Mifano ya uundaji wa polynomials. Jinsi ya kuhesabu trinomial ya quadratic: formula

Utatu wa mraba ni polinomia ya umbo ax^2 + bx + c, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni baadhi ya nambari, na ≠ 0.

Ili kuangazia trinomial, unahitaji kujua mizizi ya trinomial hiyo. (mfano zaidi kwenye trinomial 5x^2 + 3x- 2)

Kumbuka: thamani ya quadratic trinomial 5x^2 + 3x - 2 inategemea thamani ya x. Kwa mfano: Ikiwa x = 0, basi 5x^2 + 3x - 2 = -2

Ikiwa x = 2, basi 5x^2 + 3x - 2 = 24

Ikiwa x = -1, basi 5x^2 + 3x - 2 = 0

Katika x = -1, utatu wa mraba 5x^2 + 3x - 2 hutoweka, katika kesi hii nambari -1 inaitwa. mzizi wa trinomial ya mraba.

Jinsi ya kupata mzizi wa equation

Hebu tueleze jinsi tulivyopata mzizi wa equation hii. Kwanza, unahitaji kujua wazi nadharia na fomula ambayo tutafanya kazi:

“Ikiwa x1 na x2 ndio mizizi ya shoka ya quadratic trinomial^2 + bx + c, basi ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

Njia hii ya kupata mizizi ya polynomial ndio fomula ya zamani zaidi, ukitumia ambayo hautawahi kuchanganyikiwa.

Usemi ni 5x^2 + 3x – 2.

1. Sawazisha hadi sifuri: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Tafuta mizizi ya equation ya quadratic, ili kufanya hivyo tunabadilisha maadili kwenye fomula (a ni mgawo wa X ^ 2, b ni mgawo wa X, neno la bure, yaani, takwimu bila X. ):

Tunapata mzizi wa kwanza na ishara ya kuongeza mbele ya mzizi wa mraba:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0.4

Mzizi wa pili ulio na alama ya minus mbele ya mzizi wa mraba:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Kwa hivyo tumepata mizizi ya trinomial ya quadratic. Ili kuhakikisha kuwa ni sahihi, unaweza kuangalia: kwanza tunabadilisha mzizi wa kwanza kwenye equation, kisha ya pili:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Ikiwa, baada ya kubadilisha mizizi yote, equation inakuwa sifuri, basi equation inatatuliwa kwa usahihi.

3. Sasa hebu tutumie fomula kutoka kwa nadharia: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), kumbuka kwamba X1 na X2 ni mizizi ya equation ya quadratic. Kwa hiyo: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0.4)(x + 1)

4. Ili kuhakikisha kuwa mtengano ni sahihi, unaweza tu kuzidisha mabano:

5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x - 0.4) = 5x^2 + 3 - 2. Ambayo inathibitisha usahihi ya uamuzi.

Chaguo la pili la kutafuta mizizi ya trinomial ya mraba

Chaguo jingine la kutafuta mizizi ya trinomial ya mraba ni theorem inverse kwa theorem ya Viette. Hapa mizizi ya equation ya quadratic inapatikana kwa kutumia fomula: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Lakini ni muhimu kuelewa kwamba nadharia hii inaweza kutumika tu ikiwa mgawo a = 1, yaani, nambari iliyo mbele ya x^2 = 1.

Kwa mfano: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Tunatatua: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Sasa ni muhimu kufikiri juu ya namba gani katika bidhaa kutoa moja? Kwa kawaida hii 1 * 1 Na -1 * (-1) . Kutoka kwa nambari hizi tunachagua zile zinazolingana na usemi x1 + x2 = 2, bila shaka - hii ni 1 + 1. Kwa hiyo tulipata mizizi ya equation: x1 = 1, x2 = 1. Hii ni rahisi kuangalia ikiwa sisi badilisha x^2 kwenye usemi - 2x + 1 = 0.

Katika somo hili tutajifunza jinsi ya kuainisha trinomia za quadratic katika vipengele vya mstari. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kukumbuka nadharia ya Vieta na mazungumzo yake. Ujuzi huu utatusaidia kwa haraka na kwa urahisi kupanua trinomia za quadratic katika vipengele vya mstari, na pia itarahisisha upunguzaji wa sehemu zinazojumuisha misemo.

