കൂട്ടത്തിൽ വിവിധ ഭാവങ്ങൾബീജഗണിതത്തിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന, മോണോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനം വഹിക്കുന്നു. അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

മോണോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുകയെ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ബഹുപദത്തിലെ പദങ്ങളെ പോളിനോമിയലിന്റെ പദങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മോണോമിയലുകൾ ഒരു അംഗം അടങ്ങുന്ന ഒരു ബഹുപദമായി കണക്കാക്കുന്നതിനാൽ, മോണോമിയലുകളെ ബഹുപദങ്ങൾ എന്നും തരംതിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബഹുപദം
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
ലളിതമാക്കാം.

നമുക്ക് എല്ലാ പദങ്ങളെയും മോണോമിയലുകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം സാധാരണ കാഴ്ച:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബഹുപദത്തിൽ നമുക്ക് സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ഫലം ഒരു ബഹുപദമാണ്, ഇവയുടെ എല്ലാ പദങ്ങളും സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിന്റെ മോണോമിയലുകളാണ്, അവയിൽ സമാനമായവ ഇല്ല. അത്തരം ബഹുപദങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സാധാരണ രൂപത്തിന്റെ ബഹുപദങ്ങൾ.

പിന്നിൽ ബഹുപദത്തിന്റെ ബിരുദംഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന അധികാരം എടുക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ദ്വിപദത്തിന് \(12a^2b - 7b\) മൂന്നാം ഡിഗ്രിയും ത്രിനാമത്തിന് \(2b^2 -7b + 6\) രണ്ടാമത്തേതും ഉണ്ട്.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം പോളിനോമിയലുകളുടെ നിബന്ധനകൾ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിലാണ് ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

നിരവധി പോളിനോമിയലുകളുടെ ആകെത്തുക സാധാരണ രൂപത്തിന്റെ ഒരു ബഹുപദമായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം (ലളിതമാക്കാം).

ചിലപ്പോൾ ഒരു ബഹുപദത്തിന്റെ നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഓരോ ഗ്രൂപ്പിനെയും പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നു. തുറക്കുന്ന പരാൻതീസിസിന്റെ വിപരീത പരിവർത്തനമാണ് എൻക്ലോസ് ചെയ്യുന്നത് എന്നതിനാൽ, അത് രൂപപ്പെടുത്താൻ എളുപ്പമാണ് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ:

ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുമ്പായി ഒരു "+" ചിഹ്നം സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ അതേ ചിഹ്നങ്ങളാൽ എഴുതപ്പെടും.

ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുമ്പായി “-” ചിഹ്നം സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളാൽ എഴുതപ്പെടും.

ഒരു മോണോമിയലിന്റെയും പോളിനോമിയലിന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പരിവർത്തനം (ലളിതമാക്കൽ).

ഗുണനത്തിന്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മോണോമിയലിന്റെയും ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു ബഹുപദമാക്കി മാറ്റാം (ലളിതമാക്കാം). ഉദാഹരണത്തിന്:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ഒരു മോണോമിയലിന്റെയും പോളിനോമിയലിന്റെയും ഉൽപ്പന്നം ഈ മോണോമിയലിന്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ നിബന്ധനകളുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഈ ഫലം സാധാരണയായി ഒരു ചട്ടം പോലെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

ഒരു മോണോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആ മോണോമിയലിനെ പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ നിബന്ധനകളും കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.

ഒരു തുക കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഈ നിയമം നിരവധി തവണ ഉപയോഗിച്ചു.

ബഹുപദങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം. രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പരിവർത്തനം (ലളിതമാക്കൽ).

