സാധ്യതകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് രീതികൾ അറിയാം. റാൻഡം വേരിയബിളായി ആജീവനാന്തം

യാഥാർത്ഥ്യപരമായോ നമ്മുടെ ഭാവനയിലോ സംഭവിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളെ 3 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം. തീർച്ചയായും സംഭവിക്കുന്ന വിശ്വസനീയമായ സംഭവങ്ങൾ, അസാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ, ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റുകൾ എന്നിവയാണ് ഇവ. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു, അതായത്. സംഭവിക്കാനിടയുള്ളതോ സംഭവിക്കാത്തതോ ആയ ഇവന്റുകൾ. ഈ ലേഖനം അവതരിപ്പിക്കും ഹ്രസ്വ രൂപം പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി ഫോർമുലകളും പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ (പ്രൊഫൈൽ ലെവൽ) പരീക്ഷയുടെ നാലാമത്തെ ചുമതലയിൽ ആയിരിക്കും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വേണ്ടത്

ചരിത്രപരമായി, ചൂതാട്ടത്തിന്റെ വികസനവും പ്രൊഫഷണലൈസേഷനും കാസിനോകളുടെ ആവിർഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ട ആവശ്യം ഉയർന്നു. പഠനവും ഗവേഷണവും ആവശ്യമായ ഒരു യഥാർത്ഥ പ്രതിഭാസമായിരുന്നു ഇത്.

പരിമിതമായ എണ്ണം തുല്യമായ സംഭവങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ കാർഡുകൾ, ക്രാപ്പുകൾ, റ let ലറ്റ് എന്നിവ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയെക്കുറിച്ച് സംഖ്യാ കണക്കുകൾ നൽകേണ്ട ആവശ്യം ഉയർന്നു.

സൂക്ഷ്മകോശത്തിൽ നടക്കുന്ന അടിസ്ഥാന പ്രക്രിയകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ നിസ്സാരമെന്ന് തോന്നിപ്പിക്കുന്ന ഈ ശാസ്ത്രം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നുവെന്ന് XX നൂറ്റാണ്ടിൽ വ്യക്തമായി. സൃഷ്ടിച്ചു ആധുനിക സിദ്ധാന്തം സാധ്യതകൾ.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പഠന ലക്ഷ്യം സംഭവങ്ങളും അവയുടെ സാധ്യതകളുമാണ്. ഇവന്റ് സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ലളിതമായ ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം, ഇവയുടെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്.

ഇവന്റ് എ, ബി ഇവന്റ് സി, ഇവന്റ് എ, അല്ലെങ്കിൽ ഇവന്റ് ബി, അല്ലെങ്കിൽ എ, ബി ഇവന്റുകൾ ഒരേസമയം സംഭവിച്ചു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

എ, ബി ഇവന്റുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തെ ഇവന്റ് സി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഇവന്റ് എ, ഇവന്റ് ബി എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ഒരേ സമയം സംഭവിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ എ, ബി ഇവന്റുകൾ പൊരുത്തമില്ലാത്തവയെ വിളിക്കുന്നു.

സംഭവിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ ഇവന്റ് എ അസാധ്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു സംഭവം ഒരു ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

അത് സംഭവിക്കണമെങ്കിൽ ഇവന്റ് എയെ വിശ്വസനീയമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു സംഭവം ഒരു ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോ ഇവന്റിനും A (P) എന്ന നമ്പർ നൽകട്ടെ. ഈ കത്തിടപാടിനായി ഇനിപ്പറയുന്ന നിബന്ധനകൾ നിറവേറ്റുകയാണെങ്കിൽ ഈ സംഖ്യയെ പി (എ) നെ ഇവന്റ് എയുടെ സാധ്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു പ്രധാന പ്രത്യേക കേസ്, സമതുലിതമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന സാഹചര്യമാണ്, കൂടാതെ ഈ ഫലങ്ങളുടെ ഏകപക്ഷീയവും ഇവന്റുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി നൽകാം. ഈ രീതിയിൽ അവതരിപ്പിച്ച പ്രോബബിലിറ്റിയെ ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 1-4 പ്രോപ്പർട്ടികൾ തൃപ്തികരമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷയിൽ നേരിടുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പ്രധാനമായും ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അത്തരം ജോലികൾ വളരെ ലളിതമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പ്രത്യേകിച്ചും ലളിതമാണ് പ്രകടന ഓപ്ഷനുകൾ... അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം അവസ്ഥയിൽ തന്നെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും.

പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

മേശപ്പുറത്ത് 20 പീസുകളുണ്ട് - 5 കാബേജ്, 7 ആപ്പിൾ, 8 അരി. മറീന ഒരു പൈ എടുക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അവൾ റൈസ് പൈ എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

തീരുമാനം.

മൊത്തം 20 ഇക്വിപ്രോബബിൾ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതായത്, മറീനയ്ക്ക് 20 പൈകളിൽ ഏതെങ്കിലും എടുക്കാം. പക്ഷേ, മറീന ചോറിനൊപ്പം ഒരു പൈ എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, A എന്നത് ചോറിനൊപ്പം ഒരു പൈയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം (ചോറിനൊപ്പം പീസ് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ) 8 മാത്രമേയുള്ളൂ. അപ്പോൾ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും:

സ്വതന്ത്രവും വിപരീതവും അനിയന്ത്രിതവുമായ സംഭവങ്ങൾ

എന്നിരുന്നാലും, ൽ ഓപ്പൺ ബാങ്ക് ടാസ്\u200cക്കുകൾ നിറവേറ്റാൻ തുടങ്ങി, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികളും. അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ പഠിച്ച മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങളിലേക്ക് വായനക്കാരന്റെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാം.

ഓരോ സംഭവത്തിന്റെയും സാധ്യത മറ്റൊരു സംഭവം നടന്നിട്ടുണ്ടോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ എ, ബി ഇവന്റുകൾ സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇവന്റ് ബി എന്നാൽ ഇവന്റ് എ സംഭവിച്ചില്ല എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതായത്. ഇവന്റ് ബി ഇവന്റിന് വിപരീതമാണ്. വിപരീത ഇവന്റിന്റെ സാധ്യത ഒരു മൈനസിന് തുല്യമാണ് നേരിട്ടുള്ള ഇവന്റിന്റെ സാധ്യത, അതായത്. ...

പ്രോബബിലിറ്റികൾ, ഫോർമുലകൾ എന്നിവയ്\u200cക്കായുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണന സിദ്ധാന്തങ്ങളും

എ, ബി എന്നീ അനിയന്ത്രിതമായ ഇവന്റുകൾക്കായി, ഈ ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംയുക്ത സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയില്ലാതെ അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്. ...

എ, ബി എന്നീ സ്വതന്ത്ര ഇവന്റുകൾക്ക്, ഈ ഇവന്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സംഭാവ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ .

അവസാന 2 പ്രസ്താവനകളെ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ സങ്കലനത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന്റെയും സിദ്ധാന്തങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും അത്ര എളുപ്പമല്ല. ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ, കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ചില നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്ന ഇവന്റുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം. ചിലപ്പോൾ ഇത്തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വതന്ത്ര ജോലികളായി മാറിയേക്കാം.

ഒഴിഞ്ഞ 6 സീറ്റുകളിൽ 6 വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഇരിക്കാൻ കഴിയുന്ന വിധത്തിൽ? ആദ്യ വിദ്യാർത്ഥി 6 സീറ്റുകളിൽ ഏതെങ്കിലും എടുക്കും. ഈ ഓപ്ഷനുകൾ ഓരോന്നും രണ്ടാമത്തെ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ സ്ഥാനം നേടുന്നതിനുള്ള 5 വഴികളുമായി യോജിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 4 സ places ജന്യ സ്ഥലങ്ങളുണ്ട്, നാലാമത്തേത് - 3 ന്, അഞ്ചാമത് - 2 ന്, ആറാമത് അവശേഷിക്കുന്ന ഏക സ്ഥാനം എടുക്കും. എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളുടെയും എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അത് 6 ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു! അത് "ആറ് ഫാക്റ്റോറിയൽ" വായിക്കുന്നു.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, n ചോദ്യങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മറ്റൊരു കേസ് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക. ഒഴിഞ്ഞ 6 സീറ്റുകളിലേക്ക് 2 വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് എത്ര തരത്തിൽ ഇരിക്കാം? ആദ്യ വിദ്യാർത്ഥി 6 സീറ്റുകളിൽ ഏതെങ്കിലും എടുക്കും. ഈ ഓപ്ഷനുകൾ ഓരോന്നും രണ്ടാമത്തെ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ സ്ഥാനം നേടുന്നതിനുള്ള 5 വഴികളുമായി യോജിക്കുന്നു. എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളുടെയും എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, k ഘടകങ്ങൾ\u200cക്കായി n ഘടകങ്ങളുടെ പ്ലെയ്\u200cസ്\u200cമെന്റുകളുടെ എണ്ണത്തിനായുള്ള സൂത്രവാക്യം ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുന്നു

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ.

ഒപ്പം അവസാന കേസ് ഈ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന്. 6 ൽ മൂന്ന് വിദ്യാർത്ഥികൾ എത്ര വഴികളിലാണ്? ആദ്യ വിദ്യാർത്ഥിയെ 6 വഴികളിലും രണ്ടാമത്തേത് 5 വഴികളിലും മൂന്നാമത്തേത് നാലിലും തിരഞ്ഞെടുക്കാം. എന്നാൽ ഈ ഓപ്ഷനുകൾക്കിടയിൽ, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഒരേ മൂന്നിരട്ടി 6 തവണ സംഭവിക്കുന്നു. എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളുടെയും എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് :. പൊതുവേ, മൂലകങ്ങളുടെ ഘടകങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിനായുള്ള സൂത്രവാക്യം ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുന്നു:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ.

പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷയിൽ നിന്ന് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

പ്രശ്നം 1. ശേഖരത്തിൽ നിന്ന്, എഡി. യാഷ്ചെങ്കോ.

പ്ലേറ്റിൽ 30 പൈകളുണ്ട്: 3 മാംസത്തോടൊപ്പം, 18 കാബേജും 9 ചെറികളും. സാഷ ക്രമരഹിതമായി ഒരു പൈ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. അവൻ ഒരു ചെറിയിൽ അവസാനിക്കുന്ന സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

.

ഉത്തരം: 0.3.

പ്രശ്നം 2. ശേഖരത്തിൽ നിന്ന്, എഡി. യാഷ്ചെങ്കോ.

1000 ബൾബുകളുടെ ഓരോ ബാച്ചിലും ശരാശരി 20 വികലമായ ബൾബുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ബാച്ചിൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം ബൾബ് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബൾബുകളുടെ എണ്ണം 1000-20 \u003d 980. ബാച്ചിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ഒരു ലൈറ്റ് ബൾബ് സേവനയോഗ്യമാകാനുള്ള സാധ്യത:

ഉത്തരം: 0.98.

കണക്ക് പരിശോധനയിലെ 9 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥി യു ശരിയായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത 0.67 ആണ്. യു. 8 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത 0.73 ആണ്. യു കൃത്യമായി 9 പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ\u200c ഒരു നമ്പർ\u200c ലൈൻ\u200c സങ്കൽപ്പിക്കുകയും അതിൽ\u200c 8 ഉം 9 ഉം പോയിൻറുകൾ\u200c അടയാളപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്\u200cതാൽ\u200c, “Y. കൃത്യമായി 9 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും "എന്ന അവസ്ഥയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു" W. 8 ലധികം പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ\u200c ശരിയായി പരിഹരിക്കും ", പക്ഷേ" W. 9 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും ”.

എന്നിരുന്നാലും, “ഡബ്ല്യു. 9 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും "എന്ന അവസ്ഥയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു" W. 8 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും ”. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇവന്റുകൾ നിശ്ചയിക്കുകയാണെങ്കിൽ: “ഡബ്ല്യൂ. കൃത്യമായി 9 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും "- എ വഴി," വൈ. 8 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും "- ബി വഴി," യു. സി വഴി 9 ലധികം പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കും. ആ പരിഹാരം ഇതുപോലെയാകും:

ഉത്തരം: 0.06.

ജ്യാമിതി പരീക്ഷയിൽ, പരീക്ഷ ചോദ്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഒരു ചോദ്യത്തിന് വിദ്യാർത്ഥി ഉത്തരം നൽകുന്നു. ഇതൊരു ത്രികോണമിതി ചോദ്യത്തിനുള്ള സാധ്യത 0.2 ആണ്. ഇതൊരു ബാഹ്യ കോണുകളുടെ ചോദ്യത്തിനുള്ള സാധ്യത 0.15 ആണ്. ഈ രണ്ട് വിഷയങ്ങളുമായി ഒരേസമയം ബന്ധപ്പെടുന്ന ചോദ്യങ്ങളൊന്നുമില്ല. പരീക്ഷയിലെ ഈ രണ്ട് വിഷയങ്ങളിൽ ഒന്നിൽ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഒരു ചോദ്യം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് എങ്ങനെയുള്ള സംഭവങ്ങളുണ്ടെന്ന് ചിന്തിക്കാം. പൊരുത്തപ്പെടാത്ത രണ്ട് ഇവന്റുകൾ ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നു. അതായത്, ചോദ്യം "ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയവുമായി അല്ലെങ്കിൽ "പുറത്ത് കോണുകൾ" എന്ന വിഷയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യത ഓരോ സംഭവത്തിന്റെയും സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ ഇവന്റുകളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം, അതായത്:

ഉത്തരം: 0.35.