Kwa hivyo, turudi kwenye mlinganyo wa quadratic, ambapo.

Kile tulicho nacho upande wa kushoto kinaitwa quadratic trinomial.

Nadharia ni kweli: Ikiwa ni mizizi ya trinomial ya quadratic, basi utambulisho unashikilia

Ambapo ni mgawo wa kuongoza, ni mizizi ya equation.

Kwa hivyo, tunayo usawa wa quadratic - trinomial ya quadratic, ambapo mizizi ya equation ya quadratic pia inaitwa mizizi ya trinomial ya quadratic. Kwa hivyo, ikiwa tuna mizizi ya trinomial ya mraba, basi trinomia hii inaweza kugawanywa katika sababu za mstari.

Uthibitisho:

Ushahidi ukweli huu inafanywa kwa kutumia nadharia ya Vieta, ambayo tulijadili katika masomo yaliyopita.

Wacha tukumbuke kile nadharia ya Vieta inatuambia:

Ikiwa ni mizizi ya quadratic trinomial ambayo kwayo , basi .

Kauli ifuatayo inafuata kutoka kwa nadharia hii:

Tunaona kwamba, kulingana na nadharia ya Vieta, i.e., kwa kubadilisha maadili haya kwenye fomula hapo juu, tunapata usemi ufuatao.

Q.E.D.

Kumbuka kwamba tulithibitisha nadharia kwamba ikiwa ni mizizi ya trinomia ya mraba, basi upanuzi ni halali.

Sasa hebu tukumbuke mfano wa equation ya quadratic, ambayo tulichagua mizizi kwa kutumia nadharia ya Vieta. Kutokana na ukweli huu tunaweza kupata shukrani zifuatazo za usawa kwa nadharia iliyothibitishwa:

Sasa hebu tuangalie usahihi wa ukweli huu kwa kufungua tu mabano:

Tunaona kuwa tulizingatia kwa usahihi, na trinomial yoyote, ikiwa ina mizizi, inaweza kubadilishwa kulingana na nadharia hii kuwa sababu za mstari kulingana na fomula.

Walakini, wacha tuangalie ikiwa utaftaji kama huo unawezekana kwa hesabu yoyote:

Chukua, kwa mfano, equation. Kwanza, hebu tuangalie ishara ya kibaguzi

Na tunakumbuka kwamba ili kutimiza nadharia tuliyojifunza, D lazima iwe kubwa kuliko 0, kwa hiyo katika kesi hii, factorization kulingana na theorem tuliyojifunza haiwezekani.

Kwa hivyo, wacha tutengeneze nadharia mpya: Ikiwa trinomial ya quadratic haina mizizi, basi haiwezi kujumuishwa katika vipengele vya mstari.

Kwa hiyo, tumeangalia nadharia ya Vieta, uwezekano wa kutenganisha trinomial ya quadratic katika mambo ya mstari, na sasa tutatatua matatizo kadhaa.

Kazi nambari 1

Katika kikundi hiki kwa kweli tutasuluhisha shida kinyume na ile iliyowekwa. Tulikuwa na equation, na tulipata mizizi yake kwa kuibadilisha. Hapa tutafanya kinyume. Wacha tuseme tuna mizizi ya equation ya quadratic

Shida ya kinyume ni hii: andika equation ya quadratic kwa kutumia mizizi yake.

Kuna njia 2 za kutatua tatizo hili.

Kwa kuwa ni mizizi ya equation, basi ni mlinganyo wa quadratic ambao mizizi yake ni nambari zilizopewa. Sasa hebu tufungue mabano na tuangalie:

Hii ilikuwa njia ya kwanza ambayo tuliunda equation ya quadratic na mizizi iliyotolewa, ambayo haina mizizi nyingine yoyote, kwani equation yoyote ya quadratic ina mizizi miwili zaidi.

Njia hii inahusisha matumizi ya nadharia ya Vieta inverse.

Ikiwa ndio mizizi ya equation, basi wanakidhi sharti kwamba.

Kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa , , yaani katika kesi hii, na.

Kwa hivyo, tumeunda equation ya quadratic ambayo ina mizizi iliyotolewa.

Kazi nambari 2

Inahitajika kupunguza sehemu.

