Omaľovánka cesta. Stiahnite si rovná cesta pre autá

(tento príspevok môže byť zaujímavý pre čitateľov so znalosťami matematiky a sympatizantov)

Minule som čítal o zaujímavom probléme z teórie grafov – o dohadoch o farbení ciest. Tento dohad je otvorený už 37 rokov, no pred tromi rokmi ho dokázal izraelský matematik Abraham Trachtman. Dôkaz sa ukázal byť celkom elementárny a s určitými ťažkosťami (keďže môj mozog atrofoval) som ho dokázal prečítať a pochopiť, a dokonca sa to pokúsim vysvetliť v tomto príspevku.

Problém možno vysvetliť na nasledujúcom príklade. Predstavte si mapu mesta, na ktorej sa na každej križovatke môžete vydať jedným zo štyroch smerov – sever, juh, východ a západ. Ak auto vyrazí z nejakej križovatky a postupuje podľa nejakého zoznamu pokynov – „sever, sever, východ“ atď. - potom nakoniec dorazí na inú križovatku. Je možné nájsť zoznam smerov, možno dlhý, ktoré povedú stroj na to isté miesto bez ohľadu na to, kde začína? Ak mapa vyzerá ako Manhattan – bežná sieť – tak nie, ale možno má veľa slepých uličiek a nečakaných zákrut?

Alebo iný príklad. Váš priateľ uviazol v bludisku, v ktorom potrebuje nájsť centrum, a zavolal vám a požiadal o pomoc. Viete, ako funguje bludisko, ale neviete, kde je váš priateľ. Môže existovať postupnosť príkazov, ktoré určite privedú vášho priateľa do centra, nech je kdekoľvek?

V týchto dvoch príkladoch sú „smery“ v každom bode pevné a riešenie buď existuje, alebo neexistuje. Ale všeobecnejšie sa tento problém pýta: ak si môžeme vybrať, kde napríklad „západ, sever, východ, juh“ ukazuje na každej križovatke inak, môžeme potom zabezpečiť existenciu „synchronizačného slova“ – sekvencie príkazov, ktoré nejaké miesto povedie k pevnému?

Vo všeobecnom prípade nech existuje orientovaný graf G s hranami „šípky“ medzi vrcholmi. Nech má tento graf jednotný presah d - to znamená, že každý vrchol má presne d hrán. V tomto prípade môže do každého jednotlivého vrcholu vstúpiť iné číslo, nie nevyhnutne d. Majme množinu d písmen nejakej abecedy, ktorú budeme nazývať „farby“. Potom je „zafarbenie“ grafu dané priradením všetkých d písmen každému vrcholu pre jeho d výstupných hrán. Ak sa teda „nachádzame“ v nejakom vrchole a chceme niekam „ísť“ podľa farby α, tak nám zafarbenie vždy povie, na ktorú hranu musíme ísť do ktorého nového vrcholu. „Slovo“ je akákoľvek sekvencia farieb písmen. Potom, ak je v grafe dané zafarbenie a x je nejaký vrchol a w je nejaké slovo, potom xw označuje vrchol, ku ktorému sa dostaneme počnúc x a nasledujúcim slovom w.

Omaľovánka je tzv synchronizácia, ak existuje slovo w, ktoré vedie ľubovoľný vrchol x k jednému pevnému vrcholu x 0 . V tomto prípade sa volá w synchronizačné slovo. Otázka, ktorú si kladie problém sfarbenia ciest, znie: existuje vždy synchronizačné sfarbenie? Je vždy možné zafarbiť okraje grafu tak, aby sa všetky vrcholy dali zmenšiť na jeden?

Tento problém má uplatnenie v niekoľkých rôznych oblastiach, o ktorých si môžete prečítať napríklad na Wikipédii. Povedzme, v informatike, v teórii automatov. Farebný graf si možno predstaviť ako deterministický konečný automat, v ktorom sú vrcholy stavmi a hrany naznačujú, ako sa medzi nimi pohybovať. Predpokladajme, že tento stroj ovládame na diaľku, posielame príkazy cez nejaký informačný kanál a kvôli niektorým poruchám bol tento kanál kontaminovaný, stroj dostal nejaké chybné inštrukcie a teraz ani nevieme, v akom stave je. Potom, ak existuje synchronizačné slovo, môžeme ho uviesť do známeho stavu bez ohľadu na to, kde sa práve nachádza.

Kedy teda existuje synchronizované sfarbenie? Dohad o farbení cesty ukladá grafu ďalšie dve obmedzenia (okrem skutočnosti, že každý vrchol má presne d hrán). Po prvé, graf musí byť pevne prepojený - to znamená, že existuje cesta z akéhokoľvek vrcholu do akéhokoľvek iného. Po druhé, graf nesmie byť periodický. Predstavme si, že všetky vrcholy grafu môžeme rozdeliť na množiny V 1, V 2, ... V n, takže ľubovoľná hrana grafu spája vrcholy z nejakých Vi a Vi+1 alebo V n a V 0. Medzi vrcholmi v každom V nie sú žiadne hrany a ani nemôžu „skákať“ medzi žiadnym V, iba v poradí. Takýto graf sa nazýva periodický. Je jasné, že takýto graf nemôže mať synchronizačné zafarbenie, pretože bez ohľadu na to, ako ho vyfarbíte a aké slová použijete, dva vrcholy v rôznych V i sa nikdy nestretnú – budú sa ďalej pohybovať v cykle.

Veta o farbení ciest hovorí, že tieto podmienky sú dostatočné: každý neperiodický, silne prepojený orientovaný graf s d hranami z každého vrcholu má synchronizačné zafarbenie. Prvýkrát bola formulovaná ako hypotéza v roku 1970 a odvtedy existuje veľa čiastkových výsledkov dokazujúcich špeciálne prípady, ale úplný dôkaz sa objavil až v roku 2007. Nasleduje moje prerozprávanie takmer celého dôkazu (okrem jednej technickej lemy).