പൊതുവേ, രണ്ട് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണനം ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെയും മറ്റേതിന്റെ ഓരോ പദത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഒരു പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ പദവും മറ്റൊന്നിന്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, വ്യത്യാസങ്ങൾ, വ്യത്യാസങ്ങൾ

ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങളിലെ ചില പദപ്രയോഗങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \), \(a^2 - b^2 \), അതായത് തുകയുടെ വർഗ്ഗം, വർഗ്ഗം ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസവും വ്യത്യാസവും. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പേരുകൾ അപൂർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചു, ഉദാഹരണത്തിന്, \((a + b)^2 \) എന്നത് തീർച്ചയായും തുകയുടെ വർഗ്ഗം മാത്രമല്ല, a, b എന്നിവയുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമാണ്. . എന്നിരുന്നാലും, a, b എന്നിവയുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗം പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നില്ല; ചട്ടം പോലെ, a, b എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾക്ക് പകരം, അതിൽ വിവിധ, ചിലപ്പോൾ തികച്ചും സങ്കീർണ്ണമായ, പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) എന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിന്റെ പോളിനോമിയലുകളിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും (ലളിതമാക്കുക); വാസ്തവത്തിൽ, പോളിനോമിയലുകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ ഈ ടാസ്‌ക്ക് നേരിട്ടു:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഐഡന്റിറ്റികൾ ഓർമ്മിക്കുകയും ഇന്റർമീഡിയറ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇല്ലാതെ അവ പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഹ്രസ്വമായ വാക്കാലുള്ള ഫോർമുലേഷനുകൾ ഇതിന് സഹായിക്കുന്നു.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - തുകയുടെ ചതുരം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ചതുരങ്ങളും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഇരട്ടിയും.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗം ഇരട്ടിയാക്കിയ ഉൽപ്പന്നം ഇല്ലാത്ത ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം വ്യത്യാസത്തിന്റെയും തുകയുടെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഈ മൂന്ന് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഒരാളെ അതിന്റെ ഇടത് കൈ ഭാഗങ്ങൾ മാറ്റി പകരം വയ്ക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യം, അനുബന്ധ എക്സ്പ്രഷനുകൾ കാണുകയും അവയിൽ a, b എന്നീ വേരിയബിളുകൾ എങ്ങനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ബീജഗണിത ബഹുപദങ്ങൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ, ഉപയോഗിക്കുക ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ . മൊത്തത്തിൽ അത്തരം ഏഴ് ഫോർമുലകളുണ്ട്. നിങ്ങൾ അവരെയെല്ലാം ഹൃദയപൂർവ്വം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

ഫോർമുലകളിൽ a, b എന്നിവയ്‌ക്ക് പകരം അക്കങ്ങളോ മറ്റേതെങ്കിലും ബീജഗണിത ബഹുപദങ്ങളോ ഉണ്ടാകാമെന്നതും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഈ സംഖ്യകളുടെയും അവയുടെ ആകെത്തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

തുകയുടെ ചതുരം

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗം ആദ്യ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഇരട്ടി ഗുണവും രണ്ടാമത്തേത് രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗവും.

(എ + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

ഈ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എളുപ്പമാണെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക ചതുരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക വലിയ സംഖ്യകൾ ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററോ ദൈർഘ്യമേറിയ ഗുണനമോ ഉപയോഗിക്കാതെ. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വിശദീകരിക്കാം:

കണ്ടെത്തുക 112 2.

നമുക്ക് 112-നെ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാം, അവയുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ നമ്മൾ നന്നായി ഓർക്കുന്നു.2
112 = 100 + 1

സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ബ്രാക്കറ്റിൽ എഴുതി ബ്രാക്കറ്റിനു മുകളിൽ ഒരു ചതുരം സ്ഥാപിക്കുക.
112 2 = (100 + 12) 2

തുകയുടെ വർഗ്ഗത്തിനായി നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

ഏതെങ്കിലും ബീജഗണിത ബഹുപദങ്ങൾക്ക് ചതുര സം സൂത്രവാക്യം സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് ഓർക്കുക.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

മുന്നറിയിപ്പ്!!!

(a + b) 2 2 + ബി 2 ന് തുല്യമല്ല

സമചതുര വ്യത്യാസം

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗം ആദ്യ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണ്, ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിന്റെ ഇരട്ടിയും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഇരട്ടി പ്ലസ് രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗവും.

(എ - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു പരിവർത്തനം ഓർമ്മിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്:

(എ - ബി) 2 = (ബി - എ) 2
പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കുന്നതിലൂടെ മുകളിലുള്ള ഫോർമുല തെളിയിക്കാനാകും:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

തുകയുടെ ക്യൂബ്

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ക്യൂബ് ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ക്യൂബിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ആദ്യ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഗുണനത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ചതുരവും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ക്യൂബും കൊണ്ട് ഇരട്ടിയാക്കുന്നു. .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

ഈ "ഭയപ്പെടുത്തുന്ന" ഫോർമുല ഓർക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്.