മൂന്ന് വിളക്കുകളുള്ള ഒരു വിളക്കാണ് മുറി പ്രകാശിപ്പിക്കുന്നത്. ഒരു വർഷത്തിൽ ഒരു വിളക്ക് കത്തുന്നതിന്റെ സാധ്യത 0.29 ആണ്. ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ ഒരു വിളക്കെങ്കിലും കത്തിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

സാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് ബൾബുകൾ ഉണ്ട്, അവ ഓരോന്നും മറ്റേതൊരു ബൾബിൽ നിന്നും സ്വതന്ത്രമായി കത്തിച്ചേക്കാം അല്ലെങ്കിൽ വരില്ല. ഇവ സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളാണ്.

അത്തരം ഇവന്റുകൾക്കുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും. നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ എടുക്കാം: - ലൈറ്റ് ഓണാണ്, - ലൈറ്റ് കഴിഞ്ഞു. അതിനടുത്തായി ഞങ്ങൾ ഇവന്റിന്റെ സംഭാവ്യത കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് ലൈറ്റ് ഇവന്റുകൾ “ലൈറ്റ് ബൾബ് കത്തിച്ചു”, “ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണാണ്”, “ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണാണ്” എന്നിവ സംഭവിക്കുന്നതിന്റെ സാധ്യത: സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത “ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓണാണ് ”ലൈറ്റ് ബൾബ് ഓഫാണ്” എന്ന ഇവന്റിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയായി കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്: ...

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത 7 പൊരുത്തക്കേടുകൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾക്ക് അനുകൂലമുള്ളൂ എന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.അതുപോലുള്ള സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യത ഓരോ സംഭവങ്ങളുടെയും സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് :.

ഉത്തരം: 0.975608.

നിങ്ങൾക്ക് ചിത്രത്തിൽ ഒരു പ്രശ്നം കൂടി കാണാൻ കഴിയും:

അതിനാൽ, ഫോർമുലയുടെ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തവും പരീക്ഷയുടെ പതിപ്പിൽ നിങ്ങൾക്ക് നേരിടാൻ കഴിയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും എന്താണെന്ന് നിങ്ങളും ഞാനും മനസ്സിലാക്കി.

കൂടുതലോ കുറവോ ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റുകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് പലരും ചിന്തിക്കാൻ സാധ്യതയില്ല. പ്രകടിപ്പിച്ചു ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ, അടുത്ത തവണ മരിക്കുന്നതിന്റെ ഏത് വശമാണ് ഉരുട്ടുന്നതെന്ന് അറിയുന്നത് യാഥാർത്ഥ്യമാണോ? ഈ ചോദ്യമാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം പോലുള്ള ഒരു ശാസ്ത്രത്തിന് അടിത്തറയിട്ട രണ്ട് മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ചോദിച്ചത്, അതിൽ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത വളരെ വിശദമായി പഠിക്കുന്നു.

ആരംഭം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം പോലുള്ള ഒരു ആശയം നിർവചിക്കാൻ നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും: ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളുടെ സ്ഥിരതയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖകളിൽ ഒന്നാണിത്. തീർച്ചയായും, ഈ ആശയം മുഴുവൻ പോയിന്റും ശരിക്കും വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇത് കൂടുതൽ വിശദമായി പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സ്രഷ്ടാക്കളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടായിരുന്നു, ഇതും ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ഫലം കണക്കാക്കാൻ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യം ശ്രമിച്ചത് അവരാണ്. മൊത്തത്തിൽ, ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. അക്കാലത്ത് വിവിധ ചിന്തകരും പണ്ഡിതന്മാരും വിശകലനം ചെയ്യാൻ ശ്രമിച്ചു ചൂതാട്ട, ഒരു ടേപ്പ് അളവ്, ഡൈസ് മുതലായവ, അതുവഴി ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയുടെ സംഭവത്തിന്റെ പാറ്റേണും ശതമാനവും സ്ഥാപിക്കുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ശാസ്ത്രജ്ഞരാണ് അടിസ്ഥാനം സ്ഥാപിച്ചത്.

തുടക്കത്തിൽ, അവരുടെ കൃതികൾ ഈ മേഖലയിലെ മികച്ച നേട്ടങ്ങൾക്ക് കാരണമാകില്ല, കാരണം അവർ ചെയ്തതെല്ലാം കേവലം അനുഭവസമ്പന്നമായ വസ്തുതകളായിരുന്നു, കൂടാതെ പരീക്ഷണങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ ദൃശ്യപരമായി സജ്ജമാക്കി. കാലക്രമേണ, എല്ലുകൾ എറിയുന്നത് നിരീക്ഷിച്ചതിന്റെ ഫലമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട മികച്ച ഫലങ്ങൾ കൈവരിക്കാൻ ഇത് കാരണമായി. ഈ ഉപകരണമാണ് ആദ്യത്തെ മനസ്സിലാക്കാവുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നേടാൻ സഹായിച്ചത്.

സമാന ചിന്താഗതിക്കാരായ ആളുകൾ

"പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന വിഷയം പഠിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ക്രിസ്റ്റ്യൻ ഹ്യൂഗൻസിനെപ്പോലെയുള്ള ഒരാളെ പരാമർശിക്കുന്നതിൽ ഒരാൾക്ക് പരാജയപ്പെടാൻ കഴിയില്ല (ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത ഈ ശാസ്ത്രത്തിൽ തന്നെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു). ഈ വ്യക്തി വളരെ രസകരമാണ്. മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞരെപ്പോലെ, ഗണിതശാസ്ത്ര സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളുടെ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കാൻ അദ്ദേഹം ശ്രമിച്ചു. പാസ്കലും ഫെർമാറ്റും ചേർന്ന് അദ്ദേഹം ഇത് ചെയ്തില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധേയമാണ്, അതായത്, അദ്ദേഹത്തിന്റെ എല്ലാ കൃതികളും ഈ മനസ്സുകളുമായി വിഭജിച്ചിട്ടില്ല. ഹ്യൂഗൻസ് കൊണ്ടുവന്നു

രസകരമായ ഒരു വസ്തുത, അദ്ദേഹത്തിന്റെ കൃതികൾ കണ്ടുപിടിച്ചവരുടെ സൃഷ്ടിയുടെ ഫലത്തിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ, അല്ലെങ്കിൽ, ഇരുപത് വർഷം മുമ്പാണ്. നിയുക്ത ആശയങ്ങളിൽ, ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായവ:

• ഒരവസരത്തിന്റെ വ്യാപ്തിയായി പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന ആശയം;
• വ്യതിരിക്തമായ കേസുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ;
• പ്രോബബിലിറ്റികൾക്കുള്ള ഗുണനവും സങ്കലന സിദ്ധാന്തങ്ങളും.

പ്രശ്ന പഠനത്തിന് ആരാണ് കാര്യമായ സംഭാവന നൽകിയതെന്ന് ഓർമിക്കുകയുമില്ല. സ്വന്തമായി സ്വതന്ത്രമായ പരിശോധനകൾ നടത്തിയ അദ്ദേഹത്തിന് നിയമത്തിന്റെ തെളിവുകൾ നൽകാൻ കഴിഞ്ഞു വലിയ സംഖ്യകൾ... പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ പ്രവർത്തിച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞരായ പോയിസൺ, ലാപ്ലേസ് എന്നിവർക്ക് യഥാർത്ഥ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. ഈ നിമിഷത്തിൽ നിന്നാണ് നിരീക്ഷണത്തിനിടയിലെ പിശകുകൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചത്. റഷ്യൻ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, അല്ലെങ്കിൽ മാർക്കോവ്, ചെബിഷെവ്, ഡയാപുനോവ് എന്നിവർക്കും ഈ ശാസ്ത്രത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റാൻ കഴിഞ്ഞില്ല. മഹാനായ പ്രതിഭകളുടെ പ്രവർത്തനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അവർ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയായി ഈ വിഷയം ഏകീകരിച്ചു. ഈ കണക്കുകൾ പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തിൽ തന്നെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുണ്ടായിരുന്നു, അവരുടെ സംഭാവനയ്ക്ക് നന്ദി, അത്തരം പ്രതിഭാസങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയായി തെളിഞ്ഞു:

• വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം;
• മാർക്കോവ് ശൃംഖലകളുടെ സിദ്ധാന്തം;
• കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം.

അതിനാൽ, ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഉത്ഭവ ചരിത്രവും അതിനെ സ്വാധീനിച്ച പ്രധാന വ്യക്തികളും ഉപയോഗിച്ച്, എല്ലാം കൂടുതലോ കുറവോ വ്യക്തമാണ്. എല്ലാ വസ്തുതകളും സമന്വയിപ്പിക്കാനുള്ള സമയമാണിത്.

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

നിയമങ്ങളും പ്രമേയങ്ങളും സ്പർശിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്. ഇവന്റ് അതിൽ പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഈ വിഷയം വളരെ വലുതാണ്, എന്നാൽ ഇത് കൂടാതെ മറ്റെല്ലാം മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഒരു സംഭവം ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഫലമാണ്. ഈ പ്രതിഭാസത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ വളരെ കുറവാണ്. അതിനാൽ, ഈ പ്രദേശത്ത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ലോട്ട്മാൻ എന്ന ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പറഞ്ഞു അത് വരുന്നു "സംഭവിച്ചതെന്താണെങ്കിലും, സംഭവിച്ചത്" എന്നതിനെക്കുറിച്ച്.

ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റുകൾ (പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം അവ നൽകുന്നു പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ) സംഭവിക്കാനുള്ള കഴിവുള്ള ഏതൊരു പ്രതിഭാസത്തെയും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ആശയമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, പല നിബന്ധനകളും പാലിച്ചാൽ ഈ സാഹചര്യം സംഭവിക്കാനിടയില്ല. സംഭവിച്ച പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ മുഴുവൻ അളവും പിടിച്ചെടുക്കുന്നത് ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളാണെന്നും അറിയേണ്ടതാണ്. എല്ലാ വ്യവസ്ഥകളും എല്ലായ്പ്പോഴും ആവർത്തിക്കാമെന്ന് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അവരുടെ പെരുമാറ്റമാണ് "പരീക്ഷണം" അല്ലെങ്കിൽ "പരിശോധന" എന്ന പേര് സ്വീകരിച്ചത്.

തന്നിരിക്കുന്ന പരിശോധനയിൽ നൂറു ശതമാനം സംഭവിക്കുന്ന ഒന്നാണ് വിശ്വസനീയമായ ഇവന്റ്. അതനുസരിച്ച്, അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാത്ത ഒന്നാണ്.

ഒരു ജോഡി പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നത് (സോപാധികമായി കേസ് എ, കേസ് ബി) ഒരേസമയം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു പ്രതിഭാസമാണ്. അവയെ എ ബി എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്.

എ, ബി സംഭവങ്ങളുടെ ജോഡി സി ആണ്, മറ്റൊരു തരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവയിലൊന്നെങ്കിലും (എ അല്ലെങ്കിൽ ബി) സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് സി ആയി മാറും. വിവരിച്ച പ്രതിഭാസത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: സി \u003d എ + ബി.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങൾ രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ പരസ്പരവിരുദ്ധമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അവ ഒരേ സമയം സംഭവിക്കാൻ കഴിയില്ല. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ സംയുക്ത ഇവന്റുകൾ അവയുടെ ആന്റിപോഡാണ്. ഇത് സംഭവിച്ചത് എ ആണെങ്കിൽ, അത് ബി യെ തടസ്സപ്പെടുത്തുന്നില്ല എന്നാണ് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

വിപരീത സംഭവങ്ങൾ (പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം അവയെ വളരെ വിശദമായി പരിഗണിക്കുന്നു) മനസിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതിലൂടെ അവ കൈകാര്യം ചെയ്യാനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ് അവ. എന്നാൽ അവയുടെ വ്യത്യാസം പല പ്രതിഭാസങ്ങളിലൊന്ന് ഏത് സാഹചര്യത്തിലും സംഭവിക്കണം എന്നതാണ്.