Periodicita

V prvom rade nahraďme podmienku neperiodicity inou ekvivalentnou. Graf je periodický vtedy a len vtedy, ak existuje číslo N>1, ktorým sa delí dĺžka ľubovoľného cyklu v grafe. Tie. naša požiadavka na neperiodicitu je ekvivalentná skutočnosti, že žiadne také N neexistuje, alebo inak povedané, najväčší spoločný deliteľ dĺžok všetkých cyklov v grafe je 1. Dokážeme, že každý graf, ktorý spĺňa túto podmienku, má synchronizačné sfarbenie.

Dokázanie, že periodicita je ekvivalentná podmienke „existuje N>1, ktorou sa delí dĺžka akéhokoľvek cyklu“, je triviálne v jednom smere a jednoduché v druhom. Ak ste ochotní to vziať s dôverou, môžete zvyšok tohto odseku ľahko preskočiť; na zvyšku dôkazu nezáleží. Ak je graf periodický, t.j. vie rozdeliť vrcholy na množiny V 1, V 2, ... V n tak, že hrany idú medzi nimi po cykle, potom je zrejmé, že dĺžka každého cyklu musí byť deliteľná číslom n, t.j. nová podmienka je splnená. Toto je triviálny smer, ale na našu výmenu potrebujeme práve druhý smer. Predpokladajme, že existuje N>1, ktorým sa delí dĺžka ľubovoľného cyklu. Zostavme si nejaký smerovaný kostra v našom grafe s koreňom vo vrchole r. K akémukoľvek vrcholu x existuje v tomto strome trasa začínajúca od koreňa dĺžky l(x). Teraz tvrdíme, že pre akúkoľvek hranu p-->q v grafe platí, že l(q) = l(p) + 1 (mod N). Ak je toto tvrdenie pravdivé, potom z toho hneď vyplýva, že môžeme rozdeliť všetky vrcholy do množín V i podľa l(x) mod N a graf bude periodický. Prečo je toto tvrdenie pravdivé? Ak je p-->q súčasťou kostry, potom je to zrejmé, pretože potom jednoducho l(q) = l(p) + 1. Ak to tak nie je, zapíšeme cesty od koreňa r do vrcholy p,q ako R p a Rq. Nech aj R r označuje v grafe cestu z q späť do r (graf je spojený, takže existuje). Potom môžeme napísať dva cykly: R p p --> q R r a R q R r . Podľa podmienky delíme dĺžky týchto cyklov N, odpočítaním a zmenšením celkových hodnôt dostaneme, že l(p)+1 = l(q) mod N, čo bolo potrebné dokázať.

Stabilné priateľstvo a indukcia

Nech je dané určité zafarbenie grafu G. Nazvime dva vrcholy p, q priateľmi, ak ich nejaké slovo w privedie do toho istého vrcholu: pw = qw. Nazvime p,q nepriateľmi, ak sa „nikdy nestretnú“. Nazvime p,q stabilnými priateľmi, ak po vykonaní akéhokoľvek slova w zostanú priateľmi: pw nemusí prísť do rovnakého vrcholu ako qw, ale po nejakom ďalšom w" to môže prísť. Zo stabilných priateľov sa nikdy nestanú nepriatelia.

Vzťah stability medzi vrcholmi je po prvé ekvivalencia (je reflexívny, symetrický a tranzitívny) a po druhé je zachovaný štruktúrou grafu: ak sú p, q stabilnými priateľmi, p je hranou spojené s p, q s q ", a tieto okraje rovnakej farby, potom p" a q" sú tiež stabilnými priateľmi. To znamená, že je to stabilné priateľstvo kongruencia a možno ho rozdeliť: vytvorte nový graf G", ktorého vrcholy budú triedami ekvivalencie pre stabilné priateľstvo v G. Ak je v G aspoň jeden stabilný pár, potom G" bude menší ako G. Navyše, ak v pôvodnom grafe G z každého vrcholu malo d hrán, potom v G" to bude tak. Napríklad, ak P je vrchol nového grafu, čo je trieda ekvivalencie pôvodných vrcholov p1, p2... , a α je ľubovoľná farba, potom hrany p1--α--> q1, p2---α-->q2 atď. vedú k vrcholom q1, q2..., ktoré sú v stabilnom priateľstve s každým iné, a preto ležia v jednom novom vrchole Q, takže všetky tieto hrany sa stanú novou hranou P --α-->Q. A tak ďalej pre každú z d farieb.

Navyše, ak by G bolo neperiodické, potom G" je tiež tak. Koniec koncov - použitím našej alternatívnej definície periodicity - každý cyklus v G sa zmení na cyklus v G", takže ak všetky dĺžky cyklov v G" sú deliteľné n > 1, potom to isté platí pre všetky cykly v G. Takže periodicita G“ implikuje periodicitu G.

Predpokladajme, že sa nám podarilo nájsť synchronizačné zafarbenie v G. Teraz ho možno použiť v G namiesto sfarbenia, s ktorým sme začali: akákoľvek hrana p-->q dostane novú farbu podľa novej farby hrany P -->Q. Malo by to byť trochu presnejšie, takže: v každom vrchole P grafu G" je nové zafarbenie dané nejakou permutáciou všetkých farieb π P: hrana, ktorá bola zafarbená farbou α, dostane novú farbu π P (a). Potom v pôvodnom grafe G pri každom vrchole p z triedy stability P použijeme rovnakú permutáciu π P na prefarbenie jeho hrán. Všeobecne povedané, nové zafarbenie grafu G definuje niektoré nové pojmy „priateľstvo“, „nepriateľstvo“ a „stabilita“, ktoré nie sú totožné s pôvodnými. Ale napriek tomu, ak dva vrcholy p, q boli stabilnými priateľmi v starom sfarbení - patrili do rovnakej triedy P - potom zostanú stabilnými priateľmi v novom. Je to preto, že každá sekvencia w, ktorá prináša p,q do jedného vrcholu, môže byť „preložená“ zo starého zafarbenia do nového alebo naopak pomocou permutácie π P v každom vrchole p pozdĺž cesty. Keďže p,q sú stabilné v starom sfarbení a zostávajú takto „celkom“, každý medziľahlý pár vrcholov p n , q n pozdĺž cesty od p,q k spoločnému vrcholu bude stabilný, t.j. ležia vo vnútri jedného vrcholu P n a preto dostávajú rovnakú permutáciu π P n .

