Priamky ab a bc sa rovnobežne pretínajú a križujú. Definícia

Veta. Ak jedna priamka leží v danej rovine a iná priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý nepatrí prvej priamke, potom sa tieto dve priamky pretnú. Znak pretínajúcich sa čiar Dôkaz. Nech priamka a leží v rovine a priamka b pretína rovinu v bode B, ktorý nepatrí do priamky a. Ak by priamky a a b ležali v tej istej rovine, potom by v tejto rovine ležal aj bod B. Keďže cez priamku prechádza iba jedna rovina a mimo tejto priamky je bod, táto rovina musí byť rovina. Potom by však priamka b ležala v rovine, čo je v rozpore s podmienkou. Preto priamky a a b neležia v rovnakej rovine, t.j. krížiť sa.

Koľko párov šikmých čiar obsahuje hrany pravidelného trojuholníkového hranolu? Riešenie: Pre každú základnú hranu existujú tri hrany, ktoré sa s ňou pretínajú. Pre každú bočnú hranu sú dve hrany, ktoré sa s ňou pretínajú. Preto požadovaný počet párov šikmých čiar je cvičenie 5

Koľko párov šikmých čiar obsahuje hrany pravidelného šesťhranného hranolu? Riešenie: Každá základná hrana sa podieľa na 8 pároch šikmých čiar. Každá bočná hrana sa podieľa na 8 pároch pretínajúcich sa čiar. Preto požadovaný počet párov šikmých čiar je cvičenie 6

Ak majú dve čiary v priestore spoločný bod, potom sa hovorí, že tieto dve čiary sa pretínajú. Na nasledujúcom obrázku sa priamky a a b pretínajú v bode A. Priamky a a c sa nepretínajú.

Akékoľvek dve priamky majú buď iba jeden spoločný bod, alebo nemajú spoločné body.

Paralelné čiary

Dve čiary v priestore sa nazývajú rovnobežné, ak ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. Na označenie rovnobežných čiar použite špeciálnu ikonu - ||.

Označenie a||b znamená, že priamka a je rovnobežná s priamkou b. Na obrázku vyššie sú čiary a a c rovnobežné.

Veta o paralelnej čiare

Cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza priamka rovnobežná s danou priamkou a navyše iba jedna.

Prekrížené čiary

Dve čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine, sa môžu pretínať alebo byť rovnobežné. Ale vo vesmíre dve priame čiary nemusia patriť do tej istej roviny. Môžu byť umiestnené v dvoch rôznych rovinách.

Je zrejmé, že čiary umiestnené v rôznych rovinách sa nepretínajú a nie sú rovnobežnými čiarami. Volajú sa dve priamky, ktoré neležia v rovnakej rovine prekračovanie čiar.

Nasledujúci obrázok ukazuje dve pretínajúce sa priamky a a b, ktoré ležia v rôznych rovinách.

Znamienko a veta o šikmých čiarach

Ak jedna z dvoch priamok leží v určitej rovine a druhá priamka pretína túto rovinu v bode, ktorý neleží na prvej priamke, potom sú tieto priamky zošikmené.

Veta o krížení čiar: cez každú z dvoch pretínajúcich sa čiar prechádza rovina rovnobežná s druhou čiarou a navyše iba jedna.

Zvážili sme teda všetky možné prípady vzájomného usporiadania čiar v priestore. Sú len tri.

1. Čiary sa pretínajú. (To znamená, že majú iba jeden spoločný bod.)

2. Čiary sú rovnobežné. (To znamená, že nemajú spoločné body a ležia v rovnakej rovine.)

3. Rovné čiary sa pretínajú. (To znamená, že sú umiestnené v rôznych rovinách.)

Za menej ako minútu som vytvoril nový súbor Verdov a pokračoval som v takejto vzrušujúcej téme. Treba vystihnúť momenty pracovnej nálady, takže lyrický úvod nebude. Bude prozaický výprask =)

Dva rovné priestory môžu:

1) krížiť sa;

2) pretínajú sa v bode ;

3) byť paralelné;

4) zápas.

Prípad č. 1 sa zásadne líši od ostatných prípadov. Dve priamky sa pretínajú, ak neležia v rovnakej rovine.. Zdvihnite jednu ruku a natiahnite druhú ruku dopredu - tu je príklad pretínajúcich sa čiar. V bodoch 2-4 čiary nevyhnutne ležia v jednej rovine.