തുല്യമായി സാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ ആ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, അതിന്റെ ആവർത്തനക്ഷമത തുല്യമാണ്. ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നാണയം ടോസ് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും: അതിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ വീഴ്ച മറ്റേതിന്റെ വീഴ്ചയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഒരു ശുഭ സംഭവം ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എപ്പിസോഡ് ബി, എപ്പിസോഡ് എ എന്നിവയുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ആദ്യത്തേത് ഒറ്റ സംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലുള്ള ഡൈസുകളുടെ റോൾ ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് ഡൈയിലെ അഞ്ചാമത്തെ നമ്പറിന്റെ രൂപമാണ്. എ, ബി യെ അനുകൂലിക്കുന്നുവെന്ന് മാറുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങൾ രണ്ടോ അതിലധികമോ കേസുകളിൽ മാത്രം പ്രവചിക്കപ്പെടുന്നു, മറ്റൊന്നിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നാണയം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യുമ്പോൾ A വാലാണ്, കൂടാതെ B ന് ഡെക്കിൽ നിന്ന് ഒരു ജാക്ക് ലഭിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളാണ് അവ. ഈ നിമിഷത്തോടെ അത് വ്യക്തമായി.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ ആശ്രിത സംഭവങ്ങളും അവയുടെ ഗണത്തിന് മാത്രമേ അനുവദിക്കൂ. അവ മറ്റൊന്നിനെ ആശ്രയിക്കുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, ബി എന്ന പ്രതിഭാസം എ ഇതിനകം സംഭവിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ വിപരീതമായി സംഭവിച്ചില്ലെങ്കിൽ മാത്രമേ സംഭവിക്കുകയുള്ളൂ, ഇതാണ് ബി യുടെ പ്രധാന വ്യവസ്ഥ.

ഒരു ഘടകവുമായുള്ള ക്രമരഹിതമായ പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലം പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളാണ്. ഇത് ഒരു തവണ മാത്രം സംഭവിച്ച ഒരു പ്രതിഭാസമാണെന്ന് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വിശദീകരിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

അതിനാൽ, "ഇവന്റ്", "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്നീ ആശയങ്ങൾ മുകളിൽ പരിഗണിക്കപ്പെട്ടു, ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന പദങ്ങളുടെ നിർവചനവും നൽകി. പ്രധാനപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായി നേരിട്ട് പരിചയപ്പെടാനുള്ള സമയമാണിത്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ വിഷയത്തിലെ എല്ലാ പ്രധാന ആശയങ്ങളെയും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയും ഇവിടെ വലിയ പങ്കുവഹിക്കുന്നു.

പ്രധാനവയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അവയുമായി മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, അവ എന്താണെന്ന് പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് പ്രാഥമികമായി ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണ്, ഇത് ഒരു വലിയ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനവും അതുപോലെ തന്നെ സംഖ്യകളുടെയും അവയുടെ ഘടകങ്ങളുടെയും വിവിധ ക്രമമാറ്റങ്ങൾ, വിവിധ ഡാറ്റ മുതലായവ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, ഇത് നിരവധി കോമ്പിനേഷനുകളുടെ രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന് പുറമെ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്, ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫി എന്നിവയ്ക്ക് ഈ വ്യവസായം പ്രധാനമാണ്.

അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ അവതരണത്തിലേക്കും അവയുടെ നിർവചനത്തിലേക്കും പോകാം.

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് പെർ\u200cമ്യൂട്ടേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനുള്ള എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനായിരിക്കും, ഇത് ഇതായി തോന്നുന്നു:

P_n \u003d n (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \u003d n!

ഘടകങ്ങൾ ക്രമത്തിന്റെ ക്രമത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ സമവാക്യം ബാധകമാകൂ.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പ്ലെയ്\u200cസ്\u200cമെന്റ് ഫോർമുല പരിഗണിക്കും, ഇത് ഇതായി തോന്നുന്നു:

A_n ^ m \u003d n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) \u003d n! : (n - m)!

ഈ പദപ്രയോഗം ഘടകം സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിന് മാത്രമല്ല, അതിന്റെ ഘടനയ്ക്കും ബാധകമാണ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൽ നിന്നുള്ള മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം, ഇത് അവസാനത്തേതും കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

C_n ^ m \u003d n! : ((n - m))! : m!

ഒരു കോമ്പിനേഷൻ യഥാക്രമം ഓർഡർ ചെയ്യാത്ത തിരഞ്ഞെടുക്കലുകളെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ഈ നിയമം അവർക്ക് ബാധകമാണ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്\u200cസിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണെന്ന് ഇത് മാറി, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തിലേക്ക് പോകാം. ഈ പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഈ സമവാക്യത്തിൽ, m എന്നത് ഇവന്റ് എ യ്ക്ക് അനുകൂലമായ അവസ്ഥകളുടെ എണ്ണമാണ്, കൂടാതെ n എന്നത് തുല്യമായി സാധ്യമായതും പ്രാഥമികവുമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണമാണ്.

നിലവിലുണ്ട് ഒരു വലിയ എണ്ണം പദപ്രയോഗങ്ങൾ, ലേഖനം എല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളില്ല, എന്നാൽ അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടവ സ്പർശിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാധ്യത:

പി (എ + ബി) \u003d പി (എ) + പി (ബി) - പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവന്റുകൾ മാത്രം ചേർക്കുന്നതിനാണ് ഈ സിദ്ധാന്തം;

പി (എ + ബി) \u003d പി (എ) + പി (ബി) - പി (എബി) - ഇത് അനുയോജ്യമായവ മാത്രം ചേർക്കുന്നതിനാണ്.

ഇവന്റുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത:

പി (എ ⋅ ബി) \u003d പി (എ) ⋅ പി (ബി) - ഈ സിദ്ധാന്തം സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങൾക്കുള്ളതാണ്;

(P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) \u003d P (A) ⋅ P (A∣B)) - ഇത് ആശ്രയിക്കുന്നതിനാണ്.

ഇവന്റ് ഫോർമുല പട്ടിക അവസാനിപ്പിക്കും. പ്രോബബിലിറ്റി ബയേസിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

P (H_m∣A) \u003d (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k \u003d 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m \u003d 1, ..., n

ഈ സമവാക്യത്തിൽ, H 1, H 2, ..., H n ആണ് പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് അനുമാനങ്ങൾ.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

നിങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും മേഖല ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വ്യായാമങ്ങളും സാമ്പിൾ പരിഹാരങ്ങളും ഇല്ലാതെ ഇത് പൂർത്തിയാകില്ല. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തവും അങ്ങനെതന്നെയാണ്: സംഭവങ്ങൾ, ശാസ്ത്രീയ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്ഥിരീകരിക്കുന്ന ഒരു അവിഭാജ്യ ഘടകമാണ് ഇവിടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ക്രമമാറ്റങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം

ഒന്നിന്റെ മുഖവിലയിൽ ആരംഭിച്ച് ഒരു ഡെക്ക് കാർഡുകളിൽ മുപ്പത് കാർഡുകളുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അടുത്ത ചോദ്യം. ഒന്നോ രണ്ടോ വിഭാഗങ്ങളുള്ള കാർഡുകൾ വർഷങ്ങളായി ഉണ്ടാകാതിരിക്കാൻ ഒരു ഡെക്ക് ഇടാൻ എത്ര വഴികളുണ്ട്?

ചുമതല സജ്ജമാക്കി, ഇപ്പോൾ അത് പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ആദ്യം നിങ്ങൾ മുപ്പത് മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമവ്യതിയാനങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യം എടുക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് P_30 \u003d 30!

ഈ നിയമത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഡെക്ക് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ മടക്കാൻ എത്ര ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, എന്നാൽ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും കാർഡുകൾ പരസ്പരം അടുത്തുള്ളവയിൽ നിന്ന് അവയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യത്തേത് രണ്ടാമത്തേതിന് മുകളിലായിരിക്കുമ്പോൾ ഓപ്ഷനിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. ആദ്യ കാർഡിന് ഇരുപത്തിയൊമ്പത് സ്ഥലങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു - ആദ്യത്തേത് മുതൽ ഇരുപത്തിയൊമ്പതാം സ്ഥാനവും രണ്ടാമത്തെ കാർഡ് രണ്ടാം മുതൽ മുപ്പത് വരെ, ഒരു ജോഡി കാർഡുകൾക്ക് ഇരുപത്തിയൊമ്പത് സ്ഥലങ്ങൾ മാത്രം. ബാക്കിയുള്ളവർക്ക് ഇരുപത്തിയെട്ട് സീറ്റുകൾ എടുക്കാം, പ്രത്യേക ക്രമത്തിൽ. അതായത്, ഇരുപത്തിയെട്ട് കാർഡുകളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിന്, ഇരുപത്തിയെട്ട് ഓപ്ഷനുകൾ P_28 \u003d 28 ഉണ്ട്!

തൽഫലമായി, ആദ്യ കാർഡ് രണ്ടാമത്തേതിന് മുകളിലായിരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ പരിഹാരം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, 29 ⋅ 28 അധിക അവസരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും! \u003d 29!

അതേ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ആദ്യ കാർഡ് രണ്ടാമത്തേതിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ കേസിനായുള്ള അനാവശ്യ ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് 29 ⋅ 28 ഉം ആയി മാറുന്നു! \u003d 29!

ഇതിൽ നിന്ന് 2 ⋅ 29 അധിക ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, ഒരു ഡെക്ക് നിർമ്മിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ 30 മാർഗങ്ങളുണ്ട്! - 2 ⋅ 29!. ഇത് കണക്കാക്കാൻ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒന്നിൽ നിന്ന് ഇരുപത്തിയൊമ്പത് വരെയുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും പരസ്പരം ഗുണിക്കണം, അവസാനം എല്ലാം 28 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഉത്തരം 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

പരിഹാര ഉദാഹരണം. പ്ലെയ്\u200cസ്\u200cമെന്റ് നമ്പറിനായുള്ള ഫോർമുല

ഈ ടാസ്കിൽ, ഒരു ഷെൽഫിൽ പതിനഞ്ച് വോള്യങ്ങൾ ഇടാൻ എത്ര വഴികളുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, പക്ഷേ ആകെ മുപ്പത് വോള്യങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ.

ഈ പ്രശ്\u200cനത്തിൽ, പരിഹാരം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ അല്പം ലളിതമാണ്. ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, പതിനഞ്ചിന്റെ മുപ്പത് വാല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് മൊത്തം ലൊക്കേഷനുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 \u003d 202 843 204 931 727 360 000

ഉത്തരം യഥാക്രമം 202 843 204 931 727 360 000 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഇപ്പോൾ പ്രശ്നം അൽപ്പം ബുദ്ധിമുട്ടാക്കാം. രണ്ട് ഷെൽഫുകളിൽ മുപ്പത് പുസ്തകങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കാൻ എത്ര വഴികളുണ്ടെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഒരു അലമാരയിൽ പതിനഞ്ച് വാല്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പല തരത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞാൻ വ്യക്തമാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, ഇതിൽ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്, എന്നാൽ രണ്ടിലും ഒരേ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു.

ഈ പ്രശ്\u200cനത്തിൽ\u200c, മുമ്പത്തേതിൽ\u200c നിന്നും നിങ്ങൾ\u200cക്ക് ഉത്തരം എടുക്കാൻ\u200c കഴിയും, കാരണം പതിനഞ്ച് പുസ്\u200cതകങ്ങൾ\u200cക്കായി നിങ്ങൾക്ക്\u200c എത്ര തവണ ഷെൽ\u200cഫ് പൂരിപ്പിക്കാൻ\u200c കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ\u200c കണക്കാക്കി. ഇത് A_30 ^ 15 \u003d 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) \u003d 30 ⋅ 29 28 ⋅ ... ⋅ 16 ആയി മാറി.

രണ്ടാമത്തെ ഷെൽഫ് കണക്കാക്കുന്നത് പെർ\u200cമ്യൂട്ടേഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ്, കാരണം അതിൽ പതിനഞ്ച് പുസ്തകങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും, അതേസമയം ആകെ പതിനഞ്ച് പുസ്തകങ്ങളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ P_15 \u003d 15 സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മൊത്തം A_30 ^ 15 ⋅ P_15 വഴികളായിരിക്കുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, പക്ഷേ, കൂടാതെ, മുപ്പത് മുതൽ പതിനാറ് വരെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഉൽ\u200cപ്പന്നം ഒന്ന് മുതൽ പതിനഞ്ച് വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്താൽ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഫലമായി, ഉൽപ്പന്നം ഒന്ന് മുതൽ മുപ്പത് വരെയുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും ലഭിക്കും, അതായത്, ഉത്തരം 30 ആണ്!

എന്നാൽ ഈ പ്രശ്നം മറ്റൊരു രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും - എളുപ്പമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മുപ്പത് പുസ്തകങ്ങൾക്ക് ഒരു ഷെൽഫ് ഉണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് imagine ഹിക്കാനാകും. അവയെല്ലാം ഈ വിമാനത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ രണ്ട് അലമാരകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന നിബന്ധന ആവശ്യമുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു നീളമുള്ള ഒന്ന് പകുതിയായി മുറിച്ചു, അത് രണ്ട് മുതൽ പതിനഞ്ച് വരെ മാറുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് പ്ലെയ്\u200cസ്\u200cമെന്റ് ഓപ്ഷനുകൾ P_30 \u003d 30 ആകാമെന്ന് മാറുന്നു.