Nové zafarbenie sa synchronizuje pre G", t.j. nejaká sekvencia w prinesie všetky vrcholy do jedného vrcholu P. Ak teraz aplikujeme w na nové zafarbenie v G, potom sa všetky vrcholy budú zbiehať niekde „vo vnútri P“. Ako je uvedené vyššie, všetky vrcholy v rámci triedy P zostávajú stabilné v novom sfarbení, čo znamená, že teraz môžeme pokračovať w, znova a znova spájať zostávajúce stále oddelené páry vrcholov, kým sa všetko nezblíži do jedného vrcholu G. Nové zafarbenie sa teda synchronizuje pre G.

Z toho všetkého vyplýva, že na dokázanie vety stačí dokázať, že v akomkoľvek grafe, ktorý spĺňa podmienky, je zafarbenie, v ktorom je dvojica stabilných priateľov. Pretože potom z grafu G môžeme prejsť na graf G" menšej veľkosti a ten tiež spĺňa všetky podmienky. Pomocou induktívneho argumentu môžeme predpokladať, že pre grafy menšej veľkosti je problém už vyriešený a následne synchronizačné vyfarbenie pre G" sa bude synchronizovať aj pre G .

Kliky a maximálne zostavy

Pre akúkoľvek podmnožinu A vrcholov v grafe a slovo w, Aw označuje množinu vrcholov, ku ktorej dospejeme od všetkých vrcholov A po slovo w. Ak vychádzame zo všetkých vrcholov grafu vo všeobecnosti, potom to označíme Gw. V tomto zápise synchronizačné sfarbenie znamená, že existuje w také, že Gw je množina jedného prvku.

Ak má množina vrcholov A tvar Gw pre nejaké w a navyše akékoľvek dva vrcholy v A sú nepriateľmi, t.j. nikdy nebude konvergovať, volajme A klika. Kliky existujú, pretože vždy môžeme začať s celým G, vziať pár priateľov vrcholov, prejsť cez w, ktoré ich spája, a znížiť počet vrcholov o jeden; takto pokračujte, kým nezostanú len nepriatelia alebo len jeden vrchol - aj v tomto prípade klika, jednoducho triviálna.

Ak A je klika, potom pre každé slovo w je aj Aw klika; to je jasné, pretože nepriatelia zostávajú nepriateľmi. Ak x je ľubovoľný vrchol grafu, potom existuje klika zahŕňajúca x. Vyplýva to zo skutočnosti, že existuje nejaký druh kliky A (pozri predchádzajúci odsek); ak je v ňom p vrchol, potom existuje slovo w vedúce z p do x, pretože spojený graf; potom Aw je klika vrátane x.

Kliknutia nám pomôžu dokázať, že existuje sfarbenie so stabilnými priateľmi - podľa predchádzajúcej časti to stačí na preukázanie vety. V tejto časti dokážeme, že ak existujú dve kliky A a B, takže všetky vrcholy v nich sú spoločné okrem jedného v A a jedného v B, potom sú tieto dva vrcholy stabilnými priateľmi. Problém sa teda redukuje na nájdenie sfarbenia, ktoré obsahuje kliky A a B.

Pre lepšie pochopenie fungovania klikov je užitočné priradiť váhy vrcholom v grafe. Ukážme, že máme spôsob, ako priradiť kladnú váhu w(x) každému vrcholu x tak, že ak pre akýkoľvek vrchol x spočítajte váhy všetkých vrcholov, z ktorých sú hrany v x, potom dostaneme d*w(x), kde d je počet hrán z každého vrcholu. Vyplýva to z lineárnej algebry a ak neviete, čo je to vlastná hodnota, preskočte zvyšok tohto odseku a existenciu takéhoto w(x) berte ako samozrejmosť. Ak M je matica grafu G (bunka (i,j) je 1, ak existuje hrana i-->j, a 0, ak taká hrana neexistuje), potom w(x), ako som ich opísal, sú prvky vlastného vektora vľavo táto matica má pre vlastnú hodnotu d. Vieme, že takýto vektor existuje, pretože d je vlastná hodnota: má triviálny vlastný vektor napravo(1,1,....1) - to hneď vyplýva z toho, že z každého vrcholu vychádza práve d hrán.

Ak A je ľubovoľná množina vrcholov, potom w(A) označuje súčet váh všetkých vrcholov z A; a w(G) je súčet váh všetkých vrcholov v grafe. Okrem toho, ak s je akékoľvek slovo, potom nech As -1 označuje množinu vrcholov, ku ktorým prichádzate z A, ak idete „v opačnom smere“ pozdĺž s, pričom v každom kroku nahradíte každý vrchol týmito vrcholmi (ak existujú). ktoré jej idú vo vhodnej farbe.

Uvažujme teraz o všetkých množinách vrcholov, ktoré sa dajú spojiť do jedného bodu, t.j. také A, že pre niektoré w Aw obsahuje iba jeden vrchol. Tie množiny A, ktoré zo všetkých takýchto množín majú maximálnu váhu w(A), sa budú nazývať maximálne množiny. Ak je vyfarbenie synchronizované, potom je celý graf G maximálnou množinou (unikátny), ale inak tomu tak nie je.

Ak je A ľubovoľná množina vrcholov, potom súčet všetkých w(Aα -1), kde α prebieha cez všetky d farby, sa rovná d*w(A) – ide jednoducho o zovšeobecnenie hlavnej vlastnosti hmotnosti z jeden vrchol na množinu vrcholov A. Ak je navyše v tomto prípade A maximálna množina, potom každé z w(Aα -1) nemôže byť väčšie ako w(A), pretože aj tieto množiny sú redukované na jeden vrchol . A keďže súčet d týchto váh sa rovná d*w(A), ukáže sa, že každá z nich sa rovná w(A) a všetky tieto množiny sú tiež maximálne. Z toho hneď vyplýva, že ak je A maximálne, potom Aw -1 je maximálne aj pre akékoľvek slovo w.