തുടക്കത്തിൽ ഒരു 3 വരുന്നു എന്ന് മനസ്സിലാക്കുക.

മധ്യത്തിലുള്ള രണ്ട് പോളിനോമിയലുകൾക്ക് 3 ന്റെ ഗുണകങ്ങളുണ്ട്.

INപൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും 1 ആണെന്ന് ഓർക്കുക. (a 0 = 1, b 0 = 1). ഫോർമുലയിൽ ഡിഗ്രി എയിൽ കുറവും ബി ഡിഗ്രിയിൽ വർദ്ധനവും ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

മുന്നറിയിപ്പ്!!!

(a + b) 3 ഒരു 3 + b 3 ന് തുല്യമല്ല

വ്യത്യാസം ക്യൂബ്

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ക്യൂബ്, ഒന്നാം സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടി മൈനസ്, രണ്ടാമത്തെ പ്ലസ്, ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ഗുണനത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടി, രണ്ടാമത്തേതിന്റെ വർഗ്ഗം ക്യൂബ് മൈനസ് എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തേതിന്റെ.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ഈ സൂത്രവാക്യം മുമ്പത്തേതുപോലെ ഓർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ “+”, “-” ചിഹ്നങ്ങളുടെ ഇതരമാറ്റം മാത്രം കണക്കിലെടുക്കുന്നു. ആദ്യ പദമായ a 3 ന് മുമ്പായി ഒരു "+" (ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ അത് എഴുതുന്നില്ല). ഇതിനർത്ഥം അടുത്ത പദത്തിന് മുമ്പായി “-”, തുടർന്ന് വീണ്ടും “+” മുതലായവ ആയിരിക്കും.

(a - b) 3 = + ഒരു 3 - 3എ 2 ബി + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക ( സം ക്യൂബുമായി തെറ്റിദ്ധരിക്കരുത്!)

ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഭാഗിക ചതുരത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ട് ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ ഗുണനമാണ്.

ആദ്യത്തെ ബ്രാക്കറ്റ് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ചതുരമാണ് രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റ്. വ്യത്യാസത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ചതുരം പദപ്രയോഗമാണ്:

A 2 - ab + b 2
ഈ ചതുരം അപൂർണ്ണമാണ്, കാരണം മധ്യത്തിൽ, ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നത്തിന് പകരം, സംഖ്യകളുടെ സാധാരണ ഉൽപ്പന്നമുണ്ട്.

ക്യൂബുകളുടെ വ്യത്യാസം (വ്യത്യാസ ക്യൂബുമായി തെറ്റിദ്ധരിക്കേണ്ടതില്ല!!!)

ക്യൂബുകളുടെ വ്യത്യാസം രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെയും തുകയുടെ ഭാഗിക ചതുരത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

അടയാളങ്ങൾ എഴുതുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക.മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഫോർമുലകളും വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർത്തിരിക്കാനുള്ള എളുപ്പവഴി, അല്ലെങ്കിൽ... പാസ്കലിന്റെ ത്രികോണം.

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർക്കുന്നതിൽ പ്രശ്‌നമുണ്ടോ? കാരണം സഹായിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഇത് എങ്ങനെയാണ് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട് ലളിതമായ കാര്യം, പാസ്കലിന്റെ ത്രികോണം പോലെ. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഈ ഫോർമുലകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും എല്ലായിടത്തും ഓർക്കും, അല്ലെങ്കിൽ, ഓർക്കുകയല്ല, പുനഃസ്ഥാപിക്കുക.

എന്താണ് പാസ്കലിന്റെ ത്രികോണം? ഈ ത്രികോണത്തിൽ ഫോമിന്റെ ബൈനോമിയലിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഡിഗ്രിയെ ബഹുപദമായി വികസിപ്പിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് വികസിപ്പിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഈ എൻട്രിയിൽ, ആദ്യ സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് തുടക്കത്തിലാണെന്നും രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് അവസാനത്തിലാണെന്നും ഓർക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ നടുവിലുള്ളത് ഓർക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. തുടർന്നുള്ള ഓരോ ടേമിലും ഒരു ഘടകത്തിന്റെ അളവ് എല്ലായ്‌പ്പോഴും കുറയുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് വർദ്ധിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത പോലും - ശ്രദ്ധിക്കാനും ഓർമ്മിക്കാനും പ്രയാസമില്ല; ഗുണകങ്ങളും അടയാളങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുന്നതിൽ സാഹചര്യം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (ഇത് പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് ആണോ ?).