Tuna utatu katika nambari na utatu katika denominata, na trinomia zinaweza au haziwezi kuzingatiwa. Ikiwa nambari zote mbili na dhehebu zimewekwa, basi kati yao kunaweza kuwa na mambo sawa ambayo yanaweza kupunguzwa.

Kwanza kabisa, unahitaji kuhesabu nambari.

Kwanza, unahitaji kuangalia kama equation hii inaweza kuwa factorized, hebu kupata kibaguzi. Tangu , ishara inategemea bidhaa (lazima iwe chini ya 0), in katika mfano huu, yaani mlinganyo uliotolewa una mizizi.

Ili kutatua, tunatumia nadharia ya Vieta:

Katika kesi hii, kwa kuwa tunashughulika na mizizi, itakuwa ngumu sana kuchagua tu mizizi. Lakini tunaona kwamba coefficients ni uwiano, yaani, ikiwa tunadhani kwamba , na kubadilisha thamani hii katika equation, tunapata mfumo ufuatao: , yaani 5-5=0. Kwa hivyo, tumechagua moja ya mizizi ya equation hii ya quadratic.

Tutatafuta mzizi wa pili kwa kubadilisha kile kinachojulikana tayari katika mfumo wa equations, kwa mfano,, i.e. .

Kwa hivyo, tumepata mizizi yote miwili ya equation ya quadratic na tunaweza kubadilisha maadili yao kwenye mlingano wa asili ili kuifanya:

Wacha tukumbuke shida ya asili, tulihitaji kupunguza sehemu.

Wacha tujaribu kusuluhisha shida kwa kubadilisha .

Ni lazima usisahau kwamba katika kesi hii denominator haiwezi kuwa sawa na 0, yaani,.

Ikiwa masharti haya yametimizwa, basi tumepunguza sehemu ya asili kwa fomu.

Tatizo namba 3 (kazi yenye kigezo)

Kwa maadili gani ya parameta ni jumla ya mizizi ya equation ya quadratic

Ikiwa mizizi ya equation hii ipo, basi , swali: lini.

Kwa hivyo, turudi kwenye mlinganyo wa quadratic, ambapo.

Kile tulicho nacho upande wa kushoto kinaitwa quadratic trinomial.

Nadharia ni kweli: Ikiwa ni mizizi ya trinomial ya quadratic, basi utambulisho unashikilia

Ambapo ni mgawo wa kuongoza, ni mizizi ya equation.

Uthibitisho:

Uthibitisho wa ukweli huu unafanywa kwa kutumia nadharia ya Vieta, ambayo tulijadili katika masomo yaliyopita.

Wacha tukumbuke kile nadharia ya Vieta inatuambia:

Ikiwa ni mizizi ya quadratic trinomial ambayo kwayo , basi .

Kauli ifuatayo inafuata kutoka kwa nadharia hii:

Tunaona kwamba, kulingana na nadharia ya Vieta, i.e., kwa kubadilisha maadili haya kwenye fomula hapo juu, tunapata usemi ufuatao.

Q.E.D.

Kumbuka kwamba tulithibitisha nadharia kwamba ikiwa ni mizizi ya trinomia ya mraba, basi upanuzi ni halali.

Sasa hebu tuangalie usahihi wa ukweli huu kwa kufungua tu mabano:

Tunaona kuwa tulizingatia kwa usahihi, na trinomial yoyote, ikiwa ina mizizi, inaweza kubadilishwa kulingana na nadharia hii kuwa sababu za mstari kulingana na fomula.

Walakini, wacha tuangalie ikiwa utaftaji kama huo unawezekana kwa hesabu yoyote:

Chukua, kwa mfano, equation. Kwanza, hebu tuangalie ishara ya kibaguzi

Na tunakumbuka kwamba ili kutimiza nadharia tuliyojifunza, D lazima iwe kubwa kuliko 0, kwa hiyo katika kesi hii, factorization kulingana na theorem tuliyojifunza haiwezekani.

Kwa hiyo, tunaunda nadharia mpya: ikiwa trinomia ya mraba haina mizizi, basi haiwezi kuharibiwa katika vipengele vya mstari.

Kwa hiyo, tumeangalia nadharia ya Vieta, uwezekano wa kutenganisha trinomial ya quadratic katika mambo ya mstari, na sasa tutatatua matatizo kadhaa.