Maximálne množiny sú užitočné, pretože ich nesúvislé inštancie môžu pokryť celý graf. Poďme to dokázať.

Majme množinu maximálnych množín A 1 ...A n , disjunktných v pároch a redukovaných na jednotlivé vrcholy a 1 ...a n tým istým slovom w (v počiatočnom prípade bude n=1 a iba jeden nastaviť, aby sa to dalo ľahko začať). Je jasné, že všetky a 1 ...a n sú navzájom odlišné, pretože inak by bolo možné ďalej rozširovať maximálnu množinu vďaka prvkom inej s rovnakým konečným vrcholom. Predpokladajme, že všetky A i spolu ešte nevyčerpali všetky vrcholy G a nech x je vrchol mimo všetkých A i . Keďže graf je prepojený, existuje určitá cesta h od a 1 po x. Potom n maximálnych množín A i h -1 w -1 ide podľa slova whw do konečných vrcholov a 1 ...a n , a maximálna množina A 1 ide do nejakého vrcholu Awhw = (Aw)hw = (a 1 h) w = xw. Tento vrchol xw sa tiež musí líšiť od všetkých a 1 ...a n , pretože inak by mohla byť maximálna množina A i doplnená prvkom x. A keďže všetky tieto množiny n+1 - všetky A i h -1 w -1 plus A 1 - idú pozdĺž whw do rôznych vrcholov, všetky sú párovo disjunktné. V tejto expanzii budeme pokračovať, kým nezostanú žiadne vrcholy mimo množiny.

Takže môžeme pokryť celý graf G disjunktnými maximálnymi množinami. Keďže sú maximálne, všetky majú rovnaké celé w max , a preto ich počet v pokrytí je N max = w(G)/w max .

Teraz zvážte akúkoľvek množinu A pozostávajúcu z párových nepriateľov. Príkladom takejto množiny je napríklad klika (a má tiež tvar Gw). Maximálna množina nemôže obsahovať dvojicu nepriateľov, pretože by sa potom nemohla zblížiť. To znamená, že v kryte s maximálnymi množinami N max, každá obsahuje najviac jeden člen A, takže veľkosť A je najviac N max. Konkrétne ide o hornú hranicu veľkosti akéhokoľvek kliku.

Nech A je klika tvaru Gw, kde w je nejaké slovo. Potom G = Aw -1, a teda w(G) sa rovná súčtu w(aw -1), kde a prechádza všetkými vrcholmi A. Počet členov podľa predchádzajúceho odseku nie je väčší ako N max a každú množinu aw -1 možno zredukovať na jeden bod (v bode a so slovom w), takže jej hmotnosť nie je väčšia ako maximum w max . Keďže celý súčet sa rovná w(G) = N max *w max , usúdime, že počet členov sa presne rovná N max a každý člen sa presne rovná w max . Dokázali sme, že všetky kliky majú rovnakú veľkosť: presne N max prvkov.

Nech sú dve kliky A a B tak, že vo vnútri A sú všetky prvky spoločné s B okrem jedného: |A| - |A∩B| = 1.

Keďže A a B sú rovnako veľké, máme aj |B| - |A∩B| = 1, t.j. A a B majú všetky prvky spoločné, okrem jedného vrcholu p v A a jedného vrcholu q v B. Chceli by sme dokázať, že tieto vrcholy p,q sú stabilnými priateľmi. Ak to tak nie je, potom niektoré slovo w z nich robí nepriateľov, t.j. pw a qw sú nepriatelia. Ako je uvedené vyššie, Aw a Bw sú tiež kliky a je zrejmé, že opäť majú všetky prvky spoločné, okrem nepriateľov pw a qw. Potom množina Aw ∪ Bw je množina párových nepriateľov. V skutočnosti sú v ňom všetky prvky Aw párovými nepriateľmi, pretože je to klika; to isté platí pre prvky Bw; a zostala len dvojica pw,qw - tiež nepriatelia. Ale táto sada má N max +1 prvkov a vyššie sme ukázali, že žiadna sada párových nepriateľov nemôže mať viac ako N max prvkov. Toto je protirečenie, a preto pw a qw nemôžu byť nepriateľmi žiadneho w. Inými slovami, p a q sú stáli priatelia.

Preklenutie grafov a klikov

Zoberme všetky vrcholy z daného grafu G a z každého vrcholu vyberieme len jednu výstupnú hranu. Táto voľba určuje podgraf, ktorý nazývame graf rozpätia(graf rozpätia). Môže existovať veľa rôznych grafov preklenutia, ale poďme sa trochu zamyslieť nad tým, ako vyzerajú. Nech existuje určitý graf rozpätia R. Ak v ňom vezmeme ľubovoľný vrchol x a začneme sledovať jeho hrany, tak zakaždým budeme mať jedinú možnosť, pretože v R vychádza z každého vrcholu len jedna hrana a skôr, resp. neskôr cyklus uzavrieme. Možno sa tento cyklus neuzavrie v x, ale uzavrie sa niekde „ďalej“ - napríklad x-->y-->z-->s-->y. Potom „chvost“ k tomuto cyklu povedie od x. Ak začneme z nejakého iného vrcholu, tiež určite skončíme s cyklom - týmto alebo iným. Ukazuje sa, že akýkoľvek vrchol R buď leží na cykle (ktorých môže byť niekoľko), alebo je súčasťou „chvosta“, ktorý vedie k cyklu. To znamená, že R vyzerá takto: je na nich postavený určitý počet cyklov a určitý počet „obrátených“ stromov: každý strom nezačína, ale končí pri „koreni“, ktorý leží na jednom z cyklov.