Ako zistiť vzájomnú polohu čiar v priestore?

Zvážte dva priame priestory:

je priamka daná bodom a smerovacím vektorom ;
je priamka definovaná bodom a smerovým vektorom .

Pre lepšie pochopenie si urobme schematický nákres:

Na výkrese sú ako príklad znázornené šikmé čiary.

Ako sa vysporiadať s týmito riadkami?

Keďže body sú známe, je ľahké nájsť vektor.

Ak rovno krížiť sa, potom vektory nie koplanárne(pozri lekciu Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ), čo znamená, že determinant zložený z ich súradníc je nenulový. Alebo, čo je vlastne to isté, sa bude líšiť od nuly: .

V prípadoch č. 2-4 naša konštrukcia „padá“ do jednej roviny, pričom vektory koplanárny a zmiešaný súčin lineárne závislých vektorov sa rovná nule: .

Algoritmus ďalej rozširujeme. Predstierajme to , preto sa čiary buď pretínajú, alebo sú rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Ak smerové vektory kolineárne, potom sú čiary buď rovnobežné, alebo sa zhodujú. Ako posledný klinec navrhujem nasledujúcu techniku: vezmeme ľubovoľný bod jednej priamky a dosadíme jeho súradnice do rovnice druhej priamky; ak sa súradnice „priblížili“, potom sa čiary zhodujú, ak sa „nepriblížili“, potom sú čiary rovnobežné.

Priebeh algoritmu je nenáročný, ale praktické príklady stále nezasahujú:

Príklad 11

Zistite vzájomnú polohu dvoch čiar

Riešenie: ako pri mnohých geometrických problémoch je vhodné usporiadať riešenie bod po bode:

1) Z rovníc extrahujeme body a smerové vektory:

2) Nájdite vektor:

Vektory sú teda koplanárne, čo znamená, že čiary ležia v rovnakej rovine a môžu sa pretínať, byť rovnobežné alebo sa zhodovať.

4) Skontrolujte kolinearitu smerových vektorov.

Zostavme systém zo zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov:

Od každý Z rovnice vyplýva, že systém je teda konzistentný, zodpovedajúce súradnice vektorov sú proporcionálne a vektory sú kolineárne.

Záver: čiary sú rovnobežné alebo sa zhodujú.

5) Zistite, či majú čiary spoločné body. Vezmime si bod patriaci do prvej priamky a dosadíme jeho súradnice do rovníc priamky:

Čiary teda nemajú spoločné body a nezostáva im nič iné, len byť rovnobežné.

Odpoveď:

Zaujímavý príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 12

Zistite relatívnu polohu čiar

Toto je príklad „urob si sám“. Všimnite si, že druhý riadok obsahuje písmeno ako parameter. Logicky. Vo všeobecnosti ide o dva rôzne riadky, takže každý riadok má svoj vlastný parameter.

A ešte raz vás žiadam, aby ste nepreskakovali príklady, budem plácať za úlohy, ktoré navrhujem, nie sú ani zďaleka náhodné ;-)

Problémy s priamkou v priestore

V záverečnej časti lekcie sa pokúsim zvážiť maximálny počet rôznych problémov s priestorovými čiarami. V tomto prípade bude dodržané začaté poradie príbehu: najprv zvážime problémy s pretínajúcimi sa čiarami, potom s pretínajúcimi sa čiarami a na konci budeme hovoriť o paralelných čiarach v priestore. Musím však povedať, že niektoré úlohy tejto lekcie možno formulovať pre niekoľko prípadov rovných čiar naraz a v tomto smere je rozdelenie sekcie na odseky do istej miery ľubovoľné. Sú jednoduchšie príklady, sú zložitejšie príklady a snáď si každý nájde to, čo potrebuje.

Prekrížené čiary

Pripomínam, že priamky sa pretínajú, ak neexistuje rovina, v ktorej by obe ležali. Keď som premýšľal o cvičení, napadla ma úloha monštra a teraz vám s radosťou predstavujem draka so štyrmi hlavami:

Príklad 13

Dané sú rovné čiary. Požadovaný:

a) dokázať, že sa čiary pretínajú;

b) nájdite rovnice priamky prechádzajúcej bodom kolmým na dané priamky;

c) zostavte rovnice priamky, ktorá obsahuje spoločná kolmica pretínajúce sa čiary;

d) nájdite vzdialenosť medzi čiarami.