Kazi nambari 1

Shida ya kinyume ni hii: andika equation ya quadratic kwa kutumia mizizi yake.

Kuna njia 2 za kutatua tatizo hili.

Kwa kuwa ni mizizi ya equation, basi ni mlinganyo wa quadratic ambao mizizi yake imepewa nambari. Sasa hebu tufungue mabano na tuangalie:

Hii ilikuwa njia ya kwanza ambayo tuliunda equation ya quadratic na mizizi iliyotolewa, ambayo haina mizizi nyingine yoyote, kwani equation yoyote ya quadratic ina mizizi miwili zaidi.

Njia hii inahusisha matumizi ya nadharia ya Vieta inverse.

Ikiwa ndio mizizi ya equation, basi wanakidhi sharti kwamba.

Kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa , , yaani katika kesi hii, na.

Kwa hivyo, tumeunda equation ya quadratic ambayo ina mizizi iliyotolewa.

Kazi nambari 2

Inahitajika kupunguza sehemu.

Kwanza kabisa, unahitaji kuhesabu nambari.

Kwanza, unahitaji kuangalia kama equation hii inaweza kuwa factorized, hebu tupate kibaguzi. Tangu , ishara inategemea bidhaa (lazima iwe chini ya 0), katika mfano huu, yaani equation iliyotolewa ina mizizi.

Ili kutatua, tunatumia nadharia ya Vieta:

Tutatafuta mzizi wa pili kwa kubadilisha kile kinachojulikana tayari katika mfumo wa equations, kwa mfano,, i.e. .

Kwa hivyo, tumepata mizizi yote miwili ya equation ya quadratic na tunaweza kubadilisha maadili yao kwenye mlingano wa asili ili kuifanya:

Wacha tukumbuke shida ya asili, tulihitaji kupunguza sehemu.

Wacha tujaribu kusuluhisha shida kwa kubadilisha .

Ni lazima usisahau kwamba katika kesi hii denominator haiwezi kuwa sawa na 0, yaani,.

Ikiwa masharti haya yametimizwa, basi tumepunguza sehemu ya asili kwa fomu.

Tatizo namba 3 (kazi yenye kigezo)

Kwa maadili gani ya parameta ni jumla ya mizizi ya equation ya quadratic

Ikiwa mizizi ya equation hii ipo, basi , swali: lini.

Kupanua polynomials ili kupata bidhaa wakati mwingine kunaweza kuonekana kutatanisha. Lakini sio ngumu sana ikiwa unaelewa mchakato hatua kwa hatua. Nakala hiyo inaelezea kwa undani jinsi ya kuhesabu trinomial ya quadratic.

Watu wengi hawaelewi jinsi ya kuhesabu trinomia ya mraba na kwa nini hii inafanywa. Mara ya kwanza inaweza kuonekana kama zoezi bure. Lakini katika hisabati hakuna kinachofanyika bure. Mabadiliko ni muhimu ili kurahisisha usemi na urahisi wa kuhesabu.

Polynomial ya umbo - ax²+bx+c, inayoitwa quadratic trinomial. Neno "a" lazima liwe hasi au chanya. Kwa mazoezi, usemi huu unaitwa equation ya quadratic. Kwa hiyo, wakati mwingine wanasema tofauti: jinsi ya kupanua equation ya quadratic.

Inavutia! Polynomial inaitwa mraba kwa sababu ya shahada yake kubwa zaidi, mraba. Na trinomial - kwa sababu ya vipengele 3.

Aina zingine za polynomials:

linear binomial (6x+8);
quadrinomial za ujazo (x³+4x²-2x+9).

Kuanzisha trinomial ya quadratic

Kwanza, usemi ni sawa na sifuri, basi unahitaji kupata maadili ya mizizi x1 na x2. Kunaweza kuwa hakuna mizizi, kunaweza kuwa na mizizi moja au mbili. Uwepo wa mizizi imedhamiriwa na kibaguzi. Unahitaji kujua fomula yake kwa moyo: D=b²-4ac.

Ikiwa matokeo D ni hasi, hakuna mizizi. Ikiwa chanya, kuna mizizi miwili. Ikiwa matokeo ni sifuri, mizizi ni moja. Mizizi pia huhesabiwa kwa kutumia formula.