Môžeme priradiť ku každému vrcholu grafu úrovni, zodpovedajúcu jeho vzdialenosti od cyklu v danom grafe rozpätia R. Vrcholy, ktoré ležia na cykle, majú úroveň 0 a vrcholy, ktoré ležia na strome pripojenom k ​​cyklu, dostanú úroveň rovnajúcu sa vzdialenosti v ich strome od „koreňu“. “ ležiaci na cykle. Niektoré vrcholy nášho grafu majú maximálnu úroveň L. Možno sa dokonca rovná 0 - t.j. nie sú tam žiadne stromy, len cykly. Možno je väčšia ako nula a vrcholy tejto maximálnej úrovne ležia na najrôznejších stromoch spojených s rôznymi cyklami alebo s jedným.

Chceme zvoliť preklenutý graf R taký, že všetky vrcholy maximálnej úrovne ležali na tom istom strome. Intuitívne sa dá veriť, že sa to dá, pretože ak to tak nie je – napríklad sú roztrúsené po rôznych stromoch – potom si môžeme vybrať jeden z takýchto maximálnych vrcholov x a zvýšiť jeho úroveň pripojením k R nejakej hrany smerujúcej do x. Potom bude treba vyhodiť nejaké ďalšie rebro a nie je pravda, že to nepoškodí niečo iné... ale toto je technický problém, o ktorom sa bude diskutovať neskôr. Snažím sa len povedať, že intuitívne to nevyzerá veľmi komplikovane.

Zatiaľ predpokladajme, že môžeme zvoliť R tak, aby všetky vrcholy maximálnej úrovne ležali na tom istom strome. Predpokladá sa, že tento strom je netriviálny, t.j. maximálnu úroveň L > 0. Na základe tohto predpokladu skonštruujeme sfarbenie a v ňom sú kliky A a B, ktoré spĺňajú podmienky predchádzajúcej časti, čo dokáže, že v tomto sfarbení je stabilný pár priatelia.

Vyfarbenie bude nasledovné: vyberte si nejakú farbu α a vyfarbite všetky hrany v grafe R touto farbou a všetky ostatné hrany v grafe G nejakými inými farbami (ak je tam len jedna farba, tak R sa zhoduje s G , takže nie je problém). Slová pozostávajúce z farby α teda „tlačia“ vrcholy R pozdĺž ich stromov smerom k cyklom a potom ich posúvajú cez cykly. Toto sú jediné slová, ktoré budeme potrebovať.

Nech x je ľubovoľný vrchol maximálnej úrovne L v R a nech K je ľubovoľná klika vrátane x; vieme, že taká klika existuje. Môže K zahŕňať nejaký iný vrchol maximálnej úrovne L? Podľa nášho predpokladu sú všetky takéto vrcholy v tom istom strome ako x, čo znamená, že slovo α L ich privádza na to isté miesto ako x – teda ku koreňu tohto stromu, ktorý leží na cykle. To znamená, že všetky takéto vrcholy sú priateľmi x, a preto nemôžu ležať v rovnakej klike ako ono. Preto môže K okrem x zahŕňať iba vrcholy nižšej úrovne.

Pozrime sa na množinu A = Kα L-1. Toto je tiež klika a v nej všetky vrcholy, okrem x, dosiahli nejaký druh cyklu v R, pretože všetky vrcholy A, okrem x, majú úroveň nižšiu ako L. Len x zostáva mimo cyklu, pri vzdialenosť presne 1 od koreňa v cykle. Teraz si zoberme nejaké číslo m, ktoré je násobkom všetkých dĺžok cyklov v R – napríklad súčin všetkých dĺžok cyklov. m má takú vlastnosť, že ak je vrchol y na cykle v R, potom ho slovo α m vráti na svoje miesto: yα m = y. Pozrime sa na kliku B = Aα m . Všetky vrcholy A, okrem x, ležali na cykloch, a preto tam zostali v B; a len x nakoniec vstúpilo do svojho cyklu a niekde sa tam usadilo. To znamená, že priesečník A a B obsahuje všetky vrcholy A okrem jedného: |A| - |A∩B| = 1. Ale to podľa predchádzajúcej časti znamená, že naše sfarbenie má stabilný pár, čo sme potrebovali dokázať.

Budovanie maximálnej úrovne.

Zostáva dokázať, že vždy je možné zvoliť preklenutý graf R tak, aby mal netriviálnu maximálnu úroveň L > 0 a všetky vrcholy tejto úrovne ležali na tom istom strome.

Súčasťou tohto dôkazu je dosť nudná a technická lemma, ktorú som si prečítal a skontroloval, ale nebudem ju opakovať, len pre záujemcov poviem, kde je v článku. Ale poviem vám, ako sa k tejto lemme dostať.

Budeme potrebovať dve obmedzenia, ktoré môžeme uložiť na graf G. Najprv povedzme, že G nemá žiadne slučky, t.j. hrany z vrcholu do toho istého vrcholu. Ide o to, že ak je v grafe slučka, potom je veľmi ľahké nájsť synchronizačné sfarbenie iným spôsobom. Zafarbime túto slučku nejakou farbou α a potom, idúc z tohto vrcholu opačným smerom „proti šípkam“, vyfarbíme okraje tak, aby farba α vždy viedla k tomuto vrcholu. Pretože graf je prepojený, je ľahké ho usporiadať a potom slučka zaisťuje, že určitý stupeň α zredukuje celý graf na tento vrchol.

Ďalej predpokladajme na sekundu, že z nejakého vrcholu p vedú všetky d hrany do rovnakého vrcholu q. Podmienky to umožňujú, ale v tomto prípade túto množinu hrán nazveme partia. Naše druhé obmedzenie je toto: neexistuje vrchol r, ku ktorému vedú dve väzby z rôznych vrcholov p a q. Prečo to môžeme vnucovať? Pretože ak spojky idú z p a q do r, potom pre akékoľvek sfarbenie p sa q po prvej farbe zblíži vo vrchole r, a preto sú stabilnými priateľmi. Takže v tomto prípade nepotrebujeme celú konštrukciu grafov a klikov, hneď získame stabilných priateľov. Preto môžeme predpokladať, že to tak nie je.