Riešenie: Cestu zvládne kráčajúci:

a) Dokážme, že sa priamky pretínajú. Nájdite body a smerové vektory týchto priamych čiar:

Poďme nájsť vektor:

Vypočítať zmiešaný súčin vektorov:

Takže vektory nie koplanárne, čo znamená, že sa čiary pretínajú, čo sa malo dokázať.

Pravdepodobne si každý už dlho všimol, že pre šikmé čiary je overovací algoritmus najkratší.

b) Nájdime rovnice priamky, ktorá prechádza bodom a je kolmá na priamky. Urobme si schematický nákres:

Pre spestrenie som zverejnil direct ZA rovné čiary, pozrite sa, ako je mierne vymazaný v miestach kríženia. Krížence? Áno, vo všeobecnom prípade sa čiara "de" pretína s pôvodnými čiarami. Hoci nás tento moment nezaujíma, stačí postaviť kolmú čiaru a je to.

Čo je známe o priamom „de“? Bod k tomu patriaci je známy. Chýba smerový vektor.

Podľa podmienky musí byť čiara kolmá na čiary, čo znamená, že jej smerový vektor bude ortogonálny k smerovým vektorom. Motív už známy z príkladu č. 9, nájdime vektorový súčin:

Zostavme rovnice priamky „de“ podľa bodu a smerového vektora:

Pripravený. V zásade je možné zmeniť znamienka v menovateloch a napísať odpoveď do formulára , ale nie je to potrebné.

Na kontrolu je potrebné dosadiť súradnice bodu do získaných rovníc priamky a následne použiť bodový súčin vektorov uistite sa, že vektor je skutočne ortogonálny k smerovým vektorom "pe jeden" a "pe dva".

Ako nájsť rovnice priamky obsahujúcej spoločnú kolmicu?

c) Tento problém je zložitejší. Dummy odporúčam, aby tento odsek preskočili, nechcem schladiť vaše úprimné sympatie k analytickej geometrii =) Mimochodom, pre pripravenejších čitateľov je asi lepšie počkať, fakt je, že príklad by ste mali dať ako posledný. článok z hľadiska zložitosti, ale podľa logiky prezentácie by sa mal nachádzať tu.

Je teda potrebné nájsť rovnice priamky, ktorá obsahuje spoločnú kolmicu šikmých čiar.

je úsečka, ktorá spája dané čiary a je kolmá na dané čiary:

Tu je náš fešák: - spoločná kolmica pretínajúcich sa čiar. On je jediný. Žiadna iná taká neexistuje. Musíme tiež zostaviť rovnice priamky, ktorá obsahuje daný segment.

Čo je známe o priamom „uh“? Jeho smerový vektor je známy, nájdete ho v predchádzajúcom odseku. Ale, žiaľ, nepoznáme ani jeden bod patriaci priamke „em“, nepoznáme konce kolmice – body. Kde táto kolmá čiara pretína dve pôvodné čiary? Afrika, Antarktída? Z prvotnej kontroly a rozboru stavu nie je vôbec jasné, ako problém vyriešiť .... S použitím parametrických rovníc priamky je však spojený zložitý pohyb.

Rozhodnime sa bod po bode:

1) Prepíšme rovnice prvej priamky v parametrickom tvare:

Zamyslime sa nad bodom. Súradnice nepoznáme. ALE. Ak bod patrí k danej čiare, potom jeho súradnice zodpovedajú , označte ho . Potom sa súradnice bodu zapíšu takto:

Život sa zlepšuje, jedna neznáma – napokon, nie tri neznáme.

2) Rovnaké rozhorčenie sa musí vykonať v druhom bode. Prepíšme rovnice druhej priamky do parametrického tvaru:

Ak bod patrí k danej priamke, potom s veľmi konkrétnym významom jeho súradnice musia spĺňať parametrické rovnice:

alebo:

3) Vektor , rovnako ako predtým nájdený vektor , bude smerovým vektorom čiary . O tom, ako zostaviť vektor z dvoch bodov, sa v lekcii uvažovalo už od nepamäti Vektory pre figuríny. Teraz je rozdiel v tom, že súradnice vektorov sú zapísané s neznámymi hodnotami parametrov. No a čo? Nikto nezakazuje odpočítať zodpovedajúce súradnice začiatku vektora od súradníc konca vektora.