പരിഹാര ഉദാഹരണം. കോമ്പിനേഷൻ നമ്പറിനായുള്ള ഫോർമുല

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൽ നിന്നുള്ള മൂന്നാമത്തെ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഒരു വകഭേദം ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. പതിനഞ്ച് പുസ്തകങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുന്നതിന് എത്ര വഴികളുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, നിങ്ങൾ മുപ്പതിൽ നിന്ന് കൃത്യമായി തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരത്തിനായി, തീർച്ചയായും, കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കും. ഒരേ പതിനഞ്ച് പുസ്തകങ്ങളുടെ ക്രമം പ്രധാനമല്ലെന്ന് വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാകും. അതിനാൽ, തുടക്കത്തിൽ നിങ്ങൾ പതിനഞ്ചിന്റെ മുപ്പത് പുസ്തകങ്ങളുടെ ആകെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

C_30 ^ 15 \u003d 30! : ((30-15 ശതമാനം)! : 15! \u003d 155 117 520

അത്രയേയുള്ളൂ. ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, ൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമയം അത്തരമൊരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു, ഉത്തരം യഥാക്രമം 155 117 520 ആണ്.

പരിഹാര ഉദാഹരണം. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം

മുകളിലുള്ള സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലളിതമായ പ്രശ്\u200cനത്തിൽ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. എന്നാൽ ഇത് പ്രവർത്തന ഗതി ദൃശ്യപരമായി കാണാനും കണ്ടെത്താനും സഹായിക്കും.

കുഴപ്പത്തിൽ തികച്ചും സമാനമായ പത്ത് പന്തുകളുണ്ടെന്നതാണ് പ്രശ്\u200cനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഇതിൽ നാലെണ്ണം മഞ്ഞയും ആറ് നീലനിറവുമാണ്. ഒരു പന്ത് ചന്തിയിൽ നിന്ന് എടുക്കുന്നു. നീല ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, എത്തിച്ചേരൽ നിയുക്തമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് നീല പന്ത് ഇവന്റ് എ. ഈ അനുഭവത്തിന് പത്ത് ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം, അത് പ്രാഥമികവും തുല്യവുമാണ്. അതേസമയം, പത്തിൽ ആറെണ്ണം ഇവന്റ് എയ്ക്ക് അനുകൂലമാണ്. ഞങ്ങൾ ഫോർമുല പ്രകാരം തീരുമാനിക്കുന്നു:

പി (എ) \u003d 6: 10 \u003d 0.6

ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നീല പന്തിൽ എത്തിച്ചേരാനുള്ള കഴിവ് 0.6 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി.

പരിഹാര ഉദാഹരണം. ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാധ്യത

ഇപ്പോൾ ഒരു വേരിയൻറ് അവതരിപ്പിക്കും, ഇത് ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാധ്യതയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കും. അതിനാൽ, രണ്ട് ബോക്സുകളാണുള്ളത്, ആദ്യത്തേതിൽ ഒരു ചാരനിറവും അഞ്ച് വെളുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ എട്ട് ചാരനിറവും നാല് വെളുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, അവയിലൊന്ന് ഒന്നും രണ്ടും ബോക്സുകളിൽ നിന്ന് എടുത്തു. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന പന്തുകൾ ചാരനിറവും വെളുപ്പും ആകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇവന്റുകൾ നിയുക്തമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

• അതിനാൽ, എ - ആദ്യ ബോക്സിൽ നിന്ന് ചാരനിറത്തിലുള്ള പന്ത് എടുത്തു: പി (എ) \u003d 1/6.
• A '- ആദ്യ ബോക്സിൽ നിന്ന് അവർ ഒരു വെളുത്ത പന്തും എടുത്തു: P (A ") \u003d 5/6.
• ബി - രണ്ടാമത്തെ ബോക്സിൽ നിന്ന് ചാരനിറത്തിലുള്ള പന്ത് നീക്കംചെയ്തു: പി (ബി) \u003d 2/3.
• ബി '- രണ്ടാമത്തെ ബോക്സിൽ നിന്ന് ചാരനിറത്തിലുള്ള പന്ത് എടുത്തു: പി (ബി ") \u003d 1/3.

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഒരു പ്രതിഭാസം സംഭവിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: എബി അല്ലെങ്കിൽ എബി. സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും: പി (എബി ") \u003d 1/18, പി (എ" ബി) \u003d 10/18.

പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇപ്പോൾ ഉപയോഗിച്ചു. കൂടാതെ, ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അവയുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന്റെ സമവാക്യം നിങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

പി \u003d പി (എബി "+ എ" ബി) \u003d പി (എബി ") + പി (എ" ബി) \u003d 11/18.

ഇങ്ങനെയാണ്, ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് സമാന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

ഫലം

ലേഖനം "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ നൽകി, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത നിർണായക പങ്ക്... തീർച്ചയായും, എല്ലാം കണക്കിലെടുത്തില്ല, പക്ഷേ, അവതരിപ്പിച്ച വാചകത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തെക്കുറിച്ച് സൈദ്ധാന്തികമായി പരിചയപ്പെടാം. സംശയാസ്\u200cപദമായ ശാസ്ത്രം പ്രൊഫഷണൽ ബിസിനസ്സിൽ മാത്രമല്ല, ഉപയോഗപ്രദമാകും ദൈനംദിന ജീവിതം... അതിന്റെ സഹായത്തോടെ, ഏത് സംഭവത്തിന്റെയും സാധ്യത നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം.

വാചകവും സ്പർശിച്ചു പ്രധാനപ്പെട്ട തീയതികൾ ഒരു ശാസ്ത്രം എന്ന നിലയിൽ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ രൂപീകരണത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിലും അതിൽ നിക്ഷേപം നടത്തിയ ആളുകളുടെ പേരുകളിലും. ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ പോലും കണക്കാക്കാൻ ആളുകൾ പഠിച്ചു എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് മനുഷ്യ ജിജ്ഞാസ നയിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്. ഒരിക്കൽ\u200c അവർ\u200c അതിൽ\u200c താൽ\u200cപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നുവെങ്കിലും ഇന്ന്\u200c എല്ലാവർക്കും ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഇതിനകം അറിയാം. ഭാവിയിൽ നമ്മെ കാത്തിരിക്കുന്നത് എന്താണെന്ന് ആരും പറയില്ല, പരിഗണനയിലുള്ള സിദ്ധാന്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റ് മികച്ച കണ്ടെത്തലുകൾ എന്തായിരിക്കും. എന്നാൽ ഒരു കാര്യം ഉറപ്പാണ് - ഗവേഷണം നിശ്ചലമല്ല!

"പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന ആശയം അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന പലരും ഭയപ്പെടുന്നു, ഇത് അമിതവും വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണെന്ന് കരുതുന്നു. എന്നാൽ എല്ലാം യഥാർത്ഥത്തിൽ അത്ര ദാരുണമല്ല. ഇന്ന് ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ആശയം പരിഗണിക്കുകയും നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുകയും ചെയ്യും.

ശാസ്ത്രം

"പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" പോലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖ എന്താണ് പഠിക്കുന്നത്? പാറ്റേണുകളും അളവുകളും അവൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ചൂതാട്ടത്തെക്കുറിച്ച് പഠിച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞർ ആദ്യമായി ഈ വിഷയത്തിൽ താൽപര്യം പ്രകടിപ്പിച്ചു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം ഒരു സംഭവമാണ്. അനുഭവത്തിലൂടെയോ നിരീക്ഷണത്തിലൂടെയോ കണ്ടെത്തുന്ന ഏതൊരു വസ്തുതയാണിത്. എന്നാൽ എന്താണ് അനുഭവം? പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മറ്റൊരു അടിസ്ഥാന ആശയം. ഇതിനർത്ഥം ഈ സാഹചര്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിച്ചത് ആകസ്മികമല്ല, മറിച്ച് ഒരു പ്രത്യേക ഉദ്ദേശ്യത്തിനായിട്ടാണ്. നിരീക്ഷണത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഇവിടെ ഗവേഷകൻ തന്നെ പരീക്ഷണത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ ഈ സംഭവങ്ങൾക്ക് സാക്ഷ്യം വഹിക്കുന്നു, എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് അദ്ദേഹം ഒരു തരത്തിലും ബാധിക്കുന്നില്ല.

ഇവന്റുകൾ

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം ഒരു സംഭവമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ വർഗ്ഗീകരണം പരിഗണിച്ചില്ല. അവയെല്ലാം ഇനിപ്പറയുന്ന വിഭാഗങ്ങളിൽ പെടുന്നു:

• വിശ്വസനീയമായത്.
• അസാധ്യമാണ്.
• ക്രമരഹിതം.

പരീക്ഷണത്തിനിടയിൽ ഏത് തരത്തിലുള്ള സംഭവങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കുകയോ സൃഷ്ടിക്കുകയോ ചെയ്താലും, അവയെല്ലാം ഈ വർഗ്ഗീകരണത്തിന് വിധേയമാണ്. ഓരോ തരത്തെയും പ്രത്യേകം അറിയാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

വിശ്വസനീയമായ ഇവന്റ്

അത്തരമൊരു സാഹചര്യമാണ്, അതിനുമുമ്പായി ആവശ്യമായ സങ്കീർണ്ണമായ നടപടികൾ സ്വീകരിച്ചു. സാരാംശം നന്നായി മനസിലാക്കാൻ, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നതാണ് നല്ലത്. ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം എന്നിവ ഈ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു പ്രധാന ആശയംവിശ്വസനീയമായ ഒരു ഇവന്റായി. ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• ഞങ്ങൾ കൂലിയുടെ രൂപത്തിൽ ജോലി ചെയ്യുകയും പ്രതിഫലം സ്വീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
• ഞങ്ങൾ പരീക്ഷകളിൽ നന്നായി വിജയിച്ചു, മത്സരത്തിൽ വിജയിച്ചു, ഇതിനുള്ള പ്രവേശന രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രതിഫലം ലഭിക്കും വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം.
• ഞങ്ങൾ ബാങ്കിൽ പണം നിക്ഷേപിച്ചു, ആവശ്യമെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ അത് തിരികെ നൽകും.

അത്തരം സംഭവങ്ങൾ വിശ്വസനീയമാണ്. ആവശ്യമായ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഞങ്ങൾ പാലിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, തീർച്ചയായും നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിച്ച ഫലം ലഭിക്കും.

അസാധ്യമായ ഇവന്റുകൾ

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നോക്കുകയാണ്. അടുത്ത തരത്തിലുള്ള ഇവന്റിന്റെ വിശദീകരണത്തിലേക്ക് പോകാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, അതായത് അസാധ്യമാണ്. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഏറ്റവും കൂടുതൽ നിഷ്\u200cകർഷിക്കാം പ്രധാനപ്പെട്ട നിയമം - അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത പൂജ്യമാണ്.

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരാൾക്ക് ഈ ഫോർമുലേഷനിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കാൻ കഴിയില്ല. വ്യക്തതയ്ക്കായി, അത്തരം സംഭവങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

• പ്ലസ് ടെൻ താപനിലയിൽ വെള്ളം മരവിച്ചു (ഇത് അസാധ്യമാണ്).
• വൈദ്യുതിയുടെ അഭാവം ഉൽപാദനത്തെ ഒരു തരത്തിലും ബാധിക്കുന്നില്ല (മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ അസാധ്യമാണ്).

മുകളിൽ വിവരിച്ചവ ഈ വിഭാഗത്തിന്റെ സത്തയെ വളരെ വ്യക്തമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നത് മൂല്യവത്തല്ല. ഒരു സാഹചര്യത്തിലും ഒരു അനുഭവത്തിനിടയിലും അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവം ഒരിക്കലും സംഭവിക്കില്ല.

ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റുകൾ

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഈ പ്രത്യേക തരത്തിലുള്ള ഇവന്റുകൾക്ക് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകണം. അവരാണ് അദ്ദേഹം പഠിക്കുന്നത് ശാസ്ത്രം നൽകി... അനുഭവത്തിന്റെ ഫലമായി, എന്തെങ്കിലും സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കില്ല. കൂടാതെ, പരിധിയില്ലാത്ത തവണ പരിശോധന നടത്താം. ശ്രദ്ധേയമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ സേവിക്കാൻ കഴിയും:

• ഒരു നാണയത്തിന്റെ ടോസ് ഒരു അനുഭവം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പരീക്ഷണമാണ്; തല വീഴുന്നത് ഒരു സംഭവമാണ്.
• അന്ധമായി ബാഗിൽ നിന്ന് പന്ത് വലിക്കുന്നത് ഒരു പരീക്ഷണമാണ്, ഒരു ചുവന്ന പന്ത് പിടിക്കപ്പെടുന്നു - ഇതൊരു സംഭവമാണ്, അങ്ങനെ.

അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിധിയില്ലാത്ത എണ്ണം ഉണ്ടാവാം, പക്ഷേ, പൊതുവേ, സാരാംശം വ്യക്തമായിരിക്കണം. ഇവന്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് സംഗ്രഹിക്കുന്നതിനും ചിട്ടപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഒരു പട്ടിക നൽകിയിരിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി പഠിക്കുന്നത് അവതരിപ്പിച്ച എല്ലാവരുടെയും അവസാന ഇനം മാത്രമാണ്.