അതിനാൽ ആദ്യം, സാധ്യതകൾ. അവ മനഃപാഠമാക്കേണ്ടതില്ല! നോട്ട്ബുക്കിന്റെ അരികുകളിൽ ഞങ്ങൾ പാസ്കലിന്റെ ത്രികോണം വേഗത്തിൽ വരയ്ക്കുന്നു, അവ ഇതാ - ഗുണകങ്ങൾ, ഇതിനകം നമ്മുടെ മുന്നിലുണ്ട്. ഞങ്ങൾ മൂന്ന് യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വരയ്ക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു, ഒന്ന് മുകളിൽ, രണ്ട് താഴെ, വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും - അതെ, ഇത് ഇതിനകം ഒരു ത്രികോണമാണ്:

ഒന്ന് 1 ഉള്ള ആദ്യ വരി പൂജ്യമാണ്. അപ്പോൾ ഒന്നാമത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത് അങ്ങനെ പോകുന്നു. രണ്ടാമത്തെ വരി ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ വീണ്ടും അരികുകളിലേക്ക് ഒരെണ്ണം നൽകേണ്ടതുണ്ട്, അതിന് മുകളിലുള്ള രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ചേർത്ത് ലഭിച്ച നമ്പർ മധ്യഭാഗത്ത് എഴുതുക:

ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരി എഴുതുന്നു: വീണ്ടും യൂണിറ്റിന്റെ അരികുകളിൽ, വീണ്ടും, പുതിയ വരിയിൽ അടുത്ത നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന്, മുമ്പത്തേതിൽ ഞങ്ങൾ അതിന് മുകളിലുള്ള അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു:

നിങ്ങൾ ഊഹിച്ചതുപോലെ, ഓരോ വരിയിലും ഒരു ബൈനോമിയലിനെ ഒരു ബഹുപദമായി വികസിപ്പിക്കുന്നതിൽ നിന്നുള്ള ഗുണകങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ശരി, അടയാളങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഇതിലും എളുപ്പമാണ്: ആദ്യത്തേത് വികസിപ്പിച്ച ബൈനോമിയലിലെ പോലെയാണ് (ഞങ്ങൾ തുക വികസിപ്പിക്കുന്നു - അതിനർത്ഥം പ്ലസ്, വ്യത്യാസം - അതായത് മൈനസ്), തുടർന്ന് അടയാളങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട്!

ഇത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ കാര്യമാണ് - പാസ്കലിന്റെ ത്രികോണം. ഉപയോഗികുക!

ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ ആദ്യം പഠിച്ച വിഷയങ്ങളിലൊന്ന് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്. ഗ്രേഡ് 7-ൽ, അവ ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവിടെ നിങ്ങൾ ഒരു പദപ്രയോഗത്തിലെ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് തിരിച്ചറിയുകയും ഒരു ബഹുപദത്തെ ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുകയും വേണം, അല്ലെങ്കിൽ, പെട്ടെന്ന് സ്ക്വയർ അല്ലെങ്കിൽ ക്യൂബ് ഒരു തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം. ഭാവിയിൽ, അസമത്വങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാനും കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ ചില സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ കണക്കാക്കാനും FSU ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഫോർമുലകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് എങ്ങനെയിരിക്കും?

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പോളിനോമിയലുകൾ വേഗത്തിൽ ഗുണിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന 7 അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്.

ചിലപ്പോൾ ഈ ലിസ്റ്റിൽ നാലാമത്തെ ബിരുദത്തിനായുള്ള ഒരു വിപുലീകരണവും ഉൾപ്പെടുന്നു, അത് അവതരിപ്പിച്ച ഐഡന്റിറ്റികളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നതും ഫോം ഉള്ളതുമാണ്:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഒഴികെ എല്ലാ തുല്യതകൾക്കും ഒരു ജോഡി (തുക - വ്യത്യാസം) ഉണ്ട്. ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല നൽകിയിട്ടില്ല.