Ikiwa, wakati wa kuhesabu kibaguzi, matokeo ni sifuri, unaweza kutumia yoyote ya fomula. Kwa mazoezi, formula imefupishwa tu: -b / 2a.

Fomula za maana tofauti wabaguzi wanatofautiana.

Ikiwa D ni chanya:

Ikiwa D ni sifuri:

Vikokotoo vya mtandaoni

Kwenye mtandao kuna kikokotoo cha mtandaoni. Inaweza kutumika kufanya factorization. Rasilimali zingine hutoa fursa ya kutazama suluhisho hatua kwa hatua. Huduma hizo husaidia kuelewa vizuri mada, lakini unahitaji kujaribu kuelewa vizuri.

Video muhimu: Kuunda utatu wa quadratic

Mifano

Tunakualika kutazama mifano rahisi, jinsi ya kuhesabu mlinganyo wa quadratic.

Mfano 1

Hii inaonyesha wazi kuwa matokeo ni x mbili kwa sababu D ni chanya. Wanahitaji kubadilishwa katika fomula. Ikiwa mizizi inageuka kuwa mbaya, ishara katika formula inabadilika kinyume chake.

Tunajua fomula ya kubainisha utatu wa quadratic: a(x-x1)(x-x2). Tunaweka maadili kwenye mabano: (x+3)(x+2/3). Hakuna nambari kabla ya muda katika mamlaka. Hii ina maana kwamba kuna moja huko, inakwenda chini.

Mfano 2

Mfano huu unaonyesha wazi jinsi ya kutatua equation ambayo ina mzizi mmoja.

Tunabadilisha thamani inayosababisha:

Mfano 3

Imetolewa: 5x²+3x+7

Kwanza, hebu tuhesabu kibaguzi, kama katika kesi zilizopita.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Ubaguzi ni hasi, ambayo ina maana hakuna mizizi.

Baada ya kupokea matokeo, unapaswa kufungua mabano na uangalie matokeo. Trinomial ya asili inapaswa kuonekana.

Suluhisho mbadala

Baadhi ya watu hawakuweza kamwe kufanya urafiki na mbaguzi. Kuna njia nyingine ya kuunda trinomial ya quadratic. Kwa urahisi, njia inaonyeshwa kwa mfano.

Imetolewa: x²+3x-10

Tunajua kwamba tunapaswa kupata mabano 2: (_)(_). Wakati usemi unaonekana kama hii: x²+bx+c, mwanzoni mwa kila mabano tunaweka x: (x_)(x_). Nambari mbili zilizobaki ni bidhaa inayotoa "c", i.e. katika kesi hii -10. Njia pekee ya kujua nambari hizi ni kwa kuchagua. Nambari zilizobadilishwa lazima zilingane na neno lililobaki.

Kwa mfano, kuzidisha nambari zifuatazo kunatoa -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Hapana.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Hapana.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Hapana.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Inafaa.

Hii inamaanisha kuwa mabadiliko ya usemi x2+3x-10 yanaonekana kama hii: (x-2)(x+5).

Muhimu! Unapaswa kuwa mwangalifu usichanganye ishara.

Upanuzi wa trinomial changamano

Ikiwa "a" ni kubwa kuliko moja, shida huanza. Lakini kila kitu sio ngumu kama inavyoonekana.

Ili kusanidi, kwanza unahitaji kuona ikiwa chochote kinaweza kutolewa.

Kwa mfano, kwa kuzingatia usemi: 3x²+9x-30. Hapa nambari ya 3 imetolewa kwenye mabano:

3(x²+3x-10). Matokeo yake ni trinomial inayojulikana tayari. Jibu linaonekana kama hii: 3(x-2)(x+5)

Jinsi ya kuoza ikiwa neno lililo kwenye mraba ni hasi? Katika kesi hii, nambari -1 inachukuliwa nje ya mabano. Kwa mfano: -x²-10x-8. Usemi huo basi utaonekana kama hii:

Mpango huo hutofautiana kidogo na ule uliopita. Kuna mambo machache tu mapya. Wacha tuseme usemi umepewa: 2x²+7x+3. Jibu pia limeandikwa katika mabano 2 ambayo yanahitaji kujazwa katika (_)(_). Katika mabano ya 2 imeandikwa x, na katika 1 kile kilichosalia. Inaonekana kama hii: (2x_)(x_). Vinginevyo, mpango uliopita unarudiwa.