നിയമങ്ങൾ

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത പഠിക്കുന്ന ഒരു ശാസ്ത്രമാണ് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി. മറ്റുള്ളവരെ പോലെ, ഇതിന് ചില നിയമങ്ങളുണ്ട്. നിലവിലുണ്ട് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം:

• റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സീക്വൻസുകളുടെ സംയോജനം.
• വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം.

ഒരു സമുച്ചയത്തിന്റെ സാധ്യത കണക്കാക്കുമ്പോൾ, എളുപ്പവും വേഗത്തിലുള്ളതുമായ ഫലം നേടുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കൂട്ടം ലളിതമായ ഇവന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കാം. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ ചില സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. ആദ്യ നിയമത്തെക്കുറിച്ച് ആദ്യം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സീക്വൻസുകളുടെ സംയോജനം

നിരവധി തരം സംയോജനങ്ങളുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക:

• റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ സംയോജിക്കുന്നു.
• മിക്കവാറും അസാധ്യമാണ്.
• റൂട്ട്-മീഡിയം-സ്ക്വയർ ഒത്തുചേരൽ.
• വിതരണ സംയോജനം.

അതിനാൽ, ഈച്ചയിൽ, അതിന്റെ സത്ത മനസ്സിലാക്കാൻ വളരെ പ്രയാസമാണ്. ഈ വിഷയം മനസിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ചില നിർവചനങ്ങൾ ഇതാ. തുടക്കക്കാർക്കായി, ആദ്യ കാഴ്ച. സീക്വൻസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ സംയോജിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ: n അനന്തതയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, സീക്വൻസ് പ്രവണത പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ഒന്നിനോട് അടുക്കുന്നതുമാണ്.

എന്നതിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന തരം, മിക്കവാറും... സീക്വൻസ് ഒത്തുചേരുന്നു മിക്കവാറും ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിലേക്ക് n അനന്തതയിലേക്കും P ആകർഷണീയതയ്\u200cക്ക് അടുത്തുള്ള മൂല്യത്തിലേക്കും പ്രവണത കാണിക്കുന്നു.

അടുത്ത തരം ആർ\u200cഎം\u200cഎസ് സംയോജനം... എസ്\u200cകെ-കൺ\u200cവെർ\u200cജെൻ\u200cസ് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ\u200c, വെക്റ്റർ\u200c സ്\u200cറ്റോകാസ്റ്റിക് പ്രോസസുകളുടെ പഠനം അവയുടെ കോർ\u200cഡിനേറ്റ് സ്\u200cറ്റോകാസ്റ്റിക് പ്രോസസുകളുടെ പഠനത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

അവസാന തരം അവശേഷിക്കുന്നു, പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നേരിട്ട് മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിന് ഇത് ഹ്രസ്വമായി വിശകലനം ചെയ്യാം. വിതരണത്തിൽ ഒത്തുചേരുന്നതിന് മറ്റൊരു പേരുണ്ട് - “ദുർബലമായത്”, എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ചുവടെ ഞങ്ങൾ വിശദീകരിക്കും. ദുർബലമായ ഒത്തുചേരൽ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന വിതരണ ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ചയുടെ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലും വിതരണ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സംയോജനമാണ്.

ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഞങ്ങളുടെ വാഗ്ദാനം പാലിക്കും: പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസിൽ റാൻഡം വേരിയബിൾ നിർവചിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിൽ മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ നിന്ന് ദുർബലമായ ഒത്തുചേരൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വിതരണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമായി ഈ അവസ്ഥ രൂപപ്പെടുന്നതിനാൽ ഇത് സാധ്യമാണ്.

വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ, ഇനിപ്പറയുന്നവ:

• ചെബിഷേവിന്റെ അസമത്വം.
• ചെബിഷേവിന്റെ സിദ്ധാന്തം.
• ചെബിഷേവിന്റെ സിദ്ധാന്തം സാമാന്യവൽക്കരിച്ചു.
• മാർക്കോവിന്റെ സിദ്ധാന്തം.

ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളെല്ലാം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ചോദ്യത്തിന് നിരവധി പതിനായിരക്കണക്കിന് പേജുകൾ വലിച്ചിടാം. പ്രായോഗികത എന്ന സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗത്തിൽ വരുത്തുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ പ്രധാന ദ task ത്യം. ഇത് ഇപ്പോൾ തന്നെ ചെയ്യണമെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. എന്നാൽ അതിനുമുമ്പ്, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രപഞ്ചങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, അവർ പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന സഹായികളായിരിക്കും.

പ്രപഞ്ചങ്ങൾ

അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ആദ്യത്തേത് കണ്ടുമുട്ടി. നമുക്ക് ഓർമിക്കാം: അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത പൂജ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ വളരെ ഉജ്ജ്വലവും അവിസ്മരണീയവുമായ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി: മുപ്പത് ഡിഗ്രി സെൽഷ്യസ് താപനിലയിൽ അത് മഞ്ഞുവീഴുന്നു.

രണ്ടാമത്തേത് ഇപ്രകാരമാണ്: വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവം ഒന്നിന് തുല്യമായ സംഭാവ്യതയോടെ സംഭവിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും: പി (ബി) \u003d 1.

മൂന്നാമത്: ഒരു ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റ് സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാനിടയില്ല, പക്ഷേ സാധ്യത എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നിലേക്ക് വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. എന്നതിനേക്കാൾ അടുത്ത അർത്ഥം ഒന്നിന്, കൂടുതൽ സാധ്യതകൾ; മൂല്യം പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, സാധ്യത വളരെ ചെറുതാണ്. നമുക്ക് ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ എഴുതാം: 0<Р(С)<1.

അവസാനത്തെ, നാലാമത്തെ പ്രപഞ്ചം പരിഗണിക്കുക, ഇത് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു: രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിലാണ് എഴുതുന്നത്: പി (എ + ബി) \u003d പി (എ) + പി (ബി).

ഓർമിക്കാൻ പ്രയാസമില്ലാത്ത ലളിതമായ നിയമങ്ങളാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രപഞ്ചങ്ങൾ. ഇതിനകം നേടിയ അറിവിനെ ആശ്രയിച്ച് ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ലോട്ടറി ടിക്കറ്റ്

ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം കൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം - ഒരു ലോട്ടറി. ഭാഗ്യത്തിനായി നിങ്ങൾ ഒരു ലോട്ടറി ടിക്കറ്റ് വാങ്ങിയതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. കുറഞ്ഞത് ഇരുപത് റുബിളെങ്കിലും നിങ്ങൾ വിജയിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? ആകെ, ആയിരം ടിക്കറ്റുകൾ നറുക്കെടുപ്പിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു, അതിൽ ഒരെണ്ണത്തിന് അഞ്ഞൂറ് റൂബിൾസ്, നൂറ് റുബിളിന് പത്ത്, ഇരുപത് റൂബിളുകൾക്ക് അമ്പത്, അഞ്ച് ന് നൂറ്. ഭാഗ്യത്തിനുള്ള അവസരം കണ്ടെത്തുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോബബിലിറ്റി പ്രശ്നങ്ങൾ. മേൽപ്പറഞ്ഞ ചുമതലയുടെ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് വിശകലനം ചെയ്യും.

എ അക്ഷരത്തിലൂടെ അഞ്ഞൂറ് റുബിളിന്റെ വിജയത്തെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.001 ആയിരിക്കും. ഞങ്ങൾക്കെങ്ങനെ അത് ലഭിച്ചു? "ഭാഗ്യ" ടിക്കറ്റുകളുടെ എണ്ണം അവയുടെ ആകെ എണ്ണം കൊണ്ട് വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: 1/1000).

ബി നൂറു റുബിളിന്റെ വിജയമാണ്, സാധ്യത 0.01 ആയിരിക്കും. മുമ്പത്തെ പ്രവർത്തനത്തിലെ (10/1000) അതേ തത്ത്വത്തിലാണ് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പ്രവർത്തിച്ചത്

സി - സമ്മാനം ഇരുപത് റുബിളിന് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തി, അത് 0.05 ന് തുല്യമാണ്.

ബാക്കി ടിക്കറ്റുകൾ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ളവയല്ല, കാരണം അവരുടെ സമ്മാന ഫണ്ട് വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയതിനേക്കാൾ കുറവാണ്. നാലാമത്തെ പ്രപഞ്ചം പ്രയോഗിക്കാം: കുറഞ്ഞത് ഇരുപത് റുബിളെങ്കിലും നേടാനുള്ള സാധ്യത P (A) + P (B) + P (C) ആണ്. പി എന്ന അക്ഷരം ഈ സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, മുമ്പത്തെ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി. ആവശ്യമായ ഡാറ്റ ചേർക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, ഉത്തരത്തിൽ നമുക്ക് 0.061 ലഭിക്കും. ടാസ്\u200cക് ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരമായിരിക്കും ഈ നമ്പർ.

കാർഡ് ഡെക്ക്

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി പ്രശ്നങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായേക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ചുമതല ഏറ്റെടുക്കാം. മുപ്പത്തിയാറ് കാർഡുകളുടെ ഒരു ഡെക്ക് ഇതാ. ചിതയിൽ കലർത്താതെ തുടർച്ചയായി രണ്ട് കാർഡുകൾ വരയ്ക്കുക എന്നതാണ് നിങ്ങളുടെ ചുമതല, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും കാർഡുകൾ ജീസസ് ആയിരിക്കണം, സ്യൂട്ട് പ്രശ്നമല്ല.

ആദ്യം, ആദ്യത്തെ കാർഡ് ഒരു ഐസ് ആകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താം, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ നാലെണ്ണം മുപ്പത്തിയാറായി വിഭജിക്കുന്നു. അവർ അത് മാറ്റി വെച്ചു. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ കാർഡ് പുറത്തെടുക്കുന്നു, ഇത് മൂന്ന് മുപ്പത്തിയഞ്ചിൽ സാധ്യതയുള്ള ഒരു ഐസ് ആയിരിക്കും. രണ്ടാമത്തെ ഇവന്റിന്റെ സംഭാവ്യത നമ്മൾ ആദ്യം വരയ്ക്കുന്ന കാർഡിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു ഐസ് ആണോ അല്ലയോ എന്ന് ഞങ്ങൾ ചിന്തിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് ഇവന്റ് ബി ഇവന്റ് എയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

അടുത്ത ഘട്ടം ഒരേസമയം സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്, അതായത്, ഞങ്ങൾ എ, ബി എന്നിവ ഗുണിക്കുന്നു. അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഇനിപ്പറയുന്നതായി കാണപ്പെടുന്നു: ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത മറ്റൊന്നിന്റെ സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റിയാൽ ഗുണിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നത്, ആദ്യത്തേത് ഇവന്റ് സംഭവിച്ചു, അതായത്, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ കാർഡ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഐസ് വരച്ചു.

എല്ലാം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഇവന്റുകൾ പോലുള്ള ഒരു ഘടകത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പദവി നൽകും. ഇവന്റ് എ സംഭവിച്ചുവെന്ന് കരുതി ഇത് കണക്കാക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു: പി (ബി / എ).

ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരാം: പി (എ * ബി) \u003d പി (എ) * പി (ബി / എ) അല്ലെങ്കിൽ പി (എ * ബി) \u003d പി (ബി) * പി (എ / ബി). പ്രോബബിലിറ്റി (4/36) * ((3/35) / (4/36). കണക്കുകൂട്ടുക, ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള നൂറിലൊന്ന് റൗണ്ട് ചെയ്യുക. ഞങ്ങൾക്ക്: 0.11 * (0.09 / 0.11) \u003d 0.11 * 0, 82 \u003d 0.09 പ്രോബബിലിറ്റി ഞങ്ങൾ ഒരു വരിയിൽ രണ്ട് ഏസുകൾ വരയ്ക്കും എന്നത് എൺപതിനായിരത്തിന് തുല്യമാണ് മൂല്യം വളരെ ചെറുതാണ്, അതായത് ഇവന്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത വളരെ ചെറുതാണ്.

മറന്ന നമ്പർ

പ്രോബബിലിറ്റി സ്റ്റഡീസ് സിദ്ധാന്തം ടാസ്കുകൾക്കായി നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ അവയിൽ ചിലത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടു, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം: ആൺകുട്ടി തന്റെ സുഹൃത്തിന്റെ ഫോൺ നമ്പറിന്റെ അവസാന അക്കം മറന്നു, പക്ഷേ കോൾ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതിനാൽ, അവൻ എല്ലാം ഡയൽ ചെയ്യാൻ തുടങ്ങി. അദ്ദേഹം മൂന്ന് തവണയിൽ കൂടുതൽ വിളിക്കില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിയമങ്ങളും നിയമങ്ങളും പ്രപഞ്ചങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ പ്രശ്\u200cനത്തിനുള്ള പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാണ്.