Nakoniec dokážeme, že vždy existuje preklenovací graf R, v ktorom nie všetky vrcholy ležia na cykloch, ale existuje niekoľko netriviálnych stromov. Vyberme si nejaké R a predpokladajme, že všetky jeho vrcholy ležia na cykloch. Ak by boli všetky hrany v grafe G spojené, t.j. vždy všetkých d hrán opúšťajúcich rovnaký vrchol viedlo do rovnakého vrcholu - potom by výber R zahŕňal len výber jednej hrany z každého spojenia. V tomto prípade by v R mohol byť iba jeden cyklus (napokon, niekoľko cyklov v R by v súvislom grafe G nemohlo byť navzájom spojených - všetky hrany G spájajú len tie isté vrcholy ako hrany R, pretože toto sú spojky - a keďže G je spojené, je to nemožné) a akýkoľvek cyklus v G jednoducho vyberie iné hrany zo spojení tohto cyklu, ale v podstate ide o rovnaký cyklus, rovnakej dĺžky. To ale znamená, že dĺžky všetkých cyklov v G sú deliteľné touto dĺžkou, čo presne odporuje neperiodickosti G. Nemôže sa teda stať, že všetky hrany v G ležia na väzbách, čo znamená, že sú tam nejaké dve hrany p-- >q v R a p-->s mimo R (potrebovali sme dlhý argument o spojkách, aby sme dokázali, že nejaká hrana z p nielenže neleží v preklenutom grafe, ale vedie aj k inému vrcholu s). Potom nahradíme p-->q p-->s, čím sa cyklus „preruší“ a vytvorí sa v ňom nejaký netriviálny chvost. Tento chvost nám v novom grafe poskytne netriviálny strom.

Teraz si môžeme vybrať zo všetkých grafov R, ktoré obsahujú netriviálne stromy, nejaký R, ktorý má maximálny počet vrcholov v cykloch. Teda má vrcholy, ktoré nie sú v cykloch, ale okrem tohto obmedzenia je počet vrcholov v cykloch maximalizovaný. V tomto grafe je niekoľko vrcholov maximálnej úrovne L a môžeme predpokladať, že sú na stromoch vedúcich k rôznym koreňom, inak sme už dosiahli to, čo potrebujeme. Vyberme si jeden takýto vrchol x. Chceme zmeniť graf tak, aby sa tento vrchol stal súčasťou dlhšej trasy v strome, dlhšej ako L, a ostatné stromy sa nemenili a potom bude maximálna úroveň iba v jednom strome, čo chceme. Graf môžete zmeniť tromi spôsobmi:

a) vezmite nejakú hranu y-->x a pridajte ju k R a zahoďte existujúcu hranu y-->z;
b) vezmite hranu b-->r, ktorá je práve posledná na ceste z x do jej cyklu (r na cykle), a zahoďte ju a pridajte ďalšie b-->z.
c) vezmite hranu c-->r, ktorá je súčasťou cyklu a zahoďte ju a pridajte ďalšie c-->z.

Lema 7 Trakhtmanovho článku podrobne dokazuje, že jedna (alebo v niektorých prípadoch dve) z týchto zmien vedie k požadovanému výsledku. Proces využíva jednak maximalizáciu R (ak nejaká zmena vedie ku grafu s väčším počtom vrcholov na cykloch ako v R, odporuje to jeho maximalizácii), jednak podmienku definovanú vyššie, že neexistuje vrchol, do ktorého vedú dve väzby. Výsledkom je, že v každom prípade získame graf R, v ktorom všetky vrcholy maximálnej úrovne ležia na jednom netriviálnom strome.

Aktualizácia o týždeň neskôr: Napriek tomu som sa rozhodol urobiť tento záznam úplne sebestačným a tiež prerozprávať dôkaz lemy, na ktorú som poukázal v predchádzajúcom odseku. Bolo by lepšie to urobiť pomocou diagramu, ale nechcem ho kresliť ani vytrhávať z článku, takže to skúsim slovami. Predstavme si teda, že máme preklenutý graf R, v ktorom sú netriviálne stromy a zo všetkých takýchto grafov v ňom leží maximálny počet vrcholov na cykloch. Naším cieľom je transformovať R na graf rozpätia, v ktorom všetky vrcholy maximálnej úrovne ležia na rovnakom strome; Akonáhle takýto graf v procese pokusu dostaneme, okamžite končíme (a je nám jedno, že sa môže stratiť maximalizácia grafu z hľadiska počtu vrcholov na cykloch, nie je pre nás dôležité v používame ho iba v procese). Nech x je vrchol maximálnej úrovne L, T strom, na ktorom leží, r vrchol cyklu C, kde T končí, b-->r posledná hrana pred r na ceste z x do cyklu C. Môžeme predpokladať, že sa do tohto cyklu zapájajú ďalšie stromy alebo iné, ktoré majú vrcholy úrovne L - inak je už všetko hotové. Z toho vyplýva, že ak dokážeme z T získať strom s prvkom väčšieho stupňa ako L a nerozšírime tieto ďalšie stromy, tak sme hotoví.

Najprv skúsme urobiť operáciu a) vyššie: zoberte nejakú hranu y-->x v G - existuje, pretože Graf je spojený a bez slučiek a neleží v R, pretože x maximálna úroveň. Pridajme to k R a vyhodíme nejaké y-->z, ktoré tam bolo predtým. Ak y leží na strome T, tak y-->x uzatvára nový cyklus a v novom grafe leží viac vrcholov na cykloch a stále existujú netriviálne stromy (aspoň tie ostatné, ktoré boli v R), ktoré odporuje maximálnosti R. Ak y neleží na T a y-->z nie je súčasťou cyklu C, tak odstránením y-->z sa tento cyklus nepreruší, ale pridaním y-->x sa predĺži maximum úroveň stromu T aspoň o jeden a ostatné stromy nepredlžujú, takže máme hotovo. Zostávajúca možnosť je, keď y-->z leží na cykle C, ktorý sa teraz prerušil a vytvoril sa nový cyklus: z r na y, potom y-->x, potom z x do r pozdĺž bývalého stromu. Dĺžka tohto cyklu je l(ry)+1+L a dĺžka starého cyklu C bola l(ry)+1+l(zr). Nový cyklus nemôže byť dlhší ako starý, to odporuje maximálnosti R, takže vidíme, že L ≤ l(zr), t.j. dĺžka trasy od z do r v starej slučke. Na druhej strane, v novom grafe má teraz vrchol z úroveň aspoň l(zr), a ak je väčšia ako L, tak sme hotoví. Môžeme teda predpokladať, že l(zr)=L. Aby sme to zhrnuli: predpokladáme, že a) nefunguje, a potom vieme, že y-->z leží na cykle C, l(zr) = L.