ബാക്കിയുള്ള തുല്യതകൾ ഓർക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

ഏത് സാഹചര്യത്തിലും ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി FSU കൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് എഒപ്പം ബി: ഇവ അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളോ പൂർണ്ണസംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളോ ആകാം.

ഫോർമുലയിലെ ഒരു പ്രത്യേക പദത്തിന് മുന്നിൽ ഏത് ചിഹ്നമാണ് ഉള്ളതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പെട്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കാൻ കഴിയാത്ത സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചതിന് ശേഷമുള്ള അതേ ഫലം ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, വ്യത്യാസം ക്യൂബ് FSU പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ ഒരു പ്രശ്നം ഉണ്ടായാൽ, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. ഒന്നൊന്നായി ഗുണനം നടത്തുക:

(a - b)³ = (a - b)(a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

തൽഫലമായി, സമാനമായ എല്ലാ നിബന്ധനകളും കൊണ്ടുവന്നതിന് ശേഷം, പട്ടികയിലെ അതേ ബഹുപദം ലഭിച്ചു. മറ്റെല്ലാ എഫ്‌എസ്‌യുകൾക്കും സമാനമായ കൃത്രിമങ്ങൾ നടത്താം.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് FSU യുടെ പ്രയോഗം

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഡിഗ്രി 3-ന്റെ ബഹുപദം:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

IN സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാർവത്രിക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നില്ല, അത്തരം ജോലികൾ മിക്കപ്പോഴും കൂടുതൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു ലളിതമായ രീതികൾ(ഉദാഹരണത്തിന്, ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ വഴി). ഐഡന്റിറ്റിയുടെ ഇടതുവശം ഒരു തുകയുടെ ക്യൂബിനോട് സാമ്യമുള്ളതായി ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, സമവാക്യം ലളിതമായ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

(x + 1)³ = 0.

അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് വാമൊഴിയായി കണക്കാക്കുന്നു: x = -1.

അസമത്വങ്ങൾ സമാനമായ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് അസമത്വം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും x³ – 6x² + 9x > 0.

ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്ടർ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യം നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്യണം x. ഇതിനുശേഷം, പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗം വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

പദപ്രയോഗം പൂജ്യം മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തി അവയെ നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. IN നിർദ്ദിഷ്ട കേസ്ഇവ 0 ഉം 3 ഉം ആയിരിക്കും. തുടർന്ന്, ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഏത് ഇടവേളകളിൽ x അസമത്വ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.

പ്രകടനം നടത്തുമ്പോൾ FSU-കൾ ഉപയോഗപ്രദമാകും ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെ സഹായമില്ലാതെ ചില കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

കൂടാതെ, ഫാക്‌ടറിംഗ് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ വഴി, നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ എളുപ്പത്തിൽ കുറയ്ക്കാനും വിവിധ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാനും കഴിയും.

7-8 ഗ്രേഡുകളിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉപസംഹാരമായി, ബീജഗണിതത്തിലെ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തെക്കുറിച്ചുള്ള രണ്ട് ജോലികൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യും.

ടാസ്ക് 1. എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുക:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

പരിഹാരം. ടാസ്‌ക്കിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കുക, ഗുണനത്തിന്റെയും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷന്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക, കൂടാതെ സമാനമായ എല്ലാ നിബന്ധനകളും കൊണ്ടുവരിക. നമുക്ക് സോപാധികമായി പദപ്രയോഗത്തെ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാം (പദങ്ങളുടെ എണ്ണം അനുസരിച്ച്) സാധ്യമാകുന്നിടത്ത് FSU ഉപയോഗിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഓരോന്നായി തുറക്കാം.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(സമ് സ്ക്വയർ);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം);
• അവസാന ടേമിൽ നിങ്ങൾ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

യഥാർത്ഥ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

അടയാളങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത്, ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കും:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

പ്രശ്നം 2. അജ്ഞാതമായ k മുതൽ 5-ാം ശക്തി വരെയുള്ള ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