പരിഹാരം നോക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. അവസാന അക്കം പൂജ്യം മുതൽ ഒൻപത് വരെ ആകാമെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതായത് പത്ത് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. ആവശ്യമുള്ള ഒന്ന് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 1/10 ആണ്.

അടുത്തതായി, ഇവന്റിന്റെ ഉത്ഭവത്തിനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആൺകുട്ടി ശരിയായി ess ഹിക്കുകയും ആവശ്യമുള്ളത് ഉടൻ ടൈപ്പ് ചെയ്യുകയും ചെയ്തുവെന്ന് കരുതുക, അത്തരമൊരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത 1/10 ആണ്. രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ: ആദ്യ കോൾ ഒരു മിസ് ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് ടാർഗെറ്റിലാണ്. അത്തരമൊരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: 9/10 നെ 1/9 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അവസാനം നമുക്ക് 1/10 ലഭിക്കും. മൂന്നാമത്തെ ഓപ്ഷൻ: ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും കോളുകൾ തെറ്റായ വിലാസത്തിലായിരുന്നു, മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് മാത്രം ആൺകുട്ടിക്ക് ആവശ്യമുള്ള സ്ഥലത്ത് ലഭിച്ചു. അത്തരമൊരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: 9/10 നെ 8/9 ഉം 1/8 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ അവസാനം 1/10 ലഭിക്കും. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയനുസരിച്ച് മറ്റ് ഓപ്ഷനുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമില്ല, അതിനാൽ ഫലങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് അവശേഷിക്കുന്നു, അവസാനം ഞങ്ങൾക്ക് 3/10 ഉണ്ട് ഉത്തരം: ഒരു ആൺകുട്ടി മൂന്ന് തവണയിൽ കൂടുതൽ വിളിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.3 ആണ്.

നമ്പർ കാർഡുകൾ

നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ ഒമ്പത് കാർഡുകളുണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒന്ന് മുതൽ ഒൻപത് വരെ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, അക്കങ്ങൾ ആവർത്തിക്കില്ല. അവ ഒരു പെട്ടിയിൽ ഇട്ടു നന്നായി കലർത്തി. അതിനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്

• ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ ഉപേക്ഷിക്കും;
• രണ്ട് അക്ക.

പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, m എന്നത് വിജയകരമായ കേസുകളുടെ എണ്ണമാണെന്നും n എന്നത് മൊത്തം ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണമാണെന്നും നമുക്ക് വ്യക്തമാക്കാം. നമ്പർ ഇരട്ട ആകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താം. നാല് ഇരട്ട സംഖ്യകളുണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമില്ല, ഇത് നമ്മുടെ m ആയിരിക്കും, മൊത്തത്തിൽ ഒമ്പത് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, അതായത് m \u003d 9. അപ്പോൾ സാധ്യത 0.44 അല്ലെങ്കിൽ 4/9 ആണ്.

രണ്ടാമത്തെ കേസ് പരിഗണിക്കുക: ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം ഒമ്പതാണ്, പക്ഷേ വിജയകരമായ ഫലങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല, അതായത് m പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. വരച്ച കാർഡിൽ രണ്ട് അക്ക നമ്പർ അടങ്ങിയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയും പൂജ്യമാണ്.

യഥാർത്ഥത്തിൽ വിവരങ്ങളുടെ ഒരു ശേഖരം, പകിടയുടെ അനുഭവപരമായ നിരീക്ഷണം, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഒരു ദൃ solid മായ ശാസ്ത്രമായി മാറി. ആദ്യം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ചട്ടക്കൂട് നൽകിയത് ഫെർമാറ്റ്, പാസ്കൽ എന്നിവയായിരുന്നു.

ശാശ്വതത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നത് മുതൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വരെ

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളായ ബ്ലെയ്സ് പാസ്കൽ, തോമസ് ബയസ് എന്നിവരോട് കടപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. രണ്ടുപേർ അഗാധമായ മതവിശ്വാസികളെന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് പ്രെസ്ബൈറ്റീരിയൻ പുരോഹിതൻ. പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, ഈ രണ്ട് ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും ഒരു പ്രത്യേക ഭാഗ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അഭിപ്രായത്തിന്റെ തെറ്റ് തെളിയിക്കാനുള്ള ആഗ്രഹം, അവരുടെ വളർത്തുമൃഗങ്ങൾക്ക് നല്ല ഭാഗ്യം നൽകിക്കൊണ്ട്, ഈ മേഖലയിലെ ഗവേഷണത്തിന് പ്രചോദനമായി. വാസ്തവത്തിൽ, വിജയവും നഷ്ടവുമുള്ള ഏതൊരു ചൂതാട്ട ഗെയിമും ഗണിതശാസ്ത്ര തത്വങ്ങളുടെ ഒരു സിംഫണി മാത്രമാണ്.

ഒരു കളിക്കാരനും ശാസ്ത്രത്തിൽ നിസ്സംഗത പുലർത്താത്തവനുമായ കവലിയർ ഡി മേരെയുടെ ആവേശത്തിന് നന്ദി, പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കാൻ ഒരു മാർഗം കണ്ടെത്താൻ പാസ്കൽ നിർബന്ധിതനായി. ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യത്തിൽ\u200c ഡി മേരെ താൽ\u200cപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു: "12 പോയിൻറുകൾ\u200c 50% കവിയാൻ\u200c സാധ്യതയുള്ളതിന്\u200c നിങ്ങൾ\u200c എത്ര തവണ ജോഡികളായി രണ്ട് ഡൈസ് എറിയണം?" മാന്യനോട് വളരെയധികം താൽപ്പര്യമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ചോദ്യം: "പൂർത്തിയാകാത്ത ഗെയിമിൽ പങ്കെടുക്കുന്നവർക്കിടയിൽ എങ്ങനെ പന്തയം വിഭജിക്കാം?" തീർച്ചയായും, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വികാസത്തിന്റെ അജ്ഞാത പയനിയറായി മാറിയ ഡി മേരെ രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾക്കും പാസ്കൽ വിജയകരമായി ഉത്തരം നൽകി. രസകരമെന്നു പറയട്ടെ, ഡി മേരെ എന്ന വ്യക്തി ഈ രംഗത്ത് പ്രശസ്തനായിരുന്നു, അല്ലാതെ സാഹിത്യത്തിലല്ല.

മുമ്പ്, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിച്ചിട്ടില്ല, കാരണം ഇത് ഒരു ess ഹക്കച്ചവട പരിഹാരമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെട്ടു. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയെക്കുറിച്ച് ബ്ലെയ്സ് പാസ്കൽ ആദ്യത്തെ നിർവചനം നൽകി, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി തെളിയിക്കാവുന്ന ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട കണക്കാണെന്ന് കാണിച്ചു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ അടിസ്ഥാനമായിത്തീർന്നു, മാത്രമല്ല ആധുനിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഇത് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്താണ് ക്രമരഹിതം

അനന്തമായ തവണ ആവർത്തിക്കാവുന്ന ഒരു പരിശോധന ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റ് നിർവചിക്കാൻ കഴിയും. അനുഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുള്ള ഫലങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്.

നിരന്തരമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ നിർദ്ദിഷ്ട പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നതാണ് അനുഭവം.

പരീക്ഷണ ഫലങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ, ഇവന്റുകൾ സാധാരണയായി എ, ബി, സി, ഡി, ഇ ...

ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റിന്റെ സാധ്യത

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഗം ആരംഭിക്കാൻ, അതിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങൾക്കും നിർവചനങ്ങൾ നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അനുഭവത്തിന്റെ ഫലമായി സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിന്റെ (എ അല്ലെങ്കിൽ ബി) സാധ്യതയുടെ സംഖ്യാ അളവാണ് ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത. പ്രോബബിലിറ്റിയെ പി (എ) അല്ലെങ്കിൽ പി (ബി) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

• വിശ്വസനീയമായത് P (Ω) \u003d 1 പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലമായി ഇവന്റ് സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു;
• അസാധ്യമാണ് ഇവന്റ് ഒരിക്കലും സംഭവിക്കില്ല Р () \u003d 0;
• ആകസ്മികം ഒരു സംഭവം നിശ്ചിതവും അസാധ്യവുമാണ്, അതായത്, സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത സാധ്യമാണ്, പക്ഷേ ഉറപ്പുനൽകുന്നില്ല (ക്രമരഹിതമായ സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എല്ലായ്പ്പോഴും 0≤P (A) of 1 ന്റെ പരിധിക്കുള്ളിലാണ്).

സംഭവങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

എ + ബി, അല്ലെങ്കിൽ എ, ബി എന്നീ ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കുമ്പോൾ ഇവന്റ് കണക്കാക്കുമ്പോൾ എ + ബി ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയും ആകെത്തുകയും പരിഗണിക്കുക.

പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇവന്റുകൾ ഇവയാകാം:

• തുല്യമായി സാധ്യമാണ്.
• അനുയോജ്യമാണ്.
• അനുയോജ്യമല്ല.
• എതിർവശത്ത് (പരസ്പരം എക്സ്ക്ലൂസീവ്).
• അടിമ.

രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ തുല്യ പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് സംഭവിക്കാമെങ്കിൽ, അവ തുല്യമായി സാധ്യമാണ്.

ഇവന്റ് എ സംഭവിക്കുന്നത് പൂജ്യം ആയി കുറയുന്നില്ലെങ്കിൽ ഇവന്റ് ബി സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത അനുയോജ്യമാണ്.

എ, ബി ഇവന്റുകൾ ഒരേ അനുഭവത്തിൽ ഒരേസമയം സംഭവിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അവയെ വിളിക്കുന്നു പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല... ഒരു നാണയം എറിയുന്നത് ഒരു മികച്ച ഉദാഹരണമാണ്: വാലുകൾ യാന്ത്രികമായി തലയല്ല.

അത്തരം പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത ഓരോ സംഭവങ്ങളുടെയും സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുക ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

പി (എ + ബി) \u003d പി (എ) + പി (ബി)

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ആരംഭം മറ്റൊന്നിന്റെ ആരംഭം അസാധ്യമാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവയെ വിപരീതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. അപ്പോൾ അവയിലൊന്ന് എ എന്നും, മറ്റൊന്ന് - Ā ("എ അല്ല" എന്നും വായിക്കുക). ഇവന്റ് എ സംഭവിക്കുന്നത് means സംഭവിച്ചില്ല എന്നാണ്. ഈ രണ്ട് ഇവന്റുകളും 1 ന് തുല്യമായ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയുള്ള ഒരു പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നു.

ആശ്രിത സംഭവങ്ങൾക്ക് പരസ്പര സ്വാധീനം ഉണ്ട്, പരസ്പരം സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയോ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.

സംഭവങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം. ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെയും സംഭവങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന്റെയും തത്വങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്.

ബോക്സിൽ നിന്ന് പന്തുകൾ പുറത്തെടുക്കുന്നതാണ് നടപ്പിലാക്കുന്ന പരീക്ഷണം, ഓരോ പരീക്ഷണത്തിന്റെയും ഫലം ഒരു പ്രാഥമിക ഫലമാണ്.

ഒരു പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാധ്യമായ ഫലങ്ങളിലൊന്നാണ് ഇവന്റ് - ഒരു ചുവന്ന പന്ത്, ഒരു നീല പന്ത്, പന്ത് നമ്പർ ആറ് മുതലായവ.

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 1. 6 പന്തുകൾ പങ്കെടുക്കുന്നു, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം നീല നിറമുള്ള ഒറ്റ സംഖ്യകളാണ്, മറ്റ് മൂന്ന് എണ്ണം ഇരട്ട സംഖ്യകളുള്ള ചുവപ്പാണ്.

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 2. ഒന്ന് മുതൽ ആറ് വരെയുള്ള അക്കങ്ങളുള്ള നീല നിറമുള്ള 6 പന്തുകൾ പങ്കെടുക്കുന്നു.