Teraz skúsme operáciu b): nahraďte hranu b-->r nejakou inou hranou b-->d. Pozrime sa, kde leží nový vrchol d. Ak na strome T, potom sme vytvorili nový cyklus bez porušenia predchádzajúceho a vyvrátili sme maximalizáciu R. Ak na inom strome, potom maximálne vrcholy T vrátane x budú mať teraz úroveň väčšiu ako L a ostatné stromy nebudú a máme hotovo . Ak na inom cykle, nie na C, tak teraz urobíme spolu s b) aj a): keďže vieme, že y-->z leží na C, tak táto operácia rozdelí C, ale nie nový cyklus, do ktorého je teraz spojený strom T a na tomto strome budú teraz vrcholy o úroveň väčšiu ako L a opäť sme skončili.

Zostávajúca možnosť je, keď b-->d je tiež pripojené k cyklu C, na inom mieste ako r, alebo na rovnakom mieste a potom d=r. Keď sme nahradili b-->r za b-->d, dostali sme rovnakú situáciu ako na začiatku - strom T, vrchol x úrovne L atď. - len strom je teraz pripojený k cyklu cez vrchol d. Ak vezmeme do úvahy operáciu a), dospejeme k záveru (za predpokladu, že nefunguje), že l(zd) = L, rovnako ako sme predtým usúdili, že l(zr) = L. Ale ak l(zd) = l( zr), t.j. vzdialenosť pozdĺž cyklu od z je rovnaká k d a r, potom je to rovnaký vrchol: d=r. Takže ak b) nefunguje, tak akákoľvek hrana z b musí viesť do r, t.j. okraje od b tvoria spojnicu.

Nakoniec uvažujme hranu c-->r ležiacu na cykle C. Keďže môžeme predpokladať, že všetky hrany z b ležia na spojnici vedúcej do r, môžeme tiež uložiť obmedzenie uvedené vyššie, že nemôžu existovať dve spojnice vedúce k jeden vrchol, nie všetky hrany z c vedú do r, ale je tam nejaká hrana c-->e. Nahradíme c-->r za c-->e. Kde môže ležať vrchol e? Nie na strome T, pretože by to "predĺžilo" cyklus C, čo je v rozpore s maximom R. Takže e leží na inom strome alebo na inom cykle, alebo dokonca na rovnakom cykle C, ale nie na vrchole r. Potom sa strom T predtým, ako sa pripojí k slučke, teraz predĺži aspoň o jednu hranu vychádzajúcu z r a možno o viac (iba o jednu, ak e leží hneď za r, a c-->e opäť uzatvára slučku C, odvodzujúce z neho len r). To znamená, že vrchol x a ostatné maximálne vrcholy T majú teraz úroveň nie menšiu ako L+1 a ostatné stromy sa nepredĺžili a opäť máme to, čo potrebujeme.

Vďaka Disney a Pixar videl celý svet v júni 2006 karikatúru, v ktorej sa hrdinami stali iba autá.

Autá v kreslenom filme Autá žijú obyčajným životom – jeden prevádzkuje obchod s pneumatikami, ďalší tuningové štúdio a niektoré jednoducho žijú pre svoje potešenie, ako hippie Fillmore (Volkswagen T1) alebo jeho priateľ, veterán z druhej svetovej vojny. Serge (Willys). Hlavná postava filmu, McQueen, prezývaný „Blesk“, sníva len o pretekoch, víťazstvách a sláve. V Radiator District na slávnej americkej diaľnici 66, stále „zelený“ McQueen okamžite každému povie, aký je rýchly a cool. Jeho prvý štart na pretekoch NASCAR však rozptyľuje jeho ilúzie. Priatelia pomáhajú hrdinovi prežiť stratu - stará odťahovka Mater (GMC Pick-up), mentor Doc Hudson (Hudson Hornet) a malý Luigi (Fiat 600), ktorý sníva o tom, že uvidí skutočné Ferrari.

No kde by sme boli bez romantickej krásky Sally (Porsche s očarujúcim tetovaním 911)! Z veľkej časti vďaka nim McQueen stále vyhrá preteky a porazí Chicovho hlavného rivala (Plymouth Hemi Cuda). Splní sa aj Luigiho sen – jedného dňa príde do jeho obchodu vymeniť pneumatiky „žrebec z Maranella“, mimochodom vyjadrený samotným „Červeným barónom“, Michael Schumacher.

Je pozoruhodné, že tvorcovia filmu aj tí, ktorí ho vyjadrili, sú ľudia zaoberajúci sa automobilmi. Napríklad režisér Joe Lasseter strávil takmer celé detstvo v závode Chevrolet, kde bol jeho otec jedným z hlavných konštruktérov. Popredný dizajnér Fordu Jay Mays pôsobil ako konzultant. Na nahovorení postáv sa okrem už spomínaného sedemnásobného majstra sveta Formuly 1 Michaela Schumachera podieľali hviezdy NASCAR Richard Petty a Paul Newman, ale aj legendárny pretekár Michael Andretti.

Použil sa len pôvodný hluk áut – napríklad najmä pri pretekárskych epizódach sa zvuk nahrával niekoľko týždňov na amerických ováloch počas súťaží NASCAR. Vytvorenie filmu, ktorého rozpočet bol 70 miliónov USD, trvalo viac ako dva roky. Za tento čas vzniklo 43 tisíc rôznych náčrtov áut a každá kresba trvala viac ako 17 hodín. Vo filme je celkovo 120 automobilových postáv – od nových Porsche a Ferrari až po starožitný Ford T.