Nambari ya 3 imetolewa na nambari:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Tunatatua milinganyo kwa kubadilisha nambari hizi. Chaguo la mwisho linafaa. Hii inamaanisha kuwa mabadiliko ya usemi 2x²+7x+3 yanaonekana kama hii: (2x+1)(x+3).

Kesi zingine

Si mara zote inawezekana kubadilisha usemi. Kwa njia ya pili, kutatua equation haihitajiki. Lakini uwezekano wa kubadilisha maneno kuwa bidhaa huangaliwa tu kwa njia ya kibaguzi.

Ni thamani ya kufanya mazoezi ya kuamua milinganyo ya quadratic ili hakuna ugumu wakati wa kutumia fomula.

Video muhimu: kuainisha trinomial

Hitimisho

Unaweza kuitumia kwa njia yoyote. Lakini ni bora kufanya mazoezi yote mawili hadi yawe ya moja kwa moja. Pia, kujifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic vizuri na sababu polynomia ni muhimu kwa wale wanaopanga kuunganisha maisha yao na hisabati. Mada zote zifuatazo za hisabati zimejengwa juu ya hili.

Kuanzisha trinomial ya quadratic inaweza kuwa muhimu wakati wa kutatua usawa kutoka kwa tatizo C3 au tatizo na parameta C5. Pia, matatizo mengi ya neno B13 yatatatuliwa kwa kasi zaidi ikiwa unajua nadharia ya Vieta.

Nadharia hii, bila shaka, inaweza kuzingatiwa kutoka kwa mtazamo wa daraja la 8, ambalo linafundishwa kwa mara ya kwanza. Lakini kazi yetu ni kujiandaa vyema kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja na kujifunza kutatua kazi za mitihani kwa ufanisi iwezekanavyo. Kwa hivyo, somo hili linazingatia mbinu tofauti kidogo na ile ya shule.

Mfumo wa mizizi ya equation kwa kutumia nadharia ya Vieta Watu wengi wanajua (au angalau wameona):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ambapo `a, b` na `c` ni viambajengo vya utatu wa quadratic `ax^2+bx+c`.

Ili kujifunza jinsi ya kutumia nadharia kwa urahisi, hebu tuelewe inatoka wapi (hii itafanya iwe rahisi kukumbuka).

Hebu tuwe na mlinganyo `ax^2+ bx+ c = 0`. Kwa manufaa zaidi, igawanye kwa `a` na upate `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Mlingano huu inaitwa equation iliyopunguzwa ya quadratic.

Wazo muhimu la somo: polynomial yoyote ya quadratic ambayo ina mizizi inaweza kupanuliwa hadi kwenye mabano. Hebu tuchukulie kwamba yetu inaweza kuwakilishwa kama `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, ambapo `k` na ` l` - baadhi ya mara kwa mara.

Wacha tuone jinsi mabano yanafunguliwa:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Hivyo, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Hii ni tofauti kidogo na tafsiri ya classical Nadharia ya Vieta- ndani yake tunatafuta mizizi ya equation. Ninapendekeza kutafuta masharti mtengano wa mabano- kwa njia hii huna haja ya kukumbuka kuhusu minus kutoka kwa fomula (ikimaanisha `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Inatosha kuchagua nambari mbili kama hizo, jumla ambayo ni sawa na mgawo wa wastani, na bidhaa ni sawa na neno la bure.

Ikiwa tunahitaji suluhisho la equation, basi ni dhahiri: mizizi `x=-k` au `x=-l` (kwani katika hali hizi moja ya mabano itakuwa sifuri, ambayo ina maana usemi mzima utakuwa sifuri. )

Nitakuonyesha algorithm kama mfano: Jinsi ya kupanua polynomial ya quadratic kwenye mabano.

Mfano mmoja. Algorithm ya kuweka trinomial ya quadratic

Njia tuliyo nayo ni quadrant trinomial `x^2+5x+4`.