പരിഹാരം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, FSU ഉം ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതിയും ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അവസാനത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ നിബന്ധനകൾ ഐഡന്റിറ്റിയുടെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

പൊതുവായ ഘടകം വലത്, ഇടത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ് (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

എല്ലാം സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അങ്ങനെ 0 വലതുവശത്ത് നിലനിൽക്കും:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

വീണ്ടും പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

ലഭിച്ച ആദ്യ ഘടകത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം കെ. ഹ്രസ്വ ഗുണന സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, രണ്ടാമത്തെ ഘടകം സമാനമായി തുല്യമായിരിക്കും (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ 0 ന് തുല്യമായതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

ചിത്രീകരണ ഉദാഹരണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ എന്നിവ എങ്ങനെ ഓർമ്മിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസിലാക്കാം, കൂടാതെ FSU ഉപയോഗിച്ച് നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. ജോലികൾ ലളിതമാണ്, അവ പൂർത്തിയാക്കുന്നതിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകരുത്.

>>ഗണിതം: ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ഒരു പോളിനോമിയലിനെ മറ്റൊന്നുകൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഒതുക്കമുള്ളതും ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമുള്ളതുമായ ഫലം നൽകുന്ന നിരവധി കേസുകളുണ്ട്. ഇത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഓരോ തവണയും ഒന്നായി ഗുണിക്കാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് ബഹുപദംമറുവശത്ത്, പൂർത്തിയായ ഫലം ഉപയോഗിക്കുക. ഈ കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

1. സ്ക്വയർ തുകയും വർഗ്ഗ വ്യത്യാസവും:

ഉദാഹരണം 1.എക്സ്പ്രഷനിലെ പരാൻതീസിസുകൾ വികസിപ്പിക്കുക:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം (1), a യുടെ പങ്ക് 3x ആണെന്നും b യുടെ പങ്ക് നമ്പർ 2 ആണെന്നും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ.
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം (2), റോളിൽ അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു എനിലകൊള്ളുന്നു 5a 2, വേഷത്തിലും ബിനിലകൊള്ളുന്നു 4b 3. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

സ്ക്വയർ തുക അല്ലെങ്കിൽ സ്ക്വയർ വ്യത്യാസം ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, അത് മനസ്സിൽ വയ്ക്കുക
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;
(ബി-എ) 2 = (എ-ബി) 2 .

(- a) 2 = a 2 എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് ഇത് പിന്തുടരുന്നത്.

(1) ഉം (2) സൂത്രവാക്യങ്ങളും മാനസിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ചില ഗണിത തന്ത്രങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 1, 9 എന്നിവയിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഏതാണ്ട് വാക്കാലുള്ള ചതുര സംഖ്യകൾ നൽകാം

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് 2 അല്ലെങ്കിൽ 8 ൽ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ വേഗത്തിൽ വർഗ്ഗീകരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

എന്നാൽ ഏറ്റവും ഗംഭീരമായ തന്ത്രം 5 ൽ അവസാനിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം ഉൾപ്പെടുന്നു.
85 2-നുള്ള അനുബന്ധ ന്യായവാദം നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം.

നമുക്ക് ഉണ്ട്:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

85 2 കണക്കാക്കാൻ 8 നെ 9 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലത്തിലേക്ക് 25 നെ വലതുവശത്ത് ചേർത്താൽ മതിയായിരുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിലും നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 ഉം 25 ഉം വലതുവശത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് ചേർത്തു);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 ഉം 25 ഉം വലതുവശത്തുള്ള ഫലമായ സംഖ്യയിലേക്ക് ചേർത്തു).

വിരസമായ (ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ) (1), (2) സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ കൗതുകകരമായ സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ചാണ് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ജ്യാമിതീയ ന്യായവാദം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ സംഭാഷണത്തിന് അനുബന്ധമായി നൽകും. എയും ബിയും ആയിരിക്കട്ടെ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ. a + b വശമുള്ള ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക, അതിന്റെ രണ്ട് കോണുകളിലും യഥാക്രമം a, b എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ വശങ്ങളുള്ള ചതുരങ്ങൾ മുറിക്കുക (ചിത്രം 4).

