿಪದ a - b ಅನ್ನು ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್ a 2 + ab + b 2 ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

ಅಂತೆಯೇ

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ). ಆದ್ದರಿಂದ,

ಫಾರ್ಮುಲಾ (4) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಸೂತ್ರ (5) - ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ. (4) ಮತ್ತು (5) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, a 2 + ab + b 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a 2 + 2ab + b 2 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅದು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು (a + b) 2 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; a 2 - ab + b 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ a 2 - 2ab + b 2 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೂತ್ರ (2) ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು ಮತ್ತು (a - b) 2 ಅನ್ನು ನೀಡಿದೆ.

ಈ ಜೋಡಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು (ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ), ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು a 2 + 2ab + b 2 ಮತ್ತು 2 - 2ab + b 2 ಅನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು a 2 + ab + b 2 ಮತ್ತು a 2 - ab + b 2 ಅನ್ನು ಅಪೂರ್ಣ ಚೌಕ (ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳ (4) ಮತ್ತು (5) ("ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ" ಓದಿ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಅನುವಾದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1)-(5) ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ (ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ) ಅವರು (1)-(5) ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಸೂತ್ರಗಳು, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ) ಅವರು (1)-(5) ಅಪವರ್ತನ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ (2x - 1)(4x 2 + 2x +1).

ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಅಂಶವು 2x ಮತ್ತು 1 ಏಕಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (4). ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ದ್ವಿಪದ 27a 6 + 8b 3 ಅನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 27a 6 = (2 ಗಾಗಿ) 3, 8b 3 = (2b) 3. ಇದರರ್ಥ ನೀಡಲಾದ ದ್ವಿಪದವು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸೂತ್ರ 95 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಓದಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

27a 6 + 8b 3 = (2 ಗೆ) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b ಗೆ) ((2 ಗಾಗಿ) 2 - 2 2b + (2b) 2) = (2 + 2b ಗೆ) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಹಾಯ, 7 ನೇ ತರಗತಿ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್‌ಗಾಗಿ ಗಣಿತ, ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ ಮತ್ತು ವಿಷಯಾಧಾರಿತ ಯೋಜನೆ

A. V. ಪೊಗೊರೆಲೋವ್, 7-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿಳಾಸ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಇಮೇಲ್ಇತ್ಯಾದಿ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಮ್ಮಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ ವಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಮಗೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಆಡಿಟ್‌ಗಳು, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ಕಾನೂನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಸರ್ಕಾರಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ವಿನಂತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.