ഈ ഉദാഹരണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് കോമ്പിനേഷനുകൾക്ക് പേര് നൽകാം:

• വിശ്വസനീയമായ ഒരു ഇവന്റ്. Isp- ൽ. നമ്പർ 2, “നീല പന്ത് നേടുക” എന്ന ഇവന്റ് വിശ്വസനീയമാണ്, കാരണം ഇത് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത 1 ആണ്, കാരണം എല്ലാ പന്തുകളും നീലനിറത്തിലായതിനാൽ ഒരു മിസ്സും ഉണ്ടാകില്ല. അതേസമയം “നമ്പർ 1 ഉപയോഗിച്ച് പന്ത് നേടുക” എന്ന ഇവന്റ് ക്രമരഹിതമാണ്.
• അസാധ്യമായ ഇവന്റ്. Isp- ൽ. നീല, ചുവപ്പ് പന്തുകളുള്ള №1, "പർപ്പിൾ ബോൾ ലഭിക്കുക" എന്ന ഇവന്റ് അസാധ്യമാണ്, കാരണം ഇത് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0 ന് തുല്യമാണ്.
• തുല്യമായി സാധ്യമായ ഇവന്റുകൾ. Isp- ൽ. ഇവന്റുകളുടെ നമ്പർ 1 "നമ്പർ 2 ഉപയോഗിച്ച് പന്ത് നേടുക", "നമ്പർ 3 ഉപയോഗിച്ച് പന്ത് നേടുക" എന്നിവ ഒരുപോലെ സാധ്യമാണ്, കൂടാതെ ഇവന്റുകൾ "ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് പന്ത് നേടുക", "നമ്പർ 2 ഉപയോഗിച്ച് പന്ത് നേടുക" "വ്യത്യസ്ത സാധ്യതകളുണ്ട്.
• അനുയോജ്യമായ ഇവന്റുകൾ. തുടർച്ചയായി രണ്ടുതവണ തുടർച്ചയായി ഒരു സിക്സ് നേടുന്നത് അനുയോജ്യമായ ഇവന്റുകളാണ്.
• പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവന്റുകൾ. അതേ isp- ൽ. നമ്പർ 1, "ഒരു ചുവന്ന പന്ത് നേടുക", "ഒറ്റ സംഖ്യയുള്ള ഒരു പന്ത് നേടുക" ഇവന്റുകൾ ഒരേ പരീക്ഷണത്തിൽ സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.
• വിപരീത ഇവന്റുകൾ. ഇതിന്റെ ഏറ്റവും ശ്രദ്ധേയമായ ഉദാഹരണം ഒരു നാണയം ടോസ് ആണ്, അവിടെ തലകൾ വരയ്ക്കുന്നത് വാലുകൾ വരയ്ക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്, അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക എല്ലായ്പ്പോഴും 1 (പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ്) ആണ്.
• ആശ്രിത ഇവന്റുകൾ... അതിനാൽ, isp- ൽ. # 1, തുടർച്ചയായി രണ്ടുതവണ ചുവന്ന പന്ത് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലക്ഷ്യം സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും. ഇത് വീണ്ടെടുക്കുകയോ വീണ്ടെടുക്കാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് ആദ്യ തവണ ഇത് വീണ്ടെടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെ ബാധിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഇവന്റ് രണ്ടാമത്തേതിന്റെ (40%, 60%) സാധ്യതകളെ സാരമായി ബാധിക്കുന്നുവെന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ഇവന്റ് പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല

വിഷയം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര തലത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഭാഗ്യം പറയുന്ന ചിന്തകളിൽ നിന്ന് കൃത്യമായ ഡാറ്റയിലേക്കുള്ള മാറ്റം സംഭവിക്കുന്നു. അതായത്, "ഉയർന്ന പ്രോബബിലിറ്റി" അല്ലെങ്കിൽ "മിനിമം പ്രോബബിലിറ്റി" പോലുള്ള ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിധിന്യായങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യാ ഡാറ്റയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് വിലയിരുത്താനും താരതമ്യം ചെയ്യാനും പ്രവേശിക്കാനും അത്തരം മെറ്റീരിയൽ ഇതിനകം അനുവദനീയമാണ്.

കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ നിർവചനം പ്രാഥമിക പോസിറ്റീവ് ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതമാണ്, ഒരു പ്രത്യേക സംഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അനുഭവത്തിന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണത്തിലേക്ക്. പ്രോബബിലിറ്റിയെ പി (എ) വഴി സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവിടെ പി എന്നാൽ "പ്രോബബിലൈറ്റ്" എന്ന വാക്ക് ഫ്രഞ്ച് ഭാഷയിൽ നിന്ന് "പ്രോബബിലിറ്റി" എന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

അതിനാൽ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം:

ഇവന്റ് എ യ്ക്ക് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം m ആണെങ്കിൽ, n എന്നത് ഈ അനുഭവത്തിന് സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എല്ലായ്പ്പോഴും 0 നും 1 നും ഇടയിലാണ്:

0 ≤ P (A) ≤ 1.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണം

നമുക്ക് സ്പാനിഷ് എടുക്കാം. നേരത്തെ വിവരിച്ചതുപോലെ പന്ത് # 1: 1/3/5 അക്കങ്ങളുള്ള 3 നീല പന്തുകളും 2/4/6 അക്കങ്ങളുള്ള 3 ചുവന്ന പന്തുകളും.

ഈ പരിശോധനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിരവധി വ്യത്യസ്ത ജോലികൾ പരിഗണിക്കാം:

• A - ചുവന്ന പന്ത് വീഴുന്നു. 3 ചുവന്ന പന്തുകളുണ്ട്, ആകെ 6 വകഭേദങ്ങളുണ്ട്. ഇതാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം, ഇതിൽ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത P (A) \u003d 3/6 \u003d 0.5 ആണ്.
• ബി - ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ ഉപേക്ഷിച്ചു. ആകെ 3 (2,4,6) ഇരട്ട സംഖ്യകളുണ്ട്, സാധ്യമായ സംഖ്യാ ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം 6 ആണ്. ഈ ഇവന്റിന്റെ സാധ്യത P (B) \u003d 3/6 \u003d 0.5 ആണ്.
• സി - 2 ൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് വീഴുന്നു. സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണത്തിൽ 4 അത്തരം ഓപ്ഷനുകൾ (3,4,5,6) ഉണ്ട് 6. ഇവന്റ് സി യുടെ സാധ്യത പി (സി) \u003d 4/6 \u003d 0.67.

കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നിന്ന് കാണുന്നത് പോലെ, ഇവന്റ് സിക്ക് ഉയർന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ഉണ്ട്, കാരണം പോസിറ്റീവ് ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എ, ബി എന്നിവയേക്കാൾ കൂടുതലാണ്.

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവന്റുകൾ

ഒരേ സംഭവത്തിൽ ഒരേ സമയം പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ കഴിയില്ല. Isp പോലെ. നമ്പർ 1 ഒരേ സമയം നീല, ചുവപ്പ് പന്തിൽ എത്തുക അസാധ്യമാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നീല അല്ലെങ്കിൽ ചുവന്ന പന്ത് ലഭിക്കും. അതുപോലെ, ഒരേ സമയം ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ ഒറ്റസംഖ്യയിൽ ദൃശ്യമാകാൻ കഴിയില്ല.

രണ്ട് ഇവന്റുകളുടെ സംഭാവ്യത അവയുടെ ആകെത്തുകയുടെയോ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയോ സംഭാവ്യതയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. അത്തരം സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എ + ബി ഒരു ഇവന്റിന്റെ രൂപത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇവന്റായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം എബി രണ്ടിന്റെയും രൂപത്തിലാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു റോളിൽ രണ്ട് ഡൈസുകളുടെ അരികുകളിൽ ഒരേസമയം രണ്ട് സിക്സറുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു.

അവയിലേതെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്നതിനെ മുൻ\u200cകൂട്ടി കാണിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് നിരവധി സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. എല്ലാവരുടെയും സംയുക്ത രൂപമാണ് നിരവധി സംഭവങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, യൂണിയന്റെ ഉപയോഗം "," തുക, യൂണിയൻ "അല്ലെങ്കിൽ" - ഗുണനം എന്നിവ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ സങ്കലനത്തിന്റെയും ഗുണനത്തിന്റെയും യുക്തി മനസ്സിലാക്കാൻ ഉദാഹരണങ്ങളുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാധ്യത

പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന് തുല്യമാണ്:

പി (എ + ബി) \u003d പി (എ) + പി (ബി)

ഉദാഹരണത്തിന്: isp ലെ പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കാം. നീല, ചുവപ്പ് പന്തുകളുള്ള നമ്പർ 1 1 നും 4 നും ഇടയിലുള്ള ഒരു സംഖ്യ കുറയും. നമുക്ക് ഒരു പ്രവർത്തനത്തിലൂടെയല്ല, പ്രാഥമിക ഘടകങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കാം. അതിനാൽ, അത്തരമൊരു അനുഭവത്തിൽ 6 പന്തുകൾ അല്ലെങ്കിൽ സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളിൽ 6 എണ്ണം മാത്രമേയുള്ളൂ. അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യകൾ 2 ഉം 3 ഉം ആണ്. നമ്പർ 2 ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 1/6 ആണ്, നമ്പർ 3 ന്റെ സാധ്യതയും 1/6 ആണ്. 1 നും 4 നും ഇടയിലുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഉപേക്ഷിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഇതാണ്:

പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പിന്റെ പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 1 ആണ്.

അതിനാൽ, ക്യൂബുമായുള്ള പരീക്ഷണത്തിൽ എല്ലാ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും വീഴാനുള്ള സാധ്യതകൾ ഞങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഫലം ഒന്നാണ്.

വിപരീത സംഭവങ്ങൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നാണയത്തിന്റെ അനുഭവത്തിൽ, അതിന്റെ ഒരു വശം ഇവന്റ് എ, മറ്റൊന്ന് വിപരീത ഇവന്റ് you, നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ,

പി (എ) + പി (Ā) \u003d 1

പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാനുള്ള സാധ്യത

ഒരു നിരീക്ഷണത്തിലെ രണ്ടോ അതിലധികമോ പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ രൂപം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. എ, ബി ഇവന്റുകൾ ഒരേസമയം ദൃശ്യമാകാനുള്ള സാധ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ:

പി (എ * ബി) \u003d പി (എ) * പി (ബി)

ഉദാഹരണത്തിന്, isp ലെ പ്രോബബിലിറ്റി. രണ്ട് ശ്രമങ്ങളുടെ ഫലമായി №1, ഒരു നീല പന്ത് രണ്ടുതവണ ദൃശ്യമാകും, തുല്യമാണ്

അതായത്, പന്തുകൾ എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നതിനുള്ള രണ്ട് ശ്രമങ്ങളുടെ ഫലമായി, നീല പന്തുകൾ മാത്രം എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്നതിന്റെ സാധ്യത 25% ന് തുല്യമാണ്. ഈ ടാസ്ക് ഉപയോഗിച്ച് പ്രായോഗിക പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ അങ്ങനെയാണോ എന്ന് നോക്കുക.

സംയുക്ത ഇവന്റുകൾ

അവയിലൊന്നിന്റെ രൂപം മറ്റൊന്നിന്റെ രൂപവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമ്പോൾ ഇവന്റുകൾ സംയുക്തമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. അവ സംയുക്തമാണെങ്കിലും സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യത കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് ഡൈസ് എറിയുന്നത് രണ്ടിനും 6 നമ്പർ ലഭിക്കുമ്പോൾ ഒരു ഫലം നൽകും. ഇവന്റുകൾ ഒരേസമയം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ടെങ്കിലും, അവ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ് - ഒരു ആറ് മാത്രമേ വീഴാൻ കഴിയൂ, രണ്ടാമത്തെ ഡൈസ് ബാധിക്കില്ല അത്.

സംയുക്ത ഇവന്റുകളുടെ സംഭാവ്യത അവയുടെ ആകെത്തുകയായി കണക്കാക്കുന്നു.

സംയുക്ത ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാധ്യത. ഉദാഹരണം

പരസ്പരം സംയുക്തമായി നടക്കുന്ന എ, ബി ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാധ്യത, ഇവന്റിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ സംഭാവ്യത (അതായത്, അവരുടെ സംയുക്ത നടപ്പാക്കൽ):

R ജോയിന്റ് (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

ഒരു ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ടാർഗെറ്റുചെയ്യാനുള്ള സാധ്യത 0.4 ആണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. തുടർന്ന് ഇവന്റ് എ - ആദ്യ ശ്രമത്തിൽ ടാർഗെറ്റിനെ തട്ടുക, ബി - രണ്ടാമത്തേതിൽ. ഒന്നും രണ്ടും ഷോട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ടാർഗെറ്റുചെയ്യാൻ സാധ്യതയുള്ളതിനാൽ ഈ ഇവന്റുകൾ സംയുക്തമാണ്. എന്നാൽ സംഭവങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. രണ്ട് ഷോട്ടുകൾ (കുറഞ്ഞത് ഒന്ന്) ഉപയോഗിച്ച് ടാർഗെറ്റ് എഡിറ്റിംഗ് ഇവന്റിന്റെ സാധ്യത എന്താണ്? സമവാക്യം അനുസരിച്ച്:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇതാണ്: "രണ്ട് ഷോട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ടാർഗെറ്റ് തട്ടാനുള്ള സാധ്യത 64% ആണ്."

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയ്ക്കുള്ള ഈ സൂത്രവാക്യം പൊരുത്തമില്ലാത്ത ഇവന്റുകളിലേക്കും പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, അവിടെ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംയുക്ത സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത P (AB) \u003d 0. ഇതിനർത്ഥം പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത ഒരു പ്രത്യേക കേസായി കണക്കാക്കാമെന്നാണ്. നിർദ്ദിഷ്ട സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ.