a + b വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b) 2 ന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഈ ചതുരത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു: a വശമുള്ള ഒരു ചതുരം (അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 2 ന് തുല്യമാണ്), വശമുള്ള ഒരു ചതുരം (അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം b 2 ന് തുല്യമാണ്), a, b വശങ്ങളുള്ള രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങൾ (വിസ്തീർണ്ണം അത്തരം ഓരോ ദീർഘചതുരവും ab ന് തുല്യമാണ്). ഇതിനർത്ഥം (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, അതായത് നമുക്ക് ഫോർമുല (1) ലഭിക്കുന്നു.

a + b എന്ന ദ്വിപദത്തെ a - b കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
അങ്ങനെ

ഗണിതത്തിലെ ഏത് സമത്വവും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് ഉപയോഗിക്കുന്നു (അതായത് സമത്വത്തിന്റെ ഇടത് വശം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. വലത് വശം), കൂടാതെ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് (അതായത് സമത്വത്തിന്റെ വലത് വശം അതിന്റെ ഇടത് വശം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു). ഫോർമുല സി) ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉൽപ്പന്നം (a + b) (a - b) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു പൂർത്തിയായ ഫലം a 2 - b 2. ഒരേ സൂത്രവാക്യം വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് ഉപയോഗിക്കാം, തുടർന്ന് a 2 - b 2 ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഉൽപ്പന്നം (a + b) (a - b) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഗണിതത്തിലെ ഫോർമുല (3) ഒരു പ്രത്യേക നാമം നൽകിയിട്ടുണ്ട് - ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം.

അഭിപ്രായം. "സ്ക്വയറുകളുടെ വ്യത്യാസം" എന്ന പദങ്ങളെ "വ്യത്യാസം സ്ക്വയർ" എന്നതുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്. ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം 2 - b 2 ആണ്, അതായത് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്ഫോർമുലയെക്കുറിച്ച് (3); വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരം (a-b) 2 ആണ്, അതായത് നമ്മൾ ഫോർമുല (2) നെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്. സാധാരണ ഭാഷയിൽ, ഫോർമുല (3) ഇതുപോലെ "വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തേക്ക്" വായിക്കുന്നു:

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ (എക്സ്പ്രഷനുകൾ) വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഈ സംഖ്യകളുടെ (എക്സ്പ്രഷനുകൾ) ആകെത്തുകയുടെയും അവയുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്,

ഉദാഹരണം 2.ഗുണനം നടത്തുക

(3x- 2y)(3x+ 2y)
പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

ഉദാഹരണം 3.ബൈനോമിയൽ 16x 4 - 9 ദ്വിപദങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രകടിപ്പിക്കുക.

പരിഹാരം. നമുക്കുള്ളത്: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, അതായത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ദ്വിപദം ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമാണ്, അതായത്. ഫോർമുല (3) അതിൽ പ്രയോഗിക്കാം, വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് വായിക്കുക. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (1), (2) പോലെയുള്ള ഫോർമുല (3) ഗണിത തന്ത്രങ്ങൾക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. കാണുക:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

രസകരമായ ഒരു ജ്യാമിതീയ ന്യായവാദം ഉപയോഗിച്ച് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിനായുള്ള സൂത്രവാക്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സംഭാഷണം അവസാനിപ്പിക്കാം. a, b എന്നിവ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളായിരിക്കട്ടെ, കൂടാതെ a > b. a + b, a - b എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരം പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 5). അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b) (a - b) ആണ്. നമുക്ക് b, a - b എന്നീ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരം മുറിച്ച് ചിത്രം 6-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ബാക്കിയുള്ള ഭാഗത്തേക്ക് ഒട്ടിക്കാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിത്രത്തിന് ഒരേ പ്രദേശമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത് (a + b) (a - b). എന്നാൽ ഈ കണക്ക് ആകാം
ഇതുപോലെ നിർമ്മിക്കുക: a വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൽ നിന്ന്, b വശമുള്ള ഒരു ചതുരം മുറിക്കുക (ചിത്രം 6 ൽ ഇത് വ്യക്തമായി കാണാം). അങ്ങനെ പ്രദേശം പുതിയ രൂപം a 2 - b 2 ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, അതായത് നമുക്ക് ഫോർമുല (3) ലഭിച്ചു.