Imepunguzwa (mgawo wa `x^2` ni sawa na moja). Ana mizizi. (Kwa hakika, unaweza kukadiria ubaguzi na uhakikishe kuwa ni kubwa kuliko sifuri.)

Hatua zaidi (unahitaji kuzijifunza kwa kukamilisha kazi zote za mafunzo):

Kamilisha ingizo lifuatalo: $$x^2+5x+4=(x \ldets)(x \ldets).$$ Badala ya vitone, acha nafasi bila malipo, tutaongeza hapo. nambari zinazofaa na ishara.
Tazama zote chaguzi zinazowezekana, unawezaje kutenganisha nambari `4` kuwa bidhaa ya nambari mbili. Tunapata jozi za "wagombea" kwa mizizi ya equation: `2, 2` na `1, 4`.
Tambua ni jozi gani unaweza kupata mgawo wa wastani kutoka. Ni wazi ni `1, 4`.
Andika $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Hatua inayofuata ni kuweka ishara mbele ya nambari zilizoingizwa.
Jinsi ya kuelewa na kukumbuka milele ni ishara gani zinapaswa kuonekana kabla ya nambari kwenye mabano? Jaribu kuzifungua (mabano). Mgawo kabla ya `x` hadi nguvu ya kwanza itakuwa `(± 4 ± 1)` (hatujui ishara bado - tunahitaji kuchagua), na inapaswa kuwa sawa na `5`. Ni wazi, kutakuwa na nyongeza mbili $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Fanya operesheni hii mara kadhaa (hello, kazi za mafunzo!) Na matatizo zaidi hii haitatokea kamwe.

Ikiwa unahitaji kutatua equation `x^2+5x+4`, basi sasa kutatua haitakuwa vigumu. Mizizi yake ni `-4, -1`.

Mfano wa pili. Factorization ya trinomial ya quadratic na coefficients ya ishara tofauti

Hebu tuhitaji kutatua mlinganyo `x^2-x-2=0`. Offhand, mbaguzi ni chanya.

Tunafuata algorithm.

$$x^2-x-2=(x \lddots) (x \ldets).$$
Kuna mtengano mmoja tu wa mbili kuwa vipengele kamili: `2 · 1`.
Tunaruka hatua - hakuna cha kuchagua.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Bidhaa ya nambari zetu ni hasi (`-2` ni neno huru), ambayo ina maana kwamba moja yao itakuwa mbaya na nyingine itakuwa chanya.
Kwa kuwa jumla yao ni sawa na `-1` (mgawo wa `x`), basi `2` itakuwa hasi (maelezo ya angavu ni kwamba mbili ni kubwa kati ya nambari hizo mbili, "itavuta" kwa nguvu zaidi. upande hasi) Tunapata $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Mfano wa tatu. Kuanzisha trinomial ya quadratic

Mlinganyo ni `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \lddots) (x \ldets).$$
Mtengano wa 84 katika vipengele kamili: `4 · 21, 6 · 14, 12 · 7, 2 · 42`.
Kwa kuwa tunahitaji tofauti (au jumla) ya nambari kuwa 5, sisi jozi itafanya `7, 12`.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Tumaini, upanuzi wa trinomia hii ya quadratic kwenye mabano Ni wazi.

Ikiwa unahitaji suluhu la mlinganyo, hili hapa: `12, -7`.

Kazi za mafunzo

Ninakuletea mifano michache ambayo ni rahisi hutatuliwa kwa kutumia nadharia ya Vieta.(Mifano iliyochukuliwa kutoka kwa jarida la "Hisabati", 2002.)

`x^2+x-2=0`
`x^2-x-2=0`
`x^2+x-6=0`
`x^2-x-6=0`
`x^2+x-12=0`
`x^2-x-12=0`
`x^2+x-20=0`
`x^2-x-20=0`
`x^2+x-42=0`
`x^2-x-42=0`
`x^2+x-56=0`
`x^2-x-56=0`
`x^2+x-72=0`
`x^2-x-72=0`
`x^2+x-110=0`
`x^2-x-110=0`
`x^2+x-420=0`
`x^2-x-420=0`

Miaka michache baada ya makala kuandikwa, mkusanyiko wa kazi 150 za kupanua polynomial ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta ilionekana.

Like na uulize maswali kwenye comments!