വ്യക്തതയ്ക്കുള്ള പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ജ്യാമിതി

രസകരമെന്നു പറയട്ടെ, സംയുക്ത ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുന്ന എ, ബി എന്നീ രണ്ട് പ്രദേശങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അവരുടെ യൂണിയന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അവരുടെ വിഭജനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മൈനസ് ആകെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ ജ്യാമിതീയ വിശദീകരണങ്ങൾ സമവാക്യം ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ യുക്തിരഹിതവും വ്യക്തവുമാക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ ജ്യാമിതീയ പരിഹാരങ്ങൾ അസാധാരണമല്ലെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സംയുക്ത ഇവന്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന്റെ (രണ്ടിൽ കൂടുതൽ) സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമാണ്. ഇത് കണക്കാക്കാൻ, ഈ കേസുകൾക്കായി നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ആശ്രിത ഇവന്റുകൾ

അവയിൽ ഒന്ന് (എ) സംഭവിക്കുന്നത് മറ്റൊന്ന് (ബി) സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ ബാധിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ആശ്രിത സംഭവങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, ഇവന്റ് എ യുടെ രൂപഭാവവും അതിന്റെ രൂപഭാവവും കണക്കിലെടുക്കുന്നു. സംഭവങ്ങളെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ആശ്രിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും അവയിലൊന്ന് മാത്രമേ ആശ്രയിക്കൂ (ബി). സാധാരണ പ്രോബബിലിറ്റിയെ പി (ബി) അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര ഇവന്റുകളുടെ സംഭാവ്യത എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ആശ്രിത ഇവന്റുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു - സോപാധികമായ പ്രോബബിലിറ്റി Р A (В), ഇത് ആശ്രിത സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത the സംഭവിച്ച സംഭവത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ hyp (പരികല്പന), അത് ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

എന്നാൽ ഇവന്റ് എയും ആകസ്മികമാണ്, അതിനാൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ കണക്കിലെടുക്കേണ്ട ഒരു സാധ്യതയുമുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം ആശ്രിത ഇവന്റുകളും ഒരു അനുമാനവും ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാമെന്ന് കാണിക്കും.

ആശ്രിത ഇവന്റുകളുടെ സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

ആശ്രിത ഇവന്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മികച്ച ഉദാഹരണം കാർഡുകളുടെ ഒരു സാധാരണ ഡെക്ക് ആണ്.

36 കാർഡുകളുടെ ഒരു ഡെക്ക് ഉദാഹരണമായി, ആശ്രിത ഇവന്റുകൾ പരിഗണിക്കുക. ആദ്യ കാർഡ് വരച്ചാൽ ഡെക്കിൽ നിന്ന് വരച്ച രണ്ടാമത്തെ കാർഡ് വജ്രങ്ങളാകാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

1. വജ്രങ്ങൾ.
2. മറ്റൊരു സ്യൂട്ട്.

വ്യക്തമായും, രണ്ടാമത്തെ ഇവന്റ് ബി യുടെ സാധ്യത ആദ്യ എയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ആദ്യ ഓപ്ഷൻ ശരിയാണെങ്കിൽ, ഡെക്കിൽ 1 കാർഡ് (35) ഉം 1 ടാംബോറിൻ (8) കുറവും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഇവന്റ് ബി യുടെ സാധ്യത:

പി എ (ബി) \u003d 8/35 \u003d 0.23

രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ സാധുതയുള്ളതാണെങ്കിൽ, ഡെക്കിൽ 35 കാർഡുകളുണ്ട്, കൂടാതെ മുഴുവൻ തമ്പും (9) ഇപ്പോഴും സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഇവന്റ് ബി യുടെ സാധ്യത:

പി എ (ബി) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

ആദ്യ കാർഡ് ഒരു ടാംബോറിൻ ആണെന്ന് ഇവന്റ് എ സമ്മതിച്ചാൽ, ഇവന്റ് ബി യുടെ സാധ്യത കുറയുന്നു, തിരിച്ചും.

ആശ്രിത ഇവന്റുകളുടെ ഗുണനം

മുമ്പത്തെ അധ്യായത്താൽ നയിക്കപ്പെടുന്ന, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഇവന്റ് (എ) വസ്തുതയായി എടുക്കുന്നു, പക്ഷേ ചുരുക്കത്തിൽ, ഇത് ക്രമരഹിതമാണ്. ഈ ഇവന്റിന്റെ സാധ്യത, അതായത് ഒരു ഡെക്ക് കാർഡുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ടാംബോറിൻ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത്, തുല്യമാണ്:

പി (എ) \u003d 9/36 \u003d 1/4

സിദ്ധാന്തം സ്വയം നിലനിൽക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി സേവിക്കാൻ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതിനാൽ, ആശ്രിത സംഭവങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാനുള്ള സാധ്യത മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമാണെന്ന് പറയുന്നത് ശരിയാണ്.

ആശ്രിത സംഭവങ്ങളുടെ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, എ, ബി എന്നിവ സംയുക്തമായി ആശ്രയിക്കുന്ന സംഭവങ്ങൾ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇവന്റ് ബി യുടെ സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റി (എയെ ആശ്രയിച്ച്) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു:

പി (എബി) \u003d പി (എ) * പി എ (ബി)

തുടർന്ന്, ഒരു ഡെക്ക് ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ടാംബോറിൻ സ്യൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് കാർഡുകൾ വരയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഇതാണ്:

9/36 * 8/35 \u003d 0.0571, അല്ലെങ്കിൽ 5.7%

ആദ്യം തബലകളല്ല, പിന്നെ തബോറകളല്ല വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഇതിന് തുല്യമാണ്:

27/36 * 9/35 \u003d 0.19, അല്ലെങ്കിൽ 19%

ടാംബോറിൻ ഒഴികെയുള്ള സ്യൂട്ടിന്റെ കാർഡ് ആദ്യം വരച്ചാൽ, ഇവന്റ് ബി സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും. ഈ ഫലം തികച്ചും യുക്തിസഹവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണ്.

ഇവന്റിന്റെ പൂർണ്ണ സാധ്യത

സോപാധികമായ പ്രോബബിലിറ്റികളുള്ള ഒരു പ്രശ്നം ബഹുമുഖമാകുമ്പോൾ, പരമ്പരാഗത രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല. A1, A2, ..., N, എന്നിങ്ങനെ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ, ഈ അവസ്ഥയിൽ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ സംഭവസംഘം രൂപപ്പെടുന്നു:

• P (A i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i A j \u003d Ø, i ≠ j.
• K A k \u003d.

അതിനാൽ, ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റുകൾ A1, A2, ..., n എന്നിവയുൾപ്പെടെയുള്ള ഇവന്റ് ബി യുടെ ആകെ പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സൂത്രവാക്യം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ഭാവിയിലേക്കുള്ള ഒരു കാഴ്ച

ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പല മേഖലകളിലും വളരെ അത്യാവശ്യമാണ്: ഇക്കോണോമെട്രിക്സ്, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം മുതലായവ. ചില പ്രക്രിയകളെ നിർണ്ണായകമായി വിവരിക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, അവയ്ക്ക് തന്നെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് സ്വഭാവമുള്ളതിനാൽ, പ്രത്യേക പ്രവർത്തന രീതികൾ ആവശ്യമാണ്. പിശക് അല്ലെങ്കിൽ തകരാറിനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗമായി പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഏത് സാങ്കേതിക മേഖലയിലും ഉപയോഗിക്കാം.

പ്രോബബിലിറ്റി തിരിച്ചറിയുന്നതിലൂടെ, ഭാവിയിൽ ഒരു തരത്തിൽ ഒരു സൈദ്ധാന്തിക ചുവടുവെപ്പ് നടത്താമെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും, അത് സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രിസത്തിലൂടെ നോക്കുന്നു.

• ഒരു പ്രത്യേക സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ ഡിഗ്രി (ആപേക്ഷിക അളവ്, അളവ് വിലയിരുത്തൽ) ആണ് പ്രോബബിലിറ്റി. സാധ്യമായ ചില സംഭവങ്ങളുടെ കാരണങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ വിപരീത കാരണങ്ങളെ മറികടക്കുമ്പോൾ, ഇവന്റിനെ പ്രോബബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം സാധ്യതയില്ല അല്ലെങ്കിൽ അസംഭവ്യമാണ്. നെഗറ്റീവ് നിലകളേക്കാൾ പോസിറ്റീവ് അടിസ്ഥാനങ്ങളുടെ മുൻ\u200cതൂക്കം, തിരിച്ചും വ്യത്യസ്ത അളവുകളിൽ ആകാം, അതിന്റെ ഫലമായി സാധ്യതയും (അസംഭവ്യതയും) കൂടുതലോ കുറവോ ആയിരിക്കും. അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി പലപ്പോഴും ഒരു ഗുണപരമായ തലത്തിൽ വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും കൂടുതലോ കുറവോ കൃത്യമായ അളവ് വിലയിരുത്തൽ അസാധ്യമോ വളരെ പ്രയാസകരമോ ആയ സന്ദർഭങ്ങളിൽ. പ്രോബബിലിറ്റി "ലെവലുകൾ" ന്റെ വിവിധ ഗ്രേഡേഷനുകൾ സാധ്യമാണ്.

  ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പ്രോബബിലിറ്റിയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ഒരു പ്രത്യേക അച്ചടക്കമാണ് - പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലും ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിലും, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഖ്യാ സ്വഭാവമായി പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന ആശയം formal പചാരികമാക്കിയിരിക്കുന്നു - ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് അളവ് (അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ മൂല്യം) - ഒരു കൂട്ടം ഇവന്റുകളുടെ അളവ് (ഒരു കൂട്ടം പ്രാഥമിക ഇവന്റുകളുടെ ഉപസെറ്റുകൾ), മൂല്യങ്ങൾ എടുത്ത് മുതൽ

  (\\ displaystyle 0)

  (\\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ 1)

  മൂല്യം

  (\\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ 1)

  സാധുവായ ഒരു ഇവന്റുമായി യോജിക്കുന്നു. അസാധ്യമായ ഒരു ഇവന്റിന് 0 ന്റെ സാധ്യതയുണ്ട് (സംഭാഷണം സാധാരണയായി എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയല്ല). ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയാണെങ്കിൽ

  (\\ displaystyle p)

  അപ്പോൾ അത് സംഭവിക്കാത്തതിന്റെ സാധ്യതയാണ്

  (\\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ 1-പി)

  പ്രത്യേകിച്ച്, പ്രോബബിലിറ്റി

  (\\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ 1/2)

  സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തിനും സംഭവിക്കാതിരിക്കാനുമുള്ള തുല്യ പ്രോബബിലിറ്റി എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

  ഫലങ്ങളുടെ തുല്യ പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം. തന്നിരിക്കുന്ന ഇവന്റിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതമാണ് മൊത്തം സാധ്യതകളുടെ ആകെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതം. ഉദാഹരണത്തിന്, റാൻഡം കോയിൻ ടോസിൽ "ഹെഡ്സ്" അല്ലെങ്കിൽ "ടെയിൽസ്" ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 1/2 ആണ്, ഈ രണ്ട് സാധ്യതകളും മാത്രമേ നിലനിൽക്കുന്നുള്ളൂവെന്നും അവ തുല്യമായി സാധ്യമാണെന്നും കരുതുകയാണെങ്കിൽ. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ഈ ക്ലാസിക്കൽ "നിർവചനം" അനന്തമായ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനാകും - ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത പരിമിതമായ പ്രദേശത്ത് ഏത് ഘട്ടത്തിലും (പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്) തുല്യ പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ ചില സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കാം. സ്ഥലത്തിന്റെ (തലം), ഈ അനുവദനീയമായ പ്രദേശത്തിന്റെ ചില ഭാഗങ്ങളിൽ ഇത് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഈ ഭാഗത്തിന്റെ വോളിയം (വിസ്തീർണ്ണം) അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്, സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രദേശങ്ങളുടെയും വോളിയം (വിസ്തീർണ്ണം) പോയിന്റുകൾ.

  പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ പ്രായോഗിക "നിർവചനം" ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ആവൃത്തിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അത് ആവശ്യത്തിന് വലിയ അളവിലുള്ള പരിശോധനകളോടെ, ആവൃത്തി ഈ സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ അളവിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കണം. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആധുനിക അവതരണത്തിൽ, ഒരു ഗണത്തിന്റെ അളവിന്റെ അമൂർത്ത സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി പ്രോബബിലിറ്റി അച്ചുതണ്ടായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ അളവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന അമൂർത്ത അളവും സാധ്യതയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കൃത്യമായി അതിന്റെ നിരീക്ഷണത്തിന്റെ ആവൃത്തിയാണ്.

  ചില പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് വിവരണം ആധുനിക ശാസ്ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായിരിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും ഇക്കോണോമെട്രിക്സ്, മാക്രോസ്കോപ്പിക് (തെർമോഡൈനാമിക്) സിസ്റ്റങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഫിസിക്സ്, ഇവിടെ കണികാ ചലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ക്ലാസിക്കൽ നിർണ്ണായക വിവരണത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും, കണങ്ങളുടെ മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തിന്റെയും നിർണ്ണായക വിവരണം പ്രായോഗികമായി സാധ്യമല്ല. ക്വാണ്ടം ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, സ്വയം വിവരിച്ച പ്രക്രിയകൾ ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്വഭാവമുള്ളവയാണ്.