3. ക്യൂബുകളുടെയും ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും വ്യത്യാസം

a - b എന്ന ദ്വിപദത്തെ a 2 + ab + b 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

അതുപോലെ

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(നിങ്ങൾക്കായി ഇത് പരിശോധിക്കുക). അതിനാൽ,

ഫോർമുല (4) സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു സമചതുര വ്യത്യാസം, ഫോർമുല (5) - ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക. ഫോർമുലകൾ (4), (5) എന്നിവ സാധാരണ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് മുമ്പ്, a 2 + ab + b 2 എന്ന പദപ്രയോഗം a 2 + 2ab + b 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് സമാനമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അത് ഫോർമുലയിൽ (1) പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും (a + b) 2 നൽകുകയും ചെയ്തു; a 2 - ab + b 2 എന്ന പദപ്രയോഗം a 2 - 2ab + b 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് സമാനമാണ്, അത് ഫോർമുലയിൽ (2) പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും (a - b) 2 നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഈ ജോഡി പദപ്രയോഗങ്ങളെ പരസ്പരം വേർതിരിച്ചറിയാൻ (ഭാഷയിൽ) ഓരോ പദപ്രയോഗങ്ങളും a 2 + 2ab + b 2, a 2 - 2ab + b 2 എന്നിവയെ ഒരു പെർഫെക്റ്റ് സ്ക്വയർ (തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം) എന്നും വിളിക്കുന്നു. 2 + ab + b 2, a 2 - ab + b 2 എന്നിവയെ അപൂർണ്ണ ചതുരം (തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അപ്പോൾ നമുക്ക് (4), (5) ("വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട്" വായിക്കുക) സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന വിവർത്തനം സാധാരണ ഭാഷയിലേക്ക് ലഭിക്കും:

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ (എക്സ്പ്രഷനുകൾ) ക്യൂബുകളുടെ വ്യത്യാസം ഈ സംഖ്യകളുടെ (എക്സ്പ്രഷനുകൾ) വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അവയുടെ ആകെത്തുകയുടെ അപൂർണ്ണമായ ചതുരം; രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ (എക്സ്പ്രഷനുകൾ) ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക ഈ സംഖ്യകളുടെ (എക്സ്പ്രഷനുകൾ) ആകെത്തുകയുടെയും അവയുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ചതുരത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

അഭിപ്രായം. ഈ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും (1)-(5) ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടും ഉപയോഗിക്കുന്നു, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ മാത്രം (ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്) അവർ പറയുന്നത് (1)-(5) ചുരുക്കിയ ഗുണനമാണ് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ (വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തേക്ക്) അവർ പറയുന്നത് (1)-(5) ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ ഫോർമുലകളാണെന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 4.ഗുണനം നടത്തുക (2x - 1)(4x 2 + 2x +1).

പരിഹാരം. ആദ്യത്തെ ഘടകം 2x ഉം 1 ഉം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസവും രണ്ടാമത്തെ ഘടകം അവയുടെ ആകെത്തുകയുടെ അപൂർണ്ണമായ ചതുരവും ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

ഉദാഹരണം 5.ബഹുപദങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി 27a 6 + 8b 3 എന്ന ദ്വിപദത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക.

പരിഹാരം. നമുക്കുള്ളത്: 27a 6 = (2-ന്) 3, 8b 3 = (2b) 3. ഇതിനർത്ഥം നൽകിയിരിക്കുന്ന ബൈനോമിയൽ ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതായത്, ഫോർമുല 95 അതിൽ പ്രയോഗിക്കാം, വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് വായിക്കാം. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

27a 6 + 8b 3 = (2-ന്) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b-ന്) ((2-ന്) 2 - 2 2b + (2b) 2) = (2 + 2b-ന്) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

ഓൺലൈൻ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കുള്ള സഹായം, ഏഴാം ക്ലാസ് ഡൗൺലോഡിനുള്ള ഗണിതം, കലണ്ടർ, തീമാറ്റിക് പ്ലാനിംഗ്

A. V. Pogorelov, 7-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ജ്യാമിതി, പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിന്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചത് സ്വകാര്യ വിവരംനിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവന്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവന്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ, നിയമം അനുസരിച്ച്, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷനിലെ സർക്കാർ ഏജൻസികളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.