Existujú dva body: .

Nájdenie vektora:

4) Keďže smerové vektory sú kolineárne, potom je jeden vektor lineárne vyjadrený cez druhý s určitým koeficientom proporcionality "lambda":

Alebo súradnicovo:

Ukázalo sa, že je to najobyčajnejšie sústava lineárnych rovníc s tromi neznámymi , čo je štandardne riešiteľné, napr. Cramerova metóda. Ale tu je možnosť vyjsť s trochou krvi, z tretej rovnice vyjadríme „lambda“ a dosadíme ju do prvej a druhej rovnice:

Takto: , a "lambda" nepotrebujeme. Skutočnosť, že hodnoty parametrov sa ukázali byť rovnaké, je čistá náhoda.

5) Obloha sa úplne vyjasní, dosaďte zistené hodnoty na naše miesta:

Smerový vektor nie je zvlášť potrebný, pretože jeho náprotivok už bol nájdený.

Po dlhej ceste je vždy zaujímavé vykonať kontrolu.

:

Získajú sa správne rovnosti.

Dosaďte súradnice bodu do rovníc :

Získajú sa správne rovnosti.

6) Posledný akord: zostavíme rovnice priamky pre bod (môžete vziať) a smerovací vektor:

V zásade môžete vyzdvihnúť „dobrý“ bod s celočíselnými súradnicami, ale je to kozmetické.

Ako zistiť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami?

d) Odrežeme štvrtú hlavu draka.

Metóda jedna. Ani nie spôsob, ale malý špeciálny prípad. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami sa rovná dĺžke ich spoločnej kolmice: .

Krajné body spoločnej kolmice nájdete v predchádzajúcom odseku a úloha je elementárna:

Metóda dva. V praxi sú najčastejšie konce spoločnej kolmice neznáme, preto sa používa iný prístup. Cez dve pretínajúce sa priamky je možné nakresliť rovnobežné roviny, pričom vzdialenosť medzi danými rovinami sa rovná vzdialenosti medzi danými priamkami. Medzi týmito rovinami trčí najmä spoločná kolmica.

V priebehu analytickej geometrie sa z vyššie uvedených úvah odvodil vzorec na nájdenie vzdialenosti medzi šikmými čiarami:
(namiesto našich bodov "em jeden, dva" môžeme vziať ľubovoľné body priamok).

Zmiešaný súčin vektorov už sa nachádza v odseku "a": .

Krížový súčin vektorov nájdete v odseku "byť": , vypočítajte jeho dĺžku:

Takto:

Hrdo rozložte trofeje do jedného radu:

Odpoveď:
A) , teda čiary sa pretínajú, čo bolo potrebné dokázať;
b) ;
V) ;
G)

Čo ešte možno povedať o pretínajúcich sa čiarach? Medzi nimi je definovaný uhol. Zvážte však vzorec univerzálneho uhla v nasledujúcom odseku:

Pretínajúce sa priamky nevyhnutne ležia v rovnakej rovine:

Prvou myšlienkou je oprieť sa o priesečník celou silou. A hneď som si pomyslel, prečo si odopierať tie správne túžby?! Poďme na to hneď teraz!

Ako nájsť priesečník priestorových čiar?

Príklad 14

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Prepíšme rovnice čiar v parametrickom tvare:

Táto úloha bola podrobne zvážená v príklade č. 7 tejto lekcie (pozri. Rovnice priamky v priestore). A samotné rovné čiary, mimochodom, som prevzal z príkladu č.12. Nebudem klamať, som lenivý vymýšľať nové.

Riešenie je štandardné a už sme sa s ním stretli, keď sme vypracovávali rovnice spoločnej kolmice šikmých priamok.