Znalosť pravidiel cestnej premávky dieťaťa je jednou z hlavných podmienok jeho bezpečnosti na ulici. Mnohí chodci, vrátane dospelých, berú tieto pravidlá skôr na ľahkú váhu, čo sa často stáva príčinou dopravných nehôd rôznej závažnosti. Deti musia jasne pochopiť, že keď sú na ulici v obývanej oblasti, sú plnohodnotnými účastníkmi cestnej premávky, preto je ich zodpovednosťou dodržiavať pravidlá cestnej premávky.

Omaľovánky Pravidlá cestnej premávky pre deti.

Učiť dieťa pravidlám správania sa na ulici (cesty, chodníky, mestská doprava) by malo začať už vo veľmi ranom veku, ešte predtým, ako sa naučí samo chodiť a behať. A tu je veľmi dôležitý príklad rodičov a iných dospelých, s ktorými je dieťa na ulici. Pravidlá cestnej premávky musíte svojmu dieťaťu nielen povedať a vysvetliť, ale aj sami ich prísne dodržiavať. Omaľovánky pravidiel cestnej premávky prezentované na tejto stránke sú primárne určené pre predškolákov a pomôžu deťom naučiť sa základné body správania na ceste, ako aj v jej blízkosti.

1. Omaľovánka Semafor.

Najlepším miestom na bezpečný prechod cez cestu je priechod pre chodcov vybavený semaforom. Omaľovánky s obrázkami semaforov obsahujú aj malé riekanky, vďaka ktorým si deti ľahšie zapamätajú pravidlá ich používania.

• Jazdu začnite vždy, až keď na semafore svieti zelená.
• Nikdy neprechádzajte cez cestu, keď sú dopravné signály červené alebo žlté, aj keď v blízkosti nie sú žiadne vozidlá.
• Pri odbočovaní na zelené svetlo navyše dbajte o svoju bezpečnosť – pozerajte sa doľava, potom doprava.

2. Omaľovánka prechod pre chodcov.

Naučte svoje dieťa prechádzať cez vozovku len na priechode pre chodcov. Omaľovánky prechodov pre chodcov naučia deti správne prechádzať cez cestu. Priecestie, ktoré nie je vybavené svetelnou signalizáciou, sa nazýva neregulované.

• Priechod pre chodcov je na povrchu vozovky označený prechodom pre chodcov.
• Pred prechodom cez cestu ju dôkladne skontrolujte a uistite sa, že v blízkosti nie je žiadna premávka.
• Prejdite cez cestu, neprebiehajte cez ňu.
• Neprechádzajte cez ulicu diagonálne.
• Venujte zvláštnu pozornosť stojacim vozidlám, ktoré vám bránia vo výhľade.
• Pri prechádzaní cez priechod pre chodcov prestaňte telefonovať.
• Ak sa v blízkosti nachádza podzemie alebo nadjazdy, určite ich použite, doprava je na takýchto miestach obzvlášť intenzívna.

3. Chodníky.

Chodník je určený pre pešiu dopravu. Naučte deti správne sa správať na chodníkoch, najmä na tých, ktoré sa nachádzajú v oblastiach s hustou premávkou.

• Pri jazde po chodníku popri ceste sa k nemu príliš nepribližujte.
• Starostlivo sledujte možné vozidlá opúšťajúce dvory a uličky.
• Nehrajte loptu na chodníku ani nebehajte.

4. Omaľovánky s pravidlami správania sa detí v mestskej hromadnej doprave a na autobusových zastávkach.

Tieto omaľovánky naučia deti, ako bezpečne používať verejnú dopravu.

• Zastávka MHD je nebezpečné miesto z dôvodu možného zlého výhľadu na cestu a veľkého davu ľudí, ktorí môžu omylom vytlačiť dieťa z chodníka na vozovku. Tu si treba dávať obzvlášť pozor.
• K dverám vozidla sa priblížte až po jeho úplnom zastavení.
• Po vystúpení z vozidla prejdite cez cestu až po opustení zastávky.

Okrem týchto základných pravidiel cestnej premávky deti zaujme vyfarbovanie dopravných značiek. Prezentované omaľovánky pravidiel cestnej premávky sú vhodné pre batoľatá, predškolákov a žiakov základných škôl, ako aj na použitie v materských školách a na hodinách základných škôl. Všetky obrázky s pravidlami premávky sú úplne zadarmo - môžete si ich stiahnuť a vytlačiť.

Chlapcov môžete zamestnať na dlhú dobu, ak ich pozvete hrať sa s autami na pieskovisku. Ale čo robiť, ak je vonku zima a dieťa sa nudí. V tomto prípade si môžete stiahnuť a vytlačiť nasledujúce šablóny ciest pre autá. Zábava sa začne vystrihnutím všetkých kruhov, zákrut a rovných ciest. Z týchto šablón môže dieťa postaviť cestu ľubovoľného tvaru, len sa uistite, že je vytlačený požadovaný počet požadovaných listov A4.

Stiahnite si rovná cesta pre autá

Týchto listov budete potrebovať najviac. Na hárok papiera A4 sme umiestnili 3 cestičky, ktoré treba vytlačiť a vystrihnúť. Ukážte svojmu dieťaťu, ako rezať cestu v pravom uhle, aby bola časť taká dlhá, akú potrebuje.

Cesta pre autá: okruh

Na prepojenie ciest budete potrebovať kruh, ktorého šablóna je uvedená vyššie, a odtiaľ začnite budovať infraštruktúru.

Cesta pre autá: rovná zákruta

Prezentované zákruty umožnia chlapcovi otočiť cestu o 90 stupňov v smere, ktorý potrebuje.

Nie prudká zákruta na ceste pre autá

Nasledujúca šablóna A4 vám pomôže otočiť cestu v akomkoľvek polomere.