Priesečník priamok patrí k priamke, preto jej súradnice spĺňajú parametrické rovnice tejto priamky a zodpovedajú veľmi špecifickú hodnotu parametra:

Ale ten istý bod patrí do druhého riadku, teda:

Prirovnávame zodpovedajúce rovnice a robíme zjednodušenia:

Získa sa systém troch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Ak sa čiary pretínajú (ako je dokázané v príklade 12), potom je systém nevyhnutne konzistentný a má jedinečné riešenie. Dá sa to vyriešiť Gaussova metóda, ale nebudeme hrešiť takýmto materským fetovaním, poďme na to jednoduchšie: z prvej rovnice vyjadríme „te nula“ a dosadíme do druhej a tretej rovnice:

Posledné dve rovnice sa ukázali byť v podstate rovnaké a vyplýva z nich, že . potom:

Nájdenú hodnotu parametra dosadíme do rovníc:

Odpoveď:

Pre kontrolu dosadíme nájdenú hodnotu parametra do rovníc:
Boli získané rovnaké súradnice, aké bolo potrebné skontrolovať. Starostliví čitatelia môžu nahradiť súradnice bodu v pôvodných kanonických rovniciach priamok.

Mimochodom, bolo možné urobiť opak: nájsť bod cez „es zero“ a skontrolovať ho cez „te zero“.

Známy matematický znak hovorí: tam, kde sa hovorí o priesečníku rovných čiar, je vždy cítiť kolmice.

Ako zostrojiť priamku priestoru kolmú na danú?

(čiary sa pretínajú)

Príklad 15

a) Zostavte rovnice priamky prechádzajúcej bodom kolmým na priamku (čiary sa pretínajú).

b) Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke.

Poznámka : klauzula "priamky sa pretínajú" - významný. Cez bodku
je možné nakresliť nekonečné množstvo kolmých čiar, ktoré sa budú pretínať s čiarou "el". Jediné riešenie nastáva, keď je čiara vedená cez daný bod kolmo na dva dané rovné čiary (pozri príklad č. 13, odsek „b“).

A) Riešenie: Neznámy riadok označte . Urobme si schematický nákres:

Čo je známe o linke? Podľa podmienky je daný bod. Na zostavenie rovníc priamky je potrebné nájsť smerový vektor. Ako taký vektor je vektor celkom vhodný a budeme sa ním zaoberať. Presnejšie, zoberme neznámy koniec vektora za pačesy.

1) Z rovníc priamky „el“ vytiahneme jej smerový vektor a samotné rovnice prepíšeme do parametrického tvaru:

Mnohí tušili, že kúzelník už tretíkrát na lekcii dostane bielu labuť z klobúka. Zvážte bod s neznámymi súradnicami. Od bodu potom jeho súradnice spĺňajú parametrické rovnice priamky "el" a zodpovedajú konkrétnej hodnote parametra:

Alebo v jednom riadku:

2) Podľa podmienky musia byť čiary kolmé, preto ich smerové vektory sú ortogonálne. A ak sú vektory ortogonálne, potom ich skalárny produkt rovná sa nule:

Čo sa stalo? Najjednoduchšia lineárna rovnica s jednou neznámou:

3) Hodnota parametra je známa, nájdime bod:

A smerový vektor:
.

4) Zostavíme rovnice priamky podľa bodu a smerového vektora:

Menovatelia podielu sa ukázali ako zlomkové a to je presne ten prípad, keď je vhodné sa zlomkov zbaviť. Len ich vynásobím -2:

Odpoveď:

Poznámka : rigoróznejšie zakončenie riešenia zostavíme takto: rovnice priamky poskladáme bodom a smerovacím vektorom . V skutočnosti, ak je vektor smerovým vektorom priamky, potom vektor kolineárny k nemu bude prirodzene tiež smerovacím vektorom tejto priamky.

Overenie pozostáva z dvoch fáz:

1) skontrolujte ortogonalitu smerových vektorov čiar;

2) do rovníc každej priamky dosadíme súradnice bodu, mali by „sadnúť“ sem aj tam.

Veľa sa hovorilo o typických akciách, tak som skontroloval draft.

Mimochodom, zabudol som na ďalší módny výstrelok - postaviť bod "sue" symetrický k bodu "en" vzhľadom na priamku "el". Existuje však dobrý „plochý analóg“, ktorý nájdete v článku Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Tu bude celý rozdiel v dodatočnej súradnici "Z".

Ako zistiť vzdialenosť od bodu k priamke v priestore?

b) Riešenie: Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke.

Metóda jedna. Táto vzdialenosť sa presne rovná dĺžke kolmice: . Riešenie je zrejmé: ak sú body známe , To:

Metóda dva. V praktických problémoch je základňa kolmice často záhadou, preto je racionálnejšie použiť hotový vzorec.

Vzdialenosť od bodu k čiare je vyjadrená vzorcom:
, kde je smerový vektor priamky "el" a - svojvoľný bod na danej priamke.

1) Z rovníc priamky dostaneme smerový vektor a najdostupnejší bod .

2) Bod je známy z podmienky, zaostrite vektor:

3) Poďme nájsť vektorový produkt a vypočítajte jeho dĺžku:

4) Vypočítajte dĺžku smerového vektora:

5) Vzdialenosť od bodu k priamke:

priamky l1 a l2 sa nazývajú pretínajúce sa, ak neležia v rovnakej rovine. Nech a a b sú smerové vektory týchto priamok a body M1 a M2 patria k priamkam a l1 a l2

Potom vektory a, b, M1M2> nie sú koplanárne, a preto sa ich zmiešaný súčin nerovná nule, t.j. (a, b, M1M2>) =/= 0. Platí to aj naopak: ak (a, b, M1M2> ) =/= 0, potom vektory a, b, M1M2> nie sú koplanárne a v dôsledku toho priamky l1 a l2 neležia v rovnakej rovine, t.j. pretínajú sa. Dve priamky sa teda pretínajú, ak a iba ak podmienka (a, b, M1M2>) =/= 0, kde a a b sú smerové vektory čiar a M1 a M2 sú body patriace k daným čiaram. Podmienka (a, b, M1M2>) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby priamky ležali v rovnakej rovine. Ak sú čiary dané ich kanonickými rovnicami

potom a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) a podmienka (2) je napísaná takto:

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami

toto je vzdialenosť medzi jednou zo šikmých čiar a rovinou rovnobežnou s ňou prechádzajúcou druhou čiarou. Vzdialenosť medzi šikmými čiarami je vzdialenosť od niektorého bodu jednej zo šikmých čiar k rovine prechádzajúcej druhou čiarou rovnobežnou s čiarou prvý riadok.

26. Definícia elipsy, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti.

Elipsa je ťažisko bodov v rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností dvoch zaostrených bodov F1 a F2 tejto roviny, nazývaných ohniská, konštantný. To nevylučuje zhodu ohniskov elipsy. ohniská sa zhodujú, potom je elipsa kruh. súradnicový systém taký, že elipsa bude opísaná rovnicou (kanonická rovnica elipsy):

Opisuje elipsu so stredom v počiatku, ktorej osi sa zhodujú so súradnicovými osami.

Ak je na pravej strane jednotka so znamienkom mínus, potom výsledná rovnica:

opisuje imaginárnu elipsu. Takúto elipsu nie je možné nakresliť v reálnej rovine, označme ohniská F1 a F2 a vzdialenosť medzi nimi 2c a súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu elipsy k ohniskám 2a.

Na odvodenie elipsovej rovnice zvolíme súradnicový systém Oxy tak, že ohniská F1 a F2 ležia na osi Ox a počiatok súradníc sa zhoduje so stredom úsečky F1F2. Potom budú mať ohniská tieto súradnice: u Nech M(x; y) je ľubovoľný bod elipsy. Potom podľa definície elipsy, t.j.

Toto je v skutočnosti rovnica elipsy.

27. Definícia hyperboly, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti

Hyperbola je ťažisko bodov v rovine, pre ktoré je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností dvoch pevných bodov F1 a F2 tejto roviny, nazývaná ohniská, konštantná. Nech M(x;y) je ľubovoľný bod hyperboly. Potom podľa definície hyperboly |MF 1 – MF 2 |=2a alebo MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Definícia paraboly, kanonická rovnica. Odvodenie kanonickej rovnice. Vlastnosti. Parabola je GMT roviny, pre ktorú sa vzdialenosť k nejakému pevnému bodu F tejto roviny rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke, ktorá sa tiež nachádza v uvažovanej rovine. F je ohnisko paraboly; pevná priamka je osou paraboly. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2)2+y2=(x+p/2)2; x 2 -xp + p 2 / 4 + y 2 \u003d x 2 + px + p 2 / 4; r 2 =2px;

Vlastnosti: 1. Parabola má os súmernosti (os paraboly); 2.Všetky

parabola sa nachádza v pravej polrovine roviny Oxy pri p>0 a v ľavej

